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Precálculo 2ed

7.6 Modelado con funciones trigonométricas

Precálculo 2ed7.6 Modelado con funciones trigonométricas

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Determinar la amplitud y el período de las funciones sinusoidales.
  • Modelar ecuaciones y graficar funciones sinusoidales.
  • Modelar el comportamiento periódico.
  • Modelar las funciones de movimiento armónico.
Foto de la parte de arriba de un reloj.
Figura 1 Las agujas del reloj son periódicas: repiten las posiciones cada doce horas. (Créditos: "zoutedrop"/Flickr)

Supongamos que graficamos el promedio de temperaturas diarias en la ciudad de Nueva York en el transcurso de un año. Es de esperar que las temperaturas más bajas se den en enero y febrero y las más altas, en julio y agosto. Este ciclo familiar se repite año tras año, y si extendiéramos el gráfico a lo largo de varios años, se asemejaría a una función periódica.

Muchos otros fenómenos naturales también son periódicos. Por ejemplo, las fases de la luna tienen un periodo de aproximadamente 28 días, y las aves migran hacia el sur más o menos en la misma época cada año.

Entonces, ¿cómo podemos modelar una ecuación que refleje un comportamiento periódico? Primero, debemos recopilar y registrar datos. A continuación, hallamos una función que se asemeje a un patrón observado. Por último, realizamos las modificaciones necesarias en la función para obtener un modelo fiable. En esta sección, profundizaremos en tipos específicos de comportamiento periódico y en las ecuaciones de los modelos que se ajustan a los datos.

Determinar la amplitud y el periodo de la función sinusoidal.

Cualquier movimiento que se repita en un tiempo fijo se considera un movimiento periódico y puede modelarse mediante una función sinusoidal. La amplitud de una función sinusoidal es la distancia de la línea media al valor máximo, o de la línea media al valor mínimo. La línea media es el valor promedio. Las funciones sinusoidales oscilan por encima y por debajo de la línea media, son periódicas y repiten los valores en ciclos establecidos. Recuerde a partir de los gráficos de las funciones de seno y coseno que el periodo de las funciones de seno y de coseno es 2π. 2π. En otras palabras, para cualquier valor de x, x,

sen( x±2πk )=senx    y    cos( x±2πk )=cosx    donde k es un número entero sen( x±2πk )=senx    y    cos( x±2πk )=cosx    donde k es un número entero

Forma típica de las ecuaciones sinusoidales.

Las formas generales de una ecuación sinusoidal vienen dadas por

y=Asen( Bt-C )+D o y=Acos( Bt-C )+D y=Asen( Bt-C )+D o y=Acos( Bt-C )+D

donde amplitud=|A|,B amplitud=|A|,B guarda relación con el periodo tal que el  periodo= 2 π B ,C  periodo= 2 π B ,C es el deslizamiento de fase tal que C B C B denota el desplazamiento horizontal, y D D representa el desplazamiento vertical del gráfico matriz.

Observe que los modelos a veces se escriben como y=asen( ωt±C )+D y=asen( ωt±C )+D o y=acos( ωt±C )+D, y=acos( ωt±C )+D, y el periodo viene dado como 2π ω . 2π ω .

La diferencia entre los gráficos de seno y coseno es que el gráfico de seno comienza con el valor promedio de la función, mientras que el gráfico de coseno comienza con el valor máximo o mínimo de la función.

Ejemplo 1

Mostrar cómo las propiedades de una función trigonométrica pueden transformar un gráfico.

Indique la transformación del gráfico de y=senx y=senx en el gráfico de y=2sen( 4x- π 2 )+2. y=2sen( 4x- π 2 )+2.

Ejemplo 2

Hallar la amplitud y el periodo de una función

Halle la amplitud y el periodo de las siguientes funciones y grafique un ciclo.

  1. y=2sen( 1 4 x ) y=2sen( 1 4 x )
  2. y=−3sen( 2 x+ π 2 ) y=−3sen( 2 x+ π 2 )
  3. y=cosx+3 y=cosx+3

Inténtelo #1

¿Cuáles son la amplitud y el periodo de la función y=3cos(3πx)? y=3cos(3πx)?

