Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Evaluar funciones exponenciales.
Hallar la ecuación de una función exponencial.
Utilizar las fórmulas de interés compuesto.
Evaluar funciones exponenciales con base $e$ .

La India es el segundo país más poblado del mundo, con unos $1,39$ mil millones de habitantes en 2021. La población crece a un ritmo de aproximadamente $1,2 %$ cada año². Si este ritmo continúa, la población de la India superará a la de China en el año $2027$ Cuando las poblaciones crecen rápidamente, a menudo decimos que el crecimiento es "exponencial", lo que significa que algo asciende muy rápidamente. Sin embargo, para un matemático, el término crecimiento exponencial tiene un significado muy específico. En esta sección, echaremos un vistazo a las funciones exponenciales, que modelan este tipo de crecimiento rápido.

Identificación de funciones exponenciales

Al explorar el crecimiento lineal, observamos una tasa de cambio constante: una cifra constante en la que la producción aumenta por cada incremento de unidad en la entrada. Por ejemplo, en la ecuación $f (x) = 3 x + 4,$ la pendiente nos indica que la salida aumenta en 3 cada vez que la entrada aumenta en 1. El escenario del ejemplo de la población de la India es diferente porque tenemos un cambio porcentual por unidad de tiempo (en lugar de un cambio constante) en el número de personas.

Definir una función exponencial

Un estudio reveló que el porcentaje de la población que es vegana en Estados Unidos se duplicó de 2009 a 2011. En 2011, el 2,5 % de la población era vegana, tras adherirse a una dieta que no incluye ningún producto de origen animal: sin carne, aves, pescado, lácteos ni huevos. Si este ritmo continúa, los veganos representarán el 10 % de la población estadounidense en 2015, el 40 % en 2019 y el 80 % en 2021.

¿Qué significa exactamente crecer exponencialmente? ¿Qué tiene en común la palabra doble con el porcentaje de aumento? La gente usa estas palabras erróneamente. ¿Se utilizan correctamente estas palabras? Ciertamente, las palabras aparecen con frecuencia en los medios de comunicación.

El cambio porcentual se refiere a un cambio basado en un porcentaje de la cantidad original.
El crecimiento exponencial se refiere a un aumento basado en una tasa de cambio multiplicativa constante a lo largo de incrementos iguales de tiempo, es decir, un aumento porcentual de la cantidad original con el paso del tiempo.
El decaimiento exponencial se refiere a una disminución basada en una tasa de cambio multiplicativa constante a lo largo de incrementos iguales de tiempo, es decir, una disminución porcentual de la cantidad original con el paso del tiempo.

Para entender claramente el crecimiento exponencial, contrastémoslo con el crecimiento lineal. Construiremos dos funciones. La primera función es exponencial. Empezaremos con una entrada de 0 y aumentaremos cada entrada en 1. Duplicaremos las correspondientes salidas consecutivas. La segunda función es lineal. Empezaremos con una entrada de 0 y aumentaremos cada entrada en 1. Sumaremos 2 a las salidas consecutivas correspondientes. Vea la Tabla 1.

$x$	$f (x) = 2^{x}$	$g (x) = 2 x$
0	1	0
1	2	2
2	4	4
3	8	6
4	16	8
5	32	10
6	64	12

Tabla 1

A partir de la Tabla 1, podemos deducir que, en lo que respecta a estas dos funciones, el crecimiento exponencial empequeñece al crecimiento lineal.

El crecimiento exponencial se refiere a que el valor original a partir del rango aumenta en el mismo porcentaje en incrementos iguales, hallados en el dominio.
El crecimiento lineal se refiere a que el valor original a partir del rango se incrementa en la misma cantidad en incrementos iguales, hallados en el dominio.

Aparentemente, la diferencia entre "el mismo porcentaje" y "la misma cantidad" es bastante significativa. En el caso del crecimiento exponencial, en incrementos iguales, la tasa de cambio multiplicativa constante daba como resultado la duplicación de la producción cada vez que la entrada aumentaba en uno. En el caso del crecimiento lineal, la tasa de cambio sumatoria constante sobre incrementos iguales daba como resultado la suma de 2 a la salida cada vez que la entrada se incrementaba en uno.

La forma general de la función exponencial es $f (x) = a b^{x},$ donde $a$ es cualquier número distinto a cero, $b$ es un número real positivo, que no sea igual a 1.

Si los valores de $b > 1,$ la función crece a un ritmo proporcional a su tamaño.
Si los valores de $0 < b < 1,$ la función decae a un ritmo proporcional a su tamaño.

Veamos la función $f (x) = 2^{x}$ de nuestro ejemplo. Crearemos una tabla (Tabla 2) para determinar las salidas correspondientes durante un intervalo en el dominio de $- 3$ con $3.$

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x) = 2^{x}$	$2^{- 3} = \frac{1}{8}$	$2^{- 2} = \frac{1}{4}$	$2^{- 1} = \frac{1}{2}$	$2^{0} = 1$	$2^{1} = 2$	$2^{2} = 4$	$2^{3} = 8$

Tabla 2

Examinemos el gráfico de $f$ al trazar los pares ordenados que observamos en la tabla en la Figura 1, y luego hagamos algunas observaciones.

Gráfico de las funciones de las empresas A y B, cuyos valores se encuentran en la tabla anterior.

Figura 1

Definamos el comportamiento del gráfico de la función exponencial $f (x) = 2^{x}$ y destaquemos algunas de sus características principales.

el dominio es $(- \infty, \infty),$
el rango es $(0, \infty),$
a medida que $x \to \infty, f (x) \to \infty,$
a medida que $x \to - \infty, f (x) \to 0,$
$f (x)$ es siempre creciente,
el gráfico de $f (x)$ nunca tocará el eje x porque la base dos elevada a cualquier exponente nunca tiene el resultado de cero.
$y = 0$ es la asíntota horizontal.
la intersección en y es 1.

