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Precálculo 2ed

5.1 Ángulos

Precálculo 2ed5.1 Ángulos

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Dibujar ángulos en posición estándar.
  • Convertir entre grados y radianes.
  • Calcular ángulos coterminales.
  • Calcular la longitud de un arco de círculo.
  • Utilizar la velocidad lineal y angular para describir el movimiento en una trayectoria circular.

Un golfista se balancea para golpear una bola por encima de una trampa de arena y llegar al green. Un piloto de aerolínea maniobra un avión hacia una pista estrecha. Un diseñador de vestidos crea la última moda. ¿Qué tienen todos ellos en común? Todos ellos trabajan con ángulos, al igual que todos nosotros en un momento u otro. A veces es necesario medir los ángulos con exactitud mediante instrumentos. Otras veces los estimamos o juzgamos a ojo. En cualquier caso, el ángulo adecuado puede marcar la diferencia entre el éxito y el fracaso en muchas empresas. En esta sección, examinaremos las propiedades de los ángulos.

Dibujar ángulos en posición estándar

Para definir correctamente un ángulo, primero hay que definir una raya. La raya consiste en un punto en una línea y todos los puntos que se extienden en una dirección desde ese punto. El primer punto se denomina punto final de la raya. Podemos referirnos a una raya concreta al indicar su punto final y cualquier otro punto en esta. La raya en la Figura 1 puede denominarse EF, o indicarse en forma de símbolo EF→).EF→).

Ilustración de la raya EF, con el punto F y el punto final E.
Figura 1

Un ángulo es la unión de dos rayas que tienen un punto final común. El punto final se denomina vértice, mientras que las dos rayas son los lados del ángulo. El ángulo en la Figura 2 se forma a partir de ED ED y EF →) . EF →) . Los ángulos pueden nombrarse al utilizar un punto en cada raya y el vértice, como el ángulo DEF, o en forma de símbolo DEF. DEF.

Ilustración del ángulo DEF, con el vértice E y los puntos D y F.
Figura 2

Las letras griegas se utilizan a menudo como variables para la medida de un ángulo. La Tabla 1 es una lista de letras griegas que se utilizan para representar ángulos. Además, un ejemplo de ángulo se muestra en la Figura 3.

θ θ φoϕ φoϕ α α β β γ γ
theta phi alfa beta gamma
Tabla 1
Ilustración del ángulo theta.
Figura 3 El ángulo theta, mostrado como θ θ

La creación de ángulos es un proceso dinámico. Empezamos con dos rayas superpuestas. Dejamos una fija y rotamos la otra. La raya fija es el lado inicial, y la raya rotada es el lado terminal. Para identificar los diferentes lados, indicamos la rotación con un pequeño arco y una flecha cerca del vértice como en la Figura 4.

Ilustración de un ángulo con etiquetas para el lado inicial, el lado terminal y el vértice.
Figura 4

Como hemos comentado al principio de la sección, las aplicaciones de los ángulos son múltiples. Sin embargo, para poder utilizarlos correctamente, debemos estar en la capacidad de medirlos. La medida de un ángulo es la cantidad de rotación desde el lado inicial hasta el lado terminal. Probablemente, la unidad de medida de ángulos más conocida es el grado. Un grado es 1 360 1 360 de una rotación circular, por lo que una rotación circular completa contiene 360 grados. Un ángulo medido en grados debería incluir siempre la unidad "grados" después del número, o incluir el símbolo de grado º. Por ejemplo, 90 grados = 90º.

Para formalizar nuestro trabajo, empezaremos dibujando ángulos en un plano de coordenadas de la x y de la y. Los ángulos pueden aparecer en cualquier posición del plano de coordenadas. Sin embargo, a efectos de comparación, la convención es ilustrarlos en la misma posición siempre que sea posible. Un ángulo está en posición estándar si su vértice está situado en el origen, y su lado inicial se extiende a lo largo del eje positivo x. Vea la Figura 5.

Gráfico de un ángulo en posición estándar con etiquetas para el lado inicial y el lado terminal.
Figura 5

Si el ángulo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj desde el lado inicial hasta el lado terminal, se dice que es positivo. Si el ángulo se mide en el sentido de las agujas del reloj, se dice que es negativo.

Al dibujar un ángulo en posición estándar siempre comienza de la misma manera: se dibuja el lado inicial a lo largo del eje positivo x. Para situar el lado terminal del ángulo, debemos calcular la fracción de una rotación completa que representa el ángulo. Lo hacemos al dividir la medida del ángulo en grados entre 360º. Por ejemplo, para dibujar un ángulo de 90º, calculamos que 90° 360° = 1 4 . 90° 360° = 1 4 . Por lo tanto, el lado terminal estará a una cuarta parte del círculo, en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje positivo x. Para dibujar un ángulo de 360º, calculamos que 360° 360° =1. 360° 360° =1. Por lo tanto, el lado terminal dará una vuelta completa alrededor del círculo, en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje positivo x. En este caso, el lado inicial y el lado terminal se superponen. Vea la Figura 6.

