Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Hallar los valores de la función de seno y coseno de $30° o (\frac{π}{6}), 45° o (\frac{π}{4})$ y $60° o (\frac{π}{3}) .$
Identificar el dominio y el rango de las funciones seno y coseno.
Utilizar los ángulos de referencia para evaluar las funciones trigonométricas.

Figura 1 El Singapore Flyer era la rueda de la fortuna más alta del mundo, hasta ser superada por el High Roller de Las Vegas y el Ain Dubai de Dubai (créditos: "Vibin JK"/Flickr)

¿Busca emociones? Entonces considere un paseo en el Ain Dubai, la rueda de la fortuna más alta del mundo. Ubicada en Dubai, la ciudad más poblada y el centro financiero y turístico de los Emiratos Árabes Unidos, la rueda de la fortuna se eleva a 820 pies, unas 1,5 décimas de milla. Descrita como una rueda de observación, los pasajeros disfrutan de unas vistas espectaculares del Burj Khalifa (el edificio más alto del mundo) y de Palm Jumeirah (un archipiélago construido por el hombre que alberga más de 10.000 personas y 20 complejos turísticos) mientras viajan desde el suelo hasta la cima y vuelven a bajar en un patrón repetitivo. En esta sección, examinaremos este tipo de movimiento giratorio alrededor de un círculo. Para ello, tenemos que definir primero el tipo de círculo y, a continuación, situar ese círculo en un sistema de coordenadas. Entonces podemos hablar del movimiento circular en términos de los pares de coordenadas.

Hallar los valores de la función para el seno y el coseno

Para definir nuestras funciones trigonométricas, empezamos por dibujar un círculo unitario, un círculo centrado en el origen con radio 1, como se muestra en la Figura 2. El ángulo (en radianes) que $t$ interseca forma un arco de longitud $s .$ Si utilizamos la fórmula $s = r t,$ y en el entendido de que $r = 1,$ vemos que, para un círculo unitario, $s = t .$

Recordemos que los ejes de la x y de la y dividen el plano de coordenadas en cuatro cuartos llamados cuadrantes. Marcamos estos cuadrantes para imitar la dirección que barrería un ángulo positivo. Los cuatro cuadrantes se denominan I, II, III y IV.

Para cualquier ángulo $t,$ podemos marcar la intersección del lado terminal y el círculo unitario por sus coordenadas, $(x, y) .$ Las coordenadas de la $x$ como $y$ serán las salidas de las funciones trigonométricas $f (t) = \cos t$ y $f (t) = sen t,$ respectivamente. Esto significa que $x = \cos t$ y $y = sen t .$

Gráfico de un círculo con ángulo t, radio de 1 y un arco creado por el ángulo con longitud s. El lado terminal del ángulo interseca el círculo en el punto (x,y).

Figura 2 Círculo unitario donde el ángulo central es

t

radianes

Círculo unitario

Un círculo unitario tiene un centro en $(0, 0)$ y radio $1$ . En un círculo unitario, la longitud del arco intersecado es igual a la medida del radián del ángulo central $t .$

Supongamos que $(x, y)$ es el punto final en el círculo unitario de un arco de longitud de arco $s .$ El punto $(x, y)$ de este punto pueden describirse como funciones del ángulo.

Definir las funciones seno y coseno

Ahora, que tenemos marcado nuestro círculo unitario, podemos aprender cómo las coordenadas $(x, y)$ se relacionan con la longitud del arco y el ángulo. La función seno relaciona un número real $t$ con la coordenada de la y en el punto donde el ángulo correspondiente interseca el círculo unitario. Más precisamente, el seno de un ángulo $t$ es igual al valor y del punto final en el círculo unitario de un arco de longitud $t .$ En la Figura 2, el seno es igual a $y .$ Al igual que en todas las funciones, la función seno tiene una entrada y una salida. Su entrada es la medida del ángulo; su salida es la coordenada de la y en el punto correspondiente en el círculo unitario.

La función coseno de un ángulo $t$ equivale al valor x del punto final en el círculo unitario de un arco de longitud $t .$ En la Figura 3, el coseno es igual a $x .$

Ilustración de un ángulo t, con longitud de lado terminal igual a 1, y un arco creado por el ángulo con longitud t. El lado terminal del ángulo interseca el círculo en el punto (x,y), lo que equivale a (cos t, sin t).

Figura 3

En el entendido de que el seno y el coseno son funciones, no es necesario escribirlas siempre con paréntesis: $sen t$ es lo mismo que $sen (t)$ y $\cos t$ es lo mismo que $\cos (t) .$ Igualmente, $\cos^{2} t$ es una notación abreviada de uso común para ${(\cos (t))}^{2} .$ Tenga en cuenta que muchas calculadoras y computadoras no reconocen la notación abreviada. En caso de duda, utilice los paréntesis adicionales cuando introduzca los cálculos en una calculadora o una computadora.

funciones seno y coseno

Si los valores de $t$ es un número real y un punto $(x, y)$ en el círculo unitario corresponde a un ángulo de $t,$ entonces

\cos t = x

sen t = y

Cómo

Dado un punto P $(x, y)$ en el círculo unitario correspondiente a un ángulo de $t,$ hallar el seno y el coseno.

