Jay Abramson

Conceptos clave

4.1 Funciones exponenciales

La función exponencial se define como aquella con una constante positiva distinta de $1$ elevado a un exponente variable. Vea el Ejemplo 1.
Una función se evalúa al resolver en un valor específico. Vea el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3.
Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se conocen la tasa de crecimiento y el valor inicial. Vea el Ejemplo 4.
Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se conocen los dos puntos de datos del modelo. Vea el Ejemplo 5.
Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se utilizan dos puntos de datos del gráfico del modelo. Vea el Ejemplo 6.
Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se utilizan dos puntos de datos del gráfico y una calculadora. Vea el Ejemplo 7.
El valor de una cuenta en cualquier momento $t$ puede calcularse mediante la fórmula del interés compuesto cuando se conocen el importe de capital, el tipo de interés anual y los periodos de capitalización. Vea el Ejemplo 8.
La inversión inicial de una cuenta puede hallarse con la fórmula del interés compuesto cuando se conocen el valor de la cuenta, el tipo de interés anual, los periodos de capitalización y la duración de la cuenta. Vea el Ejemplo 9.
El número $e$ es una constante matemática que se utiliza a menudo como base de los modelos de crecimiento y decaimiento exponencial en el mundo real. Su aproximación decimal es $e \approx 2,718282.$
Las calculadoras científicas y gráficas tienen la clave $[e^{x}]$ o $[\exp (x)]$ para calcular las potencias de $e .$ Vea el Ejemplo 10.
Los modelos de crecimiento o decaimiento continuo son modelos exponenciales que utilizan $e$ como base. Los modelos de crecimiento y decaimiento continuo pueden encontrarse cuando se conocen el valor inicial y la tasa de crecimiento o decaimiento. Vea el Ejemplo 11 y el Ejemplo 12.

4.2 Gráficos de funciones exponenciales

El gráfico de la función $f (x) = b^{x}$ tiene una intersección en y en $(0, 1),$ dominio $(- \infty, \infty),$ rango $(0, \infty),$ y asíntota horizontal $y = 0 .$ Vea el Ejemplo 1.
Si los valores de $b > 1,$ la función es creciente. La cola izquierda del gráfico se acercará a la asíntota $y = 0,$ y la cola derecha aumentará sin límite.
Si los valores de $0 < b < 1,$ la función es decreciente. La cola izquierda del gráfico aumentará sin límite, y la cola derecha se acercará a la asíntota $y = 0 .$
La ecuación $f (x) = b^{x} + d$ representa el desplazamiento vertical de la función matriz $f (x) = b^{x} .$
La ecuación $f (x) = b^{x + c}$ representa el desplazamiento horizontal de la función matriz $f (x) = b^{x} .$ Vea el Ejemplo 2.
Las soluciones aproximadas de la ecuación $f (x) = b^{x + c} + d$ se pueden encontrar con una calculadora gráfica. Vea el Ejemplo 3.
La ecuación $f (x) = a b^{x},$ donde $a > 0,$ representa estiramiento vertical, si $| a | > 1$ o compresión, si $0 < | a | < 1$ de la función matriz $f (x) = b^{x} .$ Vea el Ejemplo 4.
Cuando la función matriz $f (x) = b^{x}$ se multiplica por $- 1,$ el resultado, $f (x) = - b^{x},$ es una reflexión alrededor del eje x. Cuando la entrada se multiplica por $- 1,$ el resultado, $f (x) = b^{- x},$ es una reflexión alrededor del eje y. Vea la Ejemplo 5.
Todas las traslaciones de la función exponencial se pueden resumir en la ecuación general $f (x) = a b^{x + c} + d .$ Vea la Tabla 3.
Utilizando la ecuación general $f (x) = a b^{x + c} + d,$ podemos escribir la ecuación de una función dada su descripción. Vea el Ejemplo 6.

4.3 Funciones logarítmicas

La inversa de una función exponencial es una función logarítmica, y la inversa de una función logarítmica es una función exponencial.
Las ecuaciones logarítmicas se pueden escribir en una forma exponencial equivalente, utilizando la definición de logaritmo. Vea el Ejemplo 1.
Las ecuaciones exponenciales pueden escribirse en su forma logarítmica equivalente utilizando la definición de logaritmo. Vea el Ejemplo 2.
Las funciones logarítmicas con base $b$ pueden evaluarse mentalmente utilizando el conocimiento previo de las potencias de $b .$ Vea el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
Los logaritmos comunes pueden evaluarse mentalmente utilizando los conocimientos previos de las potencias de $10.$ Vea el Ejemplo 5.
Cuando los logaritmos comunes no pueden evaluarse mentalmente, se utiliza la calculadora. Vea el Ejemplo 6.
Los problemas exponenciales del mundo real con base $10$ pueden reescribirse como un logaritmo común y luego evaluarse con la calculadora. Vea el Ejemplo 7.
Los logaritmos naturales se pueden evaluar con la calculadora. Ejemplo 8.

