Clave de respuestas Capítulo 6 - Precálculo 2ed

Inténtelo

6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno

$6 π$

$\frac{1}{2}$ comprimida

$\frac{π}{2};$ derecha

2 unidades hacia arriba

línea media: $y = 0;$ amplitud: $| A | = \frac{1}{2};$ periodo: $P = \frac{2 π}{| B |} = 6 π;$ desplazamiento de fase: $\frac{C}{B} = π$

$f (x) = sen (x) + 2$

dos posibilidades: $y = 4 sen (\frac{π}{5} x - \frac{π}{5}) + 4$ o $y = - 4 sen (\frac{π}{5} x + \frac{4 π}{5}) + 4$

Gráfico de -0,8cos(2x). El gráfico tiene un rango de [-0.8, 0.8], un periodo de pi, una amplitud de 0,8, y se refleja alrededor del eje x en comparación con el de su función matriz cos(x).

línea media: $y = 0;$ amplitud: $| A | = 0,8;$ periodo: $P = \frac{2 π}{| B |} = π;$ desplazamiento de fase: $\frac{C}{B} = 0$ o ninguna de las anteriores

Gráfico de -2cos((pi/3)x+(pi/6)). El gráfico tiene una amplitud de 2, un periodo de 6 y un desplazamiento de fase de 0,5 hacia la izquierda.

línea media: $y = 0;$ amplitud: $| A | = 2;$ periodo: $P = \frac{2 π}{| B |} = 6;$ desplazamiento de fase: $\frac{C}{B} = - \frac{1}{2}$

10.

Gráfico de 7cos(x). El gráfico tiene una amplitud de 7, un periodo de 2pi y un rango de [-7,7].

11.

$y = 3 \cos (x) - 4$

Gráfico de coseno con rango [-1,-7]. El periodo es de 2 pi. Máximos locales en (0,-1), (2pi,-1) y (4pi, -1). Mínimos locales en (pi,-7) y (3pi, -7).

6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas

Gráfico de dos periodos de una función tangente modificada, con asíntotas en x=-3 y x=3.

Se reflejaría a través de la línea $y = - 1,$ para convertirse en una función creciente.

$g (x) = 4 \tan (2 x)$

Se trata de una reflexión vertical del gráfico anterior porque $A$ es negativo.

Gráfico de un periodo de una función secante modificada, que se parece a una parábola orientada hacia abajo y a una parábola orientada hacia arriba.

Gráfico de un periodo de una función secante modificada. Hay dos asíntotas verticales, una aproximadamente en x=-pi/20 y otra aproximadamente en 3pi/16.

Gráfico de dos periodos de una función secante y coseno. El gráfico muestra que la función coseno tiene máximos locales donde la función secante tiene mínimos locales y viceversa.

6.3 Funciones trigonométricas inversas

$\arccos (0,8776) \approx 0,5$

Ⓐ $- \frac{π}{2};$
Ⓑ $- \frac{π}{4};$
Ⓒ $π;$
Ⓓ $\frac{π}{3}$

1,9823 o 113,578°

${sen}^{−1} (0,6) = 36,87° = 0,6435$ radianes

$\frac{π}{8}; \frac{2 π}{9}$

$\frac{3 π}{4}$

$\frac{12}{13}$

$\frac{4 \sqrt{2}}{9}$

$\frac{4 x}{\sqrt{16 x^{2} + 1}}$

6.1 Ejercicios de sección

Las funciones seno y coseno tienen la propiedad de que $f (x + P) = f (x)$ para un determinado $P .$ Esto significa que los valores de la función se repiten para cada $P$ unidades en el eje x.

El valor absoluto de la constante $A$ (amplitud) aumenta el alcance total y la constante $D$ (desplazamiento vertical) desplaza el gráfico verticalmente.

En el punto en el que el lado terminal de $t$ interseca el círculo unitario, se puede determinar que el $sen t$ es igual a la coordenada de la y del punto.

