Jay Abramson

Inténtelo

7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades

1.

\begin{array}{l} \csc θ \cos θ \tan θ = (\frac{1}{sen θ}) \cos θ (\frac{sen θ}{\cos θ}) \\ = \frac{\cos θ}{sen θ} (\frac{sen θ}{\cos θ}) \\ = \frac{sen θ \cos θ}{sen θ \cos θ} \\ = 1 \end{array}

2.

\begin{array}{l} \frac{\cot θ}{\csc θ} = \frac{\frac{\cos θ}{sen θ}}{\frac{1}{sen θ}} \\ = \frac{\cos θ}{sen θ} \cdot \frac{sen θ}{1} \\ = \cos θ \end{array}

3.

$\begin{matrix} \frac{{sen}^{2} θ - 1}{\tan θ sen θ - \tan θ} = \frac{(sen θ + 1) (sen θ - 1)}{\tan θ (sen θ - 1)} \\ = \frac{sen θ + 1}{\tan θ} \end{matrix}$

4.

Esta es una fórmula de diferencia de cuadrados: $25 - 9 {sen}^{2} θ = (5 - 3 sen θ) (5 + 3 sen θ) .$

5.

\begin{array}{l} \frac{\cos θ}{1 + sen θ} (\frac{1 - sen θ}{1 - sen θ}) = \frac{\cos θ (1 - sen θ)}{1 - {sen}^{2} θ} \\ = \frac{\cos θ (1 - sen θ)}{\cos^{2} θ} \\ = \frac{1 - sen θ}{\cos θ} \end{array}

7.2 Identidades de suma y resta

1.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

2.

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

3.

$\frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

4.

$\cos (\frac{5 π}{14})$

5.

\begin{array}{l} \tan (π - θ) = \frac{\tan (π) - \tan θ}{1 + \tan (π) \tan θ} \\ = \frac{0 - \tan θ}{1 + 0 \cdot \tan θ} \\ = - \tan θ \end{array}

7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción

1.

$\cos (2 α) = \frac{7}{32}$

2.

$\cos^{4} θ - {sen}^{4} θ = (\cos^{2} θ + {sen}^{2} θ) (\cos^{2} θ - {sen}^{2} θ) = \cos (2 θ)$

3.

$\cos (2 θ) \cos θ = (\cos^{2} θ - {sen}^{2} θ) \cos θ = \cos^{3} θ - \cos θ {sen}^{2} θ$

4.

$\begin{array}{l} 10 \cos^{4} x = 10 \cos^{4} x = 10 {(\cos^{2} x)}^{2} \\ = 10 {[\frac{1 + \cos (2 x)}{2}]}^{2} & {Sustituya la fórmula de reducción para el coseno}^{2} x . \\ = \frac{10}{4} [1 + 2 \cos (2 x) + \cos^{2} (2 x)] \\ = \frac{10}{4} + \frac{10}{2} \cos (2 x) + \frac{10}{4} (\frac{1 + \cos 2 (2 x)}{2}) & {Sustituya la fórmula de reducción para el coseno}^{2} x . \\ = \frac{10}{4} + \frac{10}{2} \cos (2 x) + \frac{10}{8} + \frac{10}{8} \cos (4 x) \\ = \frac{30}{8} + 5 \cos (2 x) + \frac{10}{8} \cos (4 x) \\ = \frac{15}{4} + 5 \cos (2 x) + \frac{5}{4} \cos (4 x) \end{array}$

5.

$- \frac{2}{\sqrt{5}}$

7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma

1.

$\frac{1}{2} (\cos 6 θ + \cos 2 θ)$

2.

$\frac{1}{2} (sen 2 x + sen 2 y)$

3.

$\frac{- 2 - \sqrt{3}}{4}$

4.

$2 sen (2 θ) \cos (θ)$

5.

$\begin{array}{l} \tan θ \cot θ - \cos^{2} θ = (\frac{sen θ}{\cos θ}) (\frac{\cos θ}{sen θ}) - \cos^{2} θ \\ = 1 - \cos^{2} θ \\ = {sen}^{2} θ \end{array}$

7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas

1.

$x = \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$

2.

$\frac{π}{3} \pm π k$

3.

$θ \approx 1,7722 \pm 2 π k$ y $θ \approx 4,5110 \pm 2 π k$

4.

