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Precálculo 2ed

Capítulo 6

Precálculo 2edCapítulo 6

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Inténtelo

6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno

1.

6π 6π

2.

1 2 1 2 comprimida

3.

π 2 ; π 2 ; derecha

4.

2 unidades hacia arriba

5.

línea media: y=0; y=0; amplitud: | A |= 1 2 ; | A |= 1 2 ; periodo: P= 2 π | B | =6π; P= 2 π | B | =6π; desplazamiento de fase: C B =π C B =π

6.

f( x )=sen(x)+2 f( x )=sen(x)+2

7.

dos posibilidades: y=4sen( π 5 x- π 5 )+4 y=4sen( π 5 x- π 5 )+4 o y=4sen( π 5 x+ 4π 5 )+4 y=4sen( π 5 x+ 4π 5 )+4

8.
Gráfico de -0,8cos(2x). El gráfico tiene un rango de [-0.8, 0.8], un periodo de pi, una amplitud de 0,8, y se refleja alrededor del eje x en comparación con el de su función matriz cos(x).

línea media: y=0; y=0; amplitud: | A |=0,8; | A |=0,8; periodo: P= 2 π | B | =π; P= 2 π | B | =π; desplazamiento de fase: C B =0 C B =0 o ninguna de las anteriores

9.
Gráfico de -2cos((pi/3)x+(pi/6)). El gráfico tiene una amplitud de 2, un periodo de 6 y un desplazamiento de fase de 0,5 hacia la izquierda.

línea media: y=0; y=0; amplitud: | A |=2 ; | A |=2 ; periodo: P= 2 π | B | =6; P= 2 π | B | =6; desplazamiento de fase: C B =- 1 2 C B =- 1 2

10.

7

Gráfico de 7cos(x). El gráfico tiene una amplitud de 7, un periodo de 2pi y un rango de [-7,7].
11.

y=3cos( x )-4 y=3cos( x )-4

Gráfico de coseno con rango [-1,-7]. El periodo es de 2 pi. Máximos locales en (0,-1), (2pi,-1) y (4pi, -1). Mínimos locales en (pi,-7) y (3pi, -7).

6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas

1.
Gráfico de dos periodos de una función tangente modificada, con asíntotas en x=-3 y x=3.
2.

Se reflejaría a través de la línea y=-1, y=-1, para convertirse en una función creciente.

3.

g(x)=4tan(2 x) g(x)=4tan(2 x)

4.

Se trata de una reflexión vertical del gráfico anterior porque A A es negativo.

Gráfico de un periodo de una función secante modificada, que se parece a una parábola orientada hacia abajo y a una parábola orientada hacia arriba.
5.
Gráfico de un periodo de una función secante modificada. Hay dos asíntotas verticales, una aproximadamente en x=-pi/20 y otra aproximadamente en 3pi/16.
6.
Gráfico de un periodo de una función secante modificada, que se parece a una parábola orientada hacia abajo y a una parábola orientada hacia arriba.
7.
Gráfico de dos periodos de una función secante y coseno. El gráfico muestra que la función coseno tiene máximos locales donde la función secante tiene mínimos locales y viceversa.

6.3 Funciones trigonométricas inversas

1.

arccos(0,8776)0,5 arccos(0,8776)0,5

2.
  1. π 2 ; π 2 ;
  2. π 4 ; π 4 ;
  3. π; π;
  4. π 3 π 3
3.

1,9823 o 113,578°

4.

sen −1 (0,6)=36,87°=0,6435 sen −1 (0,6)=36,87°=0,6435 radianes

5.

π 8 ; 2π 9 π 8 ; 2π 9

6.

3π 4 3π 4

7.

12 13 12 13

8.

4 2 9 4 2 9

9.

4x 16 x 2 +1 4x 16 x 2 +1

6.1 Ejercicios de sección

1.

Las funciones seno y coseno tienen la propiedad de que f( x+P )=f( x ) f( x+P )=f( x ) para un determinado P. P. Esto significa que los valores de la función se repiten para cada P P unidades en el eje x.

3.

El valor absoluto de la constante A A (amplitud) aumenta el alcance total y la constante D D (desplazamiento vertical) desplaza el gráfico verticalmente.

5.

En el punto en el que el lado terminal de t t interseca el círculo unitario, se puede determinar que el sent sent es igual a la coordenada de la y del punto.

