Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Utilizar la regla del producto para los logaritmos.
Utilizar la regla del cociente para los logaritmos.
Utilizar la regla de la potencia para los logaritmos.
Expandir expresiones logarítmicas.
Condensar expresiones logarítmicas.
Utilizar la fórmula de cambio de base para los logaritmos.

Figura 1 El pH del ácido clorhídrico se comprueba con papel tornasol. (Créditos: David Berardan).

En química, el pH se utiliza para medir la acidez o alcalinidad de una sustancia. La escala de pH va de 0 a 14. Las sustancias con un pH inferior a 7 se consideran ácidas, y las sustancias con un pH superior a 7 se consideran básicas. Nuestro organismo, por ejemplo, debe mantener un pH cercano a 7,35 para que las enzimas funcionen correctamente. Para hacerse una idea de lo que es ácido y lo que es básico, considere los siguientes niveles de pH de algunas sustancias comunes:

Ácido de batería: 0,8
Acidez estomacal: 2,7
Zumo de naranja: 3,3
Agua pura: 7 (a 25° C)
Sangre humana: 7,35
Coco fresco: 7,8
Hidróxido de sodio (lejía): 14

Para determinar si una solución es ácida o básica, buscamos su pH, que es una medida del número de iones de hidrógeno positivos activos en la solución. El pH se define mediante la siguiente fórmula, donde $H^{+}$ es la concentración de iones de hidrógeno en la solución

\begin{array}{l} pH = - \log ([H^{+}]) \\ = \log (\frac{1}{[H^{+}]}) \end{array}

La equivalencia de $- \log ([H^{+}])$ y $\log (\frac{1}{[H^{+}]})$ es una de las propiedades del logaritmo que examinaremos en esta sección.

Uso de la regla del producto para los logaritmos

Recuerde que las funciones logarítmicas y exponenciales se "deshacen" mutuamente. Esto significa que los logaritmos tienen propiedades similares a los exponentes. Aquí se dan algunas propiedades importantes de los logaritmos. En primer lugar, las siguientes propiedades son fáciles de comprobar.

\begin{array}{l} \log_{b} 1 = 0 \\ \log_{b} b = 1 \end{array}

Por ejemplo, $\log_{5} 1 = 0$ dado que $5^{0} = 1.$ Y $\log_{5} 5 = 1$ dado que $5^{1} = 5.$

A continuación, tenemos la propiedad inversa.

\begin{array}{l} \log_{b} (b^{x}) = x \\ b^{\log_{b} x} = x, x > 0 \end{array}

Por ejemplo, para evaluar $\log (100),$ podemos reescribir el logaritmo como $\log_{10} (10^{2}),$ y luego aplicar la propiedad inversa $\log_{b} (b^{x}) = x$ para obtener $\log_{10} (10^{2}) = 2.$

Para evaluar $e^{\ln (7)},$ podemos reescribir el logaritmo como $e^{\log_{e} 7},$ y luego aplicar la propiedad inversa $b^{\log_{b} x} = x$ para obtener $e^{\log_{e} 7} = 7.$

Por último, tenemos la propiedad biunívoca.

\log_{b} M = \log_{b} N si y solo si M = N

Podemos utilizar la propiedad biunívoca para resolver la ecuación $\log_{3} (3 x) = \log_{3} (2 x + 5)$ para $x .$ Debido a que las bases son iguales, podemos aplicar la propiedad biunívoca al igualar los argumentos y resolver para $x :$

\begin{array}{l} 3 x = 2 x + 5 & Iguale los argumentos . \\ x = 5 & Reste 2 x . \end{array}

¿Qué pasa con la ecuación $\log_{3} (3 x) + \log_{3} (2 x + 5) = 2 ?$ La propiedad biunívoca no nos sirve en este caso. Antes de poder resolver una ecuación como esta, necesitamos un método para combinar los términos del lado izquierdo de la ecuación.

Recordemos que utilizamos la regla de multiplicación de exponentes para combinar el producto de potencias sumando exponentes: $x^{a} x^{b} = x^{a + b} .$ Tenemos una propiedad similar para los logaritmos, denominada regla del producto de los logaritmos, la cual establece que el logaritmo de un producto es igual a una suma de logaritmos. Ya que los logaritmos son exponentes, y multiplicamos como bases, podemos sumar los exponentes. Utilizaremos la propiedad inversa para derivar la regla del producto, a continuación.

