Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Utilizar bases semejantes para resolver ecuaciones exponenciales.
Utilizar logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales.
Utilizar la definición de logaritmo para resolver ecuaciones logarítmicas.
Utilizar la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver ecuaciones logarítmicas.
Resolver problemas aplicados que impliquen ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Siete conejos frente a un edificio de ladrillos.

Figura 1 Conejos silvestres en Australia. La población de conejos creció tan rápidamente en Australia que el hecho se conoció como la "plaga de conejos" (créditos: Richard Taylor, Flickr)

En 1859, un terrateniente australiano llamado Thomas Austin liberó 24 conejos en la naturaleza para su caza. Debido a que Australia tenía pocos depredadores y abundante comida, la población de conejos se disparó. En menos de diez años, la población de conejos se contaba por millones.

El crecimiento demográfico descontrolado, como en el caso de los conejos silvestres de Australia, puede modelarse con funciones exponenciales. Las ecuaciones resultantes de esas funciones exponenciales pueden resolverse para analizar y hacer predicciones sobre el crecimiento exponencial. En esta sección, aprenderemos técnicas para resolver funciones exponenciales.

Usar bases semejantes para resolver ecuaciones exponenciales

La primera técnica implica dos funciones con bases similares. Recordemos que la propiedad biunívoca de las funciones exponenciales nos señala que, para cualesquiera números reales $b,$ $S,$ y $T,$ donde $b > 0, b \neq 1,$ $b^{S} = b^{T}$ si y solo si $S = T .$

En otras palabras, cuando una ecuación exponencial tiene la misma base en cada lado, los exponentes deberán ser iguales. Esto también se aplica cuando los exponentes son expresiones algebraicas. Por lo tanto, podemos resolver muchas ecuaciones exponenciales con las reglas de los exponentes para reescribir cada lado como una potencia con la misma base. A continuación, utilizamos el hecho de que las funciones exponenciales son biunívocas para igualar los exponentes y resolver la incógnita.

Por ejemplo, considere la ecuación $3^{4 x - 7} = \frac{3^{2 x}}{3} .$ Para resolver $x,$ utilizamos la propiedad de división de los exponentes con el objeto de reescribir el lado derecho, de manera que ambos lados tengan la base común, $3.$ A continuación, aplicamos la propiedad biunívoca de los exponentes al igualarlos y resolver para $x$ :

\begin{array}{l} 3^{4 x - 7} & = \frac{3^{2 x}}{3} \\ 3^{4 x - 7} & = \frac{3^{2 x}}{3^{1}} & {Reescribir 3 como 3}^{1} . \\ 3^{4 x - 7} & = 3^{2 x - 1} & Utilice la propiedad de división de los exponentes . \\ 4 x - 7 & = 2 x - 1 & Aplique la propiedad biunívoca de los exponentes . \\ 2 x & = 6 & Reste 2 x y sume 7 a ambos lados . \\ x & = 3 & Divida entre 3 . \end{array}

Usar la propiedad biunívoca de las funciones exponenciales para resolver ecuaciones exponenciales

Para cualquier expresión algebraica $S y T,$ y cualquier número real positivo $b \neq 1,$

b^{S} = b^{T} si y solo si S = T

Cómo

Dada una ecuación exponencial con la forma $b^{S} = b^{T},$ donde $S$ y $T$ son expresiones algebraicas con una incógnita, resolver la incógnita.

Utilice las reglas de los exponentes para simplificar, si es necesario, de manera que la ecuación resultante tenga la forma $b^{S} = b^{T} .$
Aplique la propiedad biunívoca para igualar los exponentes.
Resuelva la ecuación resultante, $S = T,$ para la incógnita.

Ejemplo 1

Resolver una ecuación exponencial con base común

Resuelva $2^{x - 1} = 2^{2 x - 4} .$

Solución

\begin{array}{l} 2^{x - 1} = 2^{2 x - 4} & La base común es 2. \\ x - 1 = 2 x - 4 \begin{matrix}  \end{matrix} & Por la propiedad biunívoca los exponentes deberán ser iguales . \\ x = 3 & Resuelva para x . \end{array}

Inténtelo #1

Resuelva $5^{2 x} = 5^{3 x + 2} .$

Reescribir las ecuaciones para que todas las potencias tengan la misma base

A veces la base común de una ecuación exponencial no es explícita. En estos casos, simplemente reescribimos los términos de la ecuación como potencias con base común y resolvemos con la propiedad biunívoca.