7.
Gráfico de (2/3)cos(x). El gráfico tiene una amplitud de 2/3, un periodo de 2pi y un rango de [-2/3, 2/3].

amplitud: 2 3 ; 2 3 ; periodo: 2π; 2π; línea media: y=0; y=0; máximo: y= 2 3 y= 2 3 se produce en x=0; x=0; mínimo: y=- 2 3 y=- 2 3 se produce en x=π; x=π; para un periodo, el gráfico comienza en 0 y termina en 2π 2π

9.
Gráfico de 4sen(x). El gráfico tiene una amplitud de 4, un periodo de 2pi y un rango de [-4, 4].

amplitud: 4; periodo: 2π; 2π; línea media: y=0; y=0; máximo y=4 y=4 se produce en x= π 2 ; x= π 2 ; mínimo: y=4 y=4 se produce en x= 3π 2 ; x= 3π 2 ; un periodo completo ocurre desde x=0 x=0 hasta x=2 π x=2 π

11.
Gráfico de cos(2x). El gráfico tiene una amplitud de 1, un periodo de pi y un rango de [-1,1].

amplitud: 1; periodo: π; π; línea media: y=0; y=0; máximo: y=1 y=1 se produce en x=π; x=π; mínimo: y=-1 y=-1 se produce en x= π 2 ; x= π 2 ; un periodo completo se grafica desde x=0 x=0 hasta x=π x=π

13.
Gráfico de 4cos(pi*x). El gráfico tiene una amplitud de 4, un periodo de 2 y un rango de [-4, 4].

amplitud: 4; periodo: 2; línea media: y=0; y=0; máximo: y=4 y=4 se produce en x=0; x=0; mínimo: y=4 y=4 se produce en x=1 x=1

15.
Gráfico de 3sen(8(x+4))+5. El gráfico tiene una amplitud de 3, un rango de [2, 8] y un periodo de pi/4.

amplitud: 3; periodo: π 4 ; π 4 ; línea media: y=5; y=5; máximo: y=8 y=8 se produce en x=0,12; x=0,12; mínimo: y=2 y=2 se produce en x=0,516; x=0,516; desplazamiento horizontal: 4; 4; traslación vertical 5; se produce un periodo de x=0 x=0 hasta x= π 4 x= π 4

17.
Gráfico de 5sen(5x+20)-2. El gráfico tiene una amplitud de 5, un periodo de 2pi/5 y un rango de [-7,3].

amplitud: 5; periodo: 2π 5 ; 2π 5 ; línea media: y=−2; y=−2; máximo: y=3 y=3 se produce en x=0,08; x=0,08; mínimo: y=−7 y=−7 se produce en x=0,71; x=0,71; desplazamiento de fase: -4; -4; traslación vertical: −2; −2; un periodo completo puede graficarse en x=0 x=0 hasta x= 2 π 5 x= 2 π 5

19.
Gráfico de -cos(t+pi/3)+1. El gráfico tiene una amplitud de 1, un periodo de 2pi y un rango de [0,2]. Desplazamiento de fase pi/3 hacia la izquierda.

amplitud: 1; periodo: 2π; 2π; línea media: y=1; y=1; máximo: y=2 y=2 se produce en x=2,09; x=2,09; máximo: y=2 y=2 se produce en t=2,09; t=2,09; mínimo: y=0 y=0 se produce en t=5,24; t=5,24; desplazamiento de fase: π 3 ; π 3 ; traslación vertical: 1; un periodo completo es de t=0 t=0 a t=2 π t=2 π

21.
Gráfico de -sen((1/2)*t + 5pi/3). El gráfico tiene una amplitud de 1, un rango de [-1,1], un periodo de 4pi y un desplazamiento de fase de -10pi/3.

amplitud: 1; periodo: 4π; 4π; línea media: y=0; y=0; máximo: y=1 y=1 se produce en t=11,52; t=11,52; mínimo: y=-1 y=-1 se produce en t=5,24; t=5,24; desplazamiento de fase: 10π 3 ; 10π 3 ; desplazamiento vertical: 0

23.

amplitud: 2; línea media: y=-3; y=-3; periodo: 4; ecuación: f(x)=2sen( π 2 x )-3 f(x)=2sen( π 2 x )-3

25.

amplitud: 2; periodo: 5; línea media: y=3; y=3; ecuación: f(x)=-2cos( 2π 5 x )+3 f(x)=-2cos( 2π 5 x )+3

27.

amplitud: 4; periodo: 2; línea media: y=0; y=0; ecuación: f(x)=4cos( π( x- π 2 ) ) f(x)=4cos( π( x- π 2 ) )

29.

amplitud: 2; periodo: 2; línea media: y=1; y=1; ecuación: f( x )=2cos( πx )+1 f( x )=2cos( πx )+1

31.

