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Precálculo 2ed

3.2 Funciones cuadráticas

Precálculo 2ed3.2 Funciones cuadráticas

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Reconocer las características de las parábolas.
  • Comprender cómo se relaciona el gráfico de una parábola con su función cuadrática.
  • Determinar el valor mínimo o máximo de una función cuadrática.
  • Resolver problemas que impliquen el valor mínimo o máximo de una función cuadrática.
Antenas parabólicas.
Figura 1 Conjunto de antenas parabólicas (créditos: Matthew Colvin de Valle, Flickr)

Las antenas curvas, como las que se muestran en la Figura 1, se utilizan habitualmente para enfocar microondas y ondas de radio que transmiten señales de televisión y teléfono, así como para la comunicación por satélite y en naves espaciales. La sección transversal de la antena tiene forma de parábola, que se describe mediante una función cuadrática.

En esta sección, investigaremos las funciones cuadráticas, que modelan problemas que implican el movimiento de áreas y proyectiles. Trabajar con funciones cuadráticas puede ser menos complejo que trabajar con funciones de mayor grado; de allí que brindan una excelente oportunidad para el estudio detallado del comportamiento de las funciones.

Reconocer las características de las parábolas

El gráfico de una función cuadrática es una curva en forma de U, denominada parábola. Una característica importante del gráfico es que tiene un punto extremo, denominado vértice. Si la parábola se abre, el vértice representa el punto más bajo en el gráfico o el valor mínimo de la función cuadrática. Si la parábola se abre hacia abajo, el vértice representa el punto más alto en el gráfico o el valor máximo. En cualquier caso, el vértice es un punto de inflexión en el gráfico. El gráfico también es simétrico, con una línea vertical trazada a través del vértice, denominada eje de simetría. Estas características se ilustran en la Figura 2.

Gráfico de una parábola que muestra la ubicación de las intersecciones en x y en y, el vértice y el eje de simetría.
Figura 2

La intersección en y es el punto en el cual la parábola cruza el eje y. Las intersecciones en x son los puntos en los que la parábola cruza el eje x. Si existen, las intersecciones en x representan los ceros, o raíces, de la función cuadrática, los valores de x x en los que y=0. y=0.

Ejemplo 1

Identificar las características de una parábola

Determine el vértice, el eje de simetría, los ceros y la intersección en y y de la parábola que se muestra en la Figura 3.

Gráfico de una parábola con vértice en (3, 1) y con intersección en (0, 7).
Figura 3

Comprender cómo se relacionan los gráficos de las parábolas con sus funciones cuadráticas

La forma general de una función cuadrática presenta la función en la forma

f(x)=a x 2 +bx+c f(x)=a x 2 +bx+c

donde a,b, a,b, y c c son números reales y a0. a0. Si a>0, a>0, la parábola se abre hacia arriba. Si los valores de a<0, a<0, la parábola se abre hacia abajo. Podemos utilizar la forma general de una parábola para hallar la ecuación del eje de simetría.

El eje de simetría está definido por x=- b 2 a . x=- b 2 a . Si utilizamos la fórmula cuadrática, x= -b± b 2 -4ac 2 a , x= -b± b 2 -4ac 2 a , para resolver a x 2 +bx+c=0 a x 2 +bx+c=0 para las intersecciones en x x , o ceros, hallamos que el valor de x x a mitad de camino siempre es x=- b 2 a , x=- b 2 a , la ecuación del eje de simetría.

La Figura 4 representa el gráfico de la función cuadrática escrita en forma general como y= x 2 +4x+3. y= x 2 +4x+3. En esta forma, a=1,b=4, a=1,b=4, y c=3. c=3. Dado que a>0, a>0, la parábola se abre hacia arriba. El eje de simetría es x= 4 2 ( 1 ) =2. x= 4 2 ( 1 ) =2. Esto también tiene sentido porque podemos ver en el gráfico que la línea vertical x=-2 x=-2 divide el gráfico por la mitad. El vértice siempre se produce a lo largo del eje de simetría. Para una parábola que se abre hacia arriba, el vértice se encuentra en el punto más bajo del gráfico; en este caso, (2 ,-1). (2 ,-1). La intersección en x x , aquellos puntos en los que la parábola cruza el eje x x , se producen en (-3,0) (-3,0) y (-1,0). (-1,0).