Gráficos paralelos. El gráfico de la izquierda es un ángulo de 90 grados y el de la derecha es un ángulo de 360 grados. El lado terminal y el lado inicial están marcados en ambos gráficos.
Figura 6

Como definimos un ángulo en posición estándar por su lado inicial, tenemos un tipo especial de ángulo, cuyo lado terminal se encuentra en un eje, un ángulo cuadrangular. Este tipo de ángulo puede tener una medida de 0°, 90°, 180°, 270° o 360°. Vea la Figura 7.

Cuatro gráficos paralelos. El primer gráfico muestra un ángulo de 0 grados. El segundo gráfico muestra un ángulo de 90 grados. El tercer gráfico muestra un ángulo de 180 grados. El cuarto gráfico muestra un ángulo de 270 grados.
Figura 7 Los ángulos cuadrangulares son ángulos en posición estándar, cuyo lado terminal se encuentra a lo largo de un eje. Se muestran ejemplos.

Ángulos cuadrangulares

Los ángulos cuadrangulares son ángulos en posición estándar, cuyo lado terminal se encuentra en un eje, incluso 0°, 90°, 180°, 270° o 360°.

Cómo

Dada una medida de ángulo en grados, dibujar el ángulo en posición estándar.

  1. Exprese la medida del ángulo como una fracción de 360°.
  2. Reduzca la fracción a la forma más simple.
  3. Dibuje un ángulo que contenga esa misma fracción del círculo, comenzando en el eje x positivo y moviéndose en sentido contrario a las agujas del reloj en los ángulos positivos y en sentido de las agujas del reloj en los ángulos negativos.

Ejemplo 1

Dibujar un ángulo en posición estándar, medido en grados

  1. Trace un ángulo de 30° en posición estándar.
  2. Dibuje un ángulo de -135° en posición estándar.

Inténtelo #1

Muestre un ángulo de 240° en un círculo en posición estándar.

Convertir entre grados y radianes

Dividir un círculo en 360 partes es una elección arbitraria, aunque crea la conocida medida de grados. Podemos elegir otras formas para dividir un círculo. Para calcular otra unidad, piense en el proceso de dibujar un círculo. Imagine que se detiene antes de completar el círculo. La parte que ha dibujado se denomina arco. Un arco puede ser una porción de un círculo completo, un círculo completo o más de un círculo completo, representado por más de una rotación completa. La longitud del arco alrededor de un círculo entero se denomina la circunferencia de ese círculo.

La circunferencia de un círculo es C=2 πr. C=2 πr. Si dividimos ambos lados de esta ecuación entre r, r, creamos el cociente entre la circunferencia y el radio, que siempre es 2π 2π independientemente de la longitud del radio. Así que la circunferencia de cualquier círculo es 2π6,28 2π6,28 veces la longitud del radio. Esto significa que si tomáramos una cuerda tan larga como el radio y la utilizáramos para medir longitudes consecutivas alrededor de la circunferencia, habría espacio para seis longitudes de cuerda completas y un poco más de un cuarto de la séptima, como se muestra en la Figura 10.

Ilustración de un círculo que muestra el número de radianes.
Figura 10

Esto nos lleva a nuestra nueva medida de ángulo. Un radián es la medida de un ángulo central de un círculo que interseca un arco de longitud igual al radio de dicho círculo. Un ángulo central es un ángulo formado en el centro de un círculo por dos radios. Dado que la circunferencia total es igual a 2π 2π veces el radio, una rotación circular completa es 2π 2π radianes. Así que

2π radianes= 360 π radianes= 360 2 = 180 1 radián= 180 π 57,3 2π radianes= 360 π radianes= 360 2 = 180 1 radián= 180 π 57,3

Vea la Figura 11. Observe que, cuando se describe un ángulo sin una unidad específica, se refiere a la medida del radián. Por ejemplo, una medida de ángulo de 3 indica 3 radianes. De hecho, la medida del radián es adimensional, ya que es el cociente de una longitud (circunferencia) dividido entre la longitud (radio) y las unidades de longitud se cancelan.

Ilustración de un círculo con ángulo t, radio r y un arco de r.
Figura 11 El ángulo t t recorre una medida de un radián. Observe que la longitud del arco interceptado es la misma que la longitud del radio del círculo.

Relacionar las longitudes de los arcos con los radios

La longitud de arco s s es la longitud de la curva a lo largo del arco. Al igual que la circunferencia completa de un círculo siempre tiene una relación constante con el radio, la longitud de arco producida por un ángulo cualquiera también tiene una relación constante con el radio, independientemente de su longitud.

Este cociente, denominado medición de radián, es el mismo, independientemente del radio del círculo (solo depende del ángulo). Esta propiedad nos permite definir la medida de cualquier ángulo como el cociente de la longitud de arco s s al radio r. r. Vea la Figura 12.

s=rθ θ= s r s=rθ θ= s r

Si los valores de s=r, s=r, entonces θ= r r = 1 radián. θ= r r = 1 radián.