0,π 0,π

33.

sen(π2)=1 sen(π2)=1

35.

π2 π2

37.

f(x)=senx f(x)=senx es simétrico.

39.

π3,5π3 π3,5π3

41.

Máximo: 1 1 en x= 0 x=0; mínimo: -1 -1 a las x= π x=π

43.

Se añade una función lineal a una función seno periódica. El gráfico no tiene amplitud porque, al aumentar la función lineal sin límite, la función combinada h(x)=x+senx h(x)=x+senx también aumentará sin límites. El gráfico está acotado entre los gráficos de y=x+1 y=x+1 y y=x 1 y=x 1 porque el seno oscila entre -1 y 1.

45.

No hay amplitud porque la función no está acotada.

47.

El gráfico es simétrico con respecto al eje y; además, no hay amplitud porque los límites de la función disminuyen a medida que |x| |x| aumenta. Parece que hay una asíntota horizontal en y=0 y=0.

6.2 Ejercicios de sección

1.

Dado que y=cscx y=cscx es la función recíproca de y=senx, y=senx, se puede trazar el recíproco de las coordenadas en el gráfico de y=senx y=senx para obtener las coordenadas de la y de y=cscx. y=cscx. Las intersecciones en x del gráfico y=senx y=senx son las asíntotas verticales del gráfico de y=cscx. y=cscx.

3.

Las respuestas variarán. Utilizando el círculo unitario, se puede demostrar que tan( x+π )=tanx. tan( x+π )=tanx.

5.

El periodo es el mismo: 2π. 2π.

7.

IV

9.

III

11.

periodo: 8; desplazamiento horizontal: 1 unidad a la izquierda

13.

1,5

15.

5

17.

cotxcosx-senx cotxcosx-senx

19.
Gráfico de dos periodos de una función tangente modificada. Hay dos asíntotas verticales.

factor de estiramiento: 2; periodo: π 4 ; π 4 ; asíntotas: x= 1 4 ( π 2 +πk )+8, donde k es un número entero x= 1 4 ( π 2 +πk )+8, donde k es un número entero

21.
Gráfico de dos periodos de una función cosecante modificada. Asíntotas verticales en x= -6, -3, 0, 3 y 6.

factor de estiramiento: 6; periodo: 6; asíntotas x=3k, donde k es un número entero x=3k, donde k es un número entero

23.
Gráfico de dos periodos de una función tangente modificada. Asíntotas verticales en múltiplos de pi.

factor de estiramiento: 1; periodo: π; π; asíntotas: x=πk, donde k es un número entero x=πk, donde k es un número entero

25.
Gráfico de dos periodos de una función tangente modificada. Se muestran tres asíntotas verticales.

Factor de estiramiento: 1; periodo: π; π; asíntotas: x= π 4 +πk, donde k es un número entero x= π 4 +πk, donde k es un número entero

27.
Gráfico de dos periodos de una función cosecante modificada. Asíntotas verticales en múltiplos de pi.

factor de estiramiento: 2; periodo: 2π; 2π; asíntotas: x=πk, donde k es un número entero x=πk, donde k es un número entero

29.
Gráfico de dos periodos de una función secante modificada. Asíntotas verticales en x=-pi/2, -pi/6, pi/6 y pi/2.

factor de estiramiento: 4; periodo: 2π 3 ; 2π 3 ; asíntotas: x= π 6 k, donde k es un número entero impar x= π 6 k, donde k es un número entero impar

31.
Gráfico de dos periodos de una función secante modificada. Hay cuatro asíntotas verticales separadas por pi/5.

factor de estiramiento: 7; punto 2π 5 ; 2π 5 ; asíntotas: x= π 10 k, donde k es un número entero impar x= π 10 k, donde k es un número entero impar