Gráfico de (2/3)cos(x). El gráfico tiene una amplitud de 2/3, un periodo de 2pi y un rango de [-2/3, 2/3].

amplitud: $\frac{2}{3};$ periodo: $2 π;$ línea media: $y = 0;$ máximo: $y = \frac{2}{3}$ se produce en $x = 0;$ mínimo: $y = - \frac{2}{3}$ se produce en $x = π;$ para un periodo, el gráfico comienza en 0 y termina en $2 π$

Gráfico de 4sen(x). El gráfico tiene una amplitud de 4, un periodo de 2pi y un rango de [-4, 4].

amplitud: 4; periodo: $2 π;$ línea media: $y = 0;$ máximo $y = 4$ se produce en $x = \frac{π}{2};$ mínimo: $y = - 4$ se produce en $x = \frac{3 π}{2};$ un periodo completo ocurre desde $x = 0$ hasta $x = 2 π$

11.

Gráfico de cos(2x). El gráfico tiene una amplitud de 1, un periodo de pi y un rango de [-1,1].

amplitud: 1; periodo: $π;$ línea media: $y = 0;$ máximo: $y = 1$ se produce en $x = π;$ mínimo: $y = - 1$ se produce en $x = \frac{π}{2};$ un periodo completo se grafica desde $x = 0$ hasta $x = π$

13.

Gráfico de 4cos(pi*x). El gráfico tiene una amplitud de 4, un periodo de 2 y un rango de [-4, 4].

amplitud: 4; periodo: 2; línea media: $y = 0;$ máximo: $y = 4$ se produce en $x = 0;$ mínimo: $y = - 4$ se produce en $x = 1$

15.

Gráfico de 3sen(8(x+4))+5. El gráfico tiene una amplitud de 3, un rango de [2, 8] y un periodo de pi/4.

amplitud: 3; periodo: $\frac{π}{4};$ línea media: $y = 5;$ máximo: $y = 8$ se produce en $x = 0,12;$ mínimo: $y = 2$ se produce en $x = 0,516;$ desplazamiento horizontal: $- 4;$ traslación vertical 5; se produce un periodo de $x = 0$ hasta $x = \frac{π}{4}$

17.

Gráfico de 5sen(5x+20)-2. El gráfico tiene una amplitud de 5, un periodo de 2pi/5 y un rango de [-7,3].

amplitud: 5; periodo: $\frac{2 π}{5};$ línea media: $y = −2;$ máximo: $y = 3$ se produce en $x = 0,08;$ mínimo: $y = −7$ se produce en $x = 0,71;$ desplazamiento de fase: $-4;$ traslación vertical: $−2;$ un periodo completo puede graficarse en $x = 0$ hasta $x = \frac{2 π}{5}$

19.

Gráfico de -cos(t+pi/3)+1. El gráfico tiene una amplitud de 1, un periodo de 2pi y un rango de [0,2]. Desplazamiento de fase pi/3 hacia la izquierda.

amplitud: 1; periodo: $2 π;$ línea media: $y = 1;$ máximo: $y = 2$ se produce en $x = 2,09;$ máximo: $y = 2$ se produce en $t = 2,09;$ mínimo: $y = 0$ se produce en $t = 5,24;$ desplazamiento de fase: $- \frac{π}{3};$ traslación vertical: 1; un periodo completo es de $t = 0$ a $t = 2 π$

21.

Gráfico de -sen((1/2)*t + 5pi/3). El gráfico tiene una amplitud de 1, un rango de [-1,1], un periodo de 4pi y un desplazamiento de fase de -10pi/3.

amplitud: 1; periodo: $4 π;$ línea media: $y = 0;$ máximo: $y = 1$ se produce en $t = 11,52;$ mínimo: $y = - 1$ se produce en $t = 5,24;$ desplazamiento de fase: $- \frac{10 π}{3};$ desplazamiento vertical: 0

23.

amplitud: 2; línea media: $y = - 3;$ periodo: 4; ecuación: $f (x) = 2 sen (\frac{π}{2} x) - 3$

25.

amplitud: 2; periodo: 5; línea media: $y = 3;$ ecuación: $f (x) = - 2 \cos (\frac{2 π}{5} x) + 3$

27.

amplitud: 4; periodo: 2; línea media: $y = 0;$ ecuación: $f (x) = - 4 \cos (π (x - \frac{π}{2}))$

29.

amplitud: 2; periodo: 2; línea media: $y = 1;$ ecuación: $f (x) = 2 \cos (π x) + 1$

31.