Tres gráficos de círculos uno al lado del otro. El primer gráfico tiene un círculo de radio r y un arco s, con equivalencia entre r y s. El segundo gráfico muestra un círculo de radio r y un arco de longitud 2r. El tercer gráfico muestra un círculo con una revolución completa y 6,28 radianes.
Figura 12 (a) En un ángulo de 1 radián, la longitud de arco s s es igual al radio r. r. b) Un ángulo de 2 radianes tiene una longitud de arco s=2r. s=2r. (c) Una revolución completa es 2π 2π o unos 6,28 radianes.

Para profundizar en esta idea, consideremos dos círculos, uno con radio 2 y otro con radio 3. Recordemos que la circunferencia de un círculo es C=2 πr, C=2 πr, donde r r es el radio. El círculo más pequeño tiene entonces la circunferencia 2π(2 )=4π 2π(2 )=4π y el más grande tiene circunferencia 2π(3)=6π. 2π(3)=6π. Ahora trazamos un ángulo de 45° en los dos círculos, como en la Figura 13.

Gráfico de un círculo con un ángulo de 45 grados y una etiqueta para pi/4 radianes.
Figura 13 Un ángulo de 45° contiene un octavo de la circunferencia de un círculo, independientemente del radio.

Observe lo que ocurre si calculamos el cociente de la longitud del arco dividido entre el radio del círculo.

Círculo más pequeño:  1 2 π 2 = 1 4 π   Círculo más grande:  3 4 π 3 = 1 4 π Círculo más pequeño:  1 2 π 2 = 1 4 π   Círculo más grande:  3 4 π 3 = 1 4 π

Dado que ambos ratios son 1 4 π, 1 4 π, las medidas de los ángulos de ambos círculos son las mismas, aunque la longitud del arco y el radio sean diferentes.

Radianes

Un radián es la medida del ángulo central de un círculo tal que la longitud del arco entre el lado inicial y el lado terminal es igual al radio del círculo. Una revolución completa (360°) equivale a 2π 2π radianes. Una media revolución (180°) equivale a π π radianes.

La medición de radián de un ángulo es el cociente entre la longitud del arco subtendido por el ángulo y el radio del círculo. En otras palabras, si s s es la longitud de un arco de círculo, y r r es el radio del círculo, entonces el ángulo central que contiene ese arco mide s r s r radianes. En un círculo de radio 1, la medida del radián corresponde a la longitud del arco.

Preguntas y respuestas

Una medida de 1 radián parece ser de unos 60°. ¿Es eso correcto?

Sí. Es aproximadamente 57,3°. Dado que 2π 2π radianes es igual a 360°, 1 1 radián es igual a 360° 2π 57,3°. 360° 2π 57,3°.

Usar radianes

Dado que la medición de radián es el cociente de dos longitudes, es una medida sin unidades. Por ejemplo, en la Figura 12, supongamos que el radio fuera de 2 pulgadas y la distancia a lo largo del arco fuera también de 2 pulgadas. Cuando calculamos la medida del radián del ángulo, las "pulgadas" se cancelan, y tenemos un resultado sin unidades. Por lo tanto, no es necesario escribir la etiqueta "radianes" después de una medición de radián, y si vemos un ángulo que no está etiquetado con "grados" o el símbolo de grado, podemos asumir que es una medición de radián.

Considerando el caso más básico, el círculo unitario (un círculo de radio 1), sabemos que 1 rotación equivale a 360 grados, 360°. También podemos seguir una rotación alrededor de un círculo al calcular la circunferencia, C=2 πr, C=2 πr, y para el círculo unitario C=2 π. C=2 π. Estas dos formas diferentes de girar alrededor de un círculo nos dan una manera de convertir de grados a radianes.

1 rotación =360° =2 π radianes 1 2  rotación=180° =π radianes 1 4  rotación=90° = π 2 radianes 1 rotación =360° =2 π radianes 1 2  rotación=180° =π radianes 1 4  rotación=90° = π 2 radianes

Identificar ángulos especiales, medidos en radianes

Además de conocer las medidas en grados y radianes de un cuarto de revolución, media revolución y revolución completa, hay otros ángulos que se encuentran con frecuencia en la revolución de un círculo con los que deberíamos estar familiarizados. Es habitual encontrar múltiplos de 30, 45, 60 y 90 grados. Estos valores se muestran en la Figura 14. Será muy útil memorizar estos ángulos cuando estudiamos las propiedades asociadas a ellos.

Gráfico de un círculo con ángulos de 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 y 330 grados.
Figura 14 Ángulos habituales medidos en grados

Ahora, podemos enumerar los valores de los radianes con respecto a las medidas comunes de un círculo correspondientes a las que se enumeran en la Figura 14, y que se muestran en la Figura 15. Verifique cada una de estas medidas.

