Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Reconocer las características de las parábolas.
Comprender cómo se relaciona el gráfico de una parábola con su función cuadrática.
Determinar el valor mínimo o máximo de una función cuadrática.
Resolver problemas que impliquen el valor mínimo o máximo de una función cuadrática.

Figura 1 Conjunto de antenas parabólicas (créditos: Matthew Colvin de Valle, Flickr)

Las antenas curvas, como las que se muestran en la Figura 1, se utilizan habitualmente para enfocar microondas y ondas de radio que transmiten señales de televisión y teléfono, así como para la comunicación por satélite y en naves espaciales. La sección transversal de la antena tiene forma de parábola, que se describe mediante una función cuadrática.

En esta sección, investigaremos las funciones cuadráticas, que modelan problemas que implican el movimiento de áreas y proyectiles. Trabajar con funciones cuadráticas puede ser menos complejo que trabajar con funciones de mayor grado; de allí que brindan una excelente oportunidad para el estudio detallado del comportamiento de las funciones.

Reconocer las características de las parábolas

El gráfico de una función cuadrática es una curva en forma de U, denominada parábola. Una característica importante del gráfico es que tiene un punto extremo, denominado vértice. Si la parábola se abre, el vértice representa el punto más bajo en el gráfico o el valor mínimo de la función cuadrática. Si la parábola se abre hacia abajo, el vértice representa el punto más alto en el gráfico o el valor máximo. En cualquier caso, el vértice es un punto de inflexión en el gráfico. El gráfico también es simétrico, con una línea vertical trazada a través del vértice, denominada eje de simetría. Estas características se ilustran en la Figura 2.

Gráfico de una parábola que muestra la ubicación de las intersecciones en x y en y, el vértice y el eje de simetría.

Figura 2

La intersección en y es el punto en el cual la parábola cruza el eje y. Las intersecciones en x son los puntos en los que la parábola cruza el eje x. Si existen, las intersecciones en x representan los ceros, o raíces, de la función cuadrática, los valores de $x$ en los que $y = 0 .$

Ejemplo 1

Identificar las características de una parábola

Determine el vértice, el eje de simetría, los ceros y la intersección en $y$ de la parábola que se muestra en la Figura 3.

Gráfico de una parábola con vértice en (3, 1) y con intersección en (0, 7).

Figura 3

Solución

El vértice es el punto de inflexión del gráfico. Podemos ver que el vértice está en $(3, 1) .$ Como esta parábola se abre hacia arriba, el eje de simetría es la línea vertical que interseca la parábola en el vértice. Así que el eje de simetría es $x = 3.$ Esta parábola no cruza el eje $x$ , por lo que no tiene ceros. Atraviesa el eje $y$ en $(0, 7)$ así que esta es la intersección y.

Comprender cómo se relacionan los gráficos de las parábolas con sus funciones cuadráticas

La forma general de una función cuadrática presenta la función en la forma

f (x) = a x^{2} + b x + c

donde $a, b,$ y $c$ son números reales y $a \neq 0 .$ Si $a > 0,$ la parábola se abre hacia arriba. Si los valores de $a < 0,$ la parábola se abre hacia abajo. Podemos utilizar la forma general de una parábola para hallar la ecuación del eje de simetría.

El eje de simetría está definido por $x = - \frac{b}{2 a} .$ Si utilizamos la fórmula cuadrática, $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a},$ para resolver $a x^{2} + b x + c = 0$ para las intersecciones en $x$ , o ceros, hallamos que el valor de $x$ a mitad de camino siempre es $x = - \frac{b}{2 a},$ la ecuación del eje de simetría.

La Figura 4 representa el gráfico de la función cuadrática escrita en forma general como $y = x^{2} + 4 x + 3.$ En esta forma, $a = 1, b = 4,$ y $c = 3.$ Dado que $a > 0,$ la parábola se abre hacia arriba. El eje de simetría es $x = - \frac{4}{2 (1)} = - 2.$ Esto también tiene sentido porque podemos ver en el gráfico que la línea vertical $x = - 2$ divide el gráfico por la mitad. El vértice siempre se produce a lo largo del eje de simetría. Para una parábola que se abre hacia arriba, el vértice se encuentra en el punto más bajo del gráfico; en este caso, $(- 2, - 1) .$ La intersección en $x$ , aquellos puntos en los que la parábola cruza el eje $x$ , se producen en $(- 3, 0)$ y $(- 1, 0) .$

Gráfico de una parábola que muestra dónde se encuentran las intersecciones en x y en y, el vértice y el eje de simetría para la función y=x^2+4x+3.

Figura 4

La forma estándar de una función cuadrática presenta la función en la forma

f (x) = a {(x - h)}^{2} + k

donde $(h, k)$ es el vértice. Dado que el vértice aparece en la forma estándar de la función cuadrática, esta forma también se conoce como la forma de vértice de una función cuadrática.

Al igual que con la forma general, si $a > 0,$ la parábola se abre hacia arriba y el vértice es un mínimo. Si los valores de $a < 0,$ la parábola se abre hacia abajo, y el vértice es un máximo. La Figura 5 representa el gráfico de la función cuadrática escrita en forma estándar como $y = −3 {(x + 2)}^{2} + 4.$ Dado que $x - h = x + 2$ en este ejemplo, $h = –2.$ En esta forma, $a = −3, h = –2,$ y $k = 4.$ Dado que $a < 0,$ la parábola se abre hacia abajo. El vértice está en $(- 2, 4) .$

Gráfico de una parábola que muestra dónde se encuentran las intersecciones en x y en y, el vértice y el eje de simetría para la función y=-3(x+2)^2+4.