33.
Gráfico de dos periodos de una función cosecante modificada. Tres asíntotas verticales, cada una separada por un pi.

factor de estiramiento: 2; periodo: 2π; 2π; asíntotas: x=- π 4 +πk, donde k es un número entero x=- π 4 +πk, donde k es un número entero

35.
Gráfico de una función cosecante modificada. Cuatro asíntotas verticales.

factor de estiramiento: 7 5 ; 7 5 ; periodo: 2π; 2π; asíntotas: x= π 4 +πk, donde k es un número entero x= π 4 +πk, donde k es un número entero

37.

y=tan( 3( x- π 4 ) )+2 y=tan( 3( x- π 4 ) )+2

Gráfico de dos periodos de una función tangente modificada. Asíntotas verticales en x=-pi/4 y pi/12.
39.

f( x )=csc( 2 x ) f( x )=csc( 2 x )

41.

f( x )=csc( 4x ) f( x )=csc( 4x )

43.

f( x )=2cscx f( x )=2cscx

45.

f(x)= 1 2 tan(100πx) f(x)= 1 2 tan(100πx)

47.
Gráfico del valor absoluto de la función cotangente. El rango es de 0 al infinito.
49.
Gráfico de la tangente de x.
51.
Gráfico de dos periodos de una función secante modificada. Asíntotas verticales en múltiplos de 500pi.
53.
Gráfico de y=1.
55.
  1. ( - π 2 , π 2 ); ( - π 2 , π 2 );
  2. Gráfico de un semiperíodo de una función secante. Asíntotas verticales en x=-pi/2 y pi/2.
  3. x=- π 2 x=- π 2 y x= π 2 ; x= π 2 ; la distancia crece sin límites a medida que | x | | x | se aproxima a π 2 π 2 , es decir, en ángulo recto con la línea que representa el norte, el barco estaría tan lejos que el pescador no podría verlo;
  4. 3; cuando x=- π 3 , x=- π 3 , el barco está a 3 km;
  5. 1,73; cuando x= π 6 , x= π 6 , el barco está a unos 1,73 km;
  6. 1,5 km; cuando x=0 x=0
57.
  1. h( x )=2tan( π 120 x ); h( x )=2tan( π 120 x );
  2. Una función creciente exponencialmente con una asíntota vertical en x=60.
  3. h( 0 )=0: h( 0 )=0: después de 0 segundos, el cohete está a 0 millas sobre el suelo h( 30 )=2: h( 30 )=2: después de 30 segundos, los cohetes están a 2 millas de altura;
  4. A medida que x x se acerca a los 60 segundos, los valores de h( x ) h( x ) aumentan cada vez más. La distancia al cohete aumenta tanto que la cámara ya no puede seguirlo.

6.3 Ejercicios de sección

1.

La función y=senx y=senx es biunívoca en [ - π 2 , π 2 ]; [ - π 2 , π 2 ]; así, este intervalo es el rango de la función inversa de y=senx, y=senx, f(x)= sen 1 x. f(x)= sen 1 x. La función y=cosx y=cosx es biunívoca en [ 0,π ]; [ 0,π ]; así, este intervalo es el rango de la función inversa de y=cosx,f(x)= cos 1 x. y=cosx,f(x)= cos 1 x.

3.

π 6 π 6 es la medida del radián de un ángulo entre π 2 π 2 y π 2 π 2 cuyo seno es 0,5.

5.

Para que cualquier función tenga una inversa, deberá ser biunívoca y pasar la prueba de la línea horizontal. La función seno regular no es biunívoca, a menos que su dominio esté restringido de alguna manera. Los matemáticos han acordado restringir la función seno al intervalo [ - π 2 , π 2 ] [ - π 2 , π 2 ] para que sea biunívoca y posea una inversa.

7.

Verdadero. El ángulo, θ 1 θ 1 que es igual a arccos(-x) arccos(-x), x>0 x>0, será un ángulo de segundo cuadrante con ángulo de referencia, θ 2 θ 2 , donde θ 2 θ 2 es igual a arccosx arccosx, x>0 x>0. Dado que θ 2 θ 2 es el ángulo de referencia para θ 1 θ 1 , θ 2 =π- θ 1 θ 2 =π- θ 1 y arccos(-x) arccos(-x) = πarccosx πarccosx-

9.

π 6 π 6

11.

3π 4 3π 4

13.

π 3 π 3

15.

π 3 π 3

17.

1,98

19.