El seno de $t$ es igual a la coordenada de la y en el punto $P : sen t = y .$
El coseno de $t$ es igual a la coordenada de la x en el punto $P : cos t = x .$

Ejemplo 1

Hallar los valores de la función para el seno y el coseno

El punto $P$ es un punto en el círculo unitario que corresponde a un ángulo de $t,$ como se muestra en la Figura 4. Halle el $\cos (t)$ y $sen (t) .$

Gráfico de un círculo con ángulo t, radio de 1 y un lado terminal que interseca el círculo en el punto (1/2, raíz cuadrada de 3 sobre 2).

Figura 4

Solución

Sabemos que $\cos t$ es la coordenada de la x en el punto correspondiente del círculo unitario y $sen t$ es la coordenada de la y en el punto correspondiente del círculo unitario. Así que:

\begin{array}{l} \begin{array}{l} x = \cos t = \frac{1}{2} \end{array} \\ y = sen t = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}

Inténtelo #1

Un cierto ángulo $t$ corresponde a un punto en el círculo unitario en $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ como se muestra en la Figura 5. Halle $\cos t$ y $sen t .$

Gráfico de un círculo con ángulo t, radio de 1 y un lado terminal que interseca el círculo en el punto (raíz cuadrada negativa de 2 sobre 2, raíz cuadrada de 2 sobre 2).

Figura 5

Hallar el seno y coseno de los ángulos en un eje

En los ángulos cuadrangulares, el punto correspondiente en el círculo unitario cae en el eje x o en el eje y. En ese caso, podemos calcular fácilmente el coseno y el seno a partir de los valores de $x$ como $y .$

Ejemplo 2

Calcular el seno y el coseno a lo largo de un eje

Halle $\cos (90°)$ y $sen (90°) .$

Solución

Cuando movemos $90°$ en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del círculo unitario desde el eje positivo x, nos lleva a la parte superior del círculo, donde las coordenadas $(x, y)$ son (0, 1), como se muestra en la Figura 6.

Gráfico de un círculo con ángulo t, radio de 1 y un lado terminal que interseca el círculo en el punto (0,1).

Figura 6

Con nuestras definiciones de coseno y seno,

\begin{array}{l} x = \cos t = \cos (90°) = 0 \\ y = sen t = sen (90°) = 1 \end{array}

El coseno de 90° es 0; el seno de 90° es 1.

Inténtelo #2

Hallar el coseno y el seno del ángulo $π .$

La identidad pitagórica

Ahora que podemos definir el seno y el coseno, aprenderemos cómo se relacionan entre sí y con el círculo unitario. Recordemos que la ecuación del círculo unitario es $x^{2} + y^{2} = 1.$ Dado que $x = \cos t$ y $y = sen t,$ podemos sustituir por $x$ como $y$ para obtener $\cos^{2} t + {sen}^{2} t = 1.$ Esta ecuación, $\cos^{2} t + {sen}^{2} t = 1,$ se conoce como la identidad pitagórica. Vea la Figura 7.

Gráfico de un ángulo t, con un punto (x,y) en el círculo unitario. Y la ecuación que muestra la equivalencia de 1, x^2 + y^2, y cos^2 t + sen^2 t.

Figura 7

Podemos utilizar la identidad pitagórica para hallar el coseno de un ángulo si conocemos el seno, y viceversa. Sin embargo, ya que la ecuación arroja dos soluciones, necesitamos conocer más acerca del ángulo para elegir la solución con el signo correcto. Si conocemos el cuadrante donde se encuentra el ángulo, podemos elegir fácilmente la solución correcta.

identidad pitagórica

La identidad pitagórica afirma que, para cualquier número real $t,$

\cos^{2} t + {sen}^{2} t = 1

Cómo

Dado el seno de algún ángulo $t$ y su ubicación en el cuadrante, hallar el coseno de $t .$

Sustituya el valor conocido de $sen (t)$ en la identidad pitagórica.
Resuelva para $\cos (t) .$
Elija la solución con el signo adecuado para los valores de x en el cuadrante donde se encuentra $t$ .

Ejemplo 3

Hallar el coseno a partir de un seno o el seno a partir de un coseno

Si los valores de $sen (t) = \frac{3}{7}$ y $t$ está en el segundo cuadrante, halle $\cos (t) .$

Solución

Si dejamos caer una línea vertical desde el punto del círculo unitario correspondiente a $t,$ creamos un triángulo rectángulo, a partir del cual podemos ver que la identidad pitagórica es simplemente un caso del teorema de Pitágoras. Vea el Figura 8.

Gráfico de un circulo unitario con un ángulo que lo interseca en un punto cuya coordenada de la y es igual a 3/7.

