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Precálculo 2ed

6.3 Funciones trigonométricas inversas

Precálculo 2ed6.3 Funciones trigonométricas inversas

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Comprender y utilizar las funciones inversas del seno, el coseno y la tangente.
  • Hallar el valor exacto de las expresiones que implican las funciones inversas del seno, el coseno y la tangente.
  • Utilizar una calculadora para evaluar funciones trigonométricas inversas.
  • Hallar los valores exactos de las funciones compuestas con funciones trigonométricas inversas.

Para cualquier triángulo rectángulo, dados otro ángulo y la longitud de un lado, podemos averiguar cuáles son los otros ángulos y lados. Sin embargo, ¿qué pasa si nos dan solo dos lados de un triángulo rectángulo? Necesitamos un procedimiento que nos lleve de un cociente de lados a un ángulo. Aquí es donde entra en juego la noción de inversa de la función trigonométrica. En esta sección, exploraremos las funciones trigonométricas inversas.

Comprender y utilizar las funciones inversas del seno, el coseno y la tangente

Para utilizar las funciones trigonométricas inversas, debemos entender que estas "deshacen" lo que la función trigonométrica original "hace", como ocurre con cualquier otra función y su inversa. En otras palabras, el dominio de la función inversa es el rango de la función original, y viceversa, como se resume en la Figura 1.

Diagrama que indica "Funciones trigonométricas", "Funciones trigonométricas inversas", "Dominio: Medida de un ángulo", "Dominio: Cociente", "Rango: Cociente", y "Rango: Medida de un ángulo".
Figura 1

Por ejemplo, si f(x)=senx, f(x)=senx, entonces escribiríamos f 1 (x)= sen 1 x. f 1 (x)= sen 1 x. Tenga en cuenta que sen 1 x sen 1 x no significa 1 senx . 1 senx . Los siguientes ejemplos ilustran las funciones trigonométricas inversas:

  • Dado que sen( π 6 )= 1 2 , sen( π 6 )= 1 2 , entonces π 6 = sen 1 ( 1 2 ). π 6 = sen 1 ( 1 2 ).
  • Dado que cos( π )=-1, cos( π )=-1, entonces π= cos 1 ( -1 ). π= cos 1 ( -1 ).
  • Dado que tan( π 4 )=1, tan( π 4 )=1, entonces π 4 = tan -1 ( 1 ). π 4 = tan -1 ( 1 ).

En las secciones anteriores, evaluamos las funciones trigonométricas en diversos ángulos, pero a veces necesitamos saber qué ángulo daría un valor específico de seno, coseno o tangente. Para ello, necesitamos funciones inversas. Recordemos que, para una función biunívoca, si f(a)=b, f(a)=b, entonces una función inversa satisfaría f 1 (b)=a. f 1 (b)=a.

Tenga en cuenta que las funciones seno, coseno y tangente no son biunívocas. El gráfico de cada función no pasaría la prueba de la línea horizontal. De hecho, ninguna función periódica puede ser biunívoca porque cada salida en su rango corresponde al menos a una entrada en cada periodo, y hay un número infinito de periodos. Al igual que con otras funciones que no son biunívocas, tendremos que restringir el dominio de cada función para obtener una nueva función que sea biunívoca. Elegimos un dominio para cada función que incluya el número 0. La Figura 2 muestra el gráfico de la función seno limitada a [ - π 2 , π 2 ] [ - π 2 , π 2 ] y el gráfico de la función coseno limitada a [ 0,π ]. [ 0,π ].

Dos gráficos paralelos. El primer gráfico, el gráfico A, muestra la mitad de un periodo de la función seno de x. El segundo gráfico, el gráfico B, muestra medio periodo de la función coseno de x.
Figura 2 (a) Función seno en un dominio restringido de [ - π 2 , π 2 ]; [ - π 2 , π 2 ]; (b) Función coseno en un dominio restringido de [ 0,π ] [ 0,π ]

La Figura 3 muestra el gráfico de la función tangente limitada a ( - π 2 , π 2 ). ( - π 2 , π 2 ).