Dado un número real cualquiera $x$ y números reales positivos $M, N,$ y $b,$ donde $b \neq 1,$ mostraremos

\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N) .

Supongamos que $m = \log_{b} M$ y $n = \log_{b} N .$ En forma exponencial, estas ecuaciones son $b^{m} = M$ y $b^{n} = N .$ Se deduce que

\begin{array}{l} \log_{b} (M N) & = \log_{b} (b^{m} b^{n}) & Sustituya por M y N . \\ = \log_{b} (b^{m + n}) & Aplique la regla del producto para los exponentes . \\ = m + n & Aplique la propiedad inversa de los logaritmos . \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (N) & Sustituya por m y n . \end{array}

Observe que la aplicación repetida de la regla del producto para los logaritmos nos permite simplificar el logaritmo del producto de cualquier número de factores. Por ejemplo, considere $\log_{b} (w x y z) .$ Con la regla del producto para los logaritmos, podemos reescribir este logaritmo de un producto como la suma de los logaritmos de sus factores:

\log_{b} (w x y z) = \log_{b} w + \log_{b} x + \log_{b} y + \log_{b} c

La regla del producto para los logaritmos

La regla del producto para los logaritmos se puede utilizar para simplificar un logaritmo de un producto al reescribirlo como la suma de logaritmos individuales.

\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N) para b > 0

Cómo

Dado el logaritmo de un producto, utilizar la regla del producto para los logaritmos para escribir la suma equivalente de logaritmos.

Factorice el argumento por completo; exprese cada factor de número entero como un producto de primos.
Escriba la expresión equivalente al sumar los logaritmos de cada factor.

Ejemplo 1

Usar la regla del producto para los logaritmos

Expanda $\log_{3} (30 x (3 x + 4)) .$

Solución

Empezamos por factorizar el argumento completamente, al expresar $30$ como producto de primos.

\log_{3} (30 x (3 x + 4)) = \log_{3} (2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot x \cdot (3 x + 4))

A continuación, escribimos la ecuación equivalente al sumar los logaritmos de cada factor.

\log_{3} (30 x (3 x + 4)) = \log_{3} (2) + \log_{3} (3) + \log_{3} (5) + \log_{3} (x) + \log_{3} (3 x + 4)

Inténtelo #1

Expanda $\log_{b} (8 k) .$

Uso de la regla del cociente para los logaritmos

En los cocientes, tenemos una regla similar para los logaritmos. Recordemos que utilizamos la regla del cociente de exponentes para combinar el cociente de exponentes al restar: $\frac{x^{a}}{x^{b}} = x^{a - b} .$ La regla del cociente para los logaritmos establece que el logaritmo de un cociente es igual a una diferencia de logaritmos. Al igual que con la regla del producto, podemos utilizar la propiedad inversa para derivar la regla del cociente.

Dado un número real cualquiera $x$ y números reales positivos $M,$ $N,$ y $b,$ donde $b \neq 1,$ mostraremos

\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N) .

Supongamos que $m = \log_{b} M$ y $n = \log_{b} N .$ En forma exponencial, estas ecuaciones son $b^{m} = M$ y $b^{n} = N .$ Se deduce que

\begin{array}{l} \log_{b} (\frac{M}{N}) & = \log_{b} (\frac{b^{m}}{b^{n}}) & Sustituya por M y N . \\ = \log_{b} (b^{m - n}) & Aplique la regla del cociente para los exponentes . \\ = m - n & Aplique la propiedad inversa de los logaritmos . \\ = \log_{b} (M) - \log_{b} (N) & Sustituya por m y n . \end{array}

Por ejemplo, para expandir $\log (\frac{2 x^{2} + 6 x}{3 x + 9}),$ debemos expresar primero el cociente en términos mínimos. Al factorizar y cancelar obtenemos,

\begin{array}{l} \log (\frac{2 x^{2} + 6 x}{3 x + 9}) = \log (\frac{2 x (x + 3)}{3 (x + 3)}) & Factorice el numerador y el denominador . \\ = \log (\frac{2 x}{3}) & Anule los factores comunes . \end{array}

A continuación, aplicamos la regla del cociente al restar el logaritmo del denominador al del numerador. Luego aplicamos la regla del producto.

\begin{array}{l} \log (\frac{2 x}{3}) = \log (2 x) - \log (3) \\ = \log (2) + \log (x) - \log (3) \end{array}

La regla del cociente para los logaritmos

La regla del cociente para los logaritmos se utiliza para simplificar un logaritmo o un cociente al reescribirlo como la diferencia de logaritmos individuales.

