Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Determinar la amplitud y el período de las funciones sinusoidales.
Modelar ecuaciones y graficar funciones sinusoidales.
Modelar el comportamiento periódico.
Modelar las funciones de movimiento armónico.

Figura 1 Las agujas del reloj son periódicas: repiten las posiciones cada doce horas. (Créditos: "zoutedrop"/Flickr)

Supongamos que graficamos el promedio de temperaturas diarias en la ciudad de Nueva York en el transcurso de un año. Es de esperar que las temperaturas más bajas se den en enero y febrero y las más altas, en julio y agosto. Este ciclo familiar se repite año tras año, y si extendiéramos el gráfico a lo largo de varios años, se asemejaría a una función periódica.

Muchos otros fenómenos naturales también son periódicos. Por ejemplo, las fases de la luna tienen un periodo de aproximadamente 28 días, y las aves migran hacia el sur más o menos en la misma época cada año.

Entonces, ¿cómo podemos modelar una ecuación que refleje un comportamiento periódico? Primero, debemos recopilar y registrar datos. A continuación, hallamos una función que se asemeje a un patrón observado. Por último, realizamos las modificaciones necesarias en la función para obtener un modelo fiable. En esta sección, profundizaremos en tipos específicos de comportamiento periódico y en las ecuaciones de los modelos que se ajustan a los datos.

Determinar la amplitud y el periodo de la función sinusoidal.

Cualquier movimiento que se repita en un tiempo fijo se considera un movimiento periódico y puede modelarse mediante una función sinusoidal. La amplitud de una función sinusoidal es la distancia de la línea media al valor máximo, o de la línea media al valor mínimo. La línea media es el valor promedio. Las funciones sinusoidales oscilan por encima y por debajo de la línea media, son periódicas y repiten los valores en ciclos establecidos. Recuerde a partir de los gráficos de las funciones de seno y coseno que el periodo de las funciones de seno y de coseno es $2 π .$ En otras palabras, para cualquier valor de $x,$

sen (x \pm 2 π k) = sen x y \cos (x \pm 2 π k) = \cos x donde k es un número entero

Forma típica de las ecuaciones sinusoidales.

Las formas generales de una ecuación sinusoidal vienen dadas por

y = A sen (B t - C) + D o y = A \cos (B t - C) + D

donde $amplitud = | A |, B$ guarda relación con el periodo tal que el $periodo = \frac{2 π}{B}, C$ es el deslizamiento de fase tal que $\frac{C}{B}$ denota el desplazamiento horizontal, y $D$ representa el desplazamiento vertical del gráfico matriz.

Observe que los modelos a veces se escriben como $y = a sen (ω t \pm C) + D$ o $y = a \cos (ω t \pm C) + D,$ y el periodo viene dado como $\frac{2 π}{ω} .$

La diferencia entre los gráficos de seno y coseno es que el gráfico de seno comienza con el valor promedio de la función, mientras que el gráfico de coseno comienza con el valor máximo o mínimo de la función.

Ejemplo 1

Mostrar cómo las propiedades de una función trigonométrica pueden transformar un gráfico.

Indique la transformación del gráfico de $y = sen x$ en el gráfico de $y = 2 sen (4 x - \frac{π}{2}) + 2.$

Solución

Tenga en cuenta la serie de gráficos en la Figura 2 y la manera en que cada cambio a la ecuación transforma la imagen.

Cinco gráficos, uno al lado del otro, donde cada uno muestra una manipulación al anterior. (A) tiene y=sen(x). (B) tiene y=2sen(x), que tiene el doble de amplitud. (C) tiene y=2sen(4x), lo que cuadruplica la frecuencia (o divide el periodo en cuatro). (D) tiene y=2sen(4x-pi/2), lo que la desplaza sobre el eje x en pi/2. (D) tiene y=2sen(4x-pi/2), lo que la desplaza sobre el eje x en pi/2.

Figura 2 (a) El gráfico básico de

y = sen x

(b) Cambiar la amplitud de 1 a 2 genera el gráfico de

y = 2 sen x .

(c) El periodo de la función de seno cambia con el valor de

B,

de manera que

periodo = \frac{2 π}{B} .

Aquí tenemos

B = 4,

lo que se traduce en un periodo de

\frac{π}{2} .

El gráfico realiza un ciclo completo en

\frac{π}{2}

unidades. (d) El gráfico exhibe un desplazamiento horizontal igual a

\frac{C}{B},

o

\frac{\frac{π}{2}}{4} = \frac{π}{8} .

(e) Finalmente, el gráfico se desplaza verticalmente en el valor de

D .

En este caso, el gráfico se desplaza en 2 unidades.

Ejemplo 2

Hallar la amplitud y el periodo de una función

Halle la amplitud y el periodo de las siguientes funciones y grafique un ciclo.

Ⓐ $y = 2 sen (\frac{1}{4} x)$
Ⓑ $y = −3 sen (2 x + \frac{π}{2})$
Ⓒ $y = \cos x + 3$

Solución

Resolveremos estos problemas de acuerdo con los modelos.

Ⓐ $y = 2 sen (\frac{1}{4} x)$ implica el seno, por lo que utilizamos la forma
$y = A sen (B t + C) + D$

Sabemos que $| A |$ es la amplitud, por lo que la amplitud es 2. El periodo es $\frac{2 π}{B},$ por lo que el periodo es

$\begin{array}{l} \frac{2 π}{B} = \frac{2 π}{\frac{1}{4}} \\ = 8 π \end{array}$

Observe el gráfico en la Figura 3.

Figura 3
Ⓑ $y = −3 sen (2 x + \frac{π}{2})$ implica el seno, por lo que utilizamos la forma
$y = A sen (B t - C) + D$

La amplitud es $| A |,$ por lo que la amplitud es $| - 3 | = 3.$ Dado que $A$ es negativo, el gráfico se refleja en el eje x. El periodo es $\frac{2 π}{B},$ por lo que el periodo es

$\frac{2 π}{B} = \frac{2 π}{2} = π$

El gráfico se desplaza hacia la derecha en $\frac{C}{B} = \frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}$ unidades. Vea la Figura 4.

