Jay Abramson

Inténtelo

4.1 Funciones exponenciales

1.

$g (x) = {0,875}^{x}$ y $j (x) = {1095,6}^{- 2 x}$ representan funciones exponenciales.

2.

$5,5556$

3.

Alrededor de $1,548$ millones de habitantes; en el año 2031, la población de la India superará a la de China en unos 0,001 mil millones, es decir, 1 millón de personas.

4.

$(0, 129)$ y $(2, 236); N (t) = 129 {(1 0,3526)}^{t}$

5.

$f (x) = 2 {(1,5)}^{x}$

6.

$f (x) = \sqrt{2} {(\sqrt{2})}^{x} .$ Las respuestas pueden variar debido al error de redondeo. La respuesta debería estar muy cerca de $1,4142 {(1,4142)}^{x} .$

7.

$y \approx 12 \cdot {1,85}^{x}$

8.

unos 3.644.675,88 dólares

9.

$13.693

10.

$e^{- 0,5} \approx 0,60653$

11.

$3.659.823,44

12.

3.77E-26 (Esta es la notación de la calculadora para el número escrito como $3,77 \times 10^{- 26}$ en notación científica. Aunque la salida de una función exponencial nunca es cero, este número está tan cerca de cero que, a los efectos prácticos, podemos aceptar el cero como respuesta).

4.2 Gráficos de funciones exponenciales

1.

El dominio es $(- \infty, \infty);$ el rango es $(0, \infty);$ la asíntota horizontal es $y = 0 .$

Gráfico de la función exponencial creciente f(x) = 4^x con puntos marcados en (-1, 0,25), (0, 1) y (1, 4).

2.

El dominio es $(- \infty, \infty);$ el rango es $(3, \infty);$ la asíntota horizontal es $y = 3.$

Gráfico de la función, f(x) = 2^(x-1)+3, con una asíntota en y=3. Los puntos marcados en el gráfico son (-1, 3,25), (0, 3,5) y (1, 4).

3.

$x \approx - 1,608$

4.

El dominio es $(- \infty, \infty);$ el rango es $(0, \infty);$ la asíntota horizontal es $y = 0 .$

Gráfico de la función, f(x) = (1/2)(4)^(x), con asíntota en y=0. Los puntos marcados en el gráfico son (-1, 0,125), (0, 0,5) y (1, 2).

5.

El dominio es $(- \infty, \infty);$ el rango es $(0, \infty);$ la asíntota horizontal es $y = 0 .$

Gráfico de la función, g(x) = -(1,25)^(-x), con asíntota en y=0. Los puntos marcados en el gráfico son (-1, 1,25), (0, 1) y (1, 0,8).

6.

$f (x) = - \frac{1}{3} e^{x} - 2;$ el dominio es $(- \infty, \infty);$ el rango es $(- \infty, –2);$ la asíntota horizontal es $y = –2.$

4.3 Funciones logarítmicas

1.

Ⓐ $\log_{10} (1, 000, 000) = 6$ equivale a $10^{6} = 1, 000, 000$
Ⓑ $\log_{5} (25) = 2$ equivale a $5^{2} = 25$

2.

Ⓐ $3^{2} = 9$ equivale a $\log_{3} (9) = 2$
Ⓑ $5^{3} = 125$ equivale a $\log_{5} (125) = 3$
Ⓒ $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ equivale a ${log}_{2} (\frac{1}{2}) = - 1$

3.

$\log_{121} (11) = \frac{1}{2}$ (recordando que $\sqrt{121} = {(121)}^{\frac{1}{2}} = 11$ ).

4.

$\log_{2} (\frac{1}{32}) = - 5$

5.

$\log (1, 000, 000) = 6$

6.

$\log (123) \approx 2,0899$

7.

La diferencia en la magnitud fue aproximadamente $3,929.$

8.

No es posible tomar el logaritmo de un número negativo en el conjunto de los números reales.

4.4 Gráficos de funciones logarítmicas

1.

$(2, \infty)$

2.

$(5, \infty)$

3.

Gráfico de f(x)=log_(1/5)(x) con puntos marcados en (1/5, 1) y (1, 0). El eje y es la asíntota.

El dominio es $(0, \infty),$ el rango es $(- \infty, \infty),$ y la asíntota vertical es $x = 0,$

4.

Gráfico de dos funciones. La función matriz es y=log_3(x), con asíntota en x=0 y puntos marcados en (1, 0), y (3, 1). La función de traslación f(x)=log_3(x+4) tiene asíntota en x=-4 y puntos marcados en (-3, 0) y (-1, 1).

El dominio es $(- 4, \infty),$ el rango $(- \infty, \infty),$ y la asíntota es $x = - 4.$

5.

