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Precálculo 2ed

Capítulo 7

Precálculo 2edCapítulo 7

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Inténtelo

7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades

1.
cscθcosθtanθ=( 1 senθ )cosθ( senθ cosθ )                    = cosθ senθ ( senθ cosθ )                    = senθcosθ senθcosθ                    =1 cscθcosθtanθ=( 1 senθ )cosθ( senθ cosθ )                    = cosθ senθ ( senθ cosθ )                    = senθcosθ senθcosθ                    =1
2.
cotθ cscθ = cosθ senθ 1 senθ        = cosθ senθ senθ 1        =cosθ cotθ cscθ = cosθ senθ 1 senθ        = cosθ senθ senθ 1        =cosθ
3.

sen 2 θ-1 tanθsenθtanθ = ( senθ+1 )( senθ-1 ) tanθ( senθ-1 ) = senθ+1 tanθ sen 2 θ-1 tanθsenθtanθ = ( senθ+1 )( senθ-1 ) tanθ( senθ-1 ) = senθ+1 tanθ

4.

Esta es una fórmula de diferencia de cuadrados: 259 sen 2 θ=(5-3senθ)(5+3senθ). 259 sen 2 θ=(5-3senθ)(5+3senθ).

5.
cosθ 1+senθ ( 1-senθ 1-senθ )= cosθ(1-senθ) 1- sen 2 θ                                = cosθ(1-senθ) cos 2 θ                                = 1-senθ cosθ cosθ 1+senθ ( 1-senθ 1-senθ )= cosθ(1-senθ) 1- sen 2 θ                                = cosθ(1-senθ) cos 2 θ                                = 1-senθ cosθ

7.2 Identidades de suma y resta

1.

2 + 6 4 2 + 6 4

2.

2 - 6 4 2 - 6 4

3.

1- 3 1+ 3 1- 3 1+ 3

4.

cos( 5π 14 ) cos( 5π 14 )

5.
tan(π-θ)= tan(π)-tanθ 1+tan(π)tanθ = 0-tanθ 1+0tanθ =-tanθ tan(π-θ)= tan(π)-tanθ 1+tan(π)tanθ = 0-tanθ 1+0tanθ =-tanθ

7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción

1.

cos( 2α )= 7 32 cos( 2α )= 7 32

2.

cos 4 θ- sen 4 θ=( cos 2 θ+ sen 2 θ )( cos 2 θ- sen 2 θ )=cos( 2θ ) cos 4 θ- sen 4 θ=( cos 2 θ+ sen 2 θ )( cos 2 θ- sen 2 θ )=cos( 2θ )

3.

cos( 2θ )cosθ=( cos 2 θ- sen 2 θ )cosθ= cos 3 θ-cosθ sen 2 θ cos( 2θ )cosθ=( cos 2 θ- sen 2 θ )cosθ= cos 3 θ-cosθ sen 2 θ

4.

10 cos 4 x=10 cos 4 x=10 ( cos 2 x) 2             =10 [ 1+cos(2 x) 2 ] 2 Sustituya la fórmula de reducción para el coseno 2 x.             = 10 4 [1+2cos(2 x)+ cos 2 (2 x)]             = 10 4 + 10 2 cos(2 x)+ 10 4 ( 1+cos2(2 x) 2 ) Sustituya la fórmula de reducción para el coseno 2 x.             = 10 4 + 10 2 cos(2 x)+ 10 8 + 10 8 cos(4x)             = 30 8 +5cos(2 x)+ 10 8 cos(4x)             = 15 4 +5cos(2 x)+ 5 4 cos(4x) 10 cos 4 x=10 cos 4 x=10 ( cos 2 x) 2             =10 [ 1+cos(2 x) 2 ] 2 Sustituya la fórmula de reducción para el coseno 2 x.             = 10 4 [1+2cos(2 x)+ cos 2 (2 x)]             = 10 4 + 10 2 cos(2 x)+ 10 4 ( 1+cos2(2 x) 2 ) Sustituya la fórmula de reducción para el coseno 2 x.             = 10 4 + 10 2 cos(2 x)+ 10 8 + 10 8 cos(4x)             = 30 8 +5cos(2 x)+ 10 8 cos(4x)             = 15 4 +5cos(2 x)+ 5 4 cos(4x)

5.

- 2 5 - 2 5

7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma

1.

1 2 ( cos6θ+cos2θ ) 1 2 ( cos6θ+cos2θ )

2.

1 2 ( sen2x+sen2y ) 1 2 ( sen2x+sen2y )

3.

-2 - 3 4 -2 - 3 4

4.

2sen( 2θ )cos( θ ) 2sen( 2θ )cos( θ )

5.

tanθcotθ- cos 2 θ=( senθ cosθ )( cosθ senθ )- cos 2 θ =1- cos 2 θ = sen 2 θ tanθcotθ- cos 2 θ=( senθ cosθ )( cosθ senθ )- cos 2 θ =1- cos 2 θ = sen 2 θ

7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas

1.

x= 7π 6 , 11π 6 x= 7π 6 , 11π 6

2.

π 3 ±πk π 3 ±πk

3.

θ1,7722±2πk θ1,7722±2πk y θ4,5110±2πk θ4,5110±2πk

4.

cosθ=-1,θ=π cosθ=-1,θ=π

5.

