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Precálculo 2ed

7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas

Precálculo 2ed7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Resolver ecuaciones trigonométricas lineales en seno y coseno.
  • Resolver ecuaciones que impliquen una sola función trigonométrica.
  • Resolver ecuaciones trigonométricas con la calculadora.
  • Resolver ecuaciones trigonométricas de forma cuadrática.
  • Resolver ecuaciones trigonométricas con las identidades fundamentales.
  • Resolver ecuaciones trigonométricas con múltiples ángulos.
  • Resolver problemas de triángulos rectángulos.
Foto de las pirámides egipcias cerca de una ciudad moderna.
Figura 1 Pirámides egipcias cerca de una ciudad moderna (créditos: Oisin Mulvihill)

Tales de Mileto (circa 625-547 a.C.) es conocido por ser el fundador de la geometría. La leyenda cuenta que calculó la altura de la Gran Pirámide de Guiza en Egipto con base en la teoría de los triángulos semejantes, que desarrolló al medir la sombra de su bastón. Basada en las proporciones, esta teoría tiene aplicaciones en varios ámbitos, como la geometría fractal, la ingeniería y la arquitectura. A menudo, el ángulo de elevación y el ángulo de depresión se encuentran mediante el empleo de triángulos semejantes.

En secciones anteriores de este capítulo, hemos visto las identidades trigonométricas. Las identidades son verdaderas para todos los valores en el dominio de la variable. En esta sección, comenzamos nuestro estudio de las ecuaciones trigonométricas para explorar escenarios del mundo real como el de calcular las dimensiones de las pirámides.

Resolver ecuaciones trigonométricas lineales en seno y coseno

Las ecuaciones trigonométricas, como su nombre lo indica, implican funciones trigonométricas. Semejante en muchos aspectos a la resolución de ecuaciones polinómicas o racionales, solo los valores específicos de la variable serán soluciones, si es que las hay. A menudo resolveremos una ecuación trigonométrica en un intervalo determinado. Sin embargo, con la misma frecuencia, se nos pedirá que hallemos todas las soluciones posibles, y como las funciones trigonométricas son periódicas, las soluciones se repiten dentro de cada período. En otras palabras, las ecuaciones trigonométricas pueden tener infinidad de soluciones. Además, al igual que las ecuaciones racionales, hay que tener en cuenta el dominio de la función antes de asumir que cualquier solución sea válida. El periodo de la función seno y de la función coseno es 2π. 2π. En otras palabras, cada 2π 2π unidades, los valores de y se repiten. Si necesitamos hallar todas las soluciones posibles, entonces debemos sumar 2πk, 2πk, donde k k es un número entero, a la solución inicial. Recordemos la regla que da el formato para enunciar todas las posibles soluciones de una función cuyo periodo es 2π: 2π:

senθ=sen(θ±2kπ) senθ=sen(θ±2kπ)

Existen reglas similares para indicar todas las posibles soluciones de las demás funciones trigonométricas. La resolución de ecuaciones trigonométricas exige las mismas técnicas que la resolución de ecuaciones algebraicas. Leemos la ecuación de izquierda a derecha, en horizontal, como una frase. Buscamos patrones conocidos, factorizamos, hallamos denominadores comunes y sustituimos ciertas expresiones con una variable para que la resolución sea un proceso más sencillo. Sin embargo, con las ecuaciones trigonométricas, también tenemos la ventaja de utilizar las identidades que hemos desarrollado en las secciones anteriores.

Ejemplo 1

Resolver una ecuación trigonométrica lineal con la función coseno

Halle todas las soluciones posibles exactas de la ecuación cosθ= 1 2 . cosθ= 1 2 .

Ejemplo 2

Resolver una ecuación lineal con la función seno

Halle todas las soluciones posibles exactas de la ecuación sent= 1 2 . sent= 1 2 .

Cómo

Dada una ecuación trigonométrica, resolverla con el álgebra.