Figura 4
Ⓒ $y = \cos x + 3$ implica el coseno, por lo que utilizamos la forma
$y = A \cos (B t \pm C) + D$
La amplitud es $| A |,$ por lo que la amplitud es 1. El periodo es $2 π .$ Vea la Figura 5. Esta es la típica función coseno, desplazada a tres unidades.

Figura 5

Inténtelo #1

¿Cuáles son la amplitud y el periodo de la función $y = 3 \cos (3 π x) ?$

Hallar ecuaciones y graficar funciones sinusoidales

Un método para graficar las funciones sinusoidales consiste en hallar cinco puntos clave. Estos puntos corresponderán a intervalos de igual longitud que representan $\frac{1}{4}$ del periodo. Los puntos clave indicarán la ubicación de los valores máximos y mínimos. Si no hay desplazamiento vertical, también indicarán las intersecciones en x. Por ejemplo, supongamos que queremos graficar la función $y = \cos θ .$ Sabemos que el periodo es $2 π,$ por lo que hallamos el intervalo entre los puntos clave, de la siguiente manera.

\frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}

Comenzando por $θ = 0,$ calculamos el primer valor de y, sumamos la longitud del intervalo $\frac{π}{2}$ a 0, y calculamos el segundo valor de y. Luego sumamos $\frac{π}{2}$ varias veces hasta que se determinen los cinco puntos clave. El último valor debería ser igual al primero, ya que los cálculos abarcan un periodo entero. Al hacer una tabla parecida a la Tabla 1, podemos ver estos puntos clave claramente en el gráfico que se muestra en la Figura 6.

$θ$	$0$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
$y = \cos θ$	$1$	$0$	$−1$	$0$	$1$

Tabla 1

Gráfico de y=cos(x) desde-pi/2 hasta 5pi/2.

Figura 6

Ejemplo 3

Graficar funciones sinusoidales con puntos clave

Grafique la función $y = -4 \cos (π x)$ mediante el empleo de la amplitud, el periodo y los puntos clave.

Solución

La amplitud es $| - 4 | = 4.$ El periodo es $\frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{π} = 2.$ (Recuerde que a veces nos referimos a $B$ cuando $ω) .$ Puede trazarse un ciclo del gráfico a lo largo del intervalo $[0, 2] .$ Para hallar los puntos clave, dividimos el periodo entre 4. Haga una tabla parecida a la Tabla 2; comience con $x = 0$ y luego sume $\frac{1}{2}$ sucesivamente hasta $x$ y calcule $y .$ Observe el gráfico en la Figura 7.

$x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$2$
$y = -4 \cos (π x)$	$-4$	$0$	$4$	$0$	$-4$

Tabla 2

Gráfico de y=-4cos(pi*x) con los cinco puntos clave: los intervalos de igual longitud representan 1/4 del periodo. Aquí, los puntos están en 0, 1/2, 1, 3/2 y 2.

Figura 7

Inténtelo #2

Grafique la función $y = 3 sen (3 x)$ mediante el empleo de la amplitud, el periodo y los cinco puntos clave.

Modelar el comportamiento periódico

Ahora aplicaremos estas ideas a los problemas que impliquen comportamiento periódico.

Ejemplo 4

Modelar una ecuación y dibujar un gráfico sinusoidal que se ajuste a los criterios

El promedio de la temperatura mensual para un pueblito en Oregón se da en la Tabla 3. Halle la función sinusoidal de la forma $y = A sen (B t - C) + D$ que se ajuste a los datos (redondee hasta la décima más próxima) y dibuje el gráfico.

Mes	Temperatura, $^{i} F$
Enero	42,5
Febrero	44,5
Marzo	48,5
Abril	52,5
Mayo	58
Junio	63
Julio	68,5
Agosto	69
Septiembre	64,5
Octubre	55,5
Noviembre	46,5
Diciembre	43,5

Tabla 3

Solución

Recuerde que la amplitud se calcula con la fórmula

A = \frac{el valor más alto - el valor más bajo}{2}

Así, la amplitud es

\begin{array}{l} | A | = \frac{69 - 42,5}{2} \\ = 13,25 \end{array}

Los datos abarcan un periodo de 12 meses, por lo que $\frac{2 π}{B} = 12$ que da $B = \frac{2 π}{12} = \frac{π}{6} .$

El desplazamiento vertical se calcula con la siguiente ecuación.

D = \frac{el valor más alto + el valor más bajo}{2}

Así, el desplazamiento vertical es

\begin{array}{l} \begin{array}{l} D = \frac{69 + 42,5}{2} \\ = 55,8 \end{array} \end{array}

Hasta ahora, tenemos la ecuación $y = 13,3 sen (\frac{π}{6} x - C) + 55,8.$

Para calcular el desplazamiento horizontal, introducimos el valor de $x$ y $y$ del primer mes y resolvemos para $C .$

\begin{array}{l} 42,5 = 13,3 sen (\frac{π}{6} (1) - C) + 55,8 \\ - 13,3 = 13,3 sen (\frac{π}{6} - C) \\ - 1 = sen (\frac{π}{6} - C) & sen θ = - 1 \to θ = - \frac{π}{2} \\ \frac{π}{6} - C = - \frac{π}{2} \\ \frac{π}{6} + \frac{π}{2} = C \\ = \frac{2 π}{3} \end{array}

Tenemos la ecuación $y = 13,3 sen (\frac{π}{6} x - \frac{2 π}{3}) + 55,8.$ Observe el gráfico en la Figura 8.

Gráfico de la ecuación y=13.3sen(pi/6 x - 2pi/3) + 55,8. El valor promedio es una línea horizontal punteada y=55,8, en tanto que la amplitud es 13,3

Figura 8

Ejemplo 5

Describir el movimiento periódico

La aguja que marca las horas del reloj que está en la pared en Union Station mide 24 pulgadas. A mediodía, el puntero de la aguja que marca las horas está a 30 pulgadas del techo. A las 3 p. m., el puntero está a 54 pulgadas del techo, y a las 6 p. m., a 78 pulgadas. A las 9 p. m., está nuevamente a 54 pulgadas del techo, y a la medianoche, la punta de la aguja que marca las horas regresa a su posición original: a 30 pulgadas del techo. Supongamos que $y$ es igual a la distancia que va desde el puntero de la aguja que marca las horas hasta el techo $x$ horas después del mediodía. Halle la ecuación que modele el movimiento del reloj y dibuje el gráfico.