Figura 5

La forma estándar sirve para determinar cómo se transforma el gráfico de $y = x^{2} .$ La Figura 6 es el gráfico de esta función básica.

Figura 6

Si los valores de $k > 0,$ el gráfico se desplaza hacia arriba, mientras que si $k < 0,$ el gráfico se desplaza hacia abajo. En la Figura 5, $k > 0,$ por lo que el gráfico se desplaza 4 unidades hacia arriba. Si los valores de $h > 0,$ el gráfico se desplaza hacia la derecha y si $h < 0,$ el gráfico se desplaza hacia la izquierda. En la Figura 5, $h < 0,$ para que el gráfico se desplace 2 unidades a la izquierda. La magnitud de $a$ indica el estiramiento del gráfico. Si los valores de $| a | > 1,$ el punto asociado a un determinado valor de $x$ se desplaza más lejos del eje x, por lo que el gráfico parece estrecharse, y hay un estiramiento vertical. Pero si $| a | < 1,$ el punto asociado a un determinado valor de $x$ se desplaza más cerca del eje x, por lo que el gráfico parece ampliarse, pero en realidad hay una compresión vertical. En la Figura 5, $| a | > 1,$ por lo que el gráfico se estrecha.

La forma estándar y la forma general son métodos equivalentes para describir la misma función. Podemos verlo al ampliar la forma general y hacerla igual a la forma estándar.

\begin{array}{l} a {(x - h)}^{2} + k = a x^{2} + b x + c \\ a x^{2} - 2 a h x + (a h^{2} + k) = a x^{2} + b x + c \end{array}

Para que los términos lineales sean iguales, los coeficientes deberán ser iguales.

-2 a h = b, por lo que h = - \frac{b}{2 a} .

Este es el eje de simetría que definimos antes. Al igualar los términos constantes:

\begin{array}{l} a h^{2} + k = c \\ k = c - a h^{2} \\ = c - a (- \frac{b}{2 a})^{2} \\ = c - \frac{b^{2}}{4 a} \end{array}

En la práctica, sin embargo, suele ser más fácil recordar que k es el valor de salida de la función cuando la entrada es $h,$ por lo que $f (h) = k .$

Formas de las funciones cuadráticas

La función cuadrática es una función de grado dos. El gráfico de la función cuadrática es una parábola. La forma general de la función cuadrática es $f (x) = a x^{2} + b x + c$ donde $a, b,$ y $c$ son números reales y $a \neq 0 .$

La forma estándar de la función cuadrática es $f (x) = a {(x - h)}^{2} + k .$

El vértice $(h, k)$ está localizado en

h = - \frac{b}{2 a}, k = f (h) = f (\frac{- b}{2 a}) .

Cómo

Dado el gráfico de una función cuadrática, escribir la ecuación de la función en forma general.

Identifique el desplazamiento horizontal de la parábola; este valor es $h .$ Identifique el desplazamiento vertical de la parábola; este valor es $k .$
Sustituya los valores del desplazamiento horizontal y vertical por $h$ y $k .$ en la función $f (x) = a {(x - h)}^{2} + k .$
Sustituya los valores de cualquier punto, distinto del vértice, del gráfico de la parábola por $x$ y $f (x) .$
Resuelva el factor de estiramiento, $| a | .$
Si la parábola se abre hacia arriba, $a > 0 .$ Si la parábola se abre hacia abajo, $a < 0$ ya que esto significa que el gráfico se reflejó alrededor del eje $x$ .
Amplíe y simplifique para escribir en forma general.

Ejemplo 2

Escribir la ecuación de una función cuadrática a partir del gráfico

Escriba una ecuación para la función cuadrática $g$ en la Figura 7 como transformación de $f (x) = x^{2},$ luego expanda la fórmula y simplifique los términos para escribir la ecuación en forma general.

Gráfico de una parábola con su vértice en (-2, -3).

Figura 7

Solución

Podemos ver que el gráfico de g es el de $f (x) = x^{2}$ desplazado a la izquierda 2 y abajo 3, lo que lo que arroja una fórmula de la forma $g (x) = a {(x + 2)}^{2} - 3.$

Sustituyendo las coordenadas de un punto de la curva, como $(0, –1),$ podemos resolver el factor de estiramiento.

\begin{array}{l} - 1 = a {(0 + 2)}^{2} - 3 \\ 2 = 4 a \\ a = \frac{1}{2} \end{array}

En forma estándar, el modelo algebraico de este gráfico es $g (x) = \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 3.$

Para escribir esto en forma polinómica general, podemos expandir la fórmula y simplificar los términos.

\begin{array}{l} g (x) = \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 3 \\ = \frac{1}{2} (x + 2) (x + 2) - 3 \\ = \frac{1}{2} (x^{2} + 4 x + 4) - 3 \\ = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 2 - 3 \\ = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 1 \end{array}

Observe que los desplazamientos horizontal y vertical en el gráfico básico de la función cuadrática determinan la ubicación del vértice de la parábola; el vértice no resulta afectado por el estiramiento y la compresión.

Análisis

Podemos comprobar nuestro trabajo con la función de tabla en una herramienta gráfica. Primero ingrese $Y1 = \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 3.$ Después, seleccione $TBLSET,$ y luego utilice $TblStart = - 6$ y $Δ Tbl = 2,$ y seleccione $TABLE .$ Vea la Tabla 1.

