Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Modelar el crecimiento y el decaimiento exponencial.
Utilizar la ley de enfriamiento de Newton.
Utilizar modelos de crecimiento logístico.
Elegir un modelo adecuado para los datos.
Expresar un modelo exponencial con base $e$ .

Dentro de un reactor de investigación nuclear.

Figura 1 Reactor de investigación nuclear dentro del Centro de Investigación Nuclear Neely en el campus del Instituto de Tecnología de Georgia (créditos: Instituto de Investigación de Georgia Tech).

Ya hemos explorado algunas aplicaciones básicas de las funciones exponenciales y logarítmicas. En esta sección, profundizamos en algunas aplicaciones importantes, incluso los isótopos radiactivos y la ley de enfriamiento de Newton.

Modelar el crecimiento y el decaimiento exponencial

En las aplicaciones del mundo real, necesitamos modelar el comportamiento de una función. En el modelado matemático, elegimos una función general conocida con propiedades que sugieren que modelará el fenómeno del mundo real que deseamos analizar. En el caso de un crecimiento rápido, podemos elegir la función de crecimiento exponencial:

y = A_{0} e^{k t}

donde $A_{0}$ es igual al valor en el tiempo cero, $e$ es la constante de Euler, y $k$ es una constante positiva que determina la tasa (porcentaje) de crecimiento. Podemos utilizar la función de crecimiento exponencial en las aplicaciones que implican el tiempo de duplicación, el tiempo que tarda una cantidad en duplicarse. Fenómenos como la fauna, las inversiones financieras, las muestras biológicas y los recursos naturales pueden exhibir un crecimiento basado en un tiempo de duplicación. Sin embargo, en algunas aplicaciones, como veremos cuando hablemos de la ecuación logística, el modelo logístico a veces se ajusta mejor a los datos que el modelo exponencial.

Por otro lado, si una cantidad cae rápidamente hacia cero, sin llegar nunca a cero, entonces probablemente deberíamos elegir el modelo de decaimiento exponencial. De nuevo, tenemos la forma $y = A_{0} e^{k t}$ donde $A_{0}$ es el valor inicial, y $e$ es la constante de Euler. Ahora $k$ es una constante negativa que determina la tasa de decaimiento. Podemos utilizar el modelo de decaimiento exponencial cuando calculamos la semivida, o el tiempo que tarda una sustancia en decaer exponencialmente hasta la mitad de su cantidad original. Utilizamos la semivida en las aplicaciones relacionadas con los isótopos radiactivos.

A la hora de elegir una función que sirva de modelo matemático, a menudo utilizamos puntos de datos recogidos mediante una cuidadosa observación y medición para construir puntos en un gráfico y esperamos poder reconocer su forma. Los gráficos de crecimiento y decaimiento exponencial tienen una forma distintiva, como podemos ver en la Figura 2 y la Figura 3. Es importante recordar que, aunque partes de cada uno de los dos gráficos parecen estar en el eje x, en realidad están a una distancia mínima por encima del eje x.

Gráfico de y=2e^(3x) con los puntos etiquetados (-1/3, 2/e), (0, 2) y (1/3, 2e) y con la asíntota en y=0.

Figura 2 Gráfico que muestra el crecimiento exponencial. La ecuación es

y = 2 e^{3 x} .

Gráfico de y=3e^(-2x) con los puntos etiquetados (-1/2, 3e), (0, 3) y (1/2, 3/e) y con la asíntota en y=0.

Figura 3 Gráfico que muestra el decaimiento exponencial. La ecuación es

y = 3 e^{- 2 x} .

El crecimiento y el decaimiento exponencial suelen implicar números muy grandes o muy pequeños. Para describir estas cifras, solemos utilizar órdenes de magnitud. El orden de magnitud es la potencia de diez, cuando el número se expresa en notación científica, con un dígito a la izquierda del decimal. Por ejemplo, la distancia a la estrella más cercana, Próxima Centauri, medida en kilómetros, es de 40.113.497.200.000 kilómetros. Expresado en notación científica, esto es $4,01134972 \times 10^{13} .$ Así, podríamos describir esta cifra como de orden de magnitud $10^{13} .$

Características de la función exponencial, $y = A_{0} e^{k t}$

Una función exponencial con la forma $y = A_{0} e^{k t}$ tiene las siguientes características:

función biunívoca
asíntota horizontal: $y = 0$
dominio: $(- \infty, \infty)$
rango: $(0, \infty)$
intersección en x: ninguna
intersección en y: $(0, A_{0})$
creciente si $k > 0$ (vea la Figura 4)
decreciente si $k < 0$ (vea la Figura 4)

Dos gráficos de y=(A_0)(e^(kt)) con la asíntota en y=0. El primer gráfico es de cuando k>0 y con los puntos etiquetados (1/k, (A_0)e), (0, A_0), y (-1/k, (A_0)/e). El segundo gráfico es de cuando k<0 y con los puntos etiquetados (-1/k, (A_0)e), (0, A_0), y (1/k, (A_0)/e).

Figura 4 Una función exponencial modela el crecimiento exponencial cuando

k > 0

y el decaimiento exponencial cuando

k < 0 .

Ejemplo 1

Graficar el crecimiento exponencial

Una población de bacterias se duplica cada hora. Si el cultivo comenzó con 10 bacterias, grafique la población en función del tiempo.

Solución

Cuando una cantidad crece a un porcentaje fijo por unidad de tiempo, el crecimiento es exponencial. Para hallar $A_{0}$ utilizamos el hecho de que $A_{0}$ es la cantidad en el tiempo cero, por lo que $A_{0} = 10.$ Para hallar $k,$ considere el hecho de que después de una hora $(t = 1)$ la población se duplica de $10$ con $20.$ La fórmula se deriva como sigue

\begin{array}{l} 20 = 10 e^{k \cdot 1} \\ 2 = e^{k} & Divida entre 10 \\ \ln 2 = k & Tome el logaritmo natural \end{array}

por lo que $k = \ln (2) .$ Así, la ecuación que queremos graficar es $y = 10 e^{(\ln 2) t} = 10 {(e^{\ln 2})}^{t} = 10 \cdot 2^{t} .$ El gráfico se muestra en la Figura 5.