Gráfico de una parábola que muestra dónde se encuentran las intersecciones en x y en y, el vértice y el eje de simetría para la función y=x^2+4x+3.
Figura 4

La forma estándar de una función cuadrática presenta la función en la forma

f(x)=a (x-h) 2 +k f(x)=a (x-h) 2 +k

donde ( h,k ) ( h,k ) es el vértice. Dado que el vértice aparece en la forma estándar de la función cuadrática, esta forma también se conoce como la forma de vértice de una función cuadrática.

Al igual que con la forma general, si a>0, a>0, la parábola se abre hacia arriba y el vértice es un mínimo. Si los valores de a<0, a<0, la parábola se abre hacia abajo, y el vértice es un máximo. La Figura 5 representa el gráfico de la función cuadrática escrita en forma estándar como y=−3 ( x+2 ) 2 +4. y=−3 ( x+2 ) 2 +4. Dado que xh=x+2 xh=x+2 en este ejemplo, h=–2. h=–2. En esta forma, a=−3,h=–2, a=−3,h=–2, y k=4. k=4. Dado que a<0, a<0, la parábola se abre hacia abajo. El vértice está en ( 2 , 4 ). ( 2 , 4 ).

Gráfico de una parábola que muestra dónde se encuentran las intersecciones en x y en y, el vértice y el eje de simetría para la función y=-3(x+2)^2+4.
Figura 5

La forma estándar sirve para determinar cómo se transforma el gráfico de y= x 2 . y= x 2 . La Figura 6 es el gráfico de esta función básica.

Gráfico de y=x^2.
Figura 6

Si los valores de k>0, k>0, el gráfico se desplaza hacia arriba, mientras que si k<0, k<0, el gráfico se desplaza hacia abajo. En la Figura 5, k>0, k>0, por lo que el gráfico se desplaza 4 unidades hacia arriba. Si los valores de h>0, h>0, el gráfico se desplaza hacia la derecha y si h<0, h<0, el gráfico se desplaza hacia la izquierda. En la Figura 5, h<0, h<0, para que el gráfico se desplace 2 unidades a la izquierda. La magnitud de a a indica el estiramiento del gráfico. Si los valores de | a |>1, | a |>1, el punto asociado a un determinado valor de x x se desplaza más lejos del eje x, por lo que el gráfico parece estrecharse, y hay un estiramiento vertical. Pero si | a |<1, | a |<1, el punto asociado a un determinado valor de x x se desplaza más cerca del eje x, por lo que el gráfico parece ampliarse, pero en realidad hay una compresión vertical. En la Figura 5, | a |>1, | a |>1, por lo que el gráfico se estrecha.

La forma estándar y la forma general son métodos equivalentes para describir la misma función. Podemos verlo al ampliar la forma general y hacerla igual a la forma estándar.

a (x-h) 2 +k=a x 2 +bx+c a x 2 -2 ahx+(a h 2 +k)=a x 2 +bx+c a (x-h) 2 +k=a x 2 +bx+c a x 2 -2 ahx+(a h 2 +k)=a x 2 +bx+c

Para que los términos lineales sean iguales, los coeficientes deberán ser iguales.

-2ah=b, por lo que h=- b 2 a . -2ah=b, por lo que h=- b 2 a .

Este es el eje de simetría que definimos antes. Al igualar los términos constantes:

a h 2 +k=c           k=c-a h 2             =c-a( b 2 a ) 2             =c b 2 4a a h 2 +k=c           k=c-a h 2             =c-a( b 2 a ) 2             =c b 2 4a

En la práctica, sin embargo, suele ser más fácil recordar que k es el valor de salida de la función cuando la entrada es h, h, por lo que f(h)=k. f(h)=k.

Formas de las funciones cuadráticas

La función cuadrática es una función de grado dos. El gráfico de la función cuadrática es una parábola. La forma general de la función cuadrática es f(x)=a x 2 +bx+c f(x)=a x 2 +bx+c donde a,b, a,b, y c c son números reales y a0. a0.

La forma estándar de la función cuadrática es f(x)=a (x-h) 2 +k. f(x)=a (x-h) 2 +k.

El vértice (h,k) (h,k) está localizado en

h= b 2 a ,k=f(h)=f( b 2 a ). h= b 2 a ,k=f(h)=f( b 2 a ).