$x$	-6	-4	-2	0	2
$y$	5	-1	-3	-1	5

Tabla 1

Los pares ordenados en la tabla corresponden a los puntos del gráfico.

Inténtelo #1

Se ha superpuesto una cuadrícula de coordenadas sobre la trayectoria cuadrática de un balón de baloncesto en la Figura 8. Halle una ecuación para la trayectoria del balón. ¿El lanzador encesta?

Secuencia de un niño lanzando un balón hacia la cesta para mostrar la curva parabólica que hace.

Figura 8 (créditos: modificación de la obra de Dan Meyer)

Cómo

Dada una función cuadrática en forma general, hallar el vértice de la parábola.

Identifique $a, b, y c .$
Halle $h,$ la coordenada de la x del vértice, al sustituir $a$ y $b$ en $h = - \frac{b}{2 a} .$
Halle $k,$ la coordenada de la y del vértice, al evaluar $k = f (h) = f (- \frac{b}{2 a}) .$

Ejemplo 3

Hallar el vértice de una función cuadrática

Halle el vértice de la función cuadrática $f (x) = 2 x^{2} - 6 x + 7.$ Reescriba la cuadrática en forma estándar (forma de vértice).

Solución

La coordenada horizontal del vértice estará en

\begin{array}{l} h = - \frac{b}{2 a} \\ = - \frac{- 6}{2 (2)} \\ = \frac{6}{4} \\ = \frac{3}{2} \end{array}

La coordenada vertical del vértice estará en

\begin{array}{l} k = f (h) \\ = f (\frac{3}{2}) \\ = 2 {(\frac{3}{2})}^{2} - 6 (\frac{3}{2}) + 7 \\ = \frac{5}{2} \end{array}

Al reescribir en forma estándar, el factor de estiramiento será el mismo que $a$ en la cuadrática original.

\begin{array}{l} f (x) = a x^{2} + b x + c \\ f (x) = 2 x^{2} - 6 x + 7 \end{array}

Utilizar el vértice para determinar el desplazamiento,

f (x) = 2 {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{5}{2}

Análisis

Una de las razones por las que tal vez queramos identificar el vértice de la parábola es que este punto nos informará de dónde se produce el valor máximo o mínimo de la salida, $(k),$ y dónde se produce, $(x) .$

Inténtelo #2

Dada la ecuación $g (x) = 13 + x^{2} - 6 x,$ escriba la ecuación en forma general y luego en forma estándar.

Hallar el dominio y el rango de una función cuadrática

Cualquier número puede ser el valor de entrada de la función cuadrática. Por lo tanto, el dominio de cualquier función cuadrática son todos los números reales. Dado que las parábolas tienen un punto máximo o mínimo, el rango está restringido. Dado que el vértice de una parábola será un máximo o un mínimo, el rango consistirá en todos los valores de y mayores o iguales a la coordenada de la y en el punto de giro o menores o iguales a la coordenada de la y en el punto de giro, dependiendo de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.

Dominio y rango de la función cuadrática

El dominio de cualquier función cuadrática son todos los números reales.

El rango de una función cuadrática escrita en forma general $f (x) = a x^{2} + b x + c$ con un valor positivo $a$ es $f (x) \geq f (- \frac{b}{2 a}),$ o $[f (- \frac{b}{2 a}), \infty) .$

El rango de una función cuadrática escrita en forma general con un valor negativo $a$ es $f (x) \leq f (- \frac{b}{2 a}),$ o $(- \infty, f (- \frac{b}{2 a})] .$

El rango de una función cuadrática escrita en forma estándar $f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$ con un valor positivo $a$ es $f (x) \geq k;$ el rango de una función cuadrática escrita en forma estándar con un valor negativo $a$ es $f (x) \leq k .$

Cómo

Dada una función cuadrática, hallar el dominio y el rango.

Identifique el dominio de cualquier función cuadrática como todos los números reales.
Determine si $a$ es positivo o negativo. Si los valores de $a$ es positivo, la parábola tiene un mínimo. Si los valores de $a$ es negativo, la parábola tiene un máximo.
Determine el valor máximo o mínimo de la parábola, $k .$
Si la parábola tiene un mínimo, el rango viene dado por $f (x) \geq k,$ o $[k, \infty) .$ Si la parábola tiene un máximo, el rango viene dado por $f (x) \leq k,$ o $(- \infty, k] .$

Ejemplo 4

Hallar el dominio y el rango de una función cuadrática

Halle el dominio y el rango de $f (x) = - 5 x^{2} + 9 x - 1.$

Solución

Como con cualquier función cuadrática, el dominio son todos los números reales.

Dado que $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo y tiene un valor máximo. Tenemos que determinar el valor máximo. Podemos empezar por calcular el valor de la $x$ del vértice.

\begin{array}{l} h = - \frac{b}{2 a} \\ = - \frac{9}{2 (- 5)} \\ = \frac{9}{10} \end{array}

El valor máximo viene dado por $f (h) .$

\begin{array}{l} f (\frac{9}{10}) = - 5 {(\frac{9}{10})}^{2} + 9 (\frac{9}{10}) - 1 \\ = \frac{61}{20} \end{array}

El rango es $f (x) \leq \frac{61}{20},$ o $(- \infty, \frac{61}{20}] .$

Inténtelo #3

Halle el dominio y el rango de $f (x) = 2 {(x - \frac{4}{7})}^{2} + \frac{8}{11} .$

Determinar los valores máximos y mínimos de las funciones cuadráticas

La salida de la función cuadrática en el vértice es el valor máximo o mínimo de la función, dependiendo de la orientación de la parábola. Podemos ver los valores máximos y mínimos en la Figura 9.