$0, π$

33.

$sen (\frac{π}{2}) = 1$

35.

$\frac{π}{2}$

37.

$f (x) = sen x$ es simétrico.

39.

$\frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

41.

Máximo: $1$ en $x = 0$ ; mínimo: $-1$ a las $x = π$

43.

Se añade una función lineal a una función seno periódica. El gráfico no tiene amplitud porque, al aumentar la función lineal sin límite, la función combinada $h (x) = x + sen x$ también aumentará sin límites. El gráfico está acotado entre los gráficos de $y = x + 1$ y $y = x 1$ porque el seno oscila entre -1 y 1.

45.

No hay amplitud porque la función no está acotada.

47.

El gráfico es simétrico con respecto al eje y; además, no hay amplitud porque los límites de la función disminuyen a medida que $| x |$ aumenta. Parece que hay una asíntota horizontal en $y = 0$ .

6.2 Ejercicios de sección

Dado que $y = \csc x$ es la función recíproca de $y = sen x,$ se puede trazar el recíproco de las coordenadas en el gráfico de $y = sen x$ para obtener las coordenadas de la y de $y = \csc x .$ Las intersecciones en x del gráfico $y = sen x$ son las asíntotas verticales del gráfico de $y = \csc x .$

Las respuestas variarán. Utilizando el círculo unitario, se puede demostrar que $\tan (x + π) = \tan x .$

El periodo es el mismo: $2 π .$

III

11.

periodo: 8; desplazamiento horizontal: 1 unidad a la izquierda

13.

1,5

15.

17.

$- \cot x \cos x - sen x$

19.

Gráfico de dos periodos de una función tangente modificada. Hay dos asíntotas verticales.

factor de estiramiento: 2; periodo: $\frac{π}{4};$ asíntotas: $x = \frac{1}{4} (\frac{π}{2} + π k) + 8, donde k es un número entero$

21.

Gráfico de dos periodos de una función cosecante modificada. Asíntotas verticales en x= -6, -3, 0, 3 y 6.

factor de estiramiento: 6; periodo: 6; asíntotas $x = 3 k, donde k es un número entero$

23.

Gráfico de dos periodos de una función tangente modificada. Asíntotas verticales en múltiplos de pi.

factor de estiramiento: 1; periodo: $π;$ asíntotas: $x = π k, donde k es un número entero$

25.

Gráfico de dos periodos de una función tangente modificada. Se muestran tres asíntotas verticales.

Factor de estiramiento: 1; periodo: $π;$ asíntotas: $x = \frac{π}{4} + π k, donde k es un número entero$

27.

Gráfico de dos periodos de una función cosecante modificada. Asíntotas verticales en múltiplos de pi.

factor de estiramiento: 2; periodo: $2 π;$ asíntotas: $x = π k, donde k es un número entero$

29.

Gráfico de dos periodos de una función secante modificada. Asíntotas verticales en x=-pi/2, -pi/6, pi/6 y pi/2.

factor de estiramiento: 4; periodo: $\frac{2 π}{3};$ asíntotas: $x = \frac{π}{6} k, donde k es un número entero impar$

31.

Gráfico de dos periodos de una función secante modificada. Hay cuatro asíntotas verticales separadas por pi/5.

factor de estiramiento: 7; punto $\frac{2 π}{5};$ asíntotas: $x = \frac{π}{10} k, donde k es un número entero impar$

33.