\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} M - \log_{b} N

Cómo

Dado el logaritmo de un cociente, utilizar la regla del cociente para los logaritmos para escribir una diferencia de logaritmos equivalente.

Exprese el argumento en términos mínimos; factorice el numerador y el denominador y cancele los términos comunes.
Escriba la expresión equivalente al restar el logaritmo del denominador al logaritmo del numerador.
Compruebe que cada término esté expandido completamente. Si no es así, aplique la regla del producto para los logaritmos con el fin de expandirlo completamente.

Ejemplo 2

Usar la regla del cociente para los logaritmos

Expanda $\log_{2} (\frac{15 x (x - 1)}{(3 x + 4) (2 - x)}) .$

Solución

Primero observamos que el cociente está factorizado y en términos mínimos, por lo que aplicamos la regla del cociente.

\log_{2} (\frac{15 x (x - 1)}{(3 x + 4) (2 - x)}) = \log_{2} (15 x (x - 1)) - \log_{2} ((3 x + 4) (2 - x))

Observe que los términos resultantes son logaritmos de productos. Para expandir completamente, aplicamos la regla del producto, al observar que los factores primos del factor 15 son 3 y 5.

\begin{array}{l} \log_{2} (15 x (x - 1)) - \log_{2} ((3 x + 4) (2 - x)) = [\log_{2} (3) + \log_{2} (5) + \log_{2} (x) + \log_{2} (x - 1)] - [\log_{2} (3 x + 4) + \log_{2} (2 - x)] \\ = \log_{2} (3) + \log_{2} (5) + \log_{2} (x) + \log_{2} (x - 1) - \log_{2} (3 x + 4) - \log_{2} (2 - x) \end{array}

Análisis

Hay excepciones a tener en cuenta en este ejemplo y en otros posteriores. En primer lugar, dado que los denominadores nunca deben ser cero, esta expresión no está definida para $x = - \frac{4}{3}$ y $x = 2.$ Además, ya que el argumento de un logaritmo debe ser positivo, nos damos cuenta por el logaritmo expandido, que $x > 0,$ $x > 1,$ $x > - \frac{4}{3},$ y $x < 2.$ La combinación de estas condiciones está fuera del alcance de esta sección, y no las consideraremos aquí ni en ejercicios posteriores.

Inténtelo #2

Expanda $\log_{3} (\frac{7 x^{2} + 21 x}{7 x (x - 1) (x - 2)}) .$

Usar la regla de la potencia para los logaritmos

Hemos explorado la regla del producto y la regla del cociente. Ahora bien, ¿cómo podemos tomar el logaritmo de una potencia, como $x^{2} ?$ Un método es el siguiente:

\begin{array}{l} \log_{b} (x^{2}) & = \log_{b} (x \cdot x) \\ = \log_{b} x + \log_{b} x \\ = 2 \log_{b} x \end{array}

Observe que hemos utilizado la regla del producto para los logaritmos con el fin de hallar una solución para el ejemplo anterior. Al hacerlo, hemos derivado la regla de la potencia para los logaritmos, la cual establece que el logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base. Tenga en cuenta que, aunque la entrada de un logaritmo no se escriba como una potencia, podemos cambiarla por una potencia. Por ejemplo,

\begin{array}{l} 100 = 10^{2} & \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} & \frac{1}{e} = e^{- 1} \end{array}

La regla de la potencia para los logaritmos

La regla de la potencia para los logaritmos se utiliza para simplificar el logaritmo de una potencia al reescribirlo como el producto del exponente por el logaritmo de la base.

\log_{b} (M^{n}) = n \log_{b} M

Cómo

Dado el logaritmo de una potencia, utilizar la regla de la potencia para los logaritmos con el fin de escribir un producto equivalente de un factor y un logaritmo.

Exprese el argumento como una potencia, si es necesario.
Escriba la expresión equivalente al multiplicar el exponente por el logaritmo de la base.

Ejemplo 3

Expandir un logaritmo con potencias

Expanda $\log_{2} x^{5} .$

Solución

El argumento ya está escrito como potencia, así que identificamos el exponente, 5, y la base, $x,$ y reescribimos la expresión equivalente al multiplicar el exponente por el logaritmo de la base.