Solución

Empiece por hacer una tabla de los valores que se indican en la Tabla 4.

$x$	$y$	Puntos a trazar
Mediodía	30 in	$(0, 30)$
3 p. m.	54 in	$(3, 54)$
6 p. m.	78 in	$(6, 78)$
9 p. m.	54 in	$(9, 54)$
Medianoche	30 in	$(12, 30)$

Tabla 4

Para modelar una ecuación, primero tenemos que hallar la amplitud.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} | A | = | \frac{78 - 30}{2} | \\ = 24 \end{array} \end{array}

El ciclo horario se repite cada 12 horas. Por lo tanto,

\begin{array}{l} \begin{array}{l} B = \frac{2 π}{12} \\ = \frac{π}{6} \end{array} \end{array}

El desplazamiento vertical es

\begin{array}{l} \begin{array}{l} D = \frac{78 + 30}{2} \\ = 54 \end{array} \end{array}

No hay desplazamiento horizontal, por lo que $C = 0 .$ Dado que la función comienza con el valor mínimo de $y$ cuando $x = 0$ (en contraposición al valor máximo), utilizaremos la función coseno con el valor negativo para $A .$ En la forma $y = A \cos (B x \pm C) + D,$ la ecuación es

y = −24 \cos (\frac{π}{6} x) + 54

Vea la Figura 9.

Gráfico de la función y=-24cos(pi/6 x)+54 mediante el empleo de los cinco puntos clave: (0,30), (3,54), (6,78), (9,54), (12,30).

Figura 9

Ejemplo 6

Determinar un modelo para las mareas

La altura de la ola en un pueblito costero se mide a lo largo de un malecón. El nivel del agua oscila entre 7 pies en marea baja y 15 pies en marea alta. En un día en particular, hubo marea baja a las 6 a. m. y marea alta al mediodía. El ciclo se repite aproximadamente cada 12 horas. Halle una ecuación que modele el nivel del agua.

Solución

Dado que el nivel del agua varía desde 7 pies hasta 15 pies, podemos calcular la amplitud como

\begin{array}{l} \begin{array}{l} | A | = | \frac{(15 - 7)}{2} | \\ = 4 \end{array} \end{array}

Se repite el ciclo cada 12 horas, por lo tanto, $B$ es

\frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}

Hay una traslación vertical de $\frac{(15 + 7)}{2} = 11,5.$ Dado que el valor de la función está a un máximo en $t = 0,$ utilizaremos la función coseno, con el valor positivo para $A .$

y = 4 \cos (\frac{π}{6}) t + 11

Vea la Figura 10.

Gráfico de la función y=4cos(pi/6 t) + 11 desde 0 hasta 12. La línea media es y=11; los tres puntos clave son (0,15), (6,7) y (12, 15).

Figura 10

Inténtelo #3

La temperatura diaria en el mes de marzo en una determinada ciudad varía desde una baja de $24 °F$ hasta un alta de $40 °F .$ Halle una función sinusoidal para modelar la temperatura diaria y dibuje el gráfico. Calcule el tiempo aproximado cuando la temperatura alcanza el punto de congelación $32 °F .$ Supongamos que $t = 0$ corresponde al mediodía.

Ejemplo 7

Interpretar la ecuación del comportamiento periódico

La presión arterial de una persona promedio se modela con la función $f (t) = 20 sen (160 π t) + 100,$ donde $f (t)$ representa la presión arterial en el tiempo $t,$ medida en minutos. Interprete la función en términos de periodo y frecuencia. Trace el gráfico y halle la lectura de la presión arterial.

Solución

El periodo viene dado por

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{160 π} \\ = \frac{1}{80} \end{array} \end{array}

En una función de presión arterial, la frecuencia representa el número de latidos por minuto. La frecuencia es la reciprocidad de periodo y viene dada por

\begin{matrix} \frac{ω}{2 π} = \frac{160 π}{2 π} \\ = 80 \end{matrix}

Observe el gráfico en la Figura 11.

Gráfico de la función f(t) = 20sen(160 * pi * t) + 100 para la presión arterial. La línea media está en 100.

Figura 11 La lectura de la presión arterial en el gráfico es

\frac{120}{80} (\frac{máximo}{mínimo}) .

Análisis

La presión arterial en $\frac{120}{80}$ se considera normal. La cifra de arriba es la lectura máxima o sístole, que mide la presión en las arterias cuando el corazón se contrae. La cifra de abajo es la lectura mínima o diástole, que mide la presión en las arterias cuando el corazón se relaja entre los latidos y se vuelve a llenar de sangre. Así, la presión arterial normal puede modelarse por una función periódica con un máximo de 120 y un mínimo de 80.

Modelar las funciones del movimiento armónico

El movimiento armónico es una forma de movimiento periódico, pero han de considerarse ciertos factores para diferenciar estos dos tipos. Mientras las aplicaciones del movimiento periódico en general recorren sus periodos sin interferencia externa, el movimiento armónico exige una fuerza restauradora. Algunos ejemplos del movimiento armónico son los resortes, la fuerza gravitacional y la fuerza magnética.

Movimiento armónico simple

El tipo de movimiento que se califica de movimiento armónico simple involucra una fuerza restauradora, pero asume que el movimiento continuará por siempre. Imagine un objeto lastrado que cuelga de un resorte. Cuando no se altera ese objeto, decimos que está en reposo o en equilibrio. Si el objeto se hala y luego se suelta, la fuerza del resorte lleva el objeto de vuelta al equilibrio y comienza el movimiento armónico. La fuerza restauradora es directamente proporcional al desplazamiento del objeto a partir de su punto de equilibrio. Cuando $t = 0, d = 0 .$

Movimiento armónico simple

Observamos que las ecuaciones del movimiento armónico simple vienen dadas en términos de desplazamiento:

d = a \cos (ω t) o d = a sen (ω t)

donde $| a |$ es la amplitud, $\frac{2 π}{ω}$ es el periodo, y $\frac{ω}{2 π}$ es la frecuencia o el número de ciclos por unidad de fuerza.

