Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidadMenú de atajos de teclado
Logo de OpenStax
Precálculo 2ed

4.3 Funciones logarítmicas

Precálculo 2ed4.3 Funciones logarítmicas

Menú
Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Convertir de forma logarítmica a exponencial.
  • Convertir de forma exponencial a logarítmica.
  • Evaluar logaritmos.
  • Utilizar logaritmos comunes.
  • Utilizar logaritmos naturales.
Foto de las secuelas del terremoto en Japón con un primer plano en la bandera japonesa.
Figura 1 Devastación del terremoto del 11 de marzo de 2011 en Honshu, Japón. (créditos: Daniel Pierce)

En 2010, un gran terremoto azotó Haití y causó estragos en más de 285.000 hogares4. Un año después, otro terremoto más fuerte devastó Honshu, Japón, con destrucción y daños a más de 332.000 edificaciones,5 como las que se muestran en la Figura 1. Aunque ambos infligieron daños considerables, el terremoto de 2011 fue 100 veces más fuerte que el de Haití. ¿Cómo lo sabemos? La magnitud de los movimientos telúricos se mide en lo que se conoce como la escala de Richter. El terremoto de Haití registró una magnitud de 7,0 en la escala de Richter,6 mientras que el sismo en Japón registró una magnitud de 9,0.7

La escala de Richter es una escala logarítmica de base diez. En otras palabras, un sismo de magnitud 8 no es dos veces mayor que uno de magnitud 4. Es 10 84 = 10 4 =10.000 10 84 = 10 4 =10.000 veces más grande. En esta lección, investigaremos la naturaleza de la escala de Richter y la función de base diez de la que depende.

Convertir de la forma logarítmica a la exponencial

Para analizar la magnitud de un movimiento telúrico o compararla con la de otro, debemos estar en capacidad de convertir entre la forma logarítmica y la exponencial. Por ejemplo, supongamos que la cantidad de energía que libera un terremoto es 500 veces mayor que la cantidad de energía que libera otro. Queremos calcular la diferencia en la magnitud. La ecuación que representa este problema es 10 x =500, 10 x =500, donde x x representa la diferencia de magnitud en la escala de Richter. ¿Cómo podríamos resolver x? x?

Todavía no hemos aprendido el método para resolver ecuaciones exponenciales. Ninguna de las herramientas algebraicas que se han analizado hasta ahora basta para resolver 10 x =500. 10 x =500. Sabemos que 10 2 =100 10 2 =100 y 10 3 =1.000, 10 3 =1.000, por lo que está claro que x x deberá ser algún valor entre 2 y 3, ya que y= 10 x y= 10 x aumenta. Podemos examinar un gráfico, como en la Figura 2, para estimar mejor la solución.

Gráfico de las intersecciones de las ecuaciones y=10^x e y=500.
Figura 2

Sin embargo, la estimación a partir de un gráfico es imprecisa. Para hallar una solución algebraica, debemos introducir una nueva función. Observe que el gráfico en la Figura 2 pasa la prueba de la línea horizontal. La función exponencial y= b x y= b x es biunívoca, por lo que su inversa, x= b y x= b y también es una función. Como ocurre con todas las funciones inversas, simplemente intercambiamos la x x como y y , a la vez que resolvemos para y y con el fin de dar con la función inversa. Para representar y y en función de x, x, utilizamos una función logarítmica de la forma y= log b ( x ). y= log b ( x ). La base b b logaritmo de un número es el exponente por el que debemos elevar b b para obtener esa cifra.

Leemos una expresión logarítmica como: "El logaritmo con base b b de x x es igual a y", y", o, simplificado, la "base logarítmica b b de x x es y. y. «”. También podemos enunciar: " b b elevado a la potencia de y y es x", x", porque los logaritmos son exponentes. Por ejemplo, el logaritmo de base 2 de 32 es 5, porque 5 es el exponente que debemos aplicar a 2 para obtener 32. Dado que 2 5 =32, 2 5 =32, podemos escribir log 2 32=5. log 2 32=5. Lo leemos como “la base logarítmica 2 de 32 es 5".

