5.1 Ángulos

Dibujar ángulos en posición estándar

Para definir correctamente un ángulo, primero hay que definir una raya. La raya consiste en un punto en una línea y todos los puntos que se extienden en una dirección desde ese punto. El primer punto se denomina punto final de la raya. Podemos referirnos a una raya concreta al indicar su punto final y cualquier otro punto en esta. La raya en la Figura 1 puede denominarse EF, o indicarse en forma de símbolo $\stackrel{\to )}{EF}.$

Figura 1

Un ángulo es la unión de dos rayas que tienen un punto final común. El punto final se denomina vértice, mientras que las dos rayas son los lados del ángulo. El ángulo en la Figura 2 se forma a partir de $\overrightarrow{ED}$ y $\stackrel{\to )}{EF}.$ Los ángulos pueden nombrarse al utilizar un punto en cada raya y el vértice, como el ángulo DEF, o en forma de símbolo $\text{∠}DEF.$

Figura 2

Las letras griegas se utilizan a menudo como variables para la medida de un ángulo. La Tabla 1 es una lista de letras griegas que se utilizan para representar ángulos. Además, un ejemplo de ángulo se muestra en la Figura 3.

Figura 3 El ángulo theta, mostrado como $\angle \theta$

La creación de ángulos es un proceso dinámico. Empezamos con dos rayas superpuestas. Dejamos una fija y rotamos la otra. La raya fija es el lado inicial, y la raya rotada es el lado terminal. Para identificar los diferentes lados, indicamos la rotación con un pequeño arco y una flecha cerca del vértice como en la Figura 4.

Figura 4

Como hemos comentado al principio de la sección, las aplicaciones de los ángulos son múltiples. Sin embargo, para poder utilizarlos correctamente, debemos estar en la capacidad de medirlos. La medida de un ángulo es la cantidad de rotación desde el lado inicial hasta el lado terminal. Probablemente, la unidad de medida de ángulos más conocida es el grado. Un grado es $\frac{1}{360}$ de una rotación circular, por lo que una rotación circular completa contiene 360 grados. Un ángulo medido en grados debería incluir siempre la unidad "grados" después del número, o incluir el símbolo de grado º. Por ejemplo, 90 grados = 90º.

Para formalizar nuestro trabajo, empezaremos dibujando ángulos en un plano de coordenadas de la x y de la y. Los ángulos pueden aparecer en cualquier posición del plano de coordenadas. Sin embargo, a efectos de comparación, la convención es ilustrarlos en la misma posición siempre que sea posible. Un ángulo está en posición estándar si su vértice está situado en el origen, y su lado inicial se extiende a lo largo del eje positivo x. Vea la Figura 5.

Figura 5

Si el ángulo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj desde el lado inicial hasta el lado terminal, se dice que es positivo. Si el ángulo se mide en el sentido de las agujas del reloj, se dice que es negativo.

Al dibujar un ángulo en posición estándar siempre comienza de la misma manera: se dibuja el lado inicial a lo largo del eje positivo x. Para situar el lado terminal del ángulo, debemos calcular la fracción de una rotación completa que representa el ángulo. Lo hacemos al dividir la medida del ángulo en grados entre 360º. Por ejemplo, para dibujar un ángulo de 90º, calculamos que $\frac{\mathrm{90°}}{\mathrm{360°}}=\frac{1}{4}.$ Por lo tanto, el lado terminal estará a una cuarta parte del círculo, en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje positivo x. Para dibujar un ángulo de 360º, calculamos que $\frac{\mathrm{360°}}{\mathrm{360°}}=1.$ Por lo tanto, el lado terminal dará una vuelta completa alrededor del círculo, en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje positivo x. En este caso, el lado inicial y el lado terminal se superponen. Vea la Figura 6.

Figura 6

Como definimos un ángulo en posición estándar por su lado inicial, tenemos un tipo especial de ángulo, cuyo lado terminal se encuentra en un eje, un ángulo cuadrangular. Este tipo de ángulo puede tener una medida de 0°, 90°, 180°, 270° o 360°. Vea la Figura 7.

Figura 7 Los ángulos cuadrangulares son ángulos en posición estándar, cuyo lado terminal se encuentra a lo largo de un eje. Se muestran ejemplos.

Convertir entre grados y radianes

Dividir un círculo en 360 partes es una elección arbitraria, aunque crea la conocida medida de grados. Podemos elegir otras formas para dividir un círculo. Para calcular otra unidad, piense en el proceso de dibujar un círculo. Imagine que se detiene antes de completar el círculo. La parte que ha dibujado se denomina arco. Un arco puede ser una porción de un círculo completo, un círculo completo o más de un círculo completo, representado por más de una rotación completa. La longitud del arco alrededor de un círculo entero se denomina la circunferencia de ese círculo.