Gráfico que comienza en diez en el eje y, a la vez que aumenta rápidamente hacia la derecha.

Figura 5 El gráfico de

y = 10 e^{(\ln 2) t}

Análisis

La población de bacterias después de diez horas es de 10.240. Podríamos decir que esta cantidad es del orden de magnitud $10^{4} .$ La población de bacterias después de veinte horas es de 10.485.760, que es del orden de magnitud $10^{7},$ por lo que podríamos decir que la población ha aumentado en tres órdenes de magnitud en diez horas.

Semivida

Ahora pasemos al decaimiento exponencial. Uno de los términos más comunes que se asocian al decaimiento exponencial, como ya se ha indicado arriba, es la semivida, el tiempo que tarda una cantidad que decae exponencialmente en disminuir hasta la mitad de su cantidad original. Cada isótopo radiactivo tiene una semivida, y el proceso que describe el decaimiento exponencial de un isótopo se denomina decaimiento radiactivo.

Para hallar la semivida de una función que describe el decaimiento exponencial, resuelva la siguiente ecuación:

\frac{1}{2} A_{0} = A_{i} e^{k t}

Vemos que la semivida depende solo de la constante $k$ y no en la cantidad inicial $A_{0} .$

La fórmula se deriva de la siguiente manera

\begin{array}{l} \frac{1}{2} A_{0} = A_{i} e^{k t} \\ \frac{1}{2} = e^{k t} & Divida entre A_{0} . \\ \ln (\frac{1}{2}) = k t & Tome el logaritmo natural . \\ - \ln (2) = k t & Aplique las leyes de los logaritmos . \\ - \frac{\ln (2)}{k} = t & Divida entre k . \end{array}

Dado que $t,$ el tiempo, es positivo, $k$ debe, como es de esperar, ser negativo. Esto nos da la fórmula de la semivida

t = - \frac{\ln (2)}{k}

Cómo

Dada la semivida, calcule la tasa de decaimiento.

Escriba $A = A_{i} e^{k t} .$
Sustituya $A$ entre $\frac{1}{2} A_{0}$ y reemplace $t$ por la semivida dada.
Resuelva para hallar $k .$ Exprese $k$ como valor exacto (no redondee).

Nota: También es posible hallar la tasa de decaimiento con $k = - \frac{\ln (2)}{t} .$

Ejemplo 2

Hallar la función que describe el decaimiento radiactivo

La semivida del carbono 14 es de 5.730 años. Exprese la cantidad restante de carbono 14 en función del tiempo, $t .$

Solución

Esta fórmula se deriva de la siguiente manera.

\begin{array}{l} A = A_{0} e^{k t} & La fórmula del crecimiento continuo . \\ 0,5 A_{0} = A_{0} e^{k \cdot 5.730} & Sustituya la semivida por t y 0,5 A_{0} para f (t) . \\ 0,5 = e^{5.730 k} & Divida entre A_{0} . \\ \ln (0,5) = 5.730 k & Tome el logaritmo natural de ambos lados . \\ k = \frac{\ln (0,5)}{5.730} & Divida entre el coeficiente de k . \\ A = A_{0} e^{(\frac{\ln (0,5)}{5.730}) t} & Sustituya por r en la fórmula de crecimiento continuo . \end{array}

La función que describe este decaimiento continuo es $f (t) = A_{0} e^{(\frac{\ln (0,5)}{5.730}) t} .$ Observamos que el coeficiente de $t,$ $\frac{\ln (0,5)}{5.730} \approx - 1,2097 \times 10^{-4}$ es negativo, como es de esperar en el caso del decaimiento exponencial.

Inténtelo #1

La semivida del plutonio-244 es de 80.000.000 de años. Halle una función que dé la cantidad restante de plutonio-244 en función del tiempo, medido en años.

Datación por radiocarbono

La fórmula del decaimiento radiactivo es importante en la datación por radiocarbono, que se utiliza para calcular la fecha aproximada de la muerte de una planta o de un animal. La datación por radiocarbono fue descubierta en 1949 por Willard Libby, que ganó el Premio Nobel por su descubrimiento. Compare la diferencia entre el cociente de dos isótopos de carbono en un artefacto orgánico o fósil con la proporción de esos dos isótopos en el aire. Se cree que tiene una precisión de alrededor del 1 % de error para las plantas o animales que murieron en los últimos 60.000 años.

El carbono 14 es un isótopo radiactivo del carbono que tiene una semivida de 5.730 años. Se encuentra en pequeñas cantidades en el dióxido de carbono del aire que respiramos. La mayor parte del carbono de la Tierra es carbono 12, que tiene un peso atómico de 12 y no es radiactivo. Los científicos han determinado el cociente entre el carbono 14 y el carbono 12 en el aire durante los últimos 60.000 años, mediante el empleo de anillos de árboles y otras muestras orgánicas de fechas conocidas, aunque la relación ha cambiado ligeramente a lo largo de los siglos.

Mientras una planta o un animal esté vivo, la proporción de los dos isótopos del carbono en su cuerpo se acerca a la proporción en la atmósfera. Cuando muere, el carbono 14 de su cuerpo se descompone y no se reemplaza. Al comparar la proporción entre el carbono 14 y el carbono 12 en una muestra en descomposición con la proporción conocida en la atmósfera, se puede calcular aproximadamente la fecha en que murió la planta o el animal.