$\cos θ = - 1, θ = π$

5.

$\frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{3 π}{2}$

7.6 Modelado con funciones trigonométricas

1.

La amplitud es $3,$ y el periodo es $\frac{2}{3} .$

2.

x	$3 sen (3 x)$
0	0
$\frac{π}{6}$	3
$\frac{π}{3}$	0
$\frac{π}{2}$	$−3$
$\frac{2 π}{3}$	0

Gráfico de y=3sen(3x), mediante el empleo de los cinco puntos clave: los intervalos de igual longitud representan 1/4 del periodo. Aquí, los puntos están en 0, pi/6, pi/3, pi/2 y 2pi/3.

3.

$y = 8 sen (\frac{π}{12} t) + 32$
La temperatura alcanza el punto de congelación al mediodía y a medianoche.

Gráfico de la función y=8sen(pi/12 t) + 32 para la temperatura. La línea media está en 32. El momento cuando la temperatura está a 32 es a medianoche y a mediodía.

4.

desplazamiento inicial =6, constante de amortiguamiento = -6, frecuencia = $\frac{2}{π}$

5.

$y = 10 e^{- 0,5 t} \cos (π t)$

6.

$y = 5 \cos (6 π t)$

7.1 Ejercicios de sección

1.

Las tres funciones, $F$ , $G$ y $H,$ son pares.

Esto se debe a que $F (- x) = sen (- x) sen (- x) = (- sen x) (- sen x) = {sen}^{2} x = F (x), G (- x) = \cos (- x) \cos (- x) = \cos x \cos x = \cos^{2} x = G (x)$ y $H (- x) = \tan (- x) \tan (- x) = (- \tan x) (- \tan x) = \tan^{2} x = H (x) .$

3.

Cuando $\cos t = 0,$ entonces $\sec t = \frac{1}{0},$ que es indefinida.

5.

$sen x$

7.

$\sec x$

9.

$\csc t$

11.

$−1$

13.

$\sec^{2} x$

15.

${sen}^{2} x + 1$

17.

$\frac{1}{sen x}$

19.

$\frac{1}{\cot x}$

21.

$\tan x$

23.

$- 4 \sec x \tan x$

25.

$\pm \sqrt{\frac{1}{\cot^{2} x} + 1}$

27.

$\frac{\pm \sqrt{1 - {sen}^{2} x}}{sen x}$

29.

Las respuestas variarán. Una prueba de ejemplo:

$\cos x - \cos^{3} x = \cos x (1 - \cos^{2} x)$
$= \cos x {sen}^{2} x$

31.

Las respuestas variarán. Una prueba de ejemplo:
$\frac{1 + {sen}^{2} x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{\cos^{2} x} + \frac{{sen}^{2} x}{\cos^{2} x} = \sec^{2} x + \tan^{2} x = \tan^{2} x + 1 + \tan^{2} x = 1 + 2 \tan^{2} x$

33.

Las respuestas variarán. Una prueba de ejemplo:
$\cos^{2} x - \tan^{2} x = 1 - {sen}^{2} x - (\sec^{2} x - 1) = 1 - {sen}^{2} x - \sec^{2} x + 1 = 2 - {sen}^{2} x - \sec^{2} x$

35.

Falso

37.

Falso

39.

Comprobado con identidades negativas y pitagóricas

41.

Verdadera $3 {sen}^{2} θ + 4 \cos^{2} θ = 3 {sen}^{2} θ + 3 \cos^{2} θ + \cos^{2} θ = 3 ({sen}^{2} θ + \cos^{2} θ) + \cos^{2} θ = 3 + \cos^{2} θ$

7.2 Ejercicios de sección

1.

Las identidades de la cofunción se aplican a los ángulos complementarios. Al ver los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo, si uno de esos ángulos mide $x,$ el segundo ángulo mide $\frac{π}{2} - x .$ Entonces $sen x = \cos (\frac{π}{2} - x) .$ Lo mismo ocurre con las demás identidades de cofunción. La clave es que los ángulos sean complementarios.

3.

$sen (- x) = - sen x,$ por lo que $sen x$ es impar. $\cos (- x) = \cos (0 - x) = \cos x,$ por lo que $\cos x$ es par.

