5.3 Las otras funciones trigonométricas

Hallar los valores exactos de las funciones trigonométricas secante, cosecante, tangente y cotangente

Para definir el resto de las funciones, volveremos a dibujar un círculo unitario con un punto $\left(x,y\right)$ correspondiente a un ángulo de $t,$ como se muestra en la Figura 1. Al igual que con el seno y el coseno, podemos utilizar las coordenadas $\left(x,y\right)$ para hallar las otras funciones.

Figura 1

La primera función que definiremos es la tangente. La tangente de un ángulo es el cociente entre el valor de y, y el valor de x del punto correspondiente del círculo unitario. En la Figura 1, la tangente del ángulo $t$ es igual a $\frac{y}{x},x\mathrm{\ne 0.}$ Debido a que el valor de y es igual al seno de $t,$ y el valor de x es igual al coseno de $t,$ la tangente del ángulo $t$ también puede definirse como $\frac{\mathrm{sen}t}{\cos t},\cos t\ne 0.$ La función tangente se abrevia como $\text{tan}\text{.}$ Las tres funciones restantes pueden expresarse como recíprocas de las funciones que ya hemos definido.

• La función secante es la recíproca de la función coseno. En la Figura 1, la secante del ángulo $t$ es igual a $\frac{1}{\cos t}=\frac{1}{x},x\ne 0.$ La función secante se abrevia como $\text{sec}\text{.}$
• La función cotangente es la recíproca de la función tangente. En la Figura 1, la cotangente del ángulo $t$ es igual a $\frac{\cos t}{\mathrm{sen}t}=\frac{x}{y},y\ne 0.$ La función cotangente se abrevia como $\text{cot}\text{.}$
• La función cosecante es la recíproca de la función seno. En la Figura 1, la cosecante del ángulo $t$ es igual a $\frac{1}{\mathrm{sen}t}=\frac{1}{y},y\ne 0.$ La función cosecante se abrevia como $\text{csc}\text{.}$

Ejemplo 1

Hallar funciones trigonométricas a partir de un punto en el círculo unitario

El punto $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$ está en el círculo unitario, como se indica en la Figura 2. Halle $\mathrm{sen}t,\cos t,\tan t,\sec t,\csc t,$ y $\cot t.$

Figura 2

Solución

Ya que sabemos que las coordenadas $(x,y)$ del punto del círculo unitario indicado por el ángulo $t,$ podemos utilizar esas coordenadas para determinar las seis funciones:

$$\begin{array}{l}\mathrm{sen}t=y=\frac{1}{2}\\ \cos t=x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan t=\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2}\left(–\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\\ \sec t=\frac{1}{x}=\frac{1}{\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{}}=-\frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\\ \csc t=\frac{1}{y}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\\ \cot t=\frac{x}{y}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{2}{1}\right)=-\sqrt{3}\end{array}$$

Inténtelo #1

El punto $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ está en el círculo unitario, como se indica en la Figura 3. Halle $\mathrm{sen}t,\cos t,\tan t,\sec t,\csc t,$ y $\cot t.$

Figura 3

Ya que conocemos los valores del seno y del coseno para los ángulos comunes del primer cuadrante, también podemos calcular los demás valores de la función para esos ángulos al establecer $x$ igual al coseno, así como $y$ igual al seno y luego usar las definiciones de tangente, secante, cosecante y cotangente. Los resultados se indican en la Tabla 1.

Usar ángulos de referencia para evaluar la tangente, la secante, la cosecante y la cotangente

Podemos evaluar funciones trigonométricas de ángulos fuera del primer cuadrante utilizando ángulos de referencia, como ya lo hemos hecho con las funciones seno y coseno. El procedimiento es el mismo: Halle el ángulo de referencia formado por el lado terminal del ángulo dado con el eje horizontal. Los valores de la función trigonométrica para el ángulo original serán los mismos que los del ángulo de referencia, excepto el signo positivo o negativo, que viene determinado por los valores de x y de y en el cuadrante original. La Figura 4 muestra qué funciones son positivas en qué cuadrante.

