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Precálculo 2ed

Capítulo 5

Precálculo 2edCapítulo 5

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Inténtelo

5.1 Ángulos

1.
Gráfico de un ángulo de 240 grados.
2.

3π 2 3π 2

3.

−135°

4.

7π 10 7π 10

5.

α=150° α=150°

6.

β=60° β=60°

7.

7π 6 7π 6

8.

215π 18 =37.525 al cuadrado 215π 18 =37.525 al cuadrado

9.

1,88

10.

-3π 2 -3π 2 rad/s

11.

1.655 kilómetros por hora

5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno

1.

cos(t)=- 2 2 ,sen(t)= 2 2 cos(t)=- 2 2 ,sen(t)= 2 2

2.

cos(π)=-1, cos(π)=-1, sen(π)=0 sen(π)=0

3.

sen(t)=- 7 25 sen(t)=- 7 25

4.

aproximadamente 0,866025403

5.

π 3 π 3

6.
  1. cos(315°)= 2 2 , sen(315°)= 2 2 cos(315°)= 2 2 , sen(315°)= 2 2
  2. cos(- π 6 )= 3 2 , sen( - π 6 )=- 1 2 cos(- π 6 )= 3 2 , sen( - π 6 )=- 1 2
7.

( 1 2 ,- 3 2 ) ( 1 2 ,- 3 2 )

5.3 Las otras funciones trigonométricas

1.

sent=- 2 2 sent=- 2 2 , cost= 2 2 cost= 2 2 , tant=-1tant=-1, sect= 2 sect= 2 , csct=- 2 csct=- 2 , cott=-1 cott=-1

2.

sen π 3 = 3 2 sen π 3 = 3 2 , cos π 3 = 1 2 cos π 3 = 1 2 , tan π 3 = 3 tan π 3 = 3 , sec π 3 =2sec π 3 =2, csc π 3 = 2 3 3 csc π 3 = 2 3 3 , cot π 3 = 3 3 cot π 3 = 3 3

3.

sen( 7π 4 )= 2 2 ,cos( 7π 4 )= 2 2 ,tan( 7π 4 )=1, sen( 7π 4 )= 2 2 ,cos( 7π 4 )= 2 2 ,tan( 7π 4 )=1,
sec( 7π 4 )= 2 ,csc( 7π 4 )= 2 ,cot( 7π 4 )=1 sec( 7π 4 )= 2 ,csc( 7π 4 )= 2 ,cot( 7π 4 )=1

4.

- 3 - 3

5.

-2 -2

6.

sent sent

7.

cost=- 8 17 ,sent= 15 17 ,tant=- 15 8 cost=- 8 17 ,sent= 15 17 ,tant=- 15 8
csct= 17 15 ,cott=- 8 15 csct= 17 15 ,cott=- 8 15

8.

sent=-1,cost=0,tant=Indefinida sect= Indefinido,csct=-1,cott=0 sent=-1,cost=0,tant=Indefinida sect= Indefinido,csct=-1,cott=0

9.

sect= 2 ,csct= 2 ,tant=1,cott=1 sect= 2 ,csct= 2 ,tant=1,cott=1

10.

2,414 2,414

5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos

1.

7 25 7 25

2.

sitt= 33 65 ,cost= 56 65 ,tant= 33 56 , sect= 65 56 ,csct= 65 33 ,cott= 56 33 sitt= 33 65 ,cost= 56 65 ,tant= 33 56 , sect= 65 56 ,csct= 65 33 ,cott= 56 33

3.

sen( π 4 )= 1 2 ,cos( π 4 )= 1 2 ,tan( π 4 )=1, sen( π 4 )= 1 2 ,cos( π 4 )= 1 2 ,tan( π 4 )=1,
sec( π 4 )= 2 ,csc( π 4 )= 2 ,cot( π 4 )=1 sec( π 4 )= 2 ,csc( π 4 )= 2 ,cot( π 4 )=1

4.

2

5.

adyacente=10; adyacente=10; opuesto=10 3 opuesto=10 3 ; el ángulo que falta es π 6 π 6

6.

Unos 52 pies

5.1 Ejercicios de sección

1.
Gráfico de un círculo con un ángulo inscrito, donde se muestra el lado inicial, el lado terminal y el vértice.
3.

El hecho de que el ángulo sea positivo o negativo determina la dirección. Un ángulo positivo se dibuja en el sentido contrario a las agujas del reloj, y un ángulo negativo se dibuja en el sentido de las agujas del reloj.

5.

La velocidad lineal es una medida que se obtiene al calcular la distancia de un arco en comparación con el tiempo. La velocidad angular es una medida que se obtiene al calcular el ángulo de un arco comparado con el tiempo.

7.
Gráfico de un círculo con un ángulo inscrito.
9.
Gráfico de un círculo con un ángulo inscrito.
11.
Gráfico de un círculo con un ángulo inscrito.
13.
Gráfico de un círculo con un ángulo inscrito.
15.
Gráfico de un círculo con un ángulo inscrito.
17.

240°

Gráfico de un círculo con un ángulo inscrito.
19.

