Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Identificar el dominio de una función logarítmica.
Graficar funciones logarítmicas.

En Gráficos de funciones exponenciales vimos cómo la creación de una representación gráfica de un modelo exponencial nos da otra capa de conocimiento para predecir acontecimientos futuros. ¿De qué manera los gráficos logarítmicos nos permiten comprender las situaciones? Dado que toda función logarítmica es la función inversa de una función exponencial, podemos pensar en cada salida de un gráfico logarítmico como la entrada de la correspondiente ecuación exponencial inversa. En otras palabras, los logaritmos dan la causa de un efecto.

Para ilustrarlo, supongamos que invertimos $2.500$ dólares en una cuenta que ofrece un tipo de interés anual de $5 %,$ calculada continuamente. Ya sabemos que el saldo de nuestra cuenta para cualquier año $t$ se determina con la ecuación $A = 2500 e^{0,05 t} .$

Pero, ¿y si quisiéramos saber el año de cualquier saldo? Tendríamos que crear una nueva función correspondiente al intercambiar la entrada y la salida; por lo tanto, tendríamos que crear un modelo logarítmico para esta situación. Al graficar el modelo, podemos ver la salida (año) para cualquier entrada (saldo contable). Por ejemplo, ¿qué pasaría si quisiéramos saber cuántos años tardaríamos en duplicar nuestra inversión inicial? La Figura 1 muestra este punto en el gráfico logarítmico.

Gráfico titulado "Modelo logarítmico que muestra los años en función del saldo contable". El eje x se denomina "Saldo contable" y el eje y se denomina "Años". La línea comienza con 25.000 dólares el primer año. El gráfico también señala que el saldo alcanza los 5.000 dólares cerca del año 14.

Figura 1

En esta sección hablaremos acerca de los valores para los que se define una función logarítmica, y luego nos centraremos en la creación de gráficos de la familia de funciones logarítmicas.

Hallar el dominio de una función logarítmica

Antes de trabajar con los gráficos, echaremos un vistazo al dominio (el conjunto de valores de entrada) para el que se define la función logarítmica.

Recordemos que la función exponencial se define como $y = b^{x}$ para cualquier número real $x$ y constante $b > 0,$ $b \neq 1,$ donde

El dominio de $y$ es $(- \infty, \infty) .$
El rango de $y$ es $(0, \infty) .$

En la última sección aprendimos que la función logarítmica $y = \log_{b} (x)$ es la inversa de la función exponencial $y = b^{x} .$ Entonces, como funciones inversas:

El dominio de $y = \log_{b} (x)$ es el rango de $y = b^{x} :$ $(0, \infty) .$
El rango de $y = \log_{b} (x)$ es el dominio de $y = b^{x} :$ $(- \infty, \infty) .$

Las transformaciones de la función matriz $y = \log_{b} (x)$ se comportan de forma similar a las de otras funciones. Al igual que con otras funciones matrices, podemos aplicar los cuatro tipos de transformaciones (desplazamiento, estiramiento, compresión y reflexión) a la función matriz sin perder la forma.

En Gráficos de funciones exponenciales vimos que ciertas transformaciones pueden cambiar el rango de $y = b^{x} .$ Del mismo modo, al aplicar transformaciones a la función matriz $y = \log_{b} (x)$ podemos cambiar el dominio. Por lo tanto, al determinar el dominio de una función logarítmica, es importante recordar que el dominio consiste solo en números reales positivos. Es decir, el argumento de la función logarítmica deberá ser mayor que cero.

Por ejemplo, considere $f (x) = \log_{4} (2 x - 3) .$ Esta función se define para cualquier valor de $x$ de manera que el argumento, en este caso $2 x - 3,$ es mayor que cero. Para hallar el dominio, establecemos una inecuación y resolvemos para $x :$

\begin{array}{l} 2 x - 3 > 0 & Muestre el argumento mayor que cero . \\ 2 x > 3 & Sume 3 . \\ x > 1,5 \begin{matrix}  \end{matrix} & Divida entre 2 . \end{array}

En notación de intervalo, el dominio de $f (x) = \log_{4} (2 x - 3)$ es $(1,5, \infty) .$

Cómo

Dada una función logarítmica, identificar el dominio

Establezca una inecuación que muestre el argumento mayor que cero.
Resuelva para $x .$
Escriba el dominio en notación de intervalo.

Ejemplo 1

Identificar el dominio de un desplazamiento logarítmico

¿Cuál es el dominio de $f (x) = \log_{2} (x + 3) ?$

Solución

La función logarítmica se define solo cuando la entrada es positiva, por lo que esta función se define cuando $x + 3 > 0,$ Si resolvemos esta inecuación,

\begin{array}{l} x + 3 > 0 & La entrada debe ser positiva . \\ x > - 3 \begin{matrix}  \end{matrix} & Reste 3 . \end{array}

El dominio de $f (x) = \log_{2} (x + 3)$ es $(- 3, \infty) .$

Inténtelo #1

¿Cuál es el dominio de $f (x) = \log_{5} (x - 2) + 1 ?$

Ejemplo 2

Identificar el dominio de un desplazamiento logarítmico y de la reflexión

¿Cuál es el dominio de $f (x) = \log (5 - 2 x) ?$

Solución

La función logarítmica se define solo cuando la entrada es positiva, por lo que esta función se define cuando $5 - 2 x > 0 .$ Si resolvemos esta inecuación,

\begin{array}{l} 5 - 2 x > 0 & La entrada debe ser positiva . \\ - 2 x > - 5 & Reste 5. \\ x < \frac{5}{2} \begin{matrix}  \end{matrix} & Divida entre - 2 y cambie la inecuación . \end{array}