5.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

7.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

9.

$- 2 - \sqrt{3}$

11.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} sen x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x$

13.

$- \frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} sen x$

15.

$\csc θ$

17.

$\cot x$

19.

$\tan (\frac{x}{10})$

21.

$sen (a - b) = (\frac{4}{5}) (\frac{1}{3}) - (\frac{3}{5}) (\frac{2 \sqrt{2}}{3}) = \frac{4 - 6 \sqrt{2}}{15}$
$\cos (a + b) = (\frac{3}{5}) (\frac{1}{3}) - (\frac{4}{5}) (\frac{2 \sqrt{2}}{3}) = \frac{3 - 8 \sqrt{2}}{15}$

23.

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

25.

$sen x$

27.

$\cot (\frac{π}{6} - x)$

Gráfico de y=cot(pi/6 - x) desde -2pi hasta p; en comparación con el gráfico habitual de y=cot(x), este se refleja a través del eje x y se desplaza en pi/6.

29.

$\cot (\frac{π}{4} + x)$

Gráfico de y=cot(pi/4 + x); en comparación con el gráfico habitual de y=cot(x), este se desplaza en pi/4.

31.

$\frac{sen x}{\sqrt{2}} + \frac{\cos x}{\sqrt{2}}$

Gráfico de y = sen(x) / rad2 + cos(x) / rad2; parece la curva sen se desplaza en pi/4.

33.

Son iguales.

35.

Son los diferentes; pruebe $g (x) = sen (9 x) - \cos (3 x) sen (6 x) .$

37.

Son iguales.

39.

Son los diferentes; pruebe $g (θ) = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ} .$

41.

Son diferentes; pruebe $g (x) = \frac{\tan x - \tan (2 x)}{1 + \tan x \tan (2 x)} .$

43.

$- \frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{2}}, o - 0,2588$

45.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}},$ o 0,9659

47.

$\begin{matrix} \tan (x + \frac{π}{4}) = \\ \frac{\tan x + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan x \tan (\frac{π}{4})} = \\ \frac{\tan x + 1}{1 - \tan x (1)} = \frac{\tan x + 1}{1 - \tan x} \end{matrix}$

49.

$\begin{matrix} \frac{\cos (a + b)}{\cos a \cos b} = \\ \frac{\cos a \cos b}{\cos a \cos b} - \frac{sen a sen b}{\cos a \cos b} = 1 - \tan a \tan b \end{matrix}$

51.

$\begin{matrix} \frac{\cos (x + h) - \cos x}{h} = \\ \frac{\cos x \cosh - sen x senoh - \cos x}{h} = \\ \frac{\cos x (\cosh - 1) - sen x senoh}{h} = \cos x \frac{\cos h - 1}{h} - sen x \frac{sen h}{h} \end{matrix}$

53.

Verdadero

55.

Verdadero. Observe que $sen (α + β) = sen (π - γ)$ y expanda el lado derecho.

7.3 Ejercicios de sección

1.

Utilice las identidades pitagóricas y aísle el término del cuadrado.

3.

$\frac{1 - \cos x}{sen x}, \frac{sen x}{1 + \cos x},$ al multiplicar la parte superior e inferior por $\sqrt{1 - \cos x}$ y $\sqrt{1 + \cos x},$ respectivamente.

5.

a) $\frac{3 \sqrt{7}}{32}$ b) $\frac{31}{32}$ c) $\frac{3 \sqrt{7}}{31}$

7.

a) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ b) $- \frac{1}{2}$ c) $- \sqrt{3}$

9.

$\cos θ = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}, sen θ = \frac{\sqrt{5}}{5}, \tan θ = - \frac{1}{2}, \csc θ = \sqrt{5}, \sec θ = - \frac{\sqrt{5}}{2}, \cot θ = - 2$

11.

$2 sen (\frac{π}{2})$

13.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

15.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

17.

$2 + \sqrt{3}$

19.

$- 1 - \sqrt{2}$

21.

a) $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ b) $- \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ c) $- \frac{3}{2}$

23.

a) $\frac{\sqrt{10}}{4}$ b) $\frac{\sqrt{6}}{4}$ c) $\frac{\sqrt{15}}{3}$

25.

$\frac{120}{169}, - \frac{119}{169}, - \frac{120}{119}$

27.

