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Precálculo 2ed

6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno

Precálculo 2ed6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Graficar variaciones de y=sen(x)y=sen(x) y de y=cos(x)y=cos(x).
  • Utilizar los desplazamientos de fase de las curvas seno y coseno.
Foto de un haz de luz del color del arco iris que se extiende por el suelo.
Figura 1 La luz puede separarse en colores debido a sus propiedades ondulatorias (créditos: "wonderferret"/ Flickr)

La luz blanca, como la del sol, no es realmente blanca. En cambio, es una composición de todos los colores del arco iris en forma de ondas. Cada uno de los colores se ve únicamente cuando la luz blanca pasa por un prisma óptico que separa las ondas según sus longitudes de onda para formar un arco iris.

Las ondas luminosas se representan gráficamente mediante la función seno. En el capítulo sobre Funciones trigonométricas, hemos examinado funciones trigonométricas como la función seno. En esta sección, interpretaremos y crearemos gráficos de las funciones seno y coseno.

Graficar funciones seno y coseno

Recordemos que las funciones seno y coseno relacionan valores de números reales con las coordenadas de la x y de la y de un punto en el círculo unitario. ¿Qué aspecto tienen en un gráfico en un plano de coordenadas? Empecemos con la función seno. Podemos crear una tabla de valores y utilizarla para dibujar un gráfico. La Tabla 1 enumera algunos de los valores de la función seno en un círculo unitario.

x x 0 0 π 6 π 6 π 4 π 4 π 3 π 3 π 2 π 2 2π 3 2π 3 3π 4 3π 4 5π 6 5π 6 π π
sen( x ) sen( x ) 0 0 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 1 1 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 0 0
Tabla 1

Al trazar los puntos de la tabla y continuar a lo largo del eje x se obtiene la forma de la función seno. Vea la Figura 2.

Gráfico de sen(x). Máximo local en (pi/2, 1). Mínimo local en (3pi/2, -1). Periodo de 2pi.
Figura 2 La función seno

Obsérvese que los valores del seno son positivos entre 0 y π, π, que corresponden a los valores de la función seno en los cuadrantes I y II del círculo unitario, y los valores del seno son negativos entre π π y 2π, 2π, que corresponden a los valores de la función seno en los cuadrantes III y IV del círculo unitario. Vea la Figura 3.

Gráfico paralelo de un círculo unitario y gráfico de sen(x). Los dos gráficos muestran la equivalencia de las coordenadas.
Figura 3 Trazar los valores de la función seno

Ahora echemos un vistazo a la función coseno. Una vez más, podemos crear una tabla de valores y utilizarlos para trazar un gráfico. La Tabla 2 enumera algunos de los valores de la función coseno en un círculo unitario.

x x 0 0 π 6 π 6 π 4 π 4 π 3 π 3 π 2 π 2 2π 3 2π 3 3π 4 3π 4 5π 6 5π 6 π π
cos( x ) cos( x ) 1 1 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 -1 -1
Tabla 2

Al igual que con la función seno, podemos trazar puntos para crear un gráfico de la función coseno como en la Figura 4.

Gráfico de cos(x). Máximos locales en (0,1) y (2pi, 1). Mínimo local en (pi, -1). Periodo de 2pi.
Figura 4 La función coseno

Dado que podemos evaluar el seno y el coseno de cualquier número real, ambas funciones están definidas para todos los números reales. Al pensar en los valores del seno y del coseno como coordenadas de puntos en un círculo unitario, es evidente que el rango de ambas funciones deberá ser el intervalo [ -1,1 ]. [ -1,1 ].

En ambos gráficos, la forma se repite después de 2π, 2π, lo que significa que las funciones son periódicas con un período de 2π. 2π. La función periódica es una función para la que un determinado desplazamiento horizontal, P, da como resultado una función igual a la función original f( x+P )=f( x ) f( x+P )=f( x ) para todos los valores de x x en el dominio de f. f. Cuando esto ocurre, llamamos el menor desplazamiento horizontal de este tipo P>0 P>0 , que es el periodo de la función. La Figura 5 muestra varios periodos de las funciones seno y coseno.