Función exponencial

Para cualquier número real $x,$ la función exponencial es aquella con la forma

f (x) = a b^{x}

donde

$a$ es un número real distinto a cero, denominado valor inicial, en tanto que
$b$ es cualquier número real positivo, tal que $b \neq 1.$
El dominio de $f$ son todos números reales.
El rango de $f$ son todos números reales positivos si $a > 0 .$
El rango de $f$ son todos los números reales negativos si $a < 0 .$
La intersección en y es $(0, a),$ y la asíntota horizontal es $y = 0 .$

Ejemplo 1

Identificar funciones exponenciales

¿Cuáles de las siguientes ecuaciones no son funciones exponenciales?

$f (x) = 4^{3 (x - 2)}$
$g (x) = x^{3}$
$h (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$
$j (x) = {(- 2)}^{x}$

Solución

Por definición, la función exponencial tiene una constante como base y una variable independiente como exponente. Así, $g (x) = x^{3}$ no representa ninguna función exponencial porque la base es una variable independiente. De hecho, $g (x) = x^{3}$ es una función potencia.

Recordemos que la base b de la función exponencial es siempre una constante positiva, y $b \neq 1.$ Por lo tanto, $j (x) = {(−2)}^{x}$ no representa ninguna función exponencial porque la base, $−2,$ es menor que $0 .$

Inténtelo #1

¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan funciones exponenciales?

$f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$
$g (x) = {0,875}^{x}$
$h (x) = 1,75 x + 2$
$j (x) = {1095,6}^{- 2 x}$

Evaluar funciones exponenciales

Recordemos que la base de la función exponencial debe ser un número real positivo, distinto a $1.$ ¿Por qué limitamos la base $b$ a valores positivos? Para garantizar que las salidas sean números reales. Observe lo que ocurre si la base no es positiva:

Supongamos que $b = - 9$ y $x = \frac{1}{2} .$ Entonces $f (x) = f (\frac{1}{2}) = {(- 9)}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{- 9},$ que no es un número real.

¿Por qué limitamos la base a valores positivos que no sean $1 ?$ Porque la base $1$ da como resultado la función constante. Observe lo que ocurre si la base es $1 :$

Supongamos que $b = 1.$ Entonces $f (x) = 1^{x} = 1$ para cualquier valor de $x .$

Para evaluar una función exponencial con la forma $f (x) = b^{x},$ simplemente sustituimos $x$ con el valor dado, y calculamos la potencia resultante. Por ejemplo:

Supongamos que $f (x) = 2^{x} .$ ¿Qué es $f (3) ?$

\begin{array}{l} f (x) & = 2^{x} \\ f (3) & = 2^{3} & Sustituya x = 3. \\ = 8 & Evalúe la potencia . \end{array}

Para evaluar una función exponencial con una forma distinta a la básica, es importante seguir el orden de las operaciones. Por ejemplo:

Supongamos que $f (x) = 30 {(2)}^{x} .$ ¿Qué es $f (3) ?$

\begin{array}{l} f (x) & = 30 {(2)}^{x} \\ f (3) & = 30 {(2)}^{3} & Sustituya x = 3. \\ = 30 (8) & Simplifique la potencia primero . \\ = 240 & Multiplique . \end{array}

Observe que, de no seguirse el orden de las operaciones, el resultado sería incorrecto:

f (3) = 30 {(2)}^{3} \neq 60^{3} = 216.000

Ejemplo 2

Evaluar funciones exponenciales

Supongamos que $f (x) = 5 {(3)}^{x + 1} .$ Evalúe $f (2)$ sin usar la calculadora.

Solución

Siga el orden de las operaciones. Preste atención a los paréntesis.

\begin{array}{l} f (x) & = 5 {(3)}^{x + 1} \\ f (2) & = 5 {(3)}^{2 + 1} & Sustituya x = 2. \\ = 5 {(3)}^{3} & Sume los exponentes . \\ = 5 (27) & Simplifique la potencia . \\ = 135 & Multiplique . \end{array}

Inténtelo #2

Supongamos que $f (x) = 8 {(1,2)}^{x - 5} .$ Evalúe $f (3)$ utilizando una calculadora. Redondee a cuatro decimales.

Definir el crecimiento exponencial

Dado que el resultado de las funciones exponenciales aumenta muy rápidamente, el término "crecimiento exponencial" se utiliza a menudo en el lenguaje cotidiano para describir cualquier cosa que crezca o aumente rápidamente. Sin embargo, el crecimiento exponencial puede definirse con mayor precisión en un sentido matemático. Si la tasa de crecimiento es proporcional a la cantidad presente, la función modela un crecimiento exponencial.

Crecimiento exponencial

Una función que modela el crecimiento exponencial crece a una tasa proporcional a la cantidad presente. Para cualquier número real $x$ y cualquier número real positivo $a$ y $b$ de manera que $b \neq 1,$ una función de crecimiento exponencial tiene la forma

f (x) = a b^{x}

donde

$a$ es el valor inicial o de partida de la función.
$b$ es el factor de crecimiento o multiplicador de crecimiento por unidad $x$ .

En términos generales, tenemos una función exponencial, en la que una base constante se eleva a un exponente variable. Para diferenciar entre funciones lineales y exponenciales, consideremos dos empresas, A y B. La empresa A tiene 100 tiendas y se expande con la inauguración de 50 tiendas al año, por lo que su crecimiento puede representarse mediante la función $A (x) = 100 + 50 x .$ La empresa B tiene 100 tiendas y se expande al aumentar el número de tiendas en un 50 % cada año, por lo que su crecimiento puede representarse mediante la función $B (x) = 100 {(1 + 0,5)}^{x} .$

Algunos años de crecimiento de estas empresas se ilustran en la Tabla 3.

Año, $x$	Tiendas, empresa A	Tiendas, empresa B
$0$	$100 + 50 (0) = 100$	$100 {(1 + 0,5)}^{0} = 100$
$1$	$100 + 50 (1) = 150$	$100 {(1 + 0,5)}^{1} = 150$
$2$	$100 + 50 (2) = 200$	$100 {(1 + 0,5)}^{2} = 225$
$3$	$100 + 50 (3) = 250$	$100 {(1 + 0,5)}^{3} = 337,5$
$x$	$A (x) = 100 + 50 x$	$B (x) = 100 {(1 + 0,5)}^{x}$

Tabla 3

Los gráficos que comparan el número de tiendas de cada empresa en el lapso de cinco años se muestran en la Figura 2. Podemos ver que, con el crecimiento exponencial, el número de tiendas aumenta mucho más rápidamente que con el crecimiento lineal.