Hallar ecuaciones y graficar funciones sinusoidales

Un método para graficar las funciones sinusoidales consiste en hallar cinco puntos clave. Estos puntos corresponderán a intervalos de igual longitud que representan 1 4 1 4 del periodo. Los puntos clave indicarán la ubicación de los valores máximos y mínimos. Si no hay desplazamiento vertical, también indicarán las intersecciones en x. Por ejemplo, supongamos que queremos graficar la función y=cosθ. y=cosθ. Sabemos que el periodo es 2π, 2π, por lo que hallamos el intervalo entre los puntos clave, de la siguiente manera.

2π 4 = π 2 2π 4 = π 2

Comenzando por θ=0, θ=0, calculamos el primer valor de y, sumamos la longitud del intervalo π 2 π 2 a 0, y calculamos el segundo valor de y. Luego sumamos π 2 π 2 varias veces hasta que se determinen los cinco puntos clave. El último valor debería ser igual al primero, ya que los cálculos abarcan un periodo entero. Al hacer una tabla parecida a la Tabla 1, podemos ver estos puntos clave claramente en el gráfico que se muestra en la Figura 6.

θ θ 0 0 π 2 π 2 π π 3π 2 3π 2 2π 2π
y=cosθ y=cosθ 1 1 0 0 −1 −1 0 0 1 1
Tabla 1
Gráfico de y=cos(x) desde-pi/2 hasta 5pi/2.
Figura 6

Ejemplo 3

Graficar funciones sinusoidales con puntos clave

Grafique la función y=-4cos( πx ) y=-4cos( πx ) mediante el empleo de la amplitud, el periodo y los puntos clave.

Inténtelo #2

Grafique la función y=3sen(3x) y=3sen(3x) mediante el empleo de la amplitud, el periodo y los cinco puntos clave.

Modelar el comportamiento periódico

Ahora aplicaremos estas ideas a los problemas que impliquen comportamiento periódico.

Ejemplo 4

Modelar una ecuación y dibujar un gráfico sinusoidal que se ajuste a los criterios

El promedio de la temperatura mensual para un pueblito en Oregón se da en la Tabla 3. Halle la función sinusoidal de la forma y=Asen( Bt-C )+D y=Asen( Bt-C )+D que se ajuste a los datos (redondee hasta la décima más próxima) y dibuje el gráfico.

Mes Temperatura, i F i F
Enero 42,5
Febrero 44,5
Marzo 48,5
Abril 52,5
Mayo 58
Junio 63
Julio 68,5
Agosto 69
Septiembre 64,5
Octubre 55,5
Noviembre 46,5
Diciembre 43,5
Tabla 3

Ejemplo 5

Describir el movimiento periódico

La aguja que marca las horas del reloj que está en la pared en Union Station mide 24 pulgadas. A mediodía, el puntero de la aguja que marca las horas está a 30 pulgadas del techo. A las 3 p. m., el puntero está a 54 pulgadas del techo, y a las 6 p. m., a 78 pulgadas. A las 9 p. m., está nuevamente a 54 pulgadas del techo, y a la medianoche, la punta de la aguja que marca las horas regresa a su posición original: a 30 pulgadas del techo. Supongamos que y y es igual a la distancia que va desde el puntero de la aguja que marca las horas hasta el techo x x horas después del mediodía. Halle la ecuación que modele el movimiento del reloj y dibuje el gráfico.

Ejemplo 6

Determinar un modelo para las mareas

La altura de la ola en un pueblito costero se mide a lo largo de un malecón. El nivel del agua oscila entre 7 pies en marea baja y 15 pies en marea alta. En un día en particular, hubo marea baja a las 6 a. m. y marea alta al mediodía. El ciclo se repite aproximadamente cada 12 horas. Halle una ecuación que modele el nivel del agua.

Inténtelo #3

La temperatura diaria en el mes de marzo en una determinada ciudad varía desde una baja de 24 °F 24 °F hasta un alta de 40 °F. 40 °F. Halle una función sinusoidal para modelar la temperatura diaria y dibuje el gráfico. Calcule el tiempo aproximado cuando la temperatura alcanza el punto de congelación 32 °F. 32 °F. Supongamos que t=0 t=0 corresponde al mediodía.