Gráfico de un círculo con ángulos de 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 y 330 grados. El gráfico también muestra la cantidad equivalente de radianes para cada ángulo de grados. Por ejemplo, 30 grados es igual a pi/6 radianes.
Figura 15 Ángulos habituales medidos en radianes

Ejemplo 2

Calcular una medición de radián

Calcule la medición de radián de un tercio de una rotación completa.

Inténtelo #2

Calcule la medición de radián de tres cuartos de una rotación completa.

Convertir radianes y grados

Dado que tanto los grados como los radianes miden ángulos, tenemos que ser capaces de convertirlos. Podemos hacerlo fácilmente utilizando una proporción.

θ 180 = θ R π θ 180 = θ R π

Esta proporción muestra que la medida del ángulo θ θ en grados dividido entre 180 es igual a la medida del ángulo θ θ en radianes dividido entre π.  π.  Dicho de otra manera, los grados son a 180 como los radianes son a π. π.

Grados 180 = Radianes π Grados 180 = Radianes π

Convertir radianes y grados

Para convertir entre grados y radianes, utilice la proporción

θ 180 = θ R π θ 180 = θ R π

Ejemplo 3

Convertir de radianes a grados

Convierta cada medida de radián a grados.

  1. π 6 π 6
  2. 3

Inténtelo #3

Convierta 3π 4 3π 4 radianes a grados.

Ejemplo 4

Convertir de grados a radianes

Convierta 15 15 grados a radianes.

Análisis

Otra forma de pensar en este problema es si recordamos que 30 = π 6 . 30 = π 6 . Dado que 15 = 1 2 ( 30 ), 15 = 1 2 ( 30 ), podemos hallar que 1 2 ( π 6 ) 1 2 ( π 6 ) es π 12 . π 12 .

Inténtelo #4

Convierta 126° a radianes.

Calcular ángulos coterminales

La conversión entre grados y radianes puede facilitar el trabajo con ángulos en algunas aplicaciones. Para otras aplicaciones, quizá necesitemos otro tipo de conversión. Los ángulos negativos y los ángulos superiores a una revolución completa son más difíciles de trabajar que los que están en el rango de 0° a 360°, o de 0 a 2π. 2π. Sería conveniente sustituir esos ángulos fuera de rango por un ángulo correspondiente dentro del rango de una sola revolución.

Es posible que más de un ángulo tenga el mismo lado terminal. Observe la Figura 16. El ángulo de 140° es un ángulo positivo, medido en sentido contrario a las agujas del reloj. El ángulo de -220° es un ángulo negativo, medido en el sentido de las agujas del reloj. No obstante, ambos ángulos tienen el mismo lado terminal. Si dos ángulos en posición estándar tienen el mismo lado terminal, son ángulos coterminales. Todo ángulo mayor que 360° o menor que 0° es coterminal con un ángulo entre 0° y 360°, y a menudo es más conveniente hallar el ángulo coterminal dentro del rango de 0° a 360° que trabajar con un ángulo que esté fuera de ese rango.

Gráfico que muestra la equivalencia entre un ángulo de 140 grados y un ángulo negativo de 220 grados.
Figura 16 Un ángulo de 140° y un ángulo de -220° son ángulos coterminales.

Cualquier ángulo tiene infinitos ángulos coterminales porque cada vez que sumamos 360° a ese ángulo, o le restamos 360°, el valor resultante tiene un lado terminal en el mismo lugar. Por ejemplo, 100° y 460° son coterminales por esta razón, al igual que -260°. Reconocer que cualquier ángulo tiene infinitos ángulos coterminales explica la forma repetitiva en los gráficos de las funciones trigonométricas.

El ángulo de referencia de un ángulo es la medida del menor ángulo agudo positivo t t formado por el lado terminal del ángulo t t y el eje horizontal. Por lo tanto, los ángulos de referencia positivos tienen lados terminales que se encuentran en el primer cuadrante y pueden utilizarse como modelos de ángulos en otros cuadrantes. Observe en la Figura 17 los ejemplos de ángulos de referencia para ángulos en diferentes cuadrantes.

Cuatro gráficos paralelos. El primer gráfico muestra un ángulo de t en el cuadrante 1 en su posición normal. El segundo gráfico muestra un ángulo de t en el cuadrante 2 debido a una rotación de pi menos t. El tercer gráfico muestra un ángulo de t en el cuadrante 3 debido a una rotación de t menos pi. El cuarto gráfico muestra un ángulo de t en el cuadrante 4 debido a una rotación de dos pi menos t.
Figura 17

Ángulos coterminales y de referencia

Los ángulos coterminales son dos ángulos en posición estándar que tienen el mismo lado terminal.

El ángulo de referencia de un ángulo es el tamaño del ángulo agudo más pequeño, t , t , formado por el lado terminal del ángulo t t y el eje horizontal.

Cómo

Dado un ángulo mayor que 360°, hallar un ángulo coterminal entre 0° y 360°.

  1. Reste 360° del ángulo dado.
  2. Si el resultado sigue siendo mayor que 360°, vuelva a restar 360° hasta que el resultado esté entre 0° y 360°.
  3. El ángulo resultante es coterminal con el ángulo original.