Gráfico de dos funciones. La función matriz es y=log_2(x), con una asíntota en x=0 y puntos marcados en (1, 0), y (2, 1). La función de traslación f(x)=log_2(x)+2 tiene una asíntota en x=0 y puntos marcados en (0,25, 0) y (0,5, 1).

El dominio es $(0, \infty),$ el rango es $(- \infty, \infty),$ y la asíntota vertical es $x = 0 .$

6.

Gráfico de dos funciones. La función matriz es y=log_4(x), con asíntota en x=0 y puntos marcados en (1, 0), y (4, 1). La función de traslación f(x)=(1/2)log_4(x) tiene asíntota en x=0 y puntos marcados en (1, 0) y (16, 1).

El dominio es $(0, \infty),$ el rango es $(- \infty, \infty),$ y la asíntota vertical es $x = 0,$

7.

Gráfico de f(x)=3log(x-2)+1 con una asíntota en x=2.

El dominio es $(2, \infty),$ el rango es $(- \infty, \infty),$ y la asíntota vertical es $x = 2.$

8.

Gráfico de f(x)=-log(-x) con asíntota en x=0.

El dominio es $(- \infty, 0),$ el rango es $(- \infty, \infty),$ y la asíntota vertical es $x = 0,$

9.

$x \approx 3,049$

10.

$x = 1$

11.

$f (x) = 2 \ln (x + 3) - 1$

4.5 Propiedades logarítmicas

1.

$\log_{b} 2 + \log_{b} 2 + \log_{b} 2 + \log_{b} k = 3 \log_{b} 2 + \log_{b} k$

2.

$\log_{3} (x + 3) - \log_{3} (x - 1) - \log_{3} (x - 2)$

3.

$2 \ln x$

4.

$- 2 \ln (x)$

5.

$\log_{3} 16$

6.

$2 \log x + 3 \log y - 4 \log c$

7.

$\frac{2}{3} \ln x$

8.

$\frac{1}{2} \ln (x - 1) + \ln (2 x + 1) - \ln (x + 3) - \ln (x - 3)$

9.

$\log (\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 6});$ también se puede escribir $\log (\frac{5}{8})$ al reducir la fracción a los términos mínimos.

10.

$\log (\frac{5 {(x - 1)}^{3} \sqrt{x}}{(7 x - 1)})$

11.

$\log \frac{x^{12} {(x + 5)}^{4}}{{(2 x + 3)}^{4}};$ esta respuesta también podría escribirse $\log {(\frac{x^{3} (x + 5)}{(2 x + 3)})}^{4} .$

12.

El pH aumenta alrededor de 0,301.

13.

$\frac{\ln 8}{\ln 0,5}$

14.

$\frac{\ln 100}{\ln 5} \approx \frac{4,6051}{1,6094} = 2,861$

4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

1.

$x = - 2$

2.

$x = - 1$

3.

$x = \frac{1}{2}$

4.

La ecuación no tiene solución.

5.

$x = \frac{\ln 3}{\ln (\frac{2}{3})}$

6.

$t = 2 \ln (\frac{11}{3})$ o $\ln {(\frac{11}{3})}^{2}$

7.

$t = \ln (\frac{1}{\sqrt{2}}) = - \frac{1}{2} \ln (2)$

8.

$x = \ln 2$

9.

$x = e^{4}$

10.

$x = e^{5} - 1$

11.

$x \approx 9,97$

12.

$x = 1$ o $x = - 1$

13.

$t = 703, 800, 000 \times \frac{\ln (0,8)}{\ln (0,5)} años \approx 226, 572, 993 años .$

4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos

1.

$f (t) = A_{0} e^{- 0,0000000087 t}$

2.

menos de 230 años, 229,3157 para ser exactos

3.

$f (t) = A_{0} e^{\frac{\ln 2}{3} t}$

4.

6,026 horas

5.

895 casos en el día 15

6.

Exponencial $y = 2 e^{0,5 x} .$

7.

$y = 3 e^{(\ln 0,5) x}$

4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos

1.

Ⓐ El modelo de regresión exponencial que se ajusta a estos datos es $y = 522,88585984 {(1,19645256)}^{x} .$
Ⓑ Si el gasto continúa a este ritmo, la deuda de la tarjeta de crédito del graduado será de 4.499,38 dólares al cabo de un año.

2.

Ⓐ El modelo de regresión logarítmica que se ajusta a estos datos es $y = 141,91242949 + 10,45366573 \ln (x)$
Ⓑ Si las ventas continúan a este ritmo, se venderán unos 171.000 juegos en el año 2015.

3.

Ⓐ El modelo de regresión logística que se ajusta a estos datos es $y = \frac{25,65665979}{1 + 6,113686306 e^{- 0,3852149008 x}} .$
Ⓑ Si la población sigue creciendo a este ritmo, habrá unas $25.634$ focas en 2020.
Ⓒ Al número entero más cercano, la capacidad de carga es de 25.657.