El dominio de $f (x) = \log (5 - 2 x)$ es $(- \infty, \frac{5}{2}) .$

Inténtelo #2

¿Cuál es el dominio de $f (x) = \log (x - 5) + 2 ?$

Graficar funciones logarítmicas

Ahora que ya conocemos el conjunto de valores para los que se define una función logarítmica, pasemos a graficar funciones logarítmicas. La familia de funciones logarítmicas incluye la función matriz $y = \log_{b} (x)$ junto con todas sus transformaciones: desplazamiento, estiramiento, compresión y reflexión.

Comenzamos con la función matriz $y = \log_{b} (x) .$ Ya que toda función logarítmica de esta forma es la inversa de una función exponencial con la forma $y = b^{x},$ sus gráficos serán una reflexión el uno del otro a través de la línea $y = x .$ Para ilustrar esto, podemos observar la relación entre los valores de entrada y salida de $y = 2^{x}$ y su equivalente $x = \log_{2} (y)$ en la Tabla 1.

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2^{x} = y$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$\log_{2} (y) = x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$

Tabla 1

Utilizando las entradas y salidas de la Tabla 1, podemos construir otra tabla para observar la relación entre los puntos de los gráficos de las funciones inversas $f (x) = 2^{x}$ y $g (x) = \log_{2} (x) .$ Vea la Tabla 2.

$f (x) = 2^{x}$	$(- 3, \frac{1}{8})$	$(- 2, \frac{1}{4})$	$(- 1, \frac{1}{2})$	$(0, 1)$	$(1, 2)$	$(2, 4)$	$(3, 8)$
$g (x) = \log_{2} (x)$	$(\frac{1}{8}, - 3)$	$(\frac{1}{4}, - 2)$	$(\frac{1}{2}, - 1)$	$(1, 0)$	$(2, 1)$	$(4, 2)$	$(8, 3)$

Tabla 2

Como era de esperar, las coordenadas de la x y de la y se invierten para las funciones inversas. La Figura 2 muestra el gráfico de $f$ y $g .$

Gráfico de dos funciones, f(x)=2^x y g(x)=log_2(x), donde la línea y=x denota el eje de simetría.

Figura 2 Observe que los gráficos de

f (x) = 2^{x}

y

g (x) = \log_{2} (x)

son reflexiones sobre la línea

y = x .

Observe lo siguiente a partir del gráfico:

$f (x) = 2^{x}$ tiene una intersección en y en $(0, 1)$ y $g (x) = \log_{2} (x)$ tiene una intersección en x en $(1, 0) .$
El dominio de $f (x) = 2^{x},$ $(- \infty, \infty),$ es el mismo que el rango de $g (x) = \log_{2} (x) .$
El rango de $f (x) = 2^{x},$ $(0, \infty),$ es el mismo que el dominio de $g (x) = \log_{2} (x) .$

Características del gráfico de la función matriz, $f (x) = \log_{b} (x) :$

Para cualquier número real $x$ y constante $b > 0,$ $b \neq 1,$ podemos ver las siguientes características en el gráfico de $f (x) = \log_{b} (x) :$

función biunívoca
asíntota vertical: $x = 0$
dominio: $(0, \infty)$
rango: $(- \infty, \infty)$
intersección en x: $(1, 0)$ y punto clave $(b, 1)$
intersección en y: ninguna
creciente si $b > 1$
decreciente si $0 < b < 1$

Vea la Figura 3.

Dos gráficos de la función f(x)=log_b(x) con los puntos (1,0) y (b, 1). El primer gráfico muestra la línea cuando b>1, y el segundo gráfico muestra la línea cuando 0<b<1.

Figura 3

La Figura 4 muestra cómo cambiar la base $b$ en $f (x) = \log_{b} (x)$ puede afectar los gráficos. Observe que los gráficos se comprimen verticalmente a medida que aumenta el valor de la base. (Nota: Recuerde que la función $\ln (x)$ tiene base $e \approx 2,718)$ .

Gráfico de tres ecuaciones: y=log_2(x) en azul, y=ln(x) en naranja, e y=log(x) en rojo. El eje y es la asíntota.

Figura 4 Los gráficos de tres funciones logarítmicas con diferentes bases, todas mayores que 1.

Cómo

Dada una función logarítmica de la forma $f (x) = \log_{b} (x),$ graficar la función.

Dibuje y marque la asíntota vertical, $x = 0,$
Trace la intersección en x, $(1, 0) .$
Trace el punto clave $(b, 1) .$
Dibuje una curva suave a través de los puntos.
Indique el dominio, $(0, \infty),$ el rango, $(- \infty, \infty),$ y la asíntota vertical, $x = 0,$

Ejemplo 3

Graficar una función logarítmica con la forma f(x) = log_b(x).

Grafique $f (x) = \log_{5} (x) .$ Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Solución

Antes de graficar, identifique el comportamiento y los puntos clave para el gráfico.