Figura 8

Sustituyendo el valor conocido del seno en la identidad pitagórica,

\begin{array}{l} \cos^{2} (t) + {sen}^{2} (t) = 1 \\ \cos^{2} (t) + \frac{9}{49} = 1 \\ \cos^{2} (t) = \frac{40}{49} \\ cos (t) = \pm \sqrt{\frac{40}{49}} = \pm \frac{\sqrt{40}}{7} = \pm \frac{2 \sqrt{10}}{7} \end{array}

Dado que el ángulo está en el segundo cuadrante, sabemos que el valor de x es un número real negativo, por lo que el coseno también es negativo. Así que $cos (t) = - \frac{2 \sqrt{10}}{7}$

Inténtelo #3

Si los valores de $\cos (t) = \frac{24}{25}$ y $t$ está en el cuarto cuadrante, halle $sen (t) .$

Hallar el seno y el coseno de los ángulos especiales

Ya hemos aprendido algunas propiedades de los ángulos especiales, tales como la conversión de radianes a grados. También podemos calcular el seno y el coseno de los ángulos especiales con la identidad pitagórica y nuestro conocimiento acerca de los triángulos.

Hallar el seno y el coseno de los ángulos de 45°

En primer lugar, examinaremos los ángulos de $45°$ o $\frac{π}{4},$ como se muestra en la Figura 9. Un triángulo de $45° - 45° - 90°$ es isósceles, por lo que las coordenadas de la x y de la y en el punto correspondiente en el círculo son las mismas. Ya que los valores de x y de y son iguales, los valores del seno y del coseno también serán iguales.

Gráfico del ángulo de 45 grados inscrito dentro de un círculo con radio 1. Se muestra la equivalencia entre los puntos (x,y) y (x,x).

Figura 9

A $t = \frac{π}{4}$ , que es de 45 grados, el radio del círculo unitario biseca el primer ángulo cuadrangular. Esto significa que el radio se encuentra a lo largo de la línea $y = x .$ Un círculo unitario tiene un radio igual a 1. Así, el triángulo rectángulo formado bajo la línea $y = x$ tiene lados $x$ como $y (y = x),$ y un radio = 1. Vea la Figura 10.

Gráfico de círculo con un ángulo pi/4 inscrito y un radio de 1.

Figura 10

A partir del teorema de Pitágoras obtenemos

x^{2} + y^{2} = 1

Al sustituir $y = x,$ obtenemos

x^{2} + x^{2} = 1

Al combinar términos similares obtenemos

2 x^{2} = 1

Asimismo, al resolver para $x,$ obtenemos

\begin{matrix} x^{2} = \frac{1}{2} \\ x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}

En el cuadrante I, $x = \frac{1}{\sqrt{2}} .$

En $t = \frac{π}{4}$ o 45 grados,

\begin{array}{l} (x, y) = (x, x) = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \\ x = \frac{1}{\sqrt{2}}, y = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}, sen t = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}

Si entonces racionalizamos los denominadores, obtenemos

\begin{array}{l} \cos t = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ sen t = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}

Por lo tanto, las coordenadas $(x, y)$ de un punto en un círculo de radio $1$ en un ángulo de $45°$ son $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) .$

Hallar el seno y el coseno de los ángulos de 30º y 60º

A continuación, hallaremos el coseno y el seno en un ángulo de $30°,$ o $\frac{π}{6}$ . En primer lugar, dibujaremos un triángulo dentro de un círculo con un lado en un ángulo de $30°,$ y otro lado en un ángulo de $−30°,$ como se muestra en la Figura 11. Si los dos triángulos rectángulos resultantes se combinan en un triángulo grande, observe que los tres ángulos de este triángulo mayor serán $60°,$ como se muestra en la Figura 12.

Gráfico de círculo en un ángulo de 30 grados y un ángulo negativo de 30 grados inscritos para formar un triángulo.

Figura 11

Imagen de dos triángulos de 30/60/90 uno al lado del otro. Etiqueta para la hipotenusa r y el lado y.

Figura 12

Debido a que todos los ángulos son iguales, los lados también son iguales. La línea vertical tiene longitud $2 y,$ y debido a que los lados son todos iguales, también podemos concluir que $r = 2 y$ o $y = \frac{1}{2} r .$ Dado que $sen t = y$ ,

sen (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2} r

Además, ya que $r = 1$ en nuestro círculo unitario,

\begin{array}{l} sen (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2} (1) \\ = \frac{1}{2} \end{array}

Con la identidad pitagórica podemos calcular el valor del coseno.

\begin{array}{l} \cos^{2} \frac{π}{6} + {sen}^{2} (\frac{π}{6}) = 1 \\ \cos^{2} (\frac{π}{6}) + {(\frac{1}{2})}^{2} = 1 \\ \cos^{2} (\frac{π}{6}) = \frac{3}{4} & Utilice la propiedad de la raíz cuadrada . \\ \cos (\frac{π}{6}) = \frac{\pm \sqrt{3}}{\pm \sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} & Dado que y es positivo, elija la raíz positiva . \end{array}