4.1 Ejercicios de sección

1.

Las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante. Las funciones exponenciales aumentan con base en un porcentaje del original.

3.

Cuando se capitaliza el interés, el porcentaje de los intereses devengados sobre el capital acaba siendo mayor que la tasa anual equivalente de la cuenta de inversión. Así pues, la tasa anual equivalente no corresponde necesariamente al interés real devengado, que es la propia definición de nominal.

5.

exponencial; la población disminuye a una tasa proporcional.

7.

no es exponencial; la carga disminuye en una cantidad constante en cada visita, por lo que el enunciado representa una función lineal.

9.

El bosque representado por la función $B (t) = 82 {(1,029)}^{t} .$

11.

Después de $t = 20$ años, el bosque A tendrá $43$ más árboles que el bosque B.

13.

Las respuestas variarán. Respuesta de muestra: Durante algunos años, la población del bosque A superará cada vez más al bosque B. Sin embargo, dado que el bosque B crece en realidad a un ritmo más rápido, la población acabará siendo mayor que la del bosque A y se mantendrá así mientras se mantengan los modelos de crecimiento demográfico. Algunos factores que influirían en la validez a largo plazo del modelo de crecimiento exponencial son la sequía, una plaga que elimine la población y otros factores ambientales y biológicos.

15.

crecimiento exponencial; el factor de crecimiento, $1,06,$ es mayor que $1.$

17.

decaimiento exponencial; el factor de decaimiento, $0,97,$ está entre $0$ y $1.$

19.

$f (x) = 2000 {(0,1)}^{x}$

21.

$f (x) = {(\frac{1}{6})}^{- \frac{3}{5}} {(\frac{1}{6})}^{\frac{x}{5}} \approx 2,93 {(0,699)}^{x}$

23.

Lineal

25.

Ninguna de las dos

27.

Lineal

29.

$$ 10.250$

31.

$$ 13 . 268,58$

33.

$P = A (t) \cdot {(1 + \frac{r}{n})}^{- n e}$

35.

$$ 4.572,56$

37.

$4 %$

39.

crecimiento continuo; la tasa de crecimiento es mayor que $0 .$

41.

decaimiento continuo; la tasa de crecimiento es inferior a $0$

43.

$$ 669,42$

45.

$f (- 1) = - 4$

47.

$f (- 1) \approx - 0,2707$

49.

$f (3) \approx 483,8146$

51.

$y = 3 \cdot 5^{x}$

53.

$y \approx 18 \cdot {1,025}^{x}$

55.

$y \approx 0,2 \cdot {1,95}^{x}$

57.

$APY = \frac{A (t) - a}{a} = \frac{a {(1 + \frac{r}{365})}^{365 (1)} - a}{a} = \frac{a [{(1 + \frac{r}{365})}^{365} - 1]}{a} = {(1 + \frac{r}{365})}^{365} - 1;$ $I (n) = {(1 + \frac{r}{n})}^{n} - 1$

59.

Supongamos que $f$ es la función de decaimiento exponencial $f (x) = a \cdot {(\frac{1}{b})}^{x}$ de manera que $b > 1.$ Entonces para algún número $n > 0,$ $f (x) = a \cdot {(\frac{1}{b})}^{x} = a {(b^{- 1})}^{x} = a {({(e^{n})}^{- 1})}^{x} = a {(e^{- n})}^{x} = a {(e)}^{- n x} .$

61.

$47.622$ zorros.

63.

$1,39 %;$ $$ 155 . 368,09$

65.

$$ 35 . 838,76$

67.

$$ 82 . 247,78;$ $$ 449,75$

4.2 Ejercicios de sección

1.

La asíntota es una línea a la que se aproxima el gráfico de una función, como $x$ aumenta o disminuye sin límites. La asíntota horizontal de una función exponencial nos indica el límite de los valores de la función cuando la variable independiente pasa a ser extremadamente grande o extremadamente pequeña.

3.

$g (x) = 4 {(3)}^{- x};$ intersección en y: $(0, 4);$ Dominio: todos los números reales; Rango: todos los números reales mayores que $0 .$

5.

$g (x) = - 10^{x} + 7;$ intersección en y: $(0, 6);$ Dominio: todos los números reales; rango: todos los números reales menores que $7.$

7.

$g (x) = 2 {(\frac{1}{4})}^{x};$ intersección en y: $(0, 2);$ Dominio: todos los números reales; Rango: todos los números reales mayores que $0 .$

9.

Gráfico de dos funciones, g(-x)=-2(0,25)^(-x) en azul y g(x)=-2(0,25)^x en naranja.

intersección en y: $(0, - 2)$

11.

Gráfico de tres funciones, g(x)=3(2)^(x) en azul, h(x)=3(4)^(x) en verde, y f(x)=3(1/4)^(x) en naranja.

