Cap. 4Ejercicios de repaso - Precálculo 2ed

Ejercicios de repaso

Funciones exponenciales

Determine si la función $y = 156 {(0,825)}^{t}$ representa el crecimiento exponencial, el decaimiento exponencial o ninguno de los dos. Explique

La población de una manada de ciervos viene representada por la función $A (t) = 205 {(1,13)}^{t},$ donde $t$ se da en años. En el número entero más cercano, ¿cuál será la población de la manada después de $6$ años?

Halle una ecuación exponencial que pase por los puntos $(2, 2,25)$ y $(5, 60,75) .$

Determine si la Tabla 1 podría representar una función que es lineal, exponencial o ninguna de las dos. Si resulta ser exponencial, halle una función que pase por los puntos.

x	1	2	3	4
*f(x)*	3	0,9	0,27	0,081

Tabla 1

Se abre una cuenta de jubilación con un depósito inicial de 8.500 dólares y devenga $8,12 %$ intereses compuestos mensualmente. ¿Qué valor tendrá la cuenta en $20$ años?

Hsu-Mei quiere ahorrar 5.000 dólares para el pago inicial de un automóvil. En el dólar más cercano, ¿cuánto tendrá que invertir ahora en una cuenta con $7,5 %$ APR, compuesto diariamente, para alcanzar su objetivo en $3$ años?

¿La ecuación $y = 2,294 e^{- 0,654 t}$ representa el crecimiento continuo, el decaimiento continuo o ninguno de los dos? Explique.

Supongamos que se abre una cuenta de inversión con un depósito inicial de $10.500 dólares$ devengando $6,25 %$ de intereses, calculados continuamente. ¿Cuánto valdrá la cuenta después de $25$ años?

Gráficos de funciones exponenciales

Grafique la función $f (x) = 3,5 {(2)}^{x} .$ Indique el dominio y el rango y dé la intersección en y.

10.

Grafique la función $f (x) = 4 {(\frac{1}{8})}^{x}$ y su reflexión respecto al eje y en los mismos ejes, y dé la intersección en y.

11.

El gráfico de $f (x) = {6,5}^{x}$ se refleja sobre el eje y y se estira verticalmente por un factor de $7.$ ¿Cuál es la ecuación de la nueva función? $g (x) ?$ Indique su intersección en y, su dominio y su rango.

12.

El siguiente gráfico muestra las transformaciones del gráfico de $f (x) = 2^{x} .$ ¿Cuál es la ecuación de la transformación?

Figura 1

Funciones logarítmicas

13.

Reescriba $\log_{17} (4.913) = x$ como una ecuación exponencial equivalente.

14.

Reescriba $\ln (s) = t$ como una ecuación exponencial equivalente.

15.

Reescriba $a^{- \frac{2}{5}} = b$ como una ecuación logarítmica equivalente.

16.

Reescriba $e^{- 3,5} = h$ como una ecuación logarítmica equivalente.

17.

Resuelva para x si $\log_{64} (x) = \frac{1}{3}$ al convertir la ecuación logarítmica $\log_{64} (x) = \frac{1}{3}$ en la forma exponencial.

18.

Evalúe $\log_{5} (\frac{1}{125})$ sin usar la calculadora.

19.

Evalúe $\log (0,000001)$ sin usar la calculadora.

20.

Evalúe $\log (4,005)$ utilizando una calculadora. Redondee a la milésima más cercana.

21.

Evalúe $\ln (e^{- 0,8648})$ sin usar la calculadora.

22.

Evalúe $\ln (\sqrt[3]{18})$ utilizando una calculadora. Redondee a la milésima más cercana.

Gráficos de funciones logarítmicas

23.

Grafique la función $g (x) = \log (7 x + 21) - 4.$

24.

Grafique la función $h (x) = 2 \ln (9 - 3 x) + 1.$

25.

Indique el dominio, la asíntota vertical y el comportamiento final de la función $g (x) = \ln (4 x + 20) - 17.$

Propiedades logarítmicas

26.

