Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Utilizar los triángulos rectángulos para evaluar las funciones trigonométricas.
Hallar los valores de la función para $30° (\frac{π}{6}),$ $45° (\frac{π}{4}),$ y $60° (\frac{π}{3}) .$
Utilizar cofunciones de ángulos complementarios.
Utilizar las deﬁniciones de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo.
Utilizar la trigonometría del triángulo rectángulo para resolver problemas aplicados.

Anteriormente hemos definido el seno y el coseno de un ángulo en términos de las coordenadas de un punto del círculo unitario intersecado por el lado terminal del ángulo:

\begin{matrix} \cos t = x \\ sen t = y \end{matrix}

En esta sección, veremos otra forma de definir las funciones trigonométricas mediante las propiedades de los triángulos rectángulos.

Usar triángulos rectángulos para evaluar funciones trigonométricas

En secciones anteriores, hemos utilizado un círculo unitario para definir las funciones trigonométricas. En esta sección, ampliaremos esas definiciones para aplicarlas a los triángulos rectángulos. El valor de la función seno o coseno de $t$ es su valor en $t$ radianes. En primer lugar, tenemos que crear nuestro triángulo rectángulo. La Figura 1 muestra un punto en un círculo unitario de radio 1. Si dejamos caer un segmento de línea vertical desde el punto $(x, y)$ al eje x, tenemos un triángulo rectángulo cuyo lado vertical tiene longitud $y$ y cuyo lado horizontal tiene una longitud $x .$ Podemos utilizar este triángulo rectángulo para redefinir el seno, el coseno y las demás funciones trigonométricas como cocientes de los lados de un triángulo rectángulo.

Gráfico del cuarto de círculo con radio de 1 y ángulo de t. El punto de (x,y) está en la intersección del lado terminal del ángulo y el borde del círculo.

Figura 1

Sabemos que

\cos t = \frac{x}{1} = x

Asimismo, sabemos que

sen t = \frac{y}{1} = y

Estas relaciones se siguen aplicando a los lados de un triángulo rectángulo cuando no hay ningún círculo unitario y cuando el triángulo no está en posición estándar y no se grafica con las coordenadas $(x, y)$ . Para utilizar estas relaciones libremente, daremos a los lados designaciones más genéricas: En lugar de $x,$ llamaremos lado adyacente al ángulo al lado del ángulo dado $t .$ (Adyacente significa “junto a”). En lugar de $y,$ llamaremos lado opuesto al ángulo dado al lado más distante del ángulo $t .$ Finalmente, en lugar de $1,$ llamaremos hipotenusa al lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto. Estos lados están marcados en la Figura 2.

Triángulo rectángulo con la hipotenusa, el opuesto y los lados adyacentes marcados.

Figura 2 Los lados de un triángulo rectángulo en relación con el ángulo

t .

Comprender las relaciones de los triángulos rectángulos

Dado un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de $t,$

\begin{array}{l} sen (t) = \frac{opuesto}{hipotenusa} \\ \cos (t) = \frac{adyacente}{hipotenusa} \\ \tan (t) = \frac{opuesto}{adyacente} \end{array}

Una mnemotecnia común para recordar estas relaciones es SohCahToa, formada por las primeras letras de "Translation missing: es.screenreader.underlineSTranslation missing: es.screenreader.end Translation missing: es.screenreader.underlineeno es Translation missing: es.screenreader.underlineoTranslation missing: es.screenreader.end Translation missing: es.screenreader.underlinepuesto sobre la Translation missing: es.screenreader.underlinehTranslation missing: es.screenreader.end Translation missing: es.screenreader.underlineipotenusa, Translation missing: es.screenreader.underlineCTranslation missing: es.screenreader.end Translation missing: es.screenreader.underlineoseno es Translation missing: es.screenreader.underlineaTranslation missing: es.screenreader.end Translation missing: es.screenreader.underlinedyacente sobre la Translation missing: es.screenreader.underlinehTranslation missing: es.screenreader.end Translation missing: es.screenreader.underlineipotenusa, Translation missing: es.screenreader.underlineTTranslation missing: es.screenreader.end Translation missing: es.screenreader.underlineangente es Translation missing: es.screenreader.underlineoTranslation missing: es.screenreader.end Translation missing: es.screenreader.underlinepuesto sobre el Translation missing: es.screenreader.underlineaTranslation missing: es.screenreader.end Translation missing: es.screenreader.underlinedyacente”.

