Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Graficar variaciones de $y = sen (x)$ y de $y = cos (x)$ .
Utilizar los desplazamientos de fase de las curvas seno y coseno.

Foto de un haz de luz del color del arco iris que se extiende por el suelo.

Figura 1 La luz puede separarse en colores debido a sus propiedades ondulatorias (créditos: "wonderferret"/ Flickr)

La luz blanca, como la del sol, no es realmente blanca. En cambio, es una composición de todos los colores del arco iris en forma de ondas. Cada uno de los colores se ve únicamente cuando la luz blanca pasa por un prisma óptico que separa las ondas según sus longitudes de onda para formar un arco iris.

Las ondas luminosas se representan gráficamente mediante la función seno. En el capítulo sobre Funciones trigonométricas, hemos examinado funciones trigonométricas como la función seno. En esta sección, interpretaremos y crearemos gráficos de las funciones seno y coseno.

Graficar funciones seno y coseno

Recordemos que las funciones seno y coseno relacionan valores de números reales con las coordenadas de la x y de la y de un punto en el círculo unitario. ¿Qué aspecto tienen en un gráfico en un plano de coordenadas? Empecemos con la función seno. Podemos crear una tabla de valores y utilizarla para dibujar un gráfico. La Tabla 1 enumera algunos de los valores de la función seno en un círculo unitario.

$x$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	$π$
$sen (x)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$

Tabla 1

Al trazar los puntos de la tabla y continuar a lo largo del eje x se obtiene la forma de la función seno. Vea la Figura 2.

Gráfico de sen(x). Máximo local en (pi/2, 1). Mínimo local en (3pi/2, -1). Periodo de 2pi.

Figura 2 La función seno

Obsérvese que los valores del seno son positivos entre 0 y $π,$ que corresponden a los valores de la función seno en los cuadrantes I y II del círculo unitario, y los valores del seno son negativos entre $π$ y $2 π,$ que corresponden a los valores de la función seno en los cuadrantes III y IV del círculo unitario. Vea la Figura 3.

Gráfico paralelo de un círculo unitario y gráfico de sen(x). Los dos gráficos muestran la equivalencia de las coordenadas.

Figura 3 Trazar los valores de la función seno

Ahora echemos un vistazo a la función coseno. Una vez más, podemos crear una tabla de valores y utilizarlos para trazar un gráfico. La Tabla 2 enumera algunos de los valores de la función coseno en un círculo unitario.

$x$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	$π$
$\cos (x)$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$- 1$

Tabla 2

Al igual que con la función seno, podemos trazar puntos para crear un gráfico de la función coseno como en la Figura 4.

Gráfico de cos(x). Máximos locales en (0,1) y (2pi, 1). Mínimo local en (pi, -1). Periodo de 2pi.

Figura 4 La función coseno

Dado que podemos evaluar el seno y el coseno de cualquier número real, ambas funciones están definidas para todos los números reales. Al pensar en los valores del seno y del coseno como coordenadas de puntos en un círculo unitario, es evidente que el rango de ambas funciones deberá ser el intervalo $[- 1, 1] .$

En ambos gráficos, la forma se repite después de $2 π,$ lo que significa que las funciones son periódicas con un período de $2 π .$ La función periódica es una función para la que un determinado desplazamiento horizontal, P, da como resultado una función igual a la función original $f (x + P) = f (x)$ para todos los valores de $x$ en el dominio de $f .$ Cuando esto ocurre, llamamos el menor desplazamiento horizontal de este tipo $P > 0$ , que es el periodo de la función. La Figura 5 muestra varios periodos de las funciones seno y coseno.

Gráficos lado a lado de sen(x) y cos(x). Los gráficos muestran las longitudes de los periodos para ambas funciones, que es de 2pi.

Figura 5

Observar de nuevo las funciones seno y coseno en un dominio centrado en el eje y sirve para revelar las simetrías. Como podemos ver en la Figura 6, la función seno es simétrica respecto al origen. Recordemos que en Las otras funciones trigonométricas determinamos a partir del círculo unitario que la función seno es una función impar porque $sen (- x) = - sen x .$ Ahora podemos ver claramente esta propiedad en el gráfico.

Gráfico de sen(x) que muestra que sen(x) es una función impar debido a la simetría impar en el gráfico.

Figura 6 Simetría impar de la función seno

La Figura 7 muestra que la función coseno es simétrica respecto al eje y. De nuevo, determinamos que la función coseno es una función par. Ahora podemos ver en el gráfico que $\cos (- x) = \cos x .$

Gráfico de cos(x) que muestra que cos(x) es una función par debido a la simetría par del gráfico.

Figura 7 Simetría par de la función coseno

Características de las funciones seno y coseno

Las funciones seno y coseno tienen varias características distintas:

Son funciones periódicas con un período de $2 π .$
El dominio de cada función es $(- \infty, \infty)$ y el rango es $[- 1, 1] .$
El gráfico de $y = sen x$ es simétrico respecto al origen, porque es una función impar.
El gráfico de $y = \cos x$ es simétrico respecto del eje de $y$ , porque es una función par.