\log_{2} (x^{5}) = 5 \log_{2} x

Inténtelo #3

Expanda $\ln x^{2} .$

Ejemplo 4

Reescribir una expresión como potencia antes de utilizar la regla de la potencia

Expanda $\log_{3} (25)$ utilizando la regla de la potencia para los logaritmos.

Solución

Al expresar el argumento como potencia, obtenemos $\log_{3} (25) = \log_{3} (5^{2}) .$

A continuación, identificamos el exponente, 2, y la base, 5, y reescribimos la expresión equivalente al multiplicar el exponente por el logaritmo de la base.

\log_{3} (5^{2}) = 2 \log_{3} (5)

Inténtelo #4

Expanda $\ln (\frac{1}{x^{2}}) .$

Ejemplo 5

Usar la regla de la potencia en sentido inverso

Reescriba $4 \ln (x)$ utilizando la regla de la potencia para los logaritmos a un solo logaritmo con un coeficiente inicial de 1.

Solución

Dado que el logaritmo de una potencia es el producto del exponente por el logaritmo de la base, se deduce que el producto de un número por un logaritmo se puede escribir como una potencia. En la expresión $4 \ln (x),$ identificamos el factor, 4, como el exponente y el argumento, $x,$ como base. Acto seguido, reescribimos el producto como logaritmo de una potencia: $4 \ln (x) = \ln (x^{4}) .$

Inténtelo #5

Reescriba $2 \log_{3} 4$ utilizando la regla de la potencia para los logaritmos a un solo logaritmo con un coeficiente inicial de 1.

Expandir expresiones logarítmicas

En conjunto, la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la potencia suelen llamarse "leyes de los logaritmos". A veces aplicamos más de una regla para simplificar una expresión. Por ejemplo:

\begin{array}{l} \log_{b} (\frac{6 x}{y}) & = \log_{b} (6 x) - \log_{b} y \\ = \log_{b} 6 + \log_{b} x - \log_{b} y \end{array}

Podemos utilizar la regla de la potencia para expandir expresiones logarítmicas que incluyan exponentes negativos y fraccionarios. Aquí hay una prueba alternativa de la regla del cociente para los logaritmos, por el hecho de que un recíproco es una potencia negativa:

\begin{array}{l} \log_{b} (\frac{A}{C}) & = \log_{b} (A C^{- 1}) \\ = \log_{b} (A) + \log_{b} (C^{- 1}) \\ = \log_{b} A + (- 1) \log_{b} C \\ = \log_{b} A - \log_{b} C \end{array}

También podemos aplicar la regla del producto para expresar la suma o diferencia de logaritmos como el logaritmo de un producto.

Con la práctica, podemos mirar una expresión logarítmica y expandirla mentalmente, al escribir la respuesta final. Recordemos, sin embargo, que solo podemos hacerlo con productos, cocientes, potencias y raíces, nunca con sumas o restas dentro del argumento del logaritmo.

Ejemplo 6

Expandir logaritmos mediante las reglas del producto, el cociente y la potencia

Reescriba $\ln (\frac{x^{4} y}{7})$ como suma o diferencia de logaritmos.

Solución

En primer lugar, dado que tenemos el cociente de dos expresiones, podemos utilizar la regla del cociente:

\ln (\frac{x^{4} y}{7}) = \ln (x^{4} y) - \ln (7)

Entonces, al ver el producto en el primer término, utilizamos la regla del producto:

\ln (x^{4} y) - \ln (7) = \ln (x^{4}) + \ln (y) - \ln (7)

Por último, utilizamos la regla de la potencia en el primer término:

\ln (x^{4}) + \ln (y) - \ln (7) = 4 \ln (x) + \ln (y) - \ln (7)

Inténtelo #6

Expanda $\log (\frac{x^{2} y^{3}}{c^{4}}) .$

Ejemplo 7

Usar la regla de la potencia para los logaritmos con el objeto de simplificar el logaritmo de una expresión radical

Expanda $\log (\sqrt{x}) .$

Solución

\begin{array}{l} \log (\sqrt{x}) & = \log x^{(\frac{1}{2})} \\ = \frac{1}{2} \log x \end{array}

Inténtelo #7

Expanda $\ln (\sqrt[3]{x^{2}}) .$

Preguntas y respuestas

¿Podemos expandir $\ln (x^{2} + y^{2}) ?$

No hay manera de expandir el logaritmo de la suma o diferencia dentro del argumento del logaritmo.