Podemos expresar la relación entre la forma logarítmica y su correspondiente forma exponencial como sigue:

log b ( x )=y b y =x, b>0,b1 log b ( x )=y b y =x, b>0,b1

Tenga en cuenta que la base b b es siempre positiva.

Dado que el logaritmo es una función, la manera más correcta de escribirlo es: log b (x), log b (x), con paréntesis para denotar la evaluación de la función, al igual que haríamos con f(x). f(x). Sin embargo, cuando la entrada es una sola variable o un número, es común ver los paréntesis eliminados y la expresión escrita sin paréntesis, como log b x. log b x. Tenga en cuenta que muchas calculadoras requieren paréntesis alrededor de la x. x.

Podemos ilustrar la notación de los logaritmos de la siguiente manera:

Observe que, al comparar la función logarítmica y la función exponencial, la entrada y la salida se intercambian. Esto significa que y= log b ( x ) y= log b ( x ) y de y= b x y= b x son funciones inversas.

Definición de la función logarítmica

Una base logarítmica b b de un número positivo x x cumple la siguiente definición.

Para x>0,b>0,b1, x>0,b>0,b1,

y= log b ( x )equivale a  b y =x y= log b ( x )equivale a  b y =x

donde,

  • leemos log b ( x ) log b ( x ) como, "el logaritmo con base b b de x x " o la "base logarítmica b b de x". x".
  • el logaritmo y y es el exponente al que hay que elevar b b para obtener x. x.

Además, ya que las funciones logarítmicas y exponenciales cambian los valores de la x x como y y , el dominio y el rango de la función exponencial se intercambian por la función logarítmica. Por lo tanto,

  • el dominio de la función logarítmica con base b es (0,). b es (0,).
  • el rango de la función logarítmica con base b es (-,). b es (-,).

Preguntas y respuestas

¿Podemos tomar el logaritmo de un número negativo?

No. Como la base de una función exponencial siempre es positiva, ninguna potencia de esa base puede ser nunca negativa. Nunca podemos tomar el logaritmo de un número negativo. Además, no podemos tomar el logaritmo de cero. Las calculadoras pueden emitir un logaritmo de un número negativo cuando están en modo complejo, pero el logaritmo de un número negativo no es un número real.

Cómo

Dada una ecuación en forma logarítmica. log b ( x )=y, log b ( x )=y, convertirla en forma exponencial.

  1. Examine la ecuación y= log b (x) y= log b (x) e identifique b,y,yx. b,y,yx.
  2. Reescriba log b (x)=y log b (x)=y cuando b y =x. b y =x.

Ejemplo 1

Convertir de la forma logarítmica a la forma exponencial

Escriba las siguientes ecuaciones logarítmicas en forma exponencial.

  1. log 6 ( 6 )= 1 2 log 6 ( 6 )= 1 2
  2. log 3 ( 9 )=2 log 3 ( 9 )=2

Inténtelo #1

Escriba las siguientes ecuaciones logarítmicas en forma exponencial.

  1. log 10 ( 1.000.000 )=6 log 10 ( 1.000.000 )=6
  2. log 5 ( 25 )=2 log 5 ( 25 )=2

Convertir de la forma exponencial a la forma logarítmica

Para convertir de exponentes a logaritmos, seguimos los mismos pasos, pero a la inversa. Identificamos la base b, b, exponente x, x, y salida y. y. Entonces escribimos x= log b ( y ). x= log b ( y ).

Ejemplo 2

Convertir de la forma exponencial a la forma logarítmica

Escriba las siguientes ecuaciones exponenciales en forma logarítmica.

  1. 2 3 =8 2 3 =8
  2. 5 2 =25 5 2 =25
  3. 10 4 = 1 10.000 10 4 = 1 10.000

Inténtelo #2

Escriba las siguientes ecuaciones exponenciales en forma logarítmica.

