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Precálculo 2ed

4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos

Precálculo 2ed4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Construir un modelo exponencial a partir de los datos.
  • Construir un modelo logarítmico a partir de los datos.
  • Construir un modelo logístico a partir de los datos.

En las secciones anteriores de este capítulo, se nos ha dado una función explícitamente para graficar o evaluar, o se nos ha dado un conjunto de puntos que se garantiza que se encuentran en la curva. Luego utilizamos el álgebra para hallar la ecuación que se ajusta a los puntos exactamente. En esta sección, utilizamos una técnica de modelado, denominada análisis de regresión, para hallar una curva que modele los datos recogidos en las observaciones del mundo real. Con el análisis de regresión, no esperamos que todos los puntos se sitúen perfectamente en la curva. La idea es hallar el modelo que mejor se ajuste a los datos. A continuación, utilizamos el modelo para hacer predicciones sobre acontecimientos futuros.

No se deje confundir por la palabra modelo. En matemáticas, a menudo utilizamos los términos función, ecuación y modelo indistintamente, aunque cada uno tenga su propia definición formal. El término modelo suele utilizarse para indicar que la ecuación o función se aproxima a una situación del mundo real.

En esta sección nos concentraremos en tres tipos de modelos de regresión: exponencial, logarítmica y logística. Haber trabajado ya con cada una de estas funciones nos da una ventaja. Conocer sus definiciones formales, el comportamiento de sus gráficos y algunas de sus aplicaciones en el mundo real nos brinda la oportunidad de profundizar en su comprensión. A medida que se presenta cada modelo de regresión, se incluyen las características clave y las definiciones de su función asociada para su revisión. Dedique un momento a repensar cada una de estas funciones, a reflexionar sobre el trabajo que hemos realizado hasta ahora y a explorar las formas en que se utiliza la regresión para modelar fenómenos del mundo real.

Construir un modelo exponencial a partir de datos

Como hemos aprendido, hay multitud de situaciones que pueden modelarse mediante funciones exponenciales, como el crecimiento de las inversiones, el decaimiento radiactivo, los cambios de presión atmosférica y las temperaturas de un objeto que se enfría. ¿Qué tienen en común estos fenómenos? Por un lado, todos los modelos aumentan o disminuyen con el paso del tiempo. Sin embargo, eso no es todo. Es la manera en que los datos aumentan o disminuyen lo que nos ayuda a determinar si es mejor modelar con una ecuación exponencial. Conocer el comportamiento de las funciones exponenciales en general nos permite reconocer cuándo utilizar la regresión exponencial, así que repasemos el crecimiento y el decaimiento exponencial.

Recordemos que las funciones exponenciales tienen la forma y=a b x y=a b x o y= A 0 e kx . y= A 0 e kx . Al realizar el análisis de regresión, utilizamos la forma más común en las utilidades gráficas, y=a b x . y=a b x . Dedique un momento a reflexionar sobre las características que ya hemos aprendido acerca de la función exponencial y=a b x y=a b x (suponiendo que a>0): a>0):

  • b b deberá ser mayor que cero y no igual a uno.
  • El valor inicial del modelo es y=a. y=a.
    • Si los valores de b>1, b>1, la función modela el crecimiento exponencial. Cuando x x aumenta, las salidas del modelo aumentan lentamente al principio, pero luego aumentan cada vez más rápidamente, sin límite.
    • Si los valores de 0<b<1, 0<b<1, la función modela el decaimiento exponencial. A medida que x x aumenta, las salidas del modelo disminuyen rápidamente al principio y luego se nivelan para volverse asintóticas al eje x. En otras palabras, las salidas nunca son iguales o inferiores a cero.

Como parte de los resultados, su calculadora mostrará un número conocido como el coeficiente de correlación, etiquetado por la variable r, r, o r 2 . r 2 . (Es posible que tenga que cambiar la configuración de la calculadora para que se muestren). Los valores son una indicación de la "bondad de ajuste" de la ecuación de regresión a los datos. Lo más habitual es utilizar el valor de r 2 r 2 en vez de r, r, pero cuanto más se acerque cualquiera de los dos valores a 1, mejor se aproximará la ecuación de regresión a los datos.