Investigar funciones sinusoidales

Como podemos ver, las funciones seno y coseno tienen un período y un rango regulares. Si observamos las olas del mar o las ondas de un estanque, veremos que se parecen a las funciones seno o coseno. Sin embargo, no son necesariamente idénticas. Algunas son más altas o más largas que otras. Una función con la misma forma general que una función seno o coseno se conoce como función sinusoidal. Las formas generales de las funciones sinusoidales son:

\begin{array}{l} y = A sen (B x - C) + D \\ y \\ y = A \cos (B x - C) + D \end{array}

Determinar el periodo de las funciones sinusoidales

Al observar las formas de las funciones sinusoidales, nos damos cuenta de que son transformaciones de las funciones seno y coseno. Podemos utilizar lo que sabemos acerca de las transformaciones para determinar el periodo.

En la fórmula general, $B$ se relaciona con el periodo por $P = \frac{2 π}{| B |} .$ Si $| B | > 1,$ entonces el periodo es menor que $2 π$ y la función sufre una compresión horizontal, mientras que, si $| B | < 1,$ entonces el periodo es mayor que $2 π$ y la función sufre un estiramiento horizontal. Por ejemplo, $f (x) = sen (x),$ $B = 1,$ por lo que el periodo es $2 π,$ que ya conocíamos. Si los valores de $f (x) = sen (2 x),$ entonces $B = 2,$ por lo que el periodo es $π$ y el gráfico se comprime. Si los valores de $f (x) = sen (\frac{x}{2}),$ entonces $B = \frac{1}{2},$ por lo que el periodo es $4 π$ y el gráfico se estira. Observe en la Figura 8 cómo el periodo se relaciona indirectamente con $| B | .$

Gráfico con tres elementos. El eje x va de 0 a 2pi. El eje y va de -1 a 1. El primer elemento es el gráfico de sen(x) para un periodo completo. El segundo es el gráfico de sin(2x) en dos periodos. El tercero es el gráfico de sen(x/2) para la mitad de un periodo.

Figura 8

Periodo de las funciones sinusoidales

Supongamos que $C = 0$ y $D = 0$ en las ecuaciones de forma general de las funciones seno y coseno, obtenemos las formas

y = A sen (B x)

y = A \cos (B x)

El periodo es $\frac{2 π}{| B |} .$

Ejemplo 1

Identificar el periodo de una función seno o coseno

Determine el periodo de la función $f (x) = sen (\frac{π}{6} x) .$

Solución

Comencemos comparando la ecuación con la forma general $y = A sen (B x) .$

En la ecuación dada, $B = \frac{π}{6},$ por lo que el periodo será

\begin{array}{l} \begin{array}{l} P = \frac{2 π}{| B |} \end{array} \\ = \frac{2 π}{\frac{π}{6}} \\ = 2 π \cdot \frac{6}{π} \\ = 12 \end{array}

Inténtelo #1

Determine el periodo de la función $g (x) = \cos (\frac{x}{3}) .$

Determinar la amplitud

Volviendo a la fórmula general de una función sinusoidal, hemos analizado cómo la variable $B$ se refiere al periodo. Ahora pasemos a la variable $A$ por lo que podemos analizar cómo se relaciona con la amplitud, o mayor distancia desde el reposo. $A$ representa el factor de estiramiento vertical, y su valor absoluto $| A |$ es la amplitud. El máximo local será una distancia $| A |$ por encima de la línea media horizontal del gráfico, que es la línea $y = D;$ porque $D = 0$ en este caso, la línea media, es el eje x. Los mínimos locales estarán a la misma distancia por debajo de la línea media. Si los valores de $| A | > 1,$ la función se estira. Por ejemplo, la amplitud de $f (x) = 4 sen x$ es el doble de la amplitud de $f (x) = 2 sen x .$ Si $| A | < 1,$ la función se comprime. La Figura 9 compara varias funciones sinusoidales con diferentes amplitudes.

Gráfico con cuatro elementos. El eje x va de -6pi a 6pi. El eje y va de -4 a 4. El primer elemento es el gráfico de sen(x), que tiene una amplitud de 1. El segundo es el gráfico de 2sen(x), que tiene una amplitud de 2. El tercero es el gráfico de 3sin(x), que tiene una amplitud de 3. El cuarto es el gráfico de 4 sin(x) con una amplitud de 4.

Figura 9

Amplitud de las funciones sinusoidales

Supongamos que $C = 0$ y $D = 0$ en las ecuaciones de forma general de las funciones seno y coseno, obtenemos las formas

y = A sen (B x) y y = A \cos (B x)

La amplitud es $| A |,$ que es la altura vertical desde la línea media $.$ Además, observe en el ejemplo que

| A | = amplitud = \frac{1}{2} | máximo - mínimo |

Ejemplo 2

Identificar la amplitud de la función seno o coseno

¿Cuál es la amplitud de la función sinusoidal $f (x) = -4 sen (x) ?$ ¿La función se estira o se comprime verticalmente?

Solución

Comencemos por comparar la función con la forma simplificada $y = A sen (B x) .$

En la función dada, $A = -4,$ por lo que la amplitud es $| A | = | -4 | = 4.$ La función se estira.