Ejemplo 8

Calcular el desplazamiento, el periodo y la frecuencia, y graficar una función

Para las funciones dadas:

Calcule el desplazamiento máximo de un objeto.
Calcule el periodo o el tiempo necesario para una vibración.
Calcule la frecuencia.
Dibuje el gráfico.

Ⓐ $y = 5 sen (3 t)$
Ⓑ $y = 6 \cos (π t)$
Ⓒ $y = 5 \cos (\frac{π}{2} t)$

Solución

Ⓐ y=5sen( 3t ) y=5sen( 3t )
1. El desplazamiento máximo es igual a la amplitud, $| a |,$ que es 5.
2. El periodo es $\frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{3} .$
3. La frecuencia viene dada como $\frac{ω}{2 π} = \frac{3}{2 π} .$
4. Vea la Figura 12. El gráfico ilustra los cinco puntos clave
  
  Figura 12
Ⓑ y=6cos( πt ) y=6cos( πt )
1. El desplazamiento máximo es $6.$
2. El periodo es $\frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{π} = 2.$
3. La frecuencia es $\frac{ω}{2 π} = \frac{π}{2 π} = \frac{1}{2} .$
4. Vea la Figura 13.
  
  Figura 13
Ⓒ y=5cos( π 2 )t y=5cos( π 2 )t
1. El desplazamiento máximo es $5.$
2. El periodo es $\frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{\frac{π}{2}} = 4.$
3. La frecuencia es $\frac{1}{4} .$
4. Vea la Figura 14.
  
  Figura 14

Movimiento armónico amortiguado

En realidad, un péndulo no oscila de un lado a otro por siempre, como tampoco un objeto en un resorte rebota hacia arriba y hacia abajo. A la larga, el péndulo deja de oscilar y el objeto deja de rebotar y ambos vuelven al equilibrio. El movimiento periódico en el cual actúa una fuerza disipadora de energía, o factor de amortiguamiento, se conoce como movimiento armónico amortiguado. La fricción es típicamente el factor de amortiguamiento.

En física se utilizan diversas fórmulas para representar el factor de amortiguamiento en el objeto móvil. Algunas de estas fórmulas se basan en el cálculo e integran derivadas. Para nuestros propósitos, utilizaremos fórmulas para modelos básicos de movimiento armónico amortiguado.

Movimiento armónico amortiguado

En el movimiento armónico amortiguado, el desplazamiento de un objeto oscilante desde su posición de reposo en tiempo $t$ se da como

f (t) = a e^{- c t} sen (ω t) o f (t) = a e^{- c t} \cos (ω t)

donde $c$ es un factor de amortiguamiento, $| a |$ es el desplazamiento inicial y $\frac{2 π}{ω}$ es el periodo.

Ejemplo 9

Modelar el movimiento armónico amortiguado

Modele las ecuaciones que se ajusten a las dos situaciones y utilice una herramienta para graficar las funciones: Dos sistemas de masa-resorte exhiben un movimiento armónico amortiguado a una frecuencia de $0,5$ ciclos por segundo. Ambos tienen un desplazamiento inicial de 10 cm. El primero tiene un factor de amortiguamiento de $0,5$ y el segundo tiene un factor de amortiguamiento de $0,1.$

Solución

En el tiempo $t = 0,$ el desplazamiento es el máximo de 10 cm, que aboga por la función coseno. Se aplicará la función coseno a ambos modelos.

Nos dan la frecuencia $f = \frac{ω}{2 π}$ de 0,5 ciclos por segundo. Por lo tanto,

\begin{array}{l} \frac{ω}{2 π} = 0,5 \\ ω = (0,5) 2 π \\ = π \end{array}

El primer sistema de resorte tiene un factor de amortiguamiento de $c = 0,5.$ Siguiendo el modelo general para el movimiento armónico amortiguado, obtenemos

f (t) = 10 e^{- 0,5 t} \cos (π t)

La Figura 15 modela el movimiento del primer sistema de resorte.

Gráfico del primer sistema de resorte, f(t) = 10(e^(-.5t))cos(pi*t), que comienza con una amplitud elevada y disminuye rápidamente.

Figura 15

El segundo sistema de resorte consta de un factor de amortiguamiento de $c = 0,1$ y puede modelarse como

f (t) = 10 e^{- 0,1 t} \cos (π t)

La Figura 16 modela el movimiento del segundo sistema de resorte

Gráfico de f(t) = 10(e^(-.1t))cos(pi*t), que comienza a una amplitud elevada y disminuye lentamente (pero tiene una frecuencia alta).

Figura 16

Análisis

Observe los distintos efectos de la constante de amortiguamiento. Los valores locales máximo y mínimo de la función con el factor de amortiguamiento $c = 0,5$ desciende mucho más rápidamente que el de la función con $c = 0,1.$

Ejemplo 10

Hallar una función coseno que modele el movimiento armónico amortiguado

Calcule y grafique una función de la forma $y = a e^{- c t} \cos (ω t)$ que represente la información dada.

Ⓐ $a = 20, c = 0,05, p = 4$
Ⓑ $a = 2, c = 1,5, f = 3$

Solución

Sustituya los valores dados en el modelo. Recuerde que el periodo es $\frac{2 π}{ω}$ y la frecuencia es $\frac{ω}{2 π} .$

Ⓐ $y = 20 e^{- 0,05 t} \cos (\frac{π}{2} t) .$ Vea la Figura 17.

Figura 17
Ⓑ $y = 2 e^{- 1,5 t} \cos (6 π t) .$ Vea la Figura 18.

Figura 18

Inténtelo #4

La siguiente ecuación representa un modelo de movimiento armónico amortiguado: $f (t) = 5 e^{- 6 t} \cos (4 t)$ Halle el desplazamiento inicial, la constante de amortiguamiento y la frecuencia.

Ejemplo 11

Hallar una función de seno que modele el movimiento armónico amortiguado

Calcule y grafique una función de la forma $y = a e^{- c t} sen (ω t)$ que represente la información dada.