Por ejemplo, considere la ecuación $256 = 4^{x - 5} .$ Podemos reescribir ambos lados de esta ecuación como potencia de $2.$ Entonces aplicamos las reglas de los exponentes, junto con la propiedad biunívoca, para resolver $x :$

\begin{array}{l} 256 = 4^{x - 5} \\ 2^{8} = {(2^{2})}^{x - 5} & Reescriba cada lado como potencia con base 2 . \\ 2^{8} = 2^{2 x - 10} & Utilice la propiedad biunívoca de los exponentes . \\ 8 = 2 x - 10 \begin{matrix}  \end{matrix} & Aplique la propiedad biunívoca de los exponentes . \\ 18 = 2 x & Sume 10 a ambos lados . \\ x = 9 & Divida entre 2 . \end{array}

Cómo

Dada una ecuación exponencial con bases distintas, utilizar la propiedad biunívoca para resolverla.

Reescriba cada lado de la ecuación como potencia con base común.
Utilice las reglas de los exponentes para simplificar, si es necesario, de manera que la ecuación resultante tenga la forma $b^{S} = b^{T} .$
Aplique la propiedad biunívoca para igualar los exponentes.
Resuelva la ecuación resultante, $S = T,$ para la incógnita.

Ejemplo 2

Resolver ecuaciones al reescribirlas para que tengan una base común

Resuelva $8^{x + 2} = 16^{x + 1} .$

Solución

\begin{array}{l} 8^{x + 2} = 16^{x + 1} \\ {(2^{3})}^{x + 2} = {(2^{4})}^{x + 1} & Escriba 8 y 16 como potencias de 2. \\ 2^{3 x + 6} = 2^{4 x + 4} & Para tomar la potencia de una potencia, multiplique los exponentes . \\ 3 x + 6 = 4 x + 4 & Utilice la propiedad biunívoca para igualar los exponentes . \\ x = 2 & Resuelva para x . \end{array}

Inténtelo #2

Resuelva $5^{2 x} = 25^{3 x + 2} .$

Ejemplo 3

Resolver ecuaciones al reescribir raíces con exponentes fraccionarios para que tengan una base común

Resuelva $2^{5 x} = \sqrt{2} .$

Solución

\begin{array}{l} 2^{5 x} = 2^{\frac{1}{2}} & Escriba la raíz cuadrada de 2 como potencia de 2. \\ x = \frac{1}{2} & Utilice la propiedad biunívoca . \\ x = \frac{1}{10} & Resuelva para x . \end{array}

Inténtelo #3

Resuelva $5^{x} = \sqrt{5} .$

Preguntas y respuestas

¿Todas las ecuaciones exponenciales tienen solución? Si no es así, ¿cómo podemos saber si hay una solución durante la resolución de problemas?

No. Recordemos que el rango de una función exponencial es siempre positivo. Al resolver la ecuación, podemos obtener una expresión indefinida.

Ejemplo 4

Resolver una ecuación con potencias positivas y negativas

Resuelva $3^{x + 1} = –2.$

Solución

Esta ecuación no tiene solución. No hay ningún valor real de $x$ que haga que la ecuación sea un enunciado verdadero porque cualquier potencia de un número positivo es positiva.

Análisis

La Figura 2 muestra que los dos gráficos no se cruzan, por lo que el lado izquierdo nunca es igual al lado derecho. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución.

Gráfico de 3^(x+1)=-2 y de y=-2. El gráfico señala que no se cruzan.

Figura 2

Inténtelo #4

Resuelva $2^{x} = −100.$

Resolver ecuaciones exponenciales mediante logaritmos

A veces los términos de una ecuación exponencial no pueden reescribirse con una base común. En estos casos, resolvemos al tomar el logaritmo de cada lado. Recordemos que, dado que $\log (a) = \log (b)$ equivale a $a = b,$ podemos aplicar logaritmos con la misma base en ambos lados de la ecuación exponencial.

Cómo

Dada una ecuación exponencial en la que no se halla ninguna base común, resolver la incógnita.

Aplique el logaritmo de ambos lados de la ecuación.
1. Si uno de los términos de la ecuación tiene base 10, utilice el logaritmo común.
2. Si ninguno de los términos de la ecuación tiene base 10, utilice el logaritmo natural.
Utilice las reglas de los logaritmos para resolver la incógnita.