Dado que $b = 5$ es mayor que uno, sabemos que la función es creciente. La cola izquierda del gráfico se acercará a la asíntota vertical $x = 0,$ y la cola derecha aumentará lentamente sin límite.
La intersección en x es $(1, 0) .$
El punto clave $(5, 1)$ está en el gráfico.
Dibujamos y marcamos la asíntota, trazamos y marcamos los puntos, y dibujamos una curva suave a través de los puntos (ver la Figura 5).

Gráfico de f(x)=log_5(x) con puntos marcados en (1, 0) y (5, 1). El eje y es la asíntota.

Figura 5

El dominio es $(0, \infty),$ el rango es $(- \infty, \infty),$ y la asíntota vertical es $x = 0,$

Inténtelo #3

Grafique $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x) .$ Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Graficar transformaciones de funciones logarítmicas

Como hemos mencionado al principio de la sección, las transformaciones de los gráficos logarítmicos se comportan de forma semejante a las de otras funciones matrices. Podemos desplazar, estirar, comprimir y reflejar la función matriz $y = \log_{b} (x)$ sin perder la forma.

Graficar un desplazamiento horizontal de f(x) = log_b(x)

Cuando una constante $c$ se suma a la entrada de la función matriz $f (x) = l o g_{b} (x),$ el resultado es un desplazamiento horizontal $c$ unidades en la dirección opuesta al signo en $c .$ Para visualizar los desplazamientos horizontales, podemos observar el gráfico general de la función matriz $f (x) = \log_{b} (x)$ y para $c > 0$ junto al desplazamiento hacia la izquierda, $g (x) = \log_{b} (x + c),$ y el desplazamiento a la derecha, $h (x) = \log_{b} (x - c) .$ Vea la Figura 6.

Gráfico de dos funciones. La función matriz es f(x)=log_b(x), con asíntota en x=0 y g(x)=log_b(x+c) es la función de traslación con asíntota en x=-c. Esto muestra la traslación del desplazamiento hacia la izquierda.

Figura 6

Desplazamientos horizontales de la función matriz $f (x) = \log_{b} (x)$

Para cualquier constante $c,$ la función $f (x) = \log_{b} (x + c)$

desplaza la función matriz $y = \log_{b} (x)$ a la izquierda $c$ unidades si $c > 0,$
desplaza la función matriz $y = \log_{b} (x)$ a la derecha $c$ unidades si $c < 0,$
tiene la asíntota vertical $x = - c .$
tiene dominio $(- c, \infty) .$
tiene rango $(- \infty, \infty) .$

Cómo

Dada una función logarítmica de la forma $f (x) = \log_{b} (x + c),$ graficar la traslación.

Identifique el desplazamiento horizontal:
1. Si los valores de $c > 0,$ desplace el gráfico de $f (x) = \log_{b} (x)$ a la izquierda $c$ unidades.
2. Si los valores de $c < 0,$ desplace el gráfico de $f (x) = \log_{b} (x)$ a la derecha $c$ unidades.
Dibuje la asíntota vertical $x = - c .$
Identifique tres puntos clave de la función matriz. Halle nuevas coordenadas para las funciones desplazadas al restar $c$ de la coordenada de la $x$ .
Marque los tres puntos.
El dominio es $(- c, \infty),$ el rango es $(- \infty, \infty),$ y la asíntota vertical es $x = - c .$

Ejemplo 4

Graficar un desplazamiento horizontal de la función matriz y = log_b(x)

Trace el desplazamiento horizontal $f (x) = \log_{3} (x - 2)$ junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y las asíntotas en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Solución

Como la función es $f (x) = \log_{3} (x - 2),$ observamos que $x + (- 2) = x - 2.$

Por lo tanto, $c = - 2,$ por lo que $c < 0,$ Esto significa que desplazaremos la función $f (x) = \log_{3} (x)$ 2 unidades a la derecha.

La asíntota vertical es $x = - (- 2)$ o $x = 2.$

Considere los tres puntos clave de la función matriz, $(\frac{1}{3}, –1),$ $(1, 0),$ y $(3, 1) .$

Las nuevas coordenadas se calculan al sumar 2 a las coordenadas de la $x$ .

Marque los puntos $(\frac{7}{3}, –1),$ $(3, 0),$ y $(5, 1) .$

El dominio es $(2, \infty),$ el rango es $(- \infty, \infty),$ y la asíntota vertical es $x = 2.$

Gráfico de dos funciones. La función matriz es y=log_3(x), con una asíntota en x=0 y puntos marcados en (1/3, -1), (1, 0) y (3, 1). La función de traslación f(x)=log_3(x-2) tiene una asíntota en x=2 y puntos marcados en (3, 0) y (5, 1).

Figura 7

Inténtelo #4

Dibuje un gráfico de $f (x) = \log_{3} (x + 4)$ junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y las asíntotas en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Graficar un desplazamiento vertical de y = log_b(x)

Cuando una constante $d$ se suma a la función matriz $f (x) = \log_{b} (x),$ el resultado es un desplazamiento vertical $d$ unidades en la dirección del signo en $d .$ Para visualizar los desplazamientos verticales, podemos observar el gráfico general de la función matriz $f (x) = \log_{b} (x)$ junto con el desplazamiento hacia arriba, $g (x) = \log_{b} (x) + d$ y el desplazamiento hacia abajo, $h (x) = \log_{b} (x) - d .$ Vea la Figura 8.