Dos gráficos donde el primero muestra el valor máximo de f(x)=(x-2)^2+1 que ocurre en (2, 1), en tanto que el segundo indica el valor mínimo de g(x)=-(x+3)^2+4 que ocurre en (-3, 4).

Figura 9

Hay muchas situaciones en el mundo real que implican calcular el valor máximo o mínimo de una función cuadrática, como las aplicaciones que implican el área y los ingresos.

Ejemplo 5

Hallar el valor máximo de una función cuadrática

Una granjera de jardín quiere delimitar un espacio rectangular para un nuevo jardín dentro de su patio trasero cercado. Ha comprado 80 pies de cerca de alambre para delimitar tres lados, y utilizará una sección de cerca del patio trasero como el cuarto lado.

Ⓐ Halle una fórmula para el área cercada si los lados de la cerca perpendicular a la existente tienen longitud $L .$
Ⓑ ¿Qué dimensiones debería tener su jardín para maximizar la superficie cerrada?

Solución

Utilicemos un diagrama como en la Figura 10 para registrar la información dada. También valdría la pena introducir una variable temporal, $W,$ para representar la anchura del jardín y la longitud de la sección de la cerca paralela a la del patio.

Figura 10

Ⓐ Sabemos que únicamente tenemos 80 pies de cerca disponible, y $L + W + L = 80,$ o en términos más sencillos, $2 L + W = 80.$ Esto nos permite representar la anchura, $W,$ en términos de $L .$
$W = 80 - 2 L$

Ahora estamos preparados para escribir una ecuación para el área que encierra la cerca. Sabemos que el área de un rectángulo es la longitud multiplicada por la anchura, así que

$\begin{array}{l} A = L W = L (80 - 2 L) \\ A (L) = 80 L - 2 L^{2} \end{array}$

Esta fórmula representa el área de la cerca en función de la longitud variable $L .$ La función, escrita en forma general, es

$A (L) = - 2 L^{2} + 80 L .$
La cuadrática tiene un coeficiente principal negativo, por lo que el gráfico se abrirá hacia abajo, y el vértice será el valor máximo del área. Al determinar el vértice, debemos tener cuidado porque la ecuación no está escrita en forma de polinomio estándar con potencias decrecientes. Por eso hemos reestructurado la función en forma general más arriba. Dado que $a$ es el coeficiente del término al cuadrado, $a = –2, b = 80$ y $c = 0 .$

Para determinar el vértice:

\begin{array}{l} h = - \frac{80}{2 (- 2)} & k = A (20) \\ = 20 & y & = 80 (20) - 2 {(20)}^{2} \\ = 800 \end{array}

El valor máximo de la función es un área de 800 pies cuadrados, que se produce cuando $L = 20$ pies. Cuando los lados más cortos tienen 20 pies, quedan 40 pies de cerca para el lado más largo. Para maximizar la superficie, debería cerrar el jardín de manera que los dos lados más cortos tengan una longitud de 20 pies y el lado más largo, paralelo a la cerca existente, tenga una longitud de 40 pies.

Análisis

Este problema también podría resolverse al graficar la función cuadrática. Podemos ver dónde se produce el área máxima en un gráfico de la función cuadrática en la Figura 11.

Gráfico de la función parabólica A(L)=-2L^2+80L, cuyo eje x está marcado como Longitud (L) y el eje y como Área (A). El vértice está en (20, 800).

Figura 11

Cómo

Dada una aplicación que implique ingresos, utilizar una ecuación cuadrática para calcular el máximo.

Escriba una ecuación cuadrática para los ingresos.
Halle el vértice de la ecuación cuadrática.
Determine el valor de y del vértice.

Ejemplo 6

Determinar el máximo de ingresos

El precio unitario de un artículo incide en su oferta y demanda. Es decir, si el precio unitario sube, la demanda del artículo suele disminuir. Por ejemplo, un periódico local tiene actualmente 84.000 suscriptores con una tarifa trimestral de 30 dólares. Los estudios de mercado sugieren que, si los propietarios suben el precio a 32 dólares, perderán 5.000 suscriptores. Suponiendo que las suscripciones estén relacionadas linealmente con el precio, ¿qué precio debería cobrar el periódico por una suscripción trimestral para maximizar sus ingresos?

Solución

Los ingresos son la cantidad de dinero que percibe una empresa. En este caso, los ingresos se calculan al multiplicar el precio por suscripción por el número de suscriptores, o la cantidad. Podemos introducir variables, $p$ para el precio por abono y $Q$ para la cantidad, lo que nos da la ecuación $Ingresos = p Q .$

Debido a que el número de suscriptores cambia con el precio, tenemos que hallar una relación entre las variables. Sabemos que actualmente $p = 30$ y $Q = 84, 000.$ También sabemos que, si el precio sube a 32 dólares, el periódico perdería 5.000 suscriptores, lo que da un segundo par de valores, $p = 32$ y $Q = 79, 000.$ A partir de esto podemos hallar una ecuación lineal que relacione las dos cantidades. La pendiente será

\begin{array}{l} m = \frac{79, 000 - 84, 000}{32 - 30} \\ = \frac{- 5, 000}{2} \\ = - 2, 500 \end{array}