Regresión exponencial

La regresión exponencial se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento comienza lentamente y luego acelera rápidamente sin límite, o en las que el decaimiento comienza rápidamente y luego desacelera para acercarse cada vez más a cero. Utilizamos el comando "ExpReg" en una herramienta gráfica para ajustar una función exponencial a un conjunto de puntos de datos. Esto arroja una ecuación de la forma y=a b x y=a b x

Tenga en cuenta que:

  • b b deberá ser no negativo.
  • cuando b>1, b>1, tenemos un modelo de crecimiento exponencial.
  • cuando 0<b<1, 0<b<1, tenemos un modelo de decaimiento exponencial.

Cómo

Dado un conjunto de datos, efectuar una regresión exponencial con una herramienta gráfica.

  1. Utilice el menú STAT y luego EDIT para introducir los datos.
    1. Borre cualquier dato existente en las listas.
    2. Enumere los valores de entrada en la columna L1.
    3. Enumere los valores de salida en la columna L2.
  2. Grafique y observe un diagrama de dispersión de los datos con la función STATPLOT.
    1. Utilice ZOOM [9] para ajustar los ejes a los datos.
    2. Compruebe que los datos sigan un patrón exponencial.
  3. Halle la ecuación que modela los datos.
    1. Seleccione "ExpReg" en el menú STAT y luego CALC.
    2. Utilice los valores devueltos para a y b para registrar el modelo, y=a b x . y=a b x .
  4. Grafique el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión para verificar que se ajuste bien a los datos.

Ejemplo 1

Usar la regresión exponencial para ajustar un modelo a los datos

En 2007 se publicó un estudio universitario en el que se investigaba el riesgo de colisión de la conducción bajo los efectos del alcohol. Se utilizaron datos de 2.871 accidentes para medir la asociación entre el nivel de alcoholemia (blood alcohol level, BAC) de una persona y el riesgo de sufrir un accidente. La Tabla 1 muestra los resultados del estudio 9. El riesgo relativo es una medida de cuántas veces más probable es que una persona se estrelle. Así, por ejemplo, una persona con un nivel de alcoholemia de 0,09 tiene 3,54 veces más probabilidades de sufrir un accidente que una persona que no haya bebido alcohol.

BAC 0 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09
Riesgo relativo de colisión 1 1,03 1,06 1,38 2,09 3,54
BAC 0,11 0,13 0,15 0,17 0,19 0,21
Riesgo relativo de colisión 6,41 12,6 22,1 39,05 65,32 99,78
Tabla 1
  1. Supongamos que x x representa el nivel de alcoholemia, mientras que y y representa el riesgo relativo correspondiente. Utilice la regresión exponencial para ajustar un modelo a estos datos.
  2. Después de 6 tragos, una persona que pesa 160 libras tendrá un BAC de aproximadamente 0,16. 0,16. ¿Cuántas veces es más probable que alguien con este peso se estrelle si conduce después de haber tomado 6 cervezas? Redondee a la centésima más cercana.

Inténtelo #1

La Tabla 2 muestra el saldo de la tarjeta de crédito de un recién graduado cada mes después de la graduación.

Mes 1 2 3 4 5 6 7 8
Deuda ($) 620,00 761,88 899,80 1.039,93 1.270,63 1.589,04 1.851,31 2.154,92
Tabla 2

Utilice la regresión exponencial para ajustar un modelo a estos datos.
Si el gasto continúa a este ritmo, ¿cuál será la deuda de la tarjeta de crédito un año después de graduarse?

Preguntas y respuestas

¿Es razonable suponer que un modelo de regresión exponencial representará una situación indefinidamente?

No. Recuerde que los modelos se forman con datos del mundo real recogidos para la regresión. Es razonable realizar estimaciones dentro del intervalo de observación original (interpolación). Sin embargo, cuando un modelo se utiliza para hacer predicciones, es importante utilizar la capacidad de razonamiento para determinar si el modelo tiene sentido para entradas mucho más allá del intervalo de observación original (extrapolación).