  1. Busque un patrón que sugiera una propiedad algebraica, como la diferencia de cuadrados o una oportunidad de factorización.
  2. Sustituya la expresión trigonométrica con una sola variable, como x x o u. u.
  3. Resuelva la ecuación del mismo modo que se resolvería una ecuación algebraica.
  4. Sustituya de nuevo la expresión trigonométrica por la variable en las expresiones resultantes.
  5. Resuelva el ángulo.

Ejemplo 3

Resolver la ecuación trigonométrica en forma lineal

Resuelva la ecuación exactamente: 2cosθ-3=-5,0θ<2π. 2cosθ-3=-5,0θ<2π.

Inténtelo #1

Resuelva exactamente la siguiente ecuación lineal en el intervalo [0,2π):2senx+1=0. [0,2π):2senx+1=0.

Resolver ecuaciones con una sola función trigonométrica

Cuando se nos dan ecuaciones que implican solo una de las seis funciones trigonométricas, sus soluciones implican el uso de técnicas algebraicas y del círculo unitario (vea la Figura 2). Tenemos que hacer varias consideraciones cuando la ecuación implica funciones trigonométricas distintas del seno y del coseno. Los problemas en los que intervienen los recíprocos de las funciones trigonométricas primarias deben considerarse desde una perspectiva algebraica. En otras palabras, escribiremos la función recíproca, y resolveremos los ángulos por medio de la función. Además, una ecuación en la que interviene la función tangente es ligeramente diferente de la que contiene una función seno o coseno. En primer lugar, como sabemos, el periodo de la tangente es π, π, no 2π. 2π. Además, el dominio de la tangente son todos los números reales, a excepción de los múltiplos enteros impares de π 2 , π 2 , a menos que, por supuesto, un problema imponga sus propias restricciones al dominio.

Ejemplo 4

Resolver un problema con una sola función trigonométrica

Resuelva el problema con exactitud: 2 sen 2 θ-1=0,0θ<2π. 2 sen 2 θ-1=0,0θ<2π.

Ejemplo 5

Resolver una ecuación trigonométrica con cosecante

Resuelva exactamente la siguiente ecuación: cscθ=-2 ,0θ<4π. cscθ=-2 ,0θ<4π.

Análisis

Dado que senθ=- 1 2 , senθ=- 1 2 , observe que las cuatro soluciones están en el tercer y cuarto cuadrante.

Ejemplo 6

Resolver una ecuación con tangente

Resuelva la ecuación exactamente: tan( θ π 2 )=1,0θ<2π. tan( θ π 2 )=1,0θ<2π.

Inténtelo #2

Halle todas las soluciones para tanx= 3 . tanx= 3 .

Ejemplo 7

Identificar todas las soluciones de la ecuación que implica la tangente

Identifique todas las soluciones exactas de la ecuación 2( tanx+3 )=5+tanx,0x<2π. 2( tanx+3 )=5+tanx,0x<2π.

Resolver ecuaciones trigonométricas con la calculadora

No todas las funciones pueden resolverse exactamente solo con el círculo unitario. Cuando tengamos que resolver una ecuación que implique un ángulo, que no sea ninguno de los ángulos especiales, tendremos que recurrir a la calculadora. Asegúrese de que esté configurada en el modo adecuado, ya sea grados o radianes, dependiendo de los criterios del problema dado.

Ejemplo 8

Usar la calculadora para resolver una ecuación trigonométrica que implica el seno

Utilice una calculadora para resolver la ecuación senθ=0,8, senθ=0,8, donde θ θ está en radianes.

Análisis

Tenga en cuenta que la calculadora solo arrojará un ángulo en los cuadrantes I o IV para la función seno, ya que ese es el rango del seno inverso. El otro ángulo se obtiene al utilizar π-θ. π-θ.

Ejemplo 9

Usar una calculadora para resolver una ecuación trigonométrica que implica la secante

Utilice una calculadora para resolver la ecuación secθ=-4, secθ=-4, dando su respuesta en radianes.

Inténtelo #3

Resuelva cosθ=0,2. cosθ=0,2.