$\frac{2 \sqrt{13}}{13}, \frac{3 \sqrt{13}}{13}, \frac{2}{3}$

29.

$\cos (74^{\circ})$

31.

$\cos (18 x)$

33.

$3 sen (10 x)$

35.

$- 2 sen (- x) \cos (- x) = - 2 (- sen (x) \cos (x)) = sen (2 x)$

37.

$\begin{array}{l} \frac{sen (2 θ)}{1 + \cos (2 θ)} \tan^{2} θ = \frac{2 sen (θ) \cos (θ)}{1 + \cos^{2} θ - {sen}^{2} θ} \tan^{2} θ = \\ \frac{2 sen (θ) \cos (θ)}{2 \cos^{2} θ} \tan^{2} θ = \frac{sen (θ)}{\cos θ} \tan^{2} θ = \\ \tan θ \tan^{2} θ = \tan^{3} θ \end{array}$

39.

$\frac{1 + \cos (12 x)}{2}$

41.

$\frac{3 + \cos (12 x) - 4 \cos (6 x)}{8}$

43.

$\frac{2 + \cos (2 x) - 2 \cos (4 x) - \cos (6 x)}{32}$

45.

$\frac{3 + \cos (4 x) - 4 \cos (2 x)}{3 + \cos (4 x) + 4 \cos (2 x)}$

47.

$\frac{1 - \cos (4 x)}{8}$

49.

$\frac{3 + \cos (4 x) - 4 \cos (2 x)}{4 (\cos (2 x) + 1)}$

51.

$\frac{(1 + \cos (4 x)) sen x}{2}$

53.

$4 sen x \cos x (\cos^{2} x - {sen}^{2} x)$

55.

$\frac{2 \tan x}{1 + \tan^{2} x} = \frac{\frac{2 sen x}{\cos x}}{1 + \frac{{sen}^{2} x}{\cos^{2} x}} = \frac{\frac{2 sen x}{\cos x}}{\frac{\cos^{2} x + {sen}^{2} x}{\cos^{2} x}} =$
$\frac{2 sen x}{\cos x} . \frac{\cos^{2} x}{1} = 2 sen x \cos x = sen (2 x)$

57.

$\frac{2 sen x \cos x}{2 \cos^{2} x - 1} = \frac{sen (2 x)}{\cos (2 x)} = \tan (2 x)$

59.

$\begin{array}{l} sen (x + 2 x) = sen x \cos (2 x) + sen (2 x) \cos x \\ = sen x (\cos^{2} x - {sen}^{2} x) + 2 sen x \cos x \cos x \\ = sen x \cos^{2} x - {sen}^{3} x + 2 sen x \cos^{2} x \\ = 3 sen x \cos^{2} x - {sen}^{3} x \end{array}$

61.

$\begin{array}{l} \frac{1 + \cos (2 t)}{sen (2 t) - \cos t} = \frac{1 + 2 \cos^{2} t - 1}{2 sen t \cos t - \cos t} \\ = \frac{2 \cos^{2} t}{\cos t (2 sen t - 1)} \\ = \frac{2 \cos t}{2 sen t - 1} \end{array}$

63.

$\begin{array}{l} (\cos^{2} (4 x) - {sen}^{2} (4 x) - sen (8 x)) (\cos^{2} (4 x) - {sen}^{2} (4 x) + sen (8 x)) = \\ = (\cos (8 x) - sen (8 x)) (\cos (8 x) + sen (8 x)) \\ = \cos^{2} (8 x) - {sen}^{2} (8 x) \\ = \cos (16 x) \end{array}$

7.4 Ejercicios de sección

1.

Sustituya $α$ en coseno y $β$ en seno y evalúe.

3.

Las respuestas variarán. Hay algunas ecuaciones que implican la suma de dos expresiones trigonométricas y que, al convertirlas en producto, son más fáciles de resolver. Por ejemplo: $\frac{sen (3 x) + sen x}{\cos x} = 1.$ Al convertir el numerador en un producto, la ecuación se convierte en: $\frac{2 sen (2 x) \cos x}{\cos x} = 1$

5.

$8 (\cos (5 x) - \cos (27 x))$

7.

$sen (2 x) + sen (8 x)$

9.

$\frac{1}{2} (\cos (6 x) - \cos (4 x))$

11.