Gráficos lado a lado de sen(x) y cos(x). Los gráficos muestran las longitudes de los periodos para ambas funciones, que es de 2pi.
Figura 5

Observar de nuevo las funciones seno y coseno en un dominio centrado en el eje y sirve para revelar las simetrías. Como podemos ver en la Figura 6, la función seno es simétrica respecto al origen. Recordemos que en Las otras funciones trigonométricas determinamos a partir del círculo unitario que la función seno es una función impar porque sen(-x)=-senx. sen(-x)=-senx. Ahora podemos ver claramente esta propiedad en el gráfico.

Gráfico de sen(x) que muestra que sen(x) es una función impar debido a la simetría impar en el gráfico.
Figura 6 Simetría impar de la función seno

La Figura 7 muestra que la función coseno es simétrica respecto al eje y. De nuevo, determinamos que la función coseno es una función par. Ahora podemos ver en el gráfico que cos(-x)=cosx. cos(-x)=cosx.

Gráfico de cos(x) que muestra que cos(x) es una función par debido a la simetría par del gráfico.
Figura 7 Simetría par de la función coseno

Características de las funciones seno y coseno

Las funciones seno y coseno tienen varias características distintas:

  • Son funciones periódicas con un período de 2π. 2π.
  • El dominio de cada función es ( -, ) ( -, ) y el rango es [ -1,1 ]. [ -1,1 ].
  • El gráfico de y=senx y=senx es simétrico respecto al origen, porque es una función impar.
  • El gráfico de y=cosx y=cosx es simétrico respecto del eje de y y , porque es una función par.

Investigar funciones sinusoidales

Como podemos ver, las funciones seno y coseno tienen un período y un rango regulares. Si observamos las olas del mar o las ondas de un estanque, veremos que se parecen a las funciones seno o coseno. Sin embargo, no son necesariamente idénticas. Algunas son más altas o más largas que otras. Una función con la misma forma general que una función seno o coseno se conoce como función sinusoidal. Las formas generales de las funciones sinusoidales son:

y=Asen( BxC )+D y y=Acos( BxC )+D y=Asen( BxC )+D y y=Acos( BxC )+D

Determinar el periodo de las funciones sinusoidales

Al observar las formas de las funciones sinusoidales, nos damos cuenta de que son transformaciones de las funciones seno y coseno. Podemos utilizar lo que sabemos acerca de las transformaciones para determinar el periodo.

En la fórmula general, B B se relaciona con el periodo por P= 2 π | B | . P= 2 π | B | . Si | B |>1, | B |>1, entonces el periodo es menor que 2π 2π y la función sufre una compresión horizontal, mientras que, si | B |<1, | B |<1, entonces el periodo es mayor que 2π 2π y la función sufre un estiramiento horizontal. Por ejemplo, f(x)=sen( x ), f(x)=sen( x ), B=1, B=1, por lo que el periodo es 2π, 2π, que ya conocíamos. Si los valores de f(x)=sen( 2 x ), f(x)=sen( 2 x ), entonces B=2, B=2, por lo que el periodo es π π y el gráfico se comprime. Si los valores de f(x)=sen( x 2 ), f(x)=sen( x 2 ), entonces B= 1 2 , B= 1 2 , por lo que el periodo es 4π 4π y el gráfico se estira. Observe en la Figura 8 cómo el periodo se relaciona indirectamente con | B |. | B |.

Gráfico con tres elementos. El eje x va de 0 a 2pi. El eje y va de -1 a 1. El primer elemento es el gráfico de sen(x) para un periodo completo. El segundo es el gráfico de sin(2x) en dos periodos. El tercero es el gráfico de sen(x/2) para la mitad de un periodo.
Figura 8

Periodo de las funciones sinusoidales

Supongamos que C=0 C=0 y D=0 D=0 en las ecuaciones de forma general de las funciones seno y coseno, obtenemos las formas

y=Asen( Bx ) y=Asen( Bx )
y=Acos( Bx ) y=Acos( Bx )

El periodo es 2π | B | . 2π | B | .