Ejemplo 7

Interpretar la ecuación del comportamiento periódico

La presión arterial de una persona promedio se modela con la función f( t )=20sen( 160πt )+100, f( t )=20sen( 160πt )+100, donde f( t ) f( t ) representa la presión arterial en el tiempo t, t, medida en minutos. Interprete la función en términos de periodo y frecuencia. Trace el gráfico y halle la lectura de la presión arterial.

Análisis

La presión arterial en 120 80 120 80 se considera normal. La cifra de arriba es la lectura máxima o sístole, que mide la presión en las arterias cuando el corazón se contrae. La cifra de abajo es la lectura mínima o diástole, que mide la presión en las arterias cuando el corazón se relaja entre los latidos y se vuelve a llenar de sangre. Así, la presión arterial normal puede modelarse por una función periódica con un máximo de 120 y un mínimo de 80.

Modelar las funciones del movimiento armónico

El movimiento armónico es una forma de movimiento periódico, pero han de considerarse ciertos factores para diferenciar estos dos tipos. Mientras las aplicaciones del movimiento periódico en general recorren sus periodos sin interferencia externa, el movimiento armónico exige una fuerza restauradora. Algunos ejemplos del movimiento armónico son los resortes, la fuerza gravitacional y la fuerza magnética.

Movimiento armónico simple

El tipo de movimiento que se califica de movimiento armónico simple involucra una fuerza restauradora, pero asume que el movimiento continuará por siempre. Imagine un objeto lastrado que cuelga de un resorte. Cuando no se altera ese objeto, decimos que está en reposo o en equilibrio. Si el objeto se hala y luego se suelta, la fuerza del resorte lleva el objeto de vuelta al equilibrio y comienza el movimiento armónico. La fuerza restauradora es directamente proporcional al desplazamiento del objeto a partir de su punto de equilibrio. Cuando t=0,d=0. t=0,d=0.

Movimiento armónico simple

Observamos que las ecuaciones del movimiento armónico simple vienen dadas en términos de desplazamiento:

d=acos( ωt )  o  d=asen( ωt ) d=acos( ωt )  o  d=asen( ωt )

donde | a | | a | es la amplitud, 2π ω 2π ω es el periodo, y ω 2π ω 2π es la frecuencia o el número de ciclos por unidad de fuerza.

Ejemplo 8

Calcular el desplazamiento, el periodo y la frecuencia, y graficar una función

Para las funciones dadas:

  1. Calcule el desplazamiento máximo de un objeto.
  2. Calcule el periodo o el tiempo necesario para una vibración.
  3. Calcule la frecuencia.
  4. Dibuje el gráfico.
  1. y=5sen( 3t ) y=5sen( 3t )
  2. y=6cos( πt ) y=6cos( πt )
  3. y=5cos( π 2 t ) y=5cos( π 2 t )

Movimiento armónico amortiguado

En realidad, un péndulo no oscila de un lado a otro por siempre, como tampoco un objeto en un resorte rebota hacia arriba y hacia abajo. A la larga, el péndulo deja de oscilar y el objeto deja de rebotar y ambos vuelven al equilibrio. El movimiento periódico en el cual actúa una fuerza disipadora de energía, o factor de amortiguamiento, se conoce como movimiento armónico amortiguado. La fricción es típicamente el factor de amortiguamiento.

En física se utilizan diversas fórmulas para representar el factor de amortiguamiento en el objeto móvil. Algunas de estas fórmulas se basan en el cálculo e integran derivadas. Para nuestros propósitos, utilizaremos fórmulas para modelos básicos de movimiento armónico amortiguado.

Movimiento armónico amortiguado

En el movimiento armónico amortiguado, el desplazamiento de un objeto oscilante desde su posición de reposo en tiempo t t se da como

f(t)=a e -ct sen(ωt)of(t)=a e -ct cos(ωt) f(t)=a e -ct sen(ωt)of(t)=a e -ct cos(ωt)

donde c c es un factor de amortiguamiento, | a | | a | es el desplazamiento inicial y 2π ω 2π ω es el periodo.