La circunferencia de un círculo es $C=2\pi r.$ Si dividimos ambos lados de esta ecuación entre $r,$ creamos el cociente entre la circunferencia y el radio, que siempre es $2\pi$ independientemente de la longitud del radio. Así que la circunferencia de cualquier círculo es $2\pi \approx \mathrm{6,28}$ veces la longitud del radio. Esto significa que si tomáramos una cuerda tan larga como el radio y la utilizáramos para medir longitudes consecutivas alrededor de la circunferencia, habría espacio para seis longitudes de cuerda completas y un poco más de un cuarto de la séptima, como se muestra en la Figura 10.

Figura 10

Esto nos lleva a nuestra nueva medida de ángulo. Un radián es la medida de un ángulo central de un círculo que interseca un arco de longitud igual al radio de dicho círculo. Un ángulo central es un ángulo formado en el centro de un círculo por dos radios. Dado que la circunferencia total es igual a $2\pi$ veces el radio, una rotación circular completa es $2\pi$ radianes. Así que

Vea la Figura 11. Observe que, cuando se describe un ángulo sin una unidad específica, se refiere a la medida del radián. Por ejemplo, una medida de ángulo de 3 indica 3 radianes. De hecho, la medida del radián es adimensional, ya que es el cociente de una longitud (circunferencia) dividido entre la longitud (radio) y las unidades de longitud se cancelan.

Figura 11 El ángulo $t$ recorre una medida de un radián. Observe que la longitud del arco interceptado es la misma que la longitud del radio del círculo.

Relacionar las longitudes de los arcos con los radios

La longitud de arco $s$ es la longitud de la curva a lo largo del arco. Al igual que la circunferencia completa de un círculo siempre tiene una relación constante con el radio, la longitud de arco producida por un ángulo cualquiera también tiene una relación constante con el radio, independientemente de su longitud.

Este cociente, denominado medición de radián, es el mismo, independientemente del radio del círculo (solo depende del ángulo). Esta propiedad nos permite definir la medida de cualquier ángulo como el cociente de la longitud de arco $s$ al radio $r.$ Vea la Figura 12.

$$\begin{array}{l}s=r\theta \\ \theta =\frac{s}{r}\end{array}$$

Si los valores de $s=r,$ entonces $\theta =\frac{r}{r}=\text{ 1 radián}\text{.}$

Figura 12 (a) En un ángulo de 1 radián, la longitud de arco $s$ es igual al radio $r.$ b) Un ángulo de 2 radianes tiene una longitud de arco $s=2r.$ (c) Una revolución completa es $2\pi$ o unos 6,28 radianes.

Para profundizar en esta idea, consideremos dos círculos, uno con radio 2 y otro con radio 3. Recordemos que la circunferencia de un círculo es $C=2\pi r,$ donde $r$ es el radio. El círculo más pequeño tiene entonces la circunferencia $2\pi (2)=4\pi$ y el más grande tiene circunferencia $2\pi (3)=6\pi .$ Ahora trazamos un ángulo de 45° en los dos círculos, como en la Figura 13.

Figura 13 Un ángulo de 45° contiene un octavo de la circunferencia de un círculo, independientemente del radio.

Observe lo que ocurre si calculamos el cociente de la longitud del arco dividido entre el radio del círculo.

$$\begin{array}{c}\text{Círculo más pequeño: }\frac{\frac{1}{2}\pi }{2}=\frac{1}{4}\pi \\ \text{ Círculo más grande: }\frac{\frac{3}{4}\pi }{3}=\frac{1}{4}\pi \end{array}$$

Dado que ambos ratios son $\frac{1}{4}\pi ,$ las medidas de los ángulos de ambos círculos son las mismas, aunque la longitud del arco y el radio sean diferentes.

Radianes

Un radián es la medida del ángulo central de un círculo tal que la longitud del arco entre el lado inicial y el lado terminal es igual al radio del círculo. Una revolución completa (360°) equivale a $2\pi$ radianes. Una media revolución (180°) equivale a $\pi$ radianes.

La medición de radián de un ángulo es el cociente entre la longitud del arco subtendido por el ángulo y el radio del círculo. En otras palabras, si $s$ es la longitud de un arco de círculo, y $r$ es el radio del círculo, entonces el ángulo central que contiene ese arco mide $\frac{s}{r}$ radianes. En un círculo de radio 1, la medida del radián corresponde a la longitud del arco.