Cómo

Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo y uno de los ángulos agudos, hallar el seno, el coseno y la tangente de ese ángulo.

Halle el seno como el cociente del lado opuesto a la hipotenusa.
Halle el coseno como el cociente entre el lado adyacente y la hipotenusa.
Halle la tangente como el cociente del lado opuesto al lado adyacente.

Ejemplo 1

Evaluar una función trigonométrica de un triángulo rectángulo

Dado el triángulo que figura en la Figura 3, calcule el valor de $\cos α .$

Triángulo rectángulo con longitudes laterales de 8, 15 y 17. El ángulo alfa también está marcado.

Figura 3

Solución

El lado adyacente al ángulo es 15, y la hipotenusa del triángulo es 17, por lo que

\begin{array}{l} \cos (α) = \frac{adyacente}{hipotenusa} \\ = \frac{15}{17} \end{array}

Inténtelo #1

Dado el triángulo que se muestra en la Figura 4, calcular el valor de $sen t .$

Triángulo rectángulo con lados de 7, 24 y 25. También está marcado el ángulo t.

Figura 4

Relacionar los ángulos y sus funciones

Cuando se trabaja con triángulos rectángulos, se aplican las mismas reglas, independientemente de la orientación del triángulo. De hecho, podemos evaluar las seis funciones trigonométricas de cualquiera de los dos ángulos agudos del triángulo en la Figura 5. El lado opuesto a un ángulo agudo es el lado adyacente al otro ángulo agudo y viceversa.

Triángulo rectángulo con ángulos alfa y beta. Los lados se etiquetan como hipotenusa, adyacente a alfa/opuesto a beta, y adyacente a beta/opuesto a alfa.

Figura 5 El lado adyacente a un ángulo es opuesto al otro.

Se nos pide que hallemos las seis funciones trigonométricas para un ángulo dado en un triángulo. Nuestra estrategia es hallar primero el seno, el coseno y la tangente de los ángulos. Entonces, podemos hallar las otras funciones trigonométricas fácilmente porque sabemos que el recíproco del seno es la cosecante, el recíproco del coseno es la secante y el recíproco de la tangente es la cotangente.

Cómo

Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, evaluar las seis funciones trigonométricas de uno de los ángulos agudos.

Si es necesario, dibuje el triángulo rectángulo y marque el ángulo suministrado.
Identifique el ángulo, el lado adyacente, el lado opuesto al ángulo y la hipotenusa del triángulo rectángulo.
Halle la función requerida:
- el seno como el cociente entre el lado opuesto y la hipotenusa
- el coseno como el cociente entre el lado adyacente y la hipotenusa
- la tangente como el cociente entre el lado opuesto y el lado adyacente
- el secante como el cociente entre la hipotenusa y el lado adyacente
- el cosecante como el cociente entre la hipotenusa y el lado opuesto
- la cotangente como el cociente entre el lado adyacente y el lado opuesto

Ejemplo 2

Evaluar funciones trigonométricas de ángulos que no están en posición estándar

Con el triángulo que aparece en la Figura 6, evalúe $sen α,$ $\cos α,$ $\tan α,$ $\sec α,$ $\csc α,$ y $\cot α .$

Triángulo rectángulo con lados de 3, 4 y 5. El ángulo alfa también está marcado.

Figura 6

Solución

\begin{array}{l} sen α = \frac{opuesto α}{hipotenusa} = \frac{4}{5} \\ \cos α = \frac{junto a α}{hipotenusa} = \frac{3}{5} \\ \tan α = \frac{opuesto α}{junto a α} = \frac{4}{3} \\ \sec α = \frac{hipotenusa}{junto a α} = \frac{5}{3} \\ \csc α = \frac{hipotenusa}{opuesto α} = \frac{5}{4} \\ \cot α = \frac{junto a α}{opuesto α} = \frac{3}{4} \end{array}

Inténtelo #2

Con el triángulo que aparece en la Figura 7, evalúe $sen t,$ $\cos t,$ $\tan t,$ $\sec t,$ $\csc t,$ y $\cot t .$

Triángulo rectángulo con lados 33, 56 y 65. El ángulo t también está marcado.