Cómo

Dado el gráfico de una función cuadrática, escribir la ecuación de la función en forma general.

  1. Identifique el desplazamiento horizontal de la parábola; este valor es h. h. Identifique el desplazamiento vertical de la parábola; este valor es k. k.
  2. Sustituya los valores del desplazamiento horizontal y vertical por h h y k. k. en la función f(x)=a (xh) 2 +k. f(x)=a (xh) 2 +k.
  3. Sustituya los valores de cualquier punto, distinto del vértice, del gráfico de la parábola por x x y f(x). f(x).
  4. Resuelva el factor de estiramiento, | a |. | a |.
  5. Si la parábola se abre hacia arriba, a>0. a>0. Si la parábola se abre hacia abajo, a<0 a<0 ya que esto significa que el gráfico se reflejó alrededor del eje x x .
  6. Amplíe y simplifique para escribir en forma general.

Ejemplo 2

Escribir la ecuación de una función cuadrática a partir del gráfico

Escriba una ecuación para la función cuadrática g g en la Figura 7 como transformación de f(x)= x 2 , f(x)= x 2 , luego expanda la fórmula y simplifique los términos para escribir la ecuación en forma general.

Gráfico de una parábola con su vértice en (-2, -3).
Figura 7

Análisis

Podemos comprobar nuestro trabajo con la función de tabla en una herramienta gráfica. Primero ingrese Y1= 1 2 (x+2 ) 2 -3. Y1= 1 2 (x+2 ) 2 -3. Después, seleccione TBLSET, TBLSET, y luego utilice TblStart=6 TblStart=6 y ΔTbl = 2, ΔTbl = 2, y seleccione TABLE. TABLE. Vea la Tabla 1.

x x -6 -4 -2 0 2
y y 5 -1 -3 -1 5
Tabla 1

Los pares ordenados en la tabla corresponden a los puntos del gráfico.

Inténtelo #1

Se ha superpuesto una cuadrícula de coordenadas sobre la trayectoria cuadrática de un balón de baloncesto en la Figura 8. Halle una ecuación para la trayectoria del balón. ¿El lanzador encesta?

Secuencia de un niño lanzando un balón hacia la cesta para mostrar la curva parabólica que hace.
Figura 8 (créditos: modificación de la obra de Dan Meyer)

Cómo

Dada una función cuadrática en forma general, hallar el vértice de la parábola.

  1. Identifique a,b,yc. a,b,yc.
  2. Halle h, h, la coordenada de la x del vértice, al sustituir a a y b b en h= b 2 a . h= b 2 a .
  3. Halle k, k, la coordenada de la y del vértice, al evaluar k=f( h )=f( b 2 a ). k=f( h )=f( b 2 a ).

Ejemplo 3

Hallar el vértice de una función cuadrática

Halle el vértice de la función cuadrática f(x)=2 x 2 6x+7. f(x)=2 x 2 6x+7. Reescriba la cuadrática en forma estándar (forma de vértice).

Análisis

Una de las razones por las que tal vez queramos identificar el vértice de la parábola es que este punto nos informará de dónde se produce el valor máximo o mínimo de la salida, ( k ), ( k ), y dónde se produce, ( x ). ( x ).

Inténtelo #2

Dada la ecuación g(x)=13+ x 2 -6x, g(x)=13+ x 2 -6x, escriba la ecuación en forma general y luego en forma estándar.

Hallar el dominio y el rango de una función cuadrática

Cualquier número puede ser el valor de entrada de la función cuadrática. Por lo tanto, el dominio de cualquier función cuadrática son todos los números reales. Dado que las parábolas tienen un punto máximo o mínimo, el rango está restringido. Dado que el vértice de una parábola será un máximo o un mínimo, el rango consistirá en todos los valores de y mayores o iguales a la coordenada de la y en el punto de giro o menores o iguales a la coordenada de la y en el punto de giro, dependiendo de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.

Dominio y rango de la función cuadrática

El dominio de cualquier función cuadrática son todos los números reales.

El rango de una función cuadrática escrita en forma general f(x)=a x 2 +bx+c f(x)=a x 2 +bx+c con un valor positivo a a es f(x)f( b 2 a ), f(x)f( b 2 a ), o [ f( b 2 a ), ). [ f( b 2 a ), ).