Ejemplo 5

Resolver una ecuación que contiene potencias de diferentes bases

Resuelva $5^{x + 2} = 4^{x} .$

Solución

\begin{array}{l} 5^{x + 2} = 4^{x} & No hay una manera fácil de hacer que las potencias tengan la misma base . \\ \ln 5^{x + 2} = \ln 4^{x} & Tome el ln de ambos lados . \\ (x + 2) \ln 5 = x \ln 4 & Utilice las leyes de los logaritmos . \\ x \ln 5 + 2 \ln 5 = x \ln 4 & Utilice la ley distributiva . \\ x \ln 5 - x \ln 4 = - 2 \ln 5 & Obtenga términos que contengan x por un lado y términos sin x por el otro lado . \\ x (\ln 5 - \ln 4) = - 2 \ln 5 & En el lado izquierdo, saque un factor común x . \\ x \ln (\frac{5}{4}) = \ln (\frac{1}{25}) \begin{matrix}  \end{matrix} & Utilice las leyes de los logaritmos. \\ x = \frac{\ln (\frac{1}{25})}{\ln (\frac{5}{4})} & Divida entre el coeficiente de x . \end{array}

Inténtelo #5

Resuelva $2^{x} = 3^{x + 1} .$

Preguntas y respuestas

¿Hay alguna manera de resolver $2^{x} = 3^{x} ?$

Sí. La solución es $0 .$

Ecuaciones que contienen e

Un tipo común de ecuaciones exponenciales son las de base $e .$ Esta constante se repite una y otra vez en la naturaleza, en las matemáticas, en la ciencia, en la ingeniería y en las finanzas. Cuando tenemos una ecuación con una base $e$ en cualquier lado, podemos utilizar el logaritmo natural para resolverla.

Cómo

Dada una ecuación de la forma $y = A e^{k t},$ resolver para $t .$

Divida ambos lados de la ecuación entre $A .$
Aplique el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación.
Divida ambos lados de la ecuación entre $k .$

Ejemplo 6

Resolver una ecuación de la forma y = Ae^kt

Resuelva $100 = 20 e^{2 t} .$

Solución

\begin{array}{l} 100 & = 20 e^{2 t} \\ 5 & = e^{2 t} & Divida entre el coeficiente de la potencia. \\ \ln 5 & = 2 t & Tome el ln de ambos lados . Utilice el hecho de que \ln (x) y e^{x} son funciones inversas . \\ t & = \frac{\ln 5}{2} & Divida entre el coeficiente de t . \end{array}

Análisis

Con las leyes de los logaritmos también podemos escribir esta respuesta en la forma $t = \ln \sqrt{5} .$ Si queremos una aproximación decimal de la respuesta, utilizamos una calculadora.

Inténtelo #6

Resuelva $3 e^{0,5 t} = 11.$

Preguntas y respuestas

¿Cualquier ecuación de la forma $y = A e^{k t}$ tiene una solución?

No. Hay solución cuando $k \neq 0,$ y cuando $y$ y $A$ son ambos 0 o ninguno, y tienen el mismo signo. Un ejemplo de ecuación con esta forma que no tiene solución es $2 = −3 e^{t} .$

Ejemplo 7

Resolver una ecuación que puede simplificarse a la forma y = Ae^kt

Resuelva $4 e^{2 x} + 5 = 12.$

Solución

\begin{array}{l} 4 e^{2 x} + 5 = 12 \\ 4 e^{2 x} = 7 & Combine términos similares . \\ e^{2 x} = \frac{7}{4} & Divida entre el coeficiente de la potencia . \\ 2 x = \ln (\frac{7}{4}) & Tome el ln de ambos lados . \\ x = \frac{1}{2} \ln (\frac{7}{4}) & Resuelva para x . \end{array}

Inténtelo #7

Resuelva $3 + e^{2 t} = 7 e^{2 t} .$

Soluciones extrañas

A veces, los métodos utilizados para resolver una ecuación introducen una solución extraña, que es una solución correcta desde el punto de vista algebraico pero que no satisface las condiciones de la ecuación original. Una de estas situaciones surge al resolver cuando se toma el logaritmo en ambos lados de la ecuación. En estos casos, recuerde que el argumento del logaritmo deberá ser positivo. Si el número que evaluamos en una función de logaritmo es negativo, no hay salida.

Ejemplo 8

Resolver funciones exponenciales en forma cuadrática

Resuelva $e^{2 x} - e^{x} = 56.$

Solución

\begin{array}{l} e^{2 x} - e^{x} & = 56 \\ e^{2 x} - e^{x} - 56 & = 0 & Iguale a cero un lado de la ecuación . \\ (e^{x} + 7) (e^{x} - 8) & = 0 & Factorice por el método FOIL . \\ e^{x} + 7 & = 0 o e^{x} - 8 = 0 \begin{matrix}  \end{matrix} & Si el producto es cero, entonces el factor uno deberá ser cero . \\ e^{x} & = - 7 {o e}^{x} = 8 & Aísle los exponenciales . \\ e^{x} & = 8 & Rechace la ecuación en la que la potencia equivalga a un número negativo . \\ x & = \ln 8 & Resuelva la ecuación en la que la potencia equivalga a un número positivo . \end{array}

Análisis

Cuando planeamos utilizar la factorización para resolver un problema, siempre llevamos a cero un lado de la ecuación, porque el cero tiene la propiedad única de que, cuando un producto es cero, uno o ambos factores deberán ser cero. Rechazamos la ecuación $e^{x} = −7$ porque un número positivo nunca equivale a un número negativo. La solución $\ln (−7)$ no es un número real y, en el sistema de números reales, esto se rechaza por ser una solución extraña.