Dado que la semivida del carbono 14 es de 5.730 años, la fórmula para la cantidad restante después de $t$ años es

A \approx A_{0} e^{(\frac{\ln (0,5)}{5.730}) t}

donde

$A$ es la cantidad restante de carbono 14
$A_{0}$ es la cantidad de carbono 14 cuando la planta o el animal comenzó a descomponerse.

Esta fórmula se deriva de la siguiente manera:

\begin{array}{l} A = A_{0} e^{k t} & La fórmula del crecimiento continuo . \\ 0,5 A_{0} = A_{0} e^{k \cdot 5.730} & Sustituya la semivida por t y 0,5 A_{0} para f (t) . \\ 0,5 = e^{5.730 k} & Divida entre A_{0} . \\ \ln (0,5) = 5.730 k & Tome el logaritmo natural de ambos lados . \\ k = \frac{\ln (0,5)}{5.730} & Divida entre el coeficiente de k . \\ A = A_{0} e^{(\frac{\ln (0,5)}{5.730}) t} & Sustituya por k en la fórmula de crecimiento continuo . \end{array}

Para calcular la edad de un objeto, resolvemos esta ecuación para $t :$

t = \frac{\ln (\frac{A}{A_{0}})}{- 0,000121}

Por necesidad, dejamos de lado aquí los muchos detalles que un científico tiene en cuenta al realizar la datación por carbono 14, y solo nos fijamos en la fórmula básica. La proporción entre el carbono 14 y el carbono 12 en la atmósfera es de aproximadamente 0,0000000001%. Supongamos que $r$ es la proporción entre el carbono 14 y el carbono 12 en el artefacto orgánico o fósil sujeto a la datación, determinada por un método que recibe el nombre de centelleo líquido. A partir de la ecuación $A \approx A_{0} e^{- 0,000121 t}$ sabemos que la relación entre el porcentaje de carbono-14 en el objeto que estamos datando y la cantidad inicial de carbono-14 en el objeto cuando se formó es $r = \frac{A}{A_{0}} \approx e^{- 0,000121 t} .$ Resolvemos esta ecuación para $t,$ para obtener

t = \frac{\ln (r)}{- 0,000121}

Cómo

Dado el porcentaje de carbono 14 en un objeto, determine su edad.

Exprese el porcentaje dado de carbono 14 como un decimal equivalente, $k .$
Sustituya k en la ecuación $t = \frac{\ln (r)}{- 0,000121}$ y resuelva para la edad, $t .$

Ejemplo 3

Calcular la edad de un hueso

Se encuentra un fragmento de hueso que contiene el 20 % de su carbono 14 original. Con una aproximación de un año, ¿cuál es la edad del hueso?

Solución

Sustituimos $20 % = 0,20$ por $r$ en la ecuación y resuelva para $t :$

\begin{array}{l} t = \frac{\ln (r)}{- 0,000121} & Utilice la forma general de la ecuación . \\ = \frac{\ln (0,20)}{- 0,000121} \begin{matrix}  \end{matrix} & Sustituya por r . \\ \approx 13301 & Redondee al año más cercano . \end{array}

El fragmento de hueso tiene unos 13.301 años de antigüedad.

Análisis

Los instrumentos que miden el porcentaje de carbono 14 son extremadamente sensibles y, como mencionamos anteriormente, un científico tendrá que hacer mucho más trabajo del que hicimos para estar satisfecho. Aun así, la datación por carbono solo tiene una precisión del 1 %, por lo que esta edad debería darse como $13.301 años \pm 1 % o 13.301 años \pm 133 años .$

Inténtelo #2

El cesio 137 tiene una semivida de aproximadamente 30 años. Si empezamos con 200 mg de cesio 137, ¿tardaremos más o menos de 230 años hasta que solo quede un miligramo?

Calcular el tiempo de duplicación

Para las cantidades en decaimiento, determinamos el tiempo que tarda en decaer la mitad de una sustancia. En el caso de las cantidades crecientes, es posible que queramos averiguar el tiempo que tarda una cantidad en duplicarse. Como ya lo hemos mencionado, el tiempo que tarda una cantidad en duplicarse recibe el nombre de tiempo de duplicación.

Dada la ecuación básica de crecimiento exponencial $A = A_{0} e^{k t},$ el tiempo de duplicación se puede calcular al resolver para cuando la cantidad original se ha duplicado, es decir, al resolver $2 A_{0} = A_{0} e^{k t} .$

La fórmula se deriva de la siguiente manera:

\begin{array}{l} 2 A_{0} = A_{0} e^{k t} \\ 2 = e^{k t} & Divida entre A_{0} . \\ \ln 2 = k t & Tome el logaritmo natural . \\ t = \frac{\ln 2}{k} & Divida entre el coeficiente de t . \end{array}

Así, el tiempo de duplicación es

t = \frac{\ln 2}{k}

Ejemplo 4

Hallar una función que describa el crecimiento exponencial

Según la ley de Moore, el tiempo de duplicación del número de transistores que se pueden poner en un chip de computadora es de aproximadamente dos años. Dé una función que describa este comportamiento.

Solución

La fórmula se deriva de la siguiente manera:

\begin{array}{l} t = \frac{\ln 2}{k} & La fórmula del tiempo de duplicación . \\ 2 = \frac{\ln 2}{k} & Utilice un tiempo de duplicación de dos años . \\ k = \frac{\ln 2}{2} & Multiplique por k y divida entre 2 . \\ A = A_{0} e^{\frac{\ln 2}{2} t} \begin{matrix}  \end{matrix} & Sustituya k en la fórmula de crecimiento continuo . \end{array}

La función es $A_{0} e^{\frac{\ln 2}{2} t} .$

Inténtelo #3

Datos recientes sugieren que, a partir de 2013, la tasa de crecimiento que se prevé en la ley de Moore ya no se mantiene. El crecimiento se ha ralentizado hasta un tiempo de duplicación de aproximadamente tres años. Halle la nueva función que tenga en cuenta ese mayor tiempo de duplicación.