Figura 2 El gráfico muestra el número de tiendas que las empresas A y B han abierto en el lapso de cinco años.

Observe que el dominio de ambas funciones es $[0, \infty),$ y el rango en ambas funciones es $[100, \infty) .$ Después del año 1, la empresa B siempre tiene más tiendas que la empresa A.

Ahora, nos centraremos en la función que representa el número de tiendas de la empresa B, $B (x) = 100 {(1 + 0,5)}^{x} .$ En esta función exponencial, 100 representa el número inicial de tiendas, 0,50 representa la tasa de crecimiento y $1 + 0,5 = 1,5$ representa el factor de crecimiento. En términos más generales, podemos escribir esta función como $B (x) = 100 {(1,5)}^{x},$ donde 100 es el valor inicial, $1,5$ se denomina la base, y $x$ se denomina el exponente.

Ejemplo 3

Evaluar un modelo exponencial en el mundo real

Al principio de esta sección, aprendimos que la población de la India era de unos $1,25$ mil millones en el año 2013, con una tasa de crecimiento anual de aproximadamente $1,2 % .$ Esta situación está representada por la función de crecimiento $P (t) = 1,25 {(1,012)}^{t},$ donde $t$ es el número de años transcurridos desde $2013.$ A la milésima más cercana, ¿cuál será la población de la India en $2031?$

Solución

Para estimar la población en 2031, evaluamos los modelos para $t = 18,$ porque 2031 es $18$ años después de 2013. Redondeando a la milésima más cercana,

P (18) = 1,25 {(1,012)}^{18} \approx 1,549

En el año 2031 habrá unos 1.549 millones de habitantes en India.

Inténtelo #3

La población de China era de unos 1.390 millones de habitantes en el año 2013, a una tasa de crecimiento anual de aproximadamente $0,6 % .$ Esta situación está representada por la función de crecimiento $P (t) = 1,39 {(1,006)}^{t},$ donde $t$ es el número de años transcurridos desde $2013.$ A la milésima más cercana, ¿cuál será la población de China en el año 2031? ¿Cómo se compara esto con la predicción de población que hicimos para la India en el Ejemplo 3?

Hallar ecuaciones de funciones exponenciales

En los ejemplos anteriores, se nos dio una función exponencial, que luego evaluamos para una entrada dada. A veces nos dan información acerca de una función exponencial sin conocer la función explícitamente. Debemos utilizar la información para escribir primero la forma de la función y luego determinar las constantes $a$ y $b,$ y evaluar la función.

Cómo

Dados dos puntos de datos, escribir un modelo exponencial.

Si uno de los puntos de datos tiene la forma $(0, a),$ entonces $a$ es el valor inicial. Utilizando $a,$ sustituya el segundo punto en la ecuación $f (x) = a {(b)}^{x},$ y resuelva para $b .$
Si ninguno de los puntos de datos tiene la forma $(0, a),$ sustituya ambos puntos en dos ecuaciones con la forma $f (x) = a {(b)}^{x} .$ Resuelva el sistema que resulta de dos ecuaciones en dos incógnitas para hallar $a$ y $b .$
Con el $a$ y $b$ determinados en los pasos anteriores, escriba la función exponencial en la forma $f (x) = a {(b)}^{x} .$

Ejemplo 4

Escribir un modelo exponencial cuando se conoce el valor inicial

En 2006, se introdujeron 80 ciervos en un refugio de vida silvestre. En 2012, la población había aumentado a 180 ciervos. La población crecía exponencialmente. Escriba una función exponencial $N (t)$ que represente a la población $(N)$ de ciervos a lo largo del tiempo $t .$

Solución

Supongamos que nuestra variable independiente $t$ es el número de años posteriores a 2006. Así, la información dada en el problema puede escribirse en pares de entrada-salida: (0, 80) y (6, 180). Observe que, al elegir como variable de entrada los años posteriores a 2006, nos hemos dado el valor inicial de la función, $a = 80.$ Ahora podemos sustituir el segundo punto en la ecuación $N (t) = 80 b^{t}$ para calcular $b :$

\begin{array}{l} N (t) & = 80 b^{t} \\ 180 & = 80 b^{6} & Sustituya utilizando el punto (6, 180) . \\ \frac{9}{4} & = b^{6} & Divida y escriba en términos mínimos . \\ b & = {(\frac{9}{4})}^{\frac{1}{6}} & Aísle b mediante el empleo de las propiedades de los exponentes . \\ b & \approx 1,1447 \begin{matrix}  \end{matrix} & Redondee a 4 decimales . \end{array}

NOTA: A menos que se indique lo contrario, no se redondean los cálculos intermedios. A continuación, redondee la respuesta final a cuatro lugares para el resto de esta sección.

El modelo exponencial con respecto a la población de ciervos es $N (t) = 80 {(1,1447)}^{t} .$ (Observe que esta función exponencial modela el crecimiento a corto plazo. A medida que la entrada crece, el resultado será cada vez mayor, tanto así que el modelo podría no servir a largo plazo).

Podemos representar gráficamente nuestro modelo para observar el crecimiento demográfico de ciervos en el refugio con el paso del tiempo. Observe que el gráfico en la Figura 3 pasa por los puntos iniciales dados en el problema, $(0, 80)$ y $(6, 180) .$ También podemos ver que el dominio de la función es $[0, \infty),$ y el rango de la función es $[80, \infty) .$

Gráfico de la función exponencial, N(t) = 80(1,1447)^t, con puntos marcados en (0, 80) y (6, 180).