π 2 , 2π 3 , 4π 3 , 3π 2 π 2 , 2π 3 , 4π 3 , 3π 2

7.6 Modelado con funciones trigonométricas

1.

La amplitud es 3, 3, y el periodo es 2 3 . 2 3 .

2.
x 3sen( 3x ) 3sen( 3x )
0 0
π 6 π 6 3
π 3 π 3 0
π 2 π 2 −3 −3
2π 3 2π 3 0
Gráfico de y=3sen(3x), mediante el empleo de los cinco puntos clave: los intervalos de igual longitud representan 1/4 del periodo. Aquí, los puntos están en 0, pi/6, pi/3, pi/2 y 2pi/3.
3.

y=8sen( π 12 t )+32 y=8sen( π 12 t )+32
La temperatura alcanza el punto de congelación al mediodía y a medianoche.

Gráfico de la función y=8sen(pi/12 t) + 32 para la temperatura. La línea media está en 32. El momento cuando la temperatura está a 32 es a medianoche y a mediodía.
4.

desplazamiento inicial =6, constante de amortiguamiento = -6, frecuencia = 2 π 2 π

5.

y=10 e 0,5t cos( πt ) y=10 e 0,5t cos( πt )

6.

y=5cos( 6πt ) y=5cos( 6πt )

7.1 Ejercicios de sección

1.

Las tres funciones, F F, GG y H, H, son pares.

Esto se debe a que F( -x )=sen( -x )sen( -x )=( -senx )( -senx )= sen 2 x=F( x ),G( -x )=cos( -x )cos( -x )=cosxcosx= cos 2 x=G( x ) F( -x )=sen( -x )sen( -x )=( -senx )( -senx )= sen 2 x=F( x ),G( -x )=cos( -x )cos( -x )=cosxcosx= cos 2 x=G( x ) y H( -x )=tan( -x )tan( -x )=( tanx )( tanx )= tan 2 x=H( x ). H( -x )=tan( -x )tan( -x )=( tanx )( tanx )= tan 2 x=H( x ).

3.

Cuando cost=0, cost=0, entonces sect= 1 0 , sect= 1 0 , que es indefinida.

5.

senx senx

7.

secx secx

9.

csct csct

11.

−1 −1

13.

sec 2 x sec 2 x

15.

sen 2 x+1 sen 2 x+1

17.

1 senx 1 senx

19.

1 cotx 1 cotx

21.

tanx tanx

23.

-4secxtanx -4secxtanx

25.

± 1 cot 2 x +1 ± 1 cot 2 x +1

27.

± 1- sen 2 x senx ± 1- sen 2 x senx

29.

Las respuestas variarán. Una prueba de ejemplo:

cosx- cos 3 x=cosx( 1- cos 2 x ) cosx- cos 3 x=cosx( 1- cos 2 x )
=cosx sen 2 x =cosx sen 2 x

31.

Las respuestas variarán. Una prueba de ejemplo:
1+ sen 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x + sen 2 x cos 2 x = sec 2 x+ tan 2 x= tan 2 x+1+ tan 2 x=1+2 tan 2 x 1+ sen 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x + sen 2 x cos 2 x = sec 2 x+ tan 2 x= tan 2 x+1+ tan 2 x=1+2 tan 2 x

33.

Las respuestas variarán. Una prueba de ejemplo:
cos 2 x- tan 2 x=1- sen 2 x-( sec 2 x1 )=1- sen 2 x sec 2 x+1=2 - sen 2 x sec 2 x cos 2 x- tan 2 x=1- sen 2 x-( sec 2 x1 )=1- sen 2 x sec 2 x+1=2 - sen 2 x sec 2 x

35.

Falso

37.

Falso

39.

Comprobado con identidades negativas y pitagóricas

41.

Verdadera 3 sen 2 θ+4 cos 2 θ=3 sen 2 θ+3 cos 2 θ+ cos 2 θ=3( sen 2 θ+ cos 2 θ )+ cos 2 θ=3+ cos 2 θ 3 sen 2 θ+4 cos 2 θ=3 sen 2 θ+3 cos 2 θ+ cos 2 θ=3( sen 2 θ+ cos 2 θ )+ cos 2 θ=3+ cos 2 θ

7.2 Ejercicios de sección

1.

Las identidades de la cofunción se aplican a los ángulos complementarios. Al ver los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo, si uno de esos ángulos mide x, x, el segundo ángulo mide π 2 -x. π 2 -x. Entonces senx=cos( π 2 -x ). senx=cos( π 2 -x ). Lo mismo ocurre con las demás identidades de cofunción. La clave es que los ángulos sean complementarios.

3.

sen( -x )=-senx, sen( -x )=-senx, por lo que senx senx es impar. cos( -x )=cos( 0-x )=cosx, cos( -x )=cos( 0-x )=cosx, por lo que cosx cosx es par.

5.

2 + 6 4 2 + 6 4

7.

6 - 2 4 6 - 2 4

9.

-2 - 3 -2 - 3

11.

- 2 2 senx- 2 2 cosx - 2 2 senx- 2 2 cosx

13.