Ejemplo 9

Modelar el movimiento armónico amortiguado

Modele las ecuaciones que se ajusten a las dos situaciones y utilice una herramienta para graficar las funciones: Dos sistemas de masa-resorte exhiben un movimiento armónico amortiguado a una frecuencia de 0,5 0,5 ciclos por segundo. Ambos tienen un desplazamiento inicial de 10 cm. El primero tiene un factor de amortiguamiento de 0,5 0,5 y el segundo tiene un factor de amortiguamiento de 0,1. 0,1.

Análisis

Observe los distintos efectos de la constante de amortiguamiento. Los valores locales máximo y mínimo de la función con el factor de amortiguamiento c=0,5 c=0,5 desciende mucho más rápidamente que el de la función con c=0,1. c=0,1.

Ejemplo 10

Hallar una función coseno que modele el movimiento armónico amortiguado

Calcule y grafique una función de la forma y=a e -ct cos( ωt ) y=a e -ct cos( ωt ) que represente la información dada.

  1. a=20,c=0,05,p=4 a=20,c=0,05,p=4
  2. a=2 ,c=1,5,f=3 a=2 ,c=1,5,f=3

Inténtelo #4

La siguiente ecuación representa un modelo de movimiento armónico amortiguado: f( t )=5 e 6t cos( 4t ) f( t )=5 e 6t cos( 4t ) Halle el desplazamiento inicial, la constante de amortiguamiento y la frecuencia.

Ejemplo 11

Hallar una función de seno que modele el movimiento armónico amortiguado

Calcule y grafique una función de la forma y=a e -ct sen( ωt ) y=a e -ct sen( ωt ) que represente la información dada.

  1. a=7,c=10,p= π 6 a=7,c=10,p= π 6
  2. a=0,3,c=0,2,f=20 a=0,3,c=0,2,f=20

Análisis

La comparación de los últimos dos ejemplos ilustra la manera en que escogemos entre la función de seno y la función coseno para modelar los criterios sinusoidales. Observamos que la función coseno se encuentra en el desplazamiento máximo cuando t=0, t=0, y la función de seno se encuentra en el punto de equilibrio cuando t=0. t=0. Por ejemplo, considere la ecuación y=20 e 0,05t cos( π 2 t ) y=20 e 0,05t cos( π 2 t ) desde el Ejemplo 10. Podemos ver a partir del gráfico que, cuando t=0, y=20, t=0, y=20, que es la amplitud inicial. Compruebe esto al ajustar t=0 t=0 en la ecuación de coseno:

y=20 e 0,05(0) cos( π 2 )(0) =20(1)(1) =20 y=20 e 0,05(0) cos( π 2 )(0) =20(1)(1) =20

Con la función de seno arroja

y=20 e 0,05(0) sen( π 2 )(0) =20(1)(0) =0 y=20 e 0,05(0) sen( π 2 )(0) =20(1)(0) =0

Así, el coseno es la función correcta.

Inténtelo #5

Escriba la ecuación para el movimiento armónico amortiguado, dado a=10,c=0,5, a=10,c=0,5, y p=2. p=2.

Ejemplo 12

Modelar la oscilación de un resorte

Un resorte que mide 10 pulgadas en su longitud natural se comprime en 5 pulgadas y se suelta. Oscila una vez cada 3 segundos, y su amplitud disminuye en 30 % cada segundo. Halle una ecuación que modele la posición del resorte t t segundos después de ser liberado.

Inténtelo #6

La masa suspendida de un resorte se eleva a una distancia de 5 cm por encima de su posición de reposo. La masa se suelta en el tiempo t=0 t=0 y se deja oscilar. Después de 1 3 1 3 segundos, se observa que la masa retorna a su posición más elevada. Halle una función para modelar este movimiento con respecto a su posición inicial de reposo.

Ejemplo 13

Calcular el valor de la constante de amortiguamiento c conforme a los criterios aportados

La cuerda de una guitarra se rasga y vibra en movimiento armónico amortiguado. Se pulsa la cuerda y se desplaza 2 cm desde su posición de reposo. A los 3 segundos, el desplazamiento de la cuerda mide 1 cm. Halle la constante de amortiguamiento.