Ejemplo 1

Identificar el periodo de una función seno o coseno

Determine el periodo de la función f( x )=sen( π 6 x ). f( x )=sen( π 6 x ).

Inténtelo #1

Determine el periodo de la función g(x)=cos( x 3 ). g(x)=cos( x 3 ).

Determinar la amplitud

Volviendo a la fórmula general de una función sinusoidal, hemos analizado cómo la variable B B se refiere al periodo. Ahora pasemos a la variable A A por lo que podemos analizar cómo se relaciona con la amplitud, o mayor distancia desde el reposo. A A representa el factor de estiramiento vertical, y su valor absoluto | A | | A | es la amplitud. El máximo local será una distancia | A | | A | por encima de la línea media horizontal del gráfico, que es la línea y=D; y=D; porque D=0 D=0 en este caso, la línea media, es el eje x. Los mínimos locales estarán a la misma distancia por debajo de la línea media. Si los valores de | A |>1, | A |>1, la función se estira. Por ejemplo, la amplitud de f(x)=4senx f(x)=4senx es el doble de la amplitud de f(x)=2senx. f(x)=2senx. Si | A |<1, | A |<1, la función se comprime. La Figura 9 compara varias funciones sinusoidales con diferentes amplitudes.

Gráfico con cuatro elementos. El eje x va de -6pi a 6pi. El eje y va de -4 a 4. El primer elemento es el gráfico de sen(x), que tiene una amplitud de 1. El segundo es el gráfico de 2sen(x), que tiene una amplitud de 2. El tercero es el gráfico de 3sin(x), que tiene una amplitud de 3. El cuarto es el gráfico de 4 sin(x) con una amplitud de 4.
Figura 9

Amplitud de las funciones sinusoidales

Supongamos que C=0 C=0 y D=0 D=0 en las ecuaciones de forma general de las funciones seno y coseno, obtenemos las formas

y=Asen( Bx ) y y=Acos( Bx ) y=Asen( Bx ) y y=Acos( Bx )

La amplitud es |A|, |A|, que es la altura vertical desde la línea media . . Además, observe en el ejemplo que

| A | = amplitud =  1 2 | máximo  mínimo | | A | = amplitud =  1 2 | máximo  mínimo |

Ejemplo 2

Identificar la amplitud de la función seno o coseno

¿Cuál es la amplitud de la función sinusoidal f(x)=-4sen(x)? f(x)=-4sen(x)? ¿La función se estira o se comprime verticalmente?

Análisis

El valor negativo de A A resulta en una reflexión a través del eje x de la función seno, como se muestra en la Figura 10.

Gráfico de -4sin(x). La función tiene una amplitud de 4. Mínimos locales en (-3pi/2, -4) y (pi/2, -4). Máximos locales en (-pi/2, 4) y (3pi/2, 4). Periodo de 2pi.
Figura 10

Inténtelo #2

¿Cuál es la amplitud de la función sinusoidal f(x)= 1 2 sen(x)? f(x)= 1 2 sen(x)? ¿La función se estira o se comprime verticalmente?