Construir un modelo logarítmico a partir de datos

Al igual que con las funciones exponenciales, hay muchas aplicaciones en el mundo real para las funciones logarítmicas: la intensidad del sonido, el nivel de pH de las soluciones, los rendimientos de las reacciones químicas, la producción de bienes y el crecimiento de los bebés. Al igual que con los modelos exponenciales, los datos modelados por funciones logarítmicas son siempre crecientes o siempre decrecientes con el paso del tiempo. De nuevo, es la manera en que aumentan o disminuyen lo que nos permite determinar si un modelo logarítmico es el mejor.

Recordemos que las funciones logarítmicas aumentan o disminuyen rápidamente al principio, pero luego desaceleran constantemente con el paso del tiempo. Al reflexionar sobre las características que ya hemos aprendido con respecto a esta función, podemos analizar mejor las situaciones del mundo real que reflejan este tipo de crecimiento o decaimiento. Al realizar el análisis de regresión logarítmica, utilizamos la forma de la función logarítmica más común en las herramientas gráficas, y=a+bln( x ). y=a+bln( x ). Para esta función

  • Todos los valores de entrada, x, x, deberán ser mayor que cero.
  • El punto ( 1,a ) ( 1,a ) está en el gráfico del modelo.
  • Si los valores de b>0, b>0, el modelo es creciente. El crecimiento aumenta rápidamente al principio y luego desacelera constantemente con el paso del tiempo.
  • Si los valores de b<0, b<0, el modelo es decreciente. El decaimiento se produce rápidamente al principio y luego desacelera constantemente con el paso del tiempo.

Regresión logarítmica

La regresión logarítmica se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento o el decaimiento se aceleran rápidamente al principio y luego desaceleran con el paso del tiempo. Utilizamos el comando "LnReg" en una herramienta gráfica para ajustar una función logarítmica a un conjunto de puntos de datos. Esto arroja una ecuación de la forma

y=a+bln( x ) y=a+bln( x )

Observe que

  • todos los valores de entrada, x, x, deberán ser no negativos.
  • cuando b>0, b>0, el modelo es creciente.
  • cuando b<0, b<0, el modelo es decreciente.

Cómo

Dado un conjunto de datos, efectuar una regresión logarítmica con una herramienta gráfica.

  1. Utilice el menú STAT y luego EDIT para introducir los datos.
    1. Borre cualquier dato existente en las listas.
    2. Enumere los valores de entrada en la columna L1.
    3. Enumere los valores de salida en la columna L2.
  2. Grafique y observe un diagrama de dispersión de los datos con la función STATPLOT.
    1. Utilice ZOOM [9] para ajustar los ejes a los datos.
    2. Compruebe que los datos sigan un patrón logarítmico.
  3. Halle la ecuación que modela los datos.
    1. Seleccione "LnReg" en el menú STAT y luego CALC.
    2. Utilice los valores devueltos para a y b para registrar el modelo, y=a+bln( x ). y=a+bln( x ).
  4. Grafique el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión para verificar que se ajuste bien a los datos.

Ejemplo 2

Usar la regresión logarítmica para ajustar un modelo a los datos

Gracias a los avances de la medicina y al aumento del nivel de vida, la esperanza de vida ha aumentado en la mayoría de los países desarrollados desde principios del siglo XX.

La Tabla 3 muestra el promedio de expectativa de vida, en años, de los estadounidenses entre 1900 y 201010.

Año 1900 1910 1920 1930 1940 1950
Esperanza de vida (años) 47,3 50,0 54,1 59,7 62,9 68,2
Año 1960 1970 1980 1990 2000 2010
Esperanza de vida (años) 69,7 70,8 73,7 75,4 76,8 78,7
Tabla 3
  1. Supongamos que x x representa el tiempo en décadas empezando por x=1 x=1 para el año 1900, x=2 x=2 para el año 1910, y así sucesivamente. Supongamos que y y representa la correspondiente esperanza de vida. Utilice la regresión logarítmica para ajustar un modelo a estos datos.
  2. Utilice el modelo para predecir el promedio de esperanza de vida de los estadounidenses para el año 2030.