Las coordenadas $(x, y)$ para el punto en un círculo con radio $1$ en un ángulo de $30°$ son $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) .$ En $t = \frac{π}{3}$ (60°), el radio del círculo unitario, 1, sirve como hipotenusa de un triángulo rectángulo de 30-60-90 grados, $B A D,$ como se muestra en la Figura 13. El ángulo $A$ tiene medida $60° .$ En el punto $B,$ dibujamos un ángulo $A B C$ con medida de $60° .$ Sabemos que los ángulos de un triángulo suman $180°,$ por lo que la medida del ángulo $C$ también es $60° .$ Ahora tenemos un triángulo equilátero. Ya que cada lado del triángulo equilátero $A B C$ tiene la misma longitud, y sabemos que un lado es el radio del círculo unitario, todos los lados deberán tener longitud 1.

Gráfico de círculo con un triángulo isósceles inscrito.

Figura 13

La medida del ángulo $A B D$ es 30°. Entonces, si es doble, el ángulo $A B C$ es de 60°. $B D$ es la bisectriz perpendicular de $A C,$ por lo que corta $A C$ por la mitad. Esto significa que $A D$ es $\frac{1}{2}$ del radio, o $\frac{1}{2} .$ Observe que $A D$ es la coordenada de la x en el punto $B,$ que se encuentra en la intersección del ángulo de 60° con el círculo unitario. Esto nos da un triángulo $B A D$ con hipotenusa de 1 y lado $x$ de longitud $\frac{1}{2} .$

A partir del teorema de Pitágoras, obtenemos

x^{2} + y^{2} = 1

Sustituyendo $x = \frac{1}{2},$ obtenemos

{(\frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = 1

Resuelva para $y,$ obtenemos

\begin{array}{l} \frac{1}{4} + y^{2} = 1 \\ y^{2} = 1 - \frac{1}{4} \\ y^{2} = \frac{3}{4} \\ y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}

Dado que $t = \frac{π}{3}$ tiene el lado terminal en el cuadrante I, donde la coordenada de la y es positiva, elegimos $y = \frac{\sqrt{3}}{2},$ el valor positivo.

A $t = \frac{π}{3}$ (60°), las coordenadas $(x, y)$ para el punto en un círculo con radio $1$ en un ángulo de $60°$ son $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}),$ para que hallemos el seno y el coseno.

\begin{array}{l} (x, y) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \\ x = \frac{1}{2}, y = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos t = \frac{1}{2}, sen t = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}

Ahora hemos determinado los valores del coseno y del seno para todos los ángulos más comunes en el primer cuadrante del círculo unitario. La Tabla 1 resume estos valores.

Ángulo	0	$\frac{π}{6},$ o 30	$\frac{π}{4},$ o 45°	$\frac{π}{3},$ o 60°	$\frac{π}{2},$ o 90°
Coseno	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
Seno	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1

Tabla 1

La Figura 14 muestra los ángulos comunes en el primer cuadrante del círculo unitario.

Gráfico de un cuarto de círculo con ángulos de 0, 30, 45, 60 y 90 grados inscritos. Se muestra la equivalencia de los ángulos en radianes. Los puntos a lo largo del círculo están marcados.

Figura 14

Usar una calculadora para hallar el seno y el coseno

Para hallar el coseno y el seno de otros ángulos que no sean los ángulos especiales, recurrimos a la computadora o a la calculadora. Tenga en cuenta: La mayoría de las calculadoras pueden ponerse en modo "grados" o "radianes", lo que le indica las unidades del valor de entrada. Cuando evaluamos $\cos (30)$ en la calculadora, esta lo evaluará como el coseno de 30 grados si está en modo "grados", o el coseno de 30 radianes si está en modo "radianes".

Cómo

Dado un ángulo en radianes, utilizar una calculadora gráfica para hallar el coseno.

Si la calculadora tiene modo grado y modo radián, configúrela en modo radián.
Pulse la tecla COS.
Introduzca el valor del radián del ángulo y pulse la tecla de cierre de paréntesis ")".
Pulse ENTER.

Ejemplo 4

Usar la calculadora gráfica para hallar el seno y el coseno

Evalúe $\cos (\frac{5 π}{3})$ con la calculadora gráfica o la computadora.