Figura 3 Gráfico que muestra la población de ciervos a lo largo del tiempo,

N (t) = 80 {(1,1447)}^{t},

t

años después de 2006

Inténtelo #4

La población de lobos crece exponencialmente. En 2011 se contabilizaron $129$ lobos. Para $2013,$ la población había alcanzado los 236 lobos. ¿Qué dos puntos se pueden utilizar para derivar una ecuación exponencial que modele esta situación? Escriba la ecuación que represente la población $N$ de lobos a lo largo del tiempo $t .$

Ejemplo 5

Escribir un modelo exponencial cuando no se conoce el valor inicial

Halle una función exponencial que pase por los puntos $(- 2, 6)$ y $(2, 1) .$

Solución

Como no tenemos el valor inicial, sustituimos ambos puntos en una ecuación de la forma $f (x) = a b^{x},$ y luego resolvemos el sistema para $a$ y $b .$

Al sustituir $(- 2, 6)$ da como resultado $6 = a b^{- 2}$
Al sustituir $(2, 1)$ da como resultado $1 = a b^{2}$

Utilice la primera ecuación para resolver $a$ en términos de $b :$

Sustituya $a$ en la segunda ecuación, y resuelva para $b :$

Utilice el valor de $b$ en la primera ecuación para resolver el valor de $a :$

Así, la ecuación es $f (x) = 2,4492 {(0,6389)}^{x} .$

Podemos graficar nuestro modelo para comprobar nuestro trabajo. Observe que el gráfico en la Figura 4 pasa por los puntos iniciales dados en el problema, $(- 2, 6)$ y $(2, 1) .$ El gráfico es un ejemplo de función de decaimiento exponencial.

Gráfico de la función exponencial, f(x)=2,4492(0,6389)^x, con puntos etiquetados en (-2, 6) y (2, 1).

Figura 4 el gráfico de

f (x) = 2,4492 {(0,6389)}^{x}

modela el decaimiento exponencial.

Inténtelo #5

Dados los dos puntos $(1, 3)$ y $(2, 4,5),$ halle la ecuación de la función exponencial que pasa por estos dos puntos.

Preguntas y respuestas

¿Dos puntos siempre determinan una única función exponencial?

Sí, siempre que los dos puntos estén por encima del eje x o por debajo del eje x y tengan coordenadas x diferentes. Tenga en cuenta que también necesitamos saber que el gráfico es, de hecho, una función exponencial. No todos los gráficos que parecen exponenciales lo son realmente. Tenemos que saber que el gráfico se basa en un modelo que muestra el mismo porcentaje de crecimiento con cada aumento unitario de $x,$ que en muchos casos del mundo real implica tiempo.

Cómo

Dado el gráfico de una función exponencial, escribir su ecuación.

En primer lugar, identifique dos puntos del gráfico. Elija la intersección en y como uno de los dos puntos siempre que sea posible. Intente elegir puntos que estén lo más separados posible para reducir el error de redondeo.
Si uno de los puntos de datos es la intersección en y $(0, a)$ , entonces $a$ es el valor inicial. Utilizando $a,$ sustituya el segundo punto en la ecuación $f (x) = a {(b)}^{x},$ y resuelva para $b .$
Si ninguno de los puntos de datos tiene la forma $(0, a),$ sustituya ambos puntos en dos ecuaciones con la forma $f (x) = a {(b)}^{x} .$ Resuelva el sistema que resulta de dos ecuaciones en dos incógnitas para hallar $a$ y $b .$
Escriba la función exponencial, $f (x) = a {(b)}^{x} .$

Ejemplo 6

Escribir una función exponencial dado su gráfico

Halle una ecuación para la función exponencial graficada en la Figura 5.

Gráfico de función exponencial creciente con puntos notables en (0, 3) y (2, 12).

Figura 5

Solución

Podemos elegir la intersección en y del gráfico, $(0, 3),$ como nuestro primer punto. Esto nos da el valor inicial, $a = 3.$ A continuación, elija un punto de la curva a cierta distancia de $(0, 3)$ que tiene coordenadas enteras. Uno de estos puntos es $(2, 12) .$

\begin{array}{l} y = a b^{x} & Escriba la forma general de una ecuación exponencial . \\ y = 3 b^{x} & Sustituya el valor inicial 3 por a . \\ 12 = 3 b^{2} & Sustituya el 12 por y y 2 por x . \\ 4 = b^{2} & Divida entre 3 . \\ b = \pm 2 \begin{matrix}  \end{matrix} & Tome la raíz cuadrada . \end{array}

Dado que nos limitamos a los valores positivos de $b,$ utilizaremos $b = 2.$ Sustituya $a$ y $b$ en la forma estándar para obtener la ecuación $f (x) = 3 {(2)}^{x} .$

Inténtelo #6

Halle una ecuación para la función exponencial graficada en la Figura 6.

Gráfico de función creciente con un punto etiquetado en (0, sqrt(2)).

Figura 6

Cómo

Dados dos puntos de la curva de una función exponencial, utilizar la calculadora gráfica para la ecuación.

Pulse [STAT].
Borre las entradas existentes en las columnas L1 o L2.
En L1, introduzca las coordenadas dadas de la x.
En L2, introduzca las correspondientes coordenadas de la y.
Pulse de nuevo [STAT] . Lleve el cursor a la derecha hasta CALC, desplácese hasta ExpReg (regresión exponencial), y pulse [ENTER].
La pantalla muestra los valores de a y b en la ecuación exponencial $y = a \cdot b^{x}$ .

Ejemplo 7

Usar la calculadora gráfica para una función exponencial

Utilice una calculadora gráfica para hallar la ecuación exponencial que incluya los puntos $(2, 24,8)$ y $(5, 198,4) .$

Solución

Siga las directrices anteriores. Primero pulse [STAT], [EDIT], [1: Edit…], y borre las listas L1 y L2. A continuación, en la columna L1, introduzca las coordenadas de la x, 2 y 5. Haga lo mismo en la columna L2 con las coordenadas de la y, 24,8 y 198,4.

Ahora pulse [STAT], [CALC], [0: ExpReg] y presione [ENTER]. Los valores $a = 6,2$ y $b = 2$ se mostrarán. La ecuación exponencial es $y = 6,2 \cdot 2^{x} .$

Inténtelo #7

Utilice una calculadora gráfica para hallar la ecuación exponencial que incluye los puntos (3, 75,98) y (6, 481,07).

Aplicar la fórmula del interés compuesto

Los instrumentos de ahorro en los que las ganancias se reinvierten continuamente, como los fondos de inversión y las cuentas de jubilación, utilizan el interés compuesto. El término compuesto se refiere a los intereses devengados no solo sobre el valor original, sino sobre el valor acumulado de la cuenta.