Ⓐ $a = 7, c = 10, p = \frac{π}{6}$
Ⓑ $a = 0,3, c = 0,2, f = 20$

Solución

Calcule el valor de $ω$ y sustituya los valores conocidos en el modelo.

Ⓐ Dado que el periodo es $\frac{2 π}{ω},$ tenemos
$\begin{array}{l} \frac{π}{6} = \frac{2 π}{ω} \\ ω π = 6 (2 π) \\ ω = 12 \end{array}$
El factor de amortiguamiento se da como 10 y la amplitud es 7. Así, el modelo es $y = 7 e^{- 10 t} sen (12 t) .$ Vea la Figura 19.

Figura 19
Ⓑ Dado que la frecuencia es $\frac{ω}{2 π},$ tenemos
$\begin{array}{l} 20 = \frac{ω}{2 π} \\ 40 π = ω \end{array}$
El factor de amortiguamiento viene dado como $0,2$ y la amplitud es $0,3.$ El modelo es $y = 0,3 e^{- 0,2 t} sen (40 π t) .$ Vea la Figura 20.

Figura 20

Análisis

La comparación de los últimos dos ejemplos ilustra la manera en que escogemos entre la función de seno y la función coseno para modelar los criterios sinusoidales. Observamos que la función coseno se encuentra en el desplazamiento máximo cuando $t = 0,$ y la función de seno se encuentra en el punto de equilibrio cuando $t = 0 .$ Por ejemplo, considere la ecuación $y = 20 e^{- 0,05 t} \cos (\frac{π}{2} t)$ desde el Ejemplo 10. Podemos ver a partir del gráfico que, cuando $t = 0, y = 20,$ que es la amplitud inicial. Compruebe esto al ajustar $t = 0$ en la ecuación de coseno:

\begin{array}{l} \begin{array}{l} y = 20 e^{- 0,05 (0)} \cos (\frac{π}{2}) (0) \\ = 20 (1) (1) \\ = 20 \end{array} \end{array}

Con la función de seno arroja

\begin{array}{l} y = 20 e^{- 0,05 (0)} sen (\frac{π}{2}) (0) \\ = 20 (1) (0) \\ = 0 \end{array}

Así, el coseno es la función correcta.

Inténtelo #5

Escriba la ecuación para el movimiento armónico amortiguado, dado $a = 10, c = 0,5,$ y $p = 2.$

Ejemplo 12

Modelar la oscilación de un resorte

Un resorte que mide 10 pulgadas en su longitud natural se comprime en 5 pulgadas y se suelta. Oscila una vez cada 3 segundos, y su amplitud disminuye en 30 % cada segundo. Halle una ecuación que modele la posición del resorte $t$ segundos después de ser liberado.

Solución

La amplitud empieza a 5 in y disminuye 30 % cada segundo. Dado que el resorte está comprimido inicialmente, escribiremos A como valor negativo. Podemos escribir la parte de la amplitud de la función como

A (t) = 5 {(1 - 0,30)}^{t}

Colocamos ${(1 - 0,30)}^{t}$ en la forma $e^{c t}$ de la siguiente forma:

\begin{array}{l} 0,7 = e^{c} \\ c = \ln 0,7 \\ c = - 0,357 \end{array}

Ahora, abordemos el periodo. El resorte recorre sus posiciones cada 3 segundos, este es el periodo, y podemos utilizar la fórmula para hallar el omega.

\begin{array}{l} 3 = \frac{2 π}{ω} \\ ω = \frac{2 π}{3} \end{array}

La longitud natural de 10 pulgadas es la línea media. Utilizaremos la función coseno, ya que el resorte comienza en su desplazamiento máximo. Esta parte de la ecuación se representa como

y = \cos (\frac{2 π}{3} t) + 10

Finalmente, juntamos ambas funciones. El modelo para la posición del resorte en $t$ segundos viene dado como

y = - 5 e^{- 0,357 t} \cos (\frac{2 π}{3} t) + 10

Observe el gráfico en la Figura 21.

Gráfico de la función y = -5e^(-.35t)cos(2pi/3 t) + 10 desde 0 hasta 24. Comienza en forma de olas, a una amplitud elevada y disminuye muy rápidamente hasta casi una línea recta.

Figura 21

Inténtelo #6

La masa suspendida de un resorte se eleva a una distancia de 5 cm por encima de su posición de reposo. La masa se suelta en el tiempo $t = 0$ y se deja oscilar. Después de $\frac{1}{3}$ segundos, se observa que la masa retorna a su posición más elevada. Halle una función para modelar este movimiento con respecto a su posición inicial de reposo.

Ejemplo 13

Calcular el valor de la constante de amortiguamiento c conforme a los criterios aportados

La cuerda de una guitarra se rasga y vibra en movimiento armónico amortiguado. Se pulsa la cuerda y se desplaza 2 cm desde su posición de reposo. A los 3 segundos, el desplazamiento de la cuerda mide 1 cm. Halle la constante de amortiguamiento.

Solución

El factor de desplazamiento representa la amplitud y se determina por el coeficiente $a e^{- c t}$ en el modelo para el movimiento armónico amortiguado. La constate de amortiguamiento en el término $e^{- c t} .$ Se sabe que, después de 3 segundos, el valor local máximo mide la mitad de su valor original. Por lo tanto, tenemos la ecuación

a e^{- c (t + 3)} = \frac{1}{2} a e^{- c t}

Utilice el álgebra y las leyes de los exponentes para resolver $c .$

\begin{array}{l} a e^{- c (t + 3)} = \frac{1}{2} a e^{- c t} \\ e^{- c t} \cdot e^{- 3 c} = \frac{1}{2} e^{- c t} \begin{matrix}  \end{matrix} & Dividir a . \\ e^{- 3 c} = \frac{1}{2} & Dividir e^{- c t} . \\ e^{3 c} = 2 & Tome la reciprocidad . \end{array}

Luego, use las leyes de los logaritmos.

\begin{array}{l} e^{3 c} = 2 \\ 3 c = \ln (2) \\ c = \frac{\ln (2)}{3} \end{array}

La constante de amortiguamiento es $\frac{\ln (2)}{3} .$

Delimitar curvas en movimiento armónico

Los gráficos de movimiento armónico pueden estar encerrados por curvas delimitadoras. Cuando una función tiene una amplitud variable, que se eleva y cae varias veces dentro de un período, podemos determinar las curvas delimitadoras a partir de una parte de la función.