$2 \cos (5 t) \cos t$

13.

$2 \cos (7 x)$

15.

$2 \cos (6 x) \cos (3 x)$

17.

$\frac{1}{4} (1 + \sqrt{3})$

19.

$\frac{1}{4} (\sqrt{3} - 2)$

21.

$\frac{1}{4} (\sqrt{3} - 1)$

23.

$\cos (80°) - \cos (120°)$

25.

$\frac{1}{2} (sen (221°) + sen (205°))$

27.

$\sqrt{2} \cos (31°)$

29.

$2 \cos (66,5 °) sen (34,5 °)$

31.

$2 sen (−1,5°) \cos (0,5°)$

33.

$\begin{array}{l} 2 sen (7 x) - 2 sen x = 2 sen (4 x + 3 x) - 2 sen (4 x - 3 x) = \\ 2 (sen (4 x) \cos (3 x) + sen (3 x) \cos (4 x)) - 2 (sen (4 x) \cos (3 x) - sen (3 x) \cos (4 x)) = \\ 2 sen (4 x) \cos (3 x) + 2 sen (3 x) \cos (4 x)) - 2 sen (4 x) \cos (3 x) + 2 sen (3 x) \cos (4 x)) = \\ 4 sen (3 x) \cos (4 x) \end{array}$

35.

$sen x + sen (3 x) = 2 sen (\frac{4 x}{2}) \cos (\frac{- 2 x}{2}) =$
$2 sen (2 x) \cos x = 2 (2 sen x \cos x) \cos x =$
$4 sen x \cos^{2} x$

37.

$2 \tan x \cos (3 x) = \frac{2 sen x \cos (3 x)}{\cos x} = \frac{2 (0,5 (sen (4 x) - sen (2 x)))}{\cos x}$
$= \frac{1}{\cos x} (sen (4 x) - sen (2 x)) = \sec x (sen (4 x) - sen (2 x))$

39.

$2 \cos (35^{\circ}) \cos (23^{\circ}), 1 0,5081$

41.

$- 2 sen (33^{\circ}) sen (11^{\circ}), - 0,2078$

43.

$\frac{1}{2} (\cos (99^{\circ}) - \cos (71^{\circ})), - 0,2410$

45.

Es una identidad.

47.

No es una identidad, sino $2 \cos^{3} x$ .

49.

$\tan (3 t)$

51.

$2 \cos (2 x)$

53.

$- sen (14 x)$

55.

Comience con $\cos x + \cos y .$ Haga una sustitución; supongamos que $x = α + β$ y supongamos que $y = α - β,$ por lo que $\cos x + \cos y$ se convierte en
$\cos (α + β) + \cos (α - β) = \cos α \cos β - sen α sen β + \cos α \cos β + sen α sen β = 2 \cos α \cos β$

Dado que $x = α + β$ y $y = α - β,$ podemos resolver para $α$ y $β$ en términos de x y de y, sustituir por $2 \cos α \cos β$ y obtener $2 \cos (\frac{x + y}{2}) \cos (\frac{x - y}{2}) .$

57.

$\frac{\cos (3 x) + \cos x}{\cos (3 x) - \cos x} = \frac{2 \cos (2 x) \cos x}{- 2 sen (2 x) sen x} = - \cot (2 x) \cot x$

59.

$\begin{array}{l} \frac{\cos (2 y) - \cos (4 y)}{sen (2 y) + sen (4 y)} = \frac{- 2 sen (3 y) sen (- y)}{2 sen (3 y) \cos y} = \\ \frac{2 sen (3 y) sen (y)}{2 sen (3 y) \cos y} = \tan y \end{array}$

61.

$\begin{array}{l} \cos x - \cos (3 x) = - 2 sen (2 x) sen (- x) = \\ 2 (2 sen x \cos x) sen x = 4 {sen}^{2} x \cos x \end{array}$

63.

$\tan (\frac{π}{4} - t) = \frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan t}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (t)} = \frac{1 - \tan t}{1 + \tan t}$

7.5 Ejercicios de sección

1.

No siempre habrá soluciones a las ecuaciones de las funciones trigonométricas. Para un ejemplo básico, $\cos (x) = −5.$

3.

