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Precálculo 2ed

4.4 Gráficos de funciones logarítmicas

Precálculo 2ed4.4 Gráficos de funciones logarítmicas

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Identificar el dominio de una función logarítmica.
  • Graficar funciones logarítmicas.

En Gráficos de funciones exponenciales vimos cómo la creación de una representación gráfica de un modelo exponencial nos da otra capa de conocimiento para predecir acontecimientos futuros. ¿De qué manera los gráficos logarítmicos nos permiten comprender las situaciones? Dado que toda función logarítmica es la función inversa de una función exponencial, podemos pensar en cada salida de un gráfico logarítmico como la entrada de la correspondiente ecuación exponencial inversa. En otras palabras, los logaritmos dan la causa de un efecto.

Para ilustrarlo, supongamos que invertimos 2.500 2.500 dólares en una cuenta que ofrece un tipo de interés anual de 5%, 5%, calculada continuamente. Ya sabemos que el saldo de nuestra cuenta para cualquier año t t se determina con la ecuación A=2500 e 0,05t . A=2500 e 0,05t .

Pero, ¿y si quisiéramos saber el año de cualquier saldo? Tendríamos que crear una nueva función correspondiente al intercambiar la entrada y la salida; por lo tanto, tendríamos que crear un modelo logarítmico para esta situación. Al graficar el modelo, podemos ver la salida (año) para cualquier entrada (saldo contable). Por ejemplo, ¿qué pasaría si quisiéramos saber cuántos años tardaríamos en duplicar nuestra inversión inicial? La Figura 1 muestra este punto en el gráfico logarítmico.

Gráfico titulado "Modelo logarítmico que muestra los años en función del saldo contable". El eje x se denomina "Saldo contable" y el eje y se denomina "Años". La línea comienza con 25.000 dólares el primer año. El gráfico también señala que el saldo alcanza los 5.000 dólares cerca del año 14.
Figura 1

En esta sección hablaremos acerca de los valores para los que se define una función logarítmica, y luego nos centraremos en la creación de gráficos de la familia de funciones logarítmicas.

Hallar el dominio de una función logarítmica

Antes de trabajar con los gráficos, echaremos un vistazo al dominio (el conjunto de valores de entrada) para el que se define la función logarítmica.

Recordemos que la función exponencial se define como y= b x y= b x para cualquier número real x x y constante b>0, b>0, b1, b1, donde

  • El dominio de y y es ( -, ). ( -, ).
  • El rango de y y es ( 0, ). ( 0, ).

En la última sección aprendimos que la función logarítmica y= log b ( x ) y= log b ( x ) es la inversa de la función exponencial y= b x . y= b x . Entonces, como funciones inversas:

  • El dominio de y= log b ( x ) y= log b ( x ) es el rango de y= b x : y= b x : ( 0, ). ( 0, ).
  • El rango de y= log b ( x ) y= log b ( x ) es el dominio de y= b x : y= b x : ( -, ). ( -, ).

Las transformaciones de la función matriz y= log b ( x ) y= log b ( x ) se comportan de forma similar a las de otras funciones. Al igual que con otras funciones matrices, podemos aplicar los cuatro tipos de transformaciones (desplazamiento, estiramiento, compresión y reflexión) a la función matriz sin perder la forma.

En Gráficos de funciones exponenciales vimos que ciertas transformaciones pueden cambiar el rango de y= b x . y= b x . Del mismo modo, al aplicar transformaciones a la función matriz y= log b ( x ) y= log b ( x ) podemos cambiar el dominio. Por lo tanto, al determinar el dominio de una función logarítmica, es importante recordar que el dominio consiste solo en números reales positivos. Es decir, el argumento de la función logarítmica deberá ser mayor que cero.

Por ejemplo, considere f(x)= log 4 ( 2 x-3 ). f(x)= log 4 ( 2 x-3 ). Esta función se define para cualquier valor de x x de manera que el argumento, en este caso 2x-3, 2x-3, es mayor que cero. Para hallar el dominio, establecemos una inecuación y resolvemos para x: x:

2 x-3>0 Muestre el argumento mayor que cero. 2x>3 Sume 3. x>1,5 Divida entre 2. 2 x-3>0 Muestre el argumento mayor que cero. 2x>3 Sume 3. x>1,5 Divida entre 2.

En notación de intervalo, el dominio de f(x)= log 4 ( 2 x-3 ) f(x)= log 4 ( 2 x-3 ) es ( 1,5, ). ( 1,5, ).