4.4 Gráficos de funciones logarítmicas

Para hallar el dominio de una función logarítmica, establezca una inecuación que muestre el argumento mayor que cero, y resuelva para $x .$ Vea el Ejemplo 1 y el Ejemplo 2
El gráfico de la función matriz f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) tiene una intersección en x en ( 1,0 ), ( 1,0 ), dominio ( 0,∞ ), ( 0,∞ ), rango ( -∞,∞ ), ( -∞,∞ ), asíntota vertical x=0, x=0, y
- si $b > 1,$ la función es creciente.
- si $0 < b < 1,$ la función es decreciente.
Vea el Ejemplo 3.
La ecuación f(x)= log b ( x+c ) f(x)= log b ( x+c ) desplaza la función matriz y= log b ( x ) y= log b ( x ) horizontalmente
- a la izquierda $c$ unidades si $c > 0 .$
- a la derecha $c$ unidades si $c < 0 .$
Vea el Ejemplo 4.
La ecuación f(x)= log b ( x )+d f(x)= log b ( x )+d desplaza la función matriz y= log b ( x ) y= log b ( x ) verticalmente
- hacia arriba $d$ unidades si $d > 0 .$
- hacia abajo $d$ unidades si $d < 0 .$
Vea el Ejemplo 5.
Para cualquier constante a>0, a>0, la ecuación f(x)=a log b ( x ) f(x)=a log b ( x )
- estira la función matriz $y = \log_{b} (x)$ verticalmente por un factor de $a$ si $| a | > 1.$
- comprime la función matriz $y = \log_{b} (x)$ verticalmente por un factor de $a$ si $| a | < 1.$
Vea el Ejemplo 6 y el Ejemplo 7.
Cuando la función matriz y= log b ( x ) y= log b ( x ) se multiplica por −1, −1, el resultado es una reflexión alrededor del eje x. Cuando la entrada se multiplica por −1, −1, el resultado es una reflexión alrededor del eje y.
- La ecuación $f (x) = - \log_{b} (x)$ representa una reflexión de la función matriz alrededor del eje x.
- La ecuación $f (x) = \log_{b} (- x)$ representa una reflexión de la función matriz alrededor del eje y.
Vea el Ejemplo 8.
- Se puede utilizar una calculadora gráfica para determinar aproximadamente las soluciones de algunas ecuaciones logarítmicas. Vea el Ejemplo 9.
Todas las traslaciones de la función logarítmica se pueden resumir en la ecuación general $f (x) = a \log_{b} (x + c) + d .$ Vea la Tabla 4.
Dada una ecuación con la forma general $f (x) = a \log_{b} (x + c) + d,$ podemos identificar la asíntota vertical $x = - c$ para la transformación. Vea el Ejemplo 10.
Utilizando la ecuación general $f (x) = a \log_{b} (x + c) + d,$ podemos escribir la ecuación de una función logarítmica dado su gráfico. Vea el Ejemplo 11.

4.5 Propiedades logarítmicas

Podemos utilizar la regla del producto de los logaritmos para reescribir el logaritmo de un producto como la suma de logaritmos. Vea el Ejemplo 1.
Podemos utilizar la regla del cociente de los logaritmos para reescribir el logaritmo de un cociente como la diferencia de logaritmos. Vea el Ejemplo 2.
Podemos utilizar la regla de la potencia para los logaritmos con el objeto de reescribir el logaritmo de una potencia como el producto del exponente y el logaritmo de su base. Vea el Ejemplo 3, el Ejemplo 4 y el Ejemplo 5.
Podemos utilizar la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la potencia juntas para combinar o expandir un logaritmo con una entrada compleja. Vea el Ejemplo 6, el Ejemplo 7 y el Ejemplo 8.
Las reglas de los logaritmos también se pueden utilizar para condensar sumas, diferencias y productos con la misma base como un solo logaritmo. Vea el Ejemplo 9, el Ejemplo 10, el Ejemplo 11 y el Ejemplo 12.
Podemos convertir un logaritmo con cualquier base en un cociente de logaritmos con cualquier otra base mediante la fórmula de cambio de base. Vea el Ejemplo 13.
La fórmula de cambio de base se utiliza a menudo para reescribir un logaritmo con una base distinta de 10 y $e$ como el cociente de los logaritmos naturales o comunes. De esta manera se puede utilizar la calculadora para evaluar. Vea el Ejemplo 14.