Ejemplo 5

Calcular un ángulo coterminal con un ángulo de medida mayor que 360°

Halle el menor ángulo positivo θθ que es coterminal con un ángulo que mide 800°, donde θ<360°. θ<360°.

Inténtelo #5

Calcule un ángulo α α que es coterminal con un ángulo que mide 870°, donde α<360°. α<360°.

Cómo

Dado un ángulo con una medida menor que 0°, hallar un ángulo coterminal que tenga una medida entre 0° y 360°.

  1. Sume 360° al ángulo dado.
  2. Si el resultado sigue siendo inferior a 0°, vuelva a sumar 360° hasta que el resultado esté entre 0° y 360°.
  3. El ángulo resultante es coterminal con el ángulo original.

Ejemplo 6

Hallar un ángulo coterminal con un ángulo que mida menos de 0°

Muestre el ángulo con medida -45° en un círculo y halle un ángulo coterminal positivo α α tal que 0° ≤ α < 360°.

Inténtelo #6

Calcule un ángulo β β que es coterminal con un ángulo que mide -300° tal que β<360°. β<360°.

Calcular ángulos coterminales, medidos en radianes

Podemos calcular los ángulos coterminales medidos en radianes de la misma manera que lo hemos hecho mediante el empleo de grados. En ambos casos, calculamos los ángulos coterminales al sumar o restar una o más rotaciones completas.

Cómo

Dado un ángulo mayor que. 2π, 2π, hallar un ángulo coterminal entre 0 y 2π. 2π.

  1. Reste 2π 2π desde el ángulo dado.
  2. Si el resultado sigue siendo mayor que 2π, 2π, reste 2π 2π de nuevo hasta que el resultado esté entre 0 0 y 2π. 2π.
  3. El ángulo resultante es coterminal con el ángulo original.

Ejemplo 7

Calcular ángulos coterminales con radianes

Calcule un ángulo β β que sea coterminal con 19π 4 , 19π 4 , donde 0β<2π. 0β<2π.

Inténtelo #7

Calcular un ángulo de medida θ θ que sea coterminal con un ángulo de medida 17π 6 17π 6 donde 0θ<2π. 0θ<2π.

Determinar la longitud de un arco

Recordemos que la medición de radián θ θ de un ángulo se definió como el cociente de la longitud de arco s s de un arco circular al radio r r del círculo, θ= s r . θ= s r . A partir de esta relación, podemos calcular la longitud de arco a lo largo de un círculo, dado un ángulo.

Longitud de arco de un círculo

En un círculo de radio r, la longitud de un arco s s subtendido por un ángulo con medida θ θ en radianes, mostrado en la Figura 21, es

s=rθ s=rθ
Ilustración de un círculo con ángulo theta, radio r y arco de longitud s.
Figura 21

Cómo

Dado un círculo de radio. r, r, calcular la longitud s s del arco subtendido por un ángulo de medida determinado θ. θ.

  1. Si es necesario, convierta θ θ a radianes.
  2. Multiplique el radio r r entre la medida del radián de θ:s=rθ. θ:s=rθ.

Ejemplo 8

Calcular la longitud de un arco

Supongamos que la órbita de Mercurio alrededor del Sol es un círculo perfecto. Mercurio se encuentra aproximadamente a 36 millones de millas del sol.

  1. En un día terrestre, Mercurio completa 0,0114 de su revolución total. ¿Cuántas millas recorre en un día?
  2. Utilice su respuesta de la parte (a) para determinar la medida del radián del movimiento de Mercurio en un día terrestre.

Inténtelo #8

Determine la longitud de arco a lo largo de un círculo de radio 10 unidades subtendido por un ángulo de 215°.

Calcular el área de un sector de un círculo

Además de la longitud de arco, también podemos utilizar los ángulos para hallar el área de un sector de un círculo. Un sector es una región de un círculo delimitado por dos radios y el arco intersecado, como una porción de pizza o pastel. Recordemos que el área de un círculo de radio r r se puede hallar con la fórmula A=π r 2 . A=π r 2 . Si los dos radios forman un ángulo de θ, θ, medido en radianes, entonces θ 2π θ 2π es la relación entre la medida del ángulo y la medida de una rotación completa y es también, por tanto, la relación entre el área del sector y el área del círculo. Así, el área de un sector es la fracción θ 2π θ 2π multiplicado por toda la superficie. (Recuerde siempre que esta fórmula solo procede si θ θ está en radianes).

Área del sector =( θ 2π )π r 2 = θπ r 2 2π = 1 2 θ r 2 Área del sector =( θ 2π )π r 2 = θπ r 2 2π = 1 2 θ r 2

Área de un sector

El área de un sector de un círculo de radio r r subtendido por un ángulo θ, θ, medido en radianes, es

A= 1 2 θ r 2 A= 1 2 θ r 2

Vea la Figura 22.