La tasa anual equivalente (TAE) de una cuenta, también llamada tasa nominal, es el tipo de interés anual que devenga una cuenta de inversión. El término nominal se utiliza cuando la capitalización se produce un número de veces distinto de una vez al año. De hecho, cuando se capitalizan los intereses más de una vez al año, ¡el tipo de interés efectivo acaba siendo mayor que el nominal! Se trata de una poderosa herramienta para invertir.

Podemos calcular el interés compuesto con la fórmula del interés compuesto, que es una función exponencial de las variables tiempo $t,$ capital $P,$ TAE $r,$ y el número de periodos de capitalización en un año $n :$

A (t) = P {(1 + \frac{r}{n})}^{n e}

Por ejemplo, observe la Tabla 4, que muestra el resultado de invertir 1.000 dólares al 10 % durante un año. Observe cómo el valor de la cuenta aumenta a medida que aumenta la frecuencia de la capitalización.

Frecuencia	Valor después de 1 año
Anualmente	$1.100
Semestralmente	$1.102,50
Trimestralmente	$1.103,81
Mensualmente	$1.104,71
Diariamente	$1.105,16

Tabla 4

La fórmula del interés compuesto

El interés compuesto puede calcularse mediante la fórmula

A (t) = P {(1 + \frac{r}{n})}^{n e}

donde

$A (t)$ es el valor de la cuenta,
$t$ se mide en años,
$P$ es el importe inicial de la cuenta, a menudo denominado capital, o más generalmente valor actual,
$r$ es la tasa anual equivalente (TAE) expresada en decimales, y
$n$ es el número de periodos de capitalización en un año.

Ejemplo 8

Calcular el interés compuesto

Si invertimos 3.000 dólares en una cuenta de inversión que paga un 3 % de interés compuesto trimestralmente, ¿cuánto valdrá la cuenta dentro de 10 años?

Solución

Dado que estamos empezando con 3.000 dólares, $P = 3.000.$ Nuestro tipo de interés es del 3 %, por lo que $r = 0,03.$ Ya que capitalizamos trimestralmente, esto significa 4 veces al año, así que $n = 4.$ Queremos saber el valor de la cuenta en 10 años, por lo que buscamos $A (10),$ el valor cuando $t = 10.$

\begin{array}{l} A (t) & = P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} & Utilice la fórmula del interés compuesto . \\ A (10) & = 3.000 {(1 + \frac{0,03}{4})}^{4⋅10} \begin{matrix}  \end{matrix} & Sustituya utilizando los valores dados . \\ \approx $ 4.045,05 & Redondee a dos decimales . \end{array}

La cuenta tendrá un valor de unos 4.045,05 dólares en 10 años.

Inténtelo #8

Una inversión inicial de 100.000 dólares a un interés del 12 % se capitaliza semanalmente (utilice 52 semanas en un año). ¿Cuánto valdrá la inversión dentro de 30 años?

Ejemplo 9

Usar la fórmula del interés compuesto para resolver el capital

El plan 529 es un plan de ahorro para la universidad que permite a los familiares invertir dinero para pagar la futura matrícula universitaria de un hijo; la cuenta crece libre de impuestos. Lily quiere crear una cuenta 529 para su nueva nieta y quiere que la cuenta crezca hasta 40.000 dólares en 18 años. Cree que la cuenta ganará un tipo de interés compuesto de 6 % semestralmente (dos veces al año). Al dólar más cercano, ¿cuánto tendrá que invertir Lily en la cuenta ahora?

Solución

El tipo de interés nominal es del 6 %, por lo que $r = 0,06.$ El interés se capitaliza dos veces al año, por lo que $k = 2.$

Queremos calcular la inversión inicial, $P,$ necesaria para que el valor de la cuenta sea de 40.000 dólares en $18$ años. Sustituya los valores dados en la fórmula del interés compuesto y resuelva para $P .$

\begin{array}{l} A (t) & = P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} & Utilice la fórmula del interés compuesto . \\ 40.000 & = P {(1 + \frac{0,06}{2})}^{2 (18)} \begin{matrix}  \end{matrix} & Sustituya utilizando los valores dados A, r, n y t . \\ 40.000 & = P {(1,03)}^{36} & Simplifique . \\ \frac{40.000}{{(1,03)}^{36}} & = P & Aísle P . \\ P & \approx $ 13.801 & Divida y redondee al dólar más cercano . \end{array}

Lily tendrá que invertir 13.801 dólares para tener 40.000 dólares en 18 años.

Inténtelo #9

Consulte el Ejemplo 9. Al dólar más cercano, ¿cuánto necesitaría invertir Lily si la cuenta se capitaliza trimestralmente?

Evaluar funciones con base e

Como hemos visto anteriormente, el importe ganado en una cuenta aumenta a medida que aumenta la frecuencia de capitalización. La Tabla 5 muestra que el aumento de la capitalización anual a la semestral es mayor que el aumento de la mensual a la diaria. Esto podría llevarnos a preguntarnos si este patrón continuará.

Examine el valor de 1 dólar invertido al 100 % de interés durante 1 año, capitalizado a diversas frecuencias, que figuran en la Tabla 5.

Frecuencia	$A (n) = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$	Valor
Anualmente	${(1 + \frac{1}{1})}^{1}$	$2
Semestralmente	${(1 + \frac{1}{2})}^{2}$	$2,25
Trimestralmente	${(1 + \frac{1}{4})}^{4}$	$2,441406
Mensualmente	${(1 + \frac{1}{12})}^{12}$	$2,613035
Diariamente	${(1 + \frac{1}{365})}^{365}$	$2,714567
Por hora	${(1 + \frac{1}{8.760})}^{8.760}$	$2,718127
Una vez por minuto	${(1 + \frac{1}{525.600})}^{525.600}$	$2,718279
Una vez por segundo	${(1 + \frac{1}{31.536.000})}^{31.536.000}$	$2,718282

Tabla 5

Estos valores parecen acercarse a un límite a medida que $n$ aumenta sin límites. De hecho, como $n$ aumenta cada vez más, la expresión ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ se acerca a un número utilizado con tanta frecuencia en matemáticas que hasta tiene su propio nombre: la letra $e .$ Este valor es un número irracional, lo que significa que su expansión decimal se eterniza sin repetirse. A continuación, se muestra su aproximación con seis decimales.