El rango de una función cuadrática escrita en forma general con un valor negativo a a es f(x)f( b 2 a ), f(x)f( b 2 a ), o ( -,f( b 2 a ) ]. ( -,f( b 2 a ) ].

El rango de una función cuadrática escrita en forma estándar f(x)=a (x-h) 2 +k f(x)=a (x-h) 2 +k con un valor positivo a a es f(x)k; f(x)k; el rango de una función cuadrática escrita en forma estándar con un valor negativo a a es f(x)k. f(x)k.

Cómo

Dada una función cuadrática, hallar el dominio y el rango.

  1. Identifique el dominio de cualquier función cuadrática como todos los números reales.
  2. Determine si a a es positivo o negativo. Si los valores de a a es positivo, la parábola tiene un mínimo. Si los valores de a a es negativo, la parábola tiene un máximo.
  3. Determine el valor máximo o mínimo de la parábola, k. k.
  4. Si la parábola tiene un mínimo, el rango viene dado por f(x)k, f(x)k, o [ k, ). [ k, ). Si la parábola tiene un máximo, el rango viene dado por f(x)k, f(x)k, o ( -,k ]. ( -,k ].

Ejemplo 4

Hallar el dominio y el rango de una función cuadrática

Halle el dominio y el rango de f(x)=-5 x 2 +9x-1. f(x)=-5 x 2 +9x-1.

Inténtelo #3

Halle el dominio y el rango de f(x)=2 ( x- 4 7 ) 2 + 8 11 . f(x)=2 ( x- 4 7 ) 2 + 8 11 .

Determinar los valores máximos y mínimos de las funciones cuadráticas

La salida de la función cuadrática en el vértice es el valor máximo o mínimo de la función, dependiendo de la orientación de la parábola. Podemos ver los valores máximos y mínimos en la Figura 9.

Dos gráficos donde el primero muestra el valor máximo de f(x)=(x-2)^2+1 que ocurre en (2, 1), en tanto que el segundo indica el valor mínimo de g(x)=-(x+3)^2+4 que ocurre en (-3, 4).
Figura 9

Hay muchas situaciones en el mundo real que implican calcular el valor máximo o mínimo de una función cuadrática, como las aplicaciones que implican el área y los ingresos.

Ejemplo 5

Hallar el valor máximo de una función cuadrática

Una granjera de jardín quiere delimitar un espacio rectangular para un nuevo jardín dentro de su patio trasero cercado. Ha comprado 80 pies de cerca de alambre para delimitar tres lados, y utilizará una sección de cerca del patio trasero como el cuarto lado.

  1. Halle una fórmula para el área cercada si los lados de la cerca perpendicular a la existente tienen longitud L. L.
  2. ¿Qué dimensiones debería tener su jardín para maximizar la superficie cerrada?

Análisis

Este problema también podría resolverse al graficar la función cuadrática. Podemos ver dónde se produce el área máxima en un gráfico de la función cuadrática en la Figura 11.

Gráfico de la función parabólica A(L)=-2L^2+80L, cuyo eje x está marcado como Longitud (L) y el eje y como Área (A). El vértice está en (20, 800).
Figura 11

Cómo

Dada una aplicación que implique ingresos, utilizar una ecuación cuadrática para calcular el máximo.

  1. Escriba una ecuación cuadrática para los ingresos.
  2. Halle el vértice de la ecuación cuadrática.
  3. Determine el valor de y del vértice.

Ejemplo 6

Determinar el máximo de ingresos

El precio unitario de un artículo incide en su oferta y demanda. Es decir, si el precio unitario sube, la demanda del artículo suele disminuir. Por ejemplo, un periódico local tiene actualmente 84.000 suscriptores con una tarifa trimestral de 30 dólares. Los estudios de mercado sugieren que, si los propietarios suben el precio a 32 dólares, perderán 5.000 suscriptores. Suponiendo que las suscripciones estén relacionadas linealmente con el precio, ¿qué precio debería cobrar el periódico por una suscripción trimestral para maximizar sus ingresos?

Análisis

Esto también podría resolverse al graficar la cuadrática como en la Figura 12. Podemos ver los ingresos máximos en un gráfico de la función cuadrática.