Para recordar cuáles de las seis funciones trigonométricas son positivas en cada cuadrante, podemos utilizar la frase nemotécnica: “A Smart Trig Class” (Una clase de trigonometría inteligente). Cada una de las cuatro palabras de la frase corresponde a uno de los cuatro cuadrantes, empezando por el cuadrante I y girando en sentido contrario a las agujas del reloj. En el cuadrante I, que es "A", “Translation missing: es.screenreader.underlineaTranslation missing: es.screenreader.end Translation missing: es.screenreader.underlinell” (todas las) seis funciones trigonométricas son positivas. En el cuadrante II, "Smart”, solo el Translation missing: es.screenreader.underlinesTranslation missing: es.screenreader.end Translation missing: es.screenreader.underlineeno y su función recíproca, la cosecante, son positivos. En el cuadrante III, "Trig”, solo la Translation missing: es.screenreader.underlinetTranslation missing: es.screenreader.end Translation missing: es.screenreader.underlineangente y su función recíproca, cotangente, son positivas. Por último, en el cuadrante IV, "Class,” (clase) solo el Translation missing: es.screenreader.underlinecTranslation missing: es.screenreader.end Translation missing: es.screenreader.underlineoseno y su función recíproca, la secante, son positivos.

Figura 4

Usar funciones trigonométricas pares e impares

Para utilizar libremente nuestras seis funciones trigonométricas con entradas de ángulos positivos y negativos, debemos examinar cómo trata cada función una entrada negativa. Resulta que hay una diferencia importante entre las funciones en este respecto.

Considere la función $f(x)=x^2,$ que se muestra en la Figura 5. El gráfico de la función es simétrico con respecto al eje y. A lo largo de la curva, dos puntos cualesquiera con valores de x opuestos tienen el mismo valor de función. Esto coincide con el resultado del cálculo: ${(4)}^2={(\mathrm{–4})}^2,$ ${(\mathrm{-5})}^2={(5)}^2,$ y así sucesivamente. Así que $f(x)=x^2$ es una función par, una función tal que dos entradas que son opuestas tienen la misma salida. Esto significa que $f\left(-x\right)=f\left(x\right).$

Figura 5 La función $f(x)=x^2$ es una función par.

Consideremos ahora la función $f(x)=x^3,$ que se muestra en la Figura 6. El gráfico no es simétrico con respecto al eje y. A lo largo del gráfico, dos puntos cualesquiera con valores de x opuestos también tienen valores de y opuestos. Así que $f(x)=x^3$ es una función impar, una función tal que dos entradas que son opuestas tienen salidas que también son opuestas. Esto significa que $f\left(-x\right)=-f\left(x\right).$

Figura 6 La función $f(x)=x^3$ es una función impar.

Podemos comprobar si una función trigonométrica es par o impar al dibujar un círculo unitario con un ángulo positivo y otro negativo, como en la Figura 7. El seno del ángulo positivo es $y.$ El seno del ángulo negativo es -y. La función seno, entonces, es una función impar. Podemos probar cada una de las seis funciones trigonométricas de esta manera. Los resultados se indican en la Tabla 2.

Figura 7

Reconocer y utilizar las identidades fundamentales

Hemos explorado una serie de propiedades de las funciones trigonométricas. Ahora, podemos llevar las relaciones un paso más allá y derivar algunas identidades fundamentales. Las identidades son enunciados verdaderos para todos los valores de la entrada sobre la que se definen. Normalmente, las identidades se derivan de definiciones y relaciones que ya conocemos. Por ejemplo, la identidad pitagórica, que aprendimos antes, se deriva del teorema de Pitágoras y de las definiciones de seno y coseno.

