Jay Abramson

Inténtelo

6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno

1.

$6 π$

2.

$\frac{1}{2}$ comprimida

3.

$\frac{π}{2};$ derecha

4.

2 unidades hacia arriba

5.

línea media: $y = 0;$ amplitud: $| A | = \frac{1}{2};$ periodo: $P = \frac{2 π}{| B |} = 6 π;$ desplazamiento de fase: $\frac{C}{B} = π$

6.

$f (x) = sen (x) + 2$

7.

dos posibilidades: $y = 4 sen (\frac{π}{5} x - \frac{π}{5}) + 4$ o $y = - 4 sen (\frac{π}{5} x + \frac{4 π}{5}) + 4$

8.

línea media: $y = 0;$ amplitud: $| A | = 0,8;$ periodo: $P = \frac{2 π}{| B |} = π;$ desplazamiento de fase: $\frac{C}{B} = 0$ o ninguna de las anteriores

9.

línea media: $y = 0;$ amplitud: $| A | = 2;$ periodo: $P = \frac{2 π}{| B |} = 6;$ desplazamiento de fase: $\frac{C}{B} = - \frac{1}{2}$

10.

7

11.

$y = 3 \cos (x) - 4$

6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas

1.

2.

Se reflejaría a través de la línea $y = - 1,$ para convertirse en una función creciente.

3.

$g (x) = 4 \tan (2 x)$

4.

Se trata de una reflexión vertical del gráfico anterior porque $A$ es negativo.

5.

6.

7.

6.3 Funciones trigonométricas inversas

1.

$\arccos (0,8776) \approx 0,5$

2.

Ⓐ $- \frac{π}{2};$
Ⓑ $- \frac{π}{4};$
Ⓒ $π;$
Ⓓ $\frac{π}{3}$

3.

1,9823 o 113,578°

4.

${sen}^{−1} (0,6) = 36,87° = 0,6435$ radianes

5.

$\frac{π}{8}; \frac{2 π}{9}$

6.

$\frac{3 π}{4}$

7.

$\frac{12}{13}$

8.

$\frac{4 \sqrt{2}}{9}$

9.

$\frac{4 x}{\sqrt{16 x^{2} + 1}}$

6.1 Ejercicios de sección

1.

Las funciones seno y coseno tienen la propiedad de que $f (x + P) = f (x)$ para un determinado $P .$ Esto significa que los valores de la función se repiten para cada $P$ unidades en el eje x.

3.

El valor absoluto de la constante $A$ (amplitud) aumenta el alcance total y la constante $D$ (desplazamiento vertical) desplaza el gráfico verticalmente.

5.

En el punto en el que el lado terminal de $t$ interseca el círculo unitario, se puede determinar que el $sen t$ es igual a la coordenada de la y del punto.

7.

amplitud: $\frac{2}{3};$ periodo: $2 π;$ línea media: $y = 0;$ máximo: $y = \frac{2}{3}$ se produce en $x = 0;$ mínimo: $y = - \frac{2}{3}$ se produce en $x = π;$ para un periodo, el gráfico comienza en 0 y termina en $2 π$

9.

amplitud: 4; periodo: $2 π;$ línea media: $y = 0;$ máximo $y = 4$ se produce en $x = \frac{π}{2};$ mínimo: $y = - 4$ se produce en $x = \frac{3 π}{2};$ un periodo completo ocurre desde $x = 0$ hasta $x = 2 π$

11.

amplitud: 1; periodo: $π;$ línea media: $y = 0;$ máximo: $y = 1$ se produce en $x = π;$ mínimo: $y = - 1$ se produce en $x = \frac{π}{2};$ un periodo completo se grafica desde $x = 0$ hasta $x = π$

13.

amplitud: 4; periodo: 2; línea media: $y = 0;$ máximo: $y = 4$ se produce en $x = 0;$ mínimo: $y = - 4$ se produce en $x = 1$

15.

amplitud: 3; periodo: $\frac{π}{4};$ línea media: $y = 5;$ máximo: $y = 8$ se produce en $x = 0,12;$ mínimo: $y = 2$ se produce en $x = 0,516;$ desplazamiento horizontal: $- 4;$ traslación vertical 5; se produce un periodo de $x = 0$ hasta $x = \frac{π}{4}$

17.