  1. 3 2 =9 3 2 =9
  2. 5 3 =125 5 3 =125
  3. 2 1 = 1 2 2 1 = 1 2

Evaluar logaritmos

Conocer los cuadrados, cubos y raíces de los números nos permite evaluar mentalmente muchos logaritmos. Por ejemplo, considere log 2 8. log 2 8. Nos preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar 2 2 para obtener el 8?”. Dado que ya sabemos que 2 3 =8, 2 3 =8, se deduce que log 2 8=3. log 2 8=3.

Ahora, considere resolver log 7 49 log 7 49 y log 3 27 log 3 27 mentalmente.

  • Preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar 7 para obtener 49?”. Sabemos que 7 2 =49. 7 2 =49. Por lo tanto, log 7 49=2 log 7 49=2
  • Preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar 3 para obtener 27?”. Sabemos que 3 3 =27. 3 3 =27. Por lo tanto, log 3 27=3 log 3 27=3

Incluso algunos logaritmos aparentemente más complicados pueden evaluarse sin necesidad de la calculadora. Por ejemplo, evaluemos log 2 3 4 9 log 2 3 4 9 mentalmente.

  • Preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar 2 3 2 3 para obtener 4 9 ? 4 9 ? “. Sabemos que 2 2 =4 2 2 =4 y 3 2 =9, 3 2 =9, tal que ( 2 3 ) 2 = 4 9 . ( 2 3 ) 2 = 4 9 . Por lo tanto, log 2 3 ( 4 9 )=2. log 2 3 ( 4 9 )=2.

Cómo

Dado un logaritmo de la forma y= log b ( x ), y= log b ( x ), evaluarlo mentalmente.

  1. Reescriba el argumento x x como potencia de b: b: b y =x. b y =x.
  2. Utilice el conocimiento previo de las potencias de b b identifique y y al preguntar: "¿A qué exponente hay que elevar b b para obtener x? x? “.

Ejemplo 3

Resolver logaritmos mentalmente

Resuelva y= log 4 ( 64 ) y= log 4 ( 64 ) sin usar la calculadora.

Inténtelo #3

Resuelva y= log 121 ( 11 ) y= log 121 ( 11 ) sin usar la calculadora.

Ejemplo 4

Evaluar el logaritmo de un recíproco

Evalúe y= log 3 ( 1 27 ) y= log 3 ( 1 27 ) sin usar la calculadora.

Inténtelo #4

Evalúe y= log 2 ( 1 32 ) y= log 2 ( 1 32 ) sin usar la calculadora.

Usar logaritmos comunes

A veces podemos ver un logaritmo escrito sin base. En este caso, suponemos que la base es 10. En otras palabras, la expresión log( x ) log( x ) significa log 10 ( x ). log 10 ( x ). Llamamos logaritmo común a un logaritmo de base 10. Los logaritmos comunes se utilizan para medir la escala de Richter que se menciona al principio de la sección. Las escalas para medir el brillo de las estrellas y el pH de los ácidos y las bases también utilizan logaritmos comunes.

Definición del logaritmo común

El logaritmo común es un logaritmo con base 10. 10. Escribimos log 10 ( x ) log 10 ( x ) simplemente como log( x ). log( x ). El logaritmo común de un número positivo x x cumple la siguiente definición.

Para x>0, x>0,

y=log( x )equivale a  10 y =x y=log( x )equivale a  10 y =x

Leemos log( x ) log( x ) como, "el logaritmo con base 10 10 de x x " o "base logarítmica 10 de x x “.

El logaritmo y y es el exponente al que hay que elevar 10 10 para obtener x. x.

Cómo

Dado un logaritmo común de la forma y=log( x ), y=log( x ), evaluarlo mentalmente.

  1. Reescriba el argumento x x como potencia de 10: 10: 10 y =x. 10 y =x.
  2. Utilice el conocimiento previo de las potencias de 10 10 para identificar y y al preguntar: "¿A qué exponente hay que elevar 10 10 para obtener x? x? “.