Analizar los gráficos de las variaciones de y = sen x y de y = cos x

Ahora, que entendemos cómo A A y B B se relacionan con la ecuación de forma general para las funciones seno y coseno, exploraremos las variables C C y D. D. Recordemos la forma general:

y=Asen( BxC )+D y y=Acos( BxC )+D i y=Asen( B( x C B ) )+D y y=Acos( B( x C B ) )+D y=Asen( BxC )+D y y=Acos( BxC )+D i y=Asen( B( x C B ) )+D y y=Acos( B( x C B ) )+D

El valor C B C B para una función sinusoidal se denomina desplazamiento de fase, o el desplazamiento horizontal de la función básica del seno o del coseno. Si los valores de C>0, C>0, el gráfico se desplaza hacia la derecha. Si los valores de C<0, C<0, el gráfico se desplaza hacia la izquierda. Cuanto mayor sea el valor de | C |, | C |, más se desplazará el gráfico. La Figura 11 muestra que el gráfico de f(x)=sen( x-π ) f(x)=sen( x-π ) se desplaza hacia la derecha en π π unidades, que es más de lo que vemos en el gráfico de f(x)=sen( x- π 4 ), f(x)=sen( x- π 4 ), que se desplaza hacia la derecha en π 4 π 4 unidades.

Gráfico con tres elementos. El primer elemento es un gráfico de sen(x). El segundo elemento es el gráfico de sen(x-pi/4), que es lo mismo que sen(x) excepto que está desplazado a la derecha por pi/4. El tercer elemento es el gráfico de sen(x-pi), que es lo mismo que sen(x) excepto que está desplazado a la derecha por pi.
Figura 11

Mientras que C C se refiere al desplazamiento horizontal, D D indica el desplazamiento vertical desde la línea media en la fórmula general de una función sinusoidal. Vea la Figura 12. La función y=cos( x )+D y=cos( x )+D tiene su línea media en y=D. y=D.

Gráfico de y=Asen(x)+D. El gráfico muestra la línea media de la función en y=D.
Figura 12

Cualquier valor de D D distinto de cero desplaza el gráfico hacia arriba o hacia abajo. La Figura 13 compara f(x)=sen(x) f(x)=sen(x) con la f(x)=sen(x)+2 , f(x)=sen(x)+2 , que se desplaza 2 unidades hacia arriba en un gráfico.

Gráfico con dos elementos. El primer elemento es un gráfico de sen(x). El segundo elemento es el gráfico de sen(x)+2, que es lo mismo que sen(x), pero desplazado hacia arriba en 2 unidades.
Figura 13

Variaciones de las funciones seno y coseno

Dada una ecuación de la forma f( x )=Asen( BxC )+D f( x )=Asen( BxC )+D o f( x )=Acos( BxC )+D, f( x )=Acos( BxC )+D, C B C B es el desplazamiento de fase y D D es el desplazamiento vertical.

Ejemplo 3

Identificar el desplazamiento de fase de una función

Determine la dirección y la magnitud del desplazamiento de fase para f(x)=sen( x+ π 6 )2. f(x)=sen( x+ π 6 )2.

Análisis

Debemos prestar atención al signo de la ecuación para la forma general de una función sinusoidal. La ecuación muestra un signo menos antes de C. C. Por lo tanto f(x)=sen( x+ π 6 )-2 f(x)=sen( x+ π 6 )-2 puede reescribirse como f(x)=sen( x-( - π 6 ) )2. f(x)=sen( x-( - π 6 ) )2. Si el valor de C C es negativo, el desplazamiento es hacia la izquierda.

Inténtelo #3

Determine la dirección y la magnitud del desplazamiento de fase para f(x)=3cos( x- π 2 ). f(x)=3cos( x- π 2 ).

Ejemplo 4

Identificar el desplazamiento vertical de una función

Determine la dirección y la magnitud del desplazamiento vertical para f(x)=cos( x )3, f(x)=cos( x )3,

Inténtelo #4

Determine la dirección y la magnitud del desplazamiento vertical para f(x)=3sen( x )+2. f(x)=3sen( x )+2.

Cómo

Dada una función sinusoidal de la forma f( x )=Asen( BxC )+D, f( x )=Asen( BxC )+D, identificar la línea media, la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase.

  1. Determine la amplitud como | A |. | A |.
  2. Determine el periodo como P= 2 π | B | . P= 2 π | B | .
  3. Determine el desplazamiento de fase como C B . C B .
  4. Determine la línea media como y=D. y=D.