Figura 7

Hallar funciones trigonométricas de ángulos especiales utilizando las longitudes de los lados

Ya hemos hablado de las funciones trigonométricas en su relación con los ángulos especiales del círculo unitario. Ahora, podemos utilizar esas relaciones para evaluar los triángulos que contienen esos ángulos especiales. Hacemos esto porque cuando evaluamos los ángulos especiales en las funciones trigonométricas, estos tienen valores relativamente amigables, valores que no contienen ninguna o solo una raíz cuadrada en el cociente. Por lo tanto, estos son los ángulos que se utilizan a menudo en los problemas matemáticos y científicos. Utilizaremos múltiplos de $30°,$ $60°,$ y $45°,$ sin embargo, recuerde que, cuando se trata de triángulos rectángulos, estamos limitados a los ángulos entre $0° y 90º .$

Supongamos que tenemos un triángulo de $30°, 60°, 9 0°$ , que también puede describirse como un triángulo de $\frac{π}{6}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}$ . Los lados tienen longitudes en la relación $s, \sqrt{3} s, 2 s .$ Los lados de un triángulo de $45°, 45°, 90°$ , que también puede describirse como un triángulo de $\frac{π}{4}, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}$ , tienen longitudes en la relación $s, s, \sqrt{2} s .$ Estas relaciones se muestran en la Figura 8.

Dos gráficos paralelos de círculos con ángulos inscritos. El primer círculo tiene inscrito el ángulo de pi/3. El segundo círculo tiene inscrito el ángulo de pi/4.

Figura 8 Longitudes laterales de los triángulos especiales

A continuación, podemos utilizar el cociente de las longitudes laterales para evaluar las funciones trigonométricas de los ángulos especiales.

Cómo

Dadas las funciones trigonométricas de un ángulo especial, evaluar con las longitudes laterales.

Utilice las longitudes laterales que figuran en la Figura 8 para el ángulo especial que desea evaluar.
Utilice el cociente de longitudes laterales, adecuado a la función que desea evaluar.

Ejemplo 3

Evaluar funciones trigonométricas de ángulos especiales con las longitudes laterales

Halle el valor exacto de las funciones trigonométricas de $\frac{π}{3},$ con las longitudes laterales.

Solución

\begin{array}{l} sen (\frac{π}{3}) = \frac{opp}{hyp} = \frac{\sqrt{3} s}{2 s} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos (\frac{π}{3}) = \frac{adj}{hyp} = \frac{s}{2 s} = \frac{1}{2} \\ \tan (\frac{π}{3}) = \frac{opp}{adj} = \frac{\sqrt{3} s}{s} = \sqrt{3} \\ \sec (\frac{π}{3}) = \frac{hyp}{adj} = \frac{2 s}{s} = 2 \\ \csc (\frac{π}{3}) = \frac{hyp}{opp} = \frac{2 s}{\sqrt{3} s} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \\ \cot (\frac{π}{3}) = \frac{adj}{opp} = \frac{s}{\sqrt{3} s} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}

Inténtelo #3

Halle el valor exacto de las funciones trigonométricas de $\frac{π}{4},$ con las longitudes laterales.

Usar la cofunción igual de los complementos

Si observamos más detenidamente la relación entre el seno y el coseno de los ángulos especiales con respecto al círculo unitario, notaremos un patrón. En un triángulo rectángulo con ángulos de $\frac{π}{6}$ y $\frac{π}{3},$ vemos que el seno de $\frac{π}{3},$ a saber $\frac{\sqrt{3}}{2},$ es también el coseno de $\frac{π}{6},$ mientras que el seno de $\frac{π}{6},$ a saber $\frac{1}{2},$ es también el coseno de $\frac{π}{3} .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} sen \frac{π}{3} = \cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3} s}{2 s} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \\ sen \frac{π}{6} = \cos \frac{π}{3} = \frac{s}{2 s} = \frac{1}{2} \end{array}

Vea la Figura 9

Gráfico del círculo con el ángulo pi/3 inscrito.

Figura 9 El seno de

\frac{π}{3}

es igual al coseno de

\frac{π}{6}

y viceversa.