- 1 2 cosx- 3 2 senx - 1 2 cosx- 3 2 senx

15.

cscθ cscθ

17.

cotx cotx

19.

tan( x 10 ) tan( x 10 )

21.

sen(a-b)=( 4 5 )( 1 3 )-( 3 5 )( 2 2 3 )= 46 2 15 sen(a-b)=( 4 5 )( 1 3 )-( 3 5 )( 2 2 3 )= 46 2 15
cos(a+b)=( 3 5 )( 1 3 )-( 4 5 )( 2 2 3 )= 3-8 2 15 cos(a+b)=( 3 5 )( 1 3 )-( 4 5 )( 2 2 3 )= 3-8 2 15

23.

2 - 6 4 2 - 6 4

25.

senx senx

Gráfico de y=sen(x) de -2pi a 2pi.
27.

cot( π 6 -x ) cot( π 6 -x )

Gráfico de y=cot(pi/6 - x) desde -2pi hasta p; en comparación con el gráfico habitual de y=cot(x), este se refleja a través del eje x y se desplaza en pi/6.
29.

cot( π 4 +x ) cot( π 4 +x )

Gráfico de y=cot(pi/4 + x); en comparación con el gráfico habitual de y=cot(x), este se desplaza en pi/4.
31.

senx 2 + cosx 2 senx 2 + cosx 2

Gráfico de y = sen(x) / rad2 + cos(x) / rad2; parece la curva sen se desplaza en pi/4.
33.

Son iguales.

35.

Son los diferentes; pruebe g( x )=sen( 9x )-cos( 3x )sen( 6x ). g( x )=sen( 9x )-cos( 3x )sen( 6x ).

37.

Son iguales.

39.

Son los diferentes; pruebe g( θ )= 2tanθ 1- tan 2 θ . g( θ )= 2tanθ 1- tan 2 θ .

41.

Son diferentes; pruebe g( x )= tanx-tan( 2 x ) 1+tanxtan( 2 x ) . g( x )= tanx-tan( 2 x ) 1+tanxtan( 2 x ) .

43.

- 3 -1 2 2 , o 0,2588 - 3 -1 2 2 , o 0,2588

45.

1+ 3 2 2 , 1+ 3 2 2 , o 0,9659

47.

tan( x+ π 4 )= tanx+tan( π 4 ) 1-tanxtan( π 4 ) = tanx+1 1-tanx(1) = tanx+1 1-tanx tan( x+ π 4 )= tanx+tan( π 4 ) 1-tanxtan( π 4 ) = tanx+1 1-tanx(1) = tanx+1 1-tanx

49.

cos( a+b ) cosacosb = cosacosb cosacosb senasenb cosacosb =1-tanatanb cos( a+b ) cosacosb = cosacosb cosacosb senasenb cosacosb =1-tanatanb

51.

cos( x+h )-cosx h = cosxcoshsenxsenohcosx h = cosx(cosh1)-senxsenoh h =cosx cosh-1 h senx senh h cos( x+h )-cosx h = cosxcoshsenxsenohcosx h = cosx(cosh1)-senxsenoh h =cosx cosh-1 h senx senh h

53.

Verdadero

55.

Verdadero. Observe que sen( α+β )=sen( πγ ) sen( α+β )=sen( πγ ) y expanda el lado derecho.

7.3 Ejercicios de sección

1.

Utilice las identidades pitagóricas y aísle el término del cuadrado.

3.

1-cosx senx , senx 1+cosx , 1-cosx senx , senx 1+cosx , al multiplicar la parte superior e inferior por 1-cosx 1-cosx y 1+cosx , 1+cosx , respectivamente.

5.

a) 3 7 32 3 7 32 b) 31 32 31 32 c) 3 7 31 3 7 31

7.

a) 3 2 3 2 b) 1 2 1 2 c) 3 3

9.

cosθ=- 2 5 5 ,senθ= 5 5 ,tanθ=- 1 2 ,cscθ= 5 ,secθ=- 5 2 ,cotθ=-2 cosθ=- 2 5 5 ,senθ= 5 5 ,tanθ=- 1 2 ,cscθ= 5 ,secθ=- 5 2 ,cotθ=-2

11.

2sen( π 2 ) 2sen( π 2 )

13.

2 - 2 2 2 - 2 2

15.

2 - 3 2 2 - 3 2

17.

2 + 3 2 + 3

19.

-1- 2 -1- 2

21.

a) 3 13 13 3 13 13 b) 2 13 13 2 13 13 c) 3 2 3 2

23.

a) 10 4 10 4 b) 6 4 6 4 c) 15 3 15 3

25.

120 169 , 119 169 , 120 119 120 169 , 119 169 , 120 119

27.

2 13 13 , 3 13 13 , 2 3 2 13 13 , 3 13 13 , 2 3

29.

cos( 74 ) cos( 74 )

31.

cos(18x) cos(18x)

33.

3sen(10x) 3sen(10x)

35.