Gráfico de un periodo de tangente de x, desde -pi/2 hasta pi/2.
Figura 3 Función tangente en un dominio restringido de ( - π 2 , π 2 ) ( - π 2 , π 2 )

Estas opciones convencionales para el dominio restringido son algo arbitrarias, pero tienen características importantes y útiles. Cada dominio incluye el origen y algunos valores positivos y, lo que es más importante, cada uno da lugar a una función biunívoca que puede invertirse. La elección convencional para el dominio restringido de la función tangente también tiene la útil propiedad de que se extiende de una asíntota vertical a la siguiente en lugar de estar dividida en dos partes por una asíntota.

En estos dominios restringidos, podemos definir las funciones trigonométricas inversas.

  • La función seno inversa y= sen 1 x y= sen 1 x significa x=seny. x=seny. La función seno inversa se denomina a veces función arcoseno, y se anota arcsenx. arcsenx.
    y= sen 1 xtiene dominio[−1,1]y rango[ - π 2 , π 2 ] y= sen 1 xtiene dominio[−1,1]y rango[ - π 2 , π 2 ]
  • La función coseno inversa y= cos 1 x y= cos 1 x significa x=cosy. x=cosy. La función coseno inversa se denomina a veces función arcocoseno, y se anota arccosx. arccosx.
    y= cos 1 xtiene dominio[−1,1]y rango[0,π] y= cos 1 xtiene dominio[−1,1]y rango[0,π]
  • La función tangente inversa y= tan -1 x y= tan -1 x significa x=tany. x=tany. La función tangente inversa se denomina a veces función arcotangente, y se anota arctanx. arctanx.
    y= tan -1 xtiene dominio(-∞,)y rango( - π 2 , π 2 ) y= tan -1 xtiene dominio(-∞,)y rango( - π 2 , π 2 )

Los gráficos de las funciones inversas se muestran en la Figura 4, la Figura 5 y la Figura 6. Observe que la salida de cada una de estas funciones inversas es un número, un ángulo en medida de radianes. Vemos que sen 1 x sen 1 x tiene dominio [ −1,1 ] [ −1,1 ] y rango [ - π 2 , π 2 ], [ - π 2 , π 2 ], cos 1 x cos 1 x tiene dominio [ −1,1 ] [ −1,1 ] y rango [0,π], [0,π], y tan -1 x tan -1 x tiene el dominio de todos los números reales y el rango ( - π 2 , π 2 ). ( - π 2 , π 2 ). Para hallar el dominio y el rango de las funciones trigonométricas inversas, cambie el dominio y el rango de las funciones originales. Cada gráfico de la función trigonométrica inversa es una reflexión del gráfico de la función original con respecto a la recta y=x. y=x.

Gráfico de las funciones seno de x y arcoseno de x. Hay una línea punteada y=x entre los dos gráficos, para mostrar la naturaleza inversa de las dos funciones.
Figura 4 La función seno y la función seno inversa (o arcoseno).
Gráfico de las funciones coseno de x y arcocoseno de x. Hay una línea punteada en y=x para mostrar la naturaleza inversa de las dos funciones.
Figura 5 La función coseno y la función coseno inversa (o arcocoseno)
Gráfico de las funciones tangente de x y arcotangente de x. Hay una línea punteada en y=x para mostrar la naturaleza inversa de las dos funciones.
Figura 6 La función tangente y la función tangente inversa (o arcotangente)

Relaciones para las funciones inversas de seno, coseno y tangente

Para ángulos en el intervalo [ - π 2 , π 2 ], [ - π 2 , π 2 ], si seny=x, seny=x, entonces sen 1 x=y. sen 1 x=y.

Para ángulos en el intervalo [ 0,π ], [ 0,π ], si cosy=x, cosy=x, entonces cos 1 x=y. cos 1 x=y.