Ejemplo 5

Hallar mentalmente el valor de un logaritmo común

Evalúe y=log(1.000) y=log(1.000) sin usar la calculadora.

Inténtelo #5

Evalúe y=log(1.000.000). y=log(1.000.000).

Cómo

Dado un logaritmo común con la forma y=log( x ), y=log( x ), evaluarlo con la calculadora.

  1. Presione [LOG].
  2. Introduzca el valor indicado para x, x, seguido de [ ) ].
  3. Presione [ENTER].

Ejemplo 6

Calcular el valor de un logaritmo común con la calculadora

Evalúe y=log( 321 ) y=log( 321 ) a cuatro decimales utilizando la calculadora.

Análisis

Observe que 10 2 =100 10 2 =100 y que 10 3 =1.000. 10 3 =1.000. Dado que 321 está entre 100 y 1.000, sabemos que log( 321 ) log( 321 ) deberá estar entre log( 100 ) log( 100 ) y log( 1.000 ). log( 1.000 ). Esto nos da lo siguiente:

100 < 321 < 1.000 2 < 2,5065 < 3 100 < 321 < 1.000 2 < 2,5065 < 3

Inténtelo #6

Evalúe y=log( 123 ) y=log( 123 ) a cuatro decimales utilizando la calculadora.

Ejemplo 7

Reescribir y resolver un modelo exponencial del mundo real

La cantidad de energía que liberó un terremoto fue 500 veces mayor que la cantidad de energía que liberó otro. La ecuación 10 x =500 10 x =500 representa esta situación, en la que x x es la diferencia en la magnitud en la escala de Richter. A la milésima más cercana, ¿cuál fue la diferencia en la magnitud?

Inténtelo #7

La cantidad de energía liberada por un terremoto fue 8.500 8.500 veces mayor que la liberada por otro. La ecuación 10 x =8.500 10 x =8.500 representa esta situación, en la que x x es la diferencia en la magnitud en la escala de Richter. A la milésima más cercana, ¿cuál fue la diferencia en la magnitud?

Usar logaritmos naturales

La base más utilizada para los logaritmos es e. e. Los logaritmos con base e e son importantes en el cálculo y en algunas aplicaciones científicas; reciben el nombre de logaritmos naturales. El logaritmo con base e e , log e ( x ), log e ( x ), tiene su propia notación, ln(x). ln(x).

La mayoría de los valores de ln( x ) ln( x ) se hallan únicamente con la calculadora. La mayor excepción es esa, porque el logaritmo de 1 es siempre 0 en cualquier base, ln1=0. ln1=0. Para otros logaritmos naturales, podemos utilizar la tecla ln ln , que se encuentra en la mayoría de las calculadoras científicas. También podemos hallar el logaritmo natural de cualquier potencia de e e utilizando la propiedad inversa de los logaritmos.

Definición del logaritmo natural

Un logaritmo natural es un logaritmo con base e. e. Escribimos log e ( x ) log e ( x ) simplemente como ln( x ). ln( x ). El logaritmo natural de un número positivo x x cumple la siguiente definición.

Para x>0, x>0,

y=ln( x )equivale a  e y =x y=ln( x )equivale a  e y =x

Leemos ln( x ) ln( x ) como, "el logaritmo con base e e de x x " o "el logaritmo natural de x x ".

El logaritmo y y es el exponente al que hay que elevar e e para obtener x. x.

Dado que las funciones y=e x y=e x como y=ln( x ) y=ln( x ) son funciones inversas, ln( e x )=x ln( e x )=x para todos los valores x x y e = ln(x) x e = ln(x) x para x>0. x>0.

Cómo

Dado un logaritmo natural con la forma y=ln( x ), y=ln( x ), evaluarlo con la calculadora.

  1. Presione [LN].
  2. Introduzca el valor indicado para x, x, seguido de [ ) ].
  3. Presione [ENTER].

Ejemplo 8

Evaluar un logaritmo natural con la calculadora

Evalúe y=ln( 500 ) y=ln( 500 ) a cuatro decimales utilizando la calculadora.