4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Podemos resolver muchas ecuaciones exponenciales con las reglas de los exponentes para reescribir cada lado como una potencia con la misma base. A continuación, utilizamos el hecho de que las funciones exponenciales son biunívocas para igualar los exponentes y resolver la incógnita.
Cuando se nos da una ecuación exponencial en la que las bases se muestran explícitamente iguales, igualamos los exponentes y resolvemos la incógnita. Vea el Ejemplo 1.
Cuando se nos da una ecuación exponencial en la que las bases no se muestran explícitamente iguales, reescribimos cada lado de la ecuación como potencias de la misma base, luego igualamos los exponentes y resolvemos la incógnita. Vea el Ejemplo 2, el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
Cuando una ecuación exponencial no pueda reescribirse con una base común, resuélvela al tomar el logaritmo de cada lado. Vea el Ejemplo 5.
Podemos resolver ecuaciones exponenciales con base $e,$ al aplicar el logaritmo natural de ambos lados porque las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas entre sí. Vea el Ejemplo 6 y el Ejemplo 7.
Después de resolver una ecuación exponencial, compruebe cada solución en la ecuación original para detectar y eliminar cualquier solución extraña. Vea el Ejemplo 8.
Cuando se da una ecuación de la forma $\log_{b} (S) = c,$ donde $S$ es una expresión algebraica, podemos utilizar la definición de logaritmo para reescribir la ecuación como la ecuación exponencial equivalente $b^{c} = S,$ y resolver la incógnita. Vea el Ejemplo 9 y el Ejemplo 10.
También podemos utilizar la representación gráfica para resolver ecuaciones con la forma $\log_{b} (S) = c .$ Graficamos ambas ecuaciones $y = \log_{b} (S)$ y de $y = c$ en el mismo plano de coordenadas e identificamos la solución como el valor de x del punto de intersección. Vea el Ejemplo 11.
Cuando se da una ecuación de la forma $\log_{b} S = \log_{b} T,$ donde $S$ y $T$ son expresiones algebraicas, podemos utilizar la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver la ecuación $S = T$ para la incógnita. Vea el Ejemplo 12.
Al combinar las habilidades aprendidas en esta sección y en las anteriores, podemos resolver ecuaciones que modelen situaciones del mundo real, tanto si la incógnita está en un exponente como en el argumento de un logaritmo. Vea el Ejemplo 13.

4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos

La función exponencial básica es $f (x) = a b^{x} .$ Si $b > 1,$ tenemos un crecimiento exponencial; si $0 < b < 1,$ tenemos un decaimiento exponencial.
También podemos escribir esta fórmula en términos de crecimiento continuo como $A = A_{0} e^{k x},$ donde $A_{0}$ es el valor inicial. Si los valores de $A_{0}$ es positivo, entonces tenemos un crecimiento exponencial cuando $k > 0$ y el decaimiento exponencial cuando $k < 0 .$ Vea el Ejemplo 1.
En general, resolvemos los problemas que implican crecimiento o decaimiento exponencial en dos pasos. En primer lugar, establecemos un modelo y lo utilizamos para calcular los parámetros. A continuación, utilizamos la fórmula con estos parámetros para predecir el crecimiento y el decaimiento. Vea el Ejemplo 2.
Podemos calcular la edad, $t,$ de un artefacto orgánico al medir la cantidad, $k,$ de carbono 14 que queda en el artefacto y utilizar la fórmula $t = \frac{\ln (k)}{- 0,000121}$ para resolver para $t .$ Vea el Ejemplo 3.
Dado el tiempo de duplicación o el tiempo medio de una sustancia, podemos hallar una función que represente su crecimiento o decaimiento exponencial. Vea el Ejemplo 4.
Podemos utilizar la ley de enfriamiento de Newton para calcular el tiempo que tardará un objeto en enfriarse hasta alcanzar una temperatura deseada, o para calcular qué temperatura tendrá un objeto después de un tiempo determinado. Vea el Ejemplo 5.
Podemos utilizar las funciones de crecimiento logístico para modelar situaciones del mundo real en las que la tasa de crecimiento cambia con el tiempo, como el crecimiento demográfico, la propagación de enfermedades y la difusión de rumores. Vea el Ejemplo 6.
Podemos utilizar los datos del mundo real, recabados a lo largo del tiempo, para observar las tendencias. El conocimiento de los gráficos lineales, exponenciales, logarítmicos y logísticos permite elaborar los modelos que mejor se ajusten a nuestros datos. Vea el Ejemplo 7.
Cualquier función exponencial con la forma $y = a b^{x}$ puede reescribirse como una función exponencial equivalente con la forma $y = A_{0} e^{k x}$ donde $k = \ln b .$ Vea el Ejemplo 8.

4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos

La regresión exponencial se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento comienza lentamente y luego se acelera rápidamente sin límite, o en las que el decaimiento comienza rápidamente y luego desacelera para acercarse cada vez más a cero.
Utilizamos el comando "ExpReg" en una herramienta gráfica para ajustar una función de la forma $y = a b^{x}$ a un conjunto de puntos de datos. Vea el Ejemplo 1.
La regresión logarítmica se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento o el decaimiento se aceleran rápidamente al principio y luego desaceleran con el paso del tiempo.
Utilizamos el comando "LnReg" en una herramienta gráfica para ajustar una función de la forma $y = a + b \ln (x)$ a un conjunto de puntos de datos. Vea el Ejemplo 2.
La regresión logística se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento se acelera rápidamente al principio y luego desacelera de forma constante a medida que la función se acerca a un límite superior.
Utilizamos el comando "Logistic" en una herramienta gráfica para ajustar una función de la forma $y = \frac{c}{1 + a e^{- b x}}$ a un conjunto de puntos de datos. Vea el Ejemplo 3.