Para ángulos en el intervalo ( - π 2 , π 2 ), ( - π 2 , π 2 ), si tany=x, tany=x, entonces tan -1 x=y. tan -1 x=y.

Ejemplo 1

Escribir una relación para una función inversa

Dados sen( 5π 12 )0,96593, sen( 5π 12 )0,96593, escriba una relación que implique la función seno inversa.

Inténtelo #1

Dados cos(0,5)0,8776, cos(0,5)0,8776, escriba una relación que implique la función coseno inversa.

Hallar el valor exacto de las expresiones que implican las funciones inversas de seno, coseno y tangente

Ahora que podemos identificar las funciones inversas, aprenderemos a evaluarlas. Para la mayoría de los valores en sus dominios, debemos evaluar las funciones trigonométricas inversas utilizando una calculadora, interpolando a partir de una tabla o utilizando alguna otra técnica numérica. Al igual que hicimos con las funciones trigonométricas originales, podemos dar valores exactos de las funciones inversas cuando utilizamos los ángulos especiales, concretamente π 6 π 6 (30°), π 4 π 4 (45°) y π 3 π 3 (60°), y sus reflexiones en otros cuadrantes.

Cómo

Dado un valor de entrada "especial", evaluar una función trigonométrica inversa.

  1. Halle el ángulo x x para el cual la función trigonométrica original tiene una salida igual a la entrada dada para la función trigonométrica inversa.
  2. Si los valores de x x no está en el rango definido de la inversa, halle otro ángulo y y que está en el rango definido y tiene el mismo seno, coseno o tangente que x, x, dependiendo de cuál corresponda a la función inversa dada.

Ejemplo 2

Evaluar funciones trigonométricas inversas para valores de entrada especiales

Evalúe cada uno de los siguientes aspectos.

  1. sen 1 ( 1 2 ) sen 1 ( 1 2 )
  2. sen 1 ( 2 2 ) sen 1 ( 2 2 )
  3. cos 1 ( - 3 2 ) cos 1 ( - 3 2 )
  4. tan -1 ( 1 ) tan -1 ( 1 )

Inténtelo #2

Evalúe cada uno de los siguientes aspectos.

  1. sen −1 (–1) sen −1 (–1)
  2. tan –1 ( –1 ) tan –1 ( –1 )
  3. cos −1 ( –1 ) cos −1 ( –1 )
  4. cos −1 ( 1 2 ) cos −1 ( 1 2 )

Usar la calculadora para evaluar funciones trigonométricas inversas

Para evaluar las funciones trigonométricas inversas que no involucran los ángulos especiales antes mencionados, necesitaremos una calculadora u otro tipo de tecnología. La mayoría de las calculadoras científicas y las aplicaciones que las emulan tienen teclas o botones específicos para las funciones inversas de seno, coseno y tangente. Estos pueden marcarse, por ejemplo, SIN −1 −1 , ARCSIN o ASIN.

En el capítulo anterior, trabajamos con la trigonometría en un triángulo rectángulo para resolver los lados de un triángulo dados un lado y un ángulo adicional. Al utilizar las funciones trigonométricas inversas, podemos resolver los ángulos de un triángulo rectángulo dados dos lados, y podemos utilizar una calculadora para hallar los valores con varios decimales.

En estos ejemplos y ejercicios, las respuestas se interpretarán como ángulos y utilizaremos θ θ como la variable independiente. El valor que se muestra en la calculadora puede estar en grados o en radianes, por lo que hay que asegurarse de establecer el modo apropiado para la aplicación.

Ejemplo 3

Evaluar el seno inverso en una calculadora

Evalúe sen 1 (0,97) sen 1 (0,97) utilizando una calculadora.

Inténtelo #3

Evalúe cos 1 ( 0,4 ) cos 1 ( 0,4 ) utilizando una calculadora.