Solución

Pulse las siguientes teclas:

COS $(5 \times π \div 3)$ ENTER

\cos (\frac{5 π}{3}) = 0,5

Análisis

Podemos hallar el coseno o el seno de un ángulo en grados directamente en la calculadora en modo "grados". En el caso de las calculadoras o los programas informáticos que solo utilizan el modo "radianes", podemos hallar el seno de $20°,$ por ejemplo, al incluir el factor de conversión a radianes como parte de la entrada:

SIN $(20 \times π \div 180)$ ENTER

Inténtelo #4

Evalúe $sen (\frac{π}{3}) .$

Identificar el dominio y rango de las funciones seno y coseno

Ahora que podemos hallar el seno y el coseno de un ángulo, tenemos que hablar del dominio y el rango. ¿Cuál es el dominio de las funciones seno y coseno? Es decir, ¿cuáles son los números mínimos y máximos que pueden ser entradas de las funciones? Debido a que los ángulos menores que 0 y los mayores que $2 π$ pueden seguir graficándose en el círculo unitario y tener valores reales de $x, y,$ y $r,$ no hay límite inferior o superior a los ángulos que pueden introducirse en las funciones de seno y coseno. La entrada de las funciones de seno y coseno es la rotación desde el eje positivo x, y puede ser cualquier número real.

¿Cuál es el rango de las funciones seno y coseno? ¿Cuáles son los valores mínimo y máximo posibles de su salida? Podemos ver las respuestas al examinar el círculo unitario, como se muestra en la Figura 15. Los límites de la coordenada de la x son $[−1, 1] .$ Los límites de la coordenada de la y también son $[−1, 1] .$ Por lo tanto, el rango de las funciones seno y coseno es $[−1, 1] .$

Figura 15

Hallar ángulos de referencia

Hemos hablado acerca de hallar el seno y el coseno de los ángulos en el primer cuadrante, pero ¿qué pasa si nuestro ángulo está en otro cuadrante? Para cualquier ángulo dado en el primer cuadrante, hay un ángulo en el segundo cuadrante con el mismo valor del seno. Dado que el valor del seno es la coordenada de la y en el círculo unitario, el otro ángulo con el mismo seno compartirá el mismo valor y, pero tendrá el valor x opuesto. Por lo tanto, su valor del coseno será el opuesto al valor del coseno del primer ángulo.

Asimismo, habrá un ángulo en el cuarto cuadrante con el mismo coseno que el ángulo original. El ángulo con el mismo coseno compartirá el mismo valor x, pero tendrá el valor y opuesto. Por lo tanto, su valor del seno será el opuesto al valor del seno del ángulo original.

Como se muestra en la Figura 16, el ángulo $α$ tiene el mismo valor del seno que el ángulo $t;$ los valores del coseno son opuestos. El ángulo $β$ tiene el mismo valor del coseno que el ángulo $t;$ los valores del seno son opuestos.

\begin{array}{l} sen (t) = sen (α) & y & \cos (t) = - \cos (α) \\ sen (t) = - sen (β) & y & \cos (t) = \cos (β) \end{array}

Gráfico de dos círculos contiguos. El primer gráfico tiene un círculo con ángulo t y ángulo alfa con radio r. El segundo gráfico tiene un círculo con ángulo t y ángulo beta inscrito con radio r.

Figura 16

Recordemos que el ángulo de referencia es el ángulo agudo, $t,$ formado por el lado terminal del ángulo $t$ y el eje horizontal. El ángulo de referencia es siempre un ángulo entre $0$ y $90°,$ o $0$ y $\frac{π}{2}$ radianes. Como podemos observar en la Figura 17, para cualquier ángulo en los cuadrantes II, III o IV, hay un ángulo de referencia en el cuadrante I.

Cuatro gráficos paralelos. El primer gráfico muestra un ángulo de t en el cuadrante 1 en su posición normal. El segundo gráfico muestra un ángulo de t en el cuadrante 2 debido a una rotación de pi menos t. El tercer gráfico muestra un ángulo de t en el cuadrante 3 debido a una rotación de t menos pi. El cuarto gráfico muestra un ángulo de t en el cuadrante 4 debido a una rotación de dos pi menos t.

Figura 17

Cómo

Dado un ángulo entre $0$ y $2 π,$ hallar su ángulo de referencia.

Un ángulo en el primer cuadrante es su propio ángulo de referencia.
Para un ángulo en el segundo o tercer cuadrante, el ángulo de referencia es $| π - t |$ o $| 180° −t | .$
Para un ángulo en el cuarto cuadrante, el ángulo de referencia es $2 π - t$ o $360° −t .$
Si un ángulo es menor que $0$ o mayor que $2 π,$ sume o reste $2 π$ tantas veces como sea necesario para hallar un ángulo equivalente entre $0$ y $2 π .$

Ejemplo 5

Hallar el ángulo de referencia

Calcule el ángulo de referencia de $225°$ como se muestra en la Figura 18.

Gráfico del círculo con un ángulo de 225 grados inscrito.