Si la función seno o coseno tiene un coeficiente de uno, aísle el término a un lado del signo de igualdad. Si el número al que se iguala tiene un valor absoluto menor o igual que uno, la ecuación tiene solución, en caso contrario, no. Si el seno o el coseno no tienen un coeficiente igual a uno, aísle el término, pero divida ambos lados de la ecuación entre el coeficiente principal. Entonces, si el número al que se iguala tiene un valor absoluto mayor que uno, la ecuación no tiene solución.

5.

$\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

7.

$\frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

9.

$\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

11.

$\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}$

13.

$\frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}$

15.

$\frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$

17.

$\frac{π}{18}$ , $\frac{5 π}{18}$ , $\frac{13 π}{18}$ , $\frac{17 π}{18}$ , $\frac{25 π}{18}$ , $\frac{29 π}{18}$

19.

$\frac{3 π}{12}, \frac{5 π}{12}, \frac{11 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{19 π}{12}, \frac{21 π}{12}$

21.

$\frac{1}{6}, \frac{5}{6}, \frac{13}{6}, \frac{17}{6}, \frac{25}{6}, \frac{29}{6}, \frac{37}{6}$

23.

$0, \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}$

25.

$\frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}$

27.

$\frac{π}{3}, \frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{3}$

29.

$0, π$

31.

$π - {sen}^{- 1} (- \frac{1}{4}), \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}, 2 π + {sen}^{- 1} (- \frac{1}{4})$

33.

$\frac{1}{3} ({sen}^{- 1} (\frac{9}{10})),$ $\frac{π}{3} - \frac{1}{3} ({sen}^{- 1} (\frac{9}{10})),$ $\frac{2 π}{3} + \frac{1}{3} ({sen}^{- 1} (\frac{9}{10})),$ $π - \frac{1}{3} ({sen}^{- 1} (\frac{9}{10})),$ $\frac{4 π}{3} + \frac{1}{3} ({sen}^{- 1} (\frac{9}{10})),$ $\frac{5 π}{3} - \frac{1}{3} ({sen}^{- 1} (\frac{9}{10}))$

35.

$0$

37.

$θ = {sen}^{1} (\frac{2}{3}),$ $π {sen}^{1} (\frac{2}{3}),$ $π + {sen}^{1} (\frac{2}{3}),$ $2 π {sen}^{1} (\frac{2}{3})$

39.

$\frac{3 π}{2}, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

41.

$0, \frac{π}{3}, π, \frac{4 π}{3}$

43.

No hay soluciones.

45.

$\cos^{- 1} (\frac{1}{3} (1 - \sqrt{7})), 2 π - \cos^{- 1} (\frac{1}{3} (1 - \sqrt{7}))$

47.

$\tan^{- 1} (\frac{1}{2} (\sqrt{29} - 5)), π + \tan^{- 1} (\frac{1}{2} (- \sqrt{29} - 5)), π + \tan^{- 1} (\frac{1}{2} (\sqrt{29} - 5)), 2 π + \tan^{- 1} (\frac{1}{2} (- \sqrt{29} - 5))$

49.

No hay soluciones.

51.

No hay soluciones.

53.

$0, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

55.

$\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}$

57.

${sen}^{- 1} (\frac{3}{5}), \frac{π}{2}, π - {sen}^{- 1} (\frac{3}{5}), \frac{3 π}{2}$

59.

$\cos^{- 1} (- \frac{1}{4})$ , $2 π - \cos^{- 1} (- \frac{1}{4})$

61.

$\frac{π}{3}, \cos^{- 1} (- \frac{3}{4}), 2 π - \cos^{- 1} (- \frac{3}{4}), \frac{5 π}{3}$

63.

$\cos^{- 1} (\frac{3}{4}), \cos^{- 1} (- \frac{2}{3}), 2 π - \cos^{- 1} (- \frac{2}{3})$ , $2 π - \cos^{- 1} (\frac{3}{4})$

65.

$0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}$

67.

$\frac{π}{3}, \cos^{−1} (- \frac{1}{4}), 2 π - \cos^{−1} (- \frac{1}{4}), \frac{5 π}{3}$

69.

No hay soluciones.

71.

$π + \tan^{–1} (−2)$ , $π + \tan^{–1} (- \frac{3}{2}),$ $2 π + \tan^{–1} (−2),$ $2 π + \tan^{–1} (- \frac{3}{2})$

73.