Delimitar curvas en movimiento armónico

Los gráficos de movimiento armónico pueden estar encerrados por curvas delimitadoras. Cuando una función tiene una amplitud variable, que se eleva y cae varias veces dentro de un período, podemos determinar las curvas delimitadoras a partir de una parte de la función.

Ejemplo 14

Graficar una curva oscilante de coseno

Grafique la función f( x )=cos(2πx)cos(16πx). f( x )=cos(2πx)cos(16πx).

Análisis

Las curvas y=cos(2πx) y=cos(2πx) y y=-cos( 2πx ) y=-cos( 2πx ) son curvas delimitadoras: delimitan la función desde arriba y desde abajo, para trazar los puntos superiores e inferiores. El gráfico del movimiento armónico se sitúa dentro de las curvas delimitadoras. Este es un ejemplo de una función cuya amplitud no solamente disminuye con el tiempo, sino que realmente aumenta y disminuye varias veces en un periodo.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las aplicaciones trigonométricas.

7.6 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Explique cuáles son los tipos de fenómenos físicos que se modelan mejor con las funciones sinusoidales. ¿Cuáles son las características necesarias?

2.

¿Cuál información hace falta para construir un modelo trigonométrico de la temperatura diaria? Dé ejemplos de dos distintos conjuntos de información que permitan el modelado con una ecuación.

3.

Si quisiéramos modelar el índice pluviométrico acumulado en el transcurso de un año, ¿la función sinusoidal sería un modelo apropiado? ¿Por qué sí o por qué no?

4.

Explique el efecto de un factor de amortiguamiento en los gráficos de las funciones de movimiento armónico.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle una posible fórmula para la función trigonométrica, que se representa con la tabla dada de valores.

5.
x x y y
0 0 -4 -4
3 3 -1 -1
6 6 2 2
9 9 -1 -1
12 12 -4 -4
15 15 -1 -1
18 18 2 2
6.
x x y y
0 0 5 5
2 2 1 1
4 4 -3 -3
6 6 1 1
8 8 5 5
10 10 1 1
12 12 -3 -3
7.
x x y y
0 0 2 2
π 4 π 4 7 7
π 2 π 2 2 2
3π 4 3π 4 -3 -3
π π 2 2
5π 4 5π 4 7 7
3π 2 3π 2 2 2
8.
x x y y
0 0 1 1
1 1 -3 -3
2 2 7 7
3 3 -3 -3
4 4 1 1
5 5 -3 -3
6 6 7 7
9.
x x y y
0 0 -2 -2
1 1 4 4
2 2 10 10
3 3 4 4
4 4 -2 -2
5 5 4 4
6 6 10 10
10.
x x y y
0 0 5 5
1 1 -3 -3
2 2 5 5
3 3 13 13
4 4 5 5
5 5 -3 -3
6 6 5 5
11.
x x y y
-3 -3 -1- 2 -1- 2
-2 -2 -1 -1
-1 -1 1- 2 1- 2
0 0 0 0
1 1 2 1 2 1
2 2 1 1
3 3 2 +1 2 +1
12.
x x y y
-1 -1 3 -2 3 -2
0 0 0 0
1 1 2 - 3 2 - 3
2 2 3 3 3 3
3 3 1 1
4 4 3 3
5 5 2 + 3 2 + 3

Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique la función dada, luego halle un posible proceso físico que pueda modelar la ecuación.

13.

f(x)=30cos( xπ 6 )20 cos 2 ( xπ 6 )+80[0,12] f(x)=30cos( xπ 6 )20 cos 2 ( xπ 6 )+80[0,12]

14.

f(x)=18cos( xπ 12 )-5sen( xπ 12 )+100 f(x)=18cos( xπ 12 )-5sen( xπ 12 )+100 en el intervalo [0,24] [0,24]

15.

f(x)=10sen( xπ 6 )+24tan( xπ 240 ) f(x)=10sen( xπ 6 )+24tan( xπ 240 ) en el intervalo [0,80] [0,80]

En tecnología

En el siguiente ejercicio, construya un comportamiento de modelado de función y utilice una calculadora para estimar los resultados deseados.

16.