Gráfico de dos funciones. La función matriz es f(x)=log_b(x), con asíntota en x=0 y g(x)=log_b(x)+d es la función de traslación con asíntota en x=0. Esto muestra la traslación del desplazamiento hacia arriba. Gráfico de dos funciones. La función matriz es f(x)=log_b(x), con asíntota en x=0 y g(x)=log_b(x)-d es la función de traslación con asíntota en x=0. Esto muestra la traslación del desplazamiento hacia abajo.

Figura 8

Desplazamientos verticales de la función matriz $y = \log_{b} (x)$

Para cualquier constante $d,$ la función $f (x) = \log_{b} (x) + d$

desplaza la función matriz $y = \log_{b} (x)$ hacia arriba $d$ unidades si $d > 0,$
desplaza la función matriz $y = \log_{b} (x)$ hacia abajo $d$ unidades si $d < 0,$
tiene la asíntota vertical $x = 0,$
tiene dominio $(0, \infty) .$
tiene rango $(- \infty, \infty) .$

Cómo

Dada una función logarítmica de la forma $f (x) = \log_{b} (x) + d,$ graficar la traslación.

Identifique el desplazamiento vertical
- Si los valores de $d > 0,$ desplace el gráfico de $f (x) = \log_{b} (x)$ hacia arriba $d$ unidades.
- Si los valores de $d < 0,$ desplace el gráfico de $f (x) = \log_{b} (x)$ hacia abajo $d$ unidades.
Dibuje la asíntota vertical $x = 0,$
Identifique tres puntos clave de la función matriz. Halle nuevas coordenadas para las funciones desplazadas al sumar $d$ a la coordenada de la $y$ .
Marque los tres puntos.
El dominio es $(0, \infty),$ el rango es $(- \infty, \infty),$ y la asíntota vertical es $x = 0,$

Ejemplo 5

Graficar un desplazamiento vertical de la función matriz y = log_b(x)

Dibuje un gráfico de $f (x) = \log_{3} (x) - 2$ junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Solución

Como la función es $f (x) = \log_{3} (x) - 2,$ observamos que $d = - 2.$ Así que $d < 0 .$

Esto significa que desplazaremos la función $f (x) = \log_{3} (x)$ 2 unidades hacia abajo.

La asíntota vertical es $x = 0 .$

Considere los tres puntos clave de la función matriz, $(\frac{1}{3}, –1),$ $(1, 0),$ y $(3, 1) .$

Las nuevas coordenadas se encuentran al restar 2 a las coordenadas de la y.

Marque los puntos $(\frac{1}{3}, −3),$ $(1, –2),$ y $(3, –1) .$

El dominio es $(0, \infty),$ el rango es $(- \infty, \infty),$ y la asíntota vertical es $x = 0 .$

Figura 9

El dominio es $(0, \infty),$ el rango es $(- \infty, \infty),$ y la asíntota vertical es $x = 0 .$

Inténtelo #5

Dibuje un gráfico de $f (x) = \log_{2} (x) + 2$ junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Graficar estiramiento y compresión de y = log_b(x)

Cuando la función matriz $f (x) = \log_{b} (x)$ se multiplica por una constante $a > 0,$ el resultado es un estiramiento vertical o compresión vertical del gráfico original. Para visualizar el estiramiento y la compresión, establecemos $a > 1$ y observe que el gráfico general de la función matriz $f (x) = \log_{b} (x)$ junto al estiramiento vertical, $g (x) = a \log_{b} (x)$ y la compresión vertical, $h (x) = \frac{1}{a} \log_{b} (x) .$ Vea la Figura 10.

Gráfico de dos funciones. La función matriz es f(x)=log_b(x), con asíntota en x=0 y g(x)=alog_b(x) cuando a>1 es la función de traslación con asíntota en x=0. En el gráfico se observa la intersección de las dos líneas en (1, 0). Esto muestra la traslación de un estiramiento vertical.

Figura 10

Estiramiento y compresión vertical de la función matriz $y = \log_{b} (x)$

Para cualquier constante $a > 1,$ la función $f (x) = a \log_{b} (x)$

estira la función matriz $y = \log_{b} (x)$ verticalmente por un factor de $a$ si $a > 1.$
comprime la función matriz $y = \log_{b} (x)$ verticalmente por un factor de $a$ si $0 < a < 1.$
tiene la asíntota vertical $x = 0 .$
tiene la intersección en x $(1, 0) .$
tiene dominio $(0, \infty) .$
tiene rango $(- \infty, \infty) .$

Cómo

Dada una función logarítmica de la forma $f (x) = a \log_{b} (x),$ $a > 0,$ graficar la traslación.

Identifique el estiramiento o la compresión vertical:
- Si los valores de $| a | > 1,$ el gráfico de $f (x) = \log_{b} (x)$ se estira por un factor de $a$ unidades.
- Si los valores de $| a | < 1,$ el gráfico de $f (x) = \log_{b} (x)$ se comprime por un factor de $a$ unidades.
Dibuje la asíntota vertical $x = 0 .$
Identifique tres puntos clave de la función matriz. Halle otras coordenadas para las funciones desplazadas al multiplicar las coordenadas de la $y$ por $a .$
Marque los tres puntos.
El dominio es $(0, \infty),$ el rango es $(- \infty, \infty),$ y la asíntota vertical es $x = 0 .$

Ejemplo 6

Graficar un estiramiento o una compresión de la función matriz y = log_b(x)

Dibuje un gráfico de $f (x) = 2 \log_{4} (x)$ junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Solución

Como la función es $f (x) = 2 \log_{4} (x),$ observamos que $a = 2.$

Esto significa que estiraremos la función $f (x) = \log_{4} (x)$ por un factor de 2.