4π 3 4π 3

Gráfico de un círculo que muestra la equivalencia de dos ángulos.
21.

2π 3 2π 3

Gráfico de un círculo que muestra la equivalencia de dos ángulos.
23.

7π 2 11,00  in 2 7π 2 11,00  in 2

25.

81π 20 12,72  cm 2 81π 20 12,72  cm 2

27.

20°

29.

60°

31.

−75°

33.

π 2 π 2 radianes

35.

-3π -3π radianes

37.

π π radianes

39.

5π 6 5π 6 radianes

41.

5,02π 3 5,26 5,02π 3 5,26 millas

43.

25π 9 8,73 25π 9 8,73 centímetros

45.

21π 10 6,60 21π 10 6,60 metros

47.

104,7198 cm2

49.

0,7697 in2

51.

250°

53.

320°

55.

4π 3 4π 3

57.

8π 9 8π 9

59.

1320 rad 210,085 rpm

61.

7 in/s, 4,77 rpm, 28,65 deg/s

63.

1.809.557,37 mm/min=30,16 m/s 1.809.557,37 mm/min=30,16 m/s

65.

5,76 5,76 millas

67.

120° 120°

69.

794 millas por hora

71.

2.234 millas por hora

73.

11,5 pulgadas

5.2 Ejercicios de sección

1.

El círculo unitario es un círculo de radio 1 centrado en el origen.

3.

Los ángulos coterminales comparten el mismo lado terminal. Un ángulo de referencia es el tamaño del ángulo agudo más pequeño, t, t, formado por el lado terminal del ángulo t t y el eje horizontal.

5.

Los valores del seno son iguales.

7.

I

9.

IV

11.

3 2 3 2

13.

1 2 1 2

15.

2 2 2 2

17.

0

19.

−1

21.

3 2 3 2

23.

60° 60°

25.

80° 80°

27.

45° 45°

29.

π 3 π 3

31.

π 3 π 3

33.

π 8 π 8

35.

60°, 60°, cuadrante IV, sen(300°)=- 3 2 ,cos(300°)= 1 2 sen(300°)=- 3 2 ,cos(300°)= 1 2

37.

45°, 45°, cuadrante II, sen(135°)= 2 2 , sen(135°)= 2 2 , cos(135°)=- 2 2 cos(135°)=- 2 2

39.

60°, 60°, cuadrante II, sen(120°)= 3 2 , sen(120°)= 3 2 , cos(120°)=- 1 2 cos(120°)=- 1 2

41.

30°, 30°, cuadrante II, sen(150°)= 1 2 , sen(150°)= 1 2 , cos(150°)=- 3 2 cos(150°)=- 3 2

43.

π 6 , π 6 , Cuadrante III, sen( 7π 6 )=- 1 2 , sen( 7π 6 )=- 1 2 , cos( 7π 6 )=- 3 2 cos( 7π 6 )=- 3 2

45.

π 4 , π 4 , cuadrante II, sen( 3π 4 )= 2 2 , sen( 3π 4 )= 2 2 , cos( 4π 3 )=- 2 2 cos( 4π 3 )=- 2 2

47.

π 3 , π 3 , cuadrante II, sen( 2π 3 )= 3 2 , sen( 2π 3 )= 3 2 , cos( 2π 3 )=- 1 2 cos( 2π 3 )=- 1 2

49.

π 4 , π 4 , cuadrante IV, sen( 7π 4 )=- 2 2 , sen( 7π 4 )=- 2 2 , cos( 7π 4 )= 2 2 cos( 7π 4 )= 2 2

51.

77 9 77 9

53.

15 4 15 4

55.

( 10,10 3 ) ( 10,10 3 )

57.

( 2,778,15,757 ) ( 2,778,15,757 )

59.

[ 1,1 ] [ 1,1 ]

61.

sent= 1 2 ,cost=- 3 2 sent= 1 2 ,cost=- 3 2

63.

sent=- 2 2 ,cost=- 2 2 sent=- 2 2 ,cost=- 2 2

65.

sent= 3 2 ,cost=- 1 2 sent= 3 2 ,cost=- 1 2

67.

sent=- 2 2 ,cost= 2 2 sent=- 2 2 ,cost= 2 2

69.

sent=0,cost=-1 sent=0,cost=-1

71.

sent=0,596,cost=0,803 sent=0,596,cost=0,803

73.

sent= 1 2 ,cost= 3 2 sent= 1 2 ,cost= 3 2

75.

sent=- 1 2 ,cost= 3 2 sent=- 1 2 ,cost= 3 2

77.

sent=0,761,cost=0,649 sent=0,761,cost=0,649

79.

sent=1,cost=0 sent=1,cost=0

81.

-0,1736

83.

0,9511

85.

-0,7071

87.

-0,1392

89.

-0,7660

91.

2 4 2 4

93.

6 4 6 4

95.

2 4 2 4

97.

2 4 2 4

99.

0

101.

( 0,1 ) ( 0,1 )

103.

37,5 segundos, 97,5 segundos, 157,5 segundos, 217,5 segundos, 277,5 segundos, 337,5 segundos

5.3 Ejercicios de sección

1.