Gráfico de dos periodos de una función cosecante modificada. Tres asíntotas verticales, cada una separada por un pi.

factor de estiramiento: 2; periodo: $2 π;$ asíntotas: $x = - \frac{π}{4} + π k, donde k es un número entero$

35.

Gráfico de una función cosecante modificada. Cuatro asíntotas verticales.

factor de estiramiento: $\frac{7}{5};$ periodo: $2 π;$ asíntotas: $x = \frac{π}{4} + π k, donde k es un número entero$

37.

$y = \tan (3 (x - \frac{π}{4})) + 2$

Gráfico de dos periodos de una función tangente modificada. Asíntotas verticales en x=-pi/4 y pi/12.

39.

$f (x) = \csc (2 x)$

41.

$f (x) = \csc (4 x)$

43.

$f (x) = 2 \csc x$

45.

$f (x) = \frac{1}{2} \tan (100 π x)$

47.

Gráfico del valor absoluto de la función cotangente. El rango es de 0 al infinito.

49.

51.

Gráfico de dos periodos de una función secante modificada. Asíntotas verticales en múltiplos de 500pi.

53.

55.

Ⓐ $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2});$
Ⓑ
Ⓒ $x = - \frac{π}{2}$ y $x = \frac{π}{2};$ la distancia crece sin límites a medida que $| x |$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ , es decir, en ángulo recto con la línea que representa el norte, el barco estaría tan lejos que el pescador no podría verlo;
Ⓓ 3; cuando $x = - \frac{π}{3},$ el barco está a 3 km;
Ⓔ 1,73; cuando $x = \frac{π}{6},$ el barco está a unos 1,73 km;
Ⓕ 1,5 km; cuando $x = 0$

57.

Ⓐ $h (x) = 2 \tan (\frac{π}{120} x);$
Ⓑ
Ⓒ $h (0) = 0 :$ después de 0 segundos, el cohete está a 0 millas sobre el suelo $h (30) = 2 :$ después de 30 segundos, los cohetes están a 2 millas de altura;
Ⓓ A medida que $x$ se acerca a los 60 segundos, los valores de $h (x)$ aumentan cada vez más. La distancia al cohete aumenta tanto que la cámara ya no puede seguirlo.

6.3 Ejercicios de sección

La función $y = sen x$ es biunívoca en $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}];$ así, este intervalo es el rango de la función inversa de $y = sen x,$ $f (x) = {sen}^{- 1} x .$ La función $y = \cos x$ es biunívoca en $[0, π];$ así, este intervalo es el rango de la función inversa de $y = \cos x, f (x) = \cos^{- 1} x .$

$\frac{π}{6}$ es la medida del radián de un ángulo entre $- \frac{π}{2}$ y $\frac{π}{2}$ cuyo seno es 0,5.

Para que cualquier función tenga una inversa, deberá ser biunívoca y pasar la prueba de la línea horizontal. La función seno regular no es biunívoca, a menos que su dominio esté restringido de alguna manera. Los matemáticos han acordado restringir la función seno al intervalo $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ para que sea biunívoca y posea una inversa.

Verdadero. El ángulo, $θ_{1}$ que es igual a $\arccos (- x)$ , $x > 0$ , será un ángulo de segundo cuadrante con ángulo de referencia, $θ_{2}$ , donde $θ_{2}$ es igual a $\arccos x$ , $x > 0$ . Dado que $θ_{2}$ es el ángulo de referencia para $θ_{1}$ , $θ_{2} = π - θ_{1}$ y $\arccos (- x)$ = $π - \arccos x$ -

$- \frac{π}{6}$

11.

$\frac{3 π}{4}$

13.

$- \frac{π}{3}$

15.

$\frac{π}{3}$

17.

1,98

19.

0,93

21.

1,41

23.

0,56 radianes

25.

27.

0,71

29.

-0,71

31.

$- \frac{π}{4}$

33.

0,8

35.

$\frac{5}{13}$

37.

$\frac{x - 1}{\sqrt{- x^{2} + 2 x}}$

39.

