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Precálculo 2ed

5.3 Las otras funciones trigonométricas

Precálculo 2ed5.3 Las otras funciones trigonométricas

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Hallar los valores exactos de las funciones trigonométricas secante, cosecante, tangente y cotangente de π 3 , π 3 , π 4 , π 4 , y π 6 . π 6 .
  • Utilizar los ángulos de referencia para evaluar las funciones trigonométricas secante, cosecante, tangente y cotangente.
  • Utilizar las propiedades de las funciones trigonométricas pares e impares.
  • Reconocer y utilizar las identidades fundamentales.
  • Evaluar funciones trigonométricas con la calculadora.

Una rampa para sillas de ruedas que cumpla las normas de la Ley de Estadounidenses con Discapacidades debe formar un ángulo con el suelo cuya tangente sea 1 12 1 12 o menos, independientemente de su longitud. Una tangente representa un cociente, por lo que esto significa que por cada 1 pulgada de subida, la rampa deberá tener 12 pulgadas de recorrido. Las funciones trigonométricas nos permiten especificar las formas y proporciones de los objetos, independientemente de las dimensiones exactas. Ya hemos definido las funciones seno y coseno de un ángulo. Aunque el seno y el coseno son las funciones trigonométricas más utilizadas, existen otras cuatro. Juntas forman el conjunto de las seis funciones trigonométricas. En esta sección, investigaremos las funciones restantes.

Hallar los valores exactos de las funciones trigonométricas secante, cosecante, tangente y cotangente

Para definir el resto de las funciones, volveremos a dibujar un círculo unitario con un punto ( x,y ) ( x,y ) correspondiente a un ángulo de t, t, como se muestra en la Figura 1. Al igual que con el seno y el coseno, podemos utilizar las coordenadas ( x,y ) ( x,y ) para hallar las otras funciones.

Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (x, y) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.
Figura 1

La primera función que definiremos es la tangente. La tangente de un ángulo es el cociente entre el valor de y, y el valor de x del punto correspondiente del círculo unitario. En la Figura 1, la tangente del ángulo t t es igual a y x ,x≠0. y x ,x≠0. Debido a que el valor de y es igual al seno de t, t, y el valor de x es igual al coseno de t, t, la tangente del ángulo t t también puede definirse como sent cost ,cost0. sent cost ,cost0. La función tangente se abrevia como tan. tan. Las tres funciones restantes pueden expresarse como recíprocas de las funciones que ya hemos definido.

  • La función secante es la recíproca de la función coseno. En la Figura 1, la secante del ángulo t t es igual a 1 cost = 1 x ,x0. 1 cost = 1 x ,x0. La función secante se abrevia como sec. sec.
  • La función cotangente es la recíproca de la función tangente. En la Figura 1, la cotangente del ángulo t t es igual a cost sent = x y ,y0. cost sent = x y ,y0. La función cotangente se abrevia como cot. cot.
  • La función cosecante es la recíproca de la función seno. En la Figura 1, la cosecante del ángulo t t es igual a 1 sent = 1 y ,y0. 1 sent = 1 y ,y0. La función cosecante se abrevia como csc. csc.

Funciones tangente, secante, cosecante y cotangente

Si los valores de t t es un número real y (x,y) (x,y) es un punto donde el lado terminal de un ángulo de t t radianes interseca el círculo unitario, entonces

tant= y x ,x0 sect= 1 x ,x0 csct= 1 y ,y0 cott= x y ,y0 tant= y x ,x0 sect= 1 x ,x0 csct= 1 y ,y0 cott= x y ,y0

Ejemplo 1

Hallar funciones trigonométricas a partir de un punto en el círculo unitario

El punto ( - 3 2 , 1 2 ) ( - 3 2 , 1 2 ) está en el círculo unitario, como se indica en la Figura 2. Halle sent,cost,tant,sect,csct, sent,cost,tant,sect,csct, y cott. cott.

Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (raíz cuadrada negativa de 3 sobre 2, 1/2) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.
Figura 2

Inténtelo #1

El punto ( 2 2 ,- 2 2 ) ( 2 2 ,- 2 2 ) está en el círculo unitario, como se indica en la Figura 3. Halle sent,cost,tant,sect,csct, sent,cost,tant,sect,csct, y cott. cott.

Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (raíz cuadrada de 2 sobre 2, raíz cuadrada negativa de 2 sobre 2) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.
Figura 3

Ejemplo 2

Hallar las funciones trigonométricas de un ángulo

Halle sent,cost,tant,sect,csct, sent,cost,tant,sect,csct, y cott cott cuando t= π 6 . t= π 6 .

Inténtelo #2

Halle sent,cost,tant,sect,csct, sent,cost,tant,sect,csct, y cott cott cuando t= π 3 . t= π 3 .

Ya que conocemos los valores del seno y del coseno para los ángulos comunes del primer cuadrante, también podemos calcular los demás valores de la función para esos ángulos al establecer x x igual al coseno, así como y y igual al seno y luego usar las definiciones de tangente, secante, cosecante y cotangente. Los resultados se indican en la Tabla 1.

Ángulo 0 0 π 6 , o 30°. π 6 , o 30°. π 4 , o 45°. π 4 , o 45°. π 3 , o 60°. π 3 , o 60°. π 2 , o 90°. π 2 , o 90°.
Coseno 1 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 0
Seno 0 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 1
Tangente 0 3 3 3 3 1 3 3 Indefinida
Secante 1 2 3 3 2 3 3 2 2 2 Indefinida
Cosecante Indefinida 2 2 2 2 3 3 2 3 3 1
Cotangente Indefinida 3 3 1 3 3 3 3 0
Tabla 1

Usar ángulos de referencia para evaluar la tangente, la secante, la cosecante y la cotangente

Podemos evaluar funciones trigonométricas de ángulos fuera del primer cuadrante utilizando ángulos de referencia, como ya lo hemos hecho con las funciones seno y coseno. El procedimiento es el mismo: Halle el ángulo de referencia formado por el lado terminal del ángulo dado con el eje horizontal. Los valores de la función trigonométrica para el ángulo original serán los mismos que los del ángulo de referencia, excepto el signo positivo o negativo, que viene determinado por los valores de x y de y en el cuadrante original. La Figura 4 muestra qué funciones son positivas en qué cuadrante.

Para recordar cuáles de las seis funciones trigonométricas son positivas en cada cuadrante, podemos utilizar la frase nemotécnica: “A Smart Trig Class” (Una clase de trigonometría inteligente). Cada una de las cuatro palabras de la frase corresponde a uno de los cuatro cuadrantes, empezando por el cuadrante I y girando en sentido contrario a las agujas del reloj. En el cuadrante I, que es "A", “all” (todas las) seis funciones trigonométricas son positivas. En el cuadrante II, "Smart”, solo el seno y su función recíproca, la cosecante, son positivos. En el cuadrante III, "Trig”, solo la tangente y su función recíproca, cotangente, son positivas. Por último, en el cuadrante IV, "Class,” (clase) solo el coseno y su función recíproca, la secante, son positivos.

Gráfico del círculo con cada cuadrante marcado. Bajo el cuadrante 1, etiquetas para sen t, cos t, tan t, sec t, csc t y cot t. Bajo el cuadrante 2, etiquetas para sen t y csc t. En el cuadrante 3, etiquetas para tan t y cot t. En el cuadrante 4, etiquetas para cos t, sec t.
Figura 4

Cómo

Dado un ángulo que no está en el primer cuadrante, utilizar los ángulos de referencia para hallar las seis funciones trigonométricas.

  1. Mida el ángulo formado por el lado terminal del ángulo dado y el eje horizontal. Este es el ángulo de referencia.
  2. Evalúe la función en el ángulo de referencia.
  3. Observe el cuadrante donde se encuentra el lado terminal del ángulo original. Con base en el cuadrante, determine si la salida es positiva o negativa.