Reescriba $\ln (7 r \cdot 11 s t)$ en forma ampliada.

27.

Reescriba $\log_{8} (x) + \log_{8} (5) + \log_{8} (y) + \log_{8} (13)$ en forma compacta.

28.

Reescriba $\log_{m} (\frac{67}{83})$ en forma ampliada.

29.

Reescriba $\ln (z) - \ln (x) - \ln (y)$ en forma compacta.

30.

Reescriba $\ln (\frac{1}{x^{5}})$ como producto.

31.

Reescriba $- \log_{y} (\frac{1}{12})$ como un solo logaritmo.

32.

Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir $\log (\frac{r^{2} s^{11}}{t^{14}}) .$

33.

Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir $\ln (2 b \sqrt{\frac{b + 1}{b - 1}}) .$

34.

Condense la expresión $5 \ln (b) + \ln (c) + \frac{\ln (4 - a)}{2}$ a un solo logaritmo.

35.

Condense la expresión $3 \log_{7} v + 6 \log_{7} w - \frac{\log_{7} u}{3}$ a un solo logaritmo.

36.

Reescriba $\log_{3} (12,75)$ a la base $e .$

37.

Reescriba $5^{12 x - 17} = 125$ como un logaritmo. A continuación, aplique la fórmula de cambio de base para resolver $x$ utilizando el logaritmo común. Redondee a la milésima más cercana.

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

38.

Resuelva $216^{3 x} \cdot 216^{x} = 36^{3 x + 2}$ reescribiendo cada lado con una base común.

39.

Resuelva $\frac{125}{{(\frac{1}{625})}^{- x - 3}} = 5^{3}$ reescribiendo cada lado con una base común.

40.

Utilice los logaritmos para hallar la solución exacta de $7 \cdot 17^{- 9 x} - 7 = 49.$ Si no hay solución, escriba no hay solución.

41.

Utilice los logaritmos para hallar la solución exacta de $3 e^{6 n - 2} + 1 = - 60.$ Si no hay solución, escriba no hay solución.

42.

Halle la solución exacta para $5 e^{3 x} - 4 = 6$ . Si no hay solución, escriba no hay solución.

43.

Halle la solución exacta para $2 e^{5 x - 2} - 9 = - 56.$ Si no hay solución, escriba no hay solución.

44.

Halle la solución exacta para $5^{2 x - 3} = 7^{x + 1} .$ Si no hay solución, escriba no hay solución.

45.

Halle la solución exacta para $e^{2 x} - e^{x} - 110 = 0 .$ Si no hay solución, escriba no hay solución.

46.

Utilice la definición de logaritmo para resolver. $- 5 \log_{7} (10 n) = 5.$

47.

Utilice la definición de logaritmo para hallar la solución exacta de $9 + 6 \ln (a + 3) = 33.$

48.

Utilice la propiedad biunívoca de los logaritmos para hallar una solución exacta para $\log_{8} (7) + \log_{8} (- 4 x) = \log_{8} (5) .$ Si no hay solución, escriba no hay solución.

49.

Utilice la propiedad biunívoca de los logaritmos para hallar una solución exacta para $\ln (5) + \ln (5 x^{2} - 5) = \ln (56) .$ Si no hay solución, escriba no hay solución.

50.

La fórmula para medir la intensidad del sonido en decibelios $D$ se define por la ecuación $D = 10 \log (\frac{I}{I_{0}}),$ donde $I$ es la intensidad del sonido en vatios por metro cuadrado y $I_{0} = 10^{- 12}$ es el nivel de sonido más bajo que puede oír una persona normal. ¿Cuántos decibelios emite una gran orquesta con una intensidad sonora de $6,3 \cdot 10^{- 3}$ vatios por metro cuadrado?

51.

La población de una ciudad se modela mediante la ecuación $P (t) = 256, 114 e^{0,25 t}$ donde $t$ se mide en años. Si la ciudad sigue creciendo a este ritmo, ¿cuántos años tardará en alcanzar el millón de habitantes?