Gráfico que muestra un círculo con ángulo theta y radio r, y el área de la porción del círculo, creada por el lado inicial y el lado terminal del ángulo.
Figura 22 El área del sector es igual a la mitad del cuadrado del radio por el ángulo central medido en radianes.

Cómo

Dado un círculo de radio r, r, hallar el área de un sector definido por un ángulo dado θ. θ.

  1. Si es necesario, convierta θ θ a radianes.
  2. Multiplique la mitad de la medida del radián de θ θ por el cuadrado del radio r:A= 1 2 θ r 2 . r:A= 1 2 θ r 2 .

Ejemplo 9

Hallar el área de un sector

Un aspersor automático de césped rocía una distancia de 20 pies mientras gira 30 grados, como se muestra en la Figura 23. ¿Cuál es la superficie del sector de césped que riega el aspersor?

Ilustración de un ángulo de 30 grados con un lado terminal e inicial con una longitud de 20 pies.
Figura 23 El aspersor rocía 20 pies en un arco de 30°.

Inténtelo #9

En el riego por pivote central, una gran tubería de riego sobre ruedas gira alrededor de un punto central. Un agricultor tiene un sistema de pivote central con un radio de 400 metros. Si las restricciones de agua solo le permiten regar 150.000 metros cuadrados al día, ¿qué ángulo debe configurar para que cubra el sistema? Escriba la respuesta en medida de radianes con dos decimales.

Utilizar la velocidad lineal y angular para describir el movimiento en una trayectoria circular

Además de calcular el área de un sector, podemos utilizar los ángulos para describir la velocidad de un objeto en movimiento. Un objeto que viaja en una trayectoria circular tiene dos tipos de velocidad. La velocidad lineal es la velocidad a lo largo de una trayectoria recta y se determina por la distancia que recorre (su desplazamiento) en un intervalo determinado. Por ejemplo, si una rueda con un radio de 5 pulgadas gira una vez por segundo, un punto en el borde de la rueda se mueve una distancia igual a la circunferencia, o 10π 10π pulgadas, cada segundo. Así que la velocidad lineal del punto es 10π 10π in/s. La ecuación de la velocidad lineal es la siguiente, donde v v es la velocidad lineal, s s es el desplazamiento, y t t es el tiempo.

v= s t v= s t

La velocidad angular es el resultado del movimiento circular y se determina por el ángulo por el que gira un punto en un intervalo determinado. En otras palabras, la velocidad angular es la rotación angular por unidad de tiempo. Así, por ejemplo, si un engranaje realiza una rotación completa cada 4 segundos, podemos calcular su velocidad angular como 360 grados 4 segundos = 360 grados 4 segundos = 90 grados por segundo. La velocidad angular puede indicarse en radianes por segundo, rotaciones por minuto o grados por hora, por ejemplo. La ecuación de la velocidad angular es la siguiente, donde ω ω (leído como omega) es la velocidad angular, θ θ es el ángulo recorrido, y t t es el tiempo.

ω= θ t ω= θ t

Al combinar la definición de velocidad angular con la ecuación de la longitud de arco, s=rθ, s=rθ, hallamos una relación entre las velocidades angulares y lineales. La ecuación de la velocidad angular puede resolverse para θ, θ, lo que arroja θ=ωt. θ=ωt. Sustituyendo esto en la ecuación de la longitud de arco se obtiene:

s=rθ =rωt s=rθ =rωt

Sustituyendo esto en la ecuación de la velocidad lineal se obtiene:

v= s t   = rωt t   =rω v= s t   = rωt t   =rω

Velocidad angular y lineal

Cuando un punto se mueve a lo largo de un círculo de radio r, r, su velocidad angular, ω, ω, es la rotación angular θ θ por unidad de tiempo, t. t.

ω= θ t ω= θ t

La velocidad lineal, v, v, del punto se puede calcular como la distancia recorrida, la longitud del arco s, s, por unidad de tiempo, t. t.

v= s t v= s t

Cuando la velocidad angular se mide en radianes por unidad de tiempo, la velocidad lineal y la velocidad angular están relacionadas por la ecuación

v=rω v=rω

Esta ecuación establece que la velocidad angular en radianes, ω, ω, que representa la cantidad de rotación que se produce en una unidad de tiempo, puede multiplicarse por el radio r r para calcular la longitud de arco total recorrida en una unidad de tiempo, que es la definición de velocidad lineal.

Cómo

Dada la cantidad de rotación angular y el tiempo transcurrido, calcular la velocidad angular.

  1. Si es necesario, convierta la medida del ángulo en radianes.
  2. Divida el ángulo en radianes entre el número de unidades de tiempo transcurrido ω= θ t ω= θ t .
  3. La velocidad resultante estará en radianes por unidad de tiempo.

Las ruedas hidráulicas se utilizan desde hace miles de años para transferir la potencia del agua que fluye a otros dispositivos. La siguiente imagen muestra el diseño de la rueda hidráulica romana del siglo III en Hierápolis, una ciudad de la actual Turquía. El agua hacía girar la rueda, que a su vez hacía girar una manivela conectada a dos sierras utilizadas para cortar bloques. Estos elementos de diseño se utilizaron en aplicaciones de ruedas hidráulicas en todo el mundo, e incluso facilitaron el principio subyacente de la máquina de vapor, inventada unos 1.500 años más tarde.