Formas alternativas de la identidad pitagórica

Podemos utilizar estas identidades fundamentales para derivar formas alternativas de la identidad pitagórica, ${\cos }^{2}t+{\mathrm{sen}}^{2}t=1.$ Una forma se obtiene al dividir ambos lados entre ${\cos }^{2}t:$

$$\begin{array}{c}\frac{{\cos }^{2}t}{{\cos }^{2}t}+\frac{{\mathrm{sen}}^{2}t}{{\cos }^{2}t}=\frac{1}{{\cos }^{2}t}\\ 1+{\tan }^{2}t={\sec }^{2}t\end{array}$$

La otra forma se obtiene al dividir ambos lados entre ${\mathrm{sen}}^{2}t:$

$$\begin{array}{c}\frac{{\cos }^{2}t}{{\mathrm{sen}}^{2}t}+\frac{{\mathrm{sen}}^{2}t}{{\mathrm{sen}}^{2}t}=\frac{1}{{\mathrm{sen}}^{2}t}\\ {\cot }^{2}t+1={\csc }^{2}t\end{array}$$

Formas alternativas de la identidad pitagórica

$$1+{\tan }^{2}t={\sec }^{2}t$$

$${\cot }^{2}t+1={\csc }^{2}t$$

Ejemplo 7

Usar identidades para relacionar funciones trigonométricas

Si los valores de $\text{cos}(t)=\frac{12}{13}$ y $t$ está en el cuadrante IV, como se indica en la Figura 8, halle los valores de las otras cinco funciones trigonométricas.

Figura 8

Solución

Podemos hallar el seno mediante la identidad pitagórica, ${\cos }^{2}t+{\mathrm{sen}}^{2}t=1,$ y las funciones restantes al relacionarlas con el seno y el coseno.

$$\begin{array}{l}{\left(\frac{12}{13}\right)}^2+{\mathrm{sen}}^{2}t=1\hfill \\ {\mathrm{sen}}^{2}t=1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2\hfill \\ {\mathrm{sen}}^{2}t=1-\frac{144}{169}\hfill \\ {\mathrm{sen}}^{2}t=\frac{25}{169}\hfill \\ \mathrm{sen}t=\pm \sqrt{\frac{25}{169}}\hfill \\ \mathrm{sen}t=\pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{169}}\hfill \\ \mathrm{sen}t=\pm \frac{5}{13}\hfill \end{array}$$

El signo del seno depende de los valores de y en el cuadrante donde se encuentra el ángulo. Dado que el ángulo está en el cuadrante IV, donde los valores de y son negativos, su seno es negativo, $-\frac{5}{13}.$

El resto de las funciones puede calcularse mediante identidades que las relacionen con el seno y el coseno.

$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\begin{array}{l}\tan t=\frac{\mathrm{sen}t}{\cos t}=\frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=-\frac{5}{12}\hfill \\ \begin{array}{l}\\ \sec t=\frac{1}{\cos t}=\frac{1}{\frac{12}{13}}=\frac{13}{12}\end{array}\hfill \end{array}\hfill \\ \csc t=\frac{1}{\mathrm{sen}t}=\frac{1}{-\frac{5}{13}}=-\frac{13}{5}\hfill \end{array}\\ \cot t=\frac{1}{\tan t}=\frac{1}{-\frac{5}{12}}=-\frac{12}{5}\end{array}$$

Inténtelo #7

Si los valores de $\sec (t)=-\frac{17}{8}$ y $0<t<\pi ,$ halle los valores de las otras cinco funciones.

Como hemos comentado al inicio del capítulo, la función que repite sus valores en intervalos regulares se conoce como función periódica. Las funciones trigonométricas son periódicas. Para las cuatro funciones trigonométricas, seno, coseno, cosecante y secante, la revolución de un círculo o $2\pi ,$ dará lugar a las mismas salidas para estas funciones. Igualmente, para la tangente y la cotangente, solo media revolución dará lugar a las mismas salidas.