Cómo

Dada una función logarítmica, identificar el dominio

  1. Establezca una inecuación que muestre el argumento mayor que cero.
  2. Resuelva para x. x.
  3. Escriba el dominio en notación de intervalo.

Ejemplo 1

Identificar el dominio de un desplazamiento logarítmico

¿Cuál es el dominio de f(x)= log 2 (x+3)? f(x)= log 2 (x+3)?

Inténtelo #1

¿Cuál es el dominio de f(x)= log 5 (x-2 )+1? f(x)= log 5 (x-2 )+1?

Ejemplo 2

Identificar el dominio de un desplazamiento logarítmico y de la reflexión

¿Cuál es el dominio de f(x)=log(5-2 x)? f(x)=log(5-2 x)?

Inténtelo #2

¿Cuál es el dominio de f(x)=log(x-5)+2? f(x)=log(x-5)+2?

Graficar funciones logarítmicas

Ahora que ya conocemos el conjunto de valores para los que se define una función logarítmica, pasemos a graficar funciones logarítmicas. La familia de funciones logarítmicas incluye la función matriz y= log b ( x ) y= log b ( x ) junto con todas sus transformaciones: desplazamiento, estiramiento, compresión y reflexión.

Comenzamos con la función matriz y= log b ( x ). y= log b ( x ). Ya que toda función logarítmica de esta forma es la inversa de una función exponencial con la forma y= b x , y= b x , sus gráficos serán una reflexión el uno del otro a través de la línea y=x. y=x. Para ilustrar esto, podemos observar la relación entre los valores de entrada y salida de y= 2 x y= 2 x y su equivalente x= log 2 (y) x= log 2 (y) en la Tabla 1.

x x -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 3
2 x =y 2 x =y 1 8 1 8 1 4 1 4 1 2 1 2 1 1 2 2 4 4 8 8
log 2 ( y )=x log 2 ( y )=x -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 3
Tabla 1

Utilizando las entradas y salidas de la Tabla 1, podemos construir otra tabla para observar la relación entre los puntos de los gráficos de las funciones inversas f(x)= 2 x f(x)= 2 x y g(x)= log 2 (x). g(x)= log 2 (x). Vea la Tabla 2.

f(x)= 2 x f(x)= 2 x ( -3, 1 8 ) ( -3, 1 8 ) ( 2 , 1 4 ) ( 2 , 1 4 ) ( -1, 1 2 ) ( -1, 1 2 ) ( 0,1 ) ( 0,1 ) ( 1,2 ) ( 1,2 ) ( 2 ,4 ) ( 2 ,4 ) ( 3,8 ) ( 3,8 )
g(x)= log 2 ( x ) g(x)= log 2 ( x ) ( 1 8 ,-3 ) ( 1 8 ,-3 ) ( 1 4 ,-2 ) ( 1 4 ,-2 ) ( 1 2 ,-1 ) ( 1 2 ,-1 ) ( 1,0 ) ( 1,0 ) ( 2 ,1 ) ( 2 ,1 ) ( 4,2 ) ( 4,2 ) ( 8,3 ) ( 8,3 )
Tabla 2

Como era de esperar, las coordenadas de la x y de la y se invierten para las funciones inversas. La Figura 2 muestra el gráfico de f f y g. g.

Gráfico de dos funciones, f(x)=2^x y g(x)=log_2(x), donde la línea y=x denota el eje de simetría.
Figura 2 Observe que los gráficos de f( x )= 2 x f( x )= 2 x y g( x )= log 2 ( x ) g( x )= log 2 ( x ) son reflexiones sobre la línea y=x. y=x.

Observe lo siguiente a partir del gráfico:

  • f(x)= 2 x f(x)= 2 x tiene una intersección en y en (0,1) (0,1) y g(x)= log 2 ( x ) g(x)= log 2 ( x ) tiene una intersección en x en (1,0). (1,0).
  • El dominio de f(x)= 2 x , f(x)= 2 x , ( -, ), ( -, ), es el mismo que el rango de g(x)= log 2 ( x ). g(x)= log 2 ( x ).
  • El rango de f(x)= 2 x , f(x)= 2 x , ( 0, ), ( 0, ), es el mismo que el dominio de g(x)= log 2 ( x ). g(x)= log 2 ( x ).