0,93

21.

1,41

23.

0,56 radianes

25.

0

27.

0,71

29.

-0,71

31.

π 4 π 4

33.

0,8

35.

5 13 5 13

37.

x1 - x 2 +2 x x1 - x 2 +2 x

39.

x 2 1 x x 2 1 x

41.

x+0,5 x 2 -x+ 3 4 x+0,5 x 2 -x+ 3 4

43.

2 x+1 x+1 2 x+1 x+1

45.

2 x+1 x 2 x+1 x

47.

t t

49.
Gráfico de la función arcocoseno de x, de -1 a 1. El rango de la función es de 0 a pi.

dominio [ -1,1 ]; [ -1,1 ]; rango [ 0,π ] [ 0,π ]

51.

aproximadamente x=0,00 x=0,00

53.

0,395 radianes

55.

1,11 radianes

57.

1,25 radianes

59.

0,405 radianes

61.

No. El ángulo que forma la escalera con la horizontal es de 60 grados.

Ejercicios de repaso

1.

amplitud: 3; periodo: 2π; 2π; línea media: y=3; y=3; sin asíntotas

Gráfico de dos períodos con una función coseno matriz. El gráfico tiene un rango de [0,6] graficado sobre -2pi a 2pi. Máximos como -pi y pi.
3.

amplitud: 3; periodo: 2π; 2π; línea media: y=0; y=0; sin asíntotas

Gráfico de cuatro periodos con una función coseno matriz. Graficado de -4pi a 4pi. El rango es [-3,3].
5.

amplitud: 3; periodo: 2π; 2π; línea media: y=4; y=4; sin asíntotas

Gráfico de dos periodos de una función sinusoidal. El rango es [-7,-1]. Máximos en -5pi/4 y 3pi/4.
7.

amplitud: 6; periodo: 2π 3 ; 2π 3 ; línea media: y=-1; y=-1; sin asíntotas

Gráfico sinusoidal en dos periodos. El rango es [-7,5], la amplitud es 6 y el periodo es 2pi/3.
9.

factor de estiramiento: ninguno; periodo: π; π; línea media: y=4; y=4; asíntotas: x= π 2 +πk, x= π 2 +πk, donde k k es un número entero

Gráfico de una función tangente en dos periodos. Graficado de -pi a pi, con asíntotas en -pi/2 y pi/2.
11.

factor de estiramiento: 3; periodo: π 4 ; π 4 ; línea media: y=-2 ; y=-2 ; asíntotas: x= π 8 + π 4 k, x= π 8 + π 4 k, donde k k es un número entero

Gráfico de una función tangente en dos periodos. Asíntotas en -pi/8 y pi/8. Periodo de pi/4. Línea media en y=-2.
13.

amplitud: ninguna; periodo: 2π; 2π; sin desplazamiento de fase; asíntotas: x= π 2 k, x= π 2 k, donde k k es un número entero impar

Gráfico de dos periodos de una función secante. Periodo de 2 pi, graficado de -2pi a 2pi. Asíntotas en -3pi/2, -pi/2, pi/2 y 3pi/2.
15.

amplitud: ninguna; periodo: 2π 5 ; 2π 5 ; sin desplazamiento de fase; asíntotas: x= π 5 k, x= π 5 k, donde k k es un número entero

Gráfico de una función cosecante sobre dos periodos y medio. Graficado de -pi a pi, periodo de 2pi/5.
17.

amplitud: ninguna; periodo: 4π; 4π; sin desplazamiento de fase; asíntotas: x=2 πk, x=2 πk, donde k k es un número entero

Gráfico de dos periodos de una función cosecante. Graficado de -4pi a 4pi. Asíntotas en múltiplos de 2pi. Periodo de 4pi.
19.

mayor: 20.000; menor: 4.000

21.

amplitud: 8.000; periodo: 10; deslizamiento de fase: 0

23.

En 2007, la población prevista es de 4.413 habitantes. En 2010, la población será de 11.924 habitantes.

25.

5 pulgadas.

27.

10 segundos

29.

π 6 π 6

31.

π 4 π 4

33.

π 3 π 3

35.

No hay solución

37.

12 5 12 5

39.

Los gráficos no son simétricos con respecto a la línea y=x. y=x. Son simétricos con respecto al eje y y .

