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Precálculo 2ed

Ejercicios de repaso

Precálculo 2edEjercicios de repaso

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Ejercicios de repaso

Funciones exponenciales
1.

Determine si la función y=156 ( 0,825 ) t y=156 ( 0,825 ) t representa el crecimiento exponencial, el decaimiento exponencial o ninguno de los dos. Explique

2.

La población de una manada de ciervos viene representada por la función A(t)=205 (1,13) t , A(t)=205 (1,13) t , donde t t se da en años. En el número entero más cercano, ¿cuál será la población de la manada después de 6 6 años?

3.

Halle una ecuación exponencial que pase por los puntos (2, 2,25) (2, 2,25) y (5,60,75). (5,60,75).

4.

Determine si la Tabla 1 podría representar una función que es lineal, exponencial o ninguna de las dos. Si resulta ser exponencial, halle una función que pase por los puntos.

x 1 2 3 4
f(x) 3 0,9 0,27 0,081
Tabla 1
5.

Se abre una cuenta de jubilación con un depósito inicial de 8.500 dólares y devenga 8,12% 8,12% intereses compuestos mensualmente. ¿Qué valor tendrá la cuenta en 20 20 años?

6.

Hsu-Mei quiere ahorrar 5.000 dólares para el pago inicial de un automóvil. En el dólar más cercano, ¿cuánto tendrá que invertir ahora en una cuenta con 7,5% 7,5% APR, compuesto diariamente, para alcanzar su objetivo en 3 3 años?

7.

¿La ecuación y=2,294 e 0,654t y=2,294 e 0,654t representa el crecimiento continuo, el decaimiento continuo o ninguno de los dos? Explique.

8.

Supongamos que se abre una cuenta de inversión con un depósito inicial de 10.500 dólares 10.500 dólares devengando 6,25% 6,25% de intereses, calculados continuamente. ¿Cuánto valdrá la cuenta después de 25 25 años?

Gráficos de funciones exponenciales
9.

Grafique la función f(x)=3,5 ( 2 ) x . f(x)=3,5 ( 2 ) x . Indique el dominio y el rango y dé la intersección en y.

10.

Grafique la función f(x)=4 ( 1 8 ) x f(x)=4 ( 1 8 ) x y su reflexión respecto al eje y en los mismos ejes, y dé la intersección en y.

11.

El gráfico de f(x)= 6,5 x f(x)= 6,5 x se refleja sobre el eje y y se estira verticalmente por un factor de 7. 7. ¿Cuál es la ecuación de la nueva función? g(x)? g(x)? Indique su intersección en y, su dominio y su rango.

12.

El siguiente gráfico muestra las transformaciones del gráfico de f(x)= 2 x . f(x)= 2 x . ¿Cuál es la ecuación de la transformación?

Gráfico de f(x)=2^x
Figura 1
Funciones logarítmicas
13.

Reescriba log 17 ( 4.913 )=x log 17 ( 4.913 )=x como una ecuación exponencial equivalente.

14.

Reescriba ln( s )=t ln( s )=t como una ecuación exponencial equivalente.

15.

Reescriba a - 2 5 =b a - 2 5 =b como una ecuación logarítmica equivalente.

16.

Reescriba e 3,5 =h e 3,5 =h como una ecuación logarítmica equivalente.

17.

Resuelva para x si log 64 (x)= 1 3 log 64 (x)= 1 3 al convertir la ecuación logarítmica log 64 (x)= 1 3 log 64 (x)= 1 3 en la forma exponencial.

18.

Evalúe log 5 ( 1 125 ) log 5 ( 1 125 ) sin usar la calculadora.

19.

Evalúe log( 0,000001 ) log( 0,000001 ) sin usar la calculadora.

20.

Evalúe log(4,005) log(4,005) utilizando una calculadora. Redondee a la milésima más cercana.

21.

Evalúe ln( e 0,8648 ) ln( e 0,8648 ) sin usar la calculadora.

22.

Evalúe ln( 18 3 ) ln( 18 3 ) utilizando una calculadora. Redondee a la milésima más cercana.

Gráficos de funciones logarítmicas
23.

Grafique la función g(x)=log( 7x+21 )4. g(x)=log( 7x+21 )4.

24.

Grafique la función h(x)=2ln( 93x )+1. h(x)=2ln( 93x )+1.