Características del gráfico de la función matriz, f(x)= log b ( x ): f(x)= log b ( x ):

Para cualquier número real x x y constante b>0, b>0, b1, b1, podemos ver las siguientes características en el gráfico de f(x)= log b ( x ): f(x)= log b ( x ):

  • función biunívoca
  • asíntota vertical: x=0 x=0
  • dominio: (0,) (0,)
  • rango: ( -, ) ( -, )
  • intersección en x: (1,0) (1,0) y punto clave (b,1) (b,1)
  • intersección en y: ninguna
  • creciente si b>1 b>1
  • decreciente si 0<b<1 0<b<1

Vea la Figura 3.

Dos gráficos de la función f(x)=log_b(x) con los puntos (1,0) y (b, 1). El primer gráfico muestra la línea cuando b>1, y el segundo gráfico muestra la línea cuando 0<b<1.
Figura 3

La Figura 4 muestra cómo cambiar la base b b en f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) puede afectar los gráficos. Observe que los gráficos se comprimen verticalmente a medida que aumenta el valor de la base. (Nota: Recuerde que la función ln( x ) ln( x ) tiene base e2,718) e2,718) .

Gráfico de tres ecuaciones: y=log_2(x) en azul, y=ln(x) en naranja, e y=log(x) en rojo. El eje y es la asíntota.
Figura 4 Los gráficos de tres funciones logarítmicas con diferentes bases, todas mayores que 1.

Cómo

Dada una función logarítmica de la forma f(x)= log b ( x ), f(x)= log b ( x ), graficar la función.

  1. Dibuje y marque la asíntota vertical, x=0, x=0,
  2. Trace la intersección en x, ( 1,0 ). ( 1,0 ).
  3. Trace el punto clave ( b,1 ). ( b,1 ).
  4. Dibuje una curva suave a través de los puntos.
  5. Indique el dominio, ( 0, ), ( 0, ), el rango, ( -, ), ( -, ), y la asíntota vertical, x=0, x=0,

Ejemplo 3

Graficar una función logarítmica con la forma f(x) = logb(x).

Grafique f(x)= log 5 ( x ). f(x)= log 5 ( x ). Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Inténtelo #3

Grafique f(x)= log 1 5 (x). f(x)= log 1 5 (x). Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Graficar transformaciones de funciones logarítmicas

Como hemos mencionado al principio de la sección, las transformaciones de los gráficos logarítmicos se comportan de forma semejante a las de otras funciones matrices. Podemos desplazar, estirar, comprimir y reflejar la función matriz y= log b ( x ) y= log b ( x ) sin perder la forma.

Graficar un desplazamiento horizontal de f(x) = logb(x)

Cuando una constante c c se suma a la entrada de la función matriz f(x)=lo g b (x), f(x)=lo g b (x), el resultado es un desplazamiento horizontal c c unidades en la dirección opuesta al signo en c. c. Para visualizar los desplazamientos horizontales, podemos observar el gráfico general de la función matriz f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) y para c>0 c>0 junto al desplazamiento hacia la izquierda, g(x)= log b ( x+c ), g(x)= log b ( x+c ), y el desplazamiento a la derecha, h(x)= log b ( x-c ). h(x)= log b ( x-c ). Vea la Figura 6.

Gráfico de dos funciones. La función matriz es f(x)=log_b(x), con asíntota en x=0 y g(x)=log_b(x+c) es la función de traslación con asíntota en x=-c. Esto muestra la traslación del desplazamiento hacia la izquierda.
Figura 6

Desplazamientos horizontales de la función matriz f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x )

Para cualquier constante c, c, la función f(x)= log b ( x+c ) f(x)= log b ( x+c )

  • desplaza la función matriz y= log b ( x ) y= log b ( x ) a la izquierda c c unidades si c>0, c>0,
  • desplaza la función matriz y= log b ( x ) y= log b ( x ) a la derecha c c unidades si c<0, c<0,
  • tiene la asíntota vertical x=-c. x=-c.
  • tiene dominio ( -c, ). ( -c, ).
  • tiene rango ( -, ). ( -, ).

Cómo

Dada una función logarítmica de la forma f(x)= log b ( x+c ), f(x)= log b ( x+c ), graficar la traslación.

  1. Identifique el desplazamiento horizontal:
    1. Si los valores de c>0, c>0, desplace el gráfico de f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) a la izquierda c c unidades.
    2. Si los valores de c<0, c<0, desplace el gráfico de f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) a la derecha c c unidades.
  2. Dibuje la asíntota vertical x=-c. x=-c.
  3. Identifique tres puntos clave de la función matriz. Halle nuevas coordenadas para las funciones desplazadas al restar c c de la coordenada de la x x .
  4. Marque los tres puntos.
  5. El dominio es ( -c, ), ( -c, ), el rango es ( -, ), ( -, ), y la asíntota vertical es x=-c. x=-c.