Resolver ecuaciones trigonométricas en forma cuadrática

Resolver una ecuación cuadrática puede ser más complicado, pero una vez más, podemos utilizar el álgebra como lo haríamos para cualquier ecuación cuadrática. Mire el patrón de la ecuación. ¿Hay más de una función trigonométrica en la ecuación o solo hay una? ¿Qué función trigonométrica es al cuadrado? Si solo hay una función representada y uno de los términos está elevado al cuadrado, piense en la forma estándar de una cuadrática. Sustituya la función trigonométrica por una variable como x x o u. u. Si la sustitución hace que la ecuación parezca una ecuación cuadrática, entonces podemos utilizar los mismos métodos para resolver cuadráticas y, por consiguiente, las ecuaciones trigonométricas.

Ejemplo 10

Resolver una ecuación trigonométrica en forma cuadrática

Resuelva la ecuación exactamente: cos 2 θ+3cosθ-1=0,0θ<2π. cos 2 θ+3cosθ-1=0,0θ<2π.

Ejemplo 11

Resolver una ecuación trigonométrica en forma cuadrática mediante factorización

Resuelva la ecuación exactamente: 2 sen 2 θ5senθ+3=0,0θ2π. 2 sen 2 θ5senθ+3=0,0θ2π.

Análisis

Asegúrese de comprobar todas las soluciones en el dominio dado, ya que algunos factores no tienen solución.

Inténtelo #4

Resuelva sen 2 θ=2cosθ+2 ,0θ2π. sen 2 θ=2cosθ+2 ,0θ2π. [Pista: Haga una sustitución para expresar la ecuación solo en términos de coseno].

Ejemplo 12

Resolver una ecuación trigonométrica mediante el álgebra

Resuelva exactamente:

2 sen 2 θ+senθ=0;0θ<2π 2 sen 2 θ+senθ=0;0θ<2π

Análisis

Podemos ver las soluciones en el gráfico en la Figura 3. En el intervalo 0θ<2π, 0θ<2π, el gráfico cruza el eje x cuatro veces, en las soluciones señaladas. Observe que las ecuaciones trigonométricas que tienen forma cuadrática pueden dar hasta cuatro soluciones en lugar de las dos esperadas que se encuentran con las ecuaciones cuadráticas. En este ejemplo, cada solución (ángulo) correspondiente a un valor de seno positivo arrojarán dos ángulos que darían lugar a ese valor.

Gráfico de 2*(sen(theta))^2 + sen(theta) de 0 a 2pi. Los ceros están en 0, pi, 7pi/6 y 11pi/6.
Figura 3

También podemos verificar las soluciones en el círculo unitario en la Figura 2.

Ejemplo 13

Resolver una ecuación trigonométrica cuadrática en forma

Resuelva la ecuación cuadrática en forma exacta: 2 sen 2 θ-3senθ+1=0,0θ<2π. 2 sen 2 θ-3senθ+1=0,0θ<2π.

Inténtelo #5

Resuelva la ecuación cuadrática 2 cos 2 θ+cosθ=0. 2 cos 2 θ+cosθ=0.

Resolver ecuaciones trigonométricas mediante identidades fundamentales

Aunque se puede utilizar el álgebra para resolver una serie de ecuaciones trigonométricas, también podemos utilizar las identidades fundamentales porque hacen que la resolución de ecuaciones sea más sencilla. Recuerde que las técnicas que utilizamos para resolver no son las mismas que para verificar las identidades. Aquí se aplican las reglas básicas del álgebra, a diferencia de reescribir un lado de la identidad para que coincida con el otro lado. En el siguiente ejemplo, utilizamos dos identidades para simplificar la ecuación.

Ejemplo 14

Utilizar las identidades para resolver una ecuación

Utilice las identidades para resolver exactamente la ecuación trigonométrica sobre el intervalo 0x<2π. 0x<2π.

cosxcos(2 x)+senxsen(2 x)= 3 2 cosxcos(2 x)+senxsen(2 x)= 3 2

Ejemplo 15

Resolver la ecuación mediante una fórmula de doble ángulo

Resuelva la ecuación con exactitud mediante una fórmula de doble ángulo: cos( 2θ )=cosθ. cos( 2θ )=cosθ.