Inténtelo #8

Resuelva $e^{2 x} = e^{x} + 2.$

Preguntas y respuestas

¿Todas las ecuaciones logarítmicas tienen solución?

No. Tenga presente que solo podemos aplicar el logaritmo a un número positivo. Compruebe siempre si hay soluciones extrañas.

Usar la definición de un logaritmo para resolver ecuaciones logarítmicas

Ya hemos visto que toda ecuación logarítmica $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a la ecuación exponencial $b^{y} = x .$ Podemos utilizar este hecho, junto con las reglas de los logaritmos, para resolver ecuaciones logarítmicas donde el argumento sea una expresión algebraica.

Por ejemplo, considere la ecuación $\log_{2} (2) + \log_{2} (3 x - 5) = 3.$ Para resolver esta ecuación, podemos utilizar las reglas de los logaritmos con el objeto de reescribir el lado izquierdo en forma compacta y luego aplicar la definición de logaritmos para resolver $x :$

\begin{array}{l} \log_{2} (2) + \log_{2} (3 x - 5) = 3 \\ \log_{2} (2 (3 x - 5)) = 3 & Aplique la regla del producto para los logaritmos. \\ \log_{2} (6 x - 10) = 3 & Distribuya . \\ 2^{3} = 6 x - 10 & Aplique la definición de logaritmo . \\ 8 = 6 x - 10 \begin{matrix}  \end{matrix} & Calcule 2^{3} . \\ 18 = 6 x & Sume 10 a ambos lados . \\ x = 3 & Divida entre 6 . \end{array}

Usar la definición de un logaritmo para resolver ecuaciones logarítmicas

Para cualquier expresión algebraica $S$ y los números reales $b$ y $c,$ donde $b > 0, b \neq 1,$

\log_{b} (S) = c si y solo si b^{c} = S

Ejemplo 9

Usar el álgebra para resolver una ecuación logarítmica

Resuelva $2 \ln x + 3 = 7.$

Solución

\begin{array}{l} 2 \ln x + 3 = 7 \\ 2 \ln x = 4 & Reste 3 . \\ \ln x = 2 & Divida entre 2 . \\ x = e^{2} & Reescriba en forma exponencial . \end{array}

Inténtelo #9

Resuelva $6 + \ln x = 10.$

Ejemplo 10

Usar el álgebra antes y después de emplear la definición del logaritmo natural

Resuelva $2 \ln (6 x) = 7.$

Solución

\begin{array}{l} 2 \ln (6 x) = 7 \\ \ln (6 x) = \frac{7}{2} & Divida entre 2 . \\ 6 x = e^{(\frac{7}{2})} & Utilice la definición de \ln . \\ x = \frac{1}{6} e^{(\frac{7}{2})} & Divida entre 6 . \end{array}

Inténtelo #10

Resuelva $2 \ln (x + 1) = 10.$

Ejemplo 11

Usar un gráfico para entender la solución a una ecuación logarítmica

Resuelva $\ln x = 3.$

Solución

\begin{array}{l} \ln x = 3 \\ x = e^{3} & Utilice la definición del logaritmo natural . \end{array}

La Figura 3 representa el gráfico de la ecuación. En el gráfico, la coordenada de la x del punto de intersección de los dos gráficos es cercana a 20. En otras palabras $e^{3} \approx 20.$ La calculadora da una mejor aproximación: $e^{3} \approx 20,0855.$

Gráfico de dos preguntas, y=3 e y=ln(x), que se cruzan en el punto (e^3, 3), que es aproximadamente (20,0855, 3).

Figura 3 Los gráficos de

y = \ln x

como

y = 3

se cruzan en el punto

{(e}^{3}, 3),

que es aproximadamente (20,0855, 3).

Inténtelo #11

Utilice una calculadora gráfica para estimar la solución aproximada de la ecuación logarítmica $2^{x} = 1.000$ a 2 decimales.