Ejemplo 4

Graficar un desplazamiento horizontal de la función matriz y = logb(x)

Trace el desplazamiento horizontal f(x)= log 3 (x-2 ) f(x)= log 3 (x-2 ) junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y las asíntotas en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Inténtelo #4

Dibuje un gráfico de f(x)= log 3 (x+4) f(x)= log 3 (x+4) junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y las asíntotas en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Graficar un desplazamiento vertical de y = logb(x)

Cuando una constante d d se suma a la función matriz f(x)= log b ( x ), f(x)= log b ( x ), el resultado es un desplazamiento vertical d d unidades en la dirección del signo en d. d. Para visualizar los desplazamientos verticales, podemos observar el gráfico general de la función matriz f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) junto con el desplazamiento hacia arriba, g(x)= log b ( x )+d g(x)= log b ( x )+d y el desplazamiento hacia abajo, h(x)= log b ( x )-d. h(x)= log b ( x )-d. Vea la Figura 8.

Gráfico de dos funciones. La función matriz es f(x)=log_b(x), con asíntota en x=0 y g(x)=log_b(x)+d es la función de traslación con asíntota en x=0. Esto muestra la traslación del desplazamiento hacia arriba. Gráfico de dos funciones. La función matriz es f(x)=log_b(x), con asíntota en x=0 y g(x)=log_b(x)-d es la función de traslación con asíntota en x=0. Esto muestra la traslación del desplazamiento hacia abajo.
Figura 8

Desplazamientos verticales de la función matriz y= log b ( x ) y= log b ( x )

Para cualquier constante d, d, la función f(x)= log b ( x )+d f(x)= log b ( x )+d

  • desplaza la función matriz y= log b ( x ) y= log b ( x ) hacia arriba d d unidades si d>0, d>0,
  • desplaza la función matriz y= log b ( x ) y= log b ( x ) hacia abajo d d unidades si d<0, d<0,
  • tiene la asíntota vertical x=0, x=0,
  • tiene dominio ( 0, ). ( 0, ).
  • tiene rango ( -, ). ( -, ).

Cómo

Dada una función logarítmica de la forma f(x)= log b ( x )+d, f(x)= log b ( x )+d, graficar la traslación.

  1. Identifique el desplazamiento vertical
    • Si los valores de d>0, d>0, desplace el gráfico de f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) hacia arriba d d unidades.
    • Si los valores de d<0, d<0, desplace el gráfico de f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) hacia abajo d d unidades.
  2. Dibuje la asíntota vertical x=0, x=0,
  3. Identifique tres puntos clave de la función matriz. Halle nuevas coordenadas para las funciones desplazadas al sumar d d a la coordenada de la y y .
  4. Marque los tres puntos.
  5. El dominio es ( 0, ), ( 0, ), el rango es ( -, ), ( -, ), y la asíntota vertical es x=0, x=0,

Ejemplo 5

Graficar un desplazamiento vertical de la función matriz y = logb(x)

Dibuje un gráfico de f(x)= log 3 (x)-2 f(x)= log 3 (x)-2 junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Inténtelo #5

Dibuje un gráfico de f(x)= log 2 (x)+2 f(x)= log 2 (x)+2 junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Graficar estiramiento y compresión de y = logb(x)

Cuando la función matriz f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) se multiplica por una constante a>0, a>0, el resultado es un estiramiento vertical o compresión vertical del gráfico original. Para visualizar el estiramiento y la compresión, establecemos a>1 a>1 y observe que el gráfico general de la función matriz f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) junto al estiramiento vertical, g(x)=a log b ( x ) g(x)=a log b ( x ) y la compresión vertical, h(x)= 1 a log b ( x ). h(x)= 1 a log b ( x ). Vea la Figura 10.

Gráfico de dos funciones. La función matriz es f(x)=log_b(x), con asíntota en x=0 y g(x)=alog_b(x) cuando a>1 es la función de traslación con asíntota en x=0. En el gráfico se observa la intersección de las dos líneas en (1, 0). Esto muestra la traslación de un estiramiento vertical.
Figura 10

Estiramiento y compresión vertical de la función matriz y= log b ( x ) y= log b ( x )

Para cualquier constante a>1, a>1, la función f(x)=a log b ( x ) f(x)=a log b ( x )

  • estira la función matriz y= log b ( x ) y= log b ( x ) verticalmente por un factor de a a si a>1. a>1.
  • comprime la función matriz y= log b ( x ) y= log b ( x ) verticalmente por un factor de a a si 0<a<1. 0<a<1.
  • tiene la asíntota vertical x=0. x=0.
  • tiene la intersección en x ( 1,0 ). ( 1,0 ).
  • tiene dominio ( 0, ). ( 0, ).
  • tiene rango ( -, ). ( -, ).