Este resultado no debería sorprender porque, como observamos en la Figura 9, el lado opuesto al ángulo de $\frac{π}{3}$ es también el lado adyacente a $\frac{π}{6},$ por lo que $sen (\frac{π}{3})$ y $\cos (\frac{π}{6})$ son exactamente la misma proporción de los mismos dos lados, $\sqrt{3} s$ y $2 s .$ De la misma manera, $\cos (\frac{π}{3})$ y $sen (\frac{π}{6})$ también son la misma proporción con los mismos dos lados, $s$ y $2 s .$

La interrelación entre el seno y el coseno de $\frac{π}{6}$ y $\frac{π}{3}$ también es válida para los dos ángulos agudos de cualquier triángulo rectángulo, ya que en todos los casos, el cociente de los dos mismos lados constituiría el seno de un ángulo y el coseno del otro. Ya que los tres ángulos de un triángulo suman $π,$ y el ángulo rectángulo es $\frac{π}{2},$ los dos ángulos restantes también deberán sumar $\frac{π}{2} .$ Esto significa que se puede formar un triángulo rectángulo con dos ángulos cualesquiera que sumen $\frac{π}{2}$ ; es decir, dos ángulos complementarios cualesquiera. Por lo tanto, podemos afirmar una identidad de la cofunción: Si dos ángulos cualesquiera son complementarios, el seno de uno es el coseno del otro y viceversa. Esta identidad se ilustra en la Figura 10.

Triángulo rectángulo con ángulos alfa y beta. Equivalencia entre seno alfa y coseno beta. Equivalencia entre seno beta y coseno alfa.

Figura 10 Identidad de la cofunción de seno y coseno de ángulos complementarios

Con esta identidad podemos afirmar sin calcular, por ejemplo, que el seno de $\frac{π}{12}$ es igual al coseno de $\frac{5 π}{12},$ y que el seno de $\frac{5 π}{12}$ es igual al coseno de $\frac{π}{12} .$ También podemos afirmar que si, para un determinado ángulo $t,$ $\cos t = \frac{5}{13},$ entonces $sen (\frac{π}{2} - t) = \frac{5}{13}$ también.

Identidades de la cofunción

Las identidades de la cofunción en radianes figuran en la Tabla 1.

$\cos t = sen (\frac{π}{2} - t)$	$sen t = \cos (\frac{π}{2} - t)$
$\tan t = \cot (\frac{π}{2} - t)$	$\cot t = \tan (\frac{π}{2} - t)$
$\sec t = \csc (\frac{π}{2} - t)$	$\csc t = \sec (\frac{π}{2} - t)$

Tabla 1

Cómo

Dados el seno y el coseno de un ángulo, halle el seno o coseno de su complemento.

Para determinar el seno del ángulo complementario, halle el coseno del ángulo original.
Para determinar el coseno del ángulo complementario, halle el seno del ángulo original.

Ejemplo 4

Usar las identidades de la cofunción

Si los valores de $sen t = \frac{5}{12},$ calcule $\cos (\frac{π}{2} - t) .$

Solución

Según las identidades de la cofunción para el seno y el coseno,

sen t = \cos (\frac{π}{2} - t) .

Así que

\cos (\frac{π}{2} - t) = \frac{5}{12} .

Inténtelo #4

Si los valores de $\csc (\frac{π}{6}) = 2,$ calcule $\sec (\frac{π}{3}) .$

Usar las funciones trigonométricas

En los ejemplos anteriores, hemos evaluado el seno y el coseno en triángulos en los que conocíamos los tres lados. No obstante, la verdadera potencia de la trigonometría de triángulos rectángulos surge cuando observamos los triángulos en los que conocemos un ángulo, pero no conocemos todos los lados.

Cómo

Dado un triángulo rectángulo, la longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo, hallar los lados restantes.

Para cada lado, seleccione la función trigonométrica que tiene el lado de la incógnita como numerador o denominador. El lado conocido será a su vez el denominador o el numerador.
Escriba una ecuación que establezca el valor de la función del ángulo conocido igual al cociente de los lados correspondientes.
Utilizando el valor de la función trigonométrica y la longitud lateral conocida, resuelva la longitud lateral que falta.

Ejemplo 5

Hallar las longitudes de los lados que faltan por medio de los cocientes trigonométricos

Halle los lados de la incógnita del triángulo en la Figura 11.