Utilizar la ley de enfriamiento de Newton

El decaimiento exponencial también puede aplicarse a la temperatura. Cuando un objeto caliente se deja en el aire circundante, que está a una temperatura más baja, la temperatura del objeto disminuirá exponencialmente, para nivelarse a la temperatura del aire circundante. En un gráfico de la función de temperatura, la nivelación corresponderá a una asíntota horizontal a la temperatura del aire circulante. A menos que la temperatura ambiente sea cero, esto corresponderá a un desplazamiento vertical de la función genérica de decaimiento exponencial. Esta traslación nos lleva a la ley del enfriamiento de Newton, la fórmula científica de la temperatura en función del tiempo cuando la temperatura de un objeto se iguala a la temperatura ambiente

T (t) = a e^{k t} + T_{s}

Esta fórmula se deriva de la siguiente manera:

\begin{array}{l} T (t) = A b^{c t} + T_{s} \\ T (t) = A e^{\ln (b^{c t})} + T_{s} \begin{matrix}  \end{matrix} & Leyes de los logaritmos . \\ T (t) = A e^{c t \ln b} + T_{s} & Leyes de los logaritmos . \\ T (t) = A e^{k t} + T_{s} & Redefina la constante c \ln b, al llamarla k . \end{array}

Ley de enfriamiento de Newton

La temperatura de un objeto, $T,$ en el aire circundante con la temperatura $T_{s}$ se comportará según la fórmula

T (t) = A e^{k t} + T_{s}

donde

$t$ es el tiempo
$A$ es la diferencia entre la temperatura inicial del objeto y la del entorno
$k$ es una constante, la tasa continua de enfriamiento del objeto

Cómo

Dada una serie de condiciones, aplicar la ley de enfriamiento de Newton.

Establezca $T_{s}$ igual a la coordenada de la y de la asíntota horizontal (normalmente la temperatura ambiente).
Sustituya los valores dados en la fórmula de crecimiento continuo $T (t) = A e^{k}^{t} + T_{s}$ para hallar los parámetros $A$ y $k .$
Sustituya el tiempo deseado para hallar la temperatura o la temperatura deseada y así calcular el tiempo.

Ejemplo 5

Utilizar la ley de enfriamiento de Newton

Una tarta de queso se saca del horno a una temperatura interna ideal de $165 °F,$ y se coloca en un refrigerador $a 35 °F$ . Después de 10 minutos, la tarta de queso se ha enfriado a $150 °F .$ Si hay que esperar a que la tarta de queso se enfríe a $70 °F$ antes de comerla, ¿cuánto tiempo tendremos que esperar?

Solución

Puesto que la temperatura del aire circundante en el refrigerador es de 35 grados, la temperatura de la tarta de queso decaerá exponencialmente hacia 35, siguiendo la ecuación

T (t) = A e^{k t} + 35

Sabemos que la temperatura inicial era de 165 grados, por lo que $T (0) = 165 .$

\begin{array}{l} 165 = A e^{k 0} + 35 & Sustituya (0, 165) . \\ A = 130 & Resuelva para A . \end{array}

Nos dieron otro dato, $T (10) = 150,$ que podemos utilizar para resolver $k .$

\begin{array}{l} 150 = 130 e^{k 10} + 35 & Sustituya (10, 150) . \\ 115 = 130 e^{k 10} & Reste 35 . \\ \frac{115}{130} = e^{10 k} & Divida entre 130 . \\ \ln (\frac{115}{130}) = 10 k & Tome el logaritmo natural de ambos lados . \\ k = \frac{\ln (\frac{115}{130})}{10} \approx - 0,0123 & Divida entre el coeficiente de k . \end{array}

Esto nos da la ecuación para el enfriamiento de la tarta de queso $T (t) = 130 e^{- 0.0123 t} + 35 .$

Ahora podemos resolver el tiempo que tardará la temperatura en enfriarse hasta los 70 grados.

\begin{array}{l} 70 = 130 e^{- 0,0123 t} + 35 & Sustituya en 70 para T (t) . \\ 35 = 130 e^{- 0,0123 t} & Reste 35 . \\ \frac{35}{130} = e^{- 0,0123 t} & Divida entre 130 . \\ \ln (\frac{35}{130}) = - 0,0123 t & Tome el logaritmo natural de ambos lados \\ t = \frac{\ln (\frac{35}{130})}{- 0,0123} \approx 106,68 & Divida entre el coeficiente de t . \end{array}

La tarta de queso tardará unos 107 minutos, o una hora y 47 minutos, en enfriarse hasta $70 °F .$

Inténtelo #4

Se coloca una jarra de agua a 40 grados Fahrenheit en una habitación a 70 grados. Una hora después, la temperatura ha subido a 45 grados. ¿Cuánto tiempo tardará la temperatura en subir a 60 grados?

Uso de modelos de crecimiento logístico

El crecimiento exponencial no puede continuar para siempre. Los modelos exponenciales, aunque pueden ser útiles a corto plazo, tienden a desmoronarse cuanto más tiempo se prolongan. Piense en una aspirante a escritor que escribe una sola línea el primer día y se propone duplicar el número de líneas que escribe cada día durante un mes. Antes de que acabe el mes, deberá escribir más de 17.000 millones de líneas, es decir, 500 millones de páginas. No es práctico, por no decir imposible, que alguien escriba tanto en tan poco tiempo. Con el tiempo, deberá aplicarse un modelo exponencial que se aproxime a algún valor límite, y entonces el crecimiento se ve obligado a ralentizarse. Por esta razón, a menudo es mejor utilizar un modelo con un límite superior, en lugar de un modelo de crecimiento exponencial, aunque el modelo de crecimiento exponencial sigue siendo útil a corto plazo, antes de acercarse al valor límite.