Inténtelo #2

Las ventas de un videojuego lanzado en el año 2000 despegaron al principio, pero luego desaceleraron de forma constante con el paso del tiempo. La Tabla 4 muestra el número de juegos vendidos, en miles, entre los años 2000 y 2010.

Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Número de ventas (miles) 142 149 154 155 159 161
Año 2006 2007 2008 2009 2010
Número de ventas (miles) 163 164 164 166 167
Tabla 4
  • Supongamos que x x representa el tiempo en años empezando por x=1 x=1 para el año 2000. Supongamos que y y representa el número de juegos vendidos en miles. Utilice la regresión logarítmica para ajustar un modelo a estos datos.
  • Si los juegos siguen vendiéndose a este ritmo, ¿cuántos se venderán en 2015? Redondee a la milésima más cercana.

Construir un modelo logístico a partir de datos

Al igual que el crecimiento exponencial y logarítmico, el crecimiento logístico aumenta con el paso del tiempo. Una de las diferencias más notables con los modelos de crecimiento logístico es que, a partir de cierto punto, el crecimiento desacelera de forma constante y la función se aproxima a un límite superior, o valor límite. Por ello, la regresión logística es lo mejor para modelar fenómenos en los que existen límites de expansión, como la disponibilidad de espacio vital o de nutrientes.

Cabe señalar que las funciones logísticas en realidad modelan el crecimiento exponencial con recursos limitados. Hay muchos ejemplos de este tipo de crecimiento en situaciones del mundo real, como el crecimiento demográfico y la propagación de enfermedades, los rumores e incluso las manchas en la tela. Al realizar el análisis de regresión logística, utilizamos la forma más común en las herramientas gráficas:

y= c 1+a e -bx y= c 1+a e -bx

Recordemos que:

  • c 1+a c 1+a es el valor inicial del modelo.
  • cuando b>0, b>0, el modelo aumenta rápidamente al principio, hasta alcanzar su punto de máxima tasa de crecimiento, ( ln( a ) b , c 2 ). ( ln( a ) b , c 2 ). En ese punto, el crecimiento desacelera de forma constante y la función se vuelve asintótica al límite superior y=c. y=c.
  • c c es el valor límite, a veces llamado capacidad de carga, del modelo.

Regresión logística

La regresión logística se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento se acelera rápidamente al principio y luego desacelera de forma constante hasta un límite superior. Utilizamos el comando "Logistic" en una herramienta gráfica para ajustar la función logística a un conjunto de puntos de datos. Esto devuelve una ecuación de la forma

y= c 1+a e -bx y= c 1+a e -bx

Observe que

  • El valor inicial del modelo es c 1+a . c 1+a .
  • Los valores de salida del modelo se acercan cada vez más a y=c y=c con el paso del tiempo.

Cómo

Dado un conjunto de datos, efectuar una regresión logística con una herramienta gráfica.

  1. Utilice el menú STAT y luego EDIT para introducir los datos.
    1. Borre cualquier dato existente en las listas.
    2. Enumere los valores de entrada en la columna L1.
    3. Enumere los valores de salida en la columna L2.
  2. Grafique y observe un diagrama de dispersión de los datos con la función STATPLOT.
    1. Utilice ZOOM [9] para ajustar los ejes a los datos.
    2. Compruebe que los datos sigan un patrón logístico.
  3. Halle la ecuación que modele los datos.
    1. Seleccione "Logistic" en el menú STAT y luego CALC.
    2. Utilice los valores devueltos para a, a, b, b, y c c para registrar el modelo, y= c 1+a e -bx . y= c 1+a e -bx .
  4. Grafique el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión para verificar que se ajuste bien a los datos.