Cómo

Dada una función logarítmica de la forma f(x)=a log b ( x ), f(x)=a log b ( x ), a>0, a>0, graficar la traslación.

  1. Identifique el estiramiento o la compresión vertical:
    • Si los valores de |a|>1, |a|>1, el gráfico de f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) se estira por un factor de a a unidades.
    • Si los valores de |a|<1, |a|<1, el gráfico de f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) se comprime por un factor de a a unidades.
  2. Dibuje la asíntota vertical x=0. x=0.
  3. Identifique tres puntos clave de la función matriz. Halle otras coordenadas para las funciones desplazadas al multiplicar las coordenadas de la y y por a. a.
  4. Marque los tres puntos.
  5. El dominio es ( 0, ), ( 0, ), el rango es ( -, ), ( -, ), y la asíntota vertical es x=0. x=0.

Ejemplo 6

Graficar un estiramiento o una compresión de la función matriz y = logb(x)

Dibuje un gráfico de f(x)=2 log 4 (x) f(x)=2 log 4 (x) junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Inténtelo #6

Dibuje un gráfico de f(x)= 1 2 log 4 (x) f(x)= 1 2 log 4 (x) junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Ejemplo 7

Combinar desplazamiento y estiramiento

Dibuje un gráfico de f(x)=5log(x+2 ). f(x)=5log(x+2 ). Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Inténtelo #7

Dibuje un gráfico de la función f(x)=3log(x-2 )+1. f(x)=3log(x-2 )+1. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Graficar reflexiones de f(x) = logb(x)

Cuando la función matriz f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) se multiplica por −1, −1, el resultado es una reflexión alrededor del eje x. Cuando la entrada se multiplica por −1, −1, el resultado es una reflexión alrededor del eje y. Para visualizar las reflexiones, restringimos b>1, b>1, y observamos el gráfico general de la función matriz f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) junto a la reflexión alrededor del eje x, g(x)= −log b ( x ) g(x)= −log b ( x ) y la reflexión en torno al eje y, h(x)= log b ( -x ). h(x)= log b ( -x ).

Gráfico de dos funciones. La función matriz es f(x)=log_b(x), con asíntota en x=0 y g(x)=-log_b(x) cuando b>1 es la función de traslación con asíntota en x=0. En el gráfico se observa la intersección de las dos líneas en (1, 0). Esto muestra la traslación de una reflexión alrededor del eje x.
Figura 13

Reflexiones de la función matriz y= log b ( x ) y= log b ( x )

La función f(x)= −log b ( x ) f(x)= −log b ( x )

  • refleja la función matriz y= log b ( x ) y= log b ( x ) alrededor del eje x.
  • tiene dominio, ( 0, ), ( 0, ), rango, ( -, ), ( -, ), y la asíntota vertical, x=0, x=0, que no se modifican a partir de la función matriz.


La función f(x)= log b ( -x ) f(x)= log b ( -x )

  • refleja la función matriz y= log b ( x ) y= log b ( x ) en torno al eje y.
  • tiene dominio ( -,0 ). ( -,0 ).
  • tiene rango, ( -, ), ( -, ), y la asíntota vertical, x=0, x=0, que no se modifican a partir de la función matriz.

Cómo

Dada una función logarítmica con la función matriz f(x)= log b ( x ), f(x)= log b ( x ), graficar una traslación.

Si f(x)=- log b (x) Si f(x)=- log b (x) Si f(x)= log b (-x) Si f(x)= log b (-x)
1. Dibuje la asíntota vertical, x=0. x=0. 1. Dibuje la asíntota vertical, x=0. x=0.
2. Trace la intersección en x, ( 1,0 ). ( 1,0 ). 2. Trace la intersección en x, ( 1,0 ). ( 1,0 ).
3. Refleje el gráfico de la función matriz f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) alrededor del eje x. 3. Refleje el gráfico de la función matriz f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) en torno al eje y.
4. Dibuje una curva suave a través de los puntos. 4. Dibuje una curva suave a través de los puntos.
5. Indique el dominio, (0, ∞), el rango, (-∞, ∞) y la asíntota vertical x=0 x=0 . 5. Indique el dominio, (-∞, 0) el rango, (-∞, ∞) y la asíntota vertical x=0. x=0.
Tabla 3

Ejemplo 8

Graficar la reflexión de una función logarítmica

Dibuje un gráfico de f(x)=log(-x) f(x)=log(-x) junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Inténtelo #8

Grafique f(x)=-log(-x). f(x)=-log(-x). Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Cómo

Dada una ecuación logarítmica, utilizar una calculadora gráfica para determinar aproximadamente las soluciones.