Ejemplo 10

Calcular la velocidad angular

Una rueda hidráulica, mostrada en la Figura 24, completa 1 rotación cada 5 segundos. Calcule la velocidad angular en radianes por segundo.

Ilustración de una rueda hidráulica.
Figura 24

Inténtelo #10

Un viejo disco de vinilo se reproduce en un tocadiscos que gira en el sentido de las agujas del reloj a una velocidad de 45 rotaciones por minuto. Calcule la velocidad angular en radianes por segundo.

Cómo

Dado el radio de un círculo, un ángulo de giro y una longitud de tiempo transcurrido, determinar la velocidad lineal.

  1. Convierta la rotación total a radianes si es necesario.
  2. Divida la rotación total en radianes entre el tiempo transcurrido para hallar la velocidad angular: aplique ω= θ t . ω= θ t .
  3. Multiplique la velocidad angular por la longitud del radio para dar con la velocidad lineal, expresada en términos de la unidad de longitud utilizada para el radio y la unidad de tiempo utilizada para el tiempo transcurrido: aplique v=rω. v=rω.

Ejemplo 11

Calcular la velocidad lineal

Una bicicleta tiene ruedas de 28 pulgadas de diámetro. Un tacómetro determina que las ruedas giran a 180 RPM (revoluciones por minuto). Calcule la velocidad a la que se desplaza la bicicleta por la carretera.

Inténtelo #11

Un satélite gira alrededor de la Tierra a 0,25 radianes por hora a una altura de 242 km sobre la Tierra. Si el radio de la Tierra es de 6.378 kilómetros, calcule la velocidad lineal del satélite en kilómetros por hora.

Media

5.1 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Dibuje un ángulo en posición estándar. Etiquete el vértice, el lado inicial y el lado terminal.

2.

Explique por qué hay un número infinito de ángulos que son coterminales a un determinado ángulo.

3.

Indique qué significa un ángulo positivo o negativo y explique cómo se dibuja cada uno de ellos.

4.

¿Cómo se compara la medición de radián de un ángulo con la medida del grado? Incluya una explicación de 1 radián en su párrafo.

5.

Explique las diferencias entre la velocidad lineal y la velocidad angular al describir el movimiento a lo largo de una trayectoria circular.

Gráficos

En los siguientes ejercicios, dibuje un ángulo en posición estándar con la medida dada.

6.

30°

7.

300°

8.

−80°

9.

135°

10.

−150°

11.

2π 3 2π 3

12.

7π 4 7π 4

13.

5π 6 5π 6

14.

π 2 π 2

15.

π 10 π 10

16.

415°

17.

−120°

18.

−315°

19.

22π 3 22π 3

20.

π 6 π 6

21.

- 4π 3 - 4π 3

En los siguientes ejercicios, consulte la Figura 25. Redondee a dos decimales.

Gráfico de un círculo con radio de 3 pulgadas y un ángulo de 140 grados.
Figura 25
22.

Halle la longitud del arco.

23.

Calcule el área del sector.

En los siguientes ejercicios, consulte la Figura 26. Redondee a dos decimales.

Gráfico de un círculo con ángulo de 2pi/5 y radio de 4,5 cm.
Figura 26
24.

Halle la longitud del arco.

25.

Calcule el área del sector.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, convierta los ángulos en radianes a grados.

26.

3π 4 3π 4 radianes

27.

π 9 π 9 radianes

28.

- 5π 4 - 5π 4 radianes

29.

π 3 π 3 radianes

30.

7π 3 7π 3 radianes

31.

- 5π 12 - 5π 12 radianes

32.

11π 6 11π 6 radianes

En los siguientes ejercicios, convierta los ángulos en grados a radianes.

33.

90°

34.

100°

35.

−540°

36.

−120°

37.

180°

38.

−315°

39.

150°

En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para determinar la longitud de un arco de un círculo. Redondee a dos decimales.

40.

Halle la longitud del arco de un círculo de radio 12 pulgadas subtendido por un ángulo central de π 4 π 4 radianes.

41.

Determine la longitud del arco de un círculo de radio 5,02 millas subtendido por el ángulo central de π 3 . π 3 .

42.

Determine la longitud del arco de un círculo de 14 metros de diámetro subtendido por el ángulo central de 5π 6 . 5π 6 .

43.

Determine la longitud del arco de un círculo de radio 10 centímetros subtendido por el ángulo central de 50°.

44.

Determine la longitud del arco de un círculo de radio 5 pulgadas subtendido por el ángulo central de 220°.

45.

Determine la longitud del arco de un círculo de 12 metros de diámetro subtendido por el ángulo central de 63°.

En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para calcular el área del sector. Redondee a cuatro decimales.

46.