$2 π k + 0,2734, 2 π k + 2,8682$

75.

$π k - 0,3277$

77.

$0,6694, 1,8287, 3,8110, 4,9703$

79.

$1,0472, 3,1416, 5,2360$

81.

$0,5326, 1,7648, 3,6742, 4,9064$

83.

${sen}^{- 1} (\frac{1}{4}), π - {sen}^{- 1} (\frac{1}{4}), \frac{3 π}{2}$

85.

$\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

87.

No hay soluciones.

89.

$0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}$

91.

No hay soluciones.

93.

${7,2}^{\circ}$

95.

${5,7}^{\circ}$

97.

${82,4}^{\circ}$

99.

${31,0}^{\circ}$

101.

${88,7}^{\circ}$

103.

${59,0}^{\circ}$

105.

${36,9}^{\circ}$

7.6 Ejercicios de sección

1.

El comportamiento físico debería ser periódico o cíclico.

3.

Dado que el índice pluviométrico acumulado siempre va en ascenso, la función sinusoidal no sería lo ideal en este caso.

5.

$y = - 3 \cos (\frac{π}{6} x) - 1$

7.

$5 sen (2 x) + 2$

8.

$y = 4 6 \cos (\frac{x π}{2})$

10.

$y = \tan (\frac{x π}{8})$

12.

$\tan (\frac{x π}{12})$

13.

15.

17.

75 °F

19.

8 a. m.

21.

2:49

23.

Desde el 15 de junio hasta el 16 de noviembre.

25.

Desde el día 31 hasta el día 58.

27.

Temporada lluviosa: del 16 de abril al 15 de julio. Temporada seca: del 16 de octubre al 15 de enero.

29.

Amplitud: 8, periodo: $\frac{1}{3},$ frecuencia: 3 Hz

31.

Amplitud: 4, periodo: $4,$ frecuencia: $\frac{1}{4}$ Hz

33.

$P (t) = - 19 \cos (\frac{π}{6} t) + 800 + \frac{160}{12} t P (t) = - 19 \cos (\frac{π}{6} t) + 800 + \frac{40}{3} t$

35.

$P (t) = - 33 \cos (\frac{π}{6} t) + 900 + (1,07) t$

37.

$D (t) = 10 {(0,85)}^{t} \cos (36 π t)$

39.

$D (t) = 17 {(0,9145)}^{t} \cos (28 π t)$

41.

6 años

43.

15,4 segundos

45.

El resorte 2 entra en reposo después de 7,3 segundos.

47.

234,3 millas, a 72,2°

49.

$y = 6 {(4)}^{x} + 5 sen (\frac{π}{2} x)$

51.

$y = 4 {(- 2)}^{x} + 8 sen (\frac{π}{2} x)$

53.

$y = 3 {(2)}^{x} \cos (\frac{π}{2 x}) + 1$

Ejercicios de repaso

1.

${sen}^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{3}), π - {sen}^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{3}), π + {sen}^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{3}), 2 π - {sen}^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{3})$

3.

$\frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$

5.

${sen}^{- 1} (\frac{1}{4}), π - {sen}^{- 1} (\frac{1}{4})$

7.

$1$

9.

Sí

11.

$- 2 - \sqrt{3}$

13.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

15.

$\begin{array}{l} \cos (4 x) - \cos (3 x) \cos x = \cos (2 x + 2 x) - \cos (x + 2 x) \cos x \\ = \cos (2 x) \cos (2 x) - sen (2 x) sen (2 x) - \cos x \cos (2 x) \cos x + sen x sen (2 x) \cos x \\ = {(\cos^{2} x - {sen}^{2} x)}^{2} - 4 \cos^{2} x {sen}^{2} x - \cos^{2} x (\cos^{2} x - {sen}^{2} x) + sen x (2) sen x \cos x \cos x \\ = {(\cos^{2} x - {sen}^{2} x)}^{2} - 4 \cos^{2} x {sen}^{2} x - \cos^{2} x (\cos^{2} x - {sen}^{2} x) + 2 {sen}^{2} x \cos^{2} x \\ = \cos^{4} x - 2 \cos^{2} x {sen}^{2} x + {sen}^{4} x - 4 \cos^{2} x {sen}^{2} x - \cos^{4} x + \cos^{2} x {sen}^{2} x + 2 {sen}^{2} x \cos^{2} x \\ = {sen}^{4} x - 4 \cos^{2} x {sen}^{2} x + \cos^{2} x {sen}^{2} x \\ = {sen}^{2} x ({sen}^{2} x + \cos^{2} x) - 4 \cos^{2} x {sen}^{2} x \\ = {sen}^{2} x - 4 \cos^{2} x {sen}^{2} x \end{array}$

17.