El promedio anual del índice pluviométrico en una ciudad es actualmente de 20 pulgadas y varía de una estación a otra en 5 pulgadas. Debido a circunstancias imprevistas, el índice pluviométrico pareciera disminuir en 15 % cada año. ¿Cuántos años a partir de ahora se prevé que el índice pluviométrico llegue inicialmente a 0 pulgadas? Observe que el modelo es inválido una vez que predice el índice pluviométrico negativo, por lo que elija el primer punto en el cual va por debajo de 0.

Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, construya una función sinusoidal con base en la información suministrada y luego resuelva la ecuación para los valores solicitados.

17.

La temperatura exterior a lo largo de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que la temperatura alta de 105 °F 105 °F ocurre a las 5 p. m. y la temperatura promedio del día es 85 °F. 85 °F. Calcule la temperatura, hasta el grado más próximo, a las 9 a. m.

18.

La temperatura exterior a lo largo de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que la temperatura alta de 84 °F 84 °F ocurre a las 6 p. m. y la temperatura promedio del día es 70 °F. 70 °F. Calcule la temperatura, al grado más próximo, a las 7 a. m.

19.

La temperatura exterior a lo largo de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que la temperatura varía entre 47 °F 47 °F y 63 °F 63 °F durante el día y la temperatura promedio del día ocurre a las 10 a. m. ¿Cuántas horas después de la medianoche la temperatura alcanza por primera vez 51 °F? 51 °F?

20.

La temperatura exterior a lo largo de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que la temperatura varía entre 64 °F 64 °F y 86 °F 86 °F durante el día y la temperatura promedio del día ocurre por primera vez a las 12 m. ¿Cuántas horas después de la medianoche la temperatura alcanza por primera vez 70 °F? 70 °F?

21.

Una rueda de la fortuna tiene 20 metros de diámetro y se aborda desde una plataforma que está a 2 metros del suelo. La posición de las seis en punto de la rueda de la fortuna está al nivel de la plataforma de carga. La rueda completa una revolución completa en 6 minutos. ¿Cuánto del recorrido, en minutos y segundos, tarda a un nivel por encima de los 13 metros sobre el suelo?

22.

Una rueda de la fortuna tiene 45 metros de diámetro y se aborda desde una plataforma que está a 1 metro del suelo. La posición de las seis en punto de la rueda de la fortuna está al nivel de la plataforma de carga. La rueda completa 1 revolución completa en 10 minutos. ¿Cuántos minutos del recorrido tarda a un nivel por encima de 26 metros sobre el suelo? Redondee al segundo más próximo.

23.

La banquisa que circunda el Polo Norte fluctúa entre unos 6 millones de kilómetros cuadrados el 1 de septiembre y 14 millones de kilómetros cuadrados el 1 de marzo. Suponiendo una fluctuación sinusoidal, ¿cuándo hay menos de 9 millones de kilómetros cuadrados de banquisa? Indique su respuesta en forma de intervalo de fechas, con una aproximación de un día.

24.

La banquisa que circunda el Polo Norte fluctúa entre unos 18 millones de kilómetros cuadrados en septiembre y 3 millones de kilómetros cuadrados en marzo. Suponiendo una fluctuación sinusoidal, ¿cuándo hay más de 15 millones de kilómetros cuadrados de banquisa? Indique su respuesta en forma de intervalo de fechas, con una aproximación de un día.

25.

Durante una estación monzónica de 90 días, las precipitaciones diarias se pueden modelar mediante funciones sinusoidales. Si el índice pluviométrico fluctúa entre una baja de 2 pulgadas el día 10 y 12 pulgadas el día 55, ¿durante cuál periodo el índice pluviométrico diario es superior a 10 pulgadas?

26.

Durante una estación monzónica de 90 días, las precipitaciones diarias se pueden modelar mediante funciones sinusoidales. Se registró una baja de 4 pulgadas en el índice pluviométrico el día 30, y en general el promedio diario para el índice pluviométrico fue de 8 pulgadas. ¿Durante cuál periodo el índice pluviométrico diario fue inferior a 5 pulgadas?

27.