Ejemplo 3

Usar ángulos de referencia para hallar funciones trigonométricas

Utilice los ángulos de referencia para hallar las seis funciones trigonométricas de 5π 6 . 5π 6 .

Inténtelo #3

Utilice los ángulos de referencia para hallar las seis funciones trigonométricas de 7π 4 . 7π 4 .

Usar funciones trigonométricas pares e impares

Para utilizar libremente nuestras seis funciones trigonométricas con entradas de ángulos positivos y negativos, debemos examinar cómo trata cada función una entrada negativa. Resulta que hay una diferencia importante entre las funciones en este respecto.

Considere la función f(x)= x 2 , f(x)= x 2 , que se muestra en la Figura 5. El gráfico de la función es simétrico con respecto al eje y. A lo largo de la curva, dos puntos cualesquiera con valores de x opuestos tienen el mismo valor de función. Esto coincide con el resultado del cálculo: (4) 2 = (–4) 2 , (4) 2 = (–4) 2 , (−5) 2 = (5) 2 , (−5) 2 = (5) 2 , y así sucesivamente. Así que f(x)= x 2 f(x)= x 2 es una función par, una función tal que dos entradas que son opuestas tienen la misma salida. Esto significa que f( -x )=f( x ). f( -x )=f( x ).

Gráfico de la parábola con los puntos (-2, 4) y (2, 4) marcados.
Figura 5 La función f(x)= x 2 f(x)= x 2 es una función par.

Consideremos ahora la función f(x)= x 3 , f(x)= x 3 , que se muestra en la Figura 6. El gráfico no es simétrico con respecto al eje y. A lo largo del gráfico, dos puntos cualesquiera con valores de x opuestos también tienen valores de y opuestos. Así que f(x)= x 3 f(x)= x 3 es una función impar, una función tal que dos entradas que son opuestas tienen salidas que también son opuestas. Esto significa que f( -x )=-f( x ). f( -x )=-f( x ).

Gráfico de la función con etiquetas para los puntos (-1, -1) y (1, 1).
Figura 6 La función f(x)= x 3 f(x)= x 3 es una función impar.

Podemos comprobar si una función trigonométrica es par o impar al dibujar un círculo unitario con un ángulo positivo y otro negativo, como en la Figura 7. El seno del ángulo positivo es y. y. El seno del ángulo negativo es -y. La función seno, entonces, es una función impar. Podemos probar cada una de las seis funciones trigonométricas de esta manera. Los resultados se indican en la Tabla 2.

Gráfico del círculo con el ángulo de t y -t inscrito. El punto de (x, y) está en la intersección del lado terminal del ángulo t y el borde del círculo. El punto de (x, -y) está en la intersección del lado terminal del ángulo -t y el borde del círculo.
Figura 7
sent=y sen(t)=-y sentsen(t) sent=y sen(t)=-y sentsen(t) cost=x cos(t)=x cost=cos(t) cost=x cos(t)=x cost=cos(t) tan(t)= y x tan(t)=- y x tanttan(t) tan(t)= y x tan(t)=- y x tanttan(t)
sect= 1 x sec(t)= 1 x sect=sec(t) sect= 1 x sec(t)= 1 x sect=sec(t) csct= 1 y csc(t)= 1 -y csctcsc(t) csct= 1 y csc(t)= 1 -y csctcsc(t) cott= x y cot(t)= x -y cottcot(t) cott= x y cot(t)= x -y cottcot(t)
Tabla 2

Funciones trigonométricas pares e impares

La función par es aquella en la que f(-x)=f(x). f(-x)=f(x).

Una función impar es aquella en la que f(-x)=-f(x). f(-x)=-f(x).

El coseno y la secante son pares:

cos(t)=cost sec(t)=sect cos(t)=cost sec(t)=sect

El seno, la tangente, la cosecante y la cotangente son impares:

sen(t)=-sent tan(t)=-tant csc(t)=-csct cot(t)=-cott sen(t)=-sent tan(t)=-tant csc(t)=-csct cot(t)=-cott

Ejemplo 4

Usar las propiedades pares e impares de las funciones trigonométricas

Si la secante del ángulo t t es 2, ¿cuál es la secante de t? t?