  1. Pulse [Y=]. Introduzca la ecuación o ecuaciones logarítmicas dadas como Y1= y, si es necesario, Y2=.
  2. Pulse [GRAPH] para observar los gráficos de las curvas y utilice [WINDOW] para hallar una vista apropiada de los gráficos, incluso su(s) punto(s) de intersección.
  3. Para hallar el valor de x, x, calculamos el punto de intersección. Pulse [2ND] y luego [CALC]. Seleccione "intersección" y pulse tres veces la tecla [ENTER]. El punto de intersección da el valor de x, x, para el punto o puntos de intersección.

Ejemplo 9

Calcular aproximadamente la solución de una ecuación logarítmica

Resuelva 4ln( x )+1=-2ln( x1 ) 4ln( x )+1=-2ln( x1 ) gráficamente. Redondee a la milésima más cercana.

Inténtelo #9

Resuelva 5log( x+2 )=4log( x ) 5log( x+2 )=4log( x ) gráficamente. Redondee a la milésima más cercana.

Resumir las traslaciones de la función logarítmica

Ahora que hemos trabajado con cada tipo de traslación para la función logarítmica, podemos resumir cada una en la Tabla 4 para llegar a la ecuación general de traslación de las funciones exponenciales.

Traslaciones de la función matriz y= log b ( x ) y= log b ( x )
Traslación Forma
Desplazamiento
  • Horizontalmente c c unidades a la izquierda
  • Verticalmente d d unidades hacia arriba
y= log b ( x+c )+d y= log b ( x+c )+d
Estirar y comprimir
  • Estirar si | a |>1 | a |>1
  • Comprimir si | a |<1 | a |<1
y=a log b ( x ) y=a log b ( x )
Reflejar sobre el eje x y=- log b ( x ) y=- log b ( x )
Reflejar sobre el eje y y= log b ( -x ) y= log b ( -x )
Ecuación general para todas las traslaciones y=a log b (x+c)+d y=a log b (x+c)+d
Tabla 4

Traslación de funciones logarítmicas

Todas las traslaciones de la función logarítmica matriz, y= log b ( x ), y= log b ( x ), tienen la forma

 f(x)=a log b ( x+c )+d  f(x)=a log b ( x+c )+d

donde la función matriz, y= log b ( x ),b>1, y= log b ( x ),b>1, es

  • desplazada verticalmente hacia arriba d d unidades.
  • desplazada horizontalmente hacia la izquierda c c unidades.
  • estirada verticalmente por un factor de | a | | a | si | a |>0, | a |>0,
  • comprimida verticalmente por un factor de | a | | a | si 0<| a |<1. 0<| a |<1.
  • reflejada alrededor del eje x cuando a<0, a<0,

Para f( x )=log( -x ), f( x )=log( -x ), el gráfico de la función matriz se refleja alrededor del eje y.

Ejemplo 10

Hallar la asíntota vertical en un gráfico de logaritmos

¿Cuál es la asíntota vertical de f(x)=−2 log 3 (x+4)+5? f(x)=−2 log 3 (x+4)+5?

Análisis

El coeficiente, la base y la traslación hacia arriba no afectan la asíntota. El desplazamiento de la curva 4 unidades a la izquierda desplaza la asíntota vertical a x=−4. x=−4.

Inténtelo #10

¿Cuál es la asíntota vertical de f(x)=3+ln(x1)? f(x)=3+ln(x1)?

Ejemplo 11

Hallar la ecuación a partir de un gráfico

Halle una posible ecuación para la función logarítmica común, graficada en la Figura 15.

Gráfico en que una función logarítmica con asíntota vertical en x=-2, ha sido reflejada verticalmente, y pasa por los puntos (-1, 1) y (2, -1).
Figura 15

Análisis

Podemos verificar esta respuesta al comparar los valores de la función en la Tabla 5 con los puntos del gráfico en la Figura 15.

x x −1 0 1 2 3
f(x) f(x) 1 0 -0,58496 −1 -1,3219
x x 4 5 6 7 8
f(x) f(x) -1,5850 -1,8074 −2 -2,1699 -2,3219
Tabla 5

Inténtelo #11

Dé la ecuación del logaritmo natural graficada en la Figura 16.