Ejemplo 5

Identificar las variaciones de una función sinusoidal a partir de una ecuación

Determine la línea media, la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase de la función y=3sen(2 x)+1. y=3sen(2 x)+1.

Análisis

Al inspeccionar el gráfico, podemos determinar que el periodo es π, π, la línea media es y=1, y=1, y la amplitud es de 3. Vea la Figura 14.

Gráfico de y=3sen(2x)+1. El gráfico tiene una amplitud de 3. Hay una línea media en y=1. Hay un periodo de pi. Máximo local en (pi/4, 4) y mínimo local en (3pi/4, -2).
Figura 14

Inténtelo #5

Determine la línea media, la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase de la función y= 1 2 cos( x 3 π 3 ). y= 1 2 cos( x 3 π 3 ).

Ejemplo 6

Identificar la ecuación de una función sinusoidal a partir de un gráfico

Determine la fórmula de la función coseno en la Figura 15.

Gráfico de -0,5cos(x)+0,5. El gráfico tiene una amplitud de 0,5. El gráfico tiene un periodo de 2pi. El gráfico tiene un rango de [0, 1]. El gráfico también se refleja sobre el eje x a partir de la función matriz cos(x).
Figura 15

Inténtelo #6

Determine la fórmula de la función seno en la Figura 16.

Gráfico de sen(x)+2. Periodo de 2pi, amplitud de 1 y rango de [1, 3].
Figura 16

Ejemplo 7

Identificar la ecuación de una función sinusoidal a partir de un gráfico

Determine la ecuación de la función sinusoidal en la Figura 17.

Gráfico de 3cos(pi/3x-pi/3)-2. El gráfico tiene una amplitud de 3, un periodo de 6 y un rango de [-5,1].
Figura 17

Inténtelo #7

Escriba una fórmula para la función graficada en la Figura 18.

Gráfico de 4sen((pi/5)x-pi/5)+4. El gráfico tiene un período de 10, una amplitud de 4 y un rango de [0,8].
Figura 18

Graficar las variaciones de y = sen x y de y = cos x

A lo largo de esta sección, hemos aprendido sobre los tipos de variaciones de las funciones seno y coseno y hemos utilizado esa información para escribir ecuaciones a partir de gráficos. Ahora podemos utilizar la misma información para crear gráficos a partir de ecuaciones.

En lugar de centrarnos en las ecuaciones de forma general

y=Asen( BxC )+D y y=Acos( BxC )+D, y=Asen( BxC )+D y y=Acos( BxC )+D,

supondremos que C=0 C=0 y D=0 D=0 y trabajaremos con una forma simplificada de las ecuaciones en los siguientes ejemplos.

Cómo

Dada la función y=Asen( Bx ), y=Asen( Bx ), dibujar su gráfico.

  1. Identifique la amplitud, | A |. | A |.
  2. Identifique el periodo, P= 2 π | B | . P= 2 π | B | .
  3. Empiece en el origen, donde la función aumenta hacia la derecha si A A es positivo o decreciente si A A es negativo.
  4. A x= π 2| B | x= π 2| B | hay un máximo local para A>0 A>0 o un mínimo para A<0, A<0, con la y=A. y=A.
  5. La curva vuelve al eje x en x= π | B | . x= π | B | .
  6. Hay un mínimo local para A>0 A>0 (máximo para A<0 A<0 ) en x= 3π 2| B | x= 3π 2| B | con la y=A. y=A.
  7. La curva regresa al eje x en x= 2 π | B | . x= 2 π | B | .

Ejemplo 8

Graficar una función e identificar la amplitud y el periodo

Dibuje un gráfico de f( x )=-2sen( πx 2 ). f( x )=-2sen( πx 2 ).

Inténtelo #8

Dibuje un gráfico de g( x )=0,8cos( 2 x ). g( x )=0,8cos( 2 x ). Determine la línea media, la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase.