amplitud: 5; periodo: $\frac{2 π}{5};$ línea media: $y = −2;$ máximo: $y = 3$ se produce en $x = 0,08;$ mínimo: $y = −7$ se produce en $x = 0,71;$ desplazamiento de fase: $-4;$ traslación vertical: $−2;$ un periodo completo puede graficarse en $x = 0$ hasta $x = \frac{2 π}{5}$

19.

amplitud: 1; periodo: $2 π;$ línea media: $y = 1;$ máximo: $y = 2$ se produce en $x = 2,09;$ máximo: $y = 2$ se produce en $t = 2,09;$ mínimo: $y = 0$ se produce en $t = 5,24;$ desplazamiento de fase: $- \frac{π}{3};$ traslación vertical: 1; un periodo completo es de $t = 0$ a $t = 2 π$

21.

amplitud: 1; periodo: $4 π;$ línea media: $y = 0;$ máximo: $y = 1$ se produce en $t = 11,52;$ mínimo: $y = - 1$ se produce en $t = 5,24;$ desplazamiento de fase: $- \frac{10 π}{3};$ desplazamiento vertical: 0

23.

amplitud: 2; línea media: $y = - 3;$ periodo: 4; ecuación: $f (x) = 2 sen (\frac{π}{2} x) - 3$

25.

amplitud: 2; periodo: 5; línea media: $y = 3;$ ecuación: $f (x) = - 2 \cos (\frac{2 π}{5} x) + 3$

27.

amplitud: 4; periodo: 2; línea media: $y = 0;$ ecuación: $f (x) = - 4 \cos (π (x - \frac{π}{2}))$

29.

amplitud: 2; periodo: 2; línea media: $y = 1;$ ecuación: $f (x) = 2 \cos (π x) + 1$

31.

$0, π$

33.

$sen (\frac{π}{2}) = 1$

35.

$\frac{π}{2}$

37.

$f (x) = sen x$ es simétrico.

39.

$\frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

41.

Máximo: $1$ en $x = 0$ ; mínimo: $-1$ a las $x = π$

43.

Se añade una función lineal a una función seno periódica. El gráfico no tiene amplitud porque, al aumentar la función lineal sin límite, la función combinada $h (x) = x + sen x$ también aumentará sin límites. El gráfico está acotado entre los gráficos de $y = x + 1$ y $y = x 1$ porque el seno oscila entre -1 y 1.

45.

No hay amplitud porque la función no está acotada.

47.

El gráfico es simétrico con respecto al eje y; además, no hay amplitud porque los límites de la función disminuyen a medida que $| x |$ aumenta. Parece que hay una asíntota horizontal en $y = 0$ .

6.2 Ejercicios de sección

1.

Dado que $y = \csc x$ es la función recíproca de $y = sen x,$ se puede trazar el recíproco de las coordenadas en el gráfico de $y = sen x$ para obtener las coordenadas de la y de $y = \csc x .$ Las intersecciones en x del gráfico $y = sen x$ son las asíntotas verticales del gráfico de $y = \csc x .$

3.

Las respuestas variarán. Utilizando el círculo unitario, se puede demostrar que $\tan (x + π) = \tan x .$

5.

El periodo es el mismo: $2 π .$

7.

IV

9.

III

11.

periodo: 8; desplazamiento horizontal: 1 unidad a la izquierda

13.

1,5

15.

5

17.

$- \cot x \cos x - sen x$

19.

factor de estiramiento: 2; periodo: $\frac{π}{4};$ asíntotas: $x = \frac{1}{4} (\frac{π}{2} + π k) + 8, donde k es un número entero$

21.

factor de estiramiento: 6; periodo: 6; asíntotas $x = 3 k, donde k es un número entero$

23.

factor de estiramiento: 1; periodo: $π;$ asíntotas: $x = π k, donde k es un número entero$

25.

Factor de estiramiento: 1; periodo: $π;$ asíntotas: $x = \frac{π}{4} + π k, donde k es un número entero$

27.

factor de estiramiento: 2; periodo: $2 π;$ asíntotas: $x = π k, donde k es un número entero$

29.

factor de estiramiento: 4; periodo: $\frac{2 π}{3};$ asíntotas: $x = \frac{π}{6} k, donde k es un número entero impar$

31.

factor de estiramiento: 7; punto $\frac{2 π}{5};$ asíntotas: $x = \frac{π}{10} k, donde k es un número entero impar$

33.

factor de estiramiento: 2; periodo: $2 π;$ asíntotas: $x = - \frac{π}{4} + π k, donde k es un número entero$

35.

factor de estiramiento: $\frac{7}{5};$ periodo: $2 π;$ asíntotas: $x = \frac{π}{4} + π k, donde k es un número entero$

37.