Usar la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver ecuaciones logarítmicas

Al igual que con las ecuaciones exponenciales, podemos utilizar la propiedad biunívoca para resolver ecuaciones logarítmicas. La propiedad biunívoca de las funciones logarítmicas nos señala que, para cualquier número real $x > 0,$ $S > 0,$ $T > 0$ y cualquier número real positivo $b,$ donde $b \neq 1,$

\log_{b} S = \log_{b} T si y solo si S = T .

Por ejemplo,

Si \log_{2} (x - 1) = \log_{2} (8), entonces x - 1 = 8.

Por lo tanto, si $x - 1 = 8,$ entonces podemos resolver para $x,$ y obtenemos $x = 9.$ Para comprobarlo, podemos sustituir $x = 9$ en la ecuación original: $\log_{2} (9 - 1) = \log_{2} (8) = 3.$ En otras palabras, cuando una ecuación logarítmica tiene la misma base en cada lado, los argumentos deberán ser iguales. Esto también se aplica cuando los argumentos son expresiones algebraicas. Por lo tanto, cuando se da una ecuación con logaritmos de la misma base en cada lado, podemos utilizar las reglas de los logaritmos para reescribir cada lado como un único logaritmo. A continuación, utilizamos el hecho de que las funciones logarítmicas son biunívocas para igualar los argumentos y resolver la incógnita.

Por ejemplo, considere la ecuación $\log (3 x - 2) - \log (2) = \log (x + 4) .$ Para resolver esta ecuación, podemos utilizar las reglas de los logaritmos con el objeto de reescribir el lado izquierdo como un solo logaritmo, y luego aplicar la propiedad biunívoca para resolver $x :$

\begin{array}{l} \log (3 x - 2) - \log (2) = \log (x + 4) \\ \log (\frac{3 x - 2}{2}) = \log (x + 4) & Aplique la regla del cociente de logaritmos . \\ \frac{3 x - 2}{2} = x + 4 & Aplique la propiedad biunívoca de un logaritmo . \\ 3 x - 2 = 2 x + 8 & Multiplique ambos lados de la ecuación por 2. \\ x = 10 & Reste 2 x y sume 2 . \end{array}

Para comprobar el resultado, sustituya $x = 10$ en $\log (3 x - 2) - \log (2) = \log (x + 4) .$

\begin{array}{l} \log (3 (10) - 2) - \log (2) = \log ((10) + 4) \\ \log (28) - \log (2) = \log (14) \\ \log (\frac{28}{2}) = \log (14) & La solución comprueba . \end{array}

Usar la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver ecuaciones logarítmicas

Para cualquier expresión algebraica $S$ y $T$ y cualquier número real positivo $b,$ donde $b \neq 1,$

\log_{b} S = \log_{b} T si y solo si S = T

Al momento de resolver una ecuación que implique logaritmos, compruebe siempre si la respuesta es correcta o si se trata de una solución extraña.

Cómo

Dada una ecuación que contiene logaritmos, resolverla con la propiedad biunívoca.

Utilice las reglas de los logaritmos para combinar los términos semejantes, si es necesario, de modo que la ecuación resultante tenga la forma $\log_{b} S = \log_{b} T .$
Utilice la propiedad biunívoca para igualar los argumentos.
Resuelva la ecuación resultante, $S = T,$ para la incógnita.

Ejemplo 12

Resolver una ecuación con la propiedad biunívoca de los logaritmos

Resuelva $\ln (x^{2}) = \ln (2 x + 3) .$

Solución

\begin{array}{l} \ln (x^{2}) = \ln (2 x + 3) \\ x^{2} = 2 x + 3 & Utilice la propiedad biunívoca del logaritmo . \\ x^{2} - 2 x - 3 = 0 & Lleve un lado a cero antes de la factorización . \\ (x - 3) (x + 1) = 0 & Factorice por medio de FOIL . \\ x - 3 = 0 o x + 1 = 0 \begin{matrix}  \end{matrix} & Si un producto es cero, uno de los factores deberá ser cero . \\ x = 3 o x = - 1 & Resuelva para x . \end{array}

Análisis

Hay dos soluciones: $3$ o $−1.$ La solución $−1$ es negativa, aunque se comprueba cuando se sustituye en la ecuación original porque el argumento de las funciones logarítmicas sigue siendo positivo.

Inténtelo #12

Resuelva $\ln (x^{2}) = \ln 1.$

Resolver problemas aplicados mediante ecuaciones exponenciales y logarítmicas

En las secciones anteriores, hemos aprendido las propiedades y las reglas de las funciones exponenciales y logarítmicas. Hemos visto que cualquier función exponencial puede escribirse como una función logarítmica y viceversa. Hemos utilizado los exponentes para resolver ecuaciones logarítmicas y los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales. Ahora estamos preparados para combinar nuestras habilidades para resolver ecuaciones que modelen situaciones del mundo real, tanto si la incógnita está en un exponente como en el argumento de un logaritmo.

