6.3 Funciones trigonométricas inversas

Comprender y utilizar las funciones inversas del seno, el coseno y la tangente

Para utilizar las funciones trigonométricas inversas, debemos entender que estas "deshacen" lo que la función trigonométrica original "hace", como ocurre con cualquier otra función y su inversa. En otras palabras, el dominio de la función inversa es el rango de la función original, y viceversa, como se resume en la Figura 1.

Figura 1

Por ejemplo, si $f(x)=\mathrm{sen}x,$ entonces escribiríamos $f^{-1}(x)={\mathrm{sen}}^{-1}x.$ Tenga en cuenta que ${\mathrm{sen}}^{-1}x$ no significa $\frac{1}{\mathrm{sen}x}.$ Los siguientes ejemplos ilustran las funciones trigonométricas inversas:

• Dado que $\text{sen}\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2},$ entonces $\frac{\pi }{6}={\text{sen}}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right).$
• Dado que $\cos \left(\pi \right)=-1,$ entonces $\pi ={\cos }^{-1}\left(-1\right).$
• Dado que $\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)=1,$ entonces $\frac{\pi }{4}={\tan }^{-1}\left(1\right).$

En las secciones anteriores, evaluamos las funciones trigonométricas en diversos ángulos, pero a veces necesitamos saber qué ángulo daría un valor específico de seno, coseno o tangente. Para ello, necesitamos funciones inversas. Recordemos que, para una función biunívoca, si $f(a)=b,$ entonces una función inversa satisfaría $f^{-1}(b)=a.$

Tenga en cuenta que las funciones seno, coseno y tangente no son biunívocas. El gráfico de cada función no pasaría la prueba de la línea horizontal. De hecho, ninguna función periódica puede ser biunívoca porque cada salida en su rango corresponde al menos a una entrada en cada periodo, y hay un número infinito de periodos. Al igual que con otras funciones que no son biunívocas, tendremos que restringir el dominio de cada función para obtener una nueva función que sea biunívoca. Elegimos un dominio para cada función que incluya el número 0. La Figura 2 muestra el gráfico de la función seno limitada a $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ y el gráfico de la función coseno limitada a $\left[0,\pi \right].$

Figura 2 (a) Función seno en un dominio restringido de $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right];$ (b) Función coseno en un dominio restringido de $\left[0,\pi \right]$

La Figura 3 muestra el gráfico de la función tangente limitada a $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right).$

Figura 3 Función tangente en un dominio restringido de $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$

Estas opciones convencionales para el dominio restringido son algo arbitrarias, pero tienen características importantes y útiles. Cada dominio incluye el origen y algunos valores positivos y, lo que es más importante, cada uno da lugar a una función biunívoca que puede invertirse. La elección convencional para el dominio restringido de la función tangente también tiene la útil propiedad de que se extiende de una asíntota vertical a la siguiente en lugar de estar dividida en dos partes por una asíntota.

En estos dominios restringidos, podemos definir las funciones trigonométricas inversas.

• La función seno inversa $y={\mathrm{sen}}^{-1}x$ significa $x=\mathrm{sen}y.$ La función seno inversa se denomina a veces función arcoseno, y se anota $\mathrm{arcsen}x.$
  $$y={\mathrm{sen}}^{-1}x\text{tiene dominio}[\mathrm{-1},1]\text{y rango}\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$$
• La función coseno inversa $y={\cos }^{-1}x$ significa $x=\cos y.$ La función coseno inversa se denomina a veces función arcocoseno, y se anota $\arccos x.$
  $$y={\cos }^{-1}x\text{tiene dominio}[\mathrm{-1},1]\text{y rango}[0,\pi ]$$
• La función tangente inversa $y={\tan }^{-1}x$ significa $x=\tan y.$ La función tangente inversa se denomina a veces función arcotangente, y se anota $\arctan x.$
  $$y={\tan }^{-1}x\text{tiene dominio}(\mathrm{-\infty },\infty )\text{y rango}\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$$

Los gráficos de las funciones inversas se muestran en la Figura 4, la Figura 5 y la Figura 6. Observe que la salida de cada una de estas funciones inversas es un número, un ángulo en medida de radianes. Vemos que ${\mathrm{sen}}^{-1}x$ tiene dominio $\left[\mathrm{-1},1\right]$ y rango $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right],$ ${\cos }^{-1}x$ tiene dominio $\left[\mathrm{-1}\mathrm{,1}\right]$ y rango $[0,\pi ],$ y ${\tan }^{-1}x$ tiene el dominio de todos los números reales y el rango $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right).$ Para hallar el dominio y el rango de las funciones trigonométricas inversas, cambie el dominio y el rango de las funciones originales. Cada gráfico de la función trigonométrica inversa es una reflexión del gráfico de la función original con respecto a la recta $y=x.$

Figura 4 La función seno y la función seno inversa (o arcoseno).