Triángulo rectángulo con los lados a, c y 7. El ángulo de 30 grados también está marcado.

Figura 11

Solución

Conocemos el ángulo y el lado opuesto, así que podemos usar la tangente para dar con el lado adyacente.

\tan (30°) = \frac{7}{a}

Reordenamos para resolver $a .$

\begin{array}{l} a = \frac{7}{\tan (30°)} \\ \approx 12,1 \end{array}

Podemos utilizar el seno para hallar la hipotenusa.

sen (30°) = \frac{7}{c}

De nuevo, reordenamos para resolver $c .$

\begin{array}{l} c = \frac{7}{sen (30°)} \\ \approx 14 \end{array}

Inténtelo #5

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de $\frac{π}{3}$ e hipotenusa de 20. Halle los lados y el ángulo de la incógnita del triángulo.

Usar la trigonometría de triángulos rectángulos para resolver problemas aplicados

La trigonometría del triángulo rectángulo tiene muchas aplicaciones prácticas. Por ejemplo, la capacidad de calcular las longitudes de los lados de un triángulo permite hallar la altura de un objeto alto sin necesidad de subir a la parte superior o tener que extender una cinta métrica a lo largo de su altura. Para ello, medimos la distancia desde la base del objeto hasta un punto del suelo situado a cierta distancia, donde podemos mirar hacia la parte superior del objeto alto en ángulo. El ángulo de elevación de un objeto por encima de un observador en relación con este es el ángulo entre la horizontal y la línea que va del objeto al ojo del observador. El triángulo rectángulo que crea esta posición tiene lados que representan la altura desconocida, la distancia medida desde la base y la línea de visión angular desde el suelo hasta la parte superior del objeto. Conociendo la distancia medida a la base del objeto y el ángulo de la línea de visión, podemos utilizar funciones trigonométricas para calcular la altura desconocida. Del mismo modo, podemos formar un triángulo desde la parte superior de un objeto alto mirando hacia abajo. El ángulo de depresión de un objeto por debajo de un observador con respecto a este es el ángulo entre la horizontal y la línea que va del objeto al ojo del observador. Vea la Figura 12.

Diagrama de una torre de radio con segmentos de línea que se extienden desde la parte superior y la base de la torre hasta un punto en el suelo a cierta distancia. Las dos líneas y la torre forman un triángulo rectángulo. El ángulo cerca de la parte superior de la torre es el ángulo de depresión. El ángulo en el suelo a una distancia de la torre es el ángulo de elevación.

Figura 12

Cómo

Dado un objeto alto, medir su altura indirectamente.

Haga un esquema de la situación del problema para tener en cuenta la información conocida y desconocida.
Establezca una distancia medida desde la base del objeto hasta un punto en el que la parte superior del objeto sea claramente visible.
En el otro extremo de la distancia medida, mire hacia la parte superior del objeto. Mida el ángulo que forma la línea de visión con la horizontal.
Escriba una ecuación que relacione la altura desconocida, la distancia medida y la tangente del ángulo de la línea de visión.
Resuelva la ecuación para la altura desconocida.

Ejemplo 6

Medir una distancia de manera indirecta

Para calcular la altura de un árbol, una persona camina hasta un punto situado a 30 pies de la base del árbol. Mide un ángulo de $57°$ entre una línea de visión hacia la copa del árbol y el suelo, como se muestra en la Figura 13. Calcule la altura del árbol.

Un árbol con un ángulo de 57 grados desde el punto de observación. El punto de observación está a 30 pies del árbol.

Figura 13

Solución

Sabemos que el ángulo de elevación es $57°$ y el lado adyacente es de 30 pies de largo. El lado opuesto es la altura desconocida.

La función trigonométrica que relaciona el lado opuesto a un ángulo y el lado adyacente al ángulo es la tangente. Por lo tanto, plantearemos nuestra información en términos de la tangente de $57°,$ supongamos que $h$ es la altura desconocida.

\begin{array}{l} \tan θ = \frac{opuesto}{adyacente} \\ tan (57°) = \frac{h}{30} & Resuelva para h . \\ h = 30 \tan (57°) & Multiplique . \\ h \approx 46,2 & Utilice la calculadora . \end{array}

El árbol tiene aproximadamente 46 pies de altura.