La asíntota vertical es $x = 0 .$

Considere los tres puntos clave de la función matriz, $(\frac{1}{4}, –1),$ $(1, 0),$ y $(4, 1) .$

Las nuevas coordenadas se hallan al multiplicar las coordenadas de la $y$ por 2.

Marque los puntos $(\frac{1}{4}, –2),$ $(1, 0),$ y $(4, 2) .$

El dominio es $(0, \infty),$ el rango es $(- \infty, \infty),$ y la asíntota vertical es $x = 0 .$ Vea la Figura 11.

Gráfico de dos funciones. La función matriz es y=log_4(x), con asíntota en x=0 y puntos marcados en (1, 0), y (4, 1). La función de traslación f(x)=2log_4(x) tiene asíntota en x=0 y puntos marcados en (1, 0) y (2, 1).

Figura 11

El dominio es $(0, \infty),$ el rango es $(- \infty, \infty),$ y la asíntota vertical es $x = 0 .$

Inténtelo #6

Dibuje un gráfico de $f (x) = \frac{1}{2} \log_{4} (x)$ junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Ejemplo 7

Combinar desplazamiento y estiramiento

Dibuje un gráfico de $f (x) = 5 \log (x + 2) .$ Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Solución

Recuerde: lo que ocurre dentro de los paréntesis ocurre primero. En primer lugar, movemos el gráfico a la izquierda 2 unidades, y luego estiramos la función verticalmente por un factor de 5, como en la Figura 12. La asíntota vertical se desplazará a $x = -2.$ La intersección en x será $(−1, 0) .$ El dominio será $(–2, \infty) .$ Dos puntos darán forma al gráfico $(–1, 0)$ y $(8, 5).$ Hemos elegido $x = 8$ como la coordenada de la x de un punto a graficar, porque cuando $x = 8,$ $x + 2 = 10,$ la base del logaritmo común.

Gráfico de tres funciones. La función matriz es y=log(x), con una asíntota en x=0. La primera función de traslación y=5log(x+2) tiene una asíntota en x=-2. La segunda función de traslación y=log(x+2) tiene una asíntota en x=-2.

Figura 12

El dominio es $(- 2, \infty),$ el rango es $(- \infty, \infty),$ y la asíntota vertical es $x = - 2.$

Inténtelo #7

Dibuje un gráfico de la función $f (x) = 3 \log (x - 2) + 1.$ Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Graficar reflexiones de f(x) = log_b(x)

Cuando la función matriz $f (x) = \log_{b} (x)$ se multiplica por $−1,$ el resultado es una reflexión alrededor del eje x. Cuando la entrada se multiplica por $−1,$ el resultado es una reflexión alrededor del eje y. Para visualizar las reflexiones, restringimos $b > 1,$ y observamos el gráfico general de la función matriz $f (x) = \log_{b} (x)$ junto a la reflexión alrededor del eje x, $g (x) = {−log}_{b} (x)$ y la reflexión en torno al eje y, $h (x) = \log_{b} (- x) .$

Gráfico de dos funciones. La función matriz es f(x)=log_b(x), con asíntota en x=0 y g(x)=-log_b(x) cuando b>1 es la función de traslación con asíntota en x=0. En el gráfico se observa la intersección de las dos líneas en (1, 0). Esto muestra la traslación de una reflexión alrededor del eje x.

Figura 13

Reflexiones de la función matriz $y = \log_{b} (x)$

La función $f (x) = {−log}_{b} (x)$

refleja la función matriz $y = \log_{b} (x)$ alrededor del eje x.
tiene dominio, $(0, \infty),$ rango, $(- \infty, \infty),$ y la asíntota vertical, $x = 0,$ que no se modifican a partir de la función matriz.

La función $f (x) = \log_{b} (- x)$

refleja la función matriz $y = \log_{b} (x)$ en torno al eje y.
tiene dominio $(- \infty, 0) .$
tiene rango, $(- \infty, \infty),$ y la asíntota vertical, $x = 0,$ que no se modifican a partir de la función matriz.

Cómo

Dada una función logarítmica con la función matriz $f (x) = \log_{b} (x),$ graficar una traslación.

$Si f (x) = - \log_{b} (x)$	$Si f (x) = \log_{b} (- x)$
1. Dibuje la asíntota vertical, $x = 0 .$	1. Dibuje la asíntota vertical, $x = 0 .$
2. Trace la intersección en x, $(1, 0) .$	2. Trace la intersección en x, $(1, 0) .$
3. Refleje el gráfico de la función matriz $f (x) = \log_{b} (x)$ alrededor del eje x.	3. Refleje el gráfico de la función matriz $f (x) = \log_{b} (x)$ en torno al eje y.
4. Dibuje una curva suave a través de los puntos.	4. Dibuje una curva suave a través de los puntos.
5. Indique el dominio, (0, ∞), el rango, (-∞, ∞) y la asíntota vertical $x = 0$ .	5. Indique el dominio, (-∞, 0) el rango, (-∞, ∞) y la asíntota vertical $x = 0 .$

Tabla 3

Ejemplo 8

Graficar la reflexión de una función logarítmica

Dibuje un gráfico de $f (x) = \log (- x)$ junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Solución

Antes de graficar $f (x) = \log (- x),$ identifique el comportamiento y los puntos clave del gráfico.