Gráfico de la función parabólica cuyo eje x se denomina Precio (p) y el eje y se denomina Ingresos ($). El vértice está en (31.80, 258100).
Figura 12

Hallar las intersecciones en x y en y de la función cuadrática

Al igual que hicimos en los problemas de aplicación anteriores, también necesitamos hallar las intersecciones en las ecuaciones cuadráticas para graficar parábolas. Recordemos que hallamos la intersección en y y de una cuadrática al evaluar la función en una entrada de cero, y hallamos la intersección en x x en lugares donde la salida es cero. Observe en la Figura 13 que el número de intersecciones en x x puede variar en función de la ubicación del gráfico.

Tres gráficos donde el primero muestra una parábola sin intersección en x, el segundo es una parábola con una intersección en x, mientras que el tercero es una parábola con dos intersecciones en x.
Figura 13 Número de intersecciones en x de una parábola

Cómo

Dada una función cuadrática f( x ), f( x ), hallar las intersecciones en y y y en x.

  1. Evalúe f( 0 ) f( 0 ) para hallar la intersección en y y .
  2. Resuelva la ecuación cuadrática f( x )=0 f( x )=0 para hallar las intersecciones en x.

Ejemplo 7

Hallar las intersecciones tanto en y como en x de una parábola

Halle las intersecciones tanto en y como en x de la cuadrática f(x)=3 x 2 +5x2. f(x)=3 x 2 +5x2.

Análisis

Al graficar la función, podemos confirmar que el gráfico cruza el eje y en (0,–2). (0,–2). También podemos confirmar que el gráfico cruza el eje x en ( 1 3 ,0 ) ( 1 3 ,0 ) y (–2,0). (–2,0). Ver la Figura 14

Gráfico de una parábola con las siguientes intersecciones: (-2, 0), (1/3, 0) y (0, -2).
Figura 14

Reescribir cuadráticas en forma estándar

En el Ejemplo 7, la cuadrática se resolvió fácilmente mediante la factorización. Sin embargo, hay muchas cuadráticas que no se pueden factorizar. Podemos resolver estas cuadráticas al reescribirlas primero en forma estándar.

Cómo

Dada una función cuadrática, hallar la intersección en x x al reescribir en forma estándar.

  1. Sustituya a a y b b en h=- b 2 a . h=- b 2 a .
  2. Sustituya x=h x=h en la forma general de la función cuadrática para hallar k. k.
  3. Reescriba la cuadrática en forma estándar con h h y k. k.
  4. Resuelva cuándo la salida de la función será cero para hallar las intersecciones en x x .

Ejemplo 8

Hallar las intersecciones en x x de una parábola

Halle las intersecciones en x x de la función cuadrática f(x)=2 x 2 +4x4. f(x)=2 x 2 +4x4.

Análisis

Podemos comprobar nuestro trabajo al graficar la función dada en una herramienta gráfica y observar las intersecciones en x x . Vea la Figura 15.

Gráfico de una parábola con las siguientes intersecciones en x (-2,732, 0) y (0,732, 0).
Figura 15

Inténtelo #4

En otro Ejercicio, hallamos la forma estándar y general de la función g(x)=13+ x 2 -6x. g(x)=13+ x 2 -6x. Ahora halle las intersecciones, tanto en y como en x x (si las hay).

Ejemplo 9

Resolver una ecuación cuadrática con la fórmula cuadrática

Resuelva x 2 +x+2 =0. x 2 +x+2 =0.

Ejemplo 10

Aplicar el vértice y las intersecciones en x de una parábola

Una pelota es lanzada hacia arriba desde la parte alta de un edificio de 40 pies de altura a una velocidad de 80 pies por segundo. La altura de la pelota sobre el suelo puede modelarse con la ecuación H(t)=-16 t 2 +80t+40. H(t)=-16 t 2 +80t+40.

  1. ¿Cuándo alcanza la pelota la altura máxima?
  2. ¿Cuál es la altura máxima de la pelota?
  3. ¿Cuándo llega la pelota al suelo?

Inténtelo #5

Una roca es lanzada hacia arriba desde la cima de un acantilado de 112 pies de altura con vistas al océano, a una velocidad de 96 pies por segundo. La altura de la roca sobre el océano puede modelarse con la ecuación H(t)=-16 t 2 +96t+112. H(t)=-16 t 2 +96t+112.