Inténtelo #4

Si la cotangente del ángulo t t es 3 , 3 , ¿cuál es la cotangente de t? t?

Reconocer y utilizar las identidades fundamentales

Hemos explorado una serie de propiedades de las funciones trigonométricas. Ahora, podemos llevar las relaciones un paso más allá y derivar algunas identidades fundamentales. Las identidades son enunciados verdaderos para todos los valores de la entrada sobre la que se definen. Normalmente, las identidades se derivan de definiciones y relaciones que ya conocemos. Por ejemplo, la identidad pitagórica, que aprendimos antes, se deriva del teorema de Pitágoras y de las definiciones de seno y coseno.

Identidades fundamentales

Podemos derivar algunas identidades útiles de las seis funciones trigonométricas. Las otras cuatro funciones trigonométricas pueden relacionarse con las funciones seno y coseno por medio de estas relaciones básicas:

tant= sentcos ttant= sentcos t
sect= 1 cost sect= 1 cost
csct= 1 sent csct= 1 sent
cott= 1 tant = cost sent cott= 1 tant = cost sent

Ejemplo 5

Usar identidades para evaluar funciones trigonométricas

  1. Dados sen(45°)= 2 2 ,cos(45°)= 2 2 , sen(45°)= 2 2 ,cos(45°)= 2 2 , evaluar tan(45°). tan(45°).
  2. Dados sen( 5π 6 )= 1 2 ,cos( 5π 6 )=- 3 2 ,evalúesec( 5π 6 ). sen( 5π 6 )= 1 2 ,cos( 5π 6 )=- 3 2 ,evalúesec( 5π 6 ).

Inténtelo #5

Evalúe csc( 7π 6 ). csc( 7π 6 ).

Ejemplo 6

Usar identidades para simplificar expresiones trigonométricas

Simplifique sect tant . sect tant .

Inténtelo #6

Simplifique (tant)(cost). (tant)(cost).

Formas alternativas de la identidad pitagórica

Podemos utilizar estas identidades fundamentales para derivar formas alternativas de la identidad pitagórica, cos 2 t+ sen 2 t=1. cos 2 t+ sen 2 t=1. Una forma se obtiene al dividir ambos lados entre cos 2 t: cos 2 t:

cos 2 t cos 2 t + sen 2 t cos 2 t = 1 cos 2 t 1+ tan 2 t= sec 2 t cos 2 t cos 2 t + sen 2 t cos 2 t = 1 cos 2 t 1+ tan 2 t= sec 2 t

La otra forma se obtiene al dividir ambos lados entre sen 2 t: sen 2 t:

cos 2 t sen 2 t + sen 2 t sen 2 t = 1 sen 2 t cot 2 t+1= csc 2 t cos 2 t sen 2 t + sen 2 t sen 2 t = 1 sen 2 t cot 2 t+1= csc 2 t

Formas alternativas de la identidad pitagórica

1+ tan 2 t= sec 2 t 1+ tan 2 t= sec 2 t
cot 2 t+1= csc 2 t cot 2 t+1= csc 2 t

Ejemplo 7

Usar identidades para relacionar funciones trigonométricas

Si los valores de cos(t)= 12 13 cos(t)= 12 13 y t t está en el cuadrante IV, como se indica en la Figura 8, halle los valores de las otras cinco funciones trigonométricas.

Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (12/13, y) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.
Figura 8

Inténtelo #7

Si los valores de sec(t)= 17 8 sec(t)= 17 8 y 0<t<π, 0<t<π, halle los valores de las otras cinco funciones.

Como hemos comentado al inicio del capítulo, la función que repite sus valores en intervalos regulares se conoce como función periódica. Las funciones trigonométricas son periódicas. Para las cuatro funciones trigonométricas, seno, coseno, cosecante y secante, la revolución de un círculo o 2π, 2π, dará lugar a las mismas salidas para estas funciones. Igualmente, para la tangente y la cotangente, solo media revolución dará lugar a las mismas salidas.