Preguntas y respuestas

Una medida de 1 radián parece ser de unos 60°. ¿Es eso correcto?

Sí. Es aproximadamente 57,3°. Dado que $2\pi$ radianes es igual a 360°, $1$ radián es igual a $\frac{\mathrm{360°}}{2\pi }\approx \mathrm{57,3°}.$

Identificar ángulos especiales, medidos en radianes

Además de conocer las medidas en grados y radianes de un cuarto de revolución, media revolución y revolución completa, hay otros ángulos que se encuentran con frecuencia en la revolución de un círculo con los que deberíamos estar familiarizados. Es habitual encontrar múltiplos de 30, 45, 60 y 90 grados. Estos valores se muestran en la Figura 14. Será muy útil memorizar estos ángulos cuando estudiamos las propiedades asociadas a ellos.

Figura 14 Ángulos habituales medidos en grados

Ahora, podemos enumerar los valores de los radianes con respecto a las medidas comunes de un círculo correspondientes a las que se enumeran en la Figura 14, y que se muestran en la Figura 15. Verifique cada una de estas medidas.

Figura 15 Ángulos habituales medidos en radianes

Ejemplo 2

Calcular una medición de radián

Calcule la medición de radián de un tercio de una rotación completa.

Solución

En cualquier círculo, la longitud de arco a lo largo de dicha rotación sería un tercio de la circunferencia. Sabemos que

$$1\text{ rotación}=2\pi r$$

Así que,

$$\begin{array}{l}\\ \begin{array}{l}s=\frac{1}{3}(2\pi r)\hfill \\ =\frac{2\pi r}{3}\hfill \end{array}\end{array}$$

La medición de radián sería la longitud del arco, dividida entre el radio.

$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\begin{array}{l}\text{medición de radián}\hfill \\ =\frac{\frac{2\pi r}{3}}{r}\hfill \\ =\frac{2\pi r}{3r}\hfill \end{array}\hfill \\ =\frac{2\pi }{3}\hfill \end{array}\hfill \\ \hfill \\ \hfill \end{array}$$

Inténtelo #2

Calcule la medición de radián de tres cuartos de una rotación completa.

Calcular ángulos coterminales

La conversión entre grados y radianes puede facilitar el trabajo con ángulos en algunas aplicaciones. Para otras aplicaciones, quizá necesitemos otro tipo de conversión. Los ángulos negativos y los ángulos superiores a una revolución completa son más difíciles de trabajar que los que están en el rango de 0° a 360°, o de 0 a $2\pi .$ Sería conveniente sustituir esos ángulos fuera de rango por un ángulo correspondiente dentro del rango de una sola revolución.

Es posible que más de un ángulo tenga el mismo lado terminal. Observe la Figura 16. El ángulo de 140° es un ángulo positivo, medido en sentido contrario a las agujas del reloj. El ángulo de -220° es un ángulo negativo, medido en el sentido de las agujas del reloj. No obstante, ambos ángulos tienen el mismo lado terminal. Si dos ángulos en posición estándar tienen el mismo lado terminal, son ángulos coterminales. Todo ángulo mayor que 360° o menor que 0° es coterminal con un ángulo entre 0° y 360°, y a menudo es más conveniente hallar el ángulo coterminal dentro del rango de 0° a 360° que trabajar con un ángulo que esté fuera de ese rango.

Figura 16 Un ángulo de 140° y un ángulo de -220° son ángulos coterminales.

Cualquier ángulo tiene infinitos ángulos coterminales porque cada vez que sumamos 360° a ese ángulo, o le restamos 360°, el valor resultante tiene un lado terminal en el mismo lugar. Por ejemplo, 100° y 460° son coterminales por esta razón, al igual que -260°. Reconocer que cualquier ángulo tiene infinitos ángulos coterminales explica la forma repetitiva en los gráficos de las funciones trigonométricas.

El ángulo de referencia de un ángulo es la medida del menor ángulo agudo positivo $t$ formado por el lado terminal del ángulo $t$ y el eje horizontal. Por lo tanto, los ángulos de referencia positivos tienen lados terminales que se encuentran en el primer cuadrante y pueden utilizarse como modelos de ángulos en otros cuadrantes. Observe en la Figura 17 los ejemplos de ángulos de referencia para ángulos en diferentes cuadrantes.