  1. ¿Cuándo alcanza la roca la altura máxima?
  2. ¿Cuál es la altura máxima de la roca?
  3. ¿Cuándo llega la roca al océano?

Media

3.2 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Explique la ventaja de escribir una función cuadrática en forma estándar.

2.

¿Cómo se utiliza el vértice de una parábola para resolver problemas del mundo real?

3.

Explique por qué la condición de a0 a0 se impone en la definición de la función cuadrática.

4.

¿Cuál es otro nombre para la forma estándar de la función cuadrática?

5.

¿Qué dos métodos algebraicos se pueden utilizar para hallar las intersecciones horizontales de la función cuadrática?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, reescriba las funciones cuadráticas en forma estándar e indique el vértice.

6.

f( x )= x 2 -12x+32 f( x )= x 2 -12x+32

7.

g( x )= x 2 +2 x-3 g( x )= x 2 +2 x-3

8.

f(x)= x 2 -x f(x)= x 2 -x

9.

f(x)= x 2 +5x-2 f(x)= x 2 +5x-2

10.

h( x )=2 x 2 +8x-10 h( x )=2 x 2 +8x-10

11.

k( x )=3 x 2 -6x-9 k( x )=3 x 2 -6x-9

12.

f(x)=2 x 2 -6x f(x)=2 x 2 -6x

13.

f(x)=3 x 2 -5x1 f(x)=3 x 2 -5x1

En los siguientes ejercicios, determine si existe un valor mínimo o máximo para cada función cuadrática. Halle el valor y el eje de simetría.

14.

y( x )=2 x 2 +10x+12 y( x )=2 x 2 +10x+12

15.

f( x )=2 x 2 -10x+4 f( x )=2 x 2 -10x+4

16.

f(x)=- x 2 +4x+3 f(x)=- x 2 +4x+3

17.

f(x)=4 x 2 +x1 f(x)=4 x 2 +x1

18.

h( t )=4 t 2 +6t-1 h( t )=4 t 2 +6t-1

19.

f(x)= 1 2 x 2 +3x+1 f(x)= 1 2 x 2 +3x+1

20.

f(x)=- 1 3 x 2 -2 x+3 f(x)=- 1 3 x 2 -2 x+3

En los siguientes ejercicios, determine el dominio y el rango de la función cuadrática.

21.

f(x)= (x-3) 2 +2 f(x)= (x-3) 2 +2

22.

f(x)=-2 (x+3) 2 -6 f(x)=-2 (x+3) 2 -6

23.

f(x)= x 2 +6x+4 f(x)= x 2 +6x+4

24.

f(x)=2 x 2 -4x+2 f(x)=2 x 2 -4x+2

25.

k( x )=3 x 2 -6x-9 k( x )=3 x 2 -6x-9

En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones en los números complejos.

26.

x 2 =25 x 2 =25

27.

x 2 =-8 x 2 =-8

28.

x 2 +36=0 x 2 +36=0

29.

x 2 +27=0 x 2 +27=0

30.

x 2 +2 x+5=0 x 2 +2 x+5=0

31.

x 2 -4x+5=0 x 2 -4x+5=0

32.

x 2 +8x+25=0 x 2 +8x+25=0

33.

x 2 -4x+13=0 x 2 -4x+13=0

34.

x 2 +6x+25=0 x 2 +6x+25=0

35.

x 2 -10x+26=0 x 2 -10x+26=0

36.

x 2 -6x+10=0 x 2 -6x+10=0

37.

x(x-4)=20 x(x-4)=20

38.

x(x-2 )=10 x(x-2 )=10

39.

2 x 2 +2 x+5=0 2 x 2 +2 x+5=0

40.

5 x 2 -8x+5=0 5 x 2 -8x+5=0

41.

5 x 2 +6x+2 =0 5 x 2 +6x+2 =0

42.

2 x 2 -6x+5=0 2 x 2 -6x+5=0

43.

x 2 +x+2 =0 x 2 +x+2 =0

44.

x 2 -2 x+4=0 x 2 -2 x+4=0

En los siguientes ejercicios, utilice el vértice (h,k) (h,k) y un punto en el gráfico (x,y) (x,y) para hallar la forma general de la ecuación de la función cuadrática.

45.