El número $e$

La letra e representa el número irracional

{(1 + \frac{1}{n})}^{n}, dado que n aumenta sin límites

La letra e se utiliza como base para muchos modelos exponenciales en el mundo real. Para trabajar con la base e, utilizamos la aproximación, $e \approx 2,718282.$ El matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), nombró la constante, quien investigó y descubrió por primera vez muchas de sus propiedades.

Ejemplo 10

Usar la calculadora para hallar las potencias de e

Calcule $e^{3,14} .$ Redondee a cinco decimales.

Solución

En una calculadora, pulse el botón denominado $[e^{x}] .$ La ventana muestra $[e^(] .$ Escriba $3,14$ y luego cierre el paréntesis, $[)] .$ Pulse [ENTER]. Redondee a $5$ decimales, $e^{3,14} \approx 23,10387.$ Precaución: Muchas calculadoras científicas tienen un botón "Exp", que se utiliza para introducir números en notación científica. No se utiliza para calcular potencias de $e .$

Inténtelo #10

Utilice una calculadora para hallar $e^{- 0,5} .$ Redondee a cinco decimales.

Investigar el crecimiento continuo

Hasta ahora hemos trabajado con bases racionales para funciones exponenciales. Sin embargo, en la mayoría de los fenómenos del mundo real, se utiliza e como base de las funciones exponenciales. Los modelos exponenciales que utilizan $e$ como base se denominan modelos de crecimiento o decaimiento continuo. Vemos estos modelos en las finanzas, la informática y la mayoría de las ciencias, como la física, la toxicología y la dinámica de fluidos.

La fórmula del crecimiento o decaimiento continuo

En todos los números reales $t,$ y todos los números positivos $a$ y $r,$ el crecimiento o decaimiento continuo se representa con la fórmula

A (t) = a e^{r t}

donde

$a$ es el valor inicial,
$r$ es la tasa de crecimiento continuo por unidad de tiempo,
y $t$ es el tiempo transcurrido.

Si los valores de $r > 0$ , entonces la fórmula representa crecimiento continuo. Si los valores de $r < 0$ , entonces la fórmula representa decaimiento continuo.

En las aplicaciones empresariales, la fórmula de crecimiento continuo se denomina fórmula de composición continua y adopta la forma

A (t) = P e^{r t}

donde

$P$ es el capital o la inversión inicial,
$r$ es la tasa de crecimiento o de interés por unidad de tiempo,
y $t$ es el periodo o plazo de la inversión.

Cómo

Dados el valor inicial, la tasa de crecimiento o decaimiento y el tiempo $t,$ resolver una función de crecimiento o decaimiento continuo.

Utilice la información del problema para determinar $a$ , el valor inicial de la función.
Utilice la información del problema para determinar la tasa de crecimiento r. r.
1. Si el problema se refiere al crecimiento continuo, entonces $r > 0 .$
2. Si el problema se refiere al decaimiento continuo, entonces $r < 0 .$
Utilice la información del problema para determinar el tiempo $t .$
Sustituya la información dada en la fórmula de crecimiento continuo y resuelva para $A (t) .$

Ejemplo 11

Calcular el crecimiento continuo

Alguien invierte 1.000 dólares en una cuenta que devenga un tipo de interés nominal del 10 % anual, capitalizado continuamente. ¿Cuánto había en la cuenta al final de un año?

Solución

Dado que el valor de la cuenta es creciente, se trata de un problema de composición continua con tasa de crecimiento $r = 0,10.$ La inversión inicial fue de 1.000 dólares, por lo que $P = 1.000.$ Utilizamos la fórmula de capitalización continua para calcular el valor después de $t = 1$ año:

\begin{array}{l} A (t) & = P e^{r t} & Utilice la fórmula de capitalización continua . \\ = 1.000 {(e)}^{0,1} \begin{matrix}  \end{matrix} & Sustituya los valores conocidos por P, r, y t . \\ \approx 1.105,17 & Utilice una calculadora para estimar . \end{array}

La cuenta tiene un valor de 1.105,17 dólares al cabo de un año.

Inténtelo #11

Alguien invierte 100.000 dólares a un tipo de interés nominal del 12 % anual, capitalizado continuamente. ¿Cuál será el valor de la inversión dentro de 30 años?

Ejemplo 12

Calcular el decaimiento continuo

El radón 222 decae a un ritmo continuo del 17,3 % al día. ¿A cuánto ascenderán 100 mg de radón 222 en 3 días?

Solución

Dado que la sustancia decae, la tasa, $17,3 %$ , es negativa. Así que, $r = - 0,173.$ La cantidad inicial de radón 222 era de $100$ mg, por lo que $a = 100.$ Utilizamos la fórmula de decaimiento continuo para calcular el valor después de $t = 3$ días:

\begin{array}{l} A (t) & = a e^{r t} & Utilice la fórmula de crecimiento continuo . \\ = 100 e^{- 0,173 (3)} \begin{matrix}  \end{matrix} & Sustituya los valores conocidos por a, r, y t . \\ \approx 59,5115 & Utilice una calculadora para estimar . \end{array}

Por lo que quedarán 59,5115 mg de radón 222.

Inténtelo #12

Con los datos del Ejemplo 12, ¿cuánta cantidad de radón 222 quedará después de un año?

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las funciones exponenciales.

4.1 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Explique por qué los valores de una función exponencial creciente acabarán superando los de una función lineal creciente.

2.

Dada una fórmula para una función exponencial, ¿es posible determinar si la función crece o decae exponencialmente con tan solo mirar la fórmula? Explique.

3.

El diccionario Oxford define la palabra nominal como un valor "declarado o expresado, pero que no necesariamente corresponde exactamente al valor real".³ Desarrolle un argumento razonable de por qué el término tasa nominal se utiliza para describir la tasa anual equivalente de una cuenta de inversión que capitaliza el interés.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, identifique si el enunciado representa una función exponencial. Explique.

4.

El aumento promedio anual de la población de una manada de lobos es de 25.

5.

Una población de bacterias disminuye en un factor de $\frac{1}{8}$ cada $24$ horas.