-2sen( -x )cos( -x )=-2 (-sen( x )cos( x ))=sen( 2 x ) -2sen( -x )cos( -x )=-2 (-sen( x )cos( x ))=sen( 2 x )

37.

sen( 2θ ) 1+cos( 2θ ) tan 2 θ= 2sen( θ )cos( θ ) 1+ cos 2 θ- sen 2 θ tan 2 θ= 2sen( θ )cos( θ ) 2 cos 2 θ tan 2 θ= sen( θ ) cosθ tan 2 θ= tan θ tan 2 θ=tan3θ sen( 2θ ) 1+cos( 2θ ) tan 2 θ= 2sen( θ )cos( θ ) 1+ cos 2 θ- sen 2 θ tan 2 θ= 2sen( θ )cos( θ ) 2 cos 2 θ tan 2 θ= sen( θ ) cosθ tan 2 θ= tan θ tan 2 θ=tan3θ

39.

1+cos(12x) 2 1+cos(12x) 2

41.

3+cos(12x)-4cos(6x) 8 3+cos(12x)-4cos(6x) 8

43.

2 +cos(2 x)-2cos(4x)-cos(6x) 32 2 +cos(2 x)-2cos(4x)-cos(6x) 32

45.

3+cos(4x)-4cos(2 x) 3+cos(4x)+4cos(2 x) 3+cos(4x)-4cos(2 x) 3+cos(4x)+4cos(2 x)

47.

1-cos(4x) 8 1-cos(4x) 8

49.

3+cos(4x)-4cos(2 x) 4(cos(2 x)+1) 3+cos(4x)-4cos(2 x) 4(cos(2 x)+1)

51.

( 1+cos( 4x ) )senx 2 ( 1+cos( 4x ) )senx 2

53.

4senxcosx( cos 2 x- sen 2 x ) 4senxcosx( cos 2 x- sen 2 x )

55.

2tanx 1+ tan 2 x = 2senx cosx 1+ sen 2 x cos 2 x = 2senx cosx cos 2 x+ sen 2 x cos 2 x = 2tanx 1+ tan 2 x = 2senx cosx 1+ sen 2 x cos 2 x = 2senx cosx cos 2 x+ sen 2 x cos 2 x =
2senx cosx . cos 2 x 1 =2senxcosx=sen(2 x) 2senx cosx . cos 2 x 1 =2senxcosx=sen(2 x)

57.

2senxcosx 2 cos 2 x1 = sen(2 x) cos(2 x) =tan(2 x) 2senxcosx 2 cos 2 x1 = sen(2 x) cos(2 x) =tan(2 x)

59.

sen(x+2 x)=senxcos(2 x)+sen(2 x)cosx =senx( cos 2 x- sen 2 x)+2senxcosxcosx =senx cos 2 x- sen 3 x+2senx cos 2 x =3senx cos 2 x- sen 3 x sen(x+2 x)=senxcos(2 x)+sen(2 x)cosx =senx( cos 2 x- sen 2 x)+2senxcosxcosx =senx cos 2 x- sen 3 x+2senx cos 2 x =3senx cos 2 x- sen 3 x

61.

1+cos(2 t) sen(2 t)-cost = 1+2 cos 2 t-1 2sentcostcost = 2 cos 2 t cost(2sent-1) = 2cost 2sent-1 1+cos(2 t) sen(2 t)-cost = 1+2 cos 2 t-1 2sentcostcost = 2 cos 2 t cost(2sent-1) = 2cost 2sent-1

63.

( cos 2 (4x)- sen 2 (4x)-sen(8x))( cos 2 (4x)- sen 2 (4x)+sen(8x) )= =( cos(8x)-sen(8x))(cos(8x)+sen(8x) ) = cos 2 (8x)- sen 2 (8x) =cos(16x) ( cos 2 (4x)- sen 2 (4x)-sen(8x))( cos 2 (4x)- sen 2 (4x)+sen(8x) )= =( cos(8x)-sen(8x))(cos(8x)+sen(8x) ) = cos 2 (8x)- sen 2 (8x) =cos(16x)

7.4 Ejercicios de sección

1.

Sustituya α α en coseno y β β en seno y evalúe.

3.

Las respuestas variarán. Hay algunas ecuaciones que implican la suma de dos expresiones trigonométricas y que, al convertirlas en producto, son más fáciles de resolver. Por ejemplo: sen(3x)+senx cosx =1. sen(3x)+senx cosx =1. Al convertir el numerador en un producto, la ecuación se convierte en: 2sen(2 x)cosx cosx =1 2sen(2 x)cosx cosx =1

5.

8( cos( 5x )-cos( 27x ) ) 8( cos( 5x )-cos( 27x ) )

7.

sen( 2 x )+sen( 8x ) sen( 2 x )+sen( 8x )

9.

1 2 ( cos( 6x )-cos( 4x ) ) 1 2 ( cos( 6x )-cos( 4x ) )

11.

2cos( 5t )cost 2cos( 5t )cost

13.

2cos( 7x ) 2cos( 7x )

15.

2cos( 6x )cos( 3x ) 2cos( 6x )cos( 3x )

17.

1 4 ( 1+ 3 ) 1 4 ( 1+ 3 )

19.

1 4 ( 3 -2 ) 1 4 ( 3 -2 )

21.

1 4 ( 3 -1 ) 1 4 ( 3 -1 )

23.

cos( 80° )-cos( 120° ) cos( 80° )-cos( 120° )

25.

1 2 (sen(221°)+sen(205°)) 1 2 (sen(221°)+sen(205°))

27.

2 cos( 31° ) 2 cos( 31° )

29.

