Objetivos de aprendizaje
En esta sección, podrá:
- Construir un modelo exponencial a partir de los datos.
- Construir un modelo logarítmico a partir de los datos.
- Construir un modelo logístico a partir de los datos.
En las secciones anteriores de este capítulo, se nos ha dado una función explícitamente para graficar o evaluar, o se nos ha dado un conjunto de puntos que se garantiza que se encuentran en la curva. Luego utilizamos el álgebra para hallar la ecuación que se ajusta a los puntos exactamente. En esta sección, utilizamos una técnica de modelado, denominada análisis de regresión, para hallar una curva que modele los datos recogidos en las observaciones del mundo real. Con el análisis de regresión, no esperamos que todos los puntos se sitúen perfectamente en la curva. La idea es hallar el modelo que mejor se ajuste a los datos. A continuación, utilizamos el modelo para hacer predicciones sobre acontecimientos futuros.
No se deje confundir por la palabra modelo. En matemáticas, a menudo utilizamos los términos función, ecuación y modelo indistintamente, aunque cada uno tenga su propia definición formal. El término modelo suele utilizarse para indicar que la ecuación o función se aproxima a una situación del mundo real.
En esta sección nos concentraremos en tres tipos de modelos de regresión: exponencial, logarítmica y logística. Haber trabajado ya con cada una de estas funciones nos da una ventaja. Conocer sus definiciones formales, el comportamiento de sus gráficos y algunas de sus aplicaciones en el mundo real nos brinda la oportunidad de profundizar en su comprensión. A medida que se presenta cada modelo de regresión, se incluyen las características clave y las definiciones de su función asociada para su revisión. Dedique un momento a repensar cada una de estas funciones, a reflexionar sobre el trabajo que hemos realizado hasta ahora y a explorar las formas en que se utiliza la regresión para modelar fenómenos del mundo real.
Construir un modelo exponencial a partir de datos
Como hemos aprendido, hay multitud de situaciones que pueden modelarse mediante funciones exponenciales, como el crecimiento de las inversiones, el decaimiento radiactivo, los cambios de presión atmosférica y las temperaturas de un objeto que se enfría. ¿Qué tienen en común estos fenómenos? Por un lado, todos los modelos aumentan o disminuyen con el paso del tiempo. Sin embargo, eso no es todo. Es la manera en que los datos aumentan o disminuyen lo que nos ayuda a determinar si es mejor modelar con una ecuación exponencial. Conocer el comportamiento de las funciones exponenciales en general nos permite reconocer cuándo utilizar la regresión exponencial, así que repasemos el crecimiento y el decaimiento exponencial.
Recordemos que las funciones exponenciales tienen la forma o Al realizar el análisis de regresión, utilizamos la forma más común en las utilidades gráficas, Dedique un momento a reflexionar sobre las características que ya hemos aprendido acerca de la función exponencial (suponiendo que
- deberá ser mayor que cero y no igual a uno.
- El valor inicial del modelo es
- Si los valores de la función modela el crecimiento exponencial. Cuando aumenta, las salidas del modelo aumentan lentamente al principio, pero luego aumentan cada vez más rápidamente, sin límite.
- Si los valores de la función modela el decaimiento exponencial. A medida que aumenta, las salidas del modelo disminuyen rápidamente al principio y luego se nivelan para volverse asintóticas al eje x. En otras palabras, las salidas nunca son iguales o inferiores a cero.
Como parte de los resultados, su calculadora mostrará un número conocido como el coeficiente de correlación, etiquetado por la variable o (Es posible que tenga que cambiar la configuración de la calculadora para que se muestren). Los valores son una indicación de la "bondad de ajuste" de la ecuación de regresión a los datos. Lo más habitual es utilizar el valor de en vez de pero cuanto más se acerque cualquiera de los dos valores a 1, mejor se aproximará la ecuación de regresión a los datos.
Regresión exponencial
La regresión exponencial se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento comienza lentamente y luego acelera rápidamente sin límite, o en las que el decaimiento comienza rápidamente y luego desacelera para acercarse cada vez más a cero. Utilizamos el comando "ExpReg" en una herramienta gráfica para ajustar una función exponencial a un conjunto de puntos de datos. Esto arroja una ecuación de la forma
Tenga en cuenta que:
- deberá ser no negativo.
- cuando tenemos un modelo de crecimiento exponencial.
- cuando tenemos un modelo de decaimiento exponencial.