6.

El valor de una colección de monedas ha aumentado en $3,25 %$ anualmente en los últimos $20$ años.

7.

Por cada sesión de entrenamiento, un entrenador personal cobra a sus clientes $$ 5$ menos que la sesión de entrenamiento anterior.

8.

La altura de un proyectil en el tiempo $t$ viene representada por la función $h (t) = - 4,9 t^{2} + 18 t + 40.$

En los siguientes ejercicios, considere este escenario: Por cada año $t,$ la población de un bosque de árboles viene representada por la función $A (t) = 115 {(1,025)}^{t} .$ En un bosque vecino, la población del mismo tipo de árbol viene representada por la función $B (t) = 82 {(1,029)}^{t} .$ (Redondee las respuestas al número entero más cercano).

9.

¿Cuál es el bosque cuya población crece más rápidamente?

10.

¿Qué bosque tenía inicialmente un mayor número de árboles? ¿Por cuántos?

11.

Suponiendo que los modelos de crecimiento de la población sigan representando el crecimiento de los bosques, ¿qué bosque tendrá un mayor número de árboles después de $20$ años? ¿Por cuántos?

12.

Suponiendo que los modelos de crecimiento de la población sigan representando el crecimiento de los bosques, ¿qué bosque tendrá un mayor número de árboles después de $100$ años? ¿Por cuántos?

13.

Analice los resultados de los cuatro ejercicios anteriores. Suponiendo que los modelos de crecimiento demográfico sigan representando el crecimiento de los bosques, ¿qué bosque tendrá mayor número de árboles a largo plazo? ¿Por qué? ¿Cuáles son los factores que influirían en la validez a largo plazo del modelo de crecimiento exponencial?

En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación representa crecimiento exponencial, decaimiento exponencial o ninguno de los dos. Explique.

14.

$y = 300 {(1 - t)}^{5}$

15.

$y = 220 {(1,06)}^{x}$

16.

$y = 16,5 {(1,025)}^{\frac{1}{x}}$

17.

$y = 11, 701 {(0,97)}^{t}$

En los siguientes ejercicios, halle la fórmula de una función exponencial que pase por los dos puntos dados.

18.

$(0, 6)$ y $(3, 750)$

19.

$(0, 2000)$ y $(2, 20)$

20.

$(- 1, \frac{3}{2})$ y $(3, 24)$

21.

$(- 2, 6)$ y $(3, 1)$

22.

$(3, 1)$ y $(5, 4)$

En los siguientes ejercicios, determine si la tabla puede representar una función lineal, exponencial o ninguna de las dos. Si resulta ser exponencial, halle una función que pase por los puntos.

23.

$x$	1	2	3	4
$f (x)$	70	40	10	-20

24.

$x$	1	2	3	4
$h (x)$	70	49	34,3	24,01

25.

$x$	1	2	3	4
$m (x)$	80	61	42,9	25,61

26.

$x$	1	2	3	4
$f (x)$	10	20	40	80

27.

$x$	1	2	3	4
$g (x)$	-3,25	2	7,25	12,5

En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula del interés compuesto, $A (t) = P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} .$

28.

Al cabo de un determinado número de años, el valor de una cuenta de inversión viene representado por la ecuación $A = 10, 250 {(1 + \frac{0,04}{12})}^{120} .$ ¿Cuál es el valor de la cuenta?

29.

¿Cuál fue el depósito inicial realizado en la cuenta en el ejercicio anterior?

30.

¿Cuántos años llevaba la cuenta del ejercicio anterior acumulando intereses?

31.

Se abre una cuenta con un depósito inicial de 6.500 dólares y se devenga $3,6 %$ de interés compuesto semestralmente. ¿Qué valor tendrá la cuenta en $20$ años?

32.

¿Cuánto más habría valido la cuenta del ejercicio anterior si los intereses se acumularan semanalmente?

33.

Resuelva la fórmula del interés compuesto para el importe de capital, $P$ .

34.

Utilice la fórmula determinada en el ejercicio anterior para calcular el depósito inicial de una cuenta que vale $$ 14 . 472,74$ después de devengar $5,5 %$ de interés compuesto mensualmente para $5$ años. (Redondee al dólar más cercano).

35.

¿Cuánto más valdría la cuenta de los dos ejercicios anteriores si devengara intereses por $5$ años más?

36.

Utilice las propiedades de los exponentes racionales para resolver la fórmula del interés compuesto para el tipo de interés, $r .$

37.

Utilice la fórmula determinada en el ejercicio anterior para calcular el tipo de interés de una cuenta que se capitalizaba semestralmente, con un depósito inicial de 9.000 dólares y ascendía a 13.373,53 dólares después de 10 años.

38.

Utilice la fórmula determinada en el ejercicio anterior para calcular el tipo de interés de una cuenta que se capitalizaba mensualmente, con un depósito inicial de 5.500 dólares y ascendía a 38.455 dólares después de 30 años.

En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación representa el crecimiento continuo, el decaimiento continuo o ninguno de los dos. Explique.

39.

$y = 3742 {(e)}^{0,75 t}$

40.

$y = 150 {(e)}^{\frac{3,25}{t}}$

41.

$y = 2,25 {(e)}^{- 2 t}$

42.

Supongamos que se abre una cuenta de inversión con un depósito inicial de $$ 12.000$ devengando $7,2 %$ de interés compuesto continuamente. ¿Cuánto valdrá la cuenta después de $30$ años?

43.

¿Cuánto menos valdría la cuenta del ejercicio 42 después de $30$ años si se capitaliza mensualmente en su lugar?

Numéricos

En los siguientes ejercicios, evalúe cada función. Redondee las respuestas a cuatro decimales, si es necesario.

44.

$f (x) = 2 {(5)}^{x},$ por $f (- 3)$

45.

$f (x) = - 4^{2 x + 3},$ por $f (- 1)$

46.

$f (x) = e^{x},$ por $f (3)$

47.

$f (x) = - 2 e^{x - 1},$ por $f (- 1)$

48.

$f (x) = 2,7 {(4)}^{- x + 1} + 1,5,$ por $f (- 2)$

49.