En una región determinada, la precipitación mensual repunta a 8 pulgadas el 1 de junio y cae a una baja de 1 pulgada el 1 de diciembre. Identifique los periodos cuando la región está por debajo de condiciones de inundación (más de 7 pulgadas) y condiciones de sequía (menos de 2 pulgadas). Indique su respuesta en términos del día más cercano.

28.

En una región determinada, la precipitación mensual repunta a 24 pulgadas en septiembre y cae a una baja de 4 pulgada en marzo. Identifique los periodos cuando la región está por debajo de condiciones de inundación (más de 22 pulgadas) y condiciones de sequía (menos de 5 pulgadas). Indique su respuesta en términos del día más cercano.

En los siguientes ejercicios, calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de la función dada.

29.

El desplazamiento h(t) h(t) en centímetros de una masa suspendida por un resorte se modela mediante la función h(t)=8sen(6πt), h(t)=8sen(6πt), donde t t se mide en segundos. Calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de este desplazamiento.

30.

El desplazamiento h(t) h(t) en centímetros de una masa suspendida por un resorte se modela mediante la función h(t)=11sen(12πt), h(t)=11sen(12πt), donde t t se mide en segundos. Calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de este desplazamiento.

31.

El desplazamiento h(t) h(t) en centímetros de una masa suspendida por un resorte se modela mediante la función h(t)=4cos( π 2 t ), h(t)=4cos( π 2 t ), donde t t se mide en segundos. Calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de este desplazamiento.

En los siguientes ejercicios, construya una ecuación que modele el comportamiento descrito.

32.

El desplazamiento h(t), h(t), en centímetros, de una masa suspendida por un resorte se modela con la función h(t)=−5cos( 60πt ), h(t)=−5cos( 60πt ), donde t t se mide en segundos. Calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de este desplazamiento.

En los siguientes ejercicios, construya una ecuación que modele el comportamiento descrito.

33.

La población de ciervos oscila en 19 por encima y por debajo del promedio durante el año, hasta alcanzar el valor más bajo en enero. La población promedio comienza en 800 ciervos y aumenta en 160 cada año. Halle una función que modele la población, P, P, en términos de meses desde enero, t. t.

34.

La población de liebres oscila en 15 por encima y por debajo del promedio durante el año, hasta alcanzar el valor más bajo en enero. La población promedio comienza en 650 liebres y aumenta en 110 cada año. Halle una función que modele la población, P, P, en términos de meses desde enero, t. t.

35.

La población de ratas almizcleras oscila en 33 por encima y por debajo del promedio durante el año, hasta alcanzar el valor más bajo en enero. La población promedio comienza en 900 ratas almizcleras y aumenta en 7 %7 % cada mes. Halle una función que modele la población, P, P, en términos de meses desde enero, t. t.

36.

La población de peces oscila en 40 por encima y por debajo del promedio durante el año, hasta alcanzar el valor más bajo en enero. La población promedio comienza en 800 peces y aumenta en 4 % cada mes. Halle una función que modele la población, P, P, en términos de meses desde enero, t. t.

37.

Un resorte se hala del techo a 10 cm del punto de equilibrio y se suelta. La amplitud disminuye en 15 %15 % cada segundo. El resorte oscila 18 veces cada segundo. Halle una función que modele la distancia, D, D, el extremo del resorte se aleja del equilibrio en términos de segundos, t, t, desde que se liberó el resorte.

38.

Un resorte se hala del techo a 7 cm del punto de equilibrio y se suelta. La amplitud disminuye en 11 %11 % cada segundo. El resorte oscila 20 veces por segundo. Halle una función que modele la distancia, D, D, el extremo del resorte se aleja del equilibrio en términos de segundos, t, t, desde que se liberó el resorte.

39.

Un resorte se hala del techo a 17 cm del punto de equilibrio y se suelta. A los 3 segundos, la amplitud disminuye a 13 cm. El resorte oscila 14 veces cada segundo. Halle una función que modele la distancia, D, D, el extremo del resorte se aleja del equilibrio en términos de segundos, t, t, desde que se liberó el resorte.

40.