Una de estas aplicaciones se encuentra en la ciencia, al calcular el tiempo que tarda en decaer la mitad del material inestable de la muestra de una sustancia radiactiva, lo que se denomina su semivida. La Tabla 1 enumera la semivida de varias de las sustancias radiactivas más comunes.

Sustancia	Uso	Semivida
galio 67	medicina nuclear	80 horas
cobalto 60	fabricación	5,3 años
tecnecio 99m	medicina nuclear	6 horas
americio 241	construcción	432 años
carbono 14	datación arqueológica	5.715 años
uranio 235	energía atómica	703.800.000 años

Tabla 1

Podemos ver lo mucho que varían las semividas de estas sustancias. Conocer la vida media de una sustancia nos permite calcular la cantidad que queda después de un tiempo determinado. Podemos emplear la fórmula para el decaimiento radiactivo:

\begin{array}{l} A (t) = A_{0} e^{\frac{\ln (0,5)}{T} t} \\ A (t) = A_{0} e^{\ln (0,5) \frac{t}{T}} \\ A (t) = A_{0} {(e^{\ln (0,5)})}^{\frac{t}{T}} \\ A (t) = A_{0} {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}} \end{array}

donde

$A_{0}$ es la cantidad inicial presente
$T$ es la semivida de la sustancia
$t$ es el tiempo en el que se estudia la sustancia
$A (t)$ es la cantidad de la sustancia presente después del tiempo $t$

Ejemplo 13

Usar la fórmula del decaimiento radiactivo para hallar la cantidad de una sustancia

¿Cuánto tiempo tarda en decaer el diez por ciento de una muestra de 1.000 gramos de uranio 235?

Solución

\begin{array}{l} y = 1.000 e \frac{\ln (0,5)}{703.800.000} t \\ 900 = 1.000 e^{\frac{\ln (0,5)}{703.800.000} t} & Después de un 10 % de decaimiento, quedan 900 gramos . \\ 0,9 = e^{\frac{\ln (0,5)}{703.800.000} t} & Divida entre 1.000 . \\ \ln (0,9) = \ln (e^{\frac{\ln (0,5)}{703.800.000} t}) & Tome el ln de ambos lados . \\ \ln (0,9) = \frac{\ln (0,5)}{703.800.000} t & ln (e^{M}) = M \\ t = 703.800.000 \times \frac{\ln (0,9)}{\ln (0,5)} años \begin{matrix}  \end{matrix} & Resuelva para t . \\ t \approx 106.979.777 años \end{array}

Análisis

El diez por ciento de 1.000 gramos son 100 gramos. Si 100 gramos decaen, la cantidad de uranio-235 que queda es de 900 gramos.

Inténtelo #13

¿Cuánto tiempo pasará antes de que el veinte por ciento de nuestra muestra de 1.000 gramos de uranio-235 decaiga?

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

4.6 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Cómo se resuelve una ecuación exponencial?

2.

¿Cuándo se produce una solución extraña? ¿Cómo se reconoce una solución extraña?

3.

¿Cuándo se puede utilizar la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver una ecuación? ¿Cuándo no se puede utilizar?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice bases semejantes para resolver la ecuación exponencial.

4.

$4^{- 3 v - 2} = 4^{- v}$

5.

$64 \cdot 4^{3 x} = 16$

6.

$3^{2 x + 1} \cdot 3^{x} = 243$

7.

$2^{- 3 n} \cdot \frac{1}{4} = 2^{n + 2}$

8.

$625 \cdot 5^{3 x + 3} = 125$

9.

$\frac{36^{3 b}}{36^{2 b}} = 216^{2 - b}$

10.

${(\frac{1}{64})}^{3 n} \cdot 8 = 2^{6}$

En los siguientes ejercicios, utilice logaritmos para resolver.

11.

$9^{x - 10} = 1$

12.

$2 e^{6 x} = 13$

13.

$e^{r + 10} - 10 = -42$

14.

$2 \cdot 10^{9 a} = 29$

15.

$- 8 \cdot 10^{p + 7} - 7 = −24$

16.

$7 e^{3 n - 5} + 5 = -89$

17.

$e^{- 3 k} + 6 = 44$

18.

$- 5 e^{9 x - 8} - 8 = –62$

19.

$- 6 e^{9 x + 8} + 2 = -74$

20.

$2^{x + 1} = 5^{2 x - 1}$

21.