Ejemplo 16

Resolver una ecuación mediante el empleo de una identidad

Resuelva la ecuación exactamente con una identidad: 3cosθ+3=2 sen 2 θ,0θ<2π. 3cosθ+3=2 sen 2 θ,0θ<2π.

Resolver ecuaciones trigonométricas con ángulos múltiples

A veces no es posible resolver una ecuación trigonométrica con identidades que tienen un ángulo múltiple, como por ejemplo sen( 2 x ) sen( 2 x ) o cos( 3x ). cos( 3x ). Cuando se enfrente a estas ecuaciones, recuerde que y=sen( 2 x ) y=sen( 2 x ) es una compresión horizontal por un factor de 2 de la función y=senx. y=senx. En un intervalo de 2π, 2π, podemos graficar dos periodos de y=sen( 2 x ), y=sen( 2 x ), frente a un ciclo de y=senx. y=senx. Esta compresión del gráfico nos lleva a pensar que puede haber el doble de intersecciones en x o soluciones a sen( 2 x )=0 sen( 2 x )=0 en comparación con senx=0. senx=0. Esta información nos ayudará a resolver la ecuación.

Ejemplo 17

Resolver una ecuación trigonométrica de ángulos múltiples

Resuelva exactamente cos( 2 x )= 1 2 cos( 2 x )= 1 2 en [ 0,2π ). [ 0,2π ).

Resolver problemas de triángulos rectángulos

Ahora podemos utilizar todos los métodos que hemos aprendido para resolver problemas que impliquen la aplicación de las propiedades de los triángulos rectángulos y del teorema de Pitágoras. Comenzamos con el conocido teorema de Pitágoras, a 2 + b 2 = c 2 , a 2 + b 2 = c 2 , y modelamos una ecuación que se ajuste a una situación.

Ejemplo 18

Usar el teorema de Pitágoras para modelar una ecuación

Utilice el teorema de Pitágoras y las propiedades de los triángulos rectángulos para modelar una ecuación que se ajuste al problema.

Uno de los cables que ancla el centro de la rueda de la fortuna del London Eye al suelo necesita reemplazo. El centro de la rueda está a 69,5 metros del suelo, y el segundo anclaje en el suelo está a 23 metros de su base ¿Qué longitud tiene el cable, aproximadamente, y cuál es el ángulo de elevación (desde el suelo hasta el centro de la rueda de la fortuna)? Vea la Figura 4.

Esquema básico de una rueda de la fortuna (círculo) y sus cables de soporte (forman un triángulo rectángulo). Un cable va desde el centro del círculo hasta el suelo (fuera del círculo), es perpendicular al suelo y tiene una longitud de 69,5. Otro cable de longitud desconocida (la hipotenusa) va desde el centro del círculo hasta el suelo a 23 pies de distancia del otro cable con un ángulo de theta grados con el suelo. Así que, para terminar, hay un triángulo rectángulo con base 23, altura 69,5, hipotenusa desconocida y ángulo entre base e hipotenusa de theta grados.
Figura 4

Ejemplo 19

Uso del teorema de Pitágoras para modelar un problema abstracto

Las normas de seguridad de la Administración de Seguridad y Salud Ocupacional (Occupational Safety and Health Administration, OSHA) exigen que la base de una escalera se sitúe a 1 pie de la pared por cada 4 pies de longitud de la escalera. Halle el ángulo que forma una escalera de cualquier longitud con el suelo y la altura a la que toca la pared.

7.5 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Habrá siempre soluciones a las ecuaciones de las funciones trigonométricas? Si no es así, describa una ecuación que no tenga solución. Explique por qué sí o por qué no.

2.

Cuando se resuelve una ecuación trigonométrica en la que interviene más de una función trigonométrica, ¿queremos siempre intentar reescribir la ecuación para que se exprese en términos de una sola función trigonométrica? ¿Por qué sí o por qué no?

3.