Un resorte se hala del techo a 19 cm del punto de equilibrio y se suelta. A los 4 segundos, la amplitud disminuye a 14 cm. El resorte oscila 13 veces cada segundo. Halle una función que modele la distancia, D, D, el extremo del resorte se aleja del equilibrio en términos de segundos, t, t, desde que se liberó el resorte.

En los siguientes ejercicios, cree una función que modele el comportamiento descrito. Luego calcule el resultado deseado con una calculadora.

41.

Un determinado lago tiene actualmente una población de truchas promedio de 20.000. La población oscila de forma natural por encima y por debajo del promedio en 2.000 cada año. Este año, se levantó la veda en el lago. Si los pescadores atrapan 3.000 peces cada año, ¿cuánto tardará para que el lago se quede sin truchas?

42.

La población actual de corégonos en un lago es de 500. La población oscila de forma natural por encima y por debajo del promedio en 25 cada año. De haber sobrepesca, al tomar 4 % de la población cada año, ¿cuántos años pasarán para que el lago tenga por primera vez menos de 200 corégonos?

43.

Un resorte se hala del techo a 11 cm del punto de equilibrio y se suelta. A los 2 segundos, la amplitud disminuye a 6 cm. El resorte oscila 8 veces cada segundo. Calcule cuándo el resorte llega primero entre 0,1 0,1 y 0,1 cm, 0,1 cm, efectivamente en reposo.

44.

Un resorte se hala del techo a 21 cm del punto de equilibrio y se suelta. A los 6 segundos, la amplitud disminuye a 4 cm. El resorte oscila 20 veces por segundo. Calcule cuándo el resorte llega primero entre 0,1 0,1 y 0,1 cm, 0,1 cm, efectivamente en reposo.

45.

Dos resortes se halan del techo y se sueltan al mismo tiempo. El primer resorte, que oscila 8 veces por segundo, inicialmente se empujó hacia abajo 32 cm de su punto de equilibrio, y la amplitud desciende en 50 % cada segundo. El segundo resorte, que oscila 18 veces por segundo, inicialmente se empujó hacia abajo 15 cm de su punto de equilibrio, y a los 4 segundos tiene una amplitud de 2 cm. ¿Cuál resorte se detiene primero y en qué momento? Considere el "reposo" como una amplitud inferior a 0,1 cm. 0,1 cm.

46.

Dos resortes se halan del techo y se sueltan al mismo tiempo. El primer resorte, que oscila 14 veces por segundo, inicialmente se empujó hacia abajo 2 cm de su punto de equilibrio, y la amplitud desciende en 8 % cada segundo. El segundo resorte, que oscila 22 veces por segundo, inicialmente se empujó hacia abajo 10 cm de su punto de equilibrio, y a los 3 segundos tiene una amplitud de 2 cm. ¿Cuál resorte se detiene primero y en qué momento? Considere el "reposo" como una amplitud inferior a 0,1 cm. 0,1 cm.

Extensiones

47.

Un avión vuela 1 hora a 150 mph en 22 22 al este del norte, luego continúa volando durante 1,5 horas a 120 mph, esta vez a un rodamiento de 112 112 al este del norte. Halle la distancia total desde el punto de inicio y el ángulo directo en que se vuela al norte del este.

48.

Un avión vuela 2 horas a 200 mph, a un rodamiento de 60 , 60 , luego continúa volando durante 1,5 horas con la misma rapidez, esta vez a un rodamiento de 150 . 150 . Halle la distancia y el rodamiento desde el punto de inicio. Pista: el rodamiento se mide en el sentido contrario de las agujas del reloj desde el norte.

En los siguientes ejercicios, halle una función de la forma y=a b x +csen( π 2 x ) y=a b x +csen( π 2 x ) que se ajusta a los datos dados.

49.
x x 0 1 2 3
y y 6 29 96 379
50.
x x 0 1 2 3
y y 6 34 150 746
51.
x x 0 1 2 3
y y 4 0 16 -40

En los siguientes ejercicios, halle una función de la forma y=a b x cos( π 2 x )+c y=a b x cos( π 2 x )+c que se ajusta a los datos dados.

52.
x x 0 1 2 3
y y 11 3 1 3
53.
x x 0 1 2 3
y y 4 1 −11 1
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