$f (x) = 1,2 e^{2 x} - 0,3,$ por $f (3)$

50.

$f (x) = - \frac{3}{2} {(3)}^{- x} + \frac{3}{2},$ por $f (2)$

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para hallar la ecuación de una función exponencial dados los puntos en la curva.

51.

$(0, 3)$ y $(3, 375)$

52.

$(3, 222,62)$ y $(10, 77,456)$

53.

$(20, 29,495)$ y $(150, 730,89)$

54.

$(5, 2,909)$ y $(13, 0,005)$

55.

$(11.310,035)$ y $(25,356365.2)$

Extensiones

56.

El porcentaje de rendimiento anual (annual percentage yield, APY) de una cuenta de inversión es una representación del tipo de interés real obtenido en una cuenta de capitalización. Se basa en un período de capitalización de un año. Demuestre que el APY de una cuenta que se capitaliza mensualmente se puede determinar con la fórmula $APY = {(1 + \frac{r}{12})}^{12} - 1.$

57.

Repita el ejercicio anterior para hallar la fórmula del APY en una cuenta que se capitaliza diariamente. Utilice los resultados de este ejercicio y del anterior para desarrollar una función $I (n)$ para el APY de cualquier cuenta que capitalice $n$ veces al año.

58.

Recordemos que la función exponencial es cualquier ecuación escrita en la forma $f (x) = a \cdot b^{x}$ de manera que $a$ y $b$ son números positivos y $b \neq 1.$ Cualquier número positivo $b$ puede escribirse como $b = e^{n}$ para algún valor de $n$ . Utilice este hecho para reescribir la fórmula de una función exponencial que emplee el número $e$ como base.

59.

En una función de decaimiento exponencial, la base del exponente es un valor entre 0 y 1. Por lo tanto, para algún número $b > 1,$ la función de decaimiento exponencial puede escribirse como $f (x) = a \cdot {(\frac{1}{b})}^{x} .$ Utilice esta fórmula, junto con el hecho de que $b = e^{n},$ para demostrar que una función de decaimiento exponencial adopta la forma $f (x) = a {(e)}^{- n x}$ para algún número positivo $n$ .

60.

La fórmula del importe $A$ en una cuenta de inversión con un tipo de interés nominal $r$ en cualquier tiempo $t$ viene dada por $A (t) = a {(e)}^{r t},$ donde $a$ es la cantidad de capital depositada inicialmente en una cuenta que se capitaliza continuamente. Demuestre que el porcentaje de los intereses devengados con respecto al capital en cualquier momento $t$ se puede calcular con la fórmula $I (t) = e^{r t} - 1.$

Aplicaciones en el mundo real

61.

La población de zorros de una determinada región tiene una tasa de crecimiento anual del 9 %. En el año 2012, se contabilizaron 23.900 zorros en la zona. ¿Cuál es la población de zorros prevista para el año 2020?

62.

Un científico comienza con 100 miligramos de una sustancia radiactiva que decae exponencialmente. Después de 35 horas, quedan 50 mg de la sustancia. ¿Cuántos miligramos quedarán después de 54 horas?

63.

En el año 1985, una casa estaba valorada en 110.000 dólares. En el año 2005, se había revalorizado hasta los 145.000 dólares. ¿Cuál fue la tasa de crecimiento anual entre 1985 y 2005? Supongamos que el valor siguió creciendo en el mismo porcentaje. ¿Cuál era el valor de la casa en el año 2010?

64.

Un automóvil fue valorado en 38.000 dólares en el año 2007. En 2013, se había depreciado hasta los 11.000 dólares Si sigue bajando en el mismo porcentaje, ¿cuál será su valor en 2017?

65.

Jaylen quiere ahorrar 54.000 dólares para la cuota inicial de una casa. ¿Cuánto tendrá que invertir en una cuenta a una TAE al 8,2 %, con capitalización diaria, para alcanzar su objetivo en 5 años?

66.

Kyoko tiene 10.000 dólares que quiere invertir. Su banco tiene varias cuentas de inversión para elegir, todas ellas con capitalización diaria. Su objetivo es tener 15.000 dólares para cuando termine sus estudios de posgrado dentro de 6 años. ¿Cuál debería ser el tipo de interés anual mínimo para alcanzar su objetivo? (Pista: resuelva la fórmula del interés compuesto para el tipo de interés).

67.

Alyssa abrió una cuenta de jubilación a una TAE de 7,25 % en el año 2000. Su depósito inicial fue de 13.500 dólares. ¿Cuánto valdrá la cuenta en 2025 si los intereses se capitalizan mensualmente? ¿Cuánto más ganaría si los intereses se capitalizaran continuamente?

68.

Se ha abierto una cuenta de inversión con un tipo de interés anual del 7 %, con un depósito inicial de 4.000 dólares. Compare los valores de la cuenta después de 9 años, con los intereses capitalizados anualmente, trimestralmente, mensualmente y de forma continua.

Notas a pie de página

2http://www.worldometers.info/world-population/. Consultado el 24 de febrero de 2014.
3Diccionario Oxford. http://oxforddictionaries.com/us/definition/american_english/nomina.

4.1 Funciones exponenciales

Identificación de funciones exponenciales

Definir una función exponencial

Identificar funciones exponenciales

Solución

Evaluar funciones exponenciales

Evaluar funciones exponenciales

Solución

Definir el crecimiento exponencial

Evaluar un modelo exponencial en el mundo real

Solución

Hallar ecuaciones de funciones exponenciales

Escribir un modelo exponencial cuando se conoce el valor inicial

Solución

Escribir un modelo exponencial cuando no se conoce el valor inicial

Solución

Escribir una función exponencial dado su gráfico

Solución

Usar la calculadora gráfica para una función exponencial

Solución

Aplicar la fórmula del interés compuesto

Calcular el interés compuesto

Solución

Usar la fórmula del interés compuesto para resolver el capital

Solución

Evaluar funciones con base e

Usar la calculadora para hallar las potencias de e

Solución

Investigar el crecimiento continuo

Calcular el crecimiento continuo

Solución

Calcular el decaimiento continuo

Solución

4.1 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Numéricos

En tecnología

Extensiones

Aplicaciones en el mundo real

Notas a pie de página