El modelo de crecimiento logístico es aproximadamente exponencial al principio, pero tiene una tasa de crecimiento reducida a medida que la producción se acerca al límite superior del modelo, denominada capacidad de carga. Para las constantes $a, b,$ y $c,$ el crecimiento logístico de una población en el tiempo $t$ viene representado por el modelo

f (t) = \frac{c}{1 + a e^{- b t}}

El gráfico en la Figura 6 muestra la evolución de la tasa de crecimiento con el paso del tiempo. El gráfico aumenta de izquierda a derecha, pero la tasa de crecimiento aumenta únicamente hasta que alcanza su punto máximo, momento en el que disminuye.

Gráfico de f(t)=c/(1+ae^(-tx)). La capacidad de carga es la asíntota en y=c. El valor inicial de la población es (0, c/(1+a)). El punto de máximo crecimiento es (ln(a)/b, c/2).

Figura 6

Crecimiento logístico

El modelo de crecimiento logístico es

f (t) = \frac{c}{1 + a e^{- b t}}

donde

$\frac{c}{1 + a}$ es el valor inicial
$c$ es la capacidad de carga o valor límite
$b$ es una constante determinada por la tasa de crecimiento.

Ejemplo 6

Usar el modelo de crecimiento logístico

Una epidemia de gripe se extiende rápidamente por una población, a un ritmo que depende de dos factores: Cuantas más personas tengan la gripe, más rápidamente se propagará, y también cuantas más personas no contagiadas haya, más rápidamente se propagará. Estos dos factores hacen que el modelo logístico sea apropiado para estudiar la propagación de las enfermedades transmisibles. Evidentemente, hay un valor máximo para el número de personas contagiadas: toda la población.

Por ejemplo, en el tiempo $t = 0$ hay una persona en una comunidad de 1.000 habitantes que tiene la gripe. Por lo tanto, en esa comunidad, como máximo 1.000 personas pueden tener la gripe. Los investigadores detectan que, en esta cepa particular de la gripe, la constante de crecimiento logístico es $b = 0,6030.$ Calcule el número de personas de esta comunidad que habrán tenido la gripe después de diez días. Pronostique cuántas personas de esta comunidad habrán tenido la gripe después de un largo tiempo.

Solución

Sustituimos los datos dados en el modelo de crecimiento logístico

f (t) = \frac{c}{1 + a e^{- b t}}

Dado que como máximo 1.000 personas, toda la población de la comunidad, pueden contraer la gripe, sabemos que el valor límite es $c = 1.000.$ Para hallar $a,$ utilizamos la fórmula de que el número de casos en el tiempo $t = 0$ es $\frac{c}{1 + a} = 1,$ de lo que se deduce que $a = 999.$ Este modelo predice que, después de diez días, el número de personas que han tenido la gripe es $f (t) = \frac{1.000}{1 + 999 e^{- 0,6030 x}} \approx 293,8.$ Puesto que el número real deberá ser un número entero (una persona ha tenido la gripe o no), redondeamos a 294. A largo plazo, el número de personas que contraerán la gripe es el valor límite, $c = 1.000.$

Análisis

Recuerde que, al tratarse de un virus, no podemos predecir con certeza el número de personas contagiadas. El modelo únicamente es un aproximado del número de personas contagiadas y no nos dará valores exactos o reales.

El gráfico en la Figura 7 ofrece una buena imagen de cómo este modelo se ajusta a los datos.

Gráfico de f(x)=1000/(1+999e^(-0,5030x)) con el eje y etiquetado como "Casos" y el eje x etiquetado como "Días". Hubo 1 caso el día 0, 20 el día 5, 294 el día 10 y 1.000 el día 21.

Figura 7 El gráfico de

f (t) = \frac{1.000}{1 + 999 e^{- 0,6030 x}}

Inténtelo #5

Con el modelo que se muestra en el Ejemplo 6, calcule el número de casos de gripe en el día 15.

Elegir un modelo adecuado para los datos

Ahora, que hemos hablado de varios modelos matemáticos, tenemos que aprender a elegir el modelo adecuado para los datos brutos de los que disponemos. Son muchos los factores que influyen en la elección de un modelo matemático, entre ellos la experiencia, las leyes científicas y los patrones de los propios datos. No todos los datos pueden describirse mediante funciones elementales. A veces, se elige una función que se aproxima a los datos en un intervalo determinado. Por ejemplo, supongamos que se recogen datos sobre el número de viviendas compradas en Estados Unidos entre los años 1960 y 2013. Tras representar estos datos en un gráfico de dispersión, observamos que la forma de los datos de los años 2000 a 2013 sigue una curva logarítmica. Podríamos restringir el intervalo de 2000 a 2010, aplicar el análisis de regresión mediante un modelo logarítmico y utilizarlo para predecir el número de compradores de viviendas para el año 2015.

Tres tipos de funciones que suelen ser útiles en los modelos matemáticos son las lineales, las exponenciales y las logarítmicas. Si los datos se encuentran en una línea recta, o parecen encontrarse aproximadamente a lo largo de una línea recta, un modelo lineal sería lo mejor. Si los datos no son lineales, se suele considerar un modelo exponencial o logarítmico, aunque también se pueden considerar otros modelos, como los cuadráticos.