Un sector de un círculo tiene un ángulo central de 45° y un radio de 6 cm.

47.

Un sector de un círculo tiene un ángulo central de 30° y un radio de 20 cm.

48.

Un sector de un círculo con un diámetro de 10 pies y un ángulo de π 2 π 2 radianes.

49.

Un sector de un círculo con radio de 0,7 pulgadas y un ángulo de π π radianes.

En los siguientes ejercicios, calcule el ángulo entre 0° y 360° que es coterminal al ángulo dado.

50.

−40°

51.

−110°

52.

700°

53.

1400°

En los siguientes ejercicios, calcule el ángulo entre 0 y 2π 2π en radianes que es coterminal al ángulo dado.

54.

π 9 π 9

55.

10π 3 10π 3

56.

13π 6 13π 6

57.

44π 9 44π 9

Aplicaciones en el mundo real

58.

Un camión con ruedas de 32 pulgadas de diámetro se desplaza a 60 mi/h. Calcule la velocidad angular de las ruedas en rad/min. ¿Cuántas revoluciones por minuto hacen las ruedas?

59.

Una bicicleta con ruedas de 24 pulgadas de diámetro se desplaza a 15 mi/h. Calcule la velocidad angular de las ruedas en rad/min. ¿Cuántas revoluciones por minuto hacen las ruedas?

60.

Una rueda de radio 8 pulgadas gira 15°/s. ¿Cuál es la velocidad lineal v, v, la velocidad angular en rpm y la velocidad angular en rad/s?

61.

Una rueda de radio 14 pulgadas gira 0,5 rad/s. ¿Cuál es la velocidad lineal v,v, la velocidad angular en rpm y la velocidad angular en deg/s?

62.

Un disco duro de computadora tiene un diámetro de 120 milímetros. Cuando se reproduce audio, la velocidad angular varía para mantener constante la velocidad lineal donde se lee el disco. Al leer a lo largo del borde exterior del disco, la velocidad angular es de unas 200 rpm (revoluciones por minuto). Calcule la velocidad lineal.

63.

Cuando se graba en una unidad de CD-R grabable, la velocidad angular de un CD varía para mantener constante la velocidad lineal en el lugar donde se escribe el disco. Al escribir a lo largo del borde exterior del disco, la velocidad angular de una unidad es de unas 4.800 rpm (revoluciones por minuto). Calcule la velocidad lineal si el CD tiene un diámetro de 120 milímetros.

64.

Una persona se encuentra en el ecuador de la Tierra (radio 3.960 millas). ¿Cuáles son sus velocidades lineal y angular?

65.

Calcule la distancia a lo largo de un arco en la superficie de la Tierra que subtiende un ángulo central de 5 minutos ( 1 minuto= 1 60  grado ) ( 1 minuto= 1 60  grado ) . El radio de la Tierra es de 3.960 millas.

66.

Calcule la distancia a lo largo de un arco en la superficie de la Tierra que subtiende un ángulo central de 7 minutos ( 1 minuto= 1 60  grado ). ( 1 minuto= 1 60  grado ). El radio de la Tierra es 3.960 3.960 millas.

67.

Piense en un reloj con una aguja de las horas y otra de los minutos. ¿Cuál es la medida del ángulo que traza el minutero en 20 20 minutos?

Extensiones

68.

Dos ciudades tienen la misma longitud. La latitud de la ciudad A es de 9,00 grados norte y la de la ciudad B es de 30,00 grados norte. Supongamos que el radio de la Tierra es de 3.960 millas. Calcule la distancia entre las dos ciudades.

69.

Una ciudad está situada a 40 grados de latitud norte. Supongamos que el radio de la tierra es de 3.960 millas y que la tierra gira una vez cada 24 horas. Calcule la velocidad lineal de una persona que reside en esta ciudad. Consulte el Círculo unitario: funciones seno y coseno para obtener información sobre las funciones trigonométricas.

70.

Una ciudad se encuentra a 75 grados de latitud norte. Supongamos que el radio de la tierra es de 3.960 millas y que la tierra gira una vez cada 24 horas. Calcule la velocidad lineal de una persona que reside en esta ciudad. Consulte el Círculo unitario: funciones seno y coseno para obtener información sobre las funciones trigonométricas.

71.

Calcule la velocidad lineal de la Luna si la distancia media entre la Tierra y la Luna es de 239.000 millas, suponiendo que la órbita de la Luna es circular y requiere unos 28 días. Exprese la respuesta en millas por hora.

72.

Una bicicleta tiene ruedas de 28 pulgadas de diámetro. Un tacómetro determina que las ruedas giran a 180 rpm (revoluciones por minuto). Calcule la velocidad a la que se desplaza la bicicleta por la carretera.

73.

Un automóvil recorre 3 millas. Sus neumáticos hacen 2.640 revoluciones. ¿Cuál es el radio de un neumático en pulgadas?

74.

La rueda de un tractor tiene un diámetro de 24 pulgadas. ¿Cuántas revoluciones da la rueda si el tractor recorre 4 millas?

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