25.

Indique el dominio, la asíntota vertical y el comportamiento final de la función g(x)=ln( 4x+20 )17. g(x)=ln( 4x+20 )17.

Propiedades logarítmicas
26.

Reescriba ln( 7r11st ) ln( 7r11st ) en forma ampliada.

27.

Reescriba log 8 ( x )+ log 8 ( 5 )+ log 8 ( y )+ log 8 ( 13 ) log 8 ( x )+ log 8 ( 5 )+ log 8 ( y )+ log 8 ( 13 ) en forma compacta.

28.

Reescriba log m ( 67 83 ) log m ( 67 83 ) en forma ampliada.

29.

Reescriba ln( z )-ln( x )-ln( y ) ln( z )-ln( x )-ln( y ) en forma compacta.

30.

Reescriba ln( 1 x 5 ) ln( 1 x 5 ) como producto.

31.

Reescriba log y ( 1 12 ) log y ( 1 12 ) como un solo logaritmo.

32.

Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir log( r 2 s 11 t 14 ). log( r 2 s 11 t 14 ).

33.

Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir ln( 2b b+1 b-1 ). ln( 2b b+1 b-1 ).

34.

Condense la expresión 5ln( b )+ln( c )+ ln( 4a ) 2 5ln( b )+ln( c )+ ln( 4a ) 2 a un solo logaritmo.

35.

Condense la expresión 3 log 7 v+6 log 7 w log 7 u 3 3 log 7 v+6 log 7 w log 7 u 3 a un solo logaritmo.

36.

Reescriba log 3 ( 12,75 ) log 3 ( 12,75 ) a la base e. e.

37.

Reescriba 5 12x17 =125 5 12x17 =125 como un logaritmo. A continuación, aplique la fórmula de cambio de base para resolver x x utilizando el logaritmo común. Redondee a la milésima más cercana.

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
38.

Resuelva 216 3x 216 x = 36 3x+2 216 3x 216 x = 36 3x+2 reescribiendo cada lado con una base común.

39.

Resuelva 125 ( 1 625 ) -x-3 = 5 3 125 ( 1 625 ) -x-3 = 5 3 reescribiendo cada lado con una base común.

40.

Utilice los logaritmos para hallar la solución exacta de 7 17 9x -7=49. 7 17 9x -7=49. Si no hay solución, escriba no hay solución.

41.

Utilice los logaritmos para hallar la solución exacta de 3 e 6n2 +1=60. 3 e 6n2 +1=60. Si no hay solución, escriba no hay solución.

42.

Halle la solución exacta para 5 e 3x -4=6 5 e 3x -4=6 . Si no hay solución, escriba no hay solución.

43.

Halle la solución exacta para 2 e 5x-2 -9=56. 2 e 5x-2 -9=56. Si no hay solución, escriba no hay solución.

44.

Halle la solución exacta para 5 2x-3 = 7 x+1 . 5 2x-3 = 7 x+1 . Si no hay solución, escriba no hay solución.

45.

Halle la solución exacta para e 2x - e x 110=0. e 2x - e x 110=0. Si no hay solución, escriba no hay solución.

46.

Utilice la definición de logaritmo para resolver. 5 log 7 ( 10n )=5. 5 log 7 ( 10n )=5.

47.

Utilice la definición de logaritmo para hallar la solución exacta de 9+6ln( a+3 )=33. 9+6ln( a+3 )=33.

48.

Utilice la propiedad biunívoca de los logaritmos para hallar una solución exacta para log 8 ( 7 )+ log 8 ( -4x )= log 8 ( 5 ). log 8 ( 7 )+ log 8 ( -4x )= log 8 ( 5 ). Si no hay solución, escriba no hay solución.

49.

Utilice la propiedad biunívoca de los logaritmos para hallar una solución exacta para ln( 5 )+ln( 5 x 2 -5 )=ln( 56 ). ln( 5 )+ln( 5 x 2 -5 )=ln( 56 ). Si no hay solución, escriba no hay solución.

50.

La fórmula para medir la intensidad del sonido en decibelios D D se define por la ecuación D=10log( I I 0 ), D=10log( I I 0 ), donde I I es la intensidad del sonido en vatios por metro cuadrado y I 0 = 10 12 I 0 = 10 12 es el nivel de sonido más bajo que puede oír una persona normal. ¿Cuántos decibelios emite una gran orquesta con una intensidad sonora de 6,3 10 3 6,3 10 3 vatios por metro cuadrado?