Ejemplo 3

Usar la regresión logística para ajustar un modelo a los datos

El servicio de telefonía móvil ha aumentado rápidamente en Estados Unidos desde mediados de la década de 1990. Hoy en día, casi todos los residentes tienen servicio de telefonía móvil. La Tabla 5 muestra el porcentaje de estadounidenses con servicio de telefonía móvil entre los años 1995 y 2012. 11.

Año Estadounidenses con servicio de telefonía móvil (%) Año Estadounidenses con servicio de telefonía móvil (%)
1995 12,69 2004 62,852
1996 16,35 2005 68,63
1997 20,29 2006 76,64
1998 25,08 2007 82,47
1999 30,81 2008 85,68
2000 38,75 2009 89,14
2001 45,00 2010 91,86
2002 49,16 2011 95,28
2003 55,15 2012 98,17
Tabla 5
  • Supongamos que x x representa el tiempo en años empezando por x=0 x=0 para el año 1995. Supongamos que y y representa el porcentaje correspondiente de residentes con servicio de telefonía móvil. Utilice la regresión logística para ajustar un modelo a estos datos.
  • Utilice el modelo para calcular el porcentaje de estadounidenses con servicio de telefonía móvil en el año 2013. Redondee a la décima porcentual más cercana.
  • Comente sobre el valor arrojado para el límite superior, c. c. ¿Qué le dice esto sobre el modelo? ¿Cuál sería el valor límite si el modelo fuera exacto?

Inténtelo #3

La Tabla 6 muestra la población, en miles, de focas en el Mar de Wadden durante los años 1997 a 2012.

Año Población de focas (miles) Año Población de focas (miles)
1997 3,493 2005 19,590
1998 5,282 2006 21,955
1999 6,357 2007 22,862
2000 9,201 2008 23,869
2001 11,224 2009 24,243
2002 12,964 2010 24,344
2003 16,226 2011 24,919
2004 18,137 2012 25,108
Tabla 6
  • Supongamos que x x representa el tiempo en años empezando por x=0 x=0 para el año 1997. Supongamos que y y representa el número de focas en miles. Utilice la regresión logística para ajustar un modelo a estos datos.
  • Utilice el modelo para predecir la población de focas para el año 2020.
  • ¿Cuál es el valor límite de este modelo, redondeado al número entero más cercano?

Media

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4.8 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Qué situaciones se modelan mejor con una ecuación logística? Dé un ejemplo y arguméntelo.

2.

¿Qué es la capacidad de carga? ¿Qué tipo de modelo tiene una capacidad de carga incorporada en su fórmula? ¿Por qué esto tiene sentido?

3.

¿Qué es el análisis de regresión? Describa el proceso de realizar un análisis de regresión en una herramienta gráfica.

4.

¿Qué aspecto podría tener un diagrama de dispersión de puntos de datos si se describiera mejor mediante un modelo logarítmico?

5.

¿A qué corresponde la intersección en y del gráfico de una ecuación logística para una población modelada por dicha ecuación?

Gráficos

En los siguientes ejercicios, haga coincidir la función de mejor ajuste dada con el correspondiente diagrama de dispersión desde la Figura 7 hasta la Figura 11. Responda con la letra que se encuentra debajo del gráfico correspondiente.

Diagrama de dispersión.
Figura 7
Diagrama de dispersión.
Figura 8
Diagrama de dispersión.
Figura 9
Diagrama de dispersión.
Figura 10
Diagrama de dispersión.
Figura 11
6.

y=10,209 e 0,294x y=10,209 e 0,294x

7.

y=5,5981,912ln(x) y=5,5981,912ln(x)

8.

y=2,104 ( 1,479 ) x y=2,104 ( 1,479 ) x

9.

y=4,607+2,733ln(x) y=4,607+2,733ln(x)

10.

y= 14,005 1+2,79 e 0,812x y= 14,005 1+2,79 e 0,812x

Numéricos

11.

Al número entero más cercano, ¿cuál es el valor inicial de una población modelada por la ecuación logística P(t)= 175 1+6,995 e 0,68t ? P(t)= 175 1+6,995 e 0,68t ? ¿Cuál es la capacidad de carga?