Figura 5 La función coseno y la función coseno inversa (o arcocoseno)

Figura 6 La función tangente y la función tangente inversa (o arcotangente)

Hallar el valor exacto de las expresiones que implican las funciones inversas de seno, coseno y tangente

Ahora que podemos identificar las funciones inversas, aprenderemos a evaluarlas. Para la mayoría de los valores en sus dominios, debemos evaluar las funciones trigonométricas inversas utilizando una calculadora, interpolando a partir de una tabla o utilizando alguna otra técnica numérica. Al igual que hicimos con las funciones trigonométricas originales, podemos dar valores exactos de las funciones inversas cuando utilizamos los ángulos especiales, concretamente $\frac{\pi }{6}$ (30°), $\frac{\pi }{4}$ (45°) y $\frac{\pi }{3}$ (60°), y sus reflexiones en otros cuadrantes.

Usar la calculadora para evaluar funciones trigonométricas inversas

Para evaluar las funciones trigonométricas inversas que no involucran los ángulos especiales antes mencionados, necesitaremos una calculadora u otro tipo de tecnología. La mayoría de las calculadoras científicas y las aplicaciones que las emulan tienen teclas o botones específicos para las funciones inversas de seno, coseno y tangente. Estos pueden marcarse, por ejemplo, SIN ${}^{\mathrm{-1}}$, ARCSIN o ASIN.

En el capítulo anterior, trabajamos con la trigonometría en un triángulo rectángulo para resolver los lados de un triángulo dados un lado y un ángulo adicional. Al utilizar las funciones trigonométricas inversas, podemos resolver los ángulos de un triángulo rectángulo dados dos lados, y podemos utilizar una calculadora para hallar los valores con varios decimales.

En estos ejemplos y ejercicios, las respuestas se interpretarán como ángulos y utilizaremos $\theta$ como la variable independiente. El valor que se muestra en la calculadora puede estar en grados o en radianes, por lo que hay que asegurarse de establecer el modo apropiado para la aplicación.

Cómo

Dados dos lados de un triángulo rectángulo como el que se muestra en la Figura 7, hallar un ángulo

Figura 7

1. Si un lado dado es la hipotenusa de longitud $h$ y el lado de la longitud $a$ adyacente al ángulo deseado, utilice la ecuación $\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{a}{h}\right).$
2. Si un lado dado es la hipotenusa de longitud $h$ y el lado de la longitud $p$ opuesto al ángulo deseado, utilice la ecuación $\theta ={\mathrm{sen}}^{-1}\left(\frac{p}{h}\right).$
3. Si se dan los dos catetos (los lados adyacentes al ángulo recto), se utiliza la ecuación $\theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{p}{a}\right).$

Ejemplo 4

Aplicar el coseno inverso a un triángulo rectángulo

Resuelva el triángulo en la Figura 8 para el ángulo $\theta .$

Figura 8

Solución

Ya que conocemos la hipotenusa y el lado adyacente al ángulo, tiene sentido que utilicemos la función coseno.

$$\begin{array}{ll}\cos \theta =\frac{9}{12}\hfill & \begin{array}{ccc}& & \end{array}\hfill \\ \theta ={\cos }^{-1}(\frac{9}{12})\hfill & \begin{array}{ccc}& & \end{array}\text{Aplique la definición de la inversa}.\hfill \\ \theta \approx \mathrm{0,7227}\text{ o alrededor de }\mathrm{41,4096°}\hfill & \begin{array}{ccc}& & \end{array}\text{Evalúe}.\hfill \end{array}$$

Inténtelo #4

Resuelva el triángulo en la Figura 9 para el ángulo $\theta .$

Figura 9

Hallar los valores exactos de las funciones compuestas con funciones trigonométricas inversas

A veces necesitamos componer una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa. En estos casos, normalmente podemos hallar valores exactos para las expresiones resultantes sin recurrir a la calculadora. Incluso cuando la entrada de la función compuesta es una variable o una expresión, a menudo podemos hallar una expresión para la salida. Para clasificar los diferentes casos, supongamos que $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones trigonométricas diferentes pertenecientes al conjunto $\left\{\mathrm{sen}(x),\cos (x),\tan (x)\right\}$ y supongamos que $f^{-1}(y)$ y $g^{-1}(y)$ son sus inversos.

Evaluar composiciones de la forma f⁻¹(g(x))

Ahora que podemos componer una función trigonométrica con su inversa, podemos explorar cómo evaluar la composición de una función trigonométrica y la inversa de otra función trigonométrica. Comenzaremos con composiciones de la forma $f^{-1}\left(g\left(x\right)\right).$ Para valores especiales de $x,$ podemos evaluar exactamente la función interior y luego la exterior, la función inversa. Sin embargo, podemos encontrar un enfoque más general al considerar la relación entre los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo, donde uno es $\theta ,$ lo que hace que el otro sea $\frac{\pi }{2}-\theta .$ Considere el seno y el coseno de cada ángulo del triángulo rectángulo en la Figura 10.