13.

B

15.

A

17.

E

19.

D

21.

C

23.

Gráfico de dos funciones, f(x)=(1/2)(4)^(x) en azul y -f(x)=(-1/2)(4)^x en naranja.

25.

Gráfico de dos funciones, -f(x)=(4)(2)^(x)-2 en azul y f(x)=(-4)(2)^x+1 en naranja.

27.

Asíntota horizontal: $h (x) = 3;$ Dominio: todos los números reales; rango: todos los números reales estrictamente mayores que $3.$

29.

Dado que $x \to \infty$ , $f (x) \to - \infty$ ;
Dado que $x \to - \infty$ , $f (x) \to - 1$

31.

Dado que $x \to \infty$ , $f (x) \to 2$ ;
Dado que $x \to - \infty$ , $f (x) \to \infty$

33.

$f (x) = 4^{x} - 3$

35.

$f (x) = 4^{x - 5}$

37.

$f (x) = 4^{- x}$

39.

$y = - 2^{x} + 3$

41.

$y = - 2 {(3)}^{x} + 7$

43.

$g (6) = 800 + \frac{1}{3} \approx 800,3333$

45.

$h (- 7) = - 58$

47.

$x \approx - 2,953$

49.

$x \approx - 0,222$

51.

el gráfico de $G (x) = {(\frac{1}{b})}^{x}$ es la reflexión alrededor del eje y en el gráfico de $F (x) = b^{x} .$ Para cualquier número real $b > 0$ y la función $f (x) = b^{x},$ el gráfico de ${(\frac{1}{b})}^{x}$ es la reflexión alrededor del eje y, $F (- x) .$

53.

Los gráficos de $g (x)$ y $h (x)$ son los mismos y son un desplazamiento horizontal a la derecha del gráfico de $f (x);$ Para cualquier número real n, número real $b > 0,$ y la función $f (x) = b^{x},$ el gráfico de $(\frac{1}{b^{n}}) b^{x}$ es el desplazamiento horizontal $f (x - n) .$

4.3 Ejercicios de sección

1.

El logaritmo es un exponente. Específicamente, es el exponente al que se eleva una base $b$ para producir un valor determinado. En las expresiones dadas, la base $b$ tiene el mismo valor. El exponente, $y,$ en la expresión $b^{y}$ también puede escribirse como el logaritmo, $\log_{b} x,$ y el valor de $x$ es el resultado de elevar $b$ a la potencia de $y .$

3.

Dado que la ecuación de un logaritmo es equivalente a una ecuación exponencial, el logaritmo se puede convertir en la ecuación exponencial $b^{y} = x,$ y luego se pueden aplicar las propiedades de los exponentes para resolver $x .$

5.

El logaritmo natural es un caso especial del logaritmo con base $b$ en que el logaritmo natural siempre tiene base $e .$ En lugar de anotar el logaritmo natural como $\log_{e} (x),$ la notación que se utiliza es $\ln (x) .$

7.

$a^{c} = b$

9.

$x^{y} = 64$

11.

$15^{b} = a$

13.

$13^{a} = 142$

15.

$e^{n} = w$

17.

${log}_{c} (k) = d$

19.

$\log_{19} y = x$

21.

$\log_{n} (103) = 4$

23.

$\log_{y} (\frac{39}{100}) = x$

25.

$ln (h) = k$

27.

$x = 2^{- 3} = \frac{1}{8}$

29.

$x = 3^{3} = 27$

31.

$x = 9^{\frac{1}{2}} = 3$

33.

$x = 6^{- 3} = \frac{1}{216}$

35.

$x = e^{2}$

37.

$32$

39.

$1,06$

41.

$14,125$

43.

$\frac{1}{2}$

45.

$4$

47.

$- 3$

49.

$- 12$

51.

$0$

53.

$10$

55.

$2.708$

57.

$0,151$

59.

No, la función no tiene ningún valor definido para $x = 0 .$ Para comprobarlo, supongamos que $x = 0$ está en el dominio de la función $f (x) = \log (x) .$ Entonces hay algún número $n$ de manera que $n = \log (0) .$ Reescribiendo como ecuación exponencial da $10^{n} = 0,$ lo cual es imposible, ya que no existe tal número real $n$ . Por lo tanto, $x = 0$ no es el dominio de la función $f (x) = \log (x) .$

61.

Sí. Supongamos que exista un número real $x$ de manera que $\ln x = 2.$ Reescribiendo como ecuación exponencial se obtiene $x = e^{2},$ que es un número real. Para comprobarlo, supongamos que $x = e^{2} .$ Entonces, por definición, $\ln (x) = \ln (e^{2}) = 2.$

63.

No; $\ln (1) = 0,$ por lo que $\frac{\ln (e^{1,725})}{\ln (1)}$ es indefinida.