Ejemplo 14

Graficar una curva oscilante de coseno

Grafique la función $f (x) = \cos (2 π x) \cos (16 π x) .$

Solución

El gráfico que se genera de esta función se mostrará en dos partes. El primer gráfico será la función exacta $f (x)$ (vea la Figura 22), y el segundo gráfico es la función exacta $f (x)$ más una función delimitadora (vea la Figura 23). El gráfico se ve totalmente diferente.

Gráfico de f(x) = cos(2pi*x)cos(16pi*x), una función sinusoidal que aumenta y disminuye su amplitud periódicamente.

Figura 22

Gráfico de f(x) = cos(2pi*x)cos(16pi*x), una función sinusoidal que aumenta y disminuye su amplitud periódicamente. También se dibuja una función de enlace en rojo, lo que hace que la imagen completa luzca como una pieza de ADN (doble hélice), estirada a lo largo del eje de la x.

Figura 23

Análisis

Las curvas $y = \cos (2 π x)$ y $y = - \cos (2 π x)$ son curvas delimitadoras: delimitan la función desde arriba y desde abajo, para trazar los puntos superiores e inferiores. El gráfico del movimiento armónico se sitúa dentro de las curvas delimitadoras. Este es un ejemplo de una función cuya amplitud no solamente disminuye con el tiempo, sino que realmente aumenta y disminuye varias veces en un periodo.

Media

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7.6 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Explique cuáles son los tipos de fenómenos físicos que se modelan mejor con las funciones sinusoidales. ¿Cuáles son las características necesarias?

2.

¿Cuál información hace falta para construir un modelo trigonométrico de la temperatura diaria? Dé ejemplos de dos distintos conjuntos de información que permitan el modelado con una ecuación.

3.

Si quisiéramos modelar el índice pluviométrico acumulado en el transcurso de un año, ¿la función sinusoidal sería un modelo apropiado? ¿Por qué sí o por qué no?

4.

Explique el efecto de un factor de amortiguamiento en los gráficos de las funciones de movimiento armónico.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle una posible fórmula para la función trigonométrica, que se representa con la tabla dada de valores.

5.

$x$	$y$
$0$	$- 4$
$3$	$- 1$
$6$	$2$
$9$	$- 1$
$12$	$- 4$
$15$	$- 1$
$18$	$2$

6.

$x$	$y$
$0$	$5$
$2$	$1$
$4$	$- 3$
$6$	$1$
$8$	$5$
$10$	$1$
$12$	$- 3$

7.

$x$	$y$
$0$	$2$
$\frac{π}{4}$	$7$
$\frac{π}{2}$	$2$
$\frac{3 π}{4}$	$- 3$
$π$	$2$
$\frac{5 π}{4}$	$7$
$\frac{3 π}{2}$	$2$

8.

$x$	$y$
$0$	$1$
$1$	$- 3$
$2$	$- 7$
$3$	$- 3$
$4$	$1$
$5$	$- 3$
$6$	$- 7$

9.

$x$	$y$
$0$	$- 2$
$1$	$4$
$2$	$10$
$3$	$4$
$4$	$- 2$
$5$	$4$
$6$	$10$

10.

$x$	$y$
$0$	$5$
$1$	$- 3$
$2$	$5$
$3$	$13$
$4$	$5$
$5$	$- 3$
$6$	$5$

11.

$x$	$y$
$- 3$	$- 1 - \sqrt{2}$
$- 2$	$- 1$
$- 1$	$1 - \sqrt{2}$
$0$	$0$
$1$	$\sqrt{2} - 1$
$2$	$1$
$3$	$\sqrt{2} + 1$

12.

$x$	$y$
$- 1$	$\sqrt{3} - 2$
$0$	$0$
$1$	$2 - \sqrt{3}$
$2$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$3$	$1$
$4$	$\sqrt{3}$
$5$	$2 + \sqrt{3}$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique la función dada, luego halle un posible proceso físico que pueda modelar la ecuación.

13.

$f (x) = - 30 \cos (\frac{x π}{6}) - 20 \cos^{2} (\frac{x π}{6}) + 80 [0, 12]$

14.

$f (x) = - 18 \cos (\frac{x π}{12}) - 5 sen (\frac{x π}{12}) + 100$ en el intervalo $[0, 24]$

15.

$f (x) = 10 - sen (\frac{x π}{6}) + 24 \tan (\frac{x π}{240})$ en el intervalo $[0, 80]$

En tecnología

En el siguiente ejercicio, construya un comportamiento de modelado de función y utilice una calculadora para estimar los resultados deseados.

16.

El promedio anual del índice pluviométrico en una ciudad es actualmente de 20 pulgadas y varía de una estación a otra en 5 pulgadas. Debido a circunstancias imprevistas, el índice pluviométrico pareciera disminuir en 15 % cada año. ¿Cuántos años a partir de ahora se prevé que el índice pluviométrico llegue inicialmente a 0 pulgadas? Observe que el modelo es inválido una vez que predice el índice pluviométrico negativo, por lo que elija el primer punto en el cual va por debajo de 0.

Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, construya una función sinusoidal con base en la información suministrada y luego resuelva la ecuación para los valores solicitados.

17.

La temperatura exterior a lo largo de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que la temperatura alta de $105 °F$ ocurre a las 5 p. m. y la temperatura promedio del día es $85 °F .$ Calcule la temperatura, hasta el grado más próximo, a las 9 a. m.

18.

La temperatura exterior a lo largo de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que la temperatura alta de $84 °F$ ocurre a las 6 p. m. y la temperatura promedio del día es $70 °F .$ Calcule la temperatura, al grado más próximo, a las 7 a. m.

19.

La temperatura exterior a lo largo de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que la temperatura varía entre $47 °F$ y $63 °F$ durante el día y la temperatura promedio del día ocurre a las 10 a. m. ¿Cuántas horas después de la medianoche la temperatura alcanza por primera vez $51 °F?$

20.