Otras funciones también pueden ser periódicas. Por ejemplo, la duración de los meses se repite cada cuatro años. Si los valores de $x$ representa el tiempo de duración, medido en años, y $f(x)$ representa el número de días en el mes de febrero, entonces $f(x+4)=f(x).$ Este patrón se repite una y otra vez a lo largo del tiempo. En otras palabras, cada cuatro años, es seguro que febrero tenga el mismo número de días que tenía 4 años antes. El 4 es el menor número positivo que satisface esta condición y se denomina periodo. Un periodo es el intervalo más corto en el que una función realiza un ciclo completo; en este ejemplo, el período es 4 y representa el tiempo que tardamos en estar seguros de que febrero tendrá el mismo número de días.

Periodo de una función

El periodo $P$ de una función repetitiva $f$ es el número que representa el intervalo tal que $f(x+P)=f(x)$ para cualquier valor de $x.$

El periodo de las funciones coseno, seno, secante y cosecante es $2\pi .$

El periodo de las funciones tangente y cotangente es $\pi .$

Ejemplo 8

Hallar los valores de las funciones trigonométricas

Halle los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo $t$ con base en la Figura 9.

Figura 9

Solución

$$\begin{array}{l}\mathrm{sen}t=y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos t=x=-\frac{1}{2}\\ \tan t=\frac{\mathrm{sen}t}{\cos t}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{–\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\\ \sec t=\frac{1}{\cos t}=\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-2\\ \csc t=\frac{1}{\mathrm{sen}t}=\frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\\ \cot t=\frac{1}{\tan t}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}$$

Inténtelo #8

Halle los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo $t$ con base en la Figura 10

Figura 10

Ejemplo 9

Hallar el valor de las funciones trigonométricas

Si los valores de $\mathrm{sen}\left(t\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ y $\text{cos}(t)=\frac{1}{2},$ calcule $\text{sec}(t),\text{csc}(t),\text{tan}(t),\text{ cot}(t).$

Solución

$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\\ \sec t=\frac{1}{\cos t}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\end{array}\hfill \\ \csc t=\frac{1}{\mathrm{sen}t}=\frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}-\frac{2\sqrt{3}}{3}\hfill \\ \tan t=\frac{\mathrm{sen}t}{\cos t}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=-\sqrt{3}\hfill \\ \cot t=\frac{1}{\tan t}=\frac{1}{-\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\hfill \end{array}$$

Inténtelo #9

Si los valores de $\mathrm{sen}\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\cos \left(t\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},$ calcule $\text{sec}(t),\text{csc}(t),\text{tan}(t),\text{ y cot}(t).$

Evaluar funciones trigonométricas con la calculadora

Hemos aprendido a evaluar las seis funciones trigonométricas para los ángulos comunes del primer cuadrante y a utilizarlas como ángulos de referencia para los ángulos de otros cuadrantes. Para evaluar las funciones trigonométricas de otros ángulos, utilizamos una calculadora científica o gráfica o un programa informático. Si la calculadora tiene un modo de grados y un modo de radianes, confirme que haya elegido el modo correcto antes de realizar un cálculo.

Evaluar una función tangente con una calculadora científica en lugar de una calculadora gráfica o un sistema de álgebra computacional es como evaluar un seno o un coseno: Introduzca el valor y pulse la tecla TAN. Para las funciones recíprocas, es posible que no haya determinadas teclas dedicadas que indiquen CSC, SEC o COT. En ese caso, la función deberá evaluarse como el recíproco del seno, del coseno o de la tangente.

Si necesitamos trabajar con grados y nuestra calculadora o programa informático no tienen modo de grados, podemos introducir los grados multiplicados por el factor de conversión $\frac{\pi }{180}$ para convertir los grados en radianes. Para hallar la secante de $\mathrm{30°},$ podríamos pulsar

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