Cuando se resuelven ecuaciones trigonométricas lineales en términos solo de seno o coseno, ¿cómo sabemos si habrá soluciones?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactamente en el intervalo 0θ<2π. 0θ<2π.

4.

2senθ=- 2 2senθ=- 2

5.

2senθ= 3 2senθ= 3

6.

2cosθ=1 2cosθ=1

7.

2cosθ=- 2 2cosθ=- 2

8.

tanθ=–1 tanθ=–1

9.

tanx=1 tanx=1

10.

cotx+1=0 cotx+1=0

11.

4 sen 2 x-2 =0 4 sen 2 x-2 =0

12.

csc 2 x-4=0 csc 2 x-4=0

En los siguientes ejercicios, resuelva exactamente en [0,2π). [0,2π).

13.

2cosθ= 2 2cosθ= 2

14.

2cosθ=–1 2cosθ=–1

15.

2senθ=–1 2senθ=–1

16.

2senθ=- 3 2senθ=- 3

17.

2sen( 3θ )=1 2sen( 3θ )=1

18.

2sen( 2θ )= 3 2sen( 2θ )= 3

19.

2cos( 3θ )=- 2 2cos( 3θ )=- 2

20.

cos( 2θ )=- 3 2 cos( 2θ )=- 3 2

21.

2sen( πθ )=1 2sen( πθ )=1

22.

2cos( π 5 θ )= 3 2cos( π 5 θ )= 3

En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas en [ 0,2π ). [ 0,2π ).

23.

sec(x)sen(x)-2sen(x)=0 sec(x)sen(x)-2sen(x)=0

24.

tan(x)-2sen(x)tan(x)=0 tan(x)-2sen(x)tan(x)=0

25.

2 cos 2 t+cos( t )=1 2 cos 2 t+cos( t )=1

26.

2 tan 2 (t)=3sec(t) 2 tan 2 (t)=3sec(t)

27.

2sen(x)cos(x)-sen(x)+2cos(x)-1=0 2sen(x)cos(x)-sen(x)+2cos(x)-1=0

28.

cos 2 θ= 1 2 cos 2 θ= 1 2

29.

sec 2 x=1 sec 2 x=1

30.

tan 2 ( x )=-1+2tan( -x ) tan 2 ( x )=-1+2tan( -x )

31.

8 sen 2 (x)+6sen(x)+1=0 8 sen 2 (x)+6sen(x)+1=0

32.

tan 5 (x)=tan(x) tan 5 (x)=tan(x)

En los siguientes ejercicios, resuelva con los métodos mostrados en esta sección exactamente en el intervalo [0,2π). [0,2π).

33.

sen(3x)cos(6x)-cos(3x)sen(6x)=-0,9 sen(3x)cos(6x)-cos(3x)sen(6x)=-0,9

34.

sen(6x)cos(11x)-cos(6x)sen(11x)=-0,1 sen(6x)cos(11x)-cos(6x)sen(11x)=-0,1

35.

cos( 2 x )cosx+sen( 2 x )senx=1 cos( 2 x )cosx+sen( 2 x )senx=1

36.

6sen( 2 t )+9sent=0 6sen( 2 t )+9sent=0

37.

9cos( 2θ )=9 cos 2 θ4 9cos( 2θ )=9 cos 2 θ4

38.

sen( 2 t )=cost sen( 2 t )=cost

39.

cos( 2 t )=sent cos( 2 t )=sent

40.

cos(6x)-cos(3x)=0 cos(6x)-cos(3x)=0

En los siguientes ejercicios, resuelva exactamente en el intervalo [ 0,2π ). [ 0,2π ). Utilice la fórmula cuadrática si las ecuaciones no son factorizables.

41.

tan 2 x- 3 tanx=0 tan 2 x- 3 tanx=0

42.

sen 2 x+senx-2 =0 sen 2 x+senx-2 =0

43.

sen 2 x-2senx-4=0 sen 2 x-2senx-4=0

44.

5 cos 2 x+3cosx1=0 5 cos 2 x+3cosx1=0

45.