2cos(66,5°)sen(34,5°) 2cos(66,5°)sen(34,5°)

31.

2sen( −1,5° )cos( 0,5° ) 2sen( −1,5° )cos( 0,5° )

33.

2sen(7x)-2senx=2sen(4x+3x)-2sen(4x-3x)= 2 (sen(4x)cos(3x)+sen(3x)cos(4x))-2 (sen(4x)cos(3x)-sen(3x)cos(4x))= 2sen(4x)cos(3x)+2sen(3x)cos(4x))-2sen(4x)cos(3x)+2sen(3x)cos(4x))= 4sen(3x)cos(4x) 2sen(7x)-2senx=2sen(4x+3x)-2sen(4x-3x)= 2 (sen(4x)cos(3x)+sen(3x)cos(4x))-2 (sen(4x)cos(3x)-sen(3x)cos(4x))= 2sen(4x)cos(3x)+2sen(3x)cos(4x))-2sen(4x)cos(3x)+2sen(3x)cos(4x))= 4sen(3x)cos(4x)

35.

senx+sen( 3x )=2sen( 4x 2 )cos( 2 x 2 )= senx+sen( 3x )=2sen( 4x 2 )cos( 2 x 2 )=
2sen(2 x)cosx=2 (2senxcosx)cosx= 2sen(2 x)cosx=2 (2senxcosx)cosx=
4senx cos 2 x 4senx cos 2 x

37.

2tanxcos( 3x )= 2senxcos(3x) cosx = 2 (0,5(sen(4x)-sen(2 x))) cosx 2tanxcos( 3x )= 2senxcos(3x) cosx = 2 (0,5(sen(4x)-sen(2 x))) cosx
= 1 cosx ( sen(4x)-sen(2 x) )=secx( sen( 4x )-sen( 2 x ) ) = 1 cosx ( sen(4x)-sen(2 x) )=secx( sen( 4x )-sen( 2 x ) )

39.

2cos( 35 )cos( 23 ), 10,5081 2cos( 35 )cos( 23 ), 10,5081

41.

-2sen( 33 )sen( 11 ),0,2078 -2sen( 33 )sen( 11 ),0,2078

43.

1 2 ( cos( 99 )-cos( 71 ) ),0,2410 1 2 ( cos( 99 )-cos( 71 ) ),0,2410

45.

Es una identidad.

47.

No es una identidad, sino 2 cos 3 x 2 cos 3 x .

49.

tan( 3t ) tan( 3t )

51.

2cos( 2 x ) 2cos( 2 x )

53.

-sen(14x) -sen(14x)

55.

Comience con cosx+cosy. cosx+cosy. Haga una sustitución; supongamos que x=α+β x=α+β y supongamos que y=α-β, y=α-β, por lo que cosx+cosy cosx+cosy se convierte en
cos(α+β)+cos(α-β)=cosαcosβsenαsenβ+cosαcosβ+senαsenβ=2cosαcosβcos(α+β)+cos(α-β)=cosαcosβsenαsenβ+cosαcosβ+senαsenβ=2cosαcosβ

Dado que x=α+β x=α+β y y=α-β, y=α-β, podemos resolver para α α y β β en términos de x y de y, sustituir por 2cosαcosβ 2cosαcosβ y obtener 2cos( x+y 2 )cos( x-y 2 ). 2cos( x+y 2 )cos( x-y 2 ).

57.

cos( 3x )+cosx cos( 3x )-cosx = 2cos( 2 x )cosx -2sen( 2 x )senx =-cot( 2 x )cotx cos( 3x )+cosx cos( 3x )-cosx = 2cos( 2 x )cosx -2sen( 2 x )senx =-cot( 2 x )cotx

59.

cos( 2y )-cos( 4y ) sen( 2y )+sen( 4y ) = -2sen( 3y )sen( y ) 2sen( 3y )cosy = 2sen( 3y )sen( y ) 2sen( 3y )cosy =tany cos( 2y )-cos( 4y ) sen( 2y )+sen( 4y ) = -2sen( 3y )sen( y ) 2sen( 3y )cosy = 2sen( 3y )sen( y ) 2sen( 3y )cosy =tany

61.

cosx-cos( 3x )=-2sen(2 x)sen(-x)= 2 (2senxcosx)senx=4 sen 2 xcosx cosx-cos( 3x )=-2sen(2 x)sen(-x)= 2 (2senxcosx)senx=4 sen 2 xcosx

63.

tan( π 4 -t )= tan( π 4 )-tant 1+tan( π 4 )tan(t) = 1-tant 1+tant tan( π 4 -t )= tan( π 4 )-tant 1+tan( π 4 )tan(t) = 1-tant 1+tant

7.5 Ejercicios de sección

1.

No siempre habrá soluciones a las ecuaciones de las funciones trigonométricas. Para un ejemplo básico, cos(x)=−5. cos(x)=−5.

3.

Si la función seno o coseno tiene un coeficiente de uno, aísle el término a un lado del signo de igualdad. Si el número al que se iguala tiene un valor absoluto menor o igual que uno, la ecuación tiene solución, en caso contrario, no. Si el seno o el coseno no tienen un coeficiente igual a uno, aísle el término, pero divida ambos lados de la ecuación entre el coeficiente principal. Entonces, si el número al que se iguala tiene un valor absoluto mayor que uno, la ecuación no tiene solución.