65.

$2$

4.4 Ejercicios de sección

1.

Dado que las funciones son inversas, sus gráficos son imágenes especulares en torno a la recta $y = x .$ Así que, para todo punto $(a, b)$ en el gráfico de una función logarítmica, hay un punto correspondiente $(b, a)$ en el gráfico de su función exponencial inversa.

3.

Desplazar la función a la derecha o a la izquierda y reflejar la función sobre el eje y afectará su dominio.

5.

No. Una asíntota horizontal sugeriría un límite en el rango, y el rango de cualquier función logarítmica en forma general son todos los números reales.

7.

Dominio: $(- \infty, \frac{1}{2});$ Rango: $(- \infty, \infty)$

9.

Dominio: $(- \frac{17}{4}, \infty);$ Rango: $(- \infty, \infty)$

11.

Dominio: $(5, \infty);$ Asíntota vertical $x = 5$

13.

Dominio: $(- \frac{1}{3}, \infty);$ Asíntota vertical $x = - \frac{1}{3}$

15.

Dominio: $(- 3, \infty);$ Asíntota vertical $x = - 3$

17.

Dominio: $(\frac{3}{7}, \infty)$ ;
Asíntota vertical $x = \frac{3}{7}$ ; Comportamiento final: como $x \to {(\frac{3}{7})}^{+}, f (x) \to - \infty$ y dado que $x \to \infty, f (x) \to \infty$

19.

Dominio: $(- 3, \infty)$ ; Asíntota vertical $x = - 3$ ;
Comportamiento final: como $x \to - 3^{+}$ , $f (x) \to - \infty$ y dado que $x \to \infty$ , $f (x) \to \infty$

21.

Dominio: $(1, \infty);$ Rango: $(- \infty, \infty);$ Asíntota vertical $x = 1;$ intersección en x: $(\frac{5}{4}, 0);$ intersección en y: DNE

23.

Dominio: $(- \infty, 0);$ Rango: $(- \infty, \infty);$ Asíntota vertical $x = 0;$ intersección en x: $(- e^{2}, 0);$ intersección en y: DNE

25.

Dominio: $(0, \infty);$ Rango: $(- \infty, \infty);$ Asíntota vertical $x = 0;$ intersección en x: $(e^{3}, 0);$ intersección en y: DNE

27.

B

29.

C

31.

B

33.

C

35.

Gráfico de dos funciones, g(x) = log_(1/2)(x) en naranja y f(x)=log(x) en azul.

37.

Gráfico de dos funciones, g(x) = ln(1/2)(x) en naranja y f(x)=e^(x) en azul.

39.

C

41.

43.

45.

47.

$f (x) = \log_{2} (- (x - 1))$

49.

$f (x) = 3 \log_{4} (x + 2)$

51.

$x = 2$

53.

$x \approx 2 0,303$

55.

$x \approx - 0,472$

57.

Los gráficos de $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x)$ y $g (x) = - \log_{2} (x)$ parecen ser los mismos; conjetura: para cualquier base positiva $b \neq 1,$ $\log_{b} (x) = - \log_{\frac{1}{b}} (x) .$

59.

Recordemos que el argumento de una función logarítmica debe ser positivo, por lo que determinamos donde $\frac{x + 2}{x - 4} > 0$ . A partir del gráfico de la función $f (x) = \frac{x + 2}{x - 4},$ observe que el gráfico se encuentra por encima del eje x en el intervalo $(- \infty, - 2)$ y de nuevo a la derecha de la asíntota vertical, es decir $(4, \infty) .$ Por lo tanto, el dominio es $(- \infty, - 2) \cup (4, \infty) .$

4.5 Ejercicios de sección

1.

Cualquier expresión de la raíz puede reescribirse como una expresión con un exponente racional para poder aplicar la regla de la potencia, lo que facilita el cálculo del logaritmo. Así, $\log_{b} (x^{\frac{1}{n}}) = \frac{1}{n} \log_{b} (x) .$

3.

$\log_{b} (2) + \log_{b} (7) + \log_{b} (x) + \log_{b} (y)$

5.

$\log_{b} (13) - \log_{b} (17)$

7.

$- k dentro (4)$

9.

$\ln (7 x y)$

11.

$\log_{b} (4)$

13.

${log}_{b} (7)$

15.

$15 \log (x) + 13 \log (y) - 19 \log (z)$

17.

$\frac{3}{2} \log (x) - 2 \log (y)$

19.

$\frac{8}{3} \log (x) + \frac{14}{3} \log (y)$

21.

$\ln (2 x^{7})$

23.

$\log (\frac{x c^{3}}{\sqrt{y}})$

25.

$\log_{7} (15) = \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

27.

$\log_{11} (5) = \frac{\log_{5} (5)}{\log_{5} (11)} = \frac{1}{b}$

29.