$\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$

41.

$\frac{x + 0,5}{\sqrt{- x^{2} - x + \frac{3}{4}}}$

43.

$\frac{\sqrt{2 x + 1}}{x + 1}$

45.

$\frac{\sqrt{2 x + 1}}{x}$

47.

$t$

49.

Gráfico de la función arcocoseno de x, de -1 a 1. El rango de la función es de 0 a pi.

dominio $[- 1, 1];$ rango $[0, π]$

51.

aproximadamente $x = 0,00$

53.

0,395 radianes

55.

1,11 radianes

57.

1,25 radianes

59.

0,405 radianes

61.

No. El ángulo que forma la escalera con la horizontal es de 60 grados.

Ejercicios de repaso

amplitud: 3; periodo: $2 π;$ línea media: $y = 3;$ sin asíntotas

Gráfico de dos períodos con una función coseno matriz. El gráfico tiene un rango de [0,6] graficado sobre -2pi a 2pi. Máximos como -pi y pi.

amplitud: 3; periodo: $2 π;$ línea media: $y = 0;$ sin asíntotas

Gráfico de cuatro periodos con una función coseno matriz. Graficado de -4pi a 4pi. El rango es [-3,3].

amplitud: 3; periodo: $2 π;$ línea media: $y = - 4;$ sin asíntotas

Gráfico de dos periodos de una función sinusoidal. El rango es [-7,-1]. Máximos en -5pi/4 y 3pi/4.

amplitud: 6; periodo: $\frac{2 π}{3};$ línea media: $y = - 1;$ sin asíntotas

Gráfico sinusoidal en dos periodos. El rango es [-7,5], la amplitud es 6 y el periodo es 2pi/3.

factor de estiramiento: ninguno; periodo: $π;$ línea media: $y = - 4;$ asíntotas: $x = \frac{π}{2} + π k,$ donde $k$ es un número entero

Gráfico de una función tangente en dos periodos. Graficado de -pi a pi, con asíntotas en -pi/2 y pi/2.

11.

factor de estiramiento: 3; periodo: $\frac{π}{4};$ línea media: $y = - 2;$ asíntotas: $x = \frac{π}{8} + \frac{π}{4} k,$ donde $k$ es un número entero

Gráfico de una función tangente en dos periodos. Asíntotas en -pi/8 y pi/8. Periodo de pi/4. Línea media en y=-2.

13.

amplitud: ninguna; periodo: $2 π;$ sin desplazamiento de fase; asíntotas: $x = \frac{π}{2} k,$ donde $k$ es un número entero impar

Gráfico de dos periodos de una función secante. Periodo de 2 pi, graficado de -2pi a 2pi. Asíntotas en -3pi/2, -pi/2, pi/2 y 3pi/2.

15.

amplitud: ninguna; periodo: $\frac{2 π}{5};$ sin desplazamiento de fase; asíntotas: $x = \frac{π}{5} k,$ donde $k$ es un número entero

Gráfico de una función cosecante sobre dos periodos y medio. Graficado de -pi a pi, periodo de 2pi/5.

17.

amplitud: ninguna; periodo: $4 π;$ sin desplazamiento de fase; asíntotas: $x = 2 π k,$ donde $k$ es un número entero

Gráfico de dos periodos de una función cosecante. Graficado de -4pi a 4pi. Asíntotas en múltiplos de 2pi. Periodo de 4pi.

19.

mayor: 20.000; menor: 4.000

21.

amplitud: 8.000; periodo: 10; deslizamiento de fase: 0

23.

En 2007, la población prevista es de 4.413 habitantes. En 2010, la población será de 11.924 habitantes.

25.

5 pulgadas.

27.

10 segundos

29.

$\frac{π}{6}$

31.

$\frac{π}{4}$

33.

$\frac{π}{3}$

35.

No hay solución

37.

$\frac{12}{5}$

39.

Los gráficos no son simétricos con respecto a la línea $y = x .$ Son simétricos con respecto al eje $y$ .