5.

π 3 , 2π 3 π 3 , 2π 3

7.

3π 4 , 5π 4 3π 4 , 5π 4

9.

π 4 , 5π 4 π 4 , 5π 4

11.

π 4 , 3π 4 , 5π 4 , 7π 4 π 4 , 3π 4 , 5π 4 , 7π 4

13.

π 4 , 7π 4 π 4 , 7π 4

15.

7π 6 , 11π 6 7π 6 , 11π 6

17.

π 18 π 18 , 5π 18 5π 18 , 13π 18 13π 18 , 17π 18 17π 18 , 25π 18 25π 18 , 29π 18 29π 18

19.

3π 12 , 5π 12 , 11π 12 , 13π 12 , 19π 12 , 21π 12 3π 12 , 5π 12 , 11π 12 , 13π 12 , 19π 12 , 21π 12

21.

1 6 , 5 6 , 13 6 , 17 6 , 25 6 , 29 6 , 37 6 1 6 , 5 6 , 13 6 , 17 6 , 25 6 , 29 6 , 37 6

23.

0, π 3 ,π, 5π 3 0, π 3 ,π, 5π 3

25.

π 3 ,π, 5π 3 π 3 ,π, 5π 3

27.

π 3 , 3π 2 , 5π 3 π 3 , 3π 2 , 5π 3

29.

0,π 0,π

31.

π sen 1 ( - 1 4 ), 7π 6 , 11π 6 ,2π+ sen 1 ( - 1 4 ) π sen 1 ( - 1 4 ), 7π 6 , 11π 6 ,2π+ sen 1 ( - 1 4 )

33.

1 3 ( sen 1 ( 9 10 ) ), 1 3 ( sen 1 ( 9 10 ) ), π 3 - 1 3 ( sen 1 ( 9 10 ) ), π 3 - 1 3 ( sen 1 ( 9 10 ) ), 2π 3 + 1 3 ( sen 1 ( 9 10 ) ), 2π 3 + 1 3 ( sen 1 ( 9 10 ) ), π- 1 3 ( sen 1 ( 9 10 ) ), π- 1 3 ( sen 1 ( 9 10 ) ), 4π 3 + 1 3 ( sen 1 ( 9 10 ) ), 4π 3 + 1 3 ( sen 1 ( 9 10 ) ), 5π 3 - 1 3 ( sen 1 ( 9 10 ) ) 5π 3 - 1 3 ( sen 1 ( 9 10 ) )

35.

0 0

37.

θ=sen 12 3,θ=sen 12 3, π sen 12 3,π sen 12 3, π+sen 12 3,π+sen 12 3, 2π sen 12 32π sen 12 3

39.

3π 2 , π 6 , 5π 6 3π 2 , π 6 , 5π 6

41.

0, π 3 ,π, 4π 3 0, π 3 ,π, 4π 3

43.

No hay soluciones.

45.

cos 1 ( 1 3 ( 1- 7 ) ),2π cos 1 ( 1 3 ( 1- 7 ) ) cos 1 ( 1 3 ( 1- 7 ) ),2π cos 1 ( 1 3 ( 1- 7 ) )

47.

tan -1 ( 1 2 ( 29 5 ) ),π+ tan -1 ( 1 2 ( 29 5 ) ),π+ tan -1 ( 1 2 ( 29 5 ) ),2π+ tan -1 ( 1 2 ( 29 5 ) ) tan -1 ( 1 2 ( 29 5 ) ),π+ tan -1 ( 1 2 ( 29 5 ) ),π+ tan -1 ( 1 2 ( 29 5 ) ),2π+ tan -1 ( 1 2 ( 29 5 ) )

49.

No hay soluciones.

51.

No hay soluciones.

53.

0, 2π 3 , 4π 3 0, 2π 3 , 4π 3

55.

π 4 , 3π 4 , 5π 4 , 7π 4 π 4 , 3π 4 , 5π 4 , 7π 4

57.

sen 1 ( 3 5 ), π 2 ,π sen 1 ( 3 5 ), 3π 2 sen 1 ( 3 5 ), π 2 ,π sen 1 ( 3 5 ), 3π 2

59.

cos 1 ( - 1 4 ) cos 1 ( - 1 4 ), 2π cos 1 ( - 1 4 ) 2π cos 1 ( - 1 4 )

61.

π 3 , cos 1 ( - 3 4 ),2π cos 1 ( - 3 4 ), 5π 3 π 3 , cos 1 ( - 3 4 ),2π cos 1 ( - 3 4 ), 5π 3

63.

cos 1 ( 3 4 ), cos 1 ( 2 3 ),2π cos 1 ( 2 3 ) cos 1 ( 3 4 ), cos 1 ( 2 3 ),2π cos 1 ( 2 3 ), 2π cos 1 ( 3 4 ) 2π cos 1 ( 3 4 )

65.

0, π 2 ,π, 3π 2 0, π 2 ,π, 3π 2

67.

π 3 , cos −1 ( - 1 4 ),2π cos −1 ( - 1 4 ), 5π 3 π 3 , cos −1 ( - 1 4 ),2π cos −1 ( - 1 4 ), 5π 3

69.

