Cap. 4Ecuaciones clave - Precálculo 2ed

definición de la función exponencial	$f (x) = b^{x}, donde b > 0, b \neq 1$
definición de crecimiento exponencial	$f (x) = a b^{x}, donde a > 0, b > 0, b \neq 1$
fórmula del interés compuesto	$\begin{array}{l} A (t) = P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t}, donde \\ A (t) es el valor de la cuenta en el tiempo t \\ t es el número de años \\ P es la inversión inicial, a menudo denominada capital \\ r es la tasa anual equivalente (TAE) o tipo nominal \\ n es el número de periodos de capitalización en un año \end{array}$
fórmula de crecimiento continuo	$A (t) = a e^{r t}, donde$ $t$ es el número de periodos de tiempo unitarios de crecimiento $a$ es el importe inicial (en la fórmula de capitalización continua, a se sustituye por P, que es el importe de capital) $e$ es la constante matemática, $e \approx 2,718282$

Forma general para la traslación de la función matriz

f (x) = b^{x}

f (x) = a b^{x + c} + d

Definición de la función logarítmica	Para $x > 0, b > 0, b \neq 1,$ $y = \log_{b} (x)$ si y solo si $b^{y} = x .$
Definición del logaritmo común	Para $x > 0,$ $y = \log (x)$ si y solo si $10^{y} = x .$
Definición del logaritmo natural	Para $x > 0,$ $y = \ln (x)$ si y solo si $e^{y} = x .$

Forma general de la traslación de la función logarítmica matriz

f (x) = \log_{b} (x)

f (x) = a \log_{b} (x + c) + d

La regla del producto para los logaritmos	$\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$
La regla del cociente para los logaritmos	$\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} M - \log_{b} N$
La regla de la potencia para los logaritmos	$\log_{b} (M^{n}) = n \log_{b} M$
La fórmula de cambio de base	$\log_{b} M = \frac{\log_{n} M}{\log_{n} b} n > 0, n \neq 1, b \neq 1$

Propiedad biunívoca de las funciones exponenciales	Para cualquier expresión algebraica $S$ y $T$ y cualquier número real positivo $b,$ donde $b^{S} = b^{T}$ si y solo si $S = T .$
Definición de logaritmo	Para cualquier expresión algebraica S y números reales positivos $b$ y $c,$ donde $b \neq 1,$ $\log_{b} (S) = c$ si y solo si $b^{c} = S .$
Propiedad biunívoca de las funciones logarítmicas	Para cualquier expresión algebraica S y T y cualquier número real positivo $b,$ donde $b \neq 1,$ $\log_{b} S = \log_{b} T$ si y solo si $S = T .$

Fórmula de semivida	Si los valores de $A = A_{0} e^{k t},$ $k < 0,$ la semivida es $t = - \frac{\ln (2)}{k} .$
Datación por carbono 14	$t = \frac{\ln (\frac{A}{A_{0}})}{- 0,000121} .$ $A_{0}$ es la cantidad de carbono 14 cuando la planta o el animal murió $A$ es la cantidad de carbono 14 que queda en la actualidad $t$ es la edad del fósil en años
Fórmula del tiempo de duplicación	Si los valores de $A = A_{0} e^{k t},$ $k > 0,$ el tiempo de duplicación es $t = \frac{\ln 2}{k}$
Ley de enfriamiento de Newton	$T (t) = A e^{k t} + T_{s},$ donde $T_{s}$ es la temperatura ambiente, $A = T (0) - T_{s},$ y $k$ es la tasa continua de enfriamiento.