Gráfico de una función logarítmica con asíntota vertical en x=-3, se ha estirado verticalmente en 2, y pasa por los puntos (-1, -1).
Figura 16

Preguntas y respuestas

¿Es posible saber el dominio y el rango y describir el comportamiento final de una función con tan solo mirar el gráfico?

Sí, si sabemos que la función es una función logarítmica general. Por ejemplo, observe el gráfico de la Figura 16. El gráfico se acerca x=−3 x=−3 (o más o menos) cada vez más, por lo que x=−3 x=−3 es, o está muy cerca, de la asíntota vertical. Se aproxima por la derecha, por lo que el dominio son todos los puntos a la derecha, {x|x>−3}. {x|x>−3}. El rango, como en todas las funciones logarítmicas generales, son todos los números reales. Además, podemos ver el comportamiento final porque el gráfico baja por la izquierda y sube por la derecha. El comportamiento final es que, como x 3 + ,f(x)- x 3 + ,f(x)- y dado que x,f(x). x,f(x).

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar cómo crear gráficos de logaritmos.

4.4 Ejercicios de sección

Verbales

1.

La inversa de toda función logarítmica es una función exponencial y viceversa. ¿Qué nos dice esto acerca de la relación entre las coordenadas de los puntos en los gráficos de cada uno?

2.

¿Qué tipo de traslación, si la hay, afecta el rango de una función logarítmica?

3.

¿Qué tipo de traslación, si la hay, afecta el dominio de una función logarítmica?

4.

Consideremos la función logarítmica general f(x)= log b ( x ). f(x)= log b ( x ). ¿Por qué x x no puede ser cero?

5.

¿El gráfico de una función logarítmica general tiene una asíntota horizontal? Explique.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, indique el dominio y el rango de la función.

6.

f(x)= log 3 ( x+4 ) f(x)= log 3 ( x+4 )

7.

h(x)=ln( 1 2 -x ) h(x)=ln( 1 2 -x )

8.

g(x)= log 5 ( 2 x+9 )-2 g(x)= log 5 ( 2 x+9 )-2

9.

h(x)=ln( 4x+17 )-5 h(x)=ln( 4x+17 )-5

10.

f(x)= log 2 ( 123x )-3 f(x)= log 2 ( 123x )-3

En los siguientes ejercicios, indique el dominio y la asíntota vertical de la función.

11.

f(x)= log b (x-5) f(x)= log b (x-5)

12.

g(x)=ln(3-x) g(x)=ln(3-x)

13.

f(x)=log(3x+1) f(x)=log(3x+1)

14.

f(x)=3log(-x)+2 f(x)=3log(-x)+2

15.

g(x)=-ln(3x+9)-7 g(x)=-ln(3x+9)-7

En los siguientes ejercicios, indique el dominio, la asíntota vertical y el comportamiento final de la función.

16.

f(x)=ln( 2 -x ) f(x)=ln( 2 -x )

17.

f(x)=log( x- 3 7 ) f(x)=log( x- 3 7 )

18.

h(x)=-log( 3x-4 )+3 h(x)=-log( 3x-4 )+3

19.

g(x)=ln( 2 x+6 )-5 g(x)=ln( 2 x+6 )-5

20.

f(x)= log 3 ( 155x )+6 f(x)= log 3 ( 155x )+6

En los siguientes ejercicios, indique el dominio, el rango y las intersecciones en x y en y, si existen. Si no existen, escriba DNE.

21.

h(x)= log 4 ( x1 )+1 h(x)= log 4 ( x1 )+1

22.

f(x)=log( 5x+10 )+3 f(x)=log( 5x+10 )+3

23.

g(x)=ln( -x )-2 g(x)=ln( -x )-2

24.

f(x)= log 2 ( x+2 )-5 f(x)= log 2 ( x+2 )-5

25.

h(x)=3ln( x )-9 h(x)=3ln( x )-9

Gráficos

En los siguientes ejercicios, empareje cada función en la Figura 17 con la letra correspondiente a su gráfico.

Gráfico de cinco funciones logarítmicas.
Figura 17
26.

d(x)=log( x ) d(x)=log( x )

27.

f(x)=ln(x) f(x)=ln(x)

28.

g(x)= log 2 ( x ) g(x)= log 2 ( x )

29.

h(x)= log 5 ( x ) h(x)= log 5 ( x )

30.

j(x)= log 25 ( x ) j(x)= log 25 ( x )

En los siguientes ejercicios, empareje cada función en la Figura 18 con la letra correspondiente a su gráfico.