Cómo
Dado un conjunto de datos, efectuar una regresión exponencial con una herramienta gráfica.
- Utilice el menú STAT y luego EDIT para introducir los datos.
- Borre cualquier dato existente en las listas.
- Enumere los valores de entrada en la columna L1.
- Enumere los valores de salida en la columna L2.
- Grafique y observe un diagrama de dispersión de los datos con la función STATPLOT.
- Utilice ZOOM [9] para ajustar los ejes a los datos.
- Compruebe que los datos sigan un patrón exponencial.
- Halle la ecuación que modela los datos.
- Seleccione "ExpReg" en el menú STAT y luego CALC.
- Utilice los valores devueltos para a y b para registrar el modelo,
- Grafique el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión para verificar que se ajuste bien a los datos.
Ejemplo 1
Usar la regresión exponencial para ajustar un modelo a los datos
En 2007 se publicó un estudio universitario en el que se investigaba el riesgo de colisión de la conducción bajo los efectos del alcohol. Se utilizaron datos de 2.871 accidentes para medir la asociación entre el nivel de alcoholemia (blood alcohol level, BAC) de una persona y el riesgo de sufrir un accidente. La Tabla 1 muestra los resultados del estudio 9. El riesgo relativo es una medida de cuántas veces más probable es que una persona se estrelle. Así, por ejemplo, una persona con un nivel de alcoholemia de 0,09 tiene 3,54 veces más probabilidades de sufrir un accidente que una persona que no haya bebido alcohol.
| BAC | 0 | 0,01 | 0,03 | 0,05 | 0,07 | 0,09 |
| Riesgo relativo de colisión | 1 | 1,03 | 1,06 | 1,38 | 2,09 | 3,54 |
| BAC | 0,11 | 0,13 | 0,15 | 0,17 | 0,19 | 0,21 |
| Riesgo relativo de colisión | 6,41 | 12,6 | 22,1 | 39,05 | 65,32 | 99,78 |
- Supongamos que representa el nivel de alcoholemia, mientras que representa el riesgo relativo correspondiente. Utilice la regresión exponencial para ajustar un modelo a estos datos.
- Después de 6 tragos, una persona que pesa 160 libras tendrá un BAC de aproximadamente ¿Cuántas veces es más probable que alguien con este peso se estrelle si conduce después de haber tomado 6 cervezas? Redondee a la centésima más cercana.
Solución
- En el menú STAT y luego EDIT en una herramienta gráfica, liste los valores de BAC en L1 y los valores de riesgo relativo en L2. A continuación, utilice la función STATPLOT para verificar que el diagrama de dispersión siga el patrón exponencial que se muestra en la Figura 1:
Figura 1
Utilice el comando "ExpReg" del menú STAT y luego CALC para obtener el modelo exponencial,
Si convertimos la notación científica, tenemos:
Observe que lo que indica que el modelo se ajusta bien a los datos. Para ver esto, grafique el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión con el objeto de verificar que se ajuste bien, como se muestra en la Figura 2:
Figura 2 -
Utilice el modelo para estimar el riesgo asociado a un nivel de alcoholemia de Sustituya por en el modelo y resuelva para
Si una persona de 160 libras conduce después de haber tomado 6 copas, tiene unas 26,35 veces más probabilidades de chocar que si conduce sobria.
Inténtelo #1
La Tabla 2 muestra el saldo de la tarjeta de crédito de un recién graduado cada mes después de la graduación.
| Mes | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Deuda ($) | 620,00 | 761,88 | 899,80 | 1.039,93 | 1.270,63 | 1.589,04 | 1.851,31 | 2.154,92 |
Ⓐ Utilice la regresión exponencial para ajustar un modelo a estos datos.
Ⓑ Si el gasto continúa a este ritmo, ¿cuál será la deuda de la tarjeta de crédito un año después de graduarse?
Preguntas y respuestas
¿Es razonable suponer que un modelo de regresión exponencial representará una situación indefinidamente?
No. Recuerde que los modelos se forman con datos del mundo real recogidos para la regresión. Es razonable realizar estimaciones dentro del intervalo de observación original (interpolación). Sin embargo, cuando un modelo se utiliza para hacer predicciones, es importante utilizar la capacidad de razonamiento para determinar si el modelo tiene sentido para entradas mucho más allá del intervalo de observación original (extrapolación).
