Capítulo 5

El hecho de que el ángulo sea positivo o negativo determina la dirección. Un ángulo positivo se dibuja en el sentido contrario a las agujas del reloj, y un ángulo negativo se dibuja en el sentido de las agujas del reloj.

La velocidad lineal es una medida que se obtiene al calcular la distancia de un arco en comparación con el tiempo. La velocidad angular es una medida que se obtiene al calcular el ángulo de un arco comparado con el tiempo.

240°

$\frac{4\pi }{3}$

$\frac{2\pi }{3}$

$\frac{7\pi }{2}\approx \mathrm{11,00}{\text{ in}}^2$

$\frac{81\pi }{20}\approx \mathrm{12,72}{\text{ cm}}^2$

20°

60°

−75°

$\frac{\pi }{2}$ radianes

$-3\pi$ radianes

$\pi$ radianes

$\frac{5\pi }{6}$ radianes

$\frac{\mathrm{5,02}\pi }{3}\approx \mathrm{5,26}$ millas

$\frac{25\pi }{9}\approx \mathrm{8,73}$ centímetros

$\frac{21\pi }{10}\approx \mathrm{6,60}$ metros

104,7198 cm²

0,7697 in²

250°

320°

$\frac{4\pi }{3}$

$\frac{8\pi }{9}$

1320 rad 210,085 rpm

7 in/s, 4,77 rpm, 28,65 deg/s

$\mathrm{1.809.557,37}\text{ mm/min}=\mathrm{30,16}\text{ m/s}$

$\mathrm{5,76}$ millas

$120°$

794 millas por hora

2.234 millas por hora

11,5 pulgadas

El círculo unitario es un círculo de radio 1 centrado en el origen.

Los ángulos coterminales comparten el mismo lado terminal. Un ángulo de referencia es el tamaño del ángulo agudo más pequeño, $t,$ formado por el lado terminal del ángulo $t$ y el eje horizontal.

Los valores del seno son iguales.

I

IV

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

0

−1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\mathrm{60°}$

$\mathrm{80°}$

$\mathrm{45°}$

$\frac{\pi }{3}$

$\frac{\pi }{3}$

$\frac{\pi }{8}$

$\mathrm{60°},$ cuadrante IV, $\text{sen}(\mathrm{300°})=-\frac{\sqrt{3}}{2},\cos (\mathrm{300°})=\frac{1}{2}$

$\mathrm{45°},$ cuadrante II, $\text{sen}(\mathrm{135°})=\frac{\sqrt{2}}{2},$ $\cos (\mathrm{135°})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\mathrm{60°},$ cuadrante II, $\text{sen}(\mathrm{120°})=\frac{\sqrt{3}}{2},$ $\cos (\mathrm{120°})=-\frac{1}{2}$

$\mathrm{30°},$ cuadrante II, $\text{sen}(\mathrm{150°})=\frac{1}{2},$ $\cos (\mathrm{150°})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\pi }{6},$ Cuadrante III, $\text{sen}(\frac{7\pi }{6})=-\frac{1}{2},$ $\text{cos}(\frac{7\pi }{6})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\pi }{4},$ cuadrante II, $\text{sen}(\frac{3\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2},$ $\cos \left(\frac{4\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt[]{2}}{2}$

$\frac{\pi }{3},$ cuadrante II, $\text{sen}(\frac{2\pi }{3})=\frac{\sqrt{3}}{2},$ $\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$

$\frac{\pi }{4},$ cuadrante IV, $\text{sen}(\frac{7\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2},$ $\text{cos}(\frac{7\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{77}}{9}$

$-\frac{\sqrt{15}}{4}$

$\left(-10,10\sqrt{3}\right)$

$\left(–\mathrm{2,778},\mathrm{15,757}\right)$

$\left[–1,1\right]$

$\mathrm{sen}t=\frac{1}{2},\cos t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\mathrm{sen}t=-\frac{\sqrt{2}}{2},\cos t=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\mathrm{sen}t=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos t=-\frac{1}{2}$

$\mathrm{sen}t=-\frac{\sqrt{2}}{2},\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\mathrm{sen}t=0,\cos t=-1$

$\mathrm{sen}t=-\mathrm{0,596},\cos t=\mathrm{0,803}$

$\mathrm{sen}t=\frac{1}{2},\cos t=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\mathrm{sen}t=-\frac{1}{2},\cos t=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\mathrm{sen}t=\mathrm{0,761},\cos t=-\mathrm{0,649}$