$e^{2 x} - e^{x} - 132 = 0$

22.

$7 e^{8 x + 8} - 5 = –95$

23.

$10 e^{8 x + 3} + 2 = 8$

24.

$4 e^{3 x + 3} - 7 = 53$

25.

$8 e^{- 5 x - 2} - 4 = −90$

26.

$3^{2 x + 1} = 7^{x - 2}$

27.

$e^{2 x} - e^{x} - 6 = 0$

28.

$3 e^{3 - 3 x} + 6 = −31$

En los siguientes ejercicios, utilice la definición de logaritmo para reescribir la ecuación como exponencial.

29.

$\log (\frac{1}{100}) = –2$

30.

$\log_{324} (18) = \frac{1}{2}$

En los siguientes ejercicios, utilice la definición de logaritmo para resolver la ecuación.

31.

$5 \log_{7} n = 10$

32.

$- 8 \log_{9} x = 16$

33.

$4 + \log_{2} (9 k) = 2$

34.

$2 \log (8 n + 4) + 6 = 10$

35.

$10 - 4 \ln (9 - 8 x) = 6$

En los siguientes ejercicios, utilice la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver.

36.

$\ln (10 - 3 x) = \ln (- 4 x)$

37.

$\log_{13} (5 n - 2) = \log_{13} (8 - 5 n)$

38.

$\log (x + 3) - \log (x) = \log (74)$

39.

$\ln (- 3 x) = \ln (x^{2} - 6 x)$

40.

$\log_{4} (6 - m) = \log_{4} 3 m$

41.

$\ln (x - 2) - \ln (x) = \ln (54)$

42.

$\log_{9} (2 n^{2} - 14 n) = \log_{9} (- 45 + n^{2})$

43.

$\ln (x^{2} - 10) + \ln (9) = \ln (10)$

En los siguientes ejercicios, resuelva cada ecuación para $x .$

44.

$\log (x + 12) = \log (x) + \log (12)$

45.

$\ln (x) + \ln (x - 3) = \ln (7 x)$

46.

$\log_{2} (7 x + 6) = 3$

47.

$\ln (7) + \ln (2 - 4 x^{2}) = \ln (14)$

48.

$\log_{8} (x + 6) - \log_{8} (x) = \log_{8} (58)$

49.

$\ln (3) - \ln (3 - 3 x) = \ln (4)$

50.

$\log_{3} (3 x) - \log_{3} (6) = \log_{3} (77)$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación para $x,$ si hay una solución. A continuación, grafique ambos lados de la ecuación y preste atención al punto de intersección (si existe) para verificar la solución.

51.

$\log_{9} (x) - 5 = –4$

52.

$\log_{3} (x) + 3 = 2$

53.

$\ln (3 x) = 2$

54.

$\ln (x - 5) = 1$

55.

$\log (4) + \log (- 5 x) = 2$

56.

$- 7 + \log_{3} (4 - x) = −6$

57.

$\ln (4 x - 10) - 6 = - 5$

58.

$\log (4 - 2 x) = \log (- 4 x)$

59.

$\log_{11} (- 2 x^{2} - 7 x) = \log_{11} (x - 2)$

60.

$\ln (2 x + 9) = \ln (- 5 x)$

61.

$\log_{9} (3 - x) = \log_{9} (4 x - 8)$

62.

$\log (x^{2} + 13) = \log (7 x + 3)$

63.

$\frac{3}{\log_{2} (10)} - \log (x - 9) = \log (44)$

64.

$\ln (x) - \ln (x + 3) = \ln (6)$

En los siguientes ejercicios, resuelva el valor indicado y grafique la situación mostrando el punto de solución.

65.

Una cuenta con un depósito inicial de $6.500 dólares$ gana $7,25 %$ de interés anual, compuesto continuamente. ¿Cuánto valdrá la cuenta después de 20 años?

66.

La fórmula para medir la intensidad del sonido en decibelios $D$ se define por la ecuación $D = 10 \log (\frac{I}{I_{0}}),$ donde $I$ es la intensidad del sonido en vatios por metro cuadrado y $I_{0} = 10^{- 12}$ es el nivel de sonido más bajo que puede oír una persona normal. ¿Cuántos decibelios emite un avión a reacción con una intensidad sonora de $8,3 \cdot 10^{2}$ vatios por metro cuadrado?

67.

La población de una pequeña ciudad se modela mediante la ecuación $P = 1650 e^{0,5 t}$ donde $t$ se mide en años. ¿En cuántos años aproximadamente la población de la ciudad alcanzará $los 20.000 habitantes?$

En tecnología

En los siguientes ejercicios, resuelva cada ecuación al reescribir la expresión exponencial con el logaritmo indicado. A continuación, utilice la calculadora para estimar la variable a 3 decimales.