$y = \tan (3 (x - \frac{π}{4})) + 2$

39.

$f (x) = \csc (2 x)$

41.

$f (x) = \csc (4 x)$

43.

$f (x) = 2 \csc x$

45.

$f (x) = \frac{1}{2} \tan (100 π x)$

47.

49.

51.

53.

55.

Ⓐ $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2});$
Ⓑ
Ⓒ $x = - \frac{π}{2}$ y $x = \frac{π}{2};$ la distancia crece sin límites a medida que $| x |$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ , es decir, en ángulo recto con la línea que representa el norte, el barco estaría tan lejos que el pescador no podría verlo;
Ⓓ 3; cuando $x = - \frac{π}{3},$ el barco está a 3 km;
Ⓔ 1,73; cuando $x = \frac{π}{6},$ el barco está a unos 1,73 km;
Ⓕ 1,5 km; cuando $x = 0$

57.

Ⓐ $h (x) = 2 \tan (\frac{π}{120} x);$
Ⓑ
Ⓒ $h (0) = 0 :$ después de 0 segundos, el cohete está a 0 millas sobre el suelo $h (30) = 2 :$ después de 30 segundos, los cohetes están a 2 millas de altura;
Ⓓ A medida que $x$ se acerca a los 60 segundos, los valores de $h (x)$ aumentan cada vez más. La distancia al cohete aumenta tanto que la cámara ya no puede seguirlo.

6.3 Ejercicios de sección

1.

La función $y = sen x$ es biunívoca en $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}];$ así, este intervalo es el rango de la función inversa de $y = sen x,$ $f (x) = {sen}^{- 1} x .$ La función $y = \cos x$ es biunívoca en $[0, π];$ así, este intervalo es el rango de la función inversa de $y = \cos x, f (x) = \cos^{- 1} x .$

3.

$\frac{π}{6}$ es la medida del radián de un ángulo entre $- \frac{π}{2}$ y $\frac{π}{2}$ cuyo seno es 0,5.

5.

Para que cualquier función tenga una inversa, deberá ser biunívoca y pasar la prueba de la línea horizontal. La función seno regular no es biunívoca, a menos que su dominio esté restringido de alguna manera. Los matemáticos han acordado restringir la función seno al intervalo $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ para que sea biunívoca y posea una inversa.

7.

Verdadero. El ángulo, $θ_{1}$ que es igual a $\arccos (- x)$ , $x > 0$ , será un ángulo de segundo cuadrante con ángulo de referencia, $θ_{2}$ , donde $θ_{2}$ es igual a $\arccos x$ , $x > 0$ . Dado que $θ_{2}$ es el ángulo de referencia para $θ_{1}$ , $θ_{2} = π - θ_{1}$ y $\arccos (- x)$ = $π - \arccos x$ -

9.

$- \frac{π}{6}$

11.

$\frac{3 π}{4}$

13.

$- \frac{π}{3}$

15.

$\frac{π}{3}$

17.

1,98

19.

0,93

21.

1,41

23.

0,56 radianes

25.

0

27.

0,71

29.

-0,71

31.

$- \frac{π}{4}$

33.

0,8

35.

$\frac{5}{13}$

37.

$\frac{x - 1}{\sqrt{- x^{2} + 2 x}}$

39.

$\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$

41.

$\frac{x + 0,5}{\sqrt{- x^{2} - x + \frac{3}{4}}}$

43.

$\frac{\sqrt{2 x + 1}}{x + 1}$

45.

$\frac{\sqrt{2 x + 1}}{x}$

47.

$t$

49.

dominio $[- 1, 1];$ rango $[0, π]$

51.

aproximadamente $x = 0,00$

53.

0,395 radianes

55.

1,11 radianes

57.

1,25 radianes

59.

0,405 radianes

61.

No. El ángulo que forma la escalera con la horizontal es de 60 grados.