$\log_{11} (\frac{6}{11}) = \frac{\log_{5} (\frac{6}{11})}{\log_{5} (11)} = \frac{\log_{5} (6) - \log_{5} (11)}{\log_{5} (11)} = \frac{a - b}{b} = \frac{a}{b} - 1$

31.

$3$

33.

$2,81359$

35.

$0,93913$

37.

$- 2,23266$

39.

$x = 4;$ Por la regla del cociente: $\log_{6} (x + 2) - \log_{6} (x - 3) = \log_{6} (\frac{x + 2}{x - 3}) = 1.$

Reescribiendo como una ecuación exponencial y resolviendo para $x :$

$\begin{array}{l} 6^{1} & = \frac{x + 2}{x - 3} \\ 0 & = \frac{x + 2}{x - 3} - 6 \\ 0 & = \frac{x + 2}{x - 3} - \frac{6 (x - 3)}{(x - 3)} \\ 0 & = \frac{x + 2 - 6 x + 18}{x - 3} \\ 0 & = \frac{x - 4}{x - 3} \\ x & = 4 \end{array}$

Al comprobar, hallamos que $\log_{6} (4 + 2) - \log_{6} (4 - 3) = \log_{6} (6) - \log_{6} (1)$ está definido, por lo que $x = 4.$

41.

Supongamos que $b$ y $n$ son enteros positivos mayores que $1.$ Entonces, por la fórmula de cambio de base, $\log_{b} (n) = \frac{\log_{n} (n)}{\log_{n} (b)} = \frac{1}{\log_{n} (b)} .$

4.6 Ejercicios de sección

1.

Determine primero si la ecuación puede reescribirse de forma que cada lado utilice la misma base. Si es así, los exponentes pueden igualarse. Si la ecuación no puede reescribirse de manera que cada lado utilice la misma base, entonces aplique el logaritmo a cada lado y utilice las propiedades de los logaritmos para resolver.

3.

La propiedad biunívoca se utiliza si ambos lados de la ecuación pueden reescribirse como un único logaritmo con la misma base. Si es así, los argumentos se pueden igualar y la ecuación resultante se puede resolver algebraicamente. La propiedad biunívoca no puede utilizarse cuando cada lado de la ecuación no puede reescribirse como un único logaritmo con la misma base.

5.

$x = - \frac{1}{3}$

7.

$n = - 1$

9.

$b = \frac{6}{5}$

11.

$x = 10$

13.

No hay solución

15.

$p = \log (\frac{17}{8}) - 7$

17.

$k = - \frac{\ln (38)}{3}$

19.

$x = \frac{\ln (\frac{38}{3}) - 8}{9}$

21.

$x = \ln 12$

23.

$x = \frac{\ln (\frac{3}{5}) - 3}{8}$

25.

no hay solución

27.

$x = \ln (3)$

29.

$10^{- 2} = \frac{1}{100}$

31.

$n = 49$

33.

$k = \frac{1}{36}$

35.

$x = \frac{9 - e}{8}$

37.

$n = 1$

39.

No hay solución

41.

No hay solución

43.

$x = \pm \frac{10}{3}$

45.

$x = 10$

47.

$x = 0$

49.

$x = \frac{3}{4}$

51.

$x = 9$

53.

$x = \frac{e^{2}}{3} \approx 2,5$

55.

$x = - 5$

57.

$x = \frac{e + 10}{4} \approx 3,2$

59.

No hay solución

Gráfico de log_11(-2x^2-7x)=y, y de y=log_11(x-2).

61.

$x = \frac{11}{5} \approx 2,2$

Gráfico de log_9(3-x)=y, y de y=log_9(4x-8).

63.

$x = \frac{101}{11} \approx 9,2$

Gráfico de 3/log_2(10)-log(x-9)=y, y de y=log(44).

65.

aproximadamente $$ 27 . 710,24$

Gráfico de f(x)=6500e^(0,0725x) con el punto marcado en (20, 27710,24).

67.

unos 5 años

Gráfico de P(t)=1650e^(0,5x) con el punto marcado en (5, 20000).

69.

$\frac{\ln (17)}{5} \approx 0,567$

71.

$x = \frac{\log (38) + 5 \log (3)}{4 \log (3)} \approx 2,078$

73.

$x \approx 2,2401$

75.

$x \approx - 44655, 7143$

77.

aproximadamente $5,83$

79.

$t = \ln ({(\frac{y}{A})}^{\frac{1}{k}})$

81.

$t = \ln ({(\frac{T - T_{s}}{T_{0} - T_{s}})}^{- \frac{1}{k}})$

4.7 Ejercicios de sección

1.