Construir un modelo logarítmico a partir de datos
Al igual que con las funciones exponenciales, hay muchas aplicaciones en el mundo real para las funciones logarítmicas: la intensidad del sonido, el nivel de pH de las soluciones, los rendimientos de las reacciones químicas, la producción de bienes y el crecimiento de los bebés. Al igual que con los modelos exponenciales, los datos modelados por funciones logarítmicas son siempre crecientes o siempre decrecientes con el paso del tiempo. De nuevo, es la manera en que aumentan o disminuyen lo que nos permite determinar si un modelo logarítmico es el mejor.
Recordemos que las funciones logarítmicas aumentan o disminuyen rápidamente al principio, pero luego desaceleran constantemente con el paso del tiempo. Al reflexionar sobre las características que ya hemos aprendido con respecto a esta función, podemos analizar mejor las situaciones del mundo real que reflejan este tipo de crecimiento o decaimiento. Al realizar el análisis de regresión logarítmica, utilizamos la forma de la función logarítmica más común en las herramientas gráficas, Para esta función
- Todos los valores de entrada, deberán ser mayor que cero.
- El punto está en el gráfico del modelo.
- Si los valores de el modelo es creciente. El crecimiento aumenta rápidamente al principio y luego desacelera constantemente con el paso del tiempo.
- Si los valores de el modelo es decreciente. El decaimiento se produce rápidamente al principio y luego desacelera constantemente con el paso del tiempo.
Regresión logarítmica
La regresión logarítmica se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento o el decaimiento se aceleran rápidamente al principio y luego desaceleran con el paso del tiempo. Utilizamos el comando "LnReg" en una herramienta gráfica para ajustar una función logarítmica a un conjunto de puntos de datos. Esto arroja una ecuación de la forma
Observe que
- todos los valores de entrada, deberán ser no negativos.
- cuando el modelo es creciente.
- cuando el modelo es decreciente.
Cómo
Dado un conjunto de datos, efectuar una regresión logarítmica con una herramienta gráfica.
- Utilice el menú STAT y luego EDIT para introducir los datos.
- Borre cualquier dato existente en las listas.
- Enumere los valores de entrada en la columna L1.
- Enumere los valores de salida en la columna L2.
- Grafique y observe un diagrama de dispersión de los datos con la función STATPLOT.
- Utilice ZOOM [9] para ajustar los ejes a los datos.
- Compruebe que los datos sigan un patrón logarítmico.
- Halle la ecuación que modela los datos.
- Seleccione "LnReg" en el menú STAT y luego CALC.
- Utilice los valores devueltos para a y b para registrar el modelo,
- Grafique el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión para verificar que se ajuste bien a los datos.
Ejemplo 2
Usar la regresión logarítmica para ajustar un modelo a los datos
Gracias a los avances de la medicina y al aumento del nivel de vida, la esperanza de vida ha aumentado en la mayoría de los países desarrollados desde principios del siglo XX.
La Tabla 3 muestra el promedio de expectativa de vida, en años, de los estadounidenses entre 1900 y 201010.
| Año | 1900 | 1910 | 1920 | 1930 | 1940 | 1950 |
| Esperanza de vida (años) | 47,3 | 50,0 | 54,1 | 59,7 | 62,9 | 68,2 |
| Año | 1960 | 1970 | 1980 | 1990 | 2000 | 2010 |
| Esperanza de vida (años) | 69,7 | 70,8 | 73,7 | 75,4 | 76,8 | 78,7 |
- Ⓐ Supongamos que representa el tiempo en décadas empezando por para el año 1900, para el año 1910, y así sucesivamente. Supongamos que representa la correspondiente esperanza de vida. Utilice la regresión logarítmica para ajustar un modelo a estos datos.
- Ⓑ Utilice el modelo para predecir el promedio de esperanza de vida de los estadounidenses para el año 2030.
Solución
- Ⓐ En el menú STAT y luego EDIT en una herramienta gráfica, enumere los años mediante el empleo de los valores 1-12 en L1 y la correspondiente esperanza de vida en L2. A continuación, utilice la función STATPLOT para comprobar que el diagrama de dispersión siga un patrón logarítmico, como se muestra en la Figura 3:
Figura 3
Utilice el comando "LnReg" del menú STAT y luego CALC para obtener el modelo logarítmico,
A continuación, grafique el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión para verificar que se ajuste bien, como se muestra en la Figura 4:
Figura 4 - Ⓑ Para predecir la esperanza de vida de un estadounidense en el año 2030, sustituya para el en el modelo y resuelva para
Si la esperanza de vida sigue aumentando a este ritmo, el promedio para un estadounidense será de 79,1 años en 2030.