Ejemplo 8

Expandir expresiones logarítmicas complejas

Expanda $\log_{6} (\frac{64 x^{3} (4 x + 1)}{(2 x - 1)}) .$

Solución

Podemos expandir al aplicar las reglas del producto y del cociente.

\begin{array}{l} \log_{6} (\frac{64 x^{3} (4 x + 1)}{(2 x - 1)}) & = \log_{6} 64 + \log_{6} x^{3} + \log_{6} (4 x + 1) - \log_{6} (2 x - 1) & Aplique la regla del cociente . \\ = \log_{6} 2^{6} + \log_{6} x^{3} + \log_{6} (4 x + 1) - \log_{6} (2 x - 1) & {Simplifique al escribir 64 como 2}^{6} . \\ = 6 \log_{6} 2 + 3 \log_{6} x + \log_{6} (4 x + 1) - \log_{6} (2 x - 1) & Aplique la regla de la potencia . \end{array}

Inténtelo #8

Expanda $\ln (\frac{\sqrt{(x - 1) {(2 x + 1)}^{2}}}{(x^{2} - 9)}) .$

Condensar expresiones logarítmicas

Podemos utilizar las reglas de los logaritmos que acabamos de aprender para condensar las sumas, las diferencias y los productos con la misma base en un solo logaritmo. Es importante recordar que los logaritmos deben tener la misma base para poder combinarse. Más adelante aprenderemos a cambiar la base de cualquier logaritmo antes de condensar.

Cómo

Dada una suma, diferencia o producto de logaritmos con la misma base, escribir una expresión equivalente como un solo logaritmo.

Aplique primero la propiedad de la potencia. Identifique los términos que son productos de factores y un logaritmo. Acto seguido, reescriba cada uno como el logaritmo de una potencia.
A continuación, aplique la propiedad del producto. Reescriba las sumas de logaritmos como el logaritmo de un producto.
Aplique la propiedad del cociente en último lugar. Reescriba las diferencias de logaritmos como el logaritmo de un cociente.

Ejemplo 9

Usar las reglas del producto y del cociente para combinar logaritmos

Escriba $\log_{3} (5) + \log_{3} (8) - \log_{3} (2)$ como un solo logaritmo.

Solución

Usando las reglas del producto y del cociente

\log_{3} (5) + \log_{3} (8) = \log_{3} (5 \cdot 8) = \log_{3} (40)

Esto reduce nuestra expresión original a

\log_{3} (40) - \log_{3} (2)

Entonces, con la regla del cociente

\log_{3} (40) - \log_{3} (2) = \log_{3} (\frac{40}{2}) = \log_{3} (20)

Inténtelo #9

Condense $\log 3 - \log 4 + \log 5 - \log 6.$

Ejemplo 10

Condensar expresiones logarítmicas complejas

Condense $\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{2} \log_{2} (x - 1) - 3 \log_{2} ({(x + 3)}^{2}) .$

Solución

Primero aplicamos la regla de la potencia:

\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{2} \log_{2} (x - 1) - 3 \log_{2} ({(x + 3)}^{2}) = \log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (\sqrt{x - 1}) - \log_{2} ({(x + 3)}^{6})

A continuación, aplicamos la regla del producto a la suma:

\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (\sqrt{x - 1}) - \log_{2} ({(x + 3)}^{6}) = \log_{2} (x^{2} \sqrt{x - 1}) - \log_{2} ({(x + 3)}^{6})

Por último, aplicamos la regla del cociente a la diferencia:

\log_{2} (x^{2} \sqrt{x - 1}) - \log_{2} ({(x + 3)}^{6}) = \log_{2} \frac{x^{2} \sqrt{x - 1}}{{(x + 3)}^{6}}

Inténtelo #10

Reescriba $\log (5) + 0,5 \log (x) - \log (7 x - 1) + 3 \log (x - 1)$ como un solo logaritmo.

Ejemplo 11

Reescribir como un solo logaritmo

Reescriba $2 \log x - 4 \log (x + 5) + \frac{1}{x} \log (3 x + 5)$ como un solo logaritmo.