Esto nos indica que el periódico perderá 2.500 suscriptores por cada dólar que suba el precio. Entonces podemos resolver la intersección en y.

\begin{array}{l} Q = -2.500 p + b & Sustituya en el punto Q = 84.000 y p = 30 \\ 84.000 = -2.500 (30) + b & Resuelva para b \\ b = 159.000 \end{array}

Esto nos da la ecuación lineal $Q = -2.500 p + 159.000$ al relacionar costo y suscriptores. Ahora volvemos a nuestra ecuación de ingresos.

\begin{array}{l} Ingresos = p Q \\ Ingresos = p (–2.500 p + 159.000) \\ Ingresos = –2.500 p^{2} + 159.000 p \end{array}

Ahora tenemos una función cuadrática para los ingresos en función de la cuota de suscripción. Para calcular el precio que maximice los ingresos del periódico, podemos hallar el vértice.

\begin{array}{l} h = - \frac{159.000}{2 (- 2.500)} \\ = 31, 8 \end{array}

El modelo nos indica que los ingresos máximos se producirán si el periódico cobra 31,80 dólares por suscripción. Para saber cuál es el ingreso máximo, evaluamos la función de ingresos.

\begin{array}{l} máximo de ingresos = –2.500 {(31, 8)}^{2} + 159.000 (31, 8) \\ = 2.528.100 \end{array}

Análisis

Esto también podría resolverse al graficar la cuadrática como en la Figura 12. Podemos ver los ingresos máximos en un gráfico de la función cuadrática.

Gráfico de la función parabólica cuyo eje x se denomina Precio (p) y el eje y se denomina Ingresos ($). El vértice está en (31.80, 258100).

Figura 12

Hallar las intersecciones en x y en y de la función cuadrática

Al igual que hicimos en los problemas de aplicación anteriores, también necesitamos hallar las intersecciones en las ecuaciones cuadráticas para graficar parábolas. Recordemos que hallamos la intersección en $y$ de una cuadrática al evaluar la función en una entrada de cero, y hallamos la intersección en $x$ en lugares donde la salida es cero. Observe en la Figura 13 que el número de intersecciones en $x$ puede variar en función de la ubicación del gráfico.

Tres gráficos donde el primero muestra una parábola sin intersección en x, el segundo es una parábola con una intersección en x, mientras que el tercero es una parábola con dos intersecciones en x.

Figura 13 Número de intersecciones en x de una parábola

Cómo

Dada una función cuadrática $f (x),$ hallar las intersecciones en $y$ y en x.

Evalúe $f (0)$ para hallar la intersección en $y$ .
Resuelva la ecuación cuadrática $f (x) = 0$ para hallar las intersecciones en x.

Ejemplo 7

Hallar las intersecciones tanto en y como en x de una parábola

Halle las intersecciones tanto en y como en x de la cuadrática $f (x) = 3 x^{2} + 5 x - 2.$

Solución

Hallamos la intersección en y al evaluar $f (0) .$

\begin{array}{l} f (0) = 3 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2 \\ = - 2 \end{array}

Así que la intersección en y está en $(0, –2) .$

Para las intersecciones en x, hallamos todas las soluciones de $f (x) = 0,$

0 = 3 x^{2} + 5 x - 2

En este caso, la cuadrática puede factorizarse fácilmente, lo que proporciona el método más simple para la solución.

0 = (3 x - 1) (x + 2)

\begin{array}{l} 0 = 3 x - 1 & 0 = x + 2 \\ x = \frac{1}{3} & o & x = - 2 \end{array}

Así que las intersecciones en xestán en $(\frac{1}{3}, 0)$ y $(- 2, 0) .$

Análisis

Al graficar la función, podemos confirmar que el gráfico cruza el eje y en $(0, –2) .$ También podemos confirmar que el gráfico cruza el eje x en $(\frac{1}{3}, 0)$ y $(–2, 0) .$ Ver la Figura 14

Gráfico de una parábola con las siguientes intersecciones: (-2, 0), (1/3, 0) y (0, -2).

Figura 14

Reescribir cuadráticas en forma estándar

En el Ejemplo 7, la cuadrática se resolvió fácilmente mediante la factorización. Sin embargo, hay muchas cuadráticas que no se pueden factorizar. Podemos resolver estas cuadráticas al reescribirlas primero en forma estándar.

Cómo

Dada una función cuadrática, hallar la intersección en $x$ al reescribir en forma estándar.

Sustituya $a$ y $b$ en $h = - \frac{b}{2 a} .$
Sustituya $x = h$ en la forma general de la función cuadrática para hallar $k .$
Reescriba la cuadrática en forma estándar con $h$ y $k .$
Resuelva cuándo la salida de la función será cero para hallar las intersecciones en $x$ .

Ejemplo 8

Hallar las intersecciones en $x$ de una parábola

Halle las intersecciones en $x$ de la función cuadrática $f (x) = 2 x^{2} + 4 x - 4.$

Solución

Comenzamos por resolver cuándo la salida será cero.