Al momento de elegir entre un modelo exponencial y uno logarítmico, nos fijamos en la forma en que se curvan los datos. Esto se denomina concavidad. Si trazamos una línea entre dos puntos de datos, y todos (o la mayoría) de los datos entre esos dos puntos se encuentran por encima de esa línea, decimos que la curva es cóncava hacia abajo. Podemos pensar que es un cuenco que se dobla hacia abajo y que, por tanto, no puede retener el agua. Si todos (o la mayoría) de los datos entre esos dos puntos están por debajo de la línea, decimos que la curva es cóncava hacia arriba. En este caso, podemos pensar en un cuenco que se dobla hacia arriba y que, por ende, puede contener agua. Una curva exponencial, ya sea ascendente o descendente, ya sea que represente el crecimiento o el decaimiento, siempre es cóncava hacia arriba y se aleja de su asíntota horizontal. Una curva logarítmica siempre es cóncava respecto a su asíntota vertical. En el caso de los datos positivos, que es el más común, la curva exponencial siempre es cóncava hacia arriba, a la vez que la curva logarítmica siempre es cóncava hacia abajo.

Una curva logística cambia la concavidad. Comienza por ser cóncava hacia arriba y luego pasa a ser cóncava hacia abajo, más allá de un punto determinado, denominado punto de inflexión.

Después de usar el gráfico para elegir un tipo de función como modelo, sustituimos los puntos y resolvemos para hallar los parámetros. Reducimos el error de redondeo al elegir puntos lo más alejados posible.

Ejemplo 7

Elegir un modelo matemático

¿Es un modelo lineal, exponencial, logarítmico o logístico el que mejor se ajusta a los valores indicados en la Tabla 1? Halle el modelo y utilice un gráfico para comprobar su elección.

$x$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$y$	0	1,386	2,197	2,773	3,219	3,584	3,892	4,159	4,394

Tabla 1

Solución

En primer lugar, represente los datos en un gráfico como en la Figura 8. A los efectos del gráfico, redondee los datos a dos decimales.

Gráfico de los valores de la tabla anterior.

Figura 8

Obviamente, los puntos no se encuentran en una línea recta, por lo que rechazamos el modelo lineal. Si trazamos una línea entre dos puntos cualesquiera, la mayoría o todos los puntos entre esos dos se sitúan por encima de la línea, por lo que el gráfico es cóncavo hacia abajo, lo que sugiere un modelo logarítmico. Podemos intentar $y = a \ln (b x) .$ Al conectar el primer punto, $(1.0),$ da como resultado $0 = a \ln b .$ Rechazamos el caso de que $a = 0$ (si lo fuera, todas las salidas serían 0), por lo que sabemos $\ln (b) = 0 .$ Así que $b = 1$ y $y = a \ln (x) .$ A continuación, podemos utilizar el punto $(9.4,394)$ para resolver para $a :$

\begin{array}{l} y = a \ln (x) \\ 4,394 = a \ln (9) \\ a = \frac{4,394}{\ln (9)} \end{array}

Dado que $a = \frac{4,394}{\ln (9)} \approx 2,$ un modelo apropiado para los datos es $y = 2 \ln (x) .$

Para comprobar la exactitud del modelo, graficamos la función junto con los puntos dados como en la Figura 9.

Gráfico de los valores de la tabla anterior que muestra que se ajusta a la función y=2ln(x) con una asíntota en x=0.

Figura 9 El gráfico de

y = 2 \ln x .

Podemos concluir que el modelo se ajusta bien a los datos.

Compare la Figura 9 con el gráfico de $y = \ln (x^{2})$ se muestra en la Figura 10.

Figura 10 El gráfico de

y = \ln (x^{2})

Los gráficos parecen ser idénticos cuando $x > 0 .$ Una rápida comprobación confirma esta conclusión: $y = \ln (x^{2}) = 2 \ln (x)$ para $x > 0 .$

Sin embargo, si $x < 0,$ el gráfico de $y = \ln (x^{2})$ incluye una rama "extra", como se muestra en la Figura 11. Esto ocurre porque, mientras $y = 2 \ln (x)$ no puede tener valores negativos en el dominio (ya que tales valores forzarían a que el argumento fuera negativo), la función $y = \ln (x^{2})$ puede tener valores de dominio negativos.

Figura 11

Inténtelo #6

¿Se ajusta mejor a los datos un modelo lineal, exponencial o logarítmico en la Tabla 2? Determine el modelo.

$x$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$y$	3,297	5,437	8,963	14,778	24,365	40,172	66,231	109,196	180,034

Tabla 2

Expresar un modelo exponencial con base $e$

Aunque se pueden utilizar potencias y logaritmos de cualquier base en el modelado, las dos bases más comunes son $10$ y $e .$ En ciencia y matemáticas, la base $e$ se prefiere a menudo. Podemos utilizar las leyes de los exponentes y de los logaritmos para cambiar cualquier base a base $e .$

Cómo

Dado un modelo con la forma $y = a b^{x},$ cambiarlo a la forma $y = A_{0} e^{k x} .$

Reescriba $y = a b^{x}$ cuando $y = a e^{\ln (b^{x})} .$
Utilice la regla de la potencia de los logaritmos para reescribir y como $y = a e^{x \ln (b)} = a e^{\ln (b) x} .$
Tenga en cuenta que $a = A_{0}$ y $k = \ln (b)$ en la ecuación $y = A_{0} e^{k x} .$

Ejemplo 8

Cambiar a la base e

Cambie la función $y = 2,5 {(3,1)}^{x}$ para que esta misma función se escriba en la forma $y = A_{0} e^{k x} .$

Solución

La fórmula se deriva de la siguiente manera

\begin{array}{l} y = 2,5 {(3,1)}^{x} \\ = 2,5 e^{\ln ({3,1}^{x})} & Inserte exponencial y su inversa . \\ = 2,5 e^{x \ln 3,1} & Leyes de logaritmos . \\ = 2,5 e^{(\ln 3,1)}^{x} & Ley conmutativa de la multiplicación \end{array}

Inténtelo #7

Cambie la función $y = 3 {(0,5)}^{x}$ a una que tenga $e$ como base.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con los modelos exponenciales y logarítmicos.