No hay soluciones.

71.

π+ tan –1 ( −2 ) π+ tan –1 ( −2 ), π+ tan –1 ( - 3 2 ),π+ tan –1 ( - 3 2 ), 2π+ tan –1 ( −2 ),2π+ tan –1 ( −2 ), 2π+ tan –1 ( - 3 2 ) 2π+ tan –1 ( - 3 2 )

73.

2πk+0,2734,2πk+2,8682 2πk+0,2734,2πk+2,8682

75.

πk0,3277 πk0,3277

77.

0,6694,1,8287,3,8110,4,9703 0,6694,1,8287,3,8110,4,9703

79.

1,0472,3,1416,5,2360 1,0472,3,1416,5,2360

81.

0,5326,1,7648,3,6742,4,9064 0,5326,1,7648,3,6742,4,9064

83.

sen 1 ( 1 4 ),π sen 1 ( 1 4 ), 3π 2 sen 1 ( 1 4 ),π sen 1 ( 1 4 ), 3π 2

85.

π 2 , 3π 2 π 2 , 3π 2

87.

No hay soluciones.

89.

0, π 2 ,π, 3π 2 0, π 2 ,π, 3π 2

91.

No hay soluciones.

93.

7,2 7,2

95.

5,7 5,7

97.

82,4 82,4

99.

31,0 31,0

101.

88,7 88,7

103.

59,0 59,0

105.

36,9 36,9

7.6 Ejercicios de sección

1.

El comportamiento físico debería ser periódico o cíclico.

3.

Dado que el índice pluviométrico acumulado siempre va en ascenso, la función sinusoidal no sería lo ideal en este caso.

5.

y=-3cos( π 6 x )-1 y=-3cos( π 6 x )-1

7.

5sen(2 x)+2 5sen(2 x)+2

8.

y= 4 6cos( xπ 2 ) y=4 6cos( xπ 2 )

10.

y= tan( xπ 8 ) y= tan( xπ 8 )

12.

tan( xπ 12 ) tan( xπ 12 )

13.
15.
17.

75 °F

19.

8 a. m.

21.

2:49

23.

Desde el 15 de junio hasta el 16 de noviembre.

25.

Desde el día 31 hasta el día 58.

27.

Temporada lluviosa: del 16 de abril al 15 de julio. Temporada seca: del 16 de octubre al 15 de enero.

29.

Amplitud: 8, periodo: 1 3 , 1 3 , frecuencia: 3 Hz

31.

Amplitud: 4, periodo: 4 , 4 , frecuencia: 1 4 1 4 Hz

33.

P(t)=19cos( π 6 t )+800+ 160 12 t P(t)=19cos( π 6 t )+800+ 40 3 t P(t)=19cos( π 6 t )+800+ 160 12 t P(t)=19cos( π 6 t )+800+ 40 3 t

35.

P(t)=33cos( π 6 t )+900+ ( 1,07 ) t P(t)=33cos( π 6 t )+900+ ( 1,07 ) t

37.

D(t)=10 ( 0,85 ) t cos( 36πt ) D(t)=10 ( 0,85 ) t cos( 36πt )

39.

D(t)=17 ( 0,9145 ) t cos( 28πt ) D(t)=17 ( 0,9145 ) t cos( 28πt )

41.

6 años

43.

15,4 segundos

45.

El resorte 2 entra en reposo después de 7,3 segundos.

47.

234,3 millas, a 72,2°

49.

y=6 ( 4 ) x +5sen( π 2 x ) y=6 ( 4 ) x +5sen( π 2 x )

51.

y=4 ( 2 ) x +8sen( π 2 x ) y=4 ( 2 ) x +8sen( π 2 x )

53.

y=3 ( 2 ) x cos( π 2 x ) +1 y=3 ( 2 ) x cos( π 2 x ) +1

Ejercicios de repaso

1.

sen 1 ( 3 3 ),π sen 1 ( 3 3 ),π+ sen 1 ( 3 3 ),2π sen 1 ( 3 3 ) sen 1 ( 3 3 ),π sen 1 ( 3 3 ),π+ sen 1 ( 3 3 ),2π sen 1 ( 3 3 )

3.

7π 6 , 11π 6 7π 6 , 11π 6

5.

sen 1 ( 1 4 ),π sen 1 ( 1 4 ) sen 1 ( 1 4 ),π sen 1 ( 1 4 )

7.

1 1

9.

11.

-2 - 3 -2 - 3

13.

2 2 2 2

15.