Inténtelo #8

Evalúe ln(-500). ln(-500).

Media

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con los logaritmos.

4.3 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Qué es el logaritmo con base b b ? Analice el significado interpretando cada parte de las ecuaciones equivalentes b y =x b y =x y log b x=y log b x=y por b>0,b1. b>0,b1.

2.

¿De qué manera se relaciona la función logarítmica f(x)= log b x f(x)= log b x con la función exponencial g(x)= b x ? g(x)= b x ? ¿Cuál es el resultado de componer estas dos funciones?

3.

¿Cómo puede la ecuación logarítmica log b x=y log b x=y resolverse para x x con las propiedades de los exponentes?

4.

Comente acerca el significado del logaritmo común. ¿Cuál es su relación con un logaritmo de base b, b, y en qué se diferencia la notación?

5.

Comente acerca del significado del logaritmo natural. ¿Cuál es su relación con un logaritmo de base b, b, y en qué se diferencia la notación?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, reescriba cada ecuación en forma exponencial.

6.

log 4 (q)=m log 4 (q)=m

7.

log a (b)=c log a (b)=c

8.

log 16 ( y )=x log 16 ( y )=x

9.

log x ( 64 )=y log x ( 64 )=y

10.

log y ( x )=−11 log y ( x )=−11

11.

log 15 ( a )=b log 15 ( a )=b

12.

log y ( 137 )=x log y ( 137 )=x

13.

log 13 ( 142 )=a log 13 ( 142 )=a

14.

log(v)=t log(v)=t

15.

ln(w)=n ln(w)=n

En los siguientes ejercicios, reescriba cada ecuación en forma logarítmica.

16.

4 x =y 4 x =y

17.

c d =k c d =k

18.

m 7 =n m 7 =n

19.

19 x =y 19 x =y

20.

x - 10 13 =y x - 10 13 =y

21.

n 4 =103 n 4 =103

22.

( 7 5 ) m =n ( 7 5 ) m =n

23.

y x = 39 100 y x = 39 100

24.

10 a =b 10 a =b

25.

e k =h e k =h

En los siguientes ejercicios, resuelva para x x al convertir la ecuación logarítmica en forma exponencial.

26.

log 3 (x)=2 log 3 (x)=2

27.

log 2 (x)=-3 log 2 (x)=-3

28.

log 5 (x)=2 log 5 (x)=2

29.

log 3 ( x )=3 log 3 ( x )=3

30.

log 2 (x)=6 log 2 (x)=6

31.

log 9 (x)= 1 2 log 9 (x)= 1 2

32.

log 18 (x)=2 log 18 (x)=2

33.

log 6 ( x )=-3 log 6 ( x )=-3

34.

log(x)=3 log(x)=3

35.

ln(x)=2 ln(x)=2

En los siguientes ejercicios, utilice la definición de logaritmos comunes y naturales para simplificar.

36.

log( 100 8 ) log( 100 8 )

37.

10 log(32) 10 log(32)

38.

2log(0,0001) 2log(0,0001)

39.

e ln( 1,06 ) e ln( 1,06 )

40.

ln( e 5,03 ) ln( e 5,03 )

41.

e ln( 10,125 ) +4 e ln( 10,125 ) +4

Numéricos

En los siguientes ejercicios, evalúe la expresión logarítmica con base b b sin utilizar la calculadora.

42.

log 3 ( 1 27 ) log 3 ( 1 27 )

43.

log 6 ( 6 ) log 6 ( 6 )

44.

log 2 ( 1 8 )+4 log 2 ( 1 8 )+4

45.

6 log 8 (4) 6 log 8 (4)

En los siguientes ejercicios, evalúe la expresión logarítmica común sin utilizar la calculadora.

46.

log(10.000) log(10.000)

47.

log(0,001) log(0,001)

48.

log(1)+7 log(1)+7

49.