Análisis

El valor negativo de $A$ resulta en una reflexión a través del eje x de la función seno, como se muestra en la Figura 10.

Gráfico de -4sin(x). La función tiene una amplitud de 4. Mínimos locales en (-3pi/2, -4) y (pi/2, -4). Máximos locales en (-pi/2, 4) y (3pi/2, 4). Periodo de 2pi.

Figura 10

Inténtelo #2

¿Cuál es la amplitud de la función sinusoidal $f (x) = \frac{1}{2} sen (x) ?$ ¿La función se estira o se comprime verticalmente?

Analizar los gráficos de las variaciones de y = sen x y de y = cos x

Ahora, que entendemos cómo $A$ y $B$ se relacionan con la ecuación de forma general para las funciones seno y coseno, exploraremos las variables $C$ y $D .$ Recordemos la forma general:

\begin{matrix} y = A sen (B x - C) + D y y = A \cos (B x - C) + D \\ i \\ y = A sen (B (x - \frac{C}{B})) + D y y = A \cos (B (x - \frac{C}{B})) + D \end{matrix}

El valor $\frac{C}{B}$ para una función sinusoidal se denomina desplazamiento de fase, o el desplazamiento horizontal de la función básica del seno o del coseno. Si los valores de $C > 0,$ el gráfico se desplaza hacia la derecha. Si los valores de $C < 0,$ el gráfico se desplaza hacia la izquierda. Cuanto mayor sea el valor de $| C |,$ más se desplazará el gráfico. La Figura 11 muestra que el gráfico de $f (x) = sen (x - π)$ se desplaza hacia la derecha en $π$ unidades, que es más de lo que vemos en el gráfico de $f (x) = sen (x - \frac{π}{4}),$ que se desplaza hacia la derecha en $\frac{π}{4}$ unidades.

Gráfico con tres elementos. El primer elemento es un gráfico de sen(x). El segundo elemento es el gráfico de sen(x-pi/4), que es lo mismo que sen(x) excepto que está desplazado a la derecha por pi/4. El tercer elemento es el gráfico de sen(x-pi), que es lo mismo que sen(x) excepto que está desplazado a la derecha por pi.

Figura 11

Mientras que $C$ se refiere al desplazamiento horizontal, $D$ indica el desplazamiento vertical desde la línea media en la fórmula general de una función sinusoidal. Vea la Figura 12. La función $y = \cos (x) + D$ tiene su línea media en $y = D .$

Gráfico de y=Asen(x)+D. El gráfico muestra la línea media de la función en y=D.

Figura 12

Cualquier valor de $D$ distinto de cero desplaza el gráfico hacia arriba o hacia abajo. La Figura 13 compara $f (x) = sen (x)$ con la $f (x) = sen (x) + 2,$ que se desplaza 2 unidades hacia arriba en un gráfico.

Gráfico con dos elementos. El primer elemento es un gráfico de sen(x). El segundo elemento es el gráfico de sen(x)+2, que es lo mismo que sen(x), pero desplazado hacia arriba en 2 unidades.

Figura 13

Variaciones de las funciones seno y coseno

Dada una ecuación de la forma $f (x) = A sen (B x - C) + D$ o $f (x) = A \cos (B x - C) + D,$ $\frac{C}{B}$ es el desplazamiento de fase y $D$ es el desplazamiento vertical.

Ejemplo 3

Identificar el desplazamiento de fase de una función

Determine la dirección y la magnitud del desplazamiento de fase para $f (x) = sen (x + \frac{π}{6}) - 2.$

Solución

Comencemos comparando la ecuación con la forma general $y = A sen (B x - C) + D .$

En la ecuación dada, observe que $B = 1$ y $C = - \frac{π}{6} .$ Así que el desplazamiento de fase es

\begin{array}{r} \frac{C}{B} = - \frac{\frac{π}{6}}{1} \\ = - \frac{π}{6} \end{array}

o $\frac{π}{6}$ unidades a la izquierda.

Análisis

Debemos prestar atención al signo de la ecuación para la forma general de una función sinusoidal. La ecuación muestra un signo menos antes de $C .$ Por lo tanto $f (x) = sen (x + \frac{π}{6}) - 2$ puede reescribirse como $f (x) = sen (x - (- \frac{π}{6})) - 2.$ Si el valor de $C$ es negativo, el desplazamiento es hacia la izquierda.

Inténtelo #3

Determine la dirección y la magnitud del desplazamiento de fase para $f (x) = 3 \cos (x - \frac{π}{2}) .$

Ejemplo 4

Identificar el desplazamiento vertical de una función

Determine la dirección y la magnitud del desplazamiento vertical para $f (x) = \cos (x) - 3,$

Solución

Comencemos comparando la ecuación con la forma general $y = A \cos (B x - C) + D .$

En la ecuación dada, $D = −3$ por lo que el desplazamiento es de 3 unidades hacia abajo.

Inténtelo #4

Determine la dirección y la magnitud del desplazamiento vertical para $f (x) = 3 sen (x) + 2.$

Cómo

Dada una función sinusoidal de la forma $f (x) = A sen (B x - C) + D,$ identificar la línea media, la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase.