(h,k)=(2 ,0),(x,y)=(4,4) (h,k)=(2 ,0),(x,y)=(4,4)

46.

(h,k)=(–2,–1),(x,y)=(-4,3) (h,k)=(–2,–1),(x,y)=(-4,3)

47.

(h,k)=(0,1),(x,y)=(2 ,5) (h,k)=(0,1),(x,y)=(2 ,5)

48.

(h,k)=(2 ,3),(x,y)=(5,12) (h,k)=(2 ,3),(x,y)=(5,12)

49.

(h,k)=(-5,3),(x,y)=(2 ,9) (h,k)=(-5,3),(x,y)=(2 ,9)

50.

(h,k)=(3,2 ),(x,y)=(10,1) (h,k)=(3,2 ),(x,y)=(10,1)

51.

(h,k)=(0,1),(x,y)=(1,0) (h,k)=(0,1),(x,y)=(1,0)

52.

(h,k)=(1,0),(x,y)=(0,1) (h,k)=(1,0),(x,y)=(0,1)

Gráficos

En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función cuadrática e indique el vértice, el eje de simetría y las intersecciones.

53.

f(x)= x 2 -2 x f(x)= x 2 -2 x

54.

f(x)= x 2 -6x1 f(x)= x 2 -6x1

55.

f(x)= x 2 -5x-6 f(x)= x 2 -5x-6

56.

f(x)= x 2 -7x+3 f(x)= x 2 -7x+3

57.

f(x)=-2 x 2 +5x-8 f(x)=-2 x 2 +5x-8

58.

f(x)=4 x 2 -12x-3 f(x)=4 x 2 -12x-3

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la función graficada.

59.
Gráfico de una parábola positiva con vértice en (2, -3) e intersección en y en (0, 1).
60.
Gráfico de una parábola positiva con vértice en (-1, 2) e intersección en y en (0, 3)
61.
Gráfico de una parábola negativa con vértice en (2, 7).
62.
Gráfico de una parábola negativa con vértice en (-1, 2).
63.
Gráfico de una parábola positiva con vértice en (3, -1) e intersección en y en (0, 3,5).
64.
Gráfico de una parábola negativa con vértice en (-2, 3).

Numéricos

En los siguientes ejercicios, utilice la tabla de valores que representan puntos en el gráfico de la función cuadrática. Al determinar el vértice y el eje de simetría, halle la forma general de la ecuación de la función cuadrática.

65.
x x -2 -1 0 1 2
y y 5 2 1 2 5
66.
x x -2 -1 0 1 2
y y 1 0 1 4 9
67.
x x -2 -1 0 1 2
y y -2 1 2 1 -2
68.
x x -2 -1 0 1 2
y y –8 -3 0 1 0
69.
x x -2 -1 0 1 2
y y 8 2 0 2 8

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para hallar la respuesta.

70.

Grafique en el mismo conjunto de ejes las funciones f(x)= x 2 ,f(x)=2 x 2 , y f(x)= 1 3 x 2 . f(x)= x 2 ,f(x)=2 x 2 , y f(x)= 1 3 x 2 .

¿Cuál parece ser el efecto de cambiar el coeficiente?

71.

Gráfico en el mismo conjunto de ejes f(x)= x 2 ,f(x)= x 2 +2 f(x)= x 2 ,f(x)= x 2 +2 y f(x)= x 2 ,f(x)= x 2 +5 f(x)= x 2 ,f(x)= x 2 +5 y f(x)= x 2 -3. f(x)= x 2 -3. ¿Cuál parece ser el efecto de sumar una constante?

72.

Gráfico en el mismo conjunto de ejes f(x)= x 2 f(x)= x 2 ,f(x)= (x-2 ) 2 f(x)= (x-2 ) 2 ,f (x-3) 2 f (x-3) 2 , y f(x)= (x+4) 2 .  y f(x)= (x+4) 2 .

¿Cuál parece ser el efecto de sumar o restar esos números?

73.

La trayectoria de un objeto proyectado en un ángulo de 45 grados, a una velocidad inicial de 80 pies por segundo, viene dada por la función h(x)= 32 (80) 2 x 2 +x h(x)= 32 (80) 2 x 2 +x donde x x es la distancia horizontal recorrida y h( x ) h( x ) es la altura en pies. Utilice la función TRACE de su calculadora para determinar la altura del objeto cuando se haya alejado 100 pies en horizontal.