12.

Reescriba el modelo exponencial A(t)=1550 ( 1,085 ) x A(t)=1550 ( 1,085 ) x como un modelo equivalente con base e. e. Exprese el exponente con cuatro dígitos significativos.

13.

Un modelo logarítmico viene dado por la ecuación h(p)=67,6825,792ln( p ). h(p)=67,6825,792ln( p ). A la centésima más cercana, ¿para qué valor de p p h(p)=62? h(p)=62?

14.

Un modelo logístico viene dado por la ecuación P(t)= 90 1+5 e 0,42t . P(t)= 90 1+5 e 0,42t . A la centésima más cercana, ¿para qué valor de t P(t)=45? P(t)=45?

15.

¿Cuál es la intersección en y en el gráfico del modelo logístico dado en el ejercicio anterior?

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La población P P en un estanque de carpas koi sobre x x meses se modela mediante la función P(x)= 68 1+16 e 0,28x . P(x)= 68 1+16 e 0,28x .

16.

Grafique el modelo de población para mostrar la población en un lapso de 3 3 años.

17.

¿Cuál era la población inicial de carpas koi?

18.

¿Cuántas carpas koi tendrá el estanque después de un año y medio?

19.

¿Cuántos meses pasarán antes de que haya 20 20 carpas koi en el estanque?

20.

Utilice la función de intersección para calcular aproximadamente la cantidad de meses que tardará la población del estanque en alcanzar la mitad de su capacidad de carga.

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La población P P en un hábitat de una especie de lobos en peligro de extinción se modela mediante la función P(x)= 558 1+54,8 e 0,462x , P(x)= 558 1+54,8 e 0,462x , donde x x se da en años.

21.

Grafique el modelo de población para mostrar la población en un lapso de 10 10 años.

22.

¿Cuál era la población inicial de lobos transportada al hábitat?

23.

¿Cuántos lobos tendrá el hábitat después de 3 3 años?

24.

¿Cuántos años pasarán antes de que haya 100 100 lobos en el hábitat?

25.

Utilice la función de intersección para calcular aproximadamente la cantidad de años que tardará la población del hábitat en alcanzar la mitad de su capacidad de carga.

En los siguientes ejercicios, consulte la Tabla 7.

x 1 2 3 4 5 6
f(x) 1.125 1.495 2.310 3.294 4.650 6.361
Tabla 7
26.

Utilice una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos.

27.

Utilice la función de regresión para calcular la función exponencial que mejor se ajuste a los datos de la tabla.

28.

Escriba la función exponencial como una ecuación exponencial con base e. e.

29.

Grafique la ecuación exponencial en el diagrama de dispersión.

30.

Utilice la función de intersección para hallar el valor de x x en el que f(x)=4.000. f(x)=4.000.

En los siguientes ejercicios, consulte la Tabla 8.

x 1 2 3 4 5 6
f(x) 555 383 307 210 158 122
Tabla 8
31.

Utilice una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos.

32.

Utilice la función de regresión para calcular la función exponencial que mejor se ajuste a los datos de la tabla.

33.

Escriba la función exponencial como una ecuación exponencial con base e. e.

34.

Grafique la ecuación exponencial en el diagrama de dispersión.

35.

Utilice la función de intersección para hallar el valor de x x en el que f(x)=250. f(x)=250.

En los siguientes ejercicios, consulte la Tabla 9.

x 1 2 3 4 5 6
f(x) 5,1 6,3 7,3 7,7 8,1 8,6
Tabla 9
36.

Utilice una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos.

37.

Utilice la opción LOGaritmo de la función REGresión para hallar una función logarítmica de la forma y=a+bln( x ) y=a+bln( x ) que mejor se ajuste a los datos de la tabla.

38.

Utilice la función logarítmica para hallar el valor de la función cuando x=10. x=10.

39.

Grafique la ecuación logarítmica en el diagrama de dispersión.

40.

Utilice la función de intersección para hallar el valor de x x en el que f(x)=7. f(x)=7.