cos( 4x )-cos( 3x )cosx=cos( 2 x+2 x )-cos( x+2 x )cosx                                   =cos( 2 x )cos( 2 x )-sen( 2 x )sen( 2 x )-cosxcos( 2 x )cosx+senxsen( 2 x )cosx                                   = ( cos 2 x- sen 2 x ) 2 -4 cos 2 x sen 2 x- cos 2 x( cos 2 x- sen 2 x )+senx( 2 )senxcosxcosx                                   = ( cos 2 x- sen 2 x ) 2 -4 cos 2 x sen 2 x- cos 2 x( cos 2 x- sen 2 x )+2 sen 2 x cos 2 x                                   = cos 4 x-2 cos 2 x sen 2 x+ sen 4 x-4 cos 2 x sen 2 x- cos 4 x+ cos 2 x sen 2 x+2 sen 2 x cos 2 x                                   = sen 4 x-4 cos 2 x sen 2 x+ cos 2 x sen 2 x                                   = sen 2 x( sen 2 x+ cos 2 x )-4 cos 2 x sen 2 x                                   = sen 2 x-4 cos 2 x sen 2 x cos( 4x )-cos( 3x )cosx=cos( 2 x+2 x )-cos( x+2 x )cosx                                   =cos( 2 x )cos( 2 x )-sen( 2 x )sen( 2 x )-cosxcos( 2 x )cosx+senxsen( 2 x )cosx                                   = ( cos 2 x- sen 2 x ) 2 -4 cos 2 x sen 2 x- cos 2 x( cos 2 x- sen 2 x )+senx( 2 )senxcosxcosx                                   = ( cos 2 x- sen 2 x ) 2 -4 cos 2 x sen 2 x- cos 2 x( cos 2 x- sen 2 x )+2 sen 2 x cos 2 x                                   = cos 4 x-2 cos 2 x sen 2 x+ sen 4 x-4 cos 2 x sen 2 x- cos 4 x+ cos 2 x sen 2 x+2 sen 2 x cos 2 x                                   = sen 4 x-4 cos 2 x sen 2 x+ cos 2 x sen 2 x                                   = sen 2 x( sen 2 x+ cos 2 x )-4 cos 2 x sen 2 x                                   = sen 2 x-4 cos 2 x sen 2 x

17.

tan( 5 8 x ) tan( 5 8 x )

19.

3 3 3 3

21.

24 25 ,- 7 25 , 24 7 24 25 ,- 7 25 , 24 7

23.

2( 2 + 2 ) 2( 2 + 2 )

25.

2 10 , 7 2 10 , 1 7 , 3 5 , 4 5 , 3 4 2 10 , 7 2 10 , 1 7 , 3 5 , 4 5 , 3 4

27.

cotxcos(2 x)=cotx(1-2 sen 2 x)                     =cotx- cosx senx (2 ) sen 2 x                     =-2senxcosx+cotx                     =-sen(2 x)+cotx cotxcos(2 x)=cotx(1-2 sen 2 x)                     =cotx- cosx senx (2 ) sen 2 x                     =-2senxcosx+cotx                     =-sen(2 x)+cotx

29.

10senx-5sen( 3x )+sen( 5x ) 8( cos( 2 x )+1 ) 10senx-5sen( 3x )+sen( 5x ) 8( cos( 2 x )+1 )

31.

3 2 3 2

33.

- 2 2 - 2 2

35.

1 2 ( sen(6x)+sen(12x) ) 1 2 ( sen(6x)+sen(12x) )

37.

2sen( 13 2 x )cos( 9 2 x ) 2sen( 13 2 x )cos( 9 2 x )

39.

3π 4 , 7π 4 3π 4 , 7π 4

41.

0, π 6 , 5π 6 ,π 0, π 6 , 5π 6 ,π

43.

3π 2 3π 2

45.

No hay solución

47.

0,2527,2,8889,4,7124 0,2527,2,8889,4,7124

49.

1,3694 1,3694, 1,91061,9106, 4,37264,3726, 4,9137 4,9137

51.

3sen( xπ 2 )-2 3sen( xπ 2 )-2

53.

71,6 71,6

55.

P(t)=950450sen( π 6 t ) P(t)=950450sen( π 6 t )

57.

Amplitud: 3, periodo: 2, frecuencia: 1 2 1 2 Hz

59.

C(t)=20sen(2πt)+100 (1,4427) t C(t)=20sen(2πt)+100 (1,4427) t

Examen de práctica

1.

1

3.

2 - 6 4 2 - 6 4

5.

- 2 - 3 - 2 - 3

7.

0,π 0,π

9.

π 2 , 2 π 2 , 2

11.

2cos(3x)cos(5x)2cos(3x)cos(5x)

13.

x=cos-1 ( 1 5 ) x=cos-1 ( 1 5 )

15.

3 5 ,- 4 5 , - 3 4 3 5 ,- 4 5 , - 3 4

17.

tan3xtan x sec2x =tanx(tan2xsec2x) =tanx(tan2x(1+tan2x)) =tanx(tan2x-1tan2x) =tanx=tan(x)=tanx) tan3xtan x sec2x =tanx(tan2xsec2x) =tanx(tan2x(1+tan2x)) =tanx(tan2x-1tan2x) =tanx=tan(x)=tanx)

19.

sen(2 x)senxcos(2 x)cosx =2sen x cosxsenx2cos2x-1cosx =2cosx2cosx+1cosx = 1cosx=secx=secx sen(2 x)senxcos(2 x)cosx =2sen x cosxsenx2cos2x-1cosx =2cosx2cosx+1cosx = 1cosx=secx=secx

21.

Amplitud: 14 14 , periodo 160 160 , frecuencia: 60 Hz

23.

Amplitud: 8 8 , periodo rápido: 1500 1500 , frecuencia rápida: 500 Hz, periodo lento: 110 110 , frecuencia lenta: 10 Hz

25.

D(t)=20(0,9086)tcos(4πt) D(t)=20(0,9086)tcos(4πt), 31 segundos

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