Cómo

Dada una función sinusoidal con un desplazamiento de fase y un desplazamiento vertical, dibujar su gráfico.

  1. Exprese la función en la forma general y=Asen(BxC)+D o y=Acos(BxC)+D. y=Asen(BxC)+D o y=Acos(BxC)+D.
  2. Identifique la amplitud, | A |. | A |.
  3. Identifique el periodo, P= 2 π | B | . P= 2 π | B | .
  4. Identifique el desplazamiento de fase, C B . C B .
  5. Dibuje el gráfico de f( x )=Asen( Bx ) f( x )=Asen( Bx ) desplazado a la derecha o a la izquierda en C B C B y hacia arriba o hacia abajo en D. D.

Ejemplo 9

Graficar una sinusoide transformada

Dibuje un gráfico de f( x )=3sen( π 4 x- π 4 ). f( x )=3sen( π 4 x- π 4 ).

Inténtelo #9

Dibuje un gráfico de g(x)=-2cos( π 3 x+ π 6 ). g(x)=-2cos( π 3 x+ π 6 ). Determine la línea media, la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase.

Ejemplo 10

Identificar las propiedades de una función sinusoidal

Dados y=-2cos( π 2 x+π )+3, y=-2cos( π 2 x+π )+3, determine la amplitud, el periodo, el desplazamiento de fase y el desplazamiento vertical. A continuación, grafique la función.

Usar las transformaciones de las funciones seno y coseno

Podemos utilizar las transformaciones de las funciones seno y coseno en numerosas aplicaciones. Como se mencionó al principio del capítulo, el movimiento circular puede modelarse con la función seno o coseno.

Ejemplo 11

Hallar la componente vertical del movimiento circular

Un punto gira alrededor de un círculo de radio 3 centrado en el origen. Dibuje un gráfico de la coordenada de la y del punto como función del ángulo de rotación.

Análisis

Obsérvese que el periodo de la función sigue siendo 2π; 2π; al recorrer el círculo, volvemos al punto ( 3,0 ) ( 3,0 ) para x=2 π,4π,6π,... x=2 π,4π,6π,... Porque las salidas del gráfico oscilarán ahora entre 3 3 y 3, 3, la amplitud de la onda sinusoidal es 3. 3.

Inténtelo #10

¿Cuál es la amplitud de la función f(x)=7cos(x)? f(x)=7cos(x)? Dibuje un gráfico de esta función.

Ejemplo 12

Hallar la componente vertical del movimiento circular

Un círculo con un radio de 3 pies se monta con su centro a 4 pies del suelo. El punto más cercano al suelo está marcado como P, como se muestra en la Figura 23. Dibuje un gráfico de la altura sobre el suelo del punto P P al girar el círculo; a continuación, halle una función que dé la altura en términos del ángulo de rotación.

Ilustración de un círculo levantado a 4 pies del suelo. El círculo tiene un radio de 3 pies. Hay un punto P marcado en la circunferencia del círculo.
Figura 23

Inténtelo #11

Se fija un peso a un resorte, que luego se cuelga de una tabla, como se muestra en la Figura 25. Al oscilar el resorte hacia arriba y hacia abajo, la posición y y del peso en relación con el tablero oscila entre -1 -1 pulgadas (en el tiempo x=0) x=0) con –7 –7 pulgadas (en el tiempo x=π) x=π) debajo del tablero. Supongamos que la posición de y y se da como una función sinusoidal de x. x. Dibuje un gráfico de la función y luego halle una función coseno que dé la posición y y en términos de x. x.

Ilustración de un resorte con longitud y.
Figura 25

Ejemplo 13

Determinar la altura de un pasajero en una rueda de la fortuna

El London Eye es una enorme rueda de la fortuna de 135 metros de diámetro (443 pies). Efectúa una rotación cada 30 minutos. Los pasajeros suben desde una plataforma a 2 metros del suelo. Exprese la altura de un pasajero sobre el suelo como función del tiempo en minutos.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con los gráficos de las funciones seno y coseno.