Solución

Primero aplicamos la regla de la potencia:

2 \log x - 4 \log (x + 5) + \frac{1}{x} \log (3 x + 5) = \log (x^{2}) - \log {(x + 5)}^{4} + \log ({(3 x + 5)}^{x^{- 1}})

A continuación, reordenamos y aplicamos la regla del producto a la suma:

\log (x^{2}) - \log {(x + 5)}^{4} + \log ({(3 x + 5)}^{x^{- 1}})

= \log (x^{2}) + \log ({(3 x + 5)}^{x^{- 1}}) - \log {(x + 5)}^{4}

= \log (x^{2} {(3 x + 5)}^{x^{- 1}}) - \log {(x + 5)}^{4}

Por último, aplicamos la regla del cociente a la diferencia:

= \log (x^{2} {(3 x + 5)}^{x^{−1}}) - {\log (x + 5)}^{4} = \log \frac{x^{2} {(3 x + 5)}^{x^{−1}}}{{(x + 5)}^{4}}

Inténtelo #11

Condense $4 (3 \log (x) + \log (x + 5) - \log (2 x + 3)) .$

Ejemplo 12

Aplicar las leyes de los logaritmos

Recordemos que, en química, $pH = - \log [H^{+}] .$ Si se duplica la concentración de iones de hidrógeno en un líquido, ¿cuál es el efecto sobre el pH?

Solución

Supongamos que $C$ es la concentración original de iones de hidrógeno, y $P$ es el pH original del líquido. Luego $P = - \log (C) .$ Si la concentración se duplica, la nueva concentración es $2 C .$ Entonces el pH del nuevo líquido es

pH = - \log (2 C)

Con la regla del producto de los logaritmos

pH = - \log (2 C) = - (\log (2) + \log (C)) = - \log (2) - \log (C)

Dado que $P = - \log (C),$ el nuevo pH es

pH = P - \log (2) \approx P - 0,301

Cuando se duplica la concentración de iones de hidrógeno, el pH disminuye aproximadamente 0,301.

Inténtelo #12

¿Cómo cambia el pH cuando la concentración de iones de hidrógeno positivos se reduce a la mitad?

Usar la fórmula de cambio de base para los logaritmos

La mayoría de las calculadoras solo evalúan los logaritmos comunes y naturales. Para evaluar logaritmos con una base distinta de 10 o $e,$ utilizamos la fórmula de cambio de base, donde reescribimos el logaritmo como el cociente de logaritmos de cualquier otra base. Al utilizar la calculadora, los cambiaríamos a logaritmos comunes o naturales.

Para derivar la fórmula de cambio de base, utilizamos la propiedad biunívoca y la regla de la potencia para los logaritmos.

Dados cualesquiera números reales positivos $M, b,$ y $n,$ donde $n \neq 1$ como de $b \neq 1,$ demostramos

\log_{b} M = \frac{\log_{n} M}{\log_{n} b}

Supongamos que $y = \log_{b} M .$ Potenciando ambos lados con base $b$ , llegamos a una forma exponencial, a saber $b^{y} = M .$ Se deduce que

\begin{array}{l} \log_{n} (b^{y}) & = \log_{n} M & Aplique la propiedad biunívoca . \\ y \log_{n} b & = \log_{n} M & Aplique la regla de la potencia para los logaritmos. \\ y & = \frac{\log_{n} M}{\log_{n} b} & Aísle y . \\ \log_{b} M & = \frac{\log_{n} M}{\log_{n} b} & Sustituya por y . \end{array}

Por ejemplo, para evaluar $\log_{5} 36$ con una calculadora, primero debemos reescribir la expresión como el cociente de logaritmos comunes o naturales. Utilizaremos el logaritmo común.

\begin{array}{l} \log_{5} 36 & = \frac{\log (36)}{\log (5)} & Aplique la fórmula de cambio de base utilizando la base 10 . \\ \approx 2,2266 & Utilice la calculadora para evaluar a 4 decimales . \end{array}

La fórmula de cambio de base

La fórmula de cambio de base se utiliza para evaluar un logaritmo con cualquier base.

En cualquier número real positivo $M, b,$ y $n,$ donde $n \neq 1$ como de $b \neq 1,$

\log_{b} M = \frac{\log_{n} M}{\log_{n} b} .

De ello se deduce que la fórmula de cambio de base sirve para reescribir un logaritmo de cualquier base como cociente de logaritmos comunes o naturales.