Inténtelo #2
Las ventas de un videojuego lanzado en el año 2000 despegaron al principio, pero luego desaceleraron de forma constante con el paso del tiempo. La Tabla 4 muestra el número de juegos vendidos, en miles, entre los años 2000 y 2010.
| Año | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 |
| Número de ventas (miles) | 142 | 149 | 154 | 155 | 159 | 161 |
| Año | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | |
| Número de ventas (miles) | 163 | 164 | 164 | 166 | 167 |
- Ⓐ Supongamos que representa el tiempo en años empezando por para el año 2000. Supongamos que representa el número de juegos vendidos en miles. Utilice la regresión logarítmica para ajustar un modelo a estos datos.
- Ⓑ Si los juegos siguen vendiéndose a este ritmo, ¿cuántos se venderán en 2015? Redondee a la milésima más cercana.
Construir un modelo logístico a partir de datos
Al igual que el crecimiento exponencial y logarítmico, el crecimiento logístico aumenta con el paso del tiempo. Una de las diferencias más notables con los modelos de crecimiento logístico es que, a partir de cierto punto, el crecimiento desacelera de forma constante y la función se aproxima a un límite superior, o valor límite. Por ello, la regresión logística es lo mejor para modelar fenómenos en los que existen límites de expansión, como la disponibilidad de espacio vital o de nutrientes.
Cabe señalar que las funciones logísticas en realidad modelan el crecimiento exponencial con recursos limitados. Hay muchos ejemplos de este tipo de crecimiento en situaciones del mundo real, como el crecimiento demográfico y la propagación de enfermedades, los rumores e incluso las manchas en la tela. Al realizar el análisis de regresión logística, utilizamos la forma más común en las herramientas gráficas:
Recordemos que:
- es el valor inicial del modelo.
- cuando el modelo aumenta rápidamente al principio, hasta alcanzar su punto de máxima tasa de crecimiento, En ese punto, el crecimiento desacelera de forma constante y la función se vuelve asintótica al límite superior
- es el valor límite, a veces llamado capacidad de carga, del modelo.
Regresión logística
La regresión logística se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento se acelera rápidamente al principio y luego desacelera de forma constante hasta un límite superior. Utilizamos el comando "Logistic" en una herramienta gráfica para ajustar la función logística a un conjunto de puntos de datos. Esto devuelve una ecuación de la forma
Observe que
- El valor inicial del modelo es
- Los valores de salida del modelo se acercan cada vez más a con el paso del tiempo.
Cómo
Dado un conjunto de datos, efectuar una regresión logística con una herramienta gráfica.
- Utilice el menú STAT y luego EDIT para introducir los datos.
- Borre cualquier dato existente en las listas.
- Enumere los valores de entrada en la columna L1.
- Enumere los valores de salida en la columna L2.
- Grafique y observe un diagrama de dispersión de los datos con la función STATPLOT.
- Utilice ZOOM [9] para ajustar los ejes a los datos.
- Compruebe que los datos sigan un patrón logístico.
- Halle la ecuación que modele los datos.
- Seleccione "Logistic" en el menú STAT y luego CALC.
- Utilice los valores devueltos para y para registrar el modelo,
- Grafique el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión para verificar que se ajuste bien a los datos.
Ejemplo 3
Usar la regresión logística para ajustar un modelo a los datos
El servicio de telefonía móvil ha aumentado rápidamente en Estados Unidos desde mediados de la década de 1990. Hoy en día, casi todos los residentes tienen servicio de telefonía móvil. La Tabla 5 muestra el porcentaje de estadounidenses con servicio de telefonía móvil entre los años 1995 y 2012. 11.
| Año | Estadounidenses con servicio de telefonía móvil (%) | Año | Estadounidenses con servicio de telefonía móvil (%) |
|---|---|---|---|
| 1995 | 12,69 | 2004 | 62,852 |
| 1996 | 16,35 | 2005 | 68,63 |
| 1997 | 20,29 | 2006 | 76,64 |
| 1998 | 25,08 | 2007 | 82,47 |
| 1999 | 30,81 | 2008 | 85,68 |
| 2000 | 38,75 | 2009 | 89,14 |
| 2001 | 45,00 | 2010 | 91,86 |
| 2002 | 49,16 | 2011 | 95,28 |
| 2003 | 55,15 | 2012 | 98,17 |
- Ⓐ Supongamos que representa el tiempo en años empezando por para el año 1995. Supongamos que representa el porcentaje correspondiente de residentes con servicio de telefonía móvil. Utilice la regresión logística para ajustar un modelo a estos datos.