Figura 17

Ejemplo 5

Calcular un ángulo coterminal con un ángulo de medida mayor que 360°

Halle el menor ángulo positivo $\theta$ que es coterminal con un ángulo que mide 800°, donde $\mathrm{0°}\le \theta <\mathrm{360°}.$

Solución

Un ángulo con medida 800° es coterminal con un ángulo con medida 800 - 360 = 440°, pero 440° sigue siendo mayor que 360°, así que volvemos a restar 360° para hallar otro ángulo coterminal: 440 − 360 = 80°.

El ángulo $\theta =\mathrm{80°}$ es coterminal con 800°. Dicho de otro modo, 800° equivale a 80° más dos rotaciones completas, como se muestra en la Figura 18.

Figura 18

Ejemplo 6

Hallar un ángulo coterminal con un ángulo que mida menos de 0°

Muestre el ángulo con medida -45° en un círculo y halle un ángulo coterminal positivo $\alpha$ tal que 0° ≤ α < 360°.

Solución

Dado que 45° es la mitad de 90°, podemos empezar en el eje horizontal positivo y medir en el sentido de las agujas del reloj la mitad de un ángulo de 90°.

Ya que podemos calcular ángulos coterminales al sumar o restar una rotación completa de 360°, podemos calcular un ángulo coterminal positivo aquí, si sumamos 360°:

$$-\mathrm{45°}+\mathrm{360°}=\mathrm{315°}$$

Podemos entonces mostrar el ángulo en un círculo, como en la Figura 19.

Figura 19

Calcular ángulos coterminales, medidos en radianes

Podemos calcular los ángulos coterminales medidos en radianes de la misma manera que lo hemos hecho mediante el empleo de grados. En ambos casos, calculamos los ángulos coterminales al sumar o restar una o más rotaciones completas.

Cómo

Dado un ángulo mayor que. $2\pi ,$ hallar un ángulo coterminal entre 0 y $2\pi .$

1. Reste $2\pi$ desde el ángulo dado.
2. Si el resultado sigue siendo mayor que $2\pi ,$ reste $2\pi$ de nuevo hasta que el resultado esté entre $0$ y $2\pi .$
3. El ángulo resultante es coterminal con el ángulo original.

Ejemplo 7

Calcular ángulos coterminales con radianes

Calcule un ángulo $\beta$ que sea coterminal con $\frac{19\pi }{4},$ donde $0\le \beta <2\pi .$

Solución

Al trabajar en grados, hallamos los ángulos coterminales al sumar o restar 360 grados, una rotación completa. Igualmente, en radianes, podemos hallar ángulos coterminales al sumar o restar rotaciones completas de $2\pi$ radianes:

$$\begin{array}{l}\frac{19\pi }{4}–2\pi =\frac{19\pi }{4}-\frac{8\pi }{4}\hfill \\ =\frac{11\pi }{4}\hfill \end{array}$$

El ángulo $\frac{11\pi }{4}$ es coterminal, pero no menos que $2\pi ,$ por lo que restamos otra rotación:

$$\begin{array}{l}\frac{11\pi }{4}–2\pi =\frac{11\pi }{4}-\frac{8\pi }{4}\hfill \\ =\frac{3\pi }{4}\hfill \end{array}$$

El ángulo $\frac{3\pi }{4}$ es coterminal con $\frac{19\pi }{4},$ como se muestra en la Figura 20.

Figura 20

Inténtelo #7

Calcular un ángulo de medida $\theta$ que sea coterminal con un ángulo de medida $-\frac{17\pi }{6}$ donde $0\le \theta <2\pi .$

Determinar la longitud de un arco

Recordemos que la medición de radián $\theta$ de un ángulo se definió como el cociente de la longitud de arco $s$ de un arco circular al radio $r$ del círculo, $\theta =\frac{s}{r}.$ A partir de esta relación, podemos calcular la longitud de arco a lo largo de un círculo, dado un ángulo.

Longitud de arco de un círculo

En un círculo de radio r, la longitud de un arco $s$ subtendido por un ángulo con medida $\theta$ en radianes, mostrado en la Figura 21, es

$$s=r\theta$$

Figura 21

Calcular el área de un sector de un círculo

Además de la longitud de arco, también podemos utilizar los ángulos para hallar el área de un sector de un círculo. Un sector es una región de un círculo delimitado por dos radios y el arco intersecado, como una porción de pizza o pastel. Recordemos que el área de un círculo de radio $r$ se puede hallar con la fórmula $A=\pi r^2.$ Si los dos radios forman un ángulo de $\theta ,$ medido en radianes, entonces $\frac{\theta }{2\pi }$ es la relación entre la medida del ángulo y la medida de una rotación completa y es también, por tanto, la relación entre el área del sector y el área del círculo. Así, el área de un sector es la fracción $\frac{\theta }{2\pi }$ multiplicado por toda la superficie. (Recuerde siempre que esta fórmula solo procede si $\theta$ está en radianes).