$\mathrm{sen}t=1,\cos t=0$

-0,1736

0,9511

-0,7071

-0,1392

-0,7660

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

$-\frac{\sqrt{6}}{4}$

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

0

$\left(0,–1\right)$

37,5 segundos, 97,5 segundos, 157,5 segundos, 217,5 segundos, 277,5 segundos, 337,5 segundos

Sí, cuando el ángulo de referencia es $\frac{\pi }{4}$ y el lado terminal del ángulo está en los cuadrantes I y III. Así, en $x=\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4},$ los valores del seno y del coseno son iguales.

Sustituya el seno del ángulo por $y$ en el teorema de Pitágoras $x^2+y^2=1.$ Resuelva para $x$ y tome la solución negativa.

Las salidas de la tangente y la cotangente se repetirán cada $\pi$ unidades.

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\sqrt{3}$

$\sqrt{2}$

1

2

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\sqrt{3}$

$-\sqrt{2}$

−1

−2

$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

2

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

−2

−1

Si los valores de $\mathrm{sen}t=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\sec t=-3$, $\csc t=-\frac{3\sqrt{2}}{4}$, $\tan t=2\sqrt{2}$, $\cot t=\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sec t=2$, $\csc t=\frac{2\sqrt{3}}{3}$, $\tan t=\sqrt{3}$, $\cot t=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$-\frac{\sqrt{2}}{2}$

3,1

1,4

$\mathrm{sen}t=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2},\tan t=1,\cot t=1,\sec t=\sqrt{2},\csc t=\sqrt{2}$

$\mathrm{sen}t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos t=-\frac{1}{2}$, $\tan t=\sqrt{3},\cot t=\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\sec t=-2$, $\csc t=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

–0,228

–2,414

1,414

1,540

1,556

$\mathrm{sen}\left(t\right)\approx \mathrm{0,79}$

$\csc t\approx \mathrm{1,16}$

números

números

$\frac{\mathrm{sen}t}{\cos t}=\tan t$

13,77 horas, periodo: $1.000\pi$

7,73 pulgadas

La tangente de un ángulo es el cociente entre el lado opuesto y el lado adyacente.

Por ejemplo, el seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento; el coseno de un ángulo es igual al seno de su complemento.

$\frac{\pi }{6}$

$\frac{\pi }{4}$

$b=\frac{20\sqrt{3}}{3},c=\frac{40\sqrt{3}}{3}$

$a=10.000,c=10,\mathrm{000,5}$

$b=\frac{5\sqrt{3}}{3},c=\frac{10\sqrt{3}}{3}$

$\frac{5\sqrt{29}}{29}$

$\frac{5}{2}$

$\frac{\sqrt{29}}{2}$

$\frac{5\sqrt{41}}{41}$

$\frac{5}{4}$

$\frac{\sqrt{41}}{4}$

$c=14,b=7\sqrt{3}$

$a=15,b=15$

$b=\mathrm{9,9970},c=\mathrm{12,2041}$

$a=\mathrm{2,0838},b=\mathrm{11,8177}$

$a=\mathrm{55,9808},c=\mathrm{57,9555}$

$a=\mathrm{46,6790},b=\mathrm{17,9184}$

$a=\mathrm{16,4662},c=\mathrm{16,8341}$

188,3159

200,6737

498,3471 pies

1.060,09 pies

27,372 pies

22,6506 pies

368,7633 pies

$\mathrm{45°}$

$-\frac{7\pi }{6}$

10,385 metros

$\mathrm{60°}$

$\frac{2\pi }{11}$

1.036,73 millas por hora

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

-1

$\frac{\pi }{4}$

$-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\left[–1,1\right]$

1

$\sqrt{2}$

$\sqrt{2}$

0,6

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ o $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

seno, cosecante, tangente, cotangente

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

0

$b=8,c=10$

$\frac{11\sqrt{157}}{157}$

$a=4,b=4$

14,0954 pies

$\mathrm{150°}$

6,283 centímetros

$\mathrm{15°}$

3,351 pies por segundo, $\frac{2\pi }{75}$ radianes por segundo

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\left[–1,1\right]$

$\sqrt{3}$

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\pi }{3}$

$a=\frac{9}{2},b=\frac{9\sqrt{3}}{2}$