Inténtelo #6

¿Qué longitud se necesita en una escalera para alcanzar el alféizar de una ventana a 50 pies del suelo si la escalera se apoya en el edificio formando un ángulo de $\frac{5 π}{12}$ con el suelo? Redondee al pie más cercano.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar la trigonometría de triángulos rectángulos.

5.4 Ejercicios de sección

Verbales

1.

En el triángulo rectángulo dado, marque el lado adyacente, el lado opuesto y la hipotenusa para el ángulo indicado.

2.

Cuando un triángulo rectángulo con una hipotenusa de 1 se coloca en el círculo unitario, ¿qué lados del triángulo corresponden a las coordenadas de la x y de la y?

3.

¿La tangente de un ángulo compara qué lados del triángulo rectángulo?

4.

¿Cuál es la relación entre los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo?

5.

Explique la identidad de la cofunción.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice cofunciones de ángulos complementarios.

6.

$\cos (34°) = sen (__°)$

7.

$\cos (\frac{π}{3}) = sen (___)$

8.

$\csc (21°) = \sec (___°)$

9.

$\tan (\frac{π}{4}) = \cot (__)$

En los siguientes ejercicios, halle longitudes laterales que faltan si el lado $a$ es el ángulo opuesto $A,$ el lado $b$ es el ángulo opuesto $B,$ y el lado $c$ es la hipotenusa.

10.

$\cos B = \frac{4}{5}, a = 10$

11.

$sen B = \frac{1}{2}, a = 20$

12.

$\tan A = \frac{5}{12}, b = 6$

13.

$\tan A = 100, b = 100$

14.

$sen B = \frac{1}{\sqrt{3}}, a = 2$

15.

$a = 5, ∡ A = 60^{\circ}$

16.

$c = 12, ∡ A = 45^{\circ}$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice la Figura 14 para evaluar cada función trigonométrica del ángulo $A .$

Triángulo rectángulo con los lados 4 y 10 y el ángulo de A marcados.

Figura 14

17.

$sen A$

18.

$\cos A$

19.

$\tan A$

20.

$\csc A$

21.

$\sec A$

22.

$\cot A$

En los siguientes ejercicios, utilice la Figura 15 para evaluar cada función trigonométrica de ángulo $A .$

Triángulo rectángulo con lados de 10 y 8 y ángulo de A marcados.

Figura 15

23.

$sen A$

24.

$\cos A$

25.

$\tan A$

26.

$\csc A$

27.

$\sec A$

28.

$\cot A$

En los siguientes ejercicios, resuelva los lados desconocidos del triángulo dado.

29.

Triángulo rectángulo con los lados de 7, b y c marcados. Los ángulos de B y 30 grados también están marcados.

30.

Un triángulo rectángulo con lados de 10, a y c. Los ángulos de 60 grados y A también están marcados.

31.

Triángulo rectángulo con los vértices marcados como A, B y C. La hipotenusa tiene una longitud de 15 veces la raíz cuadrada de 2. El ángulo B es de 45 grados.

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para medir la longitud de cada lado a cuatro decimales.

32.

Un triángulo rectángulo con lados de 10, a y c. Los ángulos de A y 62 grados también están marcados.

33.

Triángulo rectángulo con lados de 7, b y c. Los ángulos de 35 grados y B también están marcados.

34.

Triángulo rectángulo con los lados de a, b y 10 marcados. Los ángulos de 65 grados y B también están marcados.

35.

Triángulo rectángulo con lados a, b y 12. Los ángulos de 10 grados y B también están marcados.

36.

Triángulo rectángulo con los vértices marcados como A, B y C. Los lados están marcados b, c y 16,5. El ángulo de 81 grados también está marcado.

37.

$b = 15, ∡ B = 15^{\circ}$

38.

$c = 200, ∡ B = 5^{\circ}$

39.

$c = 50, ∡ B = 21^{\circ}$

40.

$a = 30, ∡ A = 27^{\circ}$

41.

$b = 3,5, ∡ A = 78^{\circ}$

Extensiones

42.

Halle $x .$

Triángulo con ángulos de 63 grados y 39 grados y lado x. Bisectriz en triángulo con longitud de 82.

43.

Halle $x .$

Triángulo con ángulos de 36 grados y 50 grados y lado x. Bisectriz en triángulo con longitud de 85.