0 = 2 x^{2} + 4 x - 4

Dado que la cuadrática no se factoriza fácilmente en este caso, resolvemos las intersecciones al reescribir primero la cuadrática en forma estándar.

f (x) = a {(x - h)}^{2} + k

Sabemos que $a = 2.$ Entonces resolvemos para $h$ y $k .$

\begin{array}{l} h = - \frac{b}{2 a} & k = f (- 1) \\ = - \frac{4}{2 (2)} & = 2 {(- 1)}^{2} + 4 (- 1) - 4 \\ = −1 & = −6 \end{array}

Así que ahora podemos reescribir en forma estándar.

f (x) = 2 {(x + 1)}^{2} - 6

Ahora podemos resolver cuándo la salida será cero.

\begin{array}{l} 0 = 2 {(x + 1)}^{2} - 6 \\ 6 = 2 {(x + 1)}^{2} \\ 3 = {(x + 1)}^{2} \\ x + 1 = \pm \sqrt{3} \\ x = - 1 \pm \sqrt{3} \end{array}

El gráfico tiene intersecciones en $x$ en $(−1 - \sqrt{3}, 0)$ y $(–1 + \sqrt{3}, 0) .$

Análisis

Podemos comprobar nuestro trabajo al graficar la función dada en una herramienta gráfica y observar las intersecciones en $x$ . Vea la Figura 15.

Gráfico de una parábola con las siguientes intersecciones en x (-2,732, 0) y (0,732, 0).

Figura 15

Inténtelo #4

En otro Ejercicio, hallamos la forma estándar y general de la función $g (x) = 13 + x^{2} - 6 x .$ Ahora halle las intersecciones, tanto en y como en $x$ (si las hay).

Ejemplo 9

Resolver una ecuación cuadrática con la fórmula cuadrática

Resuelva $x^{2} + x + 2 = 0 .$

Solución

Empecemos por escribir la fórmula cuadrática: $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

Al aplicar la fórmula cuadrática, identificamos los coeficientes $a, b y c .$ Para la ecuación: $x^{2} + x + 2 = 0,$ tenemos $a = 1, b = 1, y c = 2.$ Al sustituir estos valores en la fórmula, tenemos:

\begin{array}{l} x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2)}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} \\ = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2} \\ = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2} \end{array}

Las soluciones de la ecuación son: $\frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2}$ y $\frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2}$ o $\frac{- 1}{2} + \frac{i \sqrt{7}}{2}$ y $\frac{- 1}{2} - \frac{i \sqrt{7}}{2} .$

Ejemplo 10

Aplicar el vértice y las intersecciones en x de una parábola

Una pelota es lanzada hacia arriba desde la parte alta de un edificio de 40 pies de altura a una velocidad de 80 pies por segundo. La altura de la pelota sobre el suelo puede modelarse con la ecuación $H (t) = - 16 t^{2} + 80 t + 40.$

Ⓐ ¿Cuándo alcanza la pelota la altura máxima?
Ⓑ ¿Cuál es la altura máxima de la pelota?
Ⓒ ¿Cuándo llega la pelota al suelo?

Solución

Ⓐ La pelota alcanza la altura máxima en el vértice de la parábola.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} h = - \frac{80}{2 (- 16)} \end{array} \\ = \frac{80}{32} \\ = \frac{5}{2} \\ = 2,5 \end{array}$
La pelota alcanza una altura máxima después de 2,5 segundos.
Ⓑ Para hallar la altura máxima, hay que determinar la coordenada de la $y$ en el vértice de la parábola.
$\begin{array}{l} k = H (- \frac{b}{2 a}) \\ = H (2,5) \\ = −16 {(2,5)}^{2} + 80 (2,5) + 40 \\ = 140 \end{array}$
La pelota alcanza una altura máxima de 140 pies.
Ⓒ Para calcular el momento en que la pelota toca el suelo, tenemos que determinar cuándo la altura es cero, $H (t) = 0 .$
Utilizamos la fórmula cuadrática.

$\begin{array}{l} t = \frac{- 80 \pm \sqrt{80^{2} - 4 (- 16) (40)}}{2 (- 16)} \\ = \frac{- 80 \pm \sqrt{8.960}}{- 32} \end{array}$
Dado que la raíz cuadrada no se simplifica bien, podemos utilizar una calculadora para estimar los valores de las soluciones.

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} t = \frac{- 80 - \sqrt{8.960}}{- 32} \approx 5,458 & o & t = \frac{- 80 + \sqrt{8.960}}{- 32} \approx - 0,458 \end{array} \end{array}$
La segunda respuesta está fuera del dominio razonable de nuestro modelo, por lo que concluimos que la pelota llegará al suelo después de unos 5,458 segundos. Ver la Figura 16

Figura 16

Inténtelo #5

Una roca es lanzada hacia arriba desde la cima de un acantilado de 112 pies de altura con vistas al océano, a una velocidad de 96 pies por segundo. La altura de la roca sobre el océano puede modelarse con la ecuación $H (t) = - 16 t^{2} + 96 t + 112.$

Ⓐ ¿Cuándo alcanza la roca la altura máxima?
Ⓑ ¿Cuál es la altura máxima de la roca?
Ⓒ ¿Cuándo llega la roca al océano?

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las ecuaciones cuadráticas.

3.2 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Explique la ventaja de escribir una función cuadrática en forma estándar.

2.

¿Cómo se utiliza el vértice de una parábola para resolver problemas del mundo real?

3.

Explique por qué la condición de $a \neq 0$ se impone en la definición de la función cuadrática.

4.

¿Cuál es otro nombre para la forma estándar de la función cuadrática?

5.

¿Qué dos métodos algebraicos se pueden utilizar para hallar las intersecciones horizontales de la función cuadrática?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, reescriba las funciones cuadráticas en forma estándar e indique el vértice.

6.

$f (x) = x^{2} - 12 x + 32$

7.