Cómo

Dados dos lados de un triángulo rectángulo como el que se muestra en la Figura 7, hallar un ángulo

Una ilustración de un triángulo rectángulo con un ángulo theta. Adyacente a theta es el lado a, opuesto a theta es el lado p, y la hipotenusa es el lado h.
Figura 7
  1. Si un lado dado es la hipotenusa de longitud h h y el lado de la longitud a a adyacente al ángulo deseado, utilice la ecuación θ= cos 1 ( a h ). θ= cos 1 ( a h ).
  2. Si un lado dado es la hipotenusa de longitud h h y el lado de la longitud p p opuesto al ángulo deseado, utilice la ecuación θ= sen 1 ( p h ). θ= sen 1 ( p h ).
  3. Si se dan los dos catetos (los lados adyacentes al ángulo recto), se utiliza la ecuación θ= tan -1 ( p a ). θ= tan -1 ( p a ).

Ejemplo 4

Aplicar el coseno inverso a un triángulo rectángulo

Resuelva el triángulo en la Figura 8 para el ángulo θ. θ.

Una ilustración de un triángulo rectángulo con el ángulo theta. Junto al ángulo theta hay un lado de longitud 9 y una hipotenusa de longitud 12.
Figura 8

Inténtelo #4

Resuelva el triángulo en la Figura 9 para el ángulo θ. θ.

Una ilustración de un triángulo rectángulo con el ángulo theta. Frente al ángulo theta hay un lado de longitud 6 y una hipotenusa de longitud 10.
Figura 9

Hallar los valores exactos de las funciones compuestas con funciones trigonométricas inversas

A veces necesitamos componer una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa. En estos casos, normalmente podemos hallar valores exactos para las expresiones resultantes sin recurrir a la calculadora. Incluso cuando la entrada de la función compuesta es una variable o una expresión, a menudo podemos hallar una expresión para la salida. Para clasificar los diferentes casos, supongamos que f(x) f(x) y g(x) g(x) son dos funciones trigonométricas diferentes pertenecientes al conjunto { sen(x),cos(x),tan(x) } { sen(x),cos(x),tan(x) } y supongamos que f 1 (y) f 1 (y) y g 1 (y) g 1 (y) son sus inversos.

Evaluar composiciones de la forma f(f−1(y)) and f−1(f(x))

Para cualquier función trigonométrica, f( f 1 ( y ) )=y f( f 1 ( y ) )=y para todos los y y en el dominio adecuado para la función dada. Esto se deduce de la definición de la inversa y del hecho de que el rango de f f se definió como idéntico al dominio de f 1 . f 1 . Sin embargo, tenemos que ser un poco más cuidadosos con las expresiones de la forma f 1 ( f( x ) ). f 1 ( f( x ) ).

Composiciones de una función trigonométrica y su inversa

sen( sen 1 x)=xpara1x1 cos( cos 1 x)=xpara1x1 tan( tan -1 x)=xpara<x< sen( sen 1 x)=xpara1x1 cos( cos 1 x)=xpara1x1 tan( tan -1 x)=xpara<x<


sen 1 (senx)=xsolo para  π 2 x π 2 cos 1 (cosx)=xsolo para 0xπ tan -1 (tanx)=xsolo para  π 2 <x< π 2 sen 1 (senx)=xsolo para  π 2 x π 2 cos 1 (cosx)=xsolo para 0xπ tan -1 (tanx)=xsolo para  π 2 <x< π 2

Preguntas y respuestas

¿Es correcto que sen 1 (senx)=x? sen 1 (senx)=x?

No. Esta ecuación es correcta si x x pertenece al dominio restringido [ - π 2 , π 2 ], [ - π 2 , π 2 ], pero el seno está definido para todos los valores reales de entrada, y para x x fuera del intervalo restringido, la ecuación es incorrecta porque su inversa siempre devuelve un valor en [ - π 2 , π 2 ]. [ - π 2 , π 2 ]. La situación es similar para el coseno y la tangente y sus inversos. Por ejemplo, sen 1 ( sen( 3π 4 ) )= π 4 . sen 1 ( sen( 3π 4 ) )= π 4 .