Figura 10 Triángulo rectángulo que ilustra las relaciones de cofunción

Dado que $\cos \theta =\frac{b}{c}=\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{2}-\theta \right),$ tenemos ${\mathrm{sen}}^{-1}\left(\cos \theta \right)=\frac{\pi }{2}-\theta$ si $0\le \theta \le \pi .$ Si $\theta$ no está en este dominio, entonces tenemos que encontrar otro ángulo que tenga el mismo coseno que $\theta$ y sí pertenece al dominio restringido; entonces restamos este ángulo de $\frac{\pi }{2}.$ De la misma manera, $\mathrm{sen}\theta =\frac{a}{c}=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right),$ por lo que ${\cos }^{-1}\left(\mathrm{sen}\theta \right)=\frac{\pi }{2}-\theta$ si $-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}.$ Estas son apenas las relaciones función-cofunción presentadas de otra manera.

Cómo

Dadas las funciones de la forma ${\mathrm{sen}}^{-1}\left(\cos x\right)$ y ${\cos }^{-1}\left(\mathrm{sen}x\right),$ evaluarlas.

1. Si los valores de $x\text{ está en }\left[0,\pi \right],$ entonces ${\mathrm{sen}}^{-1}\left(\cos x\right)=\frac{\pi }{2}-x.$
2. Si los valores de $x\text{ no está en }\left[0,\pi \right],$ entonces halle otro ángulo $y\text{ in }\left[0,\pi \right]$ de manera que $\cos y=\cos x.$
   $${\mathrm{sen}}^{-1}\left(\cos x\right)=\frac{\pi }{2}-y$$
3. Si los valores de $x\text{ está en }\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right],$ entonces ${\cos }^{-1}\left(\mathrm{sen}x\right)=\frac{\pi }{2}-x.$
4. Si los valores de $x\text{ no está en}\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right],$ entonces halle otro ángulo $y\text{ in }\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ de manera que $\mathrm{sen}y=\mathrm{sen}x.$
   $${\cos }^{-1}\left(\mathrm{sen}x\right)=\frac{\pi }{2}-y$$

Ejemplo 6

Evaluar la composición de un seno inverso con un coseno

Evalúe ${\mathrm{sen}}^{-1}\left(\cos \left(\frac{13\pi }{6}\right)\right)$

1. Ⓐ por evaluación directa.
2. Ⓑ por el método descrito anteriormente.

Solución

1. Ⓐ Aquí podemos evaluar directamente el interior de la composición.
   $$\begin{array}{l}\hfill \\ \begin{array}{l}\cos (\frac{13\pi }{6})=\cos (\frac{\pi }{6}+2\pi )\hfill \\ =\cos (\frac{\pi }{6})\hfill \\ =\frac{\sqrt{3}}{2}\hfill \end{array}\hfill \end{array}$$

   Ahora, podemos evaluar la función inversa como hicimos anteriormente.

   $${\mathrm{sen}}^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi }{3}$$
2. Ⓑ Tenemos $x=\frac{13\pi }{6}\text{,}y=\frac{\pi }{6},$ y
   $$\begin{array}{r}\hfill {\mathrm{sen}}^{-1}\left(\cos \left(\frac{13\pi }{6}\right)\right)=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}\\ \hfill =\frac{\pi }{3}\end{array}$$

Inténtelo #6

Evalúe ${\cos }^{-1}\left(\mathrm{sen}\left(-\frac{11\pi }{4}\right)\right).$

Evaluar composiciones de la forma f(g⁻¹(x))

Para evaluar composiciones de la forma $f\left(g^{-1}\left(x\right)\right),$ donde $f$ y $g$ son dos funciones cualesquiera de seno, coseno o tangente y $x$ es cualquier entrada en el dominio de $g^{-1},$ tenemos fórmulas exactas, como $\mathrm{sen}\left({\cos }^{-1}x\right)=\sqrt{1-x^2}.$ Cuando necesitemos utilizarlas, podemos derivar estas fórmulas mediante el empleo de las relaciones trigonométricas entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo, junto con el uso de la relación de Pitágoras entre las longitudes de los lados. Podemos utilizar la identidad pitagórica, ${\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x=1,$ para resolver una cuando se le da la otra. También podemos utilizar las funciones trigonométricas inversas para hallar composiciones que impliquen expresiones algebraicas.