4.7 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Con qué tipo de modelo exponencial se asociaría la semivida? ¿Qué papel desempeña la semivida en estos modelos?

2.

¿Qué es la datación por carbono? ¿Por qué funciona? Dé un ejemplo en el que la datación por carbono sea útil.

3.

¿A qué tipo de modelo exponencial se asociaría el tiempo de duplicación? ¿Qué papel desempeña el tiempo de duplicación en estos modelos?

4.

Defina la ley de enfriamiento de Newton. A continuación, nombre al menos tres situaciones del mundo real en las que se aplicaría la ley de enfriamiento de Newton.

5.

¿Qué es un orden de magnitud? ¿Por qué son útiles los órdenes de magnitud? Explique con un ejemplo.

Numéricos

6.

La temperatura de un objeto en grados Fahrenheit después de t minutos se representa mediante la ecuación $T (t) = 68 e^{- 0,0174 t} + 72.$ Al grado más cercano ¿cuál es la temperatura del objeto al cabo de una hora y media?

En los siguientes ejercicios, utilice el modelo de crecimiento logístico $f (x) = \frac{150}{1 + 8 e^{- 2 x}} .$

7.

Halle e interprete $f (0) .$ Redondee a la décima más cercana.

8.

Halle e interprete $f (4) .$ Redondee a la décima más cercana.

9.

Halle la capacidad de carga.

10.

Grafique el modelo.

11.

Determine si los datos de la tabla pueden representarse mejor como una función lineal, exponencial o logarítmica. A continuación, escriba una fórmula para un modelo que represente los datos.

$x$	$f (x)$
-2	0,694
-1	0,833
0	1
1	1,2
2	1,44
3	1,728
4	2,074
5	2,488

12.

Reescriba $f (x) = 1,68 {(0,65)}^{x}$ como una ecuación exponencial con base $e$ con cinco decimales.

En tecnología

En los siguientes ejercicios, introduzca los datos de cada tabla en una calculadora gráfica y grafique los diagramas de dispersión resultantes. Determine si los datos de la tabla pueden representar una función lineal, exponencial o logarítmica.

13.

$x$	$f (x)$
1	2
2	4,079
3	5,296
4	6,159
5	6,828
6	7,375
7	7,838
8	8,238
9	8,592
10	8,908

14.

$x$	$f (x)$
1	2,4
2	2,88
3	3,456
4	4,147
5	4,977
6	5,972
7	7,166
8	8,6
9	10,32
10	12,383

15.

$x$	$f (x)$
4	9,429
5	9,972
6	10,415
7	10,79
8	11,115
9	11,401
10	11,657
11	11,889
12	12,101
13	12,295

16.

$x$	$f (x)$
1,25	5,75
2,25	8,75
3,56	12,68
4,2	14,6
5,65	18,95
6,75	22,25
7,25	23,75
8,6	27,8
9,25	29,75
10,5	33,5

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica y este escenario: la población de una piscifactoría en $t$ años se modela mediante la ecuación $P (t) = \frac{1.000}{1 + 9 e^{- 0,6 t}} .$

17.

Grafique la función.

18.

¿Cuál es la población inicial de peces?

19.

¿Cuál es el tiempo de duplicación de la población de peces, redondeado a la décima más cercana?

20.

Al número entero más cercano, ¿cuál será la población de peces después de $2$ años?

21.

A la décima más cercana, ¿cuánto tiempo tardará la población en alcanzar $900 ?$

22.

¿Cuál es la capacidad de carga de la población de peces? Justifique su respuesta con el gráfico de $P .$

Extensiones

23.

Una sustancia tiene una semivida de 2,045 minutos. Si la cantidad inicial de la sustancia era de 132,8 gramos, ¿cuántas semividas habrán transcurrido antes de que la sustancia decaiga a 8,3 gramos? ¿Cuál es el tiempo total de decaimiento?

24.

La fórmula para una población creciente viene dada por $P (t) = P_{0} e^{r t}$ donde $P_{0}$ es la población inicial y $r > 0 .$ Deduzca una fórmula general para el tiempo t que tarda la población en aumentar en un factor M.

25.

Recuerde la fórmula para calcular la magnitud de un terremoto, $M = \frac{2}{3} \log (\frac{S}{S_{0}}) .$ Muestre cada paso para resolver esta ecuación algebraicamente para el momento sísmico $S .$

26.

¿Cuál es la intersección en y del modelo de crecimiento logístico $y = \frac{c}{1 + a e^{- r x}} ?$ Muestre los pasos para el cálculo. ¿Qué nos indica este punto acerca de la población?

27.

Compruebe que $b^{x} = e^{x \ln (b)}$ para los positivos $b \neq 1.$

Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un médico prescribe 125 miligramos de un fármaco que decae aproximadamente 30 % cada hora.

28.

¿Cuál es la semivida del fármaco, aproximada a una hora?

29.

Escriba un modelo exponencial que represente la cantidad de fármaco que queda en el organismo del paciente después de $t$ horas. A continuación, utilice la fórmula para hallar la cantidad de fármaco que quedaría en el organismo del paciente después de 3 horas. Redondee al miligramo más cercano.

30.

Con el modelo encontrado en el ejercicio anterior, calcule $f (10)$ e interprete el resultado. Redondee a la centésima más cercana.

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Se inyectan a un tumor $0,5$ gramos de yodo 125, que tiene una tasa de decaimiento de $1,15 %$ por día.

31.

Con una aproximación de un día, ¿cuánto tiempo tardará la mitad del yodo 125 en decaer?

32.