Figura 18

Solución

Debido a que $225°$ está en el tercer cuadrante, el ángulo de referencia es

| (180° −225°) | = | - 45° | = 45°

Inténtelo #5

Calcule el ángulo de referencia de $\frac{5 π}{3} .$

Usar ángulos de referencia

Ahora tomemos un momento para reconsiderar la rueda de la fortuna que se mencionó al principio de esta sección. Supongamos que un pasajero toma una fotografía mientras la rueda de la fortuna está detenida a veinte pies sobre el nivel del suelo. A continuación, el pasajero rota tres cuartas partes del círculo. ¿Cuál es la nueva elevación del pasajero? Para responder a preguntas como esta, tenemos que evaluar las funciones seno o coseno en ángulos mayores de 90 grados o en un ángulo negativo. Los ángulos de referencia permiten evaluar las funciones trigonométricas para ángulos fuera del primer cuadrante. También se utilizan para hallar las coordenadas $(x, y)$ para esos ángulos. Utilizaremos el ángulo de referencia del ángulo de rotación combinado con el cuadrante en el que se encuentra el lado terminal del ángulo.

Usar ángulos de referencia para evaluar funciones trigonométricas

Podemos hallar el coseno y el seno de cualquier ángulo en cualquier cuadrante si conocemos el coseno o el seno de su ángulo de referencia. Los valores absolutos del coseno y del seno de un ángulo son los mismos que los del ángulo de referencia. El signo depende del cuadrante del ángulo original. El coseno será positivo o negativo, dependiendo del signo de los valores de x en ese cuadrante. El seno será positivo o negativo, dependiendo del signo de los valores de y en ese cuadrante.

Usar ángulos de referencia para hallar el coseno y el seno

Los ángulos tienen coseno y seno con el mismo valor absoluto que el coseno y seno de sus ángulos de referencia. El signo (positivo o negativo) se puede determinar a partir del cuadrante del ángulo.

Cómo

Dado un ángulo en posición estándar, hallar el ángulo de referencia, y el coseno y el seno del ángulo original.

Mida el ángulo entre el lado terminal del ángulo dado y el eje horizontal. Ese es el ángulo de referencia.
Determine los valores del coseno y del seno del ángulo de referencia.
Otorgue al coseno el mismo signo que los valores de x en el cuadrante del ángulo original.
Otorgue al seno el mismo signo que los valores de y en el cuadrante del ángulo original.

Ejemplo 6

Usar ángulos de referencia para hallar el seno y el coseno

Ⓐ Con un ángulo de referencia, halle el valor exacto de $\cos (150°)$ y $sen (150°) .$
Ⓑ Con el ángulo de referencia, calcule $\cos \frac{5 π}{4}$ y $sen \frac{5 π}{4} .$

Solución

Ⓐ 150° se encuentra en el segundo cuadrante. El ángulo que forma con el eje x es de 180° - 150° = 30°, por lo que el ángulo de referencia es de 30°.
Esto nos indica que 150° tiene los mismos valores de seno y coseno que 30°, excepto el signo. Sabemos que

$\cos (30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} y sen (30°) = \frac{1}{2} .$

Dado que 150° está en el segundo cuadrante, la coordenada de la x del punto del círculo es negativa, por lo que el valor del coseno es negativo. La coordenada de la y es positiva, por lo que el valor del seno es positivo.

$\cos (150°) = - \frac{\sqrt{3}}{2} y sen (150°) = \frac{1}{2}$
Ⓑ $\frac{5 π}{4}$ está en el tercer cuadrante. Su ángulo de referencia es $\frac{5 π}{4} - π = \frac{π}{4} .$ El coseno y el seno de $\frac{π}{4}$ son ambos $\frac{\sqrt{2}}{2} .$ En el tercer cuadrante, ambos $x$ como $y$ son negativos, por lo que:
$\cos \frac{5 π}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} y sen \frac{5 π}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Inténtelo #6

Ⓐ Utilice el ángulo de referencia de $315°$ para calcular $\cos (315°)$ y $sen (315°) .$
Ⓑ Utilice el ángulo de referencia de $- \frac{π}{6}$ para calcular $\cos (- \frac{π}{6})$ y $sen (- \frac{π}{6}) .$

Usar ángulos de referencia para hallar coordenadas

Ahora que hemos aprendido a calcular los valores del coseno y del seno para los ángulos especiales del primer cuadrante, podemos utilizar la simetría y los ángulos de referencia para completar los valores del coseno y del seno en el resto de los ángulos especiales del círculo unitario. Se muestran en la Figura 19. Tómese su tiempo para aprender las coordenadas $(x, y)$ de todos los ángulos mayores en el primer cuadrante.

Gráfico de círculo unitario con los ángulos en grados, los ángulos en radianes y los puntos inscritos a lo largo del círculo.

Figura 19 Ángulos especiales y coordenadas de los puntos correspondientes del círculo unitario

Además de aprender los valores de los ángulos especiales, podemos utilizar los ángulos de referencia para hallar coordenadas $(x, y)$ en cualquier punto del círculo unitario, con lo que sabemos de los ángulos de referencia junto con las identidades

\begin{matrix} x = \cos t & y = sen t \end{matrix}

Primero, hallamos el ángulo de referencia correspondiente al ángulo dado. A continuación, tomamos los valores del seno y del coseno del ángulo de referencia y les atribuimos los signos correspondientes a los valores de y y de x del cuadrante.

Cómo

Dado el ángulo de un punto de un círculo y su radio, hallar las coordenadas $(x, y)$ del punto.