Dado que $b = 10$ es mayor que uno, sabemos que la función matriz es creciente. Dado que el valor de entrada se multiplica por $−1,$ $f$ es una reflexión del gráfico principal en torno al eje y. Así, $f (x) = \log (- x)$ disminuirá a medida que $x$ se mueve desde el infinito negativo hasta el cero, y la cola derecha del gráfico se acercará a la asíntota vertical $x = 0 .$
La intersección en x es $(–1, 0) .$
Dibujamos y marcamos la asíntota, trazamos y marcamos los puntos, y dibujamos una curva suave a través de los puntos.

Gráfico de dos funciones. La función matriz es y=log(x), con asíntota en x=0 y puntos marcados en (1, 0), y (10, 1). La función de traslación f(x)=log(-x) tiene asíntota en x=0 y puntos marcados en (-1, 0) y (-10, 1).

Figura 14

El dominio es $(- \infty, 0),$ el rango es $(- \infty, \infty),$ y la asíntota vertical es $x = 0,$

Inténtelo #8

Grafique $f (x) = - \log (- x) .$ Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Cómo

Dada una ecuación logarítmica, utilizar una calculadora gráfica para determinar aproximadamente las soluciones.

Pulse [Y=]. Introduzca la ecuación o ecuaciones logarítmicas dadas como Y1= y, si es necesario, Y2=.
Pulse [GRAPH] para observar los gráficos de las curvas y utilice [WINDOW] para hallar una vista apropiada de los gráficos, incluso su(s) punto(s) de intersección.
Para hallar el valor de $x,$ calculamos el punto de intersección. Pulse [2ND] y luego [CALC]. Seleccione "intersección" y pulse tres veces la tecla [ENTER]. El punto de intersección da el valor de $x,$ para el punto o puntos de intersección.

Ejemplo 9

Calcular aproximadamente la solución de una ecuación logarítmica

Resuelva $4 \ln (x) + 1 = - 2 \ln (x - 1)$ gráficamente. Redondee a la milésima más cercana.

Solución

Pulse [Y=] e introduzca $4 \ln (x) + 1$ junto a Y1=. A continuación, introduzca $- 2 \ln (x - 1)$ junto a Y2=. Para una ventana, utilice los valores de 0 a 5 para $x$ y de -10 a 10 para $y .$ Pulse la tecla [GRAPH]. Los gráficos deberían intersecarse en algún lugar a la derecha de $x = 1.$

Para una mejor aproximación, pulse [2ND] y luego [CALC]. Seleccione [5: intersección] y pulse [ENTER] tres veces. La coordenada de la x en el punto de intersección se muestra como 1,3385297. (Su respuesta puede ser distinta si utiliza una ventana o un valor diferente para Guess? [Supongamos...]) Así que, a la milésima más cercana, $x \approx 1,339.$

Inténtelo #9

Resuelva $5 \log (x + 2) = 4 - \log (x)$ gráficamente. Redondee a la milésima más cercana.

Resumir las traslaciones de la función logarítmica

Ahora que hemos trabajado con cada tipo de traslación para la función logarítmica, podemos resumir cada una en la Tabla 4 para llegar a la ecuación general de traslación de las funciones exponenciales.

Traslaciones de la función matriz $y = \log_{b} (x)$
Traslación	Forma
Desplazamiento Horizontalmente $c$ unidades a la izquierda Verticalmente $d$ unidades hacia arriba	$y = \log_{b} (x + c) + d$
Estirar y comprimir Estirar si $\| a \| > 1$ Comprimir si $\| a \| < 1$	$y = a \log_{b} (x)$
Reflejar sobre el eje x	$y = - \log_{b} (x)$
Reflejar sobre el eje y	$y = \log_{b} (- x)$
Ecuación general para todas las traslaciones	$y = a \log_{b} (x + c) + d$

Tabla 4

Traslación de funciones logarítmicas

Todas las traslaciones de la función logarítmica matriz, $y = \log_{b} (x),$ tienen la forma

f (x) = a \log_{b} (x + c) + d

donde la función matriz, $y = \log_{b} (x), b > 1,$ es

desplazada verticalmente hacia arriba $d$ unidades.
desplazada horizontalmente hacia la izquierda $c$ unidades.
estirada verticalmente por un factor de $| a |$ si $| a | > 0,$
comprimida verticalmente por un factor de $| a |$ si $0 < | a | < 1.$
reflejada alrededor del eje x cuando $a < 0,$

Para $f (x) = \log (- x),$ el gráfico de la función matriz se refleja alrededor del eje y.

Ejemplo 10

Hallar la asíntota vertical en un gráfico de logaritmos

¿Cuál es la asíntota vertical de $f (x) = −2 \log_{3} (x + 4) + 5 ?$

Solución

La asíntota vertical está en $x = - 4.$

Análisis

El coeficiente, la base y la traslación hacia arriba no afectan la asíntota. El desplazamiento de la curva 4 unidades a la izquierda desplaza la asíntota vertical a $x = −4.$

Inténtelo #10

¿Cuál es la asíntota vertical de $f (x) = 3 + \ln (x - 1) ?$

Ejemplo 11

Hallar la ecuación a partir de un gráfico

Halle una posible ecuación para la función logarítmica común, graficada en la Figura 15.