$g (x) = x^{2} + 2 x - 3$

8.

$f (x) = x^{2} - x$

9.

$f (x) = x^{2} + 5 x - 2$

10.

$h (x) = 2 x^{2} + 8 x - 10$

11.

$k (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9$

12.

$f (x) = 2 x^{2} - 6 x$

13.

$f (x) = 3 x^{2} - 5 x - 1$

En los siguientes ejercicios, determine si existe un valor mínimo o máximo para cada función cuadrática. Halle el valor y el eje de simetría.

14.

$y (x) = 2 x^{2} + 10 x + 12$

15.

$f (x) = 2 x^{2} - 10 x + 4$

16.

$f (x) = - x^{2} + 4 x + 3$

17.

$f (x) = 4 x^{2} + x - 1$

18.

$h (t) = - 4 t^{2} + 6 t - 1$

19.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 1$

20.

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{2} - 2 x + 3$

En los siguientes ejercicios, determine el dominio y el rango de la función cuadrática.

21.

$f (x) = {(x - 3)}^{2} + 2$

22.

$f (x) = - 2 {(x + 3)}^{2} - 6$

23.

$f (x) = x^{2} + 6 x + 4$

24.

$f (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2$

25.

$k (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9$

En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones en los números complejos.

26.

$x^{2} = - 25$

27.

$x^{2} = - 8$

28.

$x^{2} + 36 = 0$

29.

$x^{2} + 27 = 0$

30.

$x^{2} + 2 x + 5 = 0$

31.

$x^{2} - 4 x + 5 = 0$

32.

$x^{2} + 8 x + 25 = 0$

33.

$x^{2} - 4 x + 13 = 0$

34.

$x^{2} + 6 x + 25 = 0$

35.

$x^{2} - 10 x + 26 = 0$

36.

$x^{2} - 6 x + 10 = 0$

37.

$x (x - 4) = 20$

38.

$x (x - 2) = 10$

39.

$2 x^{2} + 2 x + 5 = 0$

40.

$5 x^{2} - 8 x + 5 = 0$

41.

$5 x^{2} + 6 x + 2 = 0$

42.

$2 x^{2} - 6 x + 5 = 0$

43.

$x^{2} + x + 2 = 0$

44.

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

En los siguientes ejercicios, utilice el vértice $(h, k)$ y un punto en el gráfico $(x, y)$ para hallar la forma general de la ecuación de la función cuadrática.

45.

$(h, k) = (2, 0), (x, y) = (4, 4)$

46.

$(h, k) = (–2, –1), (x, y) = (-4, 3)$

47.

$(h, k) = (0, 1), (x, y) = (2, 5)$

48.

$(h, k) = (2, 3), (x, y) = (5, 12)$

49.

$(h, k) = (- 5, 3), (x, y) = (2, 9)$

50.

$(h, k) = (3, 2), (x, y) = (10, 1)$

51.

$(h, k) = (0, 1), (x, y) = (1, 0)$

52.

$(h, k) = (1, 0), (x, y) = (0, 1)$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función cuadrática e indique el vértice, el eje de simetría y las intersecciones.

53.

$f (x) = x^{2} - 2 x$

54.

$f (x) = x^{2} - 6 x - 1$

55.

$f (x) = x^{2} - 5 x - 6$

56.

$f (x) = x^{2} - 7 x + 3$

57.

$f (x) = - 2 x^{2} + 5 x - 8$

58.

$f (x) = 4 x^{2} - 12 x - 3$

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la función graficada.

59.

Gráfico de una parábola positiva con vértice en (2, -3) e intersección en y en (0, 1).

60.

Gráfico de una parábola positiva con vértice en (-1, 2) e intersección en y en (0, 3)

61.

Gráfico de una parábola negativa con vértice en (2, 7).

62.

Gráfico de una parábola negativa con vértice en (-1, 2).

63.

Gráfico de una parábola positiva con vértice en (3, -1) e intersección en y en (0, 3,5).

64.

Gráfico de una parábola negativa con vértice en (-2, 3).

Numéricos

En los siguientes ejercicios, utilice la tabla de valores que representan puntos en el gráfico de la función cuadrática. Al determinar el vértice y el eje de simetría, halle la forma general de la ecuación de la función cuadrática.

65.

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	5	2	1	2	5

66.

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	1	0	1	4	9

67.

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	-2	1	2	1	-2

68.

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	–8	-3	0	1	0

69.

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	8	2	0	2	8

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para hallar la respuesta.

70.

Grafique en el mismo conjunto de ejes las funciones $f (x) = x^{2}, f (x) = 2 x^{2}, y f (x) = \frac{1}{3} x^{2} .$

¿Cuál parece ser el efecto de cambiar el coeficiente?

71.

Gráfico en el mismo conjunto de ejes $f (x) = x^{2}, f (x) = x^{2} + 2$ y $f (x) = x^{2}, f (x) = x^{2} + 5$ y $f (x) = x^{2} - 3.$ ¿Cuál parece ser el efecto de sumar una constante?

72.

Gráfico en el mismo conjunto de ejes $f (x) = x^{2}$ , $f (x) = {(x - 2)}^{2}$ , $f {(x - 3)}^{2}$ , $y f (x) = {(x + 4)}^{2} .$

¿Cuál parece ser el efecto de sumar o restar esos números?

73.