La semivida es una medida del decaimiento y, por lo tanto, se asocia a los modelos de decaimiento exponencial. La semivida de una sustancia o cantidad es el tiempo que tarda en decaer la mitad de dicha substancia o cantidad inicial.

3.

El tiempo de duplicación es una medida de crecimiento y, por lo tanto, se asocia a los modelos de crecimiento exponencial. El tiempo de duplicación de una sustancia o cantidad es el tiempo que tarda dicha sustancia o cantidad inicial en duplicarse.

5.

Un orden de magnitud es la potencia de diez más cercana en la que crece exponencialmente una cantidad. También es una posición aproximada en una escala logarítmica; respuesta de muestra: Los órdenes de magnitud son útiles cuando se hacen comparaciones entre números que difieren en gran medida. Por ejemplo, la masa de Saturno es 95 veces mayor que la de la Tierra. Esto es lo mismo que decir que la masa de Saturno es de aproximadamente $10^{2}$ veces, es decir, 2 órdenes de magnitud mayor que la masa de la Tierra.

7.

$f (0) \approx 16,7 .$ La cantidad presente inicialmente es de unas 16,7 unidades.

9.

150

11.

exponencial; $f (x) = {1,2}^{x}$

13.

logarítmico

15.

logarítmico

17.

19.

alrededor de $1,4$ años

21.

alrededor de $7,3$ años

23.

$4$ semividas; $8,18$ minutos

25.

$\begin{array}{l} M = \frac{2}{3} \log (\frac{S}{S_{0}}) \\ \log (\frac{S}{S_{0}}) = \frac{3}{2} M \\ \frac{S}{S_{0}} = 10^{\frac{3 M}{2}} \\ S = S_{0} 10^{\frac{3 M}{2}} \end{array}$

27.

Supongamos que $y = b^{x}$ para algún número real no negativo $b$ de manera que $b \neq 1.$ Entonces,

$\begin{array}{l} \ln (y) = \ln (b^{x}) \\ \ln (y) = x \ln (b) \\ e^{\ln (y)} = e^{x \ln (b)} \\ y = e^{x \ln (b)} \end{array}$

29.

$A = 125 e^{(- 0,3567 t)}; A \approx 43$ mg

31.

aproximadamente $60$ días

33.

$A (t) = 250 e^{(- 0,00822 t)};$ semivida: aproximadamente $84$ minutos

35.

$r \approx - 0,0667,$ Por lo tanto, la tasa de decaimiento por hora es de aproximadamente $6,67 %$

37.

$f (t) = 1.350 e^{(0,03466 t)};$ después de 3 horas $P (180) \approx 691, 200$

39.

$f (t) = 256 e^{(0,068110 t)};$ tiempo de duplicación: aproximadamente $10$ minutos

41.

aproximadamente $88$ minutos

43.

$T (t) = 90 e^{(- 0,008377 t)} + 75,$ donde $t$ está en minutos.

45.

aproximadamente $113$ minutos

47.

$\log (x) = 1,5; x \approx 31,623$

49.

Magnitud de MMS $5,82$

51.

$N (3) \approx 71$

53.

C

4.8 Ejercicios de sección

1.

Los modelos logísticos se utilizan mejor en aquellas situaciones que tienen valores limitados. Por ejemplo, una población no crece indefinidamente, ya que los recursos como los alimentos, el agua y el espacio son limitados, por lo que un modelo logístico es el que mejor la describe.

3.

El análisis de regresión es el proceso de hallar una ecuación que se ajuste lo mejor posible a un conjunto dado de puntos de datos. Para realizar un análisis de regresión en una herramienta gráfica, primero hay que listar los puntos dados en el menú STAT y luego EDIT. A continuación, grafique el diagrama de dispersión con la función STAT PLOT. La forma de los puntos de datos en el diagrama de dispersión sirve para determinar qué característica de regresión se debe utilizar. Una vez determinado esto, seleccione el comando de análisis de regresión apropiado en el menú STAT y luego CALC.

5.

La intersección en y del gráfico de una ecuación logística corresponde a la población inicial del modelo demográfico.

7.

C

9.

B

11.

$P (0) = 22$ ; 175

13.

$p \approx 2,67$

15.

intersección en y: $(0, 15)$

17.

$4$ koi

19.

aproximadamente $6,8$ meses.

21.

23.

Unos 38 lobos

25.

Unos 8,7 años

27.

$f (x) = 776,682 {(1,426)}^{x}$

29.

31.

33.

$f (x) = {731,92 e}^{-0,3038 x}$

35.

Cuando $f (x) = 250, x \approx 3,6$

37.

$y = 5,063 + 1,934 log (x)$

39.

41.

43.

Cuando $f (10) \approx 2,3$

45.

Cuando $f (x) = 8, x \approx 0,82$

47.

$f (x) = \frac{25,081}{1 + 3,182 e^{- 0,545 x}}$

49.