6.1 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Por qué las funciones seno y coseno reciben el nombre de funciones periódicas?

2.

¿Cómo se compara el gráfico de y=senx y=senx con el gráfico de y=cosx? y=cosx? Explique cómo podría trasladar horizontalmente el gráfico de y=senx y=senx para obtener y=cosx. y=cosx.

3.

Para la ecuación Acos(Bx+C)+D, Acos(Bx+C)+D, ¿qué constantes afectan el rango de la función y cómo lo afectan?

4.

¿Cómo se relaciona el rango de una función seno trasladada con la ecuación y=Asen(Bx+C)+D? y=Asen(Bx+C)+D?

5.

¿Cómo se puede utilizar el círculo unitario para construir el gráfico de f(t)=sent? f(t)=sent?

Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique dos periodos completos de cada función e indique la amplitud, el periodo y la línea media. Indique los valores máximos y mínimos de y así como sus valores correspondientes de x en un periodo para x>0. x>0. Redondee las respuestas a dos decimales, si es necesario.

6.

f(x)=2senx f(x)=2senx

7.

f(x)= 2 3 cosx f(x)= 2 3 cosx

8.

f(x)=-3sen x f(x)=-3sen x

9.

f(x)=4senx f(x)=4senx

10.

f(x)=2cosx f(x)=2cosx

11.

f( x )=cos( 2 x ) f( x )=cos( 2 x )

12.

f(x)=2sen( 1 2 x ) f(x)=2sen( 1 2 x )

13.

f(x)=4cos(πx) f(x)=4cos(πx)

14.

f(x)=3cos( 6 5 x ) f(x)=3cos( 6 5 x )

15.

y=3sen(8(x+4))+5 y=3sen(8(x+4))+5

16.

y=2sen(3x21)+4 y=2sen(3x21)+4

17.

y=5sen(5x+20)-2 y=5sen(5x+20)-2

En los siguientes ejercicios, grafique un periodo completo de cada función, empezando por x=0. x=0. Para cada función, indique la amplitud, el periodo y la línea media. Indique los valores máximos y mínimos de y así como sus valores correspondientes de x en un periodo para x>0. x>0. Indique el desplazamiento de fase y la traslación vertical, si procede. Redondee las respuestas a dos decimales, si es necesario.

18.

f( t )=2sen( t 5π 6 ) f( t )=2sen( t 5π 6 )

19.

f(t)=-cos( t+ π 3 )+1 f(t)=-cos( t+ π 3 )+1

20.

f( t )=4cos( 2 ( t+ π 4 ) )-3 f( t )=4cos( 2 ( t+ π 4 ) )-3

21.

f( t )=-sen( 1 2 t+ 5π 3 ) f( t )=-sen( 1 2 t+ 5π 3 )

22.

f( x )=4sen( π 2 ( x-3 ) )+7 f( x )=4sen( π 2 ( x-3 ) )+7

23.

Determine la amplitud, la línea media, el periodo y una ecuación que implique la función seno para el gráfico que se muestra en la Figura 26.

Gráfico sinusoidal con amplitud de 2, rango de [-5, -1], periodo de 4 y línea media en y=-3.
Figura 26
24.

Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el coseno para el gráfico que se muestra en la Figura 27.

Gráfico con una función coseno matriz, con amplitud de 3, periodo de pi, línea media en y=-1, y rango de [-4,2]
Figura 27
25.

Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el coseno para el gráfico que se muestra en la Figura 28.

Gráfico con una función coseno matriz, con amplitud de 2, periodo de 5, línea media en y=3, y rango de [1,5].
Figura 28
26.

Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el seno para el gráfico que se muestra en la Figura 29.

Gráfico sinusoidal con amplitud de 4, periodo de 10, línea media en y=0, y rango [-4,4].
Figura 29
27.

Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el coseno para el gráfico que se muestra en Figura 30.

Gráfico con una función coseno matriz, donde el rango de la función es [-4,4], la amplitud de 4 y el periodo de 2.
Figura 30
28.

Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el seno para el gráfico que se muestra en la Figura 31.

Gráfico con la función seno matriz. Amplitud 2, periodo 2, línea media y=0
Figura 31
29.

Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el coseno para el gráfico que se muestra en la Figura 32.

Gráfico con la función coseno matriz. Amplitud 2, periodo 2, línea media y=1
Figura 32
30.

Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el seno para el gráfico que se muestra en la Figura 33.

Gráfico con una función seno matriz. Amplitud 1, periodo 4 y línea media y=0.
Figura 33

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, supongamos que f(x)=senx. f(x)=senx.

31.

En [ 0,2π ), [ 0,2π ), resuelva f( x )=0. f( x )=0.

32.

En [ 0,2π ), [ 0,2π ), resuelva f( x )= 1 2 . f( x )= 1 2 .

33.

Evalúe f( π 2 ). f( π 2 ).

34.

En [0,2π),f(x)= 2 2 . [0,2π),f(x)= 2 2 . Calcule todos los valores de x. x.

35.

En [ 0,2π ), [ 0,2π ), ¿el valor o los valores máximos de la función se producen en qué valor o valores de x?

36.

En [ 0,2π ), [ 0,2π ), ¿en qué valores de x se producen los valores mínimos de la función?

37.

Demuestre que f(-x)=-f(x). f(-x)=-f(x). Esto significa que f(x)=senx f(x)=senx es una función impar y posee simetría con respecto a ________________.

En los siguientes ejercicios, supongamos que f(x)=cosx. f(x)=cosx.

38.

En [ 0,2π ), [ 0,2π ), resuelva la ecuación f(x)=cosx=0. f(x)=cosx=0.

39.

En [ 0,2π ), [ 0,2π ), resuelva f(x)= 1 2 . f(x)= 1 2 .

40.

En [ 0,2π ), [ 0,2π ), halle las intersecciones en x de f(x)=cosx. f(x)=cosx.

41.

En [ 0,2π ), [ 0,2π ), halle los valores de x en los que la función tiene un valor máximo o mínimo.

42.

En [ 0,2π ), [ 0,2π ), resuelva la ecuación f(x)= 3 2 . f(x)= 3 2 .

En tecnología

43.

Grafique h(x)=x+senx h(x)=x+senx en [ 0,2π ]. [ 0,2π ]. Explique por qué el gráfico aparece como lo hace.

44.

Grafique h(x)=x+senx h(x)=x+senx en [ 100,100 ]. [ 100,100 ]. ¿El gráfico apareció como se predijo en el ejercicio anterior?

45.

Grafique f(x)=xsenx f(x)=xsenx en [ 0,2π ] [ 0,2π ] y explique cómo varía el gráfico de f(x)=senx. f(x)=senx.

46.

Grafique f(x)=xsenx f(x)=xsenx en la ventana [ −10,10 ] [ −10,10 ] y explique lo que muestra el gráfico.

47.

Grafique f(x)= senx x f(x)= senx x en la ventana [ −5π,5π ] [ −5π,5π ] y explique lo que muestra el gráfico.

Aplicaciones en el mundo real

48.

Una rueda de la fortuna tiene 25 metros de diámetro y se aborda desde una plataforma que está a 1 metro del suelo. La posición de las seis en punto de la rueda de la fortuna está al nivel de la plataforma de carga. La rueda completa 1 revolución completa en 10 minutos. La función h( t ) h( t ) da la altura de una persona en metros sobre el suelo t minutos después de que la rueda de la fortuna comience a girar.

  1. Halle la amplitud, la línea media y el periodo de h( t ). h( t ).
  2. Halle una fórmula para la función de altura h( t ). h( t ).
  3. ¿A qué altura se encuentra una persona después de 5 minutos?
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