Determine la amplitud como $| A | .$
Determine el periodo como $P = \frac{2 π}{| B |} .$
Determine el desplazamiento de fase como $\frac{C}{B} .$
Determine la línea media como $y = D .$

Ejemplo 5

Identificar las variaciones de una función sinusoidal a partir de una ecuación

Determine la línea media, la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase de la función $y = 3 sen (2 x) + 1.$

Solución

Comencemos comparando la ecuación con la forma general $y = A sen (B x - C) + D .$

$A = 3,$ por lo que la amplitud es $| A | = 3.$

Luego, $B = 2,$ por lo que el periodo es $P = \frac{2 π}{| B |} = \frac{2 π}{2} = π .$

No se ha sumado ninguna constante dentro de los paréntesis, por lo que $C = 0$ y el desplazamiento de fase es $\frac{C}{B} = \frac{0}{2} = 0 .$

Finalmente, $D = 1,$ por lo que la línea media es $y = 1.$

Análisis

Al inspeccionar el gráfico, podemos determinar que el periodo es $π,$ la línea media es $y = 1,$ y la amplitud es de 3. Vea la Figura 14.

Gráfico de y=3sen(2x)+1. El gráfico tiene una amplitud de 3. Hay una línea media en y=1. Hay un periodo de pi. Máximo local en (pi/4, 4) y mínimo local en (3pi/4, -2).

Figura 14

Inténtelo #5

Determine la línea media, la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase de la función $y = \frac{1}{2} \cos (\frac{x}{3} - \frac{π}{3}) .$

Ejemplo 6

Identificar la ecuación de una función sinusoidal a partir de un gráfico

Determine la fórmula de la función coseno en la Figura 15.

Gráfico de -0,5cos(x)+0,5. El gráfico tiene una amplitud de 0,5. El gráfico tiene un periodo de 2pi. El gráfico tiene un rango de [0, 1]. El gráfico también se refleja sobre el eje x a partir de la función matriz cos(x).

Figura 15

Solución

Para determinar la ecuación, tenemos que identificar cada valor en la forma general de una función sinusoidal.

\begin{array}{l} y = A sen (B x - C) + D \\ y = A \cos (B x - C) + D \end{array}

El gráfico podría representar una función seno o coseno desplazada o reflejada. Cuando $x = 0,$ el gráfico tiene un punto extremo, $(0, 0) .$ Dado que la función coseno tiene un punto extremo para $x = 0,$ escribamos nuestra ecuación en términos de función coseno.

Empecemos por la línea media. Vemos que el gráfico sube y baja una distancia igual por encima y por debajo de $y = 0,5.$ Este valor, que es la línea media, es $D$ en la ecuación, por lo que $D = 0,5.$

La mayor distancia por encima y por debajo de la línea media es la amplitud. Los máximos están 0,5 unidades por encima de la línea media y los mínimos están 0,5 unidades por debajo. Así que $| A | = 0,5.$ Otra forma en la que podríamos haber determinado la amplitud es al reconocer que la diferencia entre la altura de los máximos y mínimos locales es 1, por lo que $| A | = \frac{1}{2} = 0,5.$ Además, el gráfico se refleja alrededor del eje x, de manera que $A = - 0,5.$

El gráfico no se estira ni se comprime horizontalmente, por lo que $B = 1;$ y el gráfico no se desplaza horizontalmente, por lo que $C = 0 .$

Si lo agrupamos todo,

g (x) = - 0,5 \cos (x) + 0,5

Inténtelo #6

Determine la fórmula de la función seno en la Figura 16.

Gráfico de sen(x)+2. Periodo de 2pi, amplitud de 1 y rango de [1, 3].

Figura 16

Ejemplo 7

Identificar la ecuación de una función sinusoidal a partir de un gráfico

Determine la ecuación de la función sinusoidal en la Figura 17.

Gráfico de 3cos(pi/3x-pi/3)-2. El gráfico tiene una amplitud de 3, un periodo de 6 y un rango de [-5,1].

Figura 17

Solución

Con el valor más alto en 1 y el más bajo en $−5,$ la línea media estará a medio camino entre en $-2.$ Así que $D = –2.$

La distancia desde la línea media hasta el valor más alto o más bajo da una amplitud de $| A | = 3.$

El periodo del gráfico es 6, que puede medirse desde el pico en $x = 1$ hasta el siguiente pico en $x = 7,$ o de la distancia entre los puntos más bajos. Por lo tanto, $P = \frac{2 π}{| B |} = 6.$ Si utilizamos el valor positivo para $B,$ hallamos que

B = \frac{2 π}{P} = \frac{2 π}{6} = \frac{π}{3}

Hasta ahora, nuestra ecuación es $y = 3 sen (\frac{π}{3} x - C) - 2$ o $y = 3 \cos (\frac{π}{3} x - C) - 2.$ Para la forma y el desplazamiento, tenemos más de una opción. Podríamos escribirlo como cualquiera de los siguientes:

un coseno desplazado a la derecha
un coseno negativo desplazado a la izquierda
un seno desplazado a la izquierda
un seno negativo desplazado a la derecha

Aunque cualquiera de ellos sería correcto, los desplazamientos del coseno son más fáciles de trabajar que los del seno en este caso porque implican valores enteros. Así que nuestra función se convierte en

y = 3 \cos (\frac{π}{3} x - \frac{π}{3}) - 2 o y = - 3 \cos (\frac{π}{3} x + \frac{2 π}{3}) - 2

De nuevo, estas funciones son equivalentes, por lo que ambas dan lugar al mismo gráfico.