3 cos 2 x-2cosx-2 =0 3 cos 2 x-2cosx-2 =0

46.

5 sen 2 x+2senx1=0 5 sen 2 x+2senx1=0

47.

tan 2 x+5tanx1=0 tan 2 x+5tanx1=0

48.

cot 2 x=-cotx cot 2 x=-cotx

49.

tan 2 x-tanx-2 =0 tan 2 x-tanx-2 =0

En los siguientes ejercicios, halle soluciones exactas en el intervalo [0,2π). [0,2π). Busque las oportunidades para utilizar las identidades trigonométricas.

50.

sen 2 x- cos 2 x-senx=0 sen 2 x- cos 2 x-senx=0

51.

sen 2 x+ cos 2 x=0 sen 2 x+ cos 2 x=0

52.

sen( 2 x )-senx=0 sen( 2 x )-senx=0

53.

cos( 2 x )-cosx=0 cos( 2 x )-cosx=0

54.

2tanx 2 sec 2 x - sen 2 x= cos 2 x 2tanx 2 sec 2 x - sen 2 x= cos 2 x

55.

1-cos(2 x)=1+cos(2 x) 1-cos(2 x)=1+cos(2 x)

56.

sec 2 x=7 sec 2 x=7

57.

10senxcosx=6cosx 10senxcosx=6cosx

58.

−3sent=15costsent −3sent=15costsent

59.

4 cos 2 x-4=15cosx 4 cos 2 x-4=15cosx

60.

8 sen 2 x+6senx+1=0 8 sen 2 x+6senx+1=0

61.

8 cos 2 θ=3-2cosθ 8 cos 2 θ=3-2cosθ

62.

6 cos 2 x+7senx-8=0 6 cos 2 x+7senx-8=0

63.

12 sen 2 t+cost6=0 12 sen 2 t+cost6=0

64.

tanx=3senx tanx=3senx

65.

cos 3 t=cost cos 3 t=cost

Gráficos

En los siguientes ejercicios, determine algebraicamente todas las soluciones de la ecuación trigonométrica con exactitud, luego verifique los resultados al graficar la ecuación y hallar los ceros.

66.

6 sen 2 x-5senx+1=0 6 sen 2 x-5senx+1=0

67.

8 cos 2 x-2cosx1=0 8 cos 2 x-2cosx1=0

68.

100 tan 2 x+20tanx-3=0 100 tan 2 x+20tanx-3=0

69.

2 cos 2 x-cosx+15=0 2 cos 2 x-cosx+15=0

70.

20 sen 2 x-27senx+7=0 20 sen 2 x-27senx+7=0

71.

2 tan 2 x+7tanx+6=0 2 tan 2 x+7tanx+6=0

72.

130 tan 2 x+69tanx130=0 130 tan 2 x+69tanx130=0

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para hallar todas las soluciones a cuatro decimales.

73.

senx=0,27 senx=0,27

74.

senx=-0,55 senx=-0,55

75.

tanx=-0,34 tanx=-0,34

76.

cosx=0,71 cosx=0,71

En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones algebraicamente y luego utilice la calculadora para estimar los valores en el intervalo [0,2π). [0,2π). Redondee a cuatro decimales.

77.

tan 2 x+3tanx-3=0 tan 2 x+3tanx-3=0

78.

6 tan 2 x+13tanx=−6 6 tan 2 x+13tanx=−6

79.

tan 2 xsecx=1 tan 2 xsecx=1

80.

sen 2 x-2 cos 2 x=0 sen 2 x-2 cos 2 x=0

81.

2 tan 2 x+9tanx-6=0 2 tan 2 x+9tanx-6=0

82.

4 sen 2 x+sen( 2 x )secx-3=0 4 sen 2 x+sen( 2 x )secx-3=0

Extensiones

En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas de las ecuaciones en el intervalo [0,2π). [0,2π).