52.

Halle la función inversa $f^{- 1}$ para la función exponencial $f (x) = 2 \cdot e^{x + 1} - 5.$

53.

Halle la función inversa $f^{- 1}$ para la función logarítmica $f (x) = 0,25 \cdot \log_{2} (x^{3} + 1) .$

Modelos exponenciales y logarítmicos

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un médico prescribe $300$ miligramos de un fármaco que decae en un $17 %$ cada hora.

54.

¿Cuál es semivida del fármaco, aproximada al minuto más cercano?

55.

Escriba un modelo exponencial que represente la cantidad de fármaco que queda en el organismo del paciente después de $t$ horas. A continuación, utilice la fórmula para calcular la cantidad de fármaco que quedaría en el organismo del paciente después de $24$ horas. Redondee a la centésima de gramo más cercana.

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Una sopa con una temperatura interna de $350$ °F se sacó de la estufa para enfriar a una temperatura ambiente de $71 °F$ . Después de quince minutos, la temperatura interna de la sopa era $175 °F .$

56.

Utilice la ley de enfriamiento de Newton para escribir una fórmula que modele esta situación.

57.

¿Cuántos minutos tardará la sopa en enfriarse hasta $85 °F?$

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La ecuación $N (t) = \frac{1.200}{1 + 199 e^{- 0,625 t}}$ modela el número de personas de una escuela que han escuchado un rumor después de $t$ días.

58.

¿Cuántas personas iniciaron el rumor?

59.

A la décima más cercana, ¿cuántos días pasarán antes de que el rumor se extienda a la mitad de la capacidad de carga?

60.

¿Cuál es la capacidad de carga?

En los siguientes ejercicios, introduzca los datos de cada tabla en una calculadora gráfica y grafique los diagramas de dispersión resultantes. Determine si los datos de la tabla representan probablemente una función lineal, exponencial o logarítmica.

61.

x	*f(x)*
1	3,05
2	4,42
3	6,4
4	9,28
5	13,46
6	19,52
7	28,3
8	41,04
9	59,5
10	86,28

62.

x	*f(x)*
0,5	18,05
1	17
3	15,33
5	14,55
7	14,04
10	13,5
12	13,22
13	13,1
15	12,88
17	12,69
20	12,45

63.

Halle la fórmula de una ecuación exponencial que pase por los puntos $(- 2, 100)$ y $(0, 4) .$ Entonces, exprese la fórmula como una ecuación equivalente con base e.

Ajuste de modelos exponenciales a los datos

64.

¿Cuál es la capacidad de carga de una población modelada por la ecuación logística $P (t) = \frac{250, 000}{1 + 499 e^{- 0,45 t}} ?$ ¿Cuál es la población inicial del modelo?

65.

La población de un cultivo de bacterias se modela mediante la ecuación logística $P (t) = \frac{14, 250}{1 + 29 e^{- 0,62 t}},$ donde $t$ está en días. A la décima más cercana, ¿cuántos días tardará el cultivo en alcanzar $75 %$ de su capacidad de carga?

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos en la tabla. Observe la forma del diagrama de dispersión para determinar si los datos se describen mejor mediante un modelo exponencial, logarítmico o logístico. A continuación, utilice la función de regresión adecuada para hallar una ecuación que modele los datos. Cuando sea necesario, redondee los valores a cinco decimales.

66.

x	*f(x)*
1	409,4
2	260,7
3	170,4
4	110,6
5	74
6	44,7
7	32,4
8	19,5
9	12,7
10	8,1

67.

x	*f(x)*
0,15	36,21
0,25	28,88
0,5	24,39
0,75	18,28
1	16,5
1,5	12,99
2	9,91
2,25	8,57
2,75	7,23
3	5,99
3,5	4,81

68.

x	*f(x)*
0	9
2	22,6
4	44,2
5	62,1
7	96,9
8	113,4
10	133,4
11	137,6
15	148,4
17	149,3