Inténtelo #7

Escriba una fórmula para la función graficada en la Figura 18.

Gráfico de 4sen((pi/5)x-pi/5)+4. El gráfico tiene un período de 10, una amplitud de 4 y un rango de [0,8].

Figura 18

Graficar las variaciones de y = sen x y de y = cos x

A lo largo de esta sección, hemos aprendido sobre los tipos de variaciones de las funciones seno y coseno y hemos utilizado esa información para escribir ecuaciones a partir de gráficos. Ahora podemos utilizar la misma información para crear gráficos a partir de ecuaciones.

En lugar de centrarnos en las ecuaciones de forma general

y = A sen (B x - C) + D y y = A \cos (B x - C) + D,

supondremos que $C = 0$ y $D = 0$ y trabajaremos con una forma simplificada de las ecuaciones en los siguientes ejemplos.

Cómo

Dada la función $y = A sen (B x),$ dibujar su gráfico.

Identifique la amplitud, $| A | .$
Identifique el periodo, $P = \frac{2 π}{| B |} .$
Empiece en el origen, donde la función aumenta hacia la derecha si $A$ es positivo o decreciente si $A$ es negativo.
A $x = \frac{π}{2 | B |}$ hay un máximo local para $A > 0$ o un mínimo para $A < 0,$ con la $y = A .$
La curva vuelve al eje x en $x = \frac{π}{| B |} .$
Hay un mínimo local para $A > 0$ (máximo para $A < 0$ ) en $x = \frac{3 π}{2 | B |}$ con la $y = - A .$
La curva regresa al eje x en $x = \frac{2 π}{| B |} .$

Ejemplo 8

Graficar una función e identificar la amplitud y el periodo

Dibuje un gráfico de $f (x) = - 2 sen (\frac{π x}{2}) .$

Solución

Comencemos por comparar la ecuación con la forma $y = A sen (B x) .$

Paso 1. Podemos ver en la ecuación que $A = - 2,$ por lo que la amplitud es de 2.
$| A | = 2$
Paso 2. La ecuación muestra que $B = \frac{π}{2},$ por lo que el periodo es
$\begin{array}{l} P = \frac{2 π}{\frac{π}{2}} \\ = 2 π \cdot \frac{2}{π} \\ = 4 \end{array}$
Paso 3. Dado a que $A$ es negativo, el gráfico desciende a medida que nos desplazamos a la derecha del origen.
Pasos 4 a 7. Las intersecciones en x están al principio de un periodo, $x = 0,$ los puntos medios horizontales están en $x = 2$ y al final de un periodo en $x = 4.$

Los puntos del trimestre incluyen el mínimo en $x = 1$ y el máximo en $x = 3.$ Se producirá un mínimo local en 2 unidades por debajo de la línea media, en $x = 1,$ y se producirá un máximo local en 2 unidades por encima de la línea media, a $x = 3.$ La Figura 19 muestra el gráfico de la función.

Gráfico de -2sen((pi/2)x). El gráfico tiene un rango de [-2,2], un periodo de 4 y una amplitud de 2.

Figura 19

Inténtelo #8

Dibuje un gráfico de $g (x) = - 0,8 \cos (2 x) .$ Determine la línea media, la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase.

Cómo

Dada una función sinusoidal con un desplazamiento de fase y un desplazamiento vertical, dibujar su gráfico.

Exprese la función en la forma general $y = A sen (B x - C) + D o y = A \cos (B x - C) + D .$
Identifique la amplitud, $| A | .$
Identifique el periodo, $P = \frac{2 π}{| B |} .$
Identifique el desplazamiento de fase, $\frac{C}{B} .$
Dibuje el gráfico de $f (x) = A sen (B x)$ desplazado a la derecha o a la izquierda en $\frac{C}{B}$ y hacia arriba o hacia abajo en $D .$

Ejemplo 9

Graficar una sinusoide transformada

Dibuje un gráfico de $f (x) = 3 sen (\frac{π}{4} x - \frac{π}{4}) .$

Solución

Paso 1. La función ya está escrita de forma general: $f (x) = 3 sen (\frac{π}{4} x - \frac{π}{4}) .$ Este gráfico tendrá la forma de una función seno, comenzando en la línea media y aumentando hacia la derecha.
Paso 2. $| A | = | 3 | = 3.$ La amplitud es de 3.
Paso 3. Dado que $| B | = | \frac{π}{4} | = \frac{π}{4},$ determinamos el período de la siguiente manera.
$P = \frac{2 π}{| B |} = \frac{2 π}{\frac{π}{4}} = 2 π \cdot \frac{4}{π} = 8$

El período es de 8.
Paso 4. Dado que $C = \frac{π}{4},$ el desplazamiento de fase es
$\frac{C}{B} = \frac{\frac{π}{4}}{\frac{π}{4}} = 1.$

El desplazamiento de fase es de 1 unidad.
Paso 5. La Figura 20 muestra el gráfico de la función.