- Ⓑ Utilice el modelo para calcular el porcentaje de estadounidenses con servicio de telefonía móvil en el año 2013. Redondee a la décima porcentual más cercana.
- Ⓒ Comente sobre el valor arrojado para el límite superior, ¿Qué le dice esto sobre el modelo? ¿Cuál sería el valor límite si el modelo fuera exacto?
Solución
- Ⓐ
En el menú STAT y luego EDIT en una herramienta gráfica, enumere los años con los valores 0-15 en L1 y el porcentaje correspondiente en L2. A continuación, utilice la función STATPLOT para verificar que el diagrama de dispersión siga un patrón logístico, como se muestra en la Figura 5:
Figura 5
Utilice el comando "Logistic" del menú STAT y luego CALC para obtener el modelo logístico,
A continuación, grafique el modelo en la misma ventana que se muestra en el diagrama de dispersión en la Figura 6 para verificar que se ajuste bien:
Figura 6 - Ⓑ
Para calcular aproximadamente el porcentaje de estadounidenses con servicio de telefonía móvil en el año 2013, sustituya para el en el modelo y resuelva para
Según el modelo, alrededor del 99,3 % de los estadounidenses tenían servicio de telefonía móvil en 2013.
- Ⓒ
El modelo da un valor límite de unos 105. Esto significa que el porcentaje máximo posible de estadounidenses con servicio de telefonía móvil sería del 105 %, lo cual es imposible. (¿Cómo es posible que más del 100 % de una población tenga servicio de telefonía móvil?). Si el modelo fuera exacto, el valor límite sería y las salidas del modelo se acercarían mucho, pero nunca alcanzarían el 100 %. Al fin y al cabo, ¡siempre habrá alguien sin servicio de telefonía móvil!
Inténtelo #3
La Tabla 6 muestra la población, en miles, de focas en el Mar de Wadden durante los años 1997 a 2012.
| Año | Población de focas (miles) | Año | Población de focas (miles) |
|---|---|---|---|
| 1997 | 3,493 | 2005 | 19,590 |
| 1998 | 5,282 | 2006 | 21,955 |
| 1999 | 6,357 | 2007 | 22,862 |
| 2000 | 9,201 | 2008 | 23,869 |
| 2001 | 11,224 | 2009 | 24,243 |
| 2002 | 12,964 | 2010 | 24,344 |
| 2003 | 16,226 | 2011 | 24,919 |
| 2004 | 18,137 | 2012 | 25,108 |
- Ⓐ Supongamos que representa el tiempo en años empezando por para el año 1997. Supongamos que representa el número de focas en miles. Utilice la regresión logística para ajustar un modelo a estos datos.
- Ⓑ Utilice el modelo para predecir la población de focas para el año 2020.
- Ⓒ ¿Cuál es el valor límite de este modelo, redondeado al número entero más cercano?
Media
Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con los modelos de funciones exponenciales.
4.8 Ejercicios de sección
Verbales
¿Qué es la capacidad de carga? ¿Qué tipo de modelo tiene una capacidad de carga incorporada en su fórmula? ¿Por qué esto tiene sentido?
¿Qué es el análisis de regresión? Describa el proceso de realizar un análisis de regresión en una herramienta gráfica.
¿Qué aspecto podría tener un diagrama de dispersión de puntos de datos si se describiera mejor mediante un modelo logarítmico?
¿A qué corresponde la intersección en y del gráfico de una ecuación logística para una población modelada por dicha ecuación?
Gráficos
En los siguientes ejercicios, haga coincidir la función de mejor ajuste dada con el correspondiente diagrama de dispersión desde la Figura 7 hasta la Figura 11. Responda con la letra que se encuentra debajo del gráfico correspondiente.
Numéricos
Al número entero más cercano, ¿cuál es el valor inicial de una población modelada por la ecuación logística ¿Cuál es la capacidad de carga?
Reescriba el modelo exponencial como un modelo equivalente con base Exprese el exponente con cuatro dígitos significativos.