Halle el ángulo de referencia al medir el ángulo más pequeño con respecto al eje x.
Halle el coseno y el seno del ángulo de referencia.
Determine los signos adecuados para la $x$ como $y$ en el cuadrante dado.

Ejemplo 7

Usar el círculo unitario para hallar coordenadas

Halle las coordenadas del punto del círculo unitario en un ángulo de $\frac{7 π}{6} .$

Solución

Sabemos que el ángulo $\frac{7 π}{6}$ está en el tercer cuadrante.

En primer lugar, hallaremos el ángulo de referencia al medir el ángulo al eje x. Para hallar el ángulo de referencia de un ángulo cuyo lado terminal está en el cuadrante III, calculamos la diferencia del ángulo y $π .$

\frac{7 π}{6} - π = \frac{π}{6}

A continuación, hallaremos el coseno y el seno del ángulo de referencia:

\cos (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} sen (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

Debemos determinar los signos adecuados para la x y la y en el cuadrante dado. Dado que nuestro ángulo original está en el tercer cuadrante, donde los valores tanto de la $x$ como $y$ son negativos, tanto el coseno como el seno son negativos.

\begin{array}{l} \cos (\frac{7 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ sen (\frac{7 π}{6}) = - \frac{1}{2} \end{array}

Ahora podemos calcular las coordenadas $(x, y)$ por medio de las identidades $x = \cos θ$ y $y = sen θ .$

Las coordenadas del punto son $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ en el círculo de la unidad.

Inténtelo #7

Halle las coordenadas del punto del círculo unitario en un ángulo de $\frac{5 π}{3} .$

Media

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5.2 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Describa el círculo unitario.

2.

¿Qué representan las coordenadas de la x y de la y de los puntos en el círculo unitario?

3.

Comente sobre la diferencia entre un ángulo coterminal y un ángulo de referencia.

4.

Explique en qué se diferencia el coseno de un ángulo en el segundo cuadrante del coseno, de su ángulo de referencia en el circulo unitario.

5.

Explique en qué se diferencia el seno de un ángulo en el segundo cuadrante del seno, de su ángulo de referencia en el circulo unitario.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice el signo dado de las funciones seno y coseno para hallar el cuadrante en el que se asienta el punto terminal determinado por $t$ .

6.

$sen (t) < 0$ y $cos (t) < 0$

7.

$sen (t) > 0$ y $\cos (t) > 0$

8.

$sen (t) > 0$ y $\cos (t) < 0$

9.

$sen (t) < 0$ y $\cos (t) > 0$

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de cada función trigonométrica.

10.

$sen \frac{π}{2}$

11.

$sen \frac{π}{3}$

12.

$\cos \frac{π}{2}$

13.

$\cos \frac{π}{3}$

14.

$sen \frac{π}{4}$

15.

$\cos \frac{π}{4}$

16.

$sen \frac{π}{6}$

17.

$sen π$

18.

$sen \frac{3 π}{2}$

19.

$\cos π$

20.

$\cos 0$

21.

$\cos \frac{π}{6}$

22.

$sen 0$

Numéricos

En los siguientes ejercicios, indique el ángulo de referencia para el ángulo dado.

23.

$240°$

24.

$- 170°$

25.

$100°$

26.

$- 315°$

27.

$135°$

28.

$\frac{5 π}{4}$

29.

$\frac{2 π}{3}$

30.

$\frac{5 π}{6}$

31.

$\frac{- 11 π}{3}$

32.

$\frac{- 7 π}{4}$

33.

$\frac{- π}{8}$

En los siguientes ejercicios, halle el ángulo de referencia, el cuadrante del lado terminal y el seno y coseno de cada ángulo. Si el ángulo no es uno de los ángulos especiales del círculo unitario, utilice la calculadora y redondee a tres decimales.

34.

$225°$

35.

$300°$

36.

$320°$

37.

$135°$

38.

$210°$

39.

$120°$

40.

$250°$

41.

$150°$

42.

$\frac{5 π}{4}$

43.

$\frac{7 π}{6}$

44.

$\frac{5 π}{3}$

45.

$\frac{3 π}{4}$

46.

$\frac{4 π}{3}$

47.

$\frac{2 π}{3}$

48.

$\frac{5 π}{6}$

49.

$\frac{7 π}{4}$

En los siguientes ejercicios, halle el valor solicitado.

50.

Si los valores de $cos (t) = \frac{1}{7}$ y $t$ está en el 4.^o cuadrante, halle $sen (t) .$

51.

Si los valores de $cos (t) = \frac{2}{9}$ y $t$ está en el 1.^o cuadrante, halle $sen (t) .$

52.

Si los valores de $sen (t) = \frac{3}{8}$ y $t$ está en el 2.^o cuadrante, halle $cos (t) .$

53.

Si los valores de $sen (t) = - \frac{1}{4}$ y $t$ está en el 3.^o cuadrante, halle $cos (t) .$

54.