74.

Un puente colgante puede modelarse con la función cuadrática h(x)=0,0001 x 2 h(x)=0,0001 x 2 con la 2.000x2.000 2.000x2.000 donde | x | | x | es el número de pies desde el centro y h( x ) h( x ) es la altura en pies. Utilice la función TRACE de su calculadora para estimar a qué distancia del centro tiene el puente una altura de 100 pies.

Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice el vértice del gráfico de la función cuadrática y la dirección en que se abre el gráfico para hallar el dominio y el rango de la función.

75.

Vértice (1,–2), (1,–2), se abre hacia arriba.

76.

Vértice ( –1,2 ) ( –1,2 ) se abre hacia abajo.

77.

Vértice (−5,11), (−5,11), se abre hacia abajo.

78.

Vértice (-100,100), (-100,100), se abre hacia arriba.

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la función cuadrática que contiene el punto dado y tiene la misma forma que la función dada.

79.

Contiene (1,1) (1,1) y tiene forma de f(x)=2 x 2 . f(x)=2 x 2 . El vértice está en el eje y y .

80.

Contiene (–1,4) (–1,4) y tiene la forma de f(x)=2 x 2 . f(x)=2 x 2 . El vértice está en el eje y y .

81.

Contiene (2 ,3) (2 ,3) y tiene la forma de f(x)=3 x 2 . f(x)=3 x 2 . El vértice está en el eje y y .

82.

Contiene (1,−3) (1,−3) y tiene la forma de f(x)=- x 2 . f(x)=- x 2 . El vértice está en el eje y y .

83.

Contiene (4,3) (4,3) y tiene la forma de f(x)=5 x 2 . f(x)=5 x 2 . El vértice está en el eje y y .

84.

Contiene (1,–6) (1,–6) tiene la forma de f(x)=3 x 2 . f(x)=3 x 2 . El vértice tiene una coordenada de la x de −1. −1.

Aplicaciones en el mundo real

85.

Calcule las dimensiones del corral rectangular que produce la mayor área cerrada dados 200 pies de valla.

86.

Calcule las dimensiones del corral rectangular dividido en 2 corrales del mismo tamaño que produzcan la mayor área cerrada posible dados los 300 pies de cercado.

87.

Calcule las dimensiones del corral rectangular que produce la mayor área cerrada dividida en 3 corrales del mismo tamaño dados 500 pies de cercado.

88.

Entre todos los pares de números cuya suma es 6, halle el par con el mayor producto. ¿Cuál es el producto?

89.

Entre todos los pares de números cuya diferencia es 12, halle el par con el menor producto. ¿Cuál es el producto?

90.

Supongamos que el precio por unidad en dólares de la producción de un teléfono móvil está modelado por p=$450,0125x, p=$450,0125x, donde x x está en miles de teléfonos producidos, y los ingresos en miles de dólares son R=xp. R=xp. Halle el nivel de producción que maximice los ingresos.

91.

Se lanza un cohete al aire. Su altura, en metros sobre el nivel del mar, en función del tiempo, en segundos, viene dada por h( t )=4,9 t 2 +229t+234. h( t )=4,9 t 2 +229t+234. Halle la altura máxima que alcanza el cohete.

92.

Se lanza una pelota al aire desde lo alto de un edificio. Su altura, en metros sobre el suelo, en función del tiempo, en segundos, viene dada por h( t )=4,9 t 2 +24t+8. h( t )=4,9 t 2 +24t+8. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la altura máxima?

93.

Un estadio de fútbol tiene capacidad para 62.000 espectadores. Con un precio de entrada de 11 dólares, el promedio de asistencia ha sido de 26.000 personas. Cuando el precio bajó a 9 dólares, el promedio de asistencia aumentó a 31.000 personas. Suponiendo que la asistencia está relacionada linealmente con el precio de la entrada, ¿qué precio de la entrada maximizaría los ingresos?

94.

Una agricultora descubre que si planta 75 árboles por acre, cada uno de ellos producirá 20 fanegas de fruta. Calcula que, por cada árbol adicional plantado por acre, el rendimiento de cada árbol disminuirá en 3 fanegas. ¿Cuántos árboles debería plantar por hectárea para maximizar su cosecha?

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