Jay Abramson

Examen de práctica

En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de cada función para dos periodos completos. Determine la amplitud, el periodo y la ecuación de la línea media.

1.

$f (x) = 0,5 sen x$

2.

$f (x) = 5 \cos x$

3.

$f (x) = 5 sen x$

4.

$f (x) = sen (3 x)$

5.

$f (x) = - \cos (x + \frac{π}{3}) + 1$

6.

$f (x) = 5 sen (3 (x - \frac{π}{6})) + 4$

7.

$f (x) = 3 \cos (\frac{1}{3} x - \frac{5 π}{6})$

8.

$f (x) = \tan (4 x)$

9.

$f (x) = - 2 \tan (x - \frac{7 π}{6}) + 2$

10.

$f (x) = π \cos (3 x + π)$

11.

$f (x) = 5 \csc (3 x)$

12.

$f (x) = π \sec (\frac{π}{2} x)$

13.

$f (x) = 2 \csc (x + \frac{π}{4}) - 3$

En los siguientes ejercicios, determine la amplitud, el periodo y la línea media del gráfico; luego halle una fórmula para la función.

14.

Indique en términos de una función seno.

Gráfico de dos periodos de una función seno, graficada de -2 a 2. El rango es [-6,-2], el periodo es 2 y la amplitud es 2.

15.

Indique en términos de una función seno.

Gráfico de dos periodos de una función seno, graficada de -2 a 2. El rango es [-2,2], el periodo es 2 y la amplitud es 2.

16.

Indique en términos de una función tangente.

Gráfico de dos periodos de una función tangente, graficada de -3pi/4 a 5pi/4. Asíntotas verticales en x=-pi/4, 3pi/4. El periodo es pi.

En los siguientes ejercicios, halle la amplitud, el periodo, el desplazamiento de fase y la línea media.

17.

$y = sen (\frac{π}{6} x + π) - 3$

18.

$y = 8 sen (\frac{7 π}{6} x + \frac{7 π}{2}) + 6$

19.

La temperatura exterior a lo largo de un día puede modelarse como una función sinusoidal. Suponga que sabe que la temperatura es de 68 °F a medianoche y que las temperaturas máxima y mínima durante el día son de 80 °F y 56 °F, respectivamente. Suponiendo que $t$ es el número de horas transcurridas desde la medianoche, halle una función para la temperatura, $D,$ en términos de $t .$

20.

El agua se bombea a un recipiente de almacenamiento y se vacía según una tasa periódica. La profundidad del agua es de 3 pies en su punto más bajo a las 2:00 a. m. y de 71 pies en su punto más alto, lo cual ocurre cada 5 horas. Escriba una función coseno que modele la profundidad del agua en función del tiempo, y luego grafique la función para un periodo.

En los siguientes ejercicios, halle el periodo y el desplazamiento horizontal de cada función.

21.

$g (x) = 3 \tan (6 x + 42)$

22.

$n (x) = 4 \csc (\frac{5 π}{3} x - \frac{20 π}{3})$

23.

Escriba la ecuación del gráfico en la Figura 1 en términos de la función secante y defina el periodo y el desplazamiento de fase.

Gráfico de 2 periodos de una función secante, graficada de -2 a 2. El periodo es 2 y no hay desplazamiento de fase.

Figura 1

24.

Si los valores de $\tan x = 3,$ calcule $\tan (- x) .$

25.

Si los valores de $\sec x = 4,$ calcule $\sec (- x) .$

En los siguientes ejercicios, grafique las funciones en la ventana especificada y responda las preguntas.

26.

Grafique $m (x) = sen (2 x) + \cos (3 x)$ en la ventana de visualización $[- 10, 10]$ entre $[- 3, 3] .$ Calcule aproximadamente el periodo del gráfico.

27.

Grafique $n (x) = 0,02 sen (50 π x)$ en los siguientes dominios en $x :$ $[0, 1]$ y $[0, 3] .$ Supongamos que esta función modela las ondas sonoras. ¿Por qué estas vistas son tan diferentes?

28.

Grafique $f (x) = \frac{sen x}{x}$ en $[- 0,5, 0,5]$ y explique las observaciones.

En los siguientes ejercicios, supongamos que $f (x) = \frac{3}{5} \cos (6 x) .$

29.

¿Cuál es el mayor valor posible para $f (x) ?$

30.

¿Cuál es el menor valor posible para $f (x) ?$

31.

¿Dónde es la función creciente en el intervalo $[0, 2 π] ?$

En los siguientes ejercicios, halle y grafique un periodo de la función periódica con la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase dados.

32.

Curva sinusoidal con amplitud 3, periodo $\frac{π}{3},$ y desplazamiento de fase $(h, k) = (\frac{π}{4}, 2)$

33.

Curva coseno con amplitud 2, periodo $\frac{π}{6},$ y desplazamiento de fase $(h, k) = (- \frac{π}{4}, 3)$

En los siguientes ejercicios, grafique la función. Describa el gráfico y, en su caso, cualquier comportamiento periódico, amplitud, asíntotas o puntos indefinidos.

34.

$f (x) = 5 \cos (3 x) + 4 sen (2 x)$

35.

$f (x) = e^{sen t}$

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.

36.

${sen}^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{2})$

37.

$\tan^{- 1} (\sqrt{3})$

38.

$\cos^{- 1} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

39.

$\cos^{- 1} (sen (π))$

40.

$\cos^{- 1} (\tan (\frac{7 π}{4}))$

41.

$\cos ({sen}^{- 1} (1 - 2 x))$

42.

$\cos^{- 1} (- 0,4)$

43.

$\cos (\tan^{- 1} (x^{2}))$

En los siguientes ejercicios, supongamos $sen t = \frac{x}{x + 1} .$ Evalúe las siguientes expresiones.

44.

$\tan t$

45.

$\csc t$

46.

Dada la Figura 2, halle la medida del ángulo $θ$ a tres decimales. Responda en radianes.

Una ilustración de un triángulo rectángulo con ángulo theta. Frente al ángulo theta hay un lado con longitud 12, adyacente al ángulo theta hay un lado con longitud 19.

Figura 2

En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación es verdadera o falsa.

47.

$arcsen (sen (\frac{5 π}{6})) = \frac{5 π}{6}$

48.

$\arccos (\cos (\frac{5 π}{6})) = \frac{5 π}{6}$

49.

La pendiente de una carretera es del 7 %. Esto significa que, por cada distancia horizontal de 100 pies en la carretera, la elevación vertical es de 7 pies. Halle el ángulo que forma la carretera con la horizontal en radianes.