$\tan (\frac{5}{8} x)$

19.

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

21.

$- \frac{24}{25}, - \frac{7}{25}, \frac{24}{7}$

23.

$\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}$

25.

$\frac{\sqrt{2}}{10}, \frac{7 \sqrt{2}}{10}, \frac{1}{7}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{3}{4}$

27.

$\begin{array}{l} \cot x \cos (2 x) = \cot x (1 - 2 {sen}^{2} x) \\ = \cot x - \frac{\cos x}{sen x} (2) {sen}^{2} x \\ = - 2 sen x \cos x + \cot x \\ = - sen (2 x) + \cot x \end{array}$

29.

$\frac{10 sen x - 5 sen (3 x) + sen (5 x)}{8 (\cos (2 x) + 1)}$

31.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

33.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

35.

$\frac{1}{2} (sen (6 x) + sen (12 x))$

37.

$2 sen (\frac{13}{2} x) \cos (\frac{9}{2} x)$

39.

$\frac{3 π}{4}, \frac{7 π}{4}$

41.

$0, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, π$

43.

$\frac{3 π}{2}$

45.

No hay solución

47.

$0,2527, 2,8889, 4,7124$

49.

$1,3694$ , $1,9106$ , $4,3726$ , $4,9137$

51.

$3 sen (\frac{x π}{2}) - 2$

53.

${71,6}^{\circ}$

55.

$P (t) = 950 - 450 sen (\frac{π}{6} t)$

57.

Amplitud: 3, periodo: 2, frecuencia: $\frac{1}{2}$ Hz

59.

$C (t) = 20 sen (2 π t) + 100 {(1,4427)}^{t}$

Examen de práctica

1.

1

3.

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

5.

$- \sqrt{2} - \sqrt{3}$

7.

$0, π$

9.

$\frac{π}{2}, \frac{3π}{2}$

11.

$2 cos (3 x) cos (5 x)$

13.

$x = {cos}^{-1} (\frac{1}{5})$

15.

$\frac{3}{5}, - \frac{4}{5}, - \frac{3}{4}$

17.

$\begin{matrix} {tan}^{3} x - tan x {sec}^{2} x & = tan x ({tan}^{2} x - {sec}^{2} x) \\ = tan x ({tan}^{2} x - (1 + {tan}^{2} x)) \\ = tan x ({tan}^{2} x - 1 - {tan}^{2} x) \\ = - tan x = tan (- x) = tan - x) \end{matrix}$

19.

$\begin{matrix} \frac{sen (2 x)}{sen x} - \frac{cos (2 x)}{cos x} & = \frac{2 sen x cos x}{sen x} - \frac{2 {cos}^{2} x - 1}{cos x} \\ = 2 cos x - 2 cos x + \frac{1}{cos x} \\ = \frac{1}{cos x} = sec x = sec x \end{matrix}$

21.

Amplitud: $\frac{1}{4}$ , periodo $\frac{1}{60}$ , frecuencia: 60 Hz

23.

Amplitud: $8$ , periodo rápido: $\frac{1}{500}$ , frecuencia rápida: 500 Hz, periodo lento: $\frac{1}{10}$ , frecuencia lenta: 10 Hz

25.

$D (t) = 20 (0,9086)^{t} cos (4 π t)$ , 31 segundos

Capítulo 7

Inténtelo

7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades

7.2 Identidades de suma y resta

7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción

7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma

7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas

7.6 Modelado con funciones trigonométricas

7.1 Ejercicios de sección

7.2 Ejercicios de sección

7.3 Ejercicios de sección

7.4 Ejercicios de sección

7.5 Ejercicios de sección

7.6 Ejercicios de sección

Ejercicios de repaso

Examen de práctica