Cómo

Dada una expresión de la forma f-1(f(θ)), donde f(θ)=senθ,cosθ, o tanθ, f(θ)=senθ,cosθ, o tanθ, evaluar.

  1. Si los valores de θ θ está en el dominio restringido de f, entonces  f 1 (f(θ))=θ. f, entonces  f 1 (f(θ))=θ.
  2. Si no, hallar un ángulo ϕ ϕ dentro del dominio restringido de f f tal que f(ϕ)=f(θ). f(ϕ)=f(θ). Entonces f 1 ( f( θ ) )=ϕ. f 1 ( f( θ ) )=ϕ.

Ejemplo 5

Usar las funciones trigonométricas inversas

Evalúe lo siguiente:

  1. sen 1 ( sen( π 3 ) ) sen 1 ( sen( π 3 ) )
  2. sen 1 ( sen( 2π 3 ) ) sen 1 ( sen( 2π 3 ) )
  3. cos 1 ( cos( 2π 3 ) ) cos 1 ( cos( 2π 3 ) )
  4. cos 1 ( cos( - π 3 ) ) cos 1 ( cos( - π 3 ) )

Inténtelo #5

Evalúe tan -1 ( tan( π 8 ) )y tan -1 ( tan( 11π 9 ) ). tan -1 ( tan( π 8 ) )y tan -1 ( tan( 11π 9 ) ).

Evaluar composiciones de la forma f−1(g(x))

Ahora que podemos componer una función trigonométrica con su inversa, podemos explorar cómo evaluar la composición de una función trigonométrica y la inversa de otra función trigonométrica. Comenzaremos con composiciones de la forma f 1 ( g( x ) ). f 1 ( g( x ) ). Para valores especiales de x, x, podemos evaluar exactamente la función interior y luego la exterior, la función inversa. Sin embargo, podemos encontrar un enfoque más general al considerar la relación entre los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo, donde uno es θ, θ, lo que hace que el otro sea π 2 -θ. π 2 -θ. Considere el seno y el coseno de cada ángulo del triángulo rectángulo en la Figura 10.

Ilustración de un triángulo rectángulo con ángulos theta y pi/2 - theta. Opuesto al ángulo theta y adyacente al ángulo pi/2 - theta es el lado a. Adyacente al ángulo theta y opuesto al ángulo pi/2 - theta es el lado b. La hipotenusa está marcada como c.
Figura 10 Triángulo rectángulo que ilustra las relaciones de cofunción

Dado que cosθ= b c =sen( π 2 -θ ), cosθ= b c =sen( π 2 -θ ), tenemos sen 1 ( cosθ )= π 2 -θ sen 1 ( cosθ )= π 2 -θ si 0θπ. 0θπ. Si θ θ no está en este dominio, entonces tenemos que encontrar otro ángulo que tenga el mismo coseno que θ θ y sí pertenece al dominio restringido; entonces restamos este ángulo de π 2 . π 2 . De la misma manera, senθ= a c =cos( π 2 -θ ), senθ= a c =cos( π 2 -θ ), por lo que cos 1 ( senθ )= π 2 -θ cos 1 ( senθ )= π 2 -θ si π 2 θ π 2 . π 2 θ π 2 . Estas son apenas las relaciones función-cofunción presentadas de otra manera.

Cómo

Dadas las funciones de la forma sen 1 ( cosx ) sen 1 ( cosx ) y cos 1 ( senx ), cos 1 ( senx ), evaluarlas.