Un modelo logístico viene dado por la ecuación A la centésima más cercana, ¿para qué valor de t
En tecnología
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La población en un estanque de carpas koi sobre meses se modela mediante la función
Grafique el modelo de población para mostrar la población en un lapso de años.
¿Cuántas carpas koi tendrá el estanque después de un año y medio?
Utilice la función de intersección para calcular aproximadamente la cantidad de meses que tardará la población del estanque en alcanzar la mitad de su capacidad de carga.
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La población en un hábitat de una especie de lobos en peligro de extinción se modela mediante la función donde se da en años.
¿Cuál era la población inicial de lobos transportada al hábitat?
¿Cuántos años pasarán antes de que haya lobos en el hábitat?
Utilice la función de intersección para calcular aproximadamente la cantidad de años que tardará la población del hábitat en alcanzar la mitad de su capacidad de carga.
En los siguientes ejercicios, consulte la Tabla 7.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| f(x) | 1.125 | 1.495 | 2.310 | 3.294 | 4.650 | 6.361 |
Utilice una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos.
Utilice la función de regresión para calcular la función exponencial que mejor se ajuste a los datos de la tabla.
Escriba la función exponencial como una ecuación exponencial con base
Utilice la función de intersección para hallar el valor de en el que
En los siguientes ejercicios, consulte la Tabla 8.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| f(x) | 555 | 383 | 307 | 210 | 158 | 122 |
Utilice la función de regresión para calcular la función exponencial que mejor se ajuste a los datos de la tabla.
Grafique la ecuación exponencial en el diagrama de dispersión.
En los siguientes ejercicios, consulte la Tabla 9.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| f(x) | 5,1 | 6,3 | 7,3 | 7,7 | 8,1 | 8,6 |
Utilice una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos.
Utilice la opción LOGaritmo de la función REGresión para hallar una función logarítmica de la forma que mejor se ajuste a los datos de la tabla.
Utilice la función logarítmica para hallar el valor de la función cuando
Utilice la función de intersección para hallar el valor de en el que
En los siguientes ejercicios, consulte la Tabla 10.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| f(x) | 7,5 | 6 | 5,2 | 4,3 | 3,9 | 3,4 | 3,1 | 2,9 |
Utilice la opción LOGaritmo de la función REGresión para hallar una función logarítmica de la forma que mejor se ajuste a los datos de la tabla.
Grafique la ecuación logarítmica en el diagrama de dispersión.
En los siguientes ejercicios, consulte la Tabla 11.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| f(x) | 8,7 | 12,3 | 15,4 | 18,5 | 20,7 | 22,5 | 23,3 | 24 | 24,6 | 24,8 |
Utilice una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos.
Utilice la opción de regresión LOGÍSTICA para hallar un modelo de crecimiento logístico de la forma que mejor se ajuste a los datos de la tabla.
Grafique la ecuación logística en el diagrama de dispersión.
¿Cuál es la capacidad de carga prevista para el modelo, redondeada al número entero más cercano?
Utilice la función de intersección para hallar el valor de para el que el modelo alcanza la mitad de su capacidad de carga.
En los siguientes ejercicios, consulte la Tabla 12.
| 0 | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 | 10 | 11 | 15 | 17 | |
| 12 | 28,6 | 52,8 | 70,3 | 99,9 | 112,5 | 125,8 | 127,9 | 135,1 | 135,9 |
Utilice la opción de regresión LOGÍSTICA para hallar un modelo de crecimiento logístico de la forma que mejor se ajuste a los datos de la tabla.
¿Cuál es la capacidad de carga prevista para el modelo, redondeada al número entero más cercano?
Utilice la función de intersección para hallar el valor de para el que el modelo alcanza la mitad de su capacidad de carga.
Extensiones
Recordemos que la forma general de una ecuación logística para una población viene dada por de manera que la población inicial en el momento es Demuestre algebraicamente que
Utilice una herramienta gráfica para hallar una fórmula de regresión exponencial y una fórmula de regresión logarítmica para los puntos y Redondee todos los números a 6 decimales. Grafique los puntos y ambas fórmulas junto con la línea en el mismo eje. Haga una conjetura sobre la relación de las fórmulas de regresión.
Verifique la conjetura realizada en el ejercicio anterior. Redondee todos los números a seis decimales cuando sea necesario.
Utilice el resultado del ejercicio anterior para graficar el modelo logístico junto con su inversa en el mismo eje. ¿Cuáles son las intersecciones y las asíntotas de cada función?