Alrededor de 25

51.

53.

55.

Cuando $f (x) = 68, x \approx 4,9$

57.

$f (x) = 1,034341 {(1,281204)}^{x}$ $g (x) = 4,035510$ ; las curvas de regresión son simétricas respecto a $y = x$ , por lo que parece que son funciones inversas.

59.

$f^{- 1} (x) = \frac{ln (a) ln (\frac{c}{x} 1)}{b}$

Ejercicios de repaso

1.

decaimiento exponencial; el factor de crecimiento, $0,825,$ está entre $0$ y $1.$

3.

$y = 0,25 {(3)}^{x}$

5.

$$ 42 . 888,18$

7.

decaimiento continuo; la tasa de crecimiento es negativa.

9.

dominio: todos los números reales; rango: todos los números reales estrictamente mayores que cero; intersección en y: (0; 3,5);

11.

$g (x) = 7 {(6,5)}^{- x};$ intersección en y: $(0, 7);$ Dominio: todos los números reales. Rango: todos los números reales mayores que $0 .$

13.

$17^{x} = 4.913$

15.

$\log_{a} b = - \frac{2}{5}$

17.

$x = 64^{\frac{1}{3}} = 4$

19.

$\log (0 0,000001) = - 6$

21.

$\ln (e^{- 0,8648}) = - 0,8648$

23.

25.

Dominio: $x > - 5;$ Asíntota vertical $x = - 5;$ Comportamiento final: dado que $x \to - 5^{+}, f (x) \to - \infty$ y dado que $x \to \infty, f (x) \to \infty .$

27.

${log}_{8} (65 x y)$

29.

$\ln (\frac{z}{x y})$

31.

${log}_{y} (12)$

33.

$\ln (2) + \ln (b) + \frac{\ln (b + 1) - \ln (b - 1)}{2}$

35.

$\log_{7} (\frac{v^{3} w^{6}}{\sqrt[3]{u}})$

37.

$x = \frac{\frac{\log (125)}{\log (5)} + 17}{12} = \frac{5}{3}$

39.

$x = - 3$

41.

no hay solución

43.

no hay solución

45.

$x = \ln (11)$

47.

$a = e^{4} - 3$

49.

$x = \pm \frac{9}{5}$

51.

alrededor de $5,45$ años

53.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2^{4 x} - 1}$

55.

$f (t) = 300 {(0,83)}^{t};$
$f (24) \approx 3,43 g$

57.

aproximadamente $45$ minutos

59.

aproximadamente $8,5$ días

61.

exponencial

63.

$y = 4 {(0,2)}^{x};$ $y = 4 e^{-1,609438 x}$

65.

aproximadamente $7,2$ días

67.

logarítmico; $y = 16,68718 - 9,71860 \ln (x)$

Examen de práctica

1.

Unos 13 delfines.

3.

$$ 1.947$

5.

intersección en y: $(0, 5)$

Gráfico de f(-x)=5(0,5)^-x en azul y f(x)=5(0,5)^x en naranja.

7.

${8,5}^{a} = 614,125$

9.

$x = {(\frac{1}{7})}^{2} = \frac{1}{49}$

11.

$\ln (0,716) \approx - 0,334$

13.

Dominio: $x < 3;$ Asíntota vertical $x = 3;$ Comportamiento final: $x \to 3^{-}, f (x) \to - \infty$ y $x \to - \infty, f (x) \to \infty$

15.

$\log_{t} (12)$

17.

$3 \ln (y) + 2 \ln (z) + \frac{\ln (x - 4)}{3}$

19.

$x = \frac{\frac{\ln (1.000)}{\ln (16)} + 5}{3} \approx 2,497$

21.

$a = \frac{\ln (4) + 8}{10}$

23.

no hay solución

25.

$x = \ln (9)$

27.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

29.

$f (t) = 112 e^{- 0,019792 t};$ semivida: aproximadamente $35$ días

31.

$T (t) = 36 e^{- 0,025131 t} + 35; T (60) \approx 43^{i} F$

33.

logarítmico

35.

exponencial; $y = 15,10062 {(1,24621)}^{x}$

37.

logística; $y = \frac{18,41659}{1 + 7,54644 e^{- 0,68375 x}}$

Capítulo 4

Inténtelo

4.1 Funciones exponenciales

4.2 Gráficos de funciones exponenciales

4.3 Funciones logarítmicas

4.4 Gráficos de funciones logarítmicas

4.5 Propiedades logarítmicas

4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos

4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos

4.1 Ejercicios de sección

4.2 Ejercicios de sección

4.3 Ejercicios de sección

4.4 Ejercicios de sección

4.5 Ejercicios de sección

4.6 Ejercicios de sección

4.7 Ejercicios de sección

4.8 Ejercicios de sección

Ejercicios de repaso

Examen de práctica