Otras funciones también pueden ser periódicas. Por ejemplo, la duración de los meses se repite cada cuatro años. Si los valores de x x representa el tiempo de duración, medido en años, y f(x) f(x) representa el número de días en el mes de febrero, entonces f(x+4)=f(x). f(x+4)=f(x). Este patrón se repite una y otra vez a lo largo del tiempo. En otras palabras, cada cuatro años, es seguro que febrero tenga el mismo número de días que tenía 4 años antes. El 4 es el menor número positivo que satisface esta condición y se denomina periodo. Un periodo es el intervalo más corto en el que una función realiza un ciclo completo; en este ejemplo, el período es 4 y representa el tiempo que tardamos en estar seguros de que febrero tendrá el mismo número de días.

Periodo de una función

El periodo P P de una función repetitiva f f es el número que representa el intervalo tal que f(x+P)=f(x) f(x+P)=f(x) para cualquier valor de x. x.

El periodo de las funciones coseno, seno, secante y cosecante es 2π. 2π.

El periodo de las funciones tangente y cotangente es π. π.

Ejemplo 8

Hallar los valores de las funciones trigonométricas

Halle los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo t t con base en la Figura 9.

Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (1/2, raíz cuadrada negativa de 3 sobre 2) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.
Figura 9

Inténtelo #8

Halle los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo t t con base en la Figura 10

Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (0, -1) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.
Figura 10

Ejemplo 9

Hallar el valor de las funciones trigonométricas

Si los valores de sen( t )=- 3 2 sen( t )=- 3 2 y cos(t)= 1 2 , cos(t)= 1 2 , calcule sec(t),csc(t),tan(t), cot(t). sec(t),csc(t),tan(t), cot(t).

Inténtelo #9

Si los valores de sen( t )= 2 2 sen( t )= 2 2 y cos( t )= 2 2 , cos( t )= 2 2 , calcule sec(t),csc(t),tan(t), y cot(t). sec(t),csc(t),tan(t), y cot(t).

Evaluar funciones trigonométricas con la calculadora

Hemos aprendido a evaluar las seis funciones trigonométricas para los ángulos comunes del primer cuadrante y a utilizarlas como ángulos de referencia para los ángulos de otros cuadrantes. Para evaluar las funciones trigonométricas de otros ángulos, utilizamos una calculadora científica o gráfica o un programa informático. Si la calculadora tiene un modo de grados y un modo de radianes, confirme que haya elegido el modo correcto antes de realizar un cálculo.

Evaluar una función tangente con una calculadora científica en lugar de una calculadora gráfica o un sistema de álgebra computacional es como evaluar un seno o un coseno: Introduzca el valor y pulse la tecla TAN. Para las funciones recíprocas, es posible que no haya determinadas teclas dedicadas que indiquen CSC, SEC o COT. En ese caso, la función deberá evaluarse como el recíproco del seno, del coseno o de la tangente.

Si necesitamos trabajar con grados y nuestra calculadora o programa informático no tienen modo de grados, podemos introducir los grados multiplicados por el factor de conversión π 180 π 180 para convertir los grados en radianes. Para hallar la secante de 30°, 30°, podríamos pulsar

(en una calculadora científica): 1 30× π 180 COS (en una calculadora científica): 1 30× π 180 COS

o

(en una calculadora gráfica): 1 cos( 30π 180 ) (en una calculadora gráfica): 1 cos( 30π 180 )

Cómo

Dada la medida de un ángulo en radianes, utilizar una calculadora científica para hallar la cosecante.

  1. Si la calculadora tiene modo grado y modo radián, configúrela en modo radián.
  2. Ingrese: 1 / 1 /
  3. Introduzca el valor del ángulo dentro del paréntesis.
  4. Presione la tecla SIN (SEN).
  5. Pulse la tecla =.