Gráfico en que una función logarítmica con asíntota vertical en x=-2, ha sido reflejada verticalmente, y pasa por los puntos (-1, 1) y (2, -1).

Figura 15

Solución

Este gráfico tiene una asíntota vertical en $x = -2$ y se ha reflejado verticalmente. Todavía no conocemos ni el desplazamiento ni el estiramiento vertical. Hasta ahora sabemos que la ecuación tendrá la forma:

f (x) = - a \log (x + 2) + k

Parece que el gráfico pasa por los puntos $(-1, 1)$ y $(2, -1) .$ Al sustituir $(-1, 1),$

\begin{array}{l} 1 = - a \log (–1 + 2) + k & Sustituya (–1, 1) . \\ 1 = - a \log (1) + k & Aritmética . \\ 1 = k & log(1) = 0, \end{array}

A continuación, al sustituir $(2, -1)$ ,

\begin{array}{l} - 1 = - a \log (2 + 2) + 1 & Enchufe (2, –1) . \\ - 2 = - a \log (4) & Aritmética . \\ a = \frac{2}{\log (4)} & Resuelva para a . \end{array}

Esto nos da la ecuación $f (x) = - \frac{2}{\log (4)} \log (x + 2) + 1.$

Análisis

Podemos verificar esta respuesta al comparar los valores de la función en la Tabla 5 con los puntos del gráfico en la Figura 15.

$x$	−1	0	1	2	3
$f (x)$	1	0	-0,58496	−1	-1,3219
$x$	4	5	6	7	8
$f (x)$	-1,5850	-1,8074	−2	-2,1699	-2,3219

Tabla 5

Inténtelo #11

Dé la ecuación del logaritmo natural graficada en la Figura 16.

Gráfico de una función logarítmica con asíntota vertical en x=-3, se ha estirado verticalmente en 2, y pasa por los puntos (-1, -1).

Figura 16

Preguntas y respuestas

¿Es posible saber el dominio y el rango y describir el comportamiento final de una función con tan solo mirar el gráfico?

Sí, si sabemos que la función es una función logarítmica general. Por ejemplo, observe el gráfico de la Figura 16. El gráfico se acerca $x = −3$ (o más o menos) cada vez más, por lo que $x = −3$ es, o está muy cerca, de la asíntota vertical. Se aproxima por la derecha, por lo que el dominio son todos los puntos a la derecha, ${x | x > −3} .$ El rango, como en todas las funciones logarítmicas generales, son todos los números reales. Además, podemos ver el comportamiento final porque el gráfico baja por la izquierda y sube por la derecha. El comportamiento final es que, como $x \to - 3^{+}, f (x) \to - \infty$ y dado que $x \to \infty, f (x) \to \infty .$

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar cómo crear gráficos de logaritmos.

4.4 Ejercicios de sección

Verbales

1.

La inversa de toda función logarítmica es una función exponencial y viceversa. ¿Qué nos dice esto acerca de la relación entre las coordenadas de los puntos en los gráficos de cada uno?

2.

¿Qué tipo de traslación, si la hay, afecta el rango de una función logarítmica?

3.

¿Qué tipo de traslación, si la hay, afecta el dominio de una función logarítmica?

4.

Consideremos la función logarítmica general $f (x) = \log_{b} (x) .$ ¿Por qué $x$ no puede ser cero?

5.

¿El gráfico de una función logarítmica general tiene una asíntota horizontal? Explique.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, indique el dominio y el rango de la función.

6.

$f (x) = \log_{3} (x + 4)$

7.

$h (x) = \ln (\frac{1}{2} - x)$

8.

$g (x) = \log_{5} (2 x + 9) - 2$

9.

$h (x) = \ln (4 x + 17) - 5$

10.

$f (x) = \log_{2} (12 - 3 x) - 3$

En los siguientes ejercicios, indique el dominio y la asíntota vertical de la función.

11.

$f (x) = \log_{b} (x - 5)$

12.

$g (x) = \ln (3 - x)$

13.

$f (x) = \log (3 x + 1)$

14.

$f (x) = 3 \log (- x) + 2$

15.

$g (x) = - \ln (3 x + 9) - 7$

En los siguientes ejercicios, indique el dominio, la asíntota vertical y el comportamiento final de la función.

16.

$f (x) = \ln (2 - x)$

17.

$f (x) = \log (x - \frac{3}{7})$

18.

$h (x) = - \log (3 x - 4) + 3$

19.

$g (x) = \ln (2 x + 6) - 5$

20.

$f (x) = \log_{3} (15 - 5 x) + 6$

En los siguientes ejercicios, indique el dominio, el rango y las intersecciones en x y en y, si existen. Si no existen, escriba DNE.

21.

$h (x) = \log_{4} (x - 1) + 1$

22.

$f (x) = \log (5 x + 10) + 3$

23.

$g (x) = \ln (- x) - 2$

24.

$f (x) = \log_{2} (x + 2) - 5$

25.

$h (x) = 3 \ln (x) - 9$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, empareje cada función en la Figura 17 con la letra correspondiente a su gráfico.

Gráfico de cinco funciones logarítmicas.

Figura 17

26.

$d (x) = \log (x)$

27.

$f (x) = \ln (x)$

28.

$g (x) = \log_{2} (x)$

29.

$h (x) = \log_{5} (x)$

30.

$j (x) = \log_{25} (x)$

En los siguientes ejercicios, empareje cada función en la Figura 18 con la letra correspondiente a su gráfico.