La temperatura exterior a lo largo de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que la temperatura varía entre $64 °F$ y $86 °F$ durante el día y la temperatura promedio del día ocurre por primera vez a las 12 m. ¿Cuántas horas después de la medianoche la temperatura alcanza por primera vez $70 °F?$

21.

Una rueda de la fortuna tiene 20 metros de diámetro y se aborda desde una plataforma que está a 2 metros del suelo. La posición de las seis en punto de la rueda de la fortuna está al nivel de la plataforma de carga. La rueda completa una revolución completa en 6 minutos. ¿Cuánto del recorrido, en minutos y segundos, tarda a un nivel por encima de los 13 metros sobre el suelo?

22.

Una rueda de la fortuna tiene 45 metros de diámetro y se aborda desde una plataforma que está a 1 metro del suelo. La posición de las seis en punto de la rueda de la fortuna está al nivel de la plataforma de carga. La rueda completa 1 revolución completa en 10 minutos. ¿Cuántos minutos del recorrido tarda a un nivel por encima de 26 metros sobre el suelo? Redondee al segundo más próximo.

23.

La banquisa que circunda el Polo Norte fluctúa entre unos 6 millones de kilómetros cuadrados el 1 de septiembre y 14 millones de kilómetros cuadrados el 1 de marzo. Suponiendo una fluctuación sinusoidal, ¿cuándo hay menos de 9 millones de kilómetros cuadrados de banquisa? Indique su respuesta en forma de intervalo de fechas, con una aproximación de un día.

24.

La banquisa que circunda el Polo Norte fluctúa entre unos 18 millones de kilómetros cuadrados en septiembre y 3 millones de kilómetros cuadrados en marzo. Suponiendo una fluctuación sinusoidal, ¿cuándo hay más de 15 millones de kilómetros cuadrados de banquisa? Indique su respuesta en forma de intervalo de fechas, con una aproximación de un día.

25.

Durante una estación monzónica de 90 días, las precipitaciones diarias se pueden modelar mediante funciones sinusoidales. Si el índice pluviométrico fluctúa entre una baja de 2 pulgadas el día 10 y 12 pulgadas el día 55, ¿durante cuál periodo el índice pluviométrico diario es superior a 10 pulgadas?

26.

Durante una estación monzónica de 90 días, las precipitaciones diarias se pueden modelar mediante funciones sinusoidales. Se registró una baja de 4 pulgadas en el índice pluviométrico el día 30, y en general el promedio diario para el índice pluviométrico fue de 8 pulgadas. ¿Durante cuál periodo el índice pluviométrico diario fue inferior a 5 pulgadas?

27.

En una región determinada, la precipitación mensual repunta a 8 pulgadas el 1 de junio y cae a una baja de 1 pulgada el 1 de diciembre. Identifique los periodos cuando la región está por debajo de condiciones de inundación (más de 7 pulgadas) y condiciones de sequía (menos de 2 pulgadas). Indique su respuesta en términos del día más cercano.

28.

En una región determinada, la precipitación mensual repunta a 24 pulgadas en septiembre y cae a una baja de 4 pulgada en marzo. Identifique los periodos cuando la región está por debajo de condiciones de inundación (más de 22 pulgadas) y condiciones de sequía (menos de 5 pulgadas). Indique su respuesta en términos del día más cercano.

En los siguientes ejercicios, calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de la función dada.

29.

El desplazamiento $h (t)$ en centímetros de una masa suspendida por un resorte se modela mediante la función $h (t) = 8 sen (6 π t),$ donde $t$ se mide en segundos. Calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de este desplazamiento.

30.

El desplazamiento $h (t)$ en centímetros de una masa suspendida por un resorte se modela mediante la función $h (t) = 11 sen (12 π t),$ donde $t$ se mide en segundos. Calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de este desplazamiento.

31.

El desplazamiento $h (t)$ en centímetros de una masa suspendida por un resorte se modela mediante la función $h (t) = 4 \cos (\frac{π}{2} t),$ donde $t$ se mide en segundos. Calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de este desplazamiento.

En los siguientes ejercicios, construya una ecuación que modele el comportamiento descrito.

32.

El desplazamiento $h (t),$ en centímetros, de una masa suspendida por un resorte se modela con la función $h (t) = −5 \cos (60 π t),$ donde $t$ se mide en segundos. Calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de este desplazamiento.

En los siguientes ejercicios, construya una ecuación que modele el comportamiento descrito.

33.

La población de ciervos oscila en 19 por encima y por debajo del promedio durante el año, hasta alcanzar el valor más bajo en enero. La población promedio comienza en 800 ciervos y aumenta en 160 cada año. Halle una función que modele la población, $P,$ en términos de meses desde enero, $t .$

34.

La población de liebres oscila en 15 por encima y por debajo del promedio durante el año, hasta alcanzar el valor más bajo en enero. La población promedio comienza en 650 liebres y aumenta en 110 cada año. Halle una función que modele la población, $P,$ en términos de meses desde enero, $t .$

35.

La población de ratas almizcleras oscila en 33 por encima y por debajo del promedio durante el año, hasta alcanzar el valor más bajo en enero. La población promedio comienza en 900 ratas almizcleras y aumenta en $7 %$ cada mes. Halle una función que modele la población, $P,$ en términos de meses desde enero, $t .$

36.

La población de peces oscila en 40 por encima y por debajo del promedio durante el año, hasta alcanzar el valor más bajo en enero. La población promedio comienza en 800 peces y aumenta en 4 % cada mes. Halle una función que modele la población, $P,$ en términos de meses desde enero, $t .$

37.

Un resorte se hala del techo a 10 cm del punto de equilibrio y se suelta. La amplitud disminuye en $15 %$ cada segundo. El resorte oscila 18 veces cada segundo. Halle una función que modele la distancia, $D,$ el extremo del resorte se aleja del equilibrio en términos de segundos, $t,$ desde que se liberó el resorte.

38.