\log_{b} M = \frac{\ln M}{\ln b}

y

\log_{b} M = \frac{\log M}{\log b}

Cómo

Dado un logaritmo de la forma $\log_{b} M,$ utilizar la fórmula de cambio de base para reescribirlo como el cociente de logaritmos con cualquier base positiva $n,$ donde $n \neq 1.$

Determine la nueva base $n,$ recuerde que el logaritmo común, $\log (x),$ tiene base 10, y el logaritmo natural, $\ln (x),$ tiene base $e .$
Reescriba el logaritmo como un cociente mediante la fórmula de cambio de base
1. El numerador del cociente será un logaritmo de base $n$ y argumente $M .$
2. El denominador del cociente será un logaritmo de base $n$ y argumente $b .$

Ejemplo 13

Cambiar expresiones logarítmicas a expresiones que solo implican logaritmos naturales

Cambie $\log_{5} 3$ a un cociente de logaritmos naturales.

Solución

Ya que vamos a expresar $\log_{5} 3$ como cociente de logaritmos naturales, la nueva base, $n = e .$

Reescribimos el logaritmo como el cociente mediante la fórmula de cambio de base. El numerador del cociente será el logaritmo natural con argumento 3. El denominador del cociente será el logaritmo natural con argumento 5.

\begin{array}{l} \log_{b} M & = \frac{\ln M}{\ln b} \\ \log_{5} 3 & = \frac{\ln 3}{\ln 5} \end{array}

Inténtelo #13

Cambie $\log_{0,5} 8$ a un cociente de logaritmos naturales.

Preguntas y respuestas

¿Podemos cambiar los logaritmos comunes por logaritmos naturales?

Sí. Recuerde que $\log 9$ significa ${log}_{10} 9 .$ Así que, $\log 9 = \frac{\ln 9}{\ln 10} .$

Ejemplo 14

Usar la fórmula de cambio de base con la calculadora

Evalúe $\log_{2} (10)$ al utilizar la fórmula de cambio de base con la calculadora.

Solución

Según la fórmula de cambio de base, podemos reescribir el logaritmo de base 2 como un logaritmo de cualquier otra base. Dado que nuestras calculadoras pueden evaluar el logaritmo natural, podemos optar por utilizarlo, lo cual es la base logarítmica $e .$

\begin{array}{l} \log_{2} 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} & Aplique la fórmula de cambio de base utilizando la base e . \\ \approx 3,3219 & Utilice la calculadora para evaluar a 4 decimales . \end{array}

Inténtelo #14

Evalúe $\log_{5} (100)$ con la fórmula de cambio de base.

Media

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4.5 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Cómo ayuda la regla de la potencia a la hora de resolver logaritmos de la forma $\log_{b} (\sqrt[n]{x}) ?$

2.

¿Qué hace la fórmula de cambio de base? ¿Por qué es útil cuando se utiliza la calculadora?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, expanda cada logaritmo lo máximo posible. Reescriba cada expresión como suma, diferencia o producto de logaritmos.

3.

$\log_{b} (7 x \cdot 2 y)$

4.

$\ln (3 a b \cdot 5 c)$

5.

$\log_{b} (\frac{13}{17})$

6.

$\log_{4} (\frac{\frac{x}{c}}{w})$

7.

$\ln (\frac{1}{4^{k}})$

8.

$\log_{2} (y^{x})$

En los siguientes ejercicios, condense a un solo logaritmo si es posible.

9.

$\ln (7) + \ln (x) + \ln (y)$

10.

$\log_{3} (2) + \log_{3} (a) + \log_{3} (11) + \log_{3} (b)$

11.

$\log_{b} (28) - \log_{b} (7)$

12.

$\ln (a) - \ln (d) - \ln (c)$

13.

$- \log_{b} (\frac{1}{7})$

14.

$\frac{1}{3} \ln (8)$

En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de los logaritmos para expandir cada uno lo máximo posible. Reescriba cada expresión como suma, diferencia o producto de logaritmos.

15.

$\log (\frac{x^{15} y^{13}}{c^{19}})$

16.

$\ln (\frac{a^{−2}}{b^{-4} c^{5}})$

17.

$\log (\sqrt{x^{3} y^{- 4}})$

18.

$\ln (y \sqrt{\frac{y}{1 - y}})$

19.