  1. Si los valores de x está en [ 0,π ], x está en [ 0,π ], entonces sen 1 ( cosx )= π 2 -x. sen 1 ( cosx )= π 2 -x.
  2. Si los valores de x no está en [ 0,π ], x no está en [ 0,π ], entonces halle otro ángulo y in [ 0,π ] y in [ 0,π ] de manera que cosy=cosx. cosy=cosx.
    sen 1 ( cosx )= π 2 -y sen 1 ( cosx )= π 2 -y
  3. Si los valores de x está en [ - π 2 , π 2 ], x está en [ - π 2 , π 2 ], entonces cos 1 ( senx )= π 2 -x. cos 1 ( senx )= π 2 -x.
  4. Si los valores de x no está en[ - π 2 , π 2 ], x no está en[ - π 2 , π 2 ], entonces halle otro ángulo y in [ - π 2 , π 2 ] y in [ - π 2 , π 2 ] de manera que seny=senx. seny=senx.
    cos 1 ( senx )= π 2 -y cos 1 ( senx )= π 2 -y

Ejemplo 6

Evaluar la composición de un seno inverso con un coseno

Evalúe sen 1 ( cos( 13π 6 ) ) sen 1 ( cos( 13π 6 ) )

  1. por evaluación directa.
  2. por el método descrito anteriormente.

Inténtelo #6

Evalúe cos 1 ( sen( 11π 4 ) ). cos 1 ( sen( 11π 4 ) ).

Evaluar composiciones de la forma f(g−1(x))

Para evaluar composiciones de la forma f( g 1 ( x ) ), f( g 1 ( x ) ), donde f f y g g son dos funciones cualesquiera de seno, coseno o tangente y x x es cualquier entrada en el dominio de g 1 , g 1 , tenemos fórmulas exactas, como sen( cos 1 x )= 1- x 2 . sen( cos 1 x )= 1- x 2 . Cuando necesitemos utilizarlas, podemos derivar estas fórmulas mediante el empleo de las relaciones trigonométricas entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo, junto con el uso de la relación de Pitágoras entre las longitudes de los lados. Podemos utilizar la identidad pitagórica, sen 2 x+ cos 2 x=1, sen 2 x+ cos 2 x=1, para resolver una cuando se le da la otra. También podemos utilizar las funciones trigonométricas inversas para hallar composiciones que impliquen expresiones algebraicas.

Ejemplo 7

Evaluar la composición de un seno con un coseno inverso

Halle un valor exacto para sen( cos 1 ( 4 5 ) ). sen( cos 1 ( 4 5 ) ).

Inténtelo #7

Evalúe cos( tan -1 ( 5 12 ) ). cos( tan -1 ( 5 12 ) ).

Ejemplo 8

Evaluar la composición de un seno con una tangente inversa

Halle un valor exacto para sen( tan -1 ( 7 4 ) ). sen( tan -1 ( 7 4 ) ).

Inténtelo #8

Evalúe cos( sen 1 ( 7 9 ) ). cos( sen 1 ( 7 9 ) ).

Ejemplo 9

Hallar el coseno del seno inverso en una expresión algebraica

Halle una expresión simplificada para cos( sen 1 ( x 3 ) ) cos( sen 1 ( x 3 ) ) por 3x3. 3x3.

Inténtelo #9

Halle una expresión simplificada para sen( tan -1 ( 4x ) ) sen( tan -1 ( 4x ) ) por 1 4 x 1 4 . 1 4 x 1 4 .

Media

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las funciones trigonométricas inversas.

6.3 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Por qué las funciones f(x)= sen 1 x f(x)= sen 1 x y g(x)= cos 1 x g(x)= cos 1 x tienen diferentes rangos?

2.

Dado que las funciones y=cosx y=cosx y y= cos 1 x y= cos 1 x son funciones inversas, ¿por qué cos 1 ( cos( - π 6 ) ) cos 1 ( cos( - π 6 ) ) no es igual a π 6 ? π 6 ?

3.

Explique el significado de π 6 =arcsen( 0,5 ). π 6 =arcsen( 0,5 ).

4.

La mayoría de las calculadoras no tienen ninguna tecla para evaluar sec 1 ( 2 ). sec 1 ( 2 ). Explique cómo se puede hacer esto con la función coseno o la función coseno inversa.

5.

¿Por qué el dominio de la función seno, senx, senx, debe restringirse a [ - π 2 , π 2 ] [ - π 2 , π 2 ] para que exista la función seno inversa?