44.

Halle $x .$

Triángulo rectángulo con lado de 115 y ángulo de 35 grados. Dentro del triángulo rectángulo hay otro triángulo rectángulo con ángulo de 56 grados. La diferencia de longitudes laterales entre dos triángulos es x.

45.

Halle $x .$

Triángulo rectángulo con un lado de 119 y un ángulo de 26 grados. Dentro del triángulo rectángulo hay otro triángulo rectángulo con ángulo de 70 grados en lugar de 26 grados. La diferencia de longitudes de los lados entre dos triángulos es x.

46.

Una torre de radio está situada a 400 pies de un edificio. Desde una ventana del edificio, una persona determina que el ángulo de elevación hasta la cima de la torre es $36°,$ y que el ángulo de depresión hasta la base de la torre es $23° .$ ¿Qué altura tiene la torre?

47.

Una torre de radio se encuentra a 325 pies de un edificio. Desde una ventana del edificio, una persona determina que el ángulo de elevación hasta la cima de la torre es $43°,$ y que el ángulo de depresión hasta la base de la torre es $31° .$ ¿Qué altura tiene la torre?

48.

Un monumento de 200 pies de altura se encuentra en la distancia. Desde una ventana de un edificio, una persona determina que el ángulo de elevación hasta la cima del monumento es $15°,$ y que el ángulo de depresión hasta la base de la torre es $2° .$ ¿A qué distancia está la persona del monumento?

49.

Un monumento de 400 pies de altura se encuentra en la distancia. Desde una ventana de un edificio, una persona determina que el ángulo de elevación a la parte superior del monumento es $18°,$ y que el ángulo de depresión hasta la base del monumento es $3° .$ ¿A qué distancia está la persona del monumento?

50.

Hay una antena en lo alto de un edificio. Desde una ubicación a 300 pies de la base del edificio, el ángulo de elevación al techo del edificio se mide en $40° .$ Desde la misma ubicación, el ángulo de elevación hasta la parte superior de la antena se mide en $43° .$ Halle la altura de la antena.

51.

Hay un pararrayos en el techo de un edificio. Desde una ubicación a 500 pies de la base del edificio, el ángulo de elevación al techo del edificio se mide en $36° .$ Desde la misma ubicación, el ángulo de elevación hasta la parte superior del pararrayos se mide en $38° .$ Halle la altura del pararrayos.

Aplicaciones en el mundo real

52.

Una escalera de 33 pies se apoya en un edificio de manera que el ángulo entre el suelo y la escalera es $80° .$ ¿A qué altura llega la escalera por el lado del edificio?

53.

Una escalera de 23 pies se apoya en un edificio de manera que el ángulo entre el suelo y la escalera es $80° .$ ¿A qué altura llega la escalera por el lado del edificio?

54.

El ángulo de elevación al techo de un edificio en Nueva York es de 9 grados desde el suelo a una distancia de 1 milla desde la base del edificio. Con esta información, calcule la altura del edificio.

55.

El ángulo de elevación al techo de un edificio en Seattle es de 2 grados desde el suelo a una distancia de 2 millas desde la base del edificio. Con esta información, calcule la altura del edificio.

56.

Suponiendo que una secuoya gigante de 370 pies de altura crece verticalmente, si camino a cierta distancia del árbol y mido el ángulo de elevación hasta la copa del árbol en $60°,$ ¿a qué distancia de la base del árbol estoy?

5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos

Usar triángulos rectángulos para evaluar funciones trigonométricas

Comprender las relaciones de los triángulos rectángulos

Evaluar una función trigonométrica de un triángulo rectángulo

Solución

Relacionar los ángulos y sus funciones

Evaluar funciones trigonométricas de ángulos que no están en posición estándar

Solución

Hallar funciones trigonométricas de ángulos especiales utilizando las longitudes de los lados

Evaluar funciones trigonométricas de ángulos especiales con las longitudes laterales

Solución

Usar la cofunción igual de los complementos

Usar las identidades de la cofunción

Solución

Usar las funciones trigonométricas

Hallar las longitudes de los lados que faltan por medio de los cocientes trigonométricos

Solución

Usar la trigonometría de triángulos rectángulos para resolver problemas aplicados

Medir una distancia de manera indirecta

Solución

5.4 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

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