Figura 20 Una sinusoide comprimida horizontalmente, estirada verticalmente y desplazada horizontalmente.

Inténtelo #9

Dibuje un gráfico de $g (x) = - 2 \cos (\frac{π}{3} x + \frac{π}{6}) .$ Determine la línea media, la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase.

Ejemplo 10

Identificar las propiedades de una función sinusoidal

Dados $y = - 2 \cos (\frac{π}{2} x + π) + 3,$ determine la amplitud, el periodo, el desplazamiento de fase y el desplazamiento vertical. A continuación, grafique la función.

Solución

Empiece por comparar la ecuación con la forma general y siga los pasos indicados en el Ejemplo 9.

y = A \cos (B x - C) + D

Paso 1. La función ya está escrita de forma general.
Paso 2. Dado que $A = - 2,$ la amplitud es $| A | = 2.$
Paso 3. $| B | = \frac{π}{2},$ por lo que el periodo es $P = \frac{2 π}{| B |} = \frac{2 π}{\frac{π}{2}} = 2 π \cdot \frac{2}{π} = 4.$ El período es de 4.
Paso 4. $C = - π,$ por lo que calculamos el desplazamiento de fase como $\frac{C}{B} = \frac{- π,}{\frac{π}{2}} = - π \cdot \frac{2}{π} = - 2.$ El desplazamiento de fase es $- 2.$
Paso 5. $D = 3,$ por lo que la línea media es $y = 3,$ y el desplazamiento vertical es en 3 unidades hacia arriba.

Dado que $A$ es negativo, el gráfico de la función coseno se ha reflejado alrededor del eje x.

La Figura 21 muestra un ciclo del gráfico de la función.

Gráfico de -2cos((pi/2)x+pi)+3. El gráfico muestra una amplitud de 2, una línea media en y=3 y un período de 4.

Figura 21

Usar las transformaciones de las funciones seno y coseno

Podemos utilizar las transformaciones de las funciones seno y coseno en numerosas aplicaciones. Como se mencionó al principio del capítulo, el movimiento circular puede modelarse con la función seno o coseno.

Ejemplo 11

Hallar la componente vertical del movimiento circular

Un punto gira alrededor de un círculo de radio 3 centrado en el origen. Dibuje un gráfico de la coordenada de la y del punto como función del ángulo de rotación.

Solución

Recordemos que, para un punto en un círculo de radio r, la coordenada de la y del punto es $y = r sen (x),$ por lo que en este caso, obtenemos la ecuación $y (x) = 3 sen (x) .$ La constante 3 provoca un estiramiento vertical de los valores de y de la función por un factor de 3, que podemos ver en el gráfico en la Figura 22.

Gráfico de 3sen(x). El gráfico tiene un período de 2pi, una amplitud de 3 y un rango de [-3,3].

Figura 22

Análisis

Obsérvese que el periodo de la función sigue siendo $2 π;$ al recorrer el círculo, volvemos al punto $(3, 0)$ para $x = 2 π, 4 π, 6 π, ...$ Porque las salidas del gráfico oscilarán ahora entre $- 3$ y $3,$ la amplitud de la onda sinusoidal es $3.$

Inténtelo #10

¿Cuál es la amplitud de la función $f (x) = 7 \cos (x) ?$ Dibuje un gráfico de esta función.

Ejemplo 12

Hallar la componente vertical del movimiento circular

Un círculo con un radio de 3 pies se monta con su centro a 4 pies del suelo. El punto más cercano al suelo está marcado como P, como se muestra en la Figura 23. Dibuje un gráfico de la altura sobre el suelo del punto $P$ al girar el círculo; a continuación, halle una función que dé la altura en términos del ángulo de rotación.

Ilustración de un círculo levantado a 4 pies del suelo. El círculo tiene un radio de 3 pies. Hay un punto P marcado en la circunferencia del círculo.

Figura 23

Solución

Al dibujar la altura, observamos que comenzará a 1 pie sobre el suelo, luego aumentará hasta 7 pies sobre el suelo y continuará oscilando 3 pies por encima y por debajo del valor central de 4 pies, como se muestra en la Figura 24.

Gráfico de -3cox(x)+4. El gráfico tiene una línea media en y=4, una amplitud de 3 y un periodo de 2pi.

Figura 24

Aunque podríamos utilizar una transformación de la función seno o coseno, empezamos por buscar las características que harían que una función fuera más fácil de utilizar que la otra. Utilizaremos una función coseno porque comienza en el valor más alto o más bajo, mientras que la función seno comienza en el valor medio. Un coseno estándar comienza en el valor más alto, y este gráfico comienza en el valor más bajo, por lo que necesitamos incorporar una reflexión vertical.

En segundo lugar, vemos que el gráfico oscila 3 por encima y por debajo del centro, mientras que un coseno básico tiene una amplitud de 1, por lo que este gráfico se ha estirado verticalmente en 3, como en el último ejemplo.