6.

Comente por qué este enunciado es incorrecto: arccos( cosx )=x arccos( cosx )=x para todos los valores x. x.

7.

Determine si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y razone su respuesta arccos( -x )=πarccosx. arccos( -x )=πarccosx.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones.

8.

sen 1 ( 2 2 ) sen 1 ( 2 2 )

9.

sen 1 ( - 1 2 ) sen 1 ( - 1 2 )

10.

cos 1 ( 1 2 ) cos 1 ( 1 2 )

11.

cos 1 ( 2 2 ) cos 1 ( 2 2 )

12.

tan -1 ( 1 ) tan -1 ( 1 )

13.

tan -1 ( - 3 ) tan -1 ( - 3 )

14.

tan -1 ( -1 ) tan -1 ( -1 )

15.

tan -1 ( 3 ) tan -1 ( 3 )

16.

tan -1 ( -1 3 ) tan -1 ( -1 3 )

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para evaluar cada expresión. Exprese las respuestas a la centésima más cercana.

17.

cos 1 ( 0,4 ) cos 1 ( 0,4 )

18.

arcsen( 0,23 ) arcsen( 0,23 )

19.

arccos( 3 5 ) arccos( 3 5 )

20.

cos 1 ( 0,8 ) cos 1 ( 0,8 )

21.

tan -1 ( 6 ) tan -1 ( 6 )

En los siguientes ejercicios, halle el ángulo θ θ en el triángulo rectángulo dado. Redondee las respuestas a la centésima más cercana.

22.
Una ilustración de un triángulo rectángulo con ángulo theta. Frente al ángulo theta hay un lado con longitud de 7. La hipotenusa tiene una longitud de 10.
23.
Una ilustración de un triángulo rectángulo con ángulo theta. Adyacente al ángulo theta hay un lado de longitud 19. Frente al ángulo theta hay un lado con longitud 12.

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto, si es posible, sin calculadora. Si no es posible, explique por qué.

24.

sen 1 ( cos( π ) ) sen 1 ( cos( π ) )

25.

tan -1 ( sen( π ) ) tan -1 ( sen( π ) )

26.

cos 1 ( sen( π 3 ) ) cos 1 ( sen( π 3 ) )

27.

tan -1 ( sen( π 3 ) ) tan -1 ( sen( π 3 ) )

28.

sen 1 ( cos( -π 2 ) ) sen 1 ( cos( -π 2 ) )

29.

tan -1 ( sen( 4π 3 ) ) tan -1 ( sen( 4π 3 ) )

30.

sen 1 ( sen( 5π 6 ) ) sen 1 ( sen( 5π 6 ) )

31.

tan -1 ( sen( -5π 2 ) ) tan -1 ( sen( -5π 2 ) )

32.

cos( sen 1 ( 4 5 ) ) cos( sen 1 ( 4 5 ) )

33.

sen( cos 1 ( 3 5 ) ) sen( cos 1 ( 3 5 ) )

34.

sen( tan -1 ( 4 3 ) ) sen( tan -1 ( 4 3 ) )

35.

cos( tan -1 ( 12 5 ) ) cos( tan -1 ( 12 5 ) )

36.

cos( sen 1 ( 1 2 ) ) cos( sen 1 ( 1 2 ) )

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de la expresión en términos de x x con la ayuda de un triángulo de referencia.

37.

tan( sen 1 ( x1 ) ) tan( sen 1 ( x1 ) )

38.

sen( cos 1 ( 1-x ) ) sen( cos 1 ( 1-x ) )

39.

cos( sen 1 ( 1 x ) ) cos( sen 1 ( 1 x ) )

40.

cos( tan -1 ( 3x1 ) ) cos( tan -1 ( 3x1 ) )

41.

tan( sen 1 ( x+ 1 2 ) ) tan( sen 1 ( x+ 1 2 ) )

Extensiones

En los siguientes ejercicios, evalúe la expresión sin utilizar la calculadora. Indique el valor exacto.