Halle las coordenadas del punto en un círculo de radio 15 correspondiente a un ángulo de $220° .$

55.

Halle las coordenadas del punto en un círculo de radio 20 correspondiente a un ángulo de $120° .$

56.

Halle las coordenadas del punto en un círculo de radio 8 correspondiente a un ángulo de $\frac{7 π}{4} .$

57.

Halle las coordenadas del punto en un círculo de radio 16 correspondiente a un ángulo de $\frac{5 π}{9} .$

58.

Indique el dominio de las funciones seno y coseno.

59.

Indique el rango de las funciones seno y coseno.

Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el punto dado en el circulo unitario para hallar el valor del seno y el coseno de $t .$

60.

61.

Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (raíz cuadrada negativa de 3 sobre 2, 1/2) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.

62.

Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (1/2, raíz cuadrada negativa de 3 sobre 2) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.

63.

Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (raíz cuadrada negativa de 2 sobre 2, raíz cuadrada negativa de 2 sobre 2) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.

64.

Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (1/2, raíz cuadrada de 3 sobre 2) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.

65.

66.

67.

Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (raíz cuadrada de 2 sobre 2, raíz cuadrada negativa de 2 sobre 2) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.

68.

Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (1,0) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.

69.

70.

Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (0,111,0,994) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.

71.

Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (0,803,-0,596 está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.

72.

Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (raíz cuadrada negativa de 2 sobre 2, raíz cuadrada de 2 sobre 2) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.

73.

Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (raíz cuadrada de 3 sobre 2, 1/2) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.

74.

75.

76.

Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (0, -1) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.

77.

Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (-0,649, 0,761) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.

78.

Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (-0,948, -0,317) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.

79.

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para evaluar.

80.

$sen \frac{5 π}{9}$

81.

$\cos \frac{5 π}{9}$

82.

$sen \frac{π}{10}$

83.

$\cos \frac{π}{10}$

84.

$sen \frac{3 π}{4}$

85.

$\cos \frac{3 π}{4}$

86.

$sen 98°$

87.

$\cos 98°$

88.

$\cos 310°$

89.

$sen 310°$

Extensiones

En los siguientes ejercicios, evalúe.

90.

$sen (\frac{11 π}{3}) \cos (\frac{- 5 π}{6})$

91.

$sen (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{5 π}{3})$

92.

$sen (- \frac{4 π}{3}) \cos (\frac{π}{2})$

93.

$sen (\frac{- 9 π}{4}) \cos (\frac{- π}{6})$

94.

$sen (\frac{π}{6}) \cos (\frac{- π}{3})$

95.

$sen (\frac{7 π}{4}) \cos (\frac{- 2 π}{3})$

96.

$\cos (\frac{5 π}{6}) \cos (\frac{2 π}{3})$

97.

$\cos (\frac{- π}{3}) \cos (\frac{π}{4})$

98.

$sen (\frac{- 5 π}{4}) sen (\frac{11 π}{6})$

99.

$sen (π) sen (\frac{π}{6})$

Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un niño se sube a un carrusel que tarda un minuto en dar una vuelta. El niño entra en el punto $(0, 1),$ es decir, en la posición hacia el norte. Supongamos que el carrusel gira en sentido contrario a las agujas del reloj.

100.

¿Cuáles son las coordenadas del niño después de 45 segundos?

101.

¿Cuáles son las coordenadas del niño después de 90 segundos?

102.

¿Cuáles son las coordenadas del niño después de 125 segundos?

103.

¿Cuándo tendrá el niño las coordenadas $(0,707, –0,707)$ si el viaje dura 6 minutos? (Son varias las respuestas).

104.

¿Cuándo tendrá el niño las coordenadas $(-0,866, -0,5)$ si el viaje dura 6 minutos?

5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno

Hallar los valores de la función para el seno y el coseno

Definir las funciones seno y coseno

Hallar los valores de la función para el seno y el coseno

Solución

Hallar el seno y coseno de los ángulos en un eje

Calcular el seno y el coseno a lo largo de un eje

Solución

La identidad pitagórica

Hallar el coseno a partir de un seno o el seno a partir de un coseno

Solución

Hallar el seno y el coseno de los ángulos especiales

Hallar el seno y el coseno de los ángulos de 45°

Hallar el seno y el coseno de los ángulos de 30º y 60º

Usar una calculadora para hallar el seno y el coseno

Usar la calculadora gráfica para hallar el seno y el coseno

Solución

Análisis

Identificar el dominio y rango de las funciones seno y coseno

Hallar ángulos de referencia

Hallar el ángulo de referencia

Solución

Usar ángulos de referencia

Usar ángulos de referencia para evaluar funciones trigonométricas

Usar ángulos de referencia para hallar el seno y el coseno

Solución

Usar ángulos de referencia para hallar coordenadas

Usar el círculo unitario para hallar coordenadas

Solución

5.2 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Numéricos

Gráficos

En tecnología

Extensiones

Aplicaciones en el mundo real