En los siguientes ejercicios, consulte la Tabla 10.

x 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 7,5 6 5,2 4,3 3,9 3,4 3,1 2,9
Tabla 10
41.

Utilice una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos.

42.

Utilice la opción LOGaritmo de la función REGresión para hallar una función logarítmica de la forma y=a+bln( x ) y=a+bln( x ) que mejor se ajuste a los datos de la tabla.

43.

Utilice la función logarítmica para hallar el valor de la función cuando x=10. x=10.

44.

Grafique la ecuación logarítmica en el diagrama de dispersión.

45.

Utilice la función de intersección para hallar el valor de x x en el que f(x)=8. f(x)=8.

En los siguientes ejercicios, consulte la Tabla 11.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f(x) 8,7 12,3 15,4 18,5 20,7 22,5 23,3 24 24,6 24,8
Tabla 11
46.

Utilice una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos.

47.

Utilice la opción de regresión LOGÍSTICA para hallar un modelo de crecimiento logístico de la forma y= c 1+a e -bx y= c 1+a e -bx que mejor se ajuste a los datos de la tabla.

48.

Grafique la ecuación logística en el diagrama de dispersión.

49.

¿Cuál es la capacidad de carga prevista para el modelo, redondeada al número entero más cercano?

50.

Utilice la función de intersección para hallar el valor de x x para el que el modelo alcanza la mitad de su capacidad de carga.

En los siguientes ejercicios, consulte la Tabla 12.

xx 0 2 4 5 7 8 10 11 15 17
f(x)f(x) 12 28,6 52,8 70,3 99,9 112,5 125,8 127,9 135,1 135,9
Tabla 12
51.

Utilice una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos.

52.

Utilice la opción de regresión LOGÍSTICA para hallar un modelo de crecimiento logístico de la forma y= c 1+a e -bx y= c 1+a e -bx que mejor se ajuste a los datos de la tabla.

53.

Grafique la ecuación logística en el diagrama de dispersión.

54.

¿Cuál es la capacidad de carga prevista para el modelo, redondeada al número entero más cercano?

55.

Utilice la función de intersección para hallar el valor de x x para el que el modelo alcanza la mitad de su capacidad de carga.

Extensiones

56.

Recordemos que la forma general de una ecuación logística para una población viene dada por P(t)= c 1+a e -bt , P(t)= c 1+a e -bt , de manera que la población inicial en el momento t=0 t=0 es P(0)= P 0 . P(0)= P 0 . Demuestre algebraicamente que cP(t) P(t) = c P 0 P 0 e -bt . cP(t) P(t) = c P 0 P 0 e -bt .

57.

Utilice una herramienta gráfica para hallar una fórmula de regresión exponencial f(x) f(x) y una fórmula de regresión logarítmica g(x) g(x) para los puntos ( 1,5,1,5 ) ( 1,5,1,5 ) y ( 8,5,8,5 ). ( 8,5,8,5 ). Redondee todos los números a 6 decimales. Grafique los puntos y ambas fórmulas junto con la línea y=x y=x en el mismo eje. Haga una conjetura sobre la relación de las fórmulas de regresión.

58.

Verifique la conjetura realizada en el ejercicio anterior. Redondee todos los números a seis decimales cuando sea necesario.

59.

Halle la función inversa f 1 ( x ) f 1 ( x ) para la función logística f(x)= c 1+a e -bx . f(x)= c 1+a e -bx . Muestre todos los pasos.

60.

Utilice el resultado del ejercicio anterior para graficar el modelo logístico P(t)= 20 1+4 e 0,5t P(t)= 20 1+4 e 0,5t junto con su inversa en el mismo eje. ¿Cuáles son las intersecciones y las asíntotas de cada función?

Notas a pie de página

  • 9Fuente: Centro de Estudios de Derecho en Acción de la Universidad de Indiana, 2007
  • 10Fuente: Centro de Control y Prevención de Enfermedades, 2013
  • 11Fuente: Banco Mundial, 2013
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