Escriba un modelo exponencial que represente la cantidad de yodo 125 que queda en el tumor después de $t$ días. A continuación, utilice la fórmula para calcular la cantidad de yodo 125 que quedaría en el tumor después de 60 días. Redondee a la décima de gramo más cercana.

33.

Un científico comienza con $250$ gramos de una sustancia radiactiva. Después de $250$ minutos, la muestra ha decaído hasta $32$ gramos. Redondeando a cinco decimales, escriba una ecuación exponencial que represente esta situación. ¿Cuál es la semivida de esta sustancia, aproximada al minuto más cercano?

34.

La semivida del radio 226 es $1.590$ años. ¿Cuál es la tasa anual de decaimiento? Exprese el resultado decimal con cuatro cifras y el porcentaje con dos cifras decimales.

35.

La semivida del erbio 165 es $10,4$ horas. ¿Cuál es la tasa de decaimiento por hora? Exprese el resultado decimal con cuatro cifras y el porcentaje con dos cifras decimales.

36.

Un artefacto de madera procedente de una excavación arqueológica contiene el 60 % del carbono 14 presente en los árboles vivos. Con una aproximación de un año, ¿cuántos años tiene el artefacto? (La semivida del carbono-14 es $5.730$ años).

37.

Un estudiante de investigación trabaja con un cultivo de bacterias que duplica su tamaño cada veinte minutos. El recuento inicial de la población era $1.350$ bacterias. Redondeando a cinco decimales, escriba una ecuación exponencial que represente esta situación. Al número entero más cercano, ¿cuál es el tamaño de la población después de $3$ horas?

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un biólogo registró un recuento de $360$ bacterias presentes en un cultivo después de 5 minutos y 1.000 bacterias presentes después de 20 minutos.

38.

Al número entero más cercano, ¿cuál era la población inicial en el cultivo?

39.

Redondeando a seis decimales, escriba una ecuación exponencial que represente esta situación. Al minuto más cercano, ¿cuánto tiempo tardó la población en duplicarse?

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Una olla de sopa caliente con una temperatura interna de $100 °F$ se sacó de la estufa para enfriar a $69 °F$ en una habitación. Después de quince minutos, la temperatura interna de la sopa era $95 °F .$

40.

Utilice la ley de enfriamiento de Newton para escribir una fórmula que modele esta situación.

41.

Al minuto más cercano, ¿cuánto tardará la sopa en enfriarse a $80 °F?$

42.

Al grado más cercano, ¿cuál será la temperatura después de $2$ horas y media?

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un pavo se saca del horno con una temperatura interna de $165 °F$ y se deja enfriar a $75 °F$ en una habitación. Después de media hora, la temperatura interna del pavo es $145 °F .$

43.

Escriba una fórmula que modele esta situación.

44.

Al grado más cercano, ¿cuál será la temperatura a los 50 minutos?

45.

Al minuto más cercano, ¿cuánto tiempo tardará el pavo en enfriarse a $110 °F?$

En los siguientes ejercicios, halle el valor del número que aparece en cada escala logarítmica. Redondee todas las respuestas a la milésima más cercana.

46.

Recta numérica para mostrar que log(x) está entre -1 y 0.

47.

Recta numérica para mostrar que log(x) está entre 1 y 2.

48.

Trace cada conjunto de valores aproximados de intensidad de los sonidos en una escala logarítmica: Susurro: $10^{- 10} \frac{W}{m^{2}},$ Aspiradora: $10^{- 4} \frac{W}{m^{2}},$ Jet: $10^{2} \frac{W}{m^{2}}$

49.

Recuerde la fórmula para calcular la magnitud de un terremoto, $M = \frac{2}{3} \log (\frac{S}{S_{0}}) .$ Un terremoto tiene una magnitud $3.9$ en la escala MMS. Si un segundo terremoto tiene $750$ veces más energía que el primero, calcule la magnitud del segundo terremoto. Redondee a la centésima más cercana.

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La ecuación $N (t) = \frac{500}{1 + 49 e^{- 0,7 t}}$ modela el número de personas de una ciudad que han escuchado un rumor al cabo de t días.

50.

¿Cuántas personas iniciaron el rumor?

51.

Al número entero más cercano, ¿cuántas personas habrán escuchado el rumor después de 3 días?

52.

Dado que $t$ aumenta sin límite, ¿qué valor tiene el enfoque $N (t)$ ? Interprete su respuesta.

En el siguiente ejercicio, elija la opción correcta.

53.

Un médico inyecta a un paciente 13 miligramos de colorante radiactivo que decae exponencialmente. Después de 12 minutos, quedan 4,75 miligramos de tinte en el organismo del paciente. ¿Cuál es el modelo adecuado para esta situación?

Ⓐ $f (t) = 13 {(0,0805)}^{t}$
Ⓑ $f (t) = 13 e^{0,9195 t}$
Ⓓ $f (t) = \frac{4,75}{1 + 13 e^{- 0,83925 t}}$

4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos

Modelar el crecimiento y el decaimiento exponencial

Graficar el crecimiento exponencial

Solución

Análisis

Semivida

Hallar la función que describe el decaimiento radiactivo

Solución

Datación por radiocarbono

Calcular la edad de un hueso

Solución

Análisis

Calcular el tiempo de duplicación

Hallar una función que describa el crecimiento exponencial

Solución

Utilizar la ley de enfriamiento de Newton

Utilizar la ley de enfriamiento de Newton

Solución

Uso de modelos de crecimiento logístico

Usar el modelo de crecimiento logístico

Solución

Análisis

Elegir un modelo adecuado para los datos

Elegir un modelo matemático

Solución

Expresar un modelo exponencial con base ee

Cambiar a la base e

Solución

4.7 Ejercicios de sección

Verbales

Numéricos

En tecnología

Extensiones

Aplicaciones en el mundo real

Expresar un modelo exponencial con base $e$