Finalmente, para desplazar el centro del círculo hasta una altura de 4, el gráfico se ha desplazado verticalmente hacia arriba en 4 unidades. Si agrupamos estas transformaciones, hallamos que

y = - 3 \cos (x) + 4

Inténtelo #11

Se fija un peso a un resorte, que luego se cuelga de una tabla, como se muestra en la Figura 25. Al oscilar el resorte hacia arriba y hacia abajo, la posición $y$ del peso en relación con el tablero oscila entre $-1$ pulgadas (en el tiempo $x = 0)$ con $–7$ pulgadas (en el tiempo $x = π)$ debajo del tablero. Supongamos que la posición de $y$ se da como una función sinusoidal de $x .$ Dibuje un gráfico de la función y luego halle una función coseno que dé la posición $y$ en términos de $x .$

Ilustración de un resorte con longitud y.

Figura 25

Ejemplo 13

Determinar la altura de un pasajero en una rueda de la fortuna

El London Eye es una enorme rueda de la fortuna de 135 metros de diámetro (443 pies). Efectúa una rotación cada 30 minutos. Los pasajeros suben desde una plataforma a 2 metros del suelo. Exprese la altura de un pasajero sobre el suelo como función del tiempo en minutos.

Solución

Con un diámetro de 135 m, la rueda de la fortuna tiene un radio de 67,5 m. La altura oscilará con una amplitud de 67,5 m por encima y por debajo del centro.

Los pasajeros suben a 2 m sobre el nivel del suelo, por lo que el centro de la rueda de la fortuna deberá situarse a $67,5 + 2 = 69,5$ m sobre el nivel del suelo. La línea media de la oscilación estará a 69,5 m.

La rueda de fortuna tarda 30 minutos en completar una revolución, por lo que la altura oscilará con un período de 30 minutos.

Por último, dado que el pasajero sube al punto más bajo, la altura comenzará en el valor más pequeño y aumentará, siguiendo la forma de una curva coseno, reflejada verticalmente.

Amplitud: $67,5;$ por lo que $A = 67,5$
Línea media $69,5;$ por lo que $D = 69,5$
Periodo: $30,$ por lo que $B = \frac{2 π}{30} = \frac{π}{15}$
Forma: $-cos (t)$

Una ecuación para la altura del pasajero sería

y = - 67,5 \cos (\frac{π}{15} t) + 69,5

donde $t$ está en minutos, mientras que $y$ se mide en metros.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con los gráficos de las funciones seno y coseno.

6.1 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Por qué las funciones seno y coseno reciben el nombre de funciones periódicas?

2.

¿Cómo se compara el gráfico de $y = sen x$ con el gráfico de $y = \cos x ?$ Explique cómo podría trasladar horizontalmente el gráfico de $y = sen x$ para obtener $y = \cos x .$

3.

Para la ecuación $A \cos (B x + C) + D,$ ¿qué constantes afectan el rango de la función y cómo lo afectan?

4.

¿Cómo se relaciona el rango de una función seno trasladada con la ecuación $y = A sen (B x + C) + D ?$

5.

¿Cómo se puede utilizar el círculo unitario para construir el gráfico de $f (t) = sen t ?$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique dos periodos completos de cada función e indique la amplitud, el periodo y la línea media. Indique los valores máximos y mínimos de y así como sus valores correspondientes de x en un periodo para $x > 0 .$ Redondee las respuestas a dos decimales, si es necesario.

6.

$f (x) = 2 sen x$

7.

$f (x) = \frac{2}{3} \cos x$

8.

$f (x) = - 3 sen x$

9.

$f (x) = 4 sen x$

10.

$f (x) = 2 \cos x$

11.

$f (x) = \cos (2 x)$

12.

$f (x) = 2 sen (\frac{1}{2} x)$

13.

$f (x) = 4 \cos (π x)$

14.

$f (x) = 3 \cos (\frac{6}{5} x)$

15.

$y = 3 sen (8 (x + 4)) + 5$

16.

$y = 2 sen (3 x - 21) + 4$

17.

$y = 5 sen (5 x + 20) - 2$

En los siguientes ejercicios, grafique un periodo completo de cada función, empezando por $x = 0 .$ Para cada función, indique la amplitud, el periodo y la línea media. Indique los valores máximos y mínimos de y así como sus valores correspondientes de x en un periodo para $x > 0 .$ Indique el desplazamiento de fase y la traslación vertical, si procede. Redondee las respuestas a dos decimales, si es necesario.

18.

$f (t) = 2 sen (t - \frac{5 π}{6})$

19.

$f (t) = - \cos (t + \frac{π}{3}) + 1$

20.

$f (t) = 4 \cos (2 (t + \frac{π}{4})) - 3$

21.

$f (t) = - sen (\frac{1}{2} t + \frac{5 π}{3})$

22.

$f (x) = 4 sen (\frac{π}{2} (x - 3)) + 7$

23.

Determine la amplitud, la línea media, el periodo y una ecuación que implique la función seno para el gráfico que se muestra en la Figura 26.

Gráfico sinusoidal con amplitud de 2, rango de [-5, -1], periodo de 4 y línea media en y=-3.

Figura 26

24.

Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el coseno para el gráfico que se muestra en la Figura 27.