Ejercicios de repaso

1.

amplitud: 3; periodo: $2 π;$ línea media: $y = 3;$ sin asíntotas

3.

amplitud: 3; periodo: $2 π;$ línea media: $y = 0;$ sin asíntotas

5.

amplitud: 3; periodo: $2 π;$ línea media: $y = - 4;$ sin asíntotas

7.

amplitud: 6; periodo: $\frac{2 π}{3};$ línea media: $y = - 1;$ sin asíntotas

9.

factor de estiramiento: ninguno; periodo: $π;$ línea media: $y = - 4;$ asíntotas: $x = \frac{π}{2} + π k,$ donde $k$ es un número entero

11.

factor de estiramiento: 3; periodo: $\frac{π}{4};$ línea media: $y = - 2;$ asíntotas: $x = \frac{π}{8} + \frac{π}{4} k,$ donde $k$ es un número entero

13.

amplitud: ninguna; periodo: $2 π;$ sin desplazamiento de fase; asíntotas: $x = \frac{π}{2} k,$ donde $k$ es un número entero impar

15.

amplitud: ninguna; periodo: $\frac{2 π}{5};$ sin desplazamiento de fase; asíntotas: $x = \frac{π}{5} k,$ donde $k$ es un número entero

17.

amplitud: ninguna; periodo: $4 π;$ sin desplazamiento de fase; asíntotas: $x = 2 π k,$ donde $k$ es un número entero

19.

mayor: 20.000; menor: 4.000

21.

amplitud: 8.000; periodo: 10; deslizamiento de fase: 0

23.

En 2007, la población prevista es de 4.413 habitantes. En 2010, la población será de 11.924 habitantes.

25.

5 pulgadas.

27.

10 segundos

29.

$\frac{π}{6}$

31.

$\frac{π}{4}$

33.

$\frac{π}{3}$

35.

No hay solución

37.

$\frac{12}{5}$

39.

Los gráficos no son simétricos con respecto a la línea $y = x .$ Son simétricos con respecto al eje $y$ .

41.

Los gráficos lucen idénticos.

Examen de práctica

1.

amplitud: 0,5; periodo: $2 π;$ línea media $y = 0$

3.

amplitud: 5; periodo: $2 π;$ línea media: $y = 0$

5.

amplitud: 1; periodo: $2 π;$ línea media: $y = 1$

7.

amplitud: 3; periodo: $6 π;$ línea media: $y = 0$

9.

amplitud: ninguna; periodo: $π;$ línea media: $y = 0,$ asíntotas: $x = \frac{2 π}{3} + π k,$ donde $k$ es un número entero

11.

amplitud: ninguna; periodo: $\frac{2 π}{3};$ línea media: $y = 0,$ asíntotas: $x = \frac{π}{3} k,$ donde $k$ es un número entero

13.

amplitud: ninguna; periodo: $2 π;$ línea media: $y = - 3$

15.

amplitud: 2; periodo: 2; línea media: $y = 0;$ $f (x) = 2 sen (π (x - 1))$

17.

amplitud: 1; periodo: 12; desplazamiento de fase $−6;$ línea media $y = −3$

19.

$D (t) = 68 - 12 sen (\frac{π}{12} x)$

21.

periodo: $\frac{π}{6};$ desplazamiento horizontal: $−7$

23.

$f (x) = \sec (π x);$ periodo: 2; desplazamiento de fase: 0

25.

$4$

27.

Las vistas son diferentes porque el periodo de la onda es $\frac{1}{25} .$ En un dominio más grande, habrá más ciclos del gráfico.

29.

$\frac{3}{5}$

31.

En los intervalos aproximados $(0,5, 1), (1,6, 2,1), (2,6, 3,1), (3,7, 4,2), (4,7, 5,2), (5,6, 6,28)$

33.

$f (x) = 2 \cos (12 (x + \frac{π}{4})) + 3$

35.

Este gráfico es periódico con un periodo de $2 π .$

37.

$\frac{π}{3}$

39.

$\frac{π}{2}$

41.

$\sqrt{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$

43.

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{4}}}$

45.

$\frac{x + 1}{x}$

47.

Falso

49.

aproximadamente 0,07 radianes

Capítulo 6

Inténtelo

6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno

6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas

6.3 Funciones trigonométricas inversas

6.1 Ejercicios de sección

6.2 Ejercicios de sección

6.3 Ejercicios de sección

Ejercicios de repaso

Examen de práctica