$\log (x^{2} y^{3} \sqrt[3]{x^{2} y^{5}})$

En los siguientes ejercicios, condense cada expresión a un solo logaritmo utilizando las propiedades de los logaritmos.

20.

$\log (2 x^{4}) + \log (3 x^{5})$

21.

$\ln (6 x^{9}) - \ln (3 x^{2})$

22.

$2 \log (x) + 3 \log (x + 1)$

23.

$\log (x) - \frac{1}{2} \log (y) + 3 \log (z)$

24.

$4 \log_{7} (c) + \frac{\log_{7} (a)}{3} + \frac{\log_{7} (b)}{3}$

En los siguientes ejercicios, reescriba cada expresión como un cociente equivalente de logaritmos con la base indicada.

25.

$\log_{7} (15)$ a la base $e$

26.

$\log_{14} (55,875)$ a la base $10$

En los siguientes ejercicios, supongamos $\log_{5} (6) = a$ y $\log_{5} (11) = b .$ Utilice la fórmula de cambio de base junto con las propiedades de los logaritmos para reescribir cada expresión en términos de $a$ y $b .$ Muestre los pasos para resolver.

27.

$\log_{11} (5)$

28.

$\log_{6} (55)$

29.

$\log_{11} (\frac{6}{11})$

Numéricos

En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de los logaritmos para evaluar sin usar la calculadora.

30.

$\log_{3} (\frac{1}{9}) - 3 \log_{3} (3)$

31.

$6 \log_{8} (2) + \frac{\log_{8} (64)}{3 \log_{8} (4)}$

32.

$2 \log_{9} (3) - 4 \log_{9} (3) + \log_{9} (\frac{1}{729})$

En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de cambio de base para evaluar cada expresión como cociente de logaritmos naturales. Utilice la calculadora para aproximar cada uno de ellos a cinco decimales.

33.

$\log_{3} (22)$

34.

$\log_{8} (65)$

35.

$\log_{6} (5,38)$

36.

$\log_{4} (\frac{15}{2})$

37.

$\log_{\frac{1}{2}} (4,7)$

Extensiones

38.

Utilice la regla del producto de los logaritmos para hallar todos los valores de $x$ tales que $\log_{12} (2 x + 6) + \log_{12} (x + 2) = 2.$ Muestre los pasos para resolver.

39.

Utilice la regla del cociente para los logaritmos con el fin de hallar todos los valores de $x$ tales que $\log_{6} (x + 2) - \log_{6} (x - 3) = 1.$ Muestre los pasos para resolver.

40.

¿La propiedad de la potencia de los logaritmos puede derivarse de la propiedad de la potencia de los exponentes mediante la ecuación $b^{x} = m ?$ Si no es así, explique por qué. Si es así, indique la derivación.

41.

Compruebe que $\log_{b} (n) = \frac{1}{\log_{n} (b)}$ para cualquier número entero positivo $b > 1$ y $n > 1.$

42.

¿Existe $\log_{81} (2401) = \log_{3} (7) ?$ Verifique la afirmación algebraicamente.

4.5 Propiedades logarítmicas

Uso de la regla del producto para los logaritmos

Usar la regla del producto para los logaritmos

Solución

Uso de la regla del cociente para los logaritmos

Usar la regla del cociente para los logaritmos

Solución

Análisis

Usar la regla de la potencia para los logaritmos

Expandir un logaritmo con potencias

Solución

Reescribir una expresión como potencia antes de utilizar la regla de la potencia

Solución

Usar la regla de la potencia en sentido inverso

Solución

Expandir expresiones logarítmicas

Expandir logaritmos mediante las reglas del producto, el cociente y la potencia

Solución

Usar la regla de la potencia para los logaritmos con el objeto de simplificar el logaritmo de una expresión radical

Solución

Expandir expresiones logarítmicas complejas

Solución

Condensar expresiones logarítmicas

Usar las reglas del producto y del cociente para combinar logaritmos

Solución

Condensar expresiones logarítmicas complejas

Solución

Reescribir como un solo logaritmo

Solución

Aplicar las leyes de los logaritmos

Solución

Usar la fórmula de cambio de base para los logaritmos

Cambiar expresiones logarítmicas a expresiones que solo implican logaritmos naturales

Solución

Usar la fórmula de cambio de base con la calculadora

Solución

4.5 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Numéricos

Extensiones