Sí, cuando el ángulo de referencia es π 4 π 4 y el lado terminal del ángulo está en los cuadrantes I y III. Así, en x= π 4 , 5π 4 , x= π 4 , 5π 4 , los valores del seno y del coseno son iguales.

3.

Sustituya el seno del ángulo por y y en el teorema de Pitágoras x 2 + y 2 =1. x 2 + y 2 =1. Resuelva para x x y tome la solución negativa.

5.

Las salidas de la tangente y la cotangente se repetirán cada π π unidades.

7.

2 3 3 2 3 3

9.

3 3

11.

2 2

13.

1

15.

2

17.

3 3 3 3

19.

- 2 3 3 - 2 3 3

21.

3 3

23.

- 2 - 2

25.

−1

27.

−2

29.

- 3 3 - 3 3

31.

2

33.

3 3 3 3

35.

−2

37.

−1

39.

Si los valores de sent=- 2 2 3 sent=- 2 2 3 , sect=-3sect=-3, csct=- 3 2 4 csct=- 3 2 4 , tant=2 2 tant=2 2 , cott= 2 4 cott= 2 4

41.

sect=2 sect=2, csct= 2 3 3 csct= 2 3 3 , tant= 3 tant= 3 , cott= 3 3 cott= 3 3

43.

- 2 2 - 2 2

45.

3,1

47.

1,4

49.

sent= 2 2 ,cost= 2 2 ,tant=1,cott=1,sect= 2 ,csct= 2 sent= 2 2 ,cost= 2 2 ,tant=1,cott=1,sect= 2 ,csct= 2

51.

sent=- 3 2 sent=- 3 2 , cost=- 1 2 cost=- 1 2 , tant= 3 ,cott= 3 3 tant= 3 ,cott= 3 3 , sect=-2sect=-2, csct=- 2 3 3 csct=- 2 3 3

53.

–0,228

55.

–2,414

57.

1,414

59.

1,540

61.

1,556

63.

sen( t )0,79 sen( t )0,79

65.

csct1,16 csct1,16

67.

números

69.

números

71.

sent cost =tant sent cost =tant

73.

13,77 horas, periodo: 1.000π 1.000π

75.

7,73 pulgadas

5.4 Ejercicios de sección

1.
Triángulo rectángulo con el lado opuesto, el adyacente y la hipotenusa marcados.
3.

La tangente de un ángulo es el cociente entre el lado opuesto y el lado adyacente.

5.

Por ejemplo, el seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento; el coseno de un ángulo es igual al seno de su complemento.

7.

π 6 π 6

9.

π 4 π 4

11.

b= 20 3 3 ,c= 40 3 3 b= 20 3 3 ,c= 40 3 3

13.

a=10.000,c=10,000,5 a=10.000,c=10,000,5

15.

b= 5 3 3 ,c= 10 3 3 b= 5 3 3 ,c= 10 3 3

17.

5 29 29 5 29 29

19.

5 2 5 2

21.

29 2 29 2

23.

5 41 41 5 41 41

25.

5 4 5 4

27.

41 4 41 4

29.

c=14,b=7 3 c=14,b=7 3

31.

a=15,b=15 a=15,b=15

33.

b=9,9970,c=12,2041 b=9,9970,c=12,2041

35.

a=2,0838,b=11,8177 a=2,0838,b=11,8177

37.

a=55,9808,c=57,9555 a=55,9808,c=57,9555

39.

a=46,6790,b=17,9184 a=46,6790,b=17,9184

41.

a=16,4662,c=16,8341 a=16,4662,c=16,8341

43.

188,3159

45.

200,6737

47.

498,3471 pies

49.

1.060,09 pies

51.

27,372 pies

53.

22,6506 pies

55.

368,7633 pies

Ejercicios de repaso

1.

45° 45°

3.

7π 6 7π 6

5.

10,385 metros

7.

60° 60°

9.

2π 11 2π 11

11.
Gráfico de un círculo con un ángulo negativo inscrito.
13.
Un gráfico de un círculo con un ángulo inscrito.
15.

1.036,73 millas por hora

17.

3 2 3 2

19.

-1

21.

π 4 π 4

23.

- 2 2 - 2 2

25.

[ 1,1 ] [ 1,1 ]

27.

1

29.

2 2

31.

2 2

33.

0,6

35.

2 2 2 2 o 2 2 2 2

37.

seno, cosecante, tangente, cotangente

39.

3 3 3 3

41.

0

43.

b=8,c=10 b=8,c=10

45.

11 157 157 11 157 157

47.

a=4,b=4 a=4,b=4

49.

14,0954 pies

Examen de práctica

1.

150° 150°

3.

6,283 centímetros

5.

15° 15°

7.
Un gráfico de un círculo con un ángulo inscrito.
9.

3,351 pies por segundo, 2π 75 2π 75 radianes por segundo

11.

- 3 2 - 3 2

13.

[ 1,1 ] [ 1,1 ]

15.

3 3

17.

3 3 3 3

19.

3 2 3 2

21.

π 3 π 3

23.

a= 9 2 ,b= 9 3 2 a= 9 2 ,b= 9 3 2

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