51.

La población de una ciudad se modela mediante la ecuación P(t)=256,114 e 0,25t P(t)=256,114 e 0,25t donde t t se mide en años. Si la ciudad sigue creciendo a este ritmo, ¿cuántos años tardará en alcanzar el millón de habitantes?

52.

Halle la función inversa f 1 f 1 para la función exponencial f( x )=2 e x+1 5. f( x )=2 e x+1 5.

53.

Halle la función inversa f 1 f 1 para la función logarítmica f( x )=0,25 log 2 ( x 3 +1 ). f( x )=0,25 log 2 ( x 3 +1 ).

Modelos exponenciales y logarítmicos

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un médico prescribe 300 300 miligramos de un fármaco que decae en un 17% 17% cada hora.

54.

¿Cuál es semivida del fármaco, aproximada al minuto más cercano?

55.

Escriba un modelo exponencial que represente la cantidad de fármaco que queda en el organismo del paciente después de t t horas. A continuación, utilice la fórmula para calcular la cantidad de fármaco que quedaría en el organismo del paciente después de 24 24 horas. Redondee a la centésima de gramo más cercana.

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Una sopa con una temperatura interna de 350 350 °F se sacó de la estufa para enfriar a una temperatura ambiente de 71 °F 71 °F . Después de quince minutos, la temperatura interna de la sopa era 175 °F. 175 °F.

56.

Utilice la ley de enfriamiento de Newton para escribir una fórmula que modele esta situación.

57.

¿Cuántos minutos tardará la sopa en enfriarse hasta 85 °F? 85 °F?

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La ecuación N( t )= 1.200 1+199 e 0,625t N( t )= 1.200 1+199 e 0,625t modela el número de personas de una escuela que han escuchado un rumor después de t t días.

58.

¿Cuántas personas iniciaron el rumor?

59.

A la décima más cercana, ¿cuántos días pasarán antes de que el rumor se extienda a la mitad de la capacidad de carga?

60.

¿Cuál es la capacidad de carga?

En los siguientes ejercicios, introduzca los datos de cada tabla en una calculadora gráfica y grafique los diagramas de dispersión resultantes. Determine si los datos de la tabla representan probablemente una función lineal, exponencial o logarítmica.

61.
xf(x)
13,05
24,42
36,4
49,28
513,46
619,52
728,3
841,04
959,5
1086,28
62.
xf(x)
0,518,05
117
315,33
514,55
714,04
1013,5
1213,22
1313,1
1512,88
1712,69
2012,45
63.

Halle la fórmula de una ecuación exponencial que pase por los puntos ( 2 ,100 ) ( 2 ,100 ) y ( 0,4 ). ( 0,4 ). Entonces, exprese la fórmula como una ecuación equivalente con base e.

Ajuste de modelos exponenciales a los datos
64.

¿Cuál es la capacidad de carga de una población modelada por la ecuación logística P(t)= 250,000 1+499 e 0,45t ? P(t)= 250,000 1+499 e 0,45t ? ¿Cuál es la población inicial del modelo?

65.

La población de un cultivo de bacterias se modela mediante la ecuación logística P(t)= 14,250 1+29 e 0,62t , P(t)= 14,250 1+29 e 0,62t , donde t t está en días. A la décima más cercana, ¿cuántos días tardará el cultivo en alcanzar 75% 75% de su capacidad de carga?

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos en la tabla. Observe la forma del diagrama de dispersión para determinar si los datos se describen mejor mediante un modelo exponencial, logarítmico o logístico. A continuación, utilice la función de regresión adecuada para hallar una ecuación que modele los datos. Cuando sea necesario, redondee los valores a cinco decimales.

66.
xf(x)
1409,4
2260,7
3170,4
4110,6
574
644,7
732,4
819,5
912,7
108,1
67.
xf(x)
0,1536,21
0,2528,88
0,524,39
0,7518,28
116,5
1,512,99
29,91
2,258,57
2,757,23
35,99
3,54,81
68.
xf(x)
09
222,6
444,2
562,1
796,9
8113,4
10133,4
11137,6
15148,4
17149,3
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