Gráfico con una función coseno matriz, con amplitud de 3, periodo de pi, línea media en y=-1, y rango de [-4,2]

Figura 27

25.

Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el coseno para el gráfico que se muestra en la Figura 28.

Gráfico con una función coseno matriz, con amplitud de 2, periodo de 5, línea media en y=3, y rango de [1,5].

Figura 28

26.

Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el seno para el gráfico que se muestra en la Figura 29.

Gráfico sinusoidal con amplitud de 4, periodo de 10, línea media en y=0, y rango [-4,4].

Figura 29

27.

Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el coseno para el gráfico que se muestra en Figura 30.

Gráfico con una función coseno matriz, donde el rango de la función es [-4,4], la amplitud de 4 y el periodo de 2.

Figura 30

28.

Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el seno para el gráfico que se muestra en la Figura 31.

Gráfico con la función seno matriz. Amplitud 2, periodo 2, línea media y=0

Figura 31

29.

Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el coseno para el gráfico que se muestra en la Figura 32.

Gráfico con la función coseno matriz. Amplitud 2, periodo 2, línea media y=1

Figura 32

30.

Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el seno para el gráfico que se muestra en la Figura 33.

Gráfico con una función seno matriz. Amplitud 1, periodo 4 y línea media y=0.

Figura 33

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, supongamos que $f (x) = sen x .$

31.

En $[0, 2 π),$ resuelva $f (x) = 0 .$

32.

En $[0, 2 π),$ resuelva $f (x) = \frac{1}{2} .$

33.

Evalúe $f (\frac{π}{2}) .$

34.

En $[0, 2 π), f (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} .$ Calcule todos los valores de $x .$

35.

En $[0, 2 π),$ ¿el valor o los valores máximos de la función se producen en qué valor o valores de x?

36.

En $[0, 2 π),$ ¿en qué valores de x se producen los valores mínimos de la función?

37.

Demuestre que $f (- x) = - f (x) .$ Esto significa que $f (x) = sen x$ es una función impar y posee simetría con respecto a ________________.

En los siguientes ejercicios, supongamos que $f (x) = \cos x .$

38.

En $[0, 2 π),$ resuelva la ecuación $f (x) = \cos x = 0 .$

39.

En $[0, 2 π),$ resuelva $f (x) = \frac{1}{2} .$

40.

En $[0, 2 π),$ halle las intersecciones en x de $f (x) = \cos x .$

41.

En $[0, 2 π),$ halle los valores de x en los que la función tiene un valor máximo o mínimo.

42.

En $[0, 2 π),$ resuelva la ecuación $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

En tecnología

43.

Grafique $h (x) = x + sen x$ en $[0, 2 π] .$ Explique por qué el gráfico aparece como lo hace.

44.

Grafique $h (x) = x + sen x$ en $[- 100, 100] .$ ¿El gráfico apareció como se predijo en el ejercicio anterior?

45.

Grafique $f (x) = x sen x$ en $[0, 2 π]$ y explique cómo varía el gráfico de $f (x) = sen x .$

46.

Grafique $f (x) = x sen x$ en la ventana $[−10, 10]$ y explique lo que muestra el gráfico.

47.

Grafique $f (x) = \frac{sen x}{x}$ en la ventana $[−5 π, 5 π]$ y explique lo que muestra el gráfico.

Aplicaciones en el mundo real

48.

Una rueda de la fortuna tiene 25 metros de diámetro y se aborda desde una plataforma que está a 1 metro del suelo. La posición de las seis en punto de la rueda de la fortuna está al nivel de la plataforma de carga. La rueda completa 1 revolución completa en 10 minutos. La función $h (t)$ da la altura de una persona en metros sobre el suelo t minutos después de que la rueda de la fortuna comience a girar.

Ⓐ Halle la amplitud, la línea media y el periodo de $h (t) .$
Ⓑ Halle una fórmula para la función de altura $h (t) .$

6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno

Graficar funciones seno y coseno

Investigar funciones sinusoidales

Determinar el periodo de las funciones sinusoidales

Identificar el periodo de una función seno o coseno

Solución

Determinar la amplitud

Identificar la amplitud de la función seno o coseno

Solución

Análisis

Analizar los gráficos de las variaciones de y = sen x y de y = cos x

Identificar el desplazamiento de fase de una función

Solución

Análisis

Identificar el desplazamiento vertical de una función

Solución

Identificar las variaciones de una función sinusoidal a partir de una ecuación

Solución

Análisis

Identificar la ecuación de una función sinusoidal a partir de un gráfico

Solución

Identificar la ecuación de una función sinusoidal a partir de un gráfico

Solución

Graficar las variaciones de y = sen x y de y = cos x

Graficar una función e identificar la amplitud y el periodo

Solución

Graficar una sinusoide transformada

Solución

Identificar las propiedades de una función sinusoidal

Solución

Usar las transformaciones de las funciones seno y coseno

Hallar la componente vertical del movimiento circular

Solución

Análisis

Hallar la componente vertical del movimiento circular

Solución

Determinar la altura de un pasajero en una rueda de la fortuna

Solución

6.1 Ejercicios de sección

Verbales

Gráficos

Algebraicos

En tecnología

Aplicaciones en el mundo real