Cómo

Dada la medida de un ángulo en radianes, utilizar una herramienta gráfica o calculadora gráfica para hallar la cosecante.

  1. Si la herramienta gráfica tiene modo de grados y modo de radianes, configúrela al modo de radianes.
  2. Ingrese: 1 / 1 /
  3. Presione la tecla SIN (SEN).
  4. Introduzca el valor del ángulo dentro del paréntesis.
  5. Pulse la tecla ENTER.

Ejemplo 10

Evaluar la cosecante mediante la tecnología

Evalúe la cosecante de 5π 7 . 5π 7 .

Inténtelo #10

Evalúe la cotangente de π 8 . π 8 .

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con otras funciones trigonométricas.

5.3 Ejercicios de sección

Verbales

1.

En un intervalo de [ 0,2π ), [ 0,2π ), ¿los valores del seno y del coseno de una medición de radián pueden ser iguales? Si es así, ¿dónde?

2.

¿Cuál sería la estimación del coseno de π π grados? Explique su razonamiento.

3.

Para cualquier ángulo del cuadrante II, si conociera el seno del ángulo, ¿cómo podría determinar el coseno?

4.

Describa la función secante.

5.

La tangente y la cotangente tienen un período de π. π. ¿Qué nos dice esto sobre la salida de estas funciones?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de cada expresión.

6.

tan π 6 tan π 6

7.

sec π 6 sec π 6

8.

csc π 6 csc π 6

9.

cot π 6 cot π 6

10.

tan π 4 tan π 4

11.

sec π 4 sec π 4

12.

csc π 4 csc π 4

13.

cot π 4 cot π 4

14.

tan π 3 tan π 3

15.

sec π 3 sec π 3

16.

csc π 3 csc π 3

17.

cot π 3 cot π 3

En los siguientes ejercicios, utilice los ángulos de referencia para evaluar la expresión.

18.

tan 5π 6 tan 5π 6

19.

sec 7π 6 sec 7π 6

20.

csc 11π 6 csc 11π 6

21.

cot 13π 6 cot 13π 6

22.

tan 7π 4 tan 7π 4

23.

sec 3π 4 sec 3π 4

24.

csc 5π 4 csc 5π 4

25.

cot 11π 4 cot 11π 4

26.

tan 8π 3 tan 8π 3

27.

sec 4π 3 sec 4π 3

28.

csc 2π 3 csc 2π 3

29.

cot 5π 3 cot 5π 3

30.

tan225° tan225°

31.

sec300° sec300°

32.

csc150° csc150°

33.

cot240° cot240°

34.

tan330° tan330°

35.

sec120° sec120°

36.

csc210° csc210°

37.

cot315° cot315°

38.

Si los valores de sent= 3 4 , sent= 3 4 , y t t están en el cuadrante II, halle cost cost, sectsect, csctcsct, tanttant,cott. cott.

39.

Si los valores de cost=- 1 3 , cost=- 1 3 , y t t están en el cuadrante III, halle sent,sect,csct,tant,cott. sent,sect,csct,tant,cott.

40.

Si tant= 12 5 , tant= 12 5 , y 0t< π 2 , 0t< π 2 , calcule sent,cost,sect,csct, sent,cost,sect,csct, y cott. cott.

41.

Si los valores de sent= 3 2 sent= 3 2 y cost= 1 2 , cost= 1 2 , calcule sect,csct,tant, sect,csct,tant, y cott. cott.

42.

Si los valores de sen40°0,643 sen40°0,643 y cos40°0,766 cos40°0,766 calcule sec40°,csc40°,tan40° sec40°,csc40°,tan40° y cot y 40°. cot y 40°.

43.

Si los valores de sent= 2 2 , sent= 2 2 , ¿cuál es el sen(t)? sen(t)?

44.

Si los valores de cost= 1 2 , cost= 1 2 , ¿cuál es el cos(t)? cos(t)?

45.

Si los valores de sect=3,1, sect=3,1, ¿cuál es el sec(t)? sec(t)?

46.