Un gráfico de coseno de x y secante de x. El coseno de x tiene máximos donde la secante tiene mínimos y viceversa. Asíntotas en x=-3pi/2, -pi/2, pi/2 y 3pi/2.

41.

Los gráficos lucen idénticos.

Dos gráficos de dos funciones idénticas en el intervalo [-1 a 1]. Ambos gráficos parecen sinusoidales.

Examen de práctica

amplitud: 0,5; periodo: $2 π;$ línea media $y = 0$

Gráfico de dos periodos de una función sinusoidal, graficada de -2pi a 2pi. El rango es [-0,5,0,5]. Intersecciones en x en múltiplos de pi.

amplitud: 5; periodo: $2 π;$ línea media: $y = 0$

Dos periodos de una función seno, graficada de -2pi a 2pi. El rango es [-5,5], la amplitud es 5 y el periodo es 2pi.

amplitud: 1; periodo: $2 π;$ línea media: $y = 1$

Gráfico de dos periodos de una función coseno, graficada de -7pi/3 a 5pi/3. El rango es [0,2], el periodo es 2pi y la amplitud es 1.

amplitud: 3; periodo: $6 π;$ línea media: $y = 0$

Gráfico de dos periodos de una función coseno, sobre -7pi/2 a 17pi/2. El rango es [-3,3], el periodo es 6pi y la amplitud es 3.

amplitud: ninguna; periodo: $π;$ línea media: $y = 0,$ asíntotas: $x = \frac{2 π}{3} + π k,$ donde $k$ es un número entero

Gráfico de dos periodos de una función tangente de -5pi/6 a 7pi/6. El periodo es pi, la línea media en y=0.

11.

amplitud: ninguna; periodo: $\frac{2 π}{3};$ línea media: $y = 0,$ asíntotas: $x = \frac{π}{3} k,$ donde $k$ es un número entero

Gráfico de dos periodos de una función cosecante, de -2pi/3 a 2pi/3. Asíntotas verticales en múltiplos de pi/3. Periodo de 2pi/3.

13.

amplitud: ninguna; periodo: $2 π;$ línea media: $y = - 3$

Gráfico de dos periodos de una función cosecante, graficada de -9pi/4 a 7pi/4. El periodo es 2pi, la línea media en y=-3.

15.

amplitud: 2; periodo: 2; línea media: $y = 0;$ $f (x) = 2 sen (π (x - 1))$

17.

amplitud: 1; periodo: 12; desplazamiento de fase $−6;$ línea media $y = −3$

19.

$D (t) = 68 - 12 sen (\frac{π}{12} x)$

21.

periodo: $\frac{π}{6};$ desplazamiento horizontal: $−7$

23.

$f (x) = \sec (π x);$ periodo: 2; desplazamiento de fase: 0

25.

$4$

27.

Las vistas son diferentes porque el periodo de la onda es $\frac{1}{25} .$ En un dominio más grande, habrá más ciclos del gráfico.

Dos gráficos paralelos de una función sinusoidal. El primer gráfico se grafica de 0 a 1, el segundo de 0 a 3. Hay muchos periodos para cada uno.

29.

$\frac{3}{5}$

31.

En los intervalos aproximados $(0,5, 1), (1,6, 2,1), (2,6, 3,1), (3,7, 4,2), (4,7, 5,2), (5,6, 6,28)$

33.

$f (x) = 2 \cos (12 (x + \frac{π}{4})) + 3$

Gráfico de un periodo de una función coseno, graficada de -pi/4 a 0. El rango es [1,5], el periodo es pi/6.

35.

Este gráfico es periódico con un periodo de $2 π .$

Gráfico de dos periodos de una función sinusoidal. El gráfico tiene un periodo de 2pi.

37.

$\frac{π}{3}$

39.

$\frac{π}{2}$

41.

$\sqrt{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$

43.

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{4}}}$

45.

$\frac{x + 1}{x}$

47.

Falso

49.

aproximadamente 0,07 radianes