Figura 18

31.

$f (x) = \log_{\frac{1}{3}} (x)$

32.

$g (x) = \log_{2} (x)$

33.

$h (x) = \log_{\frac{3}{4}} (x)$

En los siguientes ejercicios, dibuje los gráficos de cada par de funciones en el mismo eje.

34.

$f (x) = \log (x)$ y $g (x) = 10^{x}$

35.

$f (x) = \log (x)$ y $g (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x)$

36.

$f (x) = \log_{4} (x)$ y $g (x) = \ln (x)$

37.

$f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \ln (x)$

En los siguientes ejercicios, empareje cada función en la Figura 19 con la letra correspondiente a su gráfico.

Figura 19

38.

$f (x) = \log_{4} (- x + 2)$

39.

$g (x) = - \log_{4} (x + 2)$

40.

$h (x) = \log_{4} (x + 2)$

En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de la función indicada.

41.

$f (x) = \log_{2} (x + 2)$

42.

$f (x) = 2 \log (x)$

43.

$f (x) = \ln (- x)$

44.

$g (x) = \log (4 x + 16) + 4$

45.

$g (x) = \log (6 - 3 x) + 1$

46.

$h (x) = - \frac{1}{2} \ln (x + 1) - 3$

En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación logarítmica correspondiente al gráfico mostrado.

47.

Utilice $y = \log_{2} (x)$ como función matriz.

El gráfico y=log_2(x) se ha reflejado sobre el eje y, a la vez que se ha desplazado hacia la derecha en 1.

48.

Utilice $f (x) = \log_{3} (x)$ como función matriz.

El gráfico y=log_3(x) se ha reflejado sobre el eje x, se ha estirado verticalmente en 3 y se ha desplazado hacia la izquierda en 4.

49.

Utilice $f (x) = \log_{4} (x)$ como función matriz.

El gráfico y=log_4(x) se ha estirado verticalmente en 3, y se ha desplazado hacia la izquierda en 2.

50.

Utilice $f (x) = \log_{5} (x)$ como función matriz.

El gráfico y=log_3(x) se ha reflejado sobre el eje x y el eje y, se ha estirado verticalmente en 2 y se ha desplazado hacia la derecha en 5.

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para hallar soluciones aproximadas a cada ecuación.

51.

$\log (x - 1) + 2 = \ln (x - 1) + 2$

52.

$\log (2 x - 3) + 2 = - \log (2 x - 3) + 5$

53.

$\ln (x - 2) = - \ln (x + 1)$

54.

$2 \ln (5 x + 1) = \frac{1}{2} \ln (- 5 x) + 1$

55.

$\frac{1}{3} \log (1 - x) = \log (x + 1) + \frac{1}{3}$

Extensiones

56.

Supongamos que $b$ es cualquier número real positivo tal que $b \neq 1.$ ¿Cómo debe $\log_{b} 1$ ser igual a? Compruebe el resultado.

57.

Explore y comente los gráficos de $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x)$ y $g (x) = - \log_{2} (x) .$ Haga una conjetura basada en el resultado.

58.

Demuestre la conjetura hecha en el ejercicio anterior.

59.

¿Cuál es el dominio de la función $f (x) = \ln (\frac{x + 2}{x - 4}) ?$ Analice el resultado.

60.

Utilice las propiedades de los exponentes para hallar las intersecciones en x de la función $f (x) = \log (x^{2} + 4 x + 4)$ algebraicamente. Muestre los pasos para resolver y luego compruebe el resultado al graficar la función.

4.4 Gráficos de funciones logarítmicas

Hallar el dominio de una función logarítmica

Identificar el dominio de un desplazamiento logarítmico

Solución

Identificar el dominio de un desplazamiento logarítmico y de la reflexión

Solución

Graficar funciones logarítmicas

Graficar una función logarítmica con la forma f(x) = logb(x).

Solución

Graficar transformaciones de funciones logarítmicas

Graficar un desplazamiento horizontal de f(x) = logb(x)

Graficar un desplazamiento horizontal de la función matriz y = logb(x)

Solución

Graficar un desplazamiento vertical de y = logb(x)

Graficar un desplazamiento vertical de la función matriz y = logb(x)

Solución

Graficar estiramiento y compresión de y = logb(x)

Graficar un estiramiento o una compresión de la función matriz y = logb(x)

Solución

Combinar desplazamiento y estiramiento

Solución

Graficar reflexiones de f(x) = logb(x)

Graficar la reflexión de una función logarítmica

Solución

Calcular aproximadamente la solución de una ecuación logarítmica

Solución

Resumir las traslaciones de la función logarítmica

Hallar la asíntota vertical en un gráfico de logaritmos

Solución

Análisis

Hallar la ecuación a partir de un gráfico

Solución

Análisis

4.4 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

En tecnología

Extensiones

Graficar una función logarítmica con la forma f(x) = log_b(x).

Graficar un desplazamiento horizontal de f(x) = log_b(x)

Graficar un desplazamiento horizontal de la función matriz y = log_b(x)

Graficar un desplazamiento vertical de y = log_b(x)

Graficar un desplazamiento vertical de la función matriz y = log_b(x)

Graficar estiramiento y compresión de y = log_b(x)

Graficar un estiramiento o una compresión de la función matriz y = log_b(x)

Graficar reflexiones de f(x) = log_b(x)