68.

$1.000 {(1,03)}^{t} = 5.000$ utilizando el logaritmo común.

69.

$e^{5 x} = 17$ utilizando el logaritmo natural

70.

$3 {(1,04)}^{3 t} = 8$ utilizando el logaritmo común

71.

$3^{4 x - 5} = 38$ utilizando el logaritmo común

72.

$50 e^{- 0,12 t} = 10$ utilizando el logaritmo natural

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para resolver la ecuación. A menos que se indique lo contrario, redondee todas las respuestas a la diezmilésima más cercana.

73.

$7 e^{3 x - 5} + 7,9 = 47$

74.

$\ln (3) + \ln (4,4 x + 6,8) = 2$

75.

$\log (- 0,7 x - 9) = 1 + 5 \log (5)$

76.

La presión atmosférica $P$ en libras por pulgada cuadrada se representa con la fórmula $P = 14,7 e^{- 0,21 x},$ donde $x$ es el número de millas sobre el nivel del mar. Al pie más cercano, ¿qué altura tiene el pico de una montaña con una presión atmosférica de $8,369$ libras por pulgada cuadrada? (Pista: una milla equivale a 5.280 pies).

77.

La magnitud M de un terremoto se representa mediante la ecuación $M = \frac{2}{3} \log (\frac{E}{E_{0}})$ donde $E$ es la cantidad de energía liberada por el terremoto en julios y $E_{0} = 10^{4,4}$ es la medida mínima asignada liberada por un terremoto. A la centésima más cercana, ¿cuál sería la magnitud de un terremoto que libera $1,4 \cdot 10^{13}$ julios de energía?

Extensiones

78.

Utilice la definición de logaritmo junto con la propiedad biunívoca de los logaritmos para demostrar que $b^{\log_{b} x} = x .$

79.

Recordemos la fórmula del interés continuamente compuesto, $y = A e^{k t} .$ Utilice la definición de logaritmo junto con las propiedades de los logaritmos para resolver la fórmula del tiempo $t$ de manera que $t$ es igual a un solo logaritmo.

80.

Recordemos la fórmula del interés compuesto $A = a {(1 + \frac{r}{k})}^{k t} .$ Utilice la definición de logaritmo junto con las propiedades de los logaritmos para resolver la fórmula del tiempo $t .$

81.

La ley de enfriamiento de Newton establece que la temperatura $T$ de un objeto en cualquier momento t puede describirse mediante la ecuación $T = T_{s} + (T_{0} - T_{s}) e^{- k t},$ donde $T_{s}$ es la temperatura del entorno, $T_{0}$ es la temperatura inicial del objeto, y $k$ es la velocidad de enfriamiento. Utilice la definición de logaritmo junto con las propiedades de los logaritmos para resolver la fórmula del tiempo $t$ de manera que $t$ es igual a un solo logaritmo.

4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Usar bases semejantes para resolver ecuaciones exponenciales

Resolver una ecuación exponencial con base común

Solución

Reescribir las ecuaciones para que todas las potencias tengan la misma base

Resolver ecuaciones al reescribirlas para que tengan una base común

Solución

Resolver ecuaciones al reescribir raíces con exponentes fraccionarios para que tengan una base común

Solución

Resolver una ecuación con potencias positivas y negativas

Solución

Análisis

Resolver ecuaciones exponenciales mediante logaritmos

Resolver una ecuación que contiene potencias de diferentes bases

Solución

Ecuaciones que contienen e

Resolver una ecuación de la forma y = Aekt

Solución

Análisis

Resolver una ecuación que puede simplificarse a la forma y = Aekt

Solución

Soluciones extrañas

Resolver funciones exponenciales en forma cuadrática

Solución

Análisis

Usar la definición de un logaritmo para resolver ecuaciones logarítmicas

Usar el álgebra para resolver una ecuación logarítmica

Solución

Usar el álgebra antes y después de emplear la definición del logaritmo natural

Solución

Usar un gráfico para entender la solución a una ecuación logarítmica

Solución

Usar la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver ecuaciones logarítmicas

Resolver una ecuación con la propiedad biunívoca de los logaritmos

Solución

Análisis

Resolver problemas aplicados mediante ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Usar la fórmula del decaimiento radiactivo para hallar la cantidad de una sustancia

Solución

Análisis

4.6 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

En tecnología

Extensiones

Resolver una ecuación de la forma y = Ae^kt

Resolver una ecuación que puede simplificarse a la forma y = Ae^kt