Si los valores de csct=0,34, csct=0,34, ¿cuál es el csc(t)? csc(t)?

47.

Si tant=1,4, tant=1,4, ¿cuál es la tan(t)? tan(t)?

48.

Si los valores de cott=9,23, cott=9,23, ¿cuál es la cot(t)? cot(t)?

Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el ángulo en el círculo unitario para calcular el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas.

49.
Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (raíz cuadrada de 2 sobre 2, raíz cuadrada de 2 sobre 2) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.
50.
Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (raíz cuadrada de 3 sobre 2, 1/2) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.
51.
Gráfico del círculo con el ángulo de t inscrito. El punto de (-1/2, raíz cuadrada negativa de 3 sobre 2) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para evaluar.

52.

csc 5π 9 csc 5π 9

53.

cot 4π 7 cot 4π 7

54.

sec π 10 sec π 10

55.

tan 5π 8 tan 5π 8

56.

sec 3π 4 sec 3π 4

57.

csc π 4 csc π 4

58.

tan98° tan98°

59.

cot33° cot33°

60.

cot140° cot140°

61.

sec310° sec310°

Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice las identidades para evaluar la expresión.

62.

Si los valores de tan( t )2,7, tan( t )2,7, y sen( t )0,94, sen( t )0,94, calcule cos( t ). cos( t ).

63.

Si tan( t )1.3, tan( t )1.3, y cos( t )0,61, cos( t )0,61, calcule sen( t ). sen( t ).

64.

Si los valores de csc( t )3,2, csc( t )3,2, y cos( t )0,95, cos( t )0,95, calcule tan( t ). tan( t ).

65.

Si los valores de cot( t )0,58, cot( t )0,58, y cos( t )0,5, cos( t )0,5, calcule csc( t ). csc( t ).

66.

Determine si la función f(x)=2senxcosx f(x)=2senxcosx es par, impar o ninguna de las dos.

67.

Determine si la función f(x)=3 sen 2 xcosx+secx f(x)=3 sen 2 xcosx+secx es par, impar o ninguna de las dos.

68.

Determine si la función f(x)=senx-2 cos 2 x f(x)=senx-2 cos 2 x es par, impar o ninguna de las dos.

69.

Determine si la función f(x)= csc 2 x+secx f(x)= csc 2 x+secx es par, impar o ninguna de las dos.

En los siguientes ejercicios, utilice las identidades para simplificar la expresión.

70.

cscttant cscttant

71.

sect csct sect csct

Aplicaciones en el mundo real

72.

La cantidad de luz solar en una determinada ciudad puede modelarse mediante la función h=15cos( 1 600 d ), h=15cos( 1 600 d ), donde h h representa las horas de luz solar y d d es el día del año. Utilice la ecuación para calcular cuántas horas de luz solar hay el 11 de febrero, el 42.º día del año. Indique el periodo de la función.

73.

La cantidad de luz solar en una determinada ciudad puede modelarse mediante la función h=16cos( 1 500 d ), h=16cos( 1 500 d ), donde h h representa las horas de luz solar y d d es el día del año. Utilice la ecuación para calcular cuántas horas de luz solar hay el 24 de septiembre, el 267.º día del año. Indique el periodo de la función.

74.

La ecuación P=20sen( 2πt )+100 P=20sen( 2πt )+100 modela la presión arterial, P, P, donde tt representa el tiempo en segundos. (a) Halle la presión arterial después de 15 segundos. (b) ¿Cuál es la sístole y la diástole?

75.

La altura de un pistón, h, h, en pulgadas, se puede modelar mediante la ecuación y=2cosx+6, y=2cosx+6, donde x x representa el ángulo del cigüeñal. Calcule la altura del pistón cuando el ángulo del cigüeñal es 55°. 55°.

76.

La altura de un pistón, h, h, en pulgadas, se puede modelar mediante la ecuación y=2cosx+5, y=2cosx+5, donde x x representa el ángulo del cigüeñal. Calcule la altura del pistón cuando el ángulo del cigüeñal es 55°. 55°.

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