Área de un sector

El área de un sector de un círculo de radio $r$ subtendido por un ángulo $\theta ,$ medido en radianes, es

$$A=\frac{1}{2}\theta r^2$$

Vea la Figura 22.

Figura 22 El área del sector es igual a la mitad del cuadrado del radio por el ángulo central medido en radianes.

Ejemplo 9

Hallar el área de un sector

Un aspersor automático de césped rocía una distancia de 20 pies mientras gira 30 grados, como se muestra en la Figura 23. ¿Cuál es la superficie del sector de césped que riega el aspersor?

Figura 23 El aspersor rocía 20 pies en un arco de 30°.

Solución

En primer lugar, tenemos que convertir la medida del ángulo en radianes. Dado que 30 grados es uno de nuestros ángulos especiales, ya conocemos la medida del radián equivalente, pero también podemos convertir:

$$\begin{array}{l}30\text{ grados}=30\cdot \frac{\pi }{180}\hfill \\ =\frac{\pi }{6}\text{ radianes}\hfill \end{array}$$

El área del sector es entonces

$$\begin{array}{l}\text{Área = }\frac{1}{2}\left(\frac{\pi }{6}\right){(20)}^2\hfill \\ \approx \mathrm{104,72}\hfill \end{array}$$

Así que el área es de aproximadamente $\mathrm{104,72}{\text{ pies}}^2.$

Utilizar la velocidad lineal y angular para describir el movimiento en una trayectoria circular

Además de calcular el área de un sector, podemos utilizar los ángulos para describir la velocidad de un objeto en movimiento. Un objeto que viaja en una trayectoria circular tiene dos tipos de velocidad. La velocidad lineal es la velocidad a lo largo de una trayectoria recta y se determina por la distancia que recorre (su desplazamiento) en un intervalo determinado. Por ejemplo, si una rueda con un radio de 5 pulgadas gira una vez por segundo, un punto en el borde de la rueda se mueve una distancia igual a la circunferencia, o $10\pi$ pulgadas, cada segundo. Así que la velocidad lineal del punto es $10\pi$ in/s. La ecuación de la velocidad lineal es la siguiente, donde $v$ es la velocidad lineal, $s$ es el desplazamiento, y $t$ es el tiempo.

La velocidad angular es el resultado del movimiento circular y se determina por el ángulo por el que gira un punto en un intervalo determinado. En otras palabras, la velocidad angular es la rotación angular por unidad de tiempo. Así, por ejemplo, si un engranaje realiza una rotación completa cada 4 segundos, podemos calcular su velocidad angular como $\frac{360\text{ grados}}{4\text{ segundos}}=$ 90 grados por segundo. La velocidad angular puede indicarse en radianes por segundo, rotaciones por minuto o grados por hora, por ejemplo. La ecuación de la velocidad angular es la siguiente, donde $\omega$ (leído como omega) es la velocidad angular, $\theta$ es el ángulo recorrido, y $t$ es el tiempo.

Al combinar la definición de velocidad angular con la ecuación de la longitud de arco, $s=r\theta ,$ hallamos una relación entre las velocidades angulares y lineales. La ecuación de la velocidad angular puede resolverse para $\theta ,$ lo que arroja $\theta =\omega t.$ Sustituyendo esto en la ecuación de la longitud de arco se obtiene:

Sustituyendo esto en la ecuación de la velocidad lineal se obtiene:

Las ruedas hidráulicas se utilizan desde hace miles de años para transferir la potencia del agua que fluye a otros dispositivos. La siguiente imagen muestra el diseño de la rueda hidráulica romana del siglo III en Hierápolis, una ciudad de la actual Turquía. El agua hacía girar la rueda, que a su vez hacía girar una manivela conectada a dos sierras utilizadas para cortar bloques. Estos elementos de diseño se utilizaron en aplicaciones de ruedas hidráulicas en todo el mundo, e incluso facilitaron el principio subyacente de la máquina de vapor, inventada unos 1.500 años más tarde.

Ejemplo 10

Calcular la velocidad angular

Una rueda hidráulica, mostrada en la Figura 24, completa 1 rotación cada 5 segundos. Calcule la velocidad angular en radianes por segundo.

Figura 24

Solución

La rueda completa 1 rotación o pasa por un ángulo de $2\pi$ radianes en 5 segundos, por lo que la velocidad angular sería $\omega =\frac{2\pi }{5}\approx \mathrm{1,257}$ radianes por segundo.