La trayectoria de un objeto proyectado en un ángulo de 45 grados, a una velocidad inicial de 80 pies por segundo, viene dada por la función $h (x) = \frac{- 32}{{(80)}^{2}} x^{2} + x$ donde $x$ es la distancia horizontal recorrida y $h (x)$ es la altura en pies. Utilice la función TRACE de su calculadora para determinar la altura del objeto cuando se haya alejado 100 pies en horizontal.

74.

Un puente colgante puede modelarse con la función cuadrática $h (x) = 0,0001 x^{2}$ con la $- 2.000 \leq x \leq 2.000$ donde $| x |$ es el número de pies desde el centro y $h (x)$ es la altura en pies. Utilice la función TRACE de su calculadora para estimar a qué distancia del centro tiene el puente una altura de 100 pies.

Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice el vértice del gráfico de la función cuadrática y la dirección en que se abre el gráfico para hallar el dominio y el rango de la función.

75.

Vértice $(1, –2),$ se abre hacia arriba.

76.

Vértice $(–1, 2)$ se abre hacia abajo.

77.

Vértice $(−5, 11),$ se abre hacia abajo.

78.

Vértice $(-100, 100),$ se abre hacia arriba.

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la función cuadrática que contiene el punto dado y tiene la misma forma que la función dada.

79.

Contiene $(1, 1)$ y tiene forma de $f (x) = 2 x^{2} .$ El vértice está en el eje $y$ .

80.

Contiene $(–1, 4)$ y tiene la forma de $f (x) = 2 x^{2} .$ El vértice está en el eje $y$ .

81.

Contiene $(2, 3)$ y tiene la forma de $f (x) = 3 x^{2} .$ El vértice está en el eje $y$ .

82.

Contiene $(1, −3)$ y tiene la forma de $f (x) = - x^{2} .$ El vértice está en el eje $y$ .

83.

Contiene $(4, 3)$ y tiene la forma de $f (x) = 5 x^{2} .$ El vértice está en el eje $y$ .

84.

Contiene $(1, –6)$ tiene la forma de $f (x) = 3 x^{2} .$ El vértice tiene una coordenada de la x de $−1.$

Aplicaciones en el mundo real

85.

Calcule las dimensiones del corral rectangular que produce la mayor área cerrada dados 200 pies de valla.

86.

Calcule las dimensiones del corral rectangular dividido en 2 corrales del mismo tamaño que produzcan la mayor área cerrada posible dados los 300 pies de cercado.

87.

Calcule las dimensiones del corral rectangular que produce la mayor área cerrada dividida en 3 corrales del mismo tamaño dados 500 pies de cercado.

88.

Entre todos los pares de números cuya suma es 6, halle el par con el mayor producto. ¿Cuál es el producto?

89.

Entre todos los pares de números cuya diferencia es 12, halle el par con el menor producto. ¿Cuál es el producto?

90.

Supongamos que el precio por unidad en dólares de la producción de un teléfono móvil está modelado por $p = $ 45 - 0,0125 x,$ donde $x$ está en miles de teléfonos producidos, y los ingresos en miles de dólares son $R = x \cdot p .$ Halle el nivel de producción que maximice los ingresos.

91.

Se lanza un cohete al aire. Su altura, en metros sobre el nivel del mar, en función del tiempo, en segundos, viene dada por $h (t) = - 4,9 t^{2} + 229 t + 234.$ Halle la altura máxima que alcanza el cohete.

92.

Se lanza una pelota al aire desde lo alto de un edificio. Su altura, en metros sobre el suelo, en función del tiempo, en segundos, viene dada por $h (t) = - 4,9 t^{2} + 24 t + 8.$ ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la altura máxima?

93.

Un estadio de fútbol tiene capacidad para 62.000 espectadores. Con un precio de entrada de 11 dólares, el promedio de asistencia ha sido de 26.000 personas. Cuando el precio bajó a 9 dólares, el promedio de asistencia aumentó a 31.000 personas. Suponiendo que la asistencia está relacionada linealmente con el precio de la entrada, ¿qué precio de la entrada maximizaría los ingresos?

94.

Una agricultora descubre que si planta 75 árboles por acre, cada uno de ellos producirá 20 fanegas de fruta. Calcula que, por cada árbol adicional plantado por acre, el rendimiento de cada árbol disminuirá en 3 fanegas. ¿Cuántos árboles debería plantar por hectárea para maximizar su cosecha?

3.2 Funciones cuadráticas

Reconocer las características de las parábolas

Identificar las características de una parábola

Solución

Comprender cómo se relacionan los gráficos de las parábolas con sus funciones cuadráticas

Escribir la ecuación de una función cuadrática a partir del gráfico

Solución

Análisis

Hallar el vértice de una función cuadrática

Solución

Análisis

Hallar el dominio y el rango de una función cuadrática

Hallar el dominio y el rango de una función cuadrática

Solución

Determinar los valores máximos y mínimos de las funciones cuadráticas

Hallar el valor máximo de una función cuadrática

Solución

Análisis

Determinar el máximo de ingresos

Solución

Análisis

Hallar las intersecciones en x y en y de la función cuadrática

Hallar las intersecciones tanto en y como en x de una parábola

Solución

Análisis

Reescribir cuadráticas en forma estándar

Hallar las intersecciones en x x de una parábola

Solución

Análisis

Resolver una ecuación cuadrática con la fórmula cuadrática

Solución

Aplicar el vértice y las intersecciones en x de una parábola

Solución

3.2 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

Numéricos

En tecnología

Extensiones

Aplicaciones en el mundo real

Hallar las intersecciones en $x$ de una parábola