Un gráfico de coseno de x y secante de x. El coseno de x tiene máximos donde la secante tiene mínimos y viceversa. Asíntotas en x=-3pi/2, -pi/2, pi/2 y 3pi/2.
41.

Los gráficos lucen idénticos.

Dos gráficos de dos funciones idénticas en el intervalo [-1 a 1]. Ambos gráficos parecen sinusoidales.

Examen de práctica

1.

amplitud: 0,5; periodo: 2π; 2π; línea media y=0 y=0

Gráfico de dos periodos de una función sinusoidal, graficada de -2pi a 2pi. El rango es [-0,5,0,5]. Intersecciones en x en múltiplos de pi.
3.

amplitud: 5; periodo: 2π; 2π; línea media: y=0 y=0

Dos periodos de una función seno, graficada de -2pi a 2pi. El rango es [-5,5], la amplitud es 5 y el periodo es 2pi.
5.

amplitud: 1; periodo: 2π; 2π; línea media: y=1 y=1

Gráfico de dos periodos de una función coseno, graficada de -7pi/3 a 5pi/3. El rango es [0,2], el periodo es 2pi y la amplitud es 1.
7.

amplitud: 3; periodo: 6π; 6π; línea media: y=0 y=0

Gráfico de dos periodos de una función coseno, sobre -7pi/2 a 17pi/2. El rango es [-3,3], el periodo es 6pi y la amplitud es 3.
9.

amplitud: ninguna; periodo: π; π; línea media: y=0, y=0, asíntotas: x= 2 π 3 +πk, x= 2 π 3 +πk, donde k k es un número entero

Gráfico de dos periodos de una función tangente de -5pi/6 a 7pi/6. El periodo es pi, la línea media en y=0.
11.

amplitud: ninguna; periodo: 2π 3 ; 2π 3 ; línea media: y=0, y=0, asíntotas: x= π 3 k, x= π 3 k, donde k k es un número entero

Gráfico de dos periodos de una función cosecante, de -2pi/3 a 2pi/3. Asíntotas verticales en múltiplos de pi/3. Periodo de 2pi/3.
13.

amplitud: ninguna; periodo: 2π; 2π; línea media: y=-3 y=-3

Gráfico de dos periodos de una función cosecante, graficada de -9pi/4 a 7pi/4. El periodo es 2pi, la línea media en y=-3.
15.

amplitud: 2; periodo: 2; línea media: y=0; y=0; f( x )=2sen( π( x1 ) ) f( x )=2sen( π( x1 ) )

17.

amplitud: 1; periodo: 12; desplazamiento de fase −6; −6; línea media y=−3 y=−3

19.

D( t )=6812sen( π 12 x ) D( t )=6812sen( π 12 x )

21.

periodo: π 6 ; π 6 ; desplazamiento horizontal: −7 −7

23.

f( x )=sec( πx ); f( x )=sec( πx ); periodo: 2; desplazamiento de fase: 0

25.

4 4

27.

Las vistas son diferentes porque el periodo de la onda es 1 25 . 1 25 . En un dominio más grande, habrá más ciclos del gráfico.

Dos gráficos paralelos de una función sinusoidal. El primer gráfico se grafica de 0 a 1, el segundo de 0 a 3. Hay muchos periodos para cada uno.
29.

3 5 3 5

31.

En los intervalos aproximados ( 0,5,1 ),( 1,6,2,1 ),( 2,6,3,1 ),( 3,7,4,2 ),( 4,7,5,2 ),(5,6,6,28) ( 0,5,1 ),( 1,6,2,1 ),( 2,6,3,1 ),( 3,7,4,2 ),( 4,7,5,2 ),(5,6,6,28)

33.

f( x )=2cos( 12( x+ π 4 ) )+3 f( x )=2cos( 12( x+ π 4 ) )+3

Gráfico de un periodo de una función coseno, graficada de -pi/4 a 0. El rango es [1,5], el periodo es pi/6.
35.

Este gráfico es periódico con un periodo de 2π. 2π.

Gráfico de dos periodos de una función sinusoidal. El gráfico tiene un periodo de 2pi.
37.

π 3 π 3

39.

π 2 π 2

41.

1- ( 1-2 x ) 2 1- ( 1-2 x ) 2

43.

1 1+ x 4 1 1+ x 4

45.

x+1 x x+1 x

47.

Falso

49.

aproximadamente 0,07 radianes

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