Gráfico de tres funciones logarítmicas.
Figura 18
31.

f(x)= log 1 3 ( x ) f(x)= log 1 3 ( x )

32.

g(x)= log 2 ( x ) g(x)= log 2 ( x )

33.

h(x)= log 3 4 ( x ) h(x)= log 3 4 ( x )

En los siguientes ejercicios, dibuje los gráficos de cada par de funciones en el mismo eje.

34.

f(x)=log(x) f(x)=log(x) y g(x)= 10 x g(x)= 10 x

35.

f(x)=log(x) f(x)=log(x) y g(x)= log 1 2 (x) g(x)= log 1 2 (x)

36.

f(x)= log 4 (x) f(x)= log 4 (x) y g(x)=ln(x) g(x)=ln(x)

37.

f(x)= e x f(x)= e x y g(x)=ln(x) g(x)=ln(x)

En los siguientes ejercicios, empareje cada función en la Figura 19 con la letra correspondiente a su gráfico.

Gráfico de tres funciones logarítmicas.
Figura 19
38.

f(x)= log 4 ( -x+2 ) f(x)= log 4 ( -x+2 )

39.

g(x)=- log 4 ( x+2 ) g(x)=- log 4 ( x+2 )

40.

h(x)= log 4 ( x+2 ) h(x)= log 4 ( x+2 )

En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de la función indicada.

41.

f(x)= log 2 (x+2 ) f(x)= log 2 (x+2 )

42.

f(x)=2log(x) f(x)=2log(x)

43.

f(x)=ln(-x) f(x)=ln(-x)

44.

g(x)=log( 4x+16 )+4 g(x)=log( 4x+16 )+4

45.

g(x)=log( 6-3x )+1 g(x)=log( 6-3x )+1

46.

h(x)=- 1 2 ln( x+1 )-3 h(x)=- 1 2 ln( x+1 )-3

En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación logarítmica correspondiente al gráfico mostrado.

47.

Utilice y= log 2 (x) y= log 2 (x) como función matriz.

El gráfico y=log_2(x) se ha reflejado sobre el eje y, a la vez que se ha desplazado hacia la derecha en 1.
48.

Utilice f(x)= log 3 (x) f(x)= log 3 (x) como función matriz.

El gráfico y=log_3(x) se ha reflejado sobre el eje x, se ha estirado verticalmente en 3 y se ha desplazado hacia la izquierda en 4.
49.

Utilice f(x)= log 4 (x) f(x)= log 4 (x) como función matriz.

El gráfico y=log_4(x) se ha estirado verticalmente en 3, y se ha desplazado hacia la izquierda en 2.
50.

Utilice f(x)= log 5 (x) f(x)= log 5 (x) como función matriz.

El gráfico y=log_3(x) se ha reflejado sobre el eje x y el eje y, se ha estirado verticalmente en 2 y se ha desplazado hacia la derecha en 5.

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para hallar soluciones aproximadas a cada ecuación.

51.

log( x1 )+2 =ln( x1 )+2 log( x1 )+2 =ln( x1 )+2

52.

log( 2 x-3 )+2 =-log( 2 x-3 )+5 log( 2 x-3 )+2 =-log( 2 x-3 )+5

53.

ln( x-2 )=-ln( x+1 ) ln( x-2 )=-ln( x+1 )

54.

2ln( 5x+1 )= 1 2 ln( -5x )+1 2ln( 5x+1 )= 1 2 ln( -5x )+1

55.

1 3 log( 1-x )=log( x+1 )+ 1 3 1 3 log( 1-x )=log( x+1 )+ 1 3

Extensiones

56.

Supongamos que b b es cualquier número real positivo tal que b1. b1. ¿Cómo debe log b 1 log b 1 ser igual a? Compruebe el resultado.

57.

Explore y comente los gráficos de f(x)= log 1 2 ( x ) f(x)= log 1 2 ( x ) y g(x)=- log 2 ( x ). g(x)=- log 2 ( x ). Haga una conjetura basada en el resultado.

58.

Demuestre la conjetura hecha en el ejercicio anterior.

59.

¿Cuál es el dominio de la función f(x)=ln( x+2 x-4 )? f(x)=ln( x+2 x-4 )? Analice el resultado.

60.

Utilice las propiedades de los exponentes para hallar las intersecciones en x de la función f(x)=log( x 2 +4x+4 ) f(x)=log( x 2 +4x+4 ) algebraicamente. Muestre los pasos para resolver y luego compruebe el resultado al graficar la función.

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