Un resorte se hala del techo a 7 cm del punto de equilibrio y se suelta. La amplitud disminuye en $11 %$ cada segundo. El resorte oscila 20 veces por segundo. Halle una función que modele la distancia, $D,$ el extremo del resorte se aleja del equilibrio en términos de segundos, $t,$ desde que se liberó el resorte.

39.

Un resorte se hala del techo a 17 cm del punto de equilibrio y se suelta. A los 3 segundos, la amplitud disminuye a 13 cm. El resorte oscila 14 veces cada segundo. Halle una función que modele la distancia, $D,$ el extremo del resorte se aleja del equilibrio en términos de segundos, $t,$ desde que se liberó el resorte.

40.

Un resorte se hala del techo a 19 cm del punto de equilibrio y se suelta. A los 4 segundos, la amplitud disminuye a 14 cm. El resorte oscila 13 veces cada segundo. Halle una función que modele la distancia, $D,$ el extremo del resorte se aleja del equilibrio en términos de segundos, $t,$ desde que se liberó el resorte.

En los siguientes ejercicios, cree una función que modele el comportamiento descrito. Luego calcule el resultado deseado con una calculadora.

41.

Un determinado lago tiene actualmente una población de truchas promedio de 20.000. La población oscila de forma natural por encima y por debajo del promedio en 2.000 cada año. Este año, se levantó la veda en el lago. Si los pescadores atrapan 3.000 peces cada año, ¿cuánto tardará para que el lago se quede sin truchas?

42.

La población actual de corégonos en un lago es de 500. La población oscila de forma natural por encima y por debajo del promedio en 25 cada año. De haber sobrepesca, al tomar 4 % de la población cada año, ¿cuántos años pasarán para que el lago tenga por primera vez menos de 200 corégonos?

43.

Un resorte se hala del techo a 11 cm del punto de equilibrio y se suelta. A los 2 segundos, la amplitud disminuye a 6 cm. El resorte oscila 8 veces cada segundo. Calcule cuándo el resorte llega primero entre $- 0,1$ y $0,1 cm,$ efectivamente en reposo.

44.

Un resorte se hala del techo a 21 cm del punto de equilibrio y se suelta. A los 6 segundos, la amplitud disminuye a 4 cm. El resorte oscila 20 veces por segundo. Calcule cuándo el resorte llega primero entre $- 0,1$ y $0,1 cm,$ efectivamente en reposo.

45.

Dos resortes se halan del techo y se sueltan al mismo tiempo. El primer resorte, que oscila 8 veces por segundo, inicialmente se empujó hacia abajo 32 cm de su punto de equilibrio, y la amplitud desciende en 50 % cada segundo. El segundo resorte, que oscila 18 veces por segundo, inicialmente se empujó hacia abajo 15 cm de su punto de equilibrio, y a los 4 segundos tiene una amplitud de 2 cm. ¿Cuál resorte se detiene primero y en qué momento? Considere el "reposo" como una amplitud inferior a $0,1 cm .$

46.

Dos resortes se halan del techo y se sueltan al mismo tiempo. El primer resorte, que oscila 14 veces por segundo, inicialmente se empujó hacia abajo 2 cm de su punto de equilibrio, y la amplitud desciende en 8 % cada segundo. El segundo resorte, que oscila 22 veces por segundo, inicialmente se empujó hacia abajo 10 cm de su punto de equilibrio, y a los 3 segundos tiene una amplitud de 2 cm. ¿Cuál resorte se detiene primero y en qué momento? Considere el "reposo" como una amplitud inferior a $0,1 cm .$

Extensiones

47.

Un avión vuela 1 hora a 150 mph en $22^{\circ}$ al este del norte, luego continúa volando durante 1,5 horas a 120 mph, esta vez a un rodamiento de $112^{\circ}$ al este del norte. Halle la distancia total desde el punto de inicio y el ángulo directo en que se vuela al norte del este.

48.

Un avión vuela 2 horas a 200 mph, a un rodamiento de $60^{\circ},$ luego continúa volando durante 1,5 horas con la misma rapidez, esta vez a un rodamiento de $150^{\circ} .$ Halle la distancia y el rodamiento desde el punto de inicio. Pista: el rodamiento se mide en el sentido contrario de las agujas del reloj desde el norte.

En los siguientes ejercicios, halle una función de la forma $y = a b^{x} + c sen (\frac{π}{2} x)$ que se ajusta a los datos dados.

49.

$x$	0	1	2	3
$y$	6	29	96	379

50.

$x$	0	1	2	3
$y$	6	34	150	746

51.

$x$	0	1	2	3
$y$	4	0	16	-40

En los siguientes ejercicios, halle una función de la forma $y = a b^{x} \cos (\frac{π}{2} x) + c$ que se ajusta a los datos dados.

52.

$x$	0	1	2	3
$y$	11	3	1	3

53.

$x$	0	1	2	3
$y$	4	1	−11	1

7.6 Modelado con funciones trigonométricas

Determinar la amplitud y el periodo de la función sinusoidal.

Mostrar cómo las propiedades de una función trigonométrica pueden transformar un gráfico.

Solución

Hallar la amplitud y el periodo de una función

Solución

Hallar ecuaciones y graficar funciones sinusoidales

Graficar funciones sinusoidales con puntos clave

Solución

Modelar el comportamiento periódico

Modelar una ecuación y dibujar un gráfico sinusoidal que se ajuste a los criterios

Solución

Describir el movimiento periódico

Solución

Determinar un modelo para las mareas

Solución

Interpretar la ecuación del comportamiento periódico

Solución

Análisis

Modelar las funciones del movimiento armónico

Movimiento armónico simple

Calcular el desplazamiento, el periodo y la frecuencia, y graficar una función

Solución

Movimiento armónico amortiguado

Modelar el movimiento armónico amortiguado

Solución

Análisis

Hallar una función coseno que modele el movimiento armónico amortiguado

Solución

Hallar una función de seno que modele el movimiento armónico amortiguado

Solución

Análisis

Modelar la oscilación de un resorte

Solución

Calcular el valor de la constante de amortiguamiento c conforme a los criterios aportados

Solución

Delimitar curvas en movimiento armónico

Graficar una curva oscilante de coseno

Solución

Análisis

7.6 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

En tecnología

Aplicaciones en el mundo real

Extensiones