42.

sen 1 ( 1 2 )- cos 1 ( 2 2 )+ sen 1 ( 3 2 )- cos 1 ( 1 ) cos 1 ( 3 2 )- sen 1 ( 2 2 )+ cos 1 ( 1 2 )- sen 1 ( 0 ) sen 1 ( 1 2 )- cos 1 ( 2 2 )+ sen 1 ( 3 2 )- cos 1 ( 1 ) cos 1 ( 3 2 )- sen 1 ( 2 2 )+ cos 1 ( 1 2 )- sen 1 ( 0 )

En los siguientes ejercicios, halle la función si sent= x x+1 . sent= x x+1 .

43.

cost cost

44.

sect sect

45.

cott cott

46.

cos( sen 1 ( x x+1 ) ) cos( sen 1 ( x x+1 ) )

47.

tan -1 ( x 2 x+1 ) tan -1 ( x 2 x+1 )

Gráficos

48.

Grafique y= sen 1 x y= sen 1 x e indique el dominio y el rango de la función.

49.

Grafique y=arccosx y=arccosx e indique el dominio y el rango de la función.

50.

Grafique un ciclo de y= tan -1 x y= tan -1 x e indique el dominio y el rango de la función.

51.

¿Para qué valor de x x senx= sen 1 x? senx= sen 1 x? Utilice una calculadora gráfica para aproximar la respuesta.

52.

¿Para qué valor de x x cosx= cos 1 x? cosx= cos 1 x? Utilice una calculadora gráfica para aproximar la respuesta.

Aplicaciones en el mundo real

53.

Supongamos que una escalera de 13 pies se apoya en un edificio y llega hasta la parte inferior de una ventana de segundo piso a 12 pies de altura. ¿Qué ángulo, en radianes, forma la escalera con el edificio?

54.

Supongamos que conduce a 0,6 millas por una carretera de manera que la distancia vertical cambia de 0 a 150 pies. ¿Cuál es el ángulo de elevación de la carretera?

55.

Un triángulo isósceles tiene dos lados congruentes de 9 pulgadas de longitud. El lado restante tiene una longitud de 8 pulgadas. Halle el ángulo que forma un lado de 9 pulgadas con el lado de 8 pulgadas.

56.

Sin utilizar la calculadora, estime el valor de arctan( 10.000 ). arctan( 10.000 ). Razone su respuesta.

57.

Un soporte (estructura de vigas interiores) para el tejado de una casa se construye con dos triángulos rectángulos idénticos. Cada uno tiene una base de 12 pies y una altura de 4 pies. Halle la medida del ángulo agudo adyacente al lado de 4 pies.

58.

La línea y= 3 5 x y= 3 5 x pasa por el origen en el plano x,y. ¿Cuál es la medida del ángulo que forma la recta con el eje positivo x?

59.

La línea y= -3 7 x y= -3 7 x pasa por el origen en el plano x,y. ¿Cuál es la medida del ángulo que forma la recta con el eje negativo x?

60.

¿Qué porcentaje de pendiente debería tener una carretera si su ángulo de elevación es de 4 grados? (El porcentaje de pendiente se define como el cambio de altitud de la carretera en una distancia horizontal de 100 pies. Por ejemplo, una pendiente del 5 % significa que la carretera se eleva 5 pies por cada 100 pies de distancia horizontal).

61.

Una escalera de 20 pies se apoya en el lateral de un edificio de forma que el pie de la escalera está a 10 pies de la base del edificio. Si las especificaciones exigen que el ángulo de elevación de la escalera esté entre 35 y 45 grados, ¿la colocación de esta escalera satisface las especificaciones de seguridad?

62.

Supongamos que una escalera de 15 pies se apoya en el lateral de una casa de manera que el ángulo de elevación de la escalera es de 42 grados. ¿A qué distancia está el pie de la escalera del lado de la casa?

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