83.

csc 2 x-3cscx-4=0 csc 2 x-3cscx-4=0

84.

sen 2 x- cos 2 x1=0 sen 2 x- cos 2 x1=0

85.

sen 2 x( 1- sen 2 x )+ cos 2 x( 1- sen 2 x )=0 sen 2 x( 1- sen 2 x )+ cos 2 x( 1- sen 2 x )=0

86.

3 sec 2 x+2+ sen 2 x- tan 2 x+ cos 2 x=0 3 sec 2 x+2+ sen 2 x- tan 2 x+ cos 2 x=0

87.

sen 2 x1+2cos( 2 x )- cos 2 x=1 sen 2 x1+2cos( 2 x )- cos 2 x=1

88.

tan 2 x1- sec 3 xcosx=0 tan 2 x1- sec 3 xcosx=0

89.

sen( 2 x ) sec 2 x =0 sen( 2 x ) sec 2 x =0

90.

sen( 2 x ) 2 csc 2 x =0 sen( 2 x ) 2 csc 2 x =0

91.

2 cos 2 x- sen 2 x-cosx-5=0 2 cos 2 x- sen 2 x-cosx-5=0

92.

1 sec 2 x +2+ sen 2 x+4 cos 2 x=4 1 sec 2 x +2+ sen 2 x+4 cos 2 x=4

Aplicaciones en el mundo real

93.

Un avión tiene gasolina suficiente únicamente para volar hasta una ciudad situada a 200 millas al noreste de su ubicación actual. Si el piloto sabe que la ciudad está a 25 millas al norte, ¿a cuántos grados al norte del este debe volar el avión?

94.

Si se coloca una rampa de carga junto a un camión, a una altura de 4 pies, y la rampa tiene 15 pies de longitud, ¿qué ángulo forma la rampa con el suelo?

95.

Si se coloca una rampa de carga junto a un camión, a una altura de 2 pies, y la rampa tiene 20 pies de longitud, ¿qué ángulo forma la rampa con el suelo?

96.

Una mujer observa el lanzamiento de un cohete a 11 millas de altitud. Si está de pie a 4 millas de la plataforma de lanzamiento, ¿en qué ángulo mira hacia arriba desde la horizontal?

97.

Una astronauta se encuentra en un cohete lanzado a 15 millas de altitud. Si un hombre está de pie a 2 millas de la plataforma de lanzamiento, ¿en qué ángulo ella lo mira a él desde la horizontal? (Pista: esto recibe el nombre de ángulo de depresión).

98.

Una mujer está de pie a 8 metros de un edificio de 10 metros de altura. ¿En qué ángulo mira hacia la parte superior del edificio?

99.

Un hombre está de pie a 10 metros de un edificio de 6 metros de altura. Alguien lo mira desde la parte superior del edificio. ¿En qué ángulo lo mira esta persona?

100.

Un edificio de 20 pies de altura proyecta una sombra de 55 pies de largo. ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol?

101.

Un edificio de 90 pies de altura proyecta una sombra de 2 pies de largo. ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol?

102.

Un reflector en el suelo a 3 metros de un hombre de 2 metros de altura proyecta una sombra de 6 metros en una pared situada a 6 metros de él. ¿En qué ángulo está la luz?

103.

Un reflector en el suelo a 3 pies de una mujer de 5 pies de alto proyecta una sombra de 15 pies de alto en una pared situada a 6 pies de ella. ¿En qué ángulo está la luz?

En los siguientes ejercicios, halle la solución del problema de forma algebraica. A continuación, utilice la calculadora para verificar el resultado. Redondee la respuesta a la décima de grado más cercana.

104.

Una persona hace una parada de manos; los pies tocan la pared y las manos están a 3 pies de la pared. Si la persona mide 6 pies, ¿qué ángulo forman sus pies con la pared?

105.

Una persona hace una parada de manos; los pies tocan la pared y las manos están a 3 pies de la pared. Si la persona mide 5 pies, ¿qué ángulo forman sus pies con la pared?

106.

Una escalera de 23 pies está colocada junto a una casa. Si la escalera resbala a 7 pies de la casa cuando no hay suficiente tracción, ¿qué ángulo debe formar la escalera con el suelo para no resbalar?

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