2log( 100 3 ) 2log( 100 3 )

En los siguientes ejercicios, evalúe la expresión logarítmica natural sin utilizar la calculadora.

50.

ln( e 1 3 ) ln( e 1 3 )

51.

ln(1) ln(1)

52.

ln( e 0,225 )-3 ln( e 0,225 )-3

53.

25ln( e 2 5 ) 25ln( e 2 5 )

En tecnología

En los siguientes ejercicios, evalúe cada expresión con la calculadora. Redondee a la milésima más cercana.

54.

log(0,04) log(0,04)

55.

ln(15) ln(15)

56.

ln( 4 5 ) ln( 4 5 )

57.

log( 2 ) log( 2 )

58.

ln( 2 ) ln( 2 )

Extensiones

59.

¿Es x=0 x=0 en el dominio de la función f(x)=log(x)? f(x)=log(x)? Si es así, ¿cuál es el valor de la función cuando x=0? x=0? Compruebe el resultado.

60.

¿Es f(x)=0 f(x)=0 en el rango de la función f(x)=log(x)? f(x)=log(x)? Si es así, para qué valor de x? x? Compruebe el resultado.

61.

¿Existe un número x x de manera que lnx=2? lnx=2? Si es así, ¿cuál es ese número? Compruebe el resultado.

62.

¿Es cierto lo siguiente?: log 3 (27) log 4 ( 1 64 ) =−1? log 3 (27) log 4 ( 1 64 ) =−1? Compruebe el resultado.

63.

¿Es cierto lo siguiente?: ln( e 1,725 ) ln( 1 ) =1,725? ln( e 1,725 ) ln( 1 ) =1,725? Compruebe el resultado.

Aplicaciones en el mundo real

64.

El índice de exposición EI EI de una cámara es una medida de la cantidad de luz que incide en el receptor de la imagen. Se determina mediante la ecuación EI= log 2 ( f 2 t ), EI= log 2 ( f 2 t ), donde f f es el ajuste "f-stop" de la cámara, y t t es el tiempo de exposición en segundos. Supongamos que el ajuste de f-stop es 8 8 y el tiempo de exposición deseado es 2 2 segundos. ¿Cuál será el índice de exposición resultante?

65.

Consulte el ejercicio anterior. Supongamos que el medidor de luz de una cámara indica un EI EI de 2 , 2 , y el tiempo de exposición deseado es de 16 segundos. ¿Cuál debería ser el ajuste de f-stop?

66.

Los niveles de intensidad I de dos terremotos medidos en un sismógrafo pueden compararse mediante la fórmula log I 1 I 2 = M 1 M 2 log I 1 I 2 = M 1 M 2 donde M M es la magnitud dada por la escala de Richter. En agosto de 2009, un terremoto de magnitud 6,1 sacudió Honshu, Japón. En marzo de 2011, esa misma región sufrió otro terremoto más devastador, esta vez de magnitud 9,0.8 ¿Cuántas veces fue mayor la intensidad del terremoto de 2011? Redondee al número natural más cercano.

Notas a pie de página

  • 4http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqinthenews/2010/us2010rja6/#summary. Consultado el 4 de marzo de 2013.
  • 5http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqinthenews/2011/usc0001xgp/#summary. Consultado el 4 de marzo de 2013.
  • 6http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqinthenews/2010/us2010rja6/. Consultado el 4 de marzo de 2013.
  • 7http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqinthenews/2011/usc0001xgp/#details. Consultado el 4 de marzo de 2013.
  • 8http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/world/historical.php. Consultado el 4 de marzo de 2014.
Do you know how you learn best?
Kinetic by OpenStax offers access to innovative study tools designed to help you maximize your learning potential.
Solicitar una copia impresa

As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases.

Cita/Atribución

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro utiliza la Creative Commons Attribution License y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/prec%C3%A1lculo-2ed/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/prec%C3%A1lculo-2ed/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 27 abr. 2022 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution License . El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.