Ejemplo 7

Evaluar la composición de un seno con un coseno inverso

Halle un valor exacto para $\mathrm{sen}\left({\cos }^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\right).$

Solución

Empezando por el interior, podemos afirmar que hay algún ángulo tal que $\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{4}{5}\right),$ lo que significa $\cos \theta =\frac{4}{5},$ y buscamos $\mathrm{sen}\theta .$ Para ello podemos utilizar la identidad pitagórica.

$$\begin{array}{llll}{\mathrm{sen}}^2\theta +{\cos }^2\theta =1\hfill & \hfill & \hfill & \text{Use nuestro valor conocido para el coseno}.\hfill \\ {\mathrm{sen}}^2\theta +{(\frac{4}{5})}^2=1\hfill & \hfill & \hfill & \text{Resuelva para el seno}.\hfill \\ {\mathrm{sen}}^2\theta =1-\frac{16}{25}\hfill & \hfill & \hfill & \hfill \\ \mathrm{sen}\theta =\pm \sqrt{\frac{9}{25}}=\pm \frac{3}{5}\hfill & \hfill & \hfill & \hfill \end{array}$$

Dado que $\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ está en el cuadrante I, $\mathrm{sen}\theta$ deberá ser positivo, por lo que la solución es $\frac{3}{5}.$ Vea la Figura 11.

Figura 11 Triángulo rectángulo que ilustra que si $\cos \theta =\frac{4}{5},$ entonces $\mathrm{sen}\theta =\frac{3}{5}$

Sabemos que el coseno inverso siempre da un ángulo en el intervalo $\left[0,\pi \right],$ por lo que sabemos que el seno de ese ángulo debe ser positivo; por lo tanto $\mathrm{sen}\left({\cos }^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\right)=\mathrm{sen}\theta =\frac{3}{5}.$

Inténtelo #7

Evalúe $\cos \left({\tan }^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)\right).$

Ejemplo 8

Evaluar la composición de un seno con una tangente inversa

Halle un valor exacto para $\mathrm{sen}\left({\tan }^{-1}\left(\frac{7}{4}\right)\right).$

Solución

Aunque podríamos utilizar una técnica semejante a la del Ejemplo 6, aquí demostraremos una técnica diferente. Desde el interior, sabemos que hay un ángulo tal que $\tan \theta =\frac{7}{4}.$ Podemos imaginarlo como los lados opuestos y adyacentes de un triángulo rectángulo, como se muestra en la Figura 12.

Figura 12 Triángulo rectángulo con dos lados conocidos

Con el teorema de Pitágoras podemos hallar la hipotenusa de este triángulo.

$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\hfill \\ 4^2+7^2={\text{hipotenusa}}^2\hfill \end{array}\hfill \\ \text{hipotenusa}=\sqrt{65}\hfill \end{array}$$

Ahora, podemos evaluar el seno del ángulo como el lado opuesto dividido entre la hipotenusa.

$$\mathrm{sen}\theta =\frac{7}{\sqrt{65}}$$

Esto nos da la composición deseada.

$$\begin{array}{l}\mathrm{sen}\left({\tan }^{-1}\left(\frac{7}{4}\right)\right)=\mathrm{sen}\theta \hfill \\ =\frac{7}{\sqrt{65}}\hfill \\ =\frac{7\sqrt{65}}{65}\hfill \end{array}$$

Inténtelo #8

Evalúe $\cos \left({\mathrm{sen}}^{-1}\left(\frac{7}{9}\right)\right).$

Ejemplo 9

Hallar el coseno del seno inverso en una expresión algebraica

Halle una expresión simplificada para $\cos \left({\mathrm{sen}}^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)\right)$ por $-3\le x\le 3.$

Solución

Sabemos que hay un ángulo $\theta$ de manera que $\mathrm{sen}\theta =\frac{x}{3}.$

$$\begin{array}{ll}{\mathrm{sen}}^2\theta +{\cos }^2\theta =1\hfill & \text{Utilice el teorema de Pitágoras}.\hfill \\ {\left(\frac{x}{3}\right)}^2+{\cos }^2\theta =1\hfill & \text{Resuelva para el coseno}.\hfill \\ {\cos }^2\theta =1-\frac{x^2}{9}\hfill & \hfill \\ \cos \theta =\pm \sqrt{\frac{9-x^2}{9}}=\pm \frac{\sqrt{9-x^2}}{3}\hfill & \hfill \end{array}$$

Ya que sabemos que el seno inverso debe dar un ángulo en el intervalo $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right],$ podemos deducir que el coseno de ese ángulo deberá ser positivo.

$$\cos \left({\mathrm{sen}}^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)\right)=\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}$$

Inténtelo #9

Halle una expresión simplificada para $\mathrm{sen}\left({\tan }^{-1}\left(4x\right)\right)$ por $-\frac{1}{4}\le x\le \frac{1}{4}.$

Media

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• Evaluar expresiones que implican funciones trigonométricas inversas