Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Resolver ecuaciones trigonométricas lineales en seno y coseno.
Resolver ecuaciones que impliquen una sola función trigonométrica.
Resolver ecuaciones trigonométricas con la calculadora.
Resolver ecuaciones trigonométricas de forma cuadrática.
Resolver ecuaciones trigonométricas con las identidades fundamentales.
Resolver ecuaciones trigonométricas con múltiples ángulos.
Resolver problemas de triángulos rectángulos.

Foto de las pirámides egipcias cerca de una ciudad moderna.

Figura 1 Pirámides egipcias cerca de una ciudad moderna (créditos: Oisin Mulvihill)

Tales de Mileto (circa 625-547 a.C.) es conocido por ser el fundador de la geometría. La leyenda cuenta que calculó la altura de la Gran Pirámide de Guiza en Egipto con base en la teoría de los triángulos semejantes, que desarrolló al medir la sombra de su bastón. Basada en las proporciones, esta teoría tiene aplicaciones en varios ámbitos, como la geometría fractal, la ingeniería y la arquitectura. A menudo, el ángulo de elevación y el ángulo de depresión se encuentran mediante el empleo de triángulos semejantes.

En secciones anteriores de este capítulo, hemos visto las identidades trigonométricas. Las identidades son verdaderas para todos los valores en el dominio de la variable. En esta sección, comenzamos nuestro estudio de las ecuaciones trigonométricas para explorar escenarios del mundo real como el de calcular las dimensiones de las pirámides.

Resolver ecuaciones trigonométricas lineales en seno y coseno

Las ecuaciones trigonométricas, como su nombre lo indica, implican funciones trigonométricas. Semejante en muchos aspectos a la resolución de ecuaciones polinómicas o racionales, solo los valores específicos de la variable serán soluciones, si es que las hay. A menudo resolveremos una ecuación trigonométrica en un intervalo determinado. Sin embargo, con la misma frecuencia, se nos pedirá que hallemos todas las soluciones posibles, y como las funciones trigonométricas son periódicas, las soluciones se repiten dentro de cada período. En otras palabras, las ecuaciones trigonométricas pueden tener infinidad de soluciones. Además, al igual que las ecuaciones racionales, hay que tener en cuenta el dominio de la función antes de asumir que cualquier solución sea válida. El periodo de la función seno y de la función coseno es $2 π .$ En otras palabras, cada $2 π$ unidades, los valores de y se repiten. Si necesitamos hallar todas las soluciones posibles, entonces debemos sumar $2 π k,$ donde $k$ es un número entero, a la solución inicial. Recordemos la regla que da el formato para enunciar todas las posibles soluciones de una función cuyo periodo es $2 π :$

sen θ = sen (θ \pm 2 k π)

Existen reglas similares para indicar todas las posibles soluciones de las demás funciones trigonométricas. La resolución de ecuaciones trigonométricas exige las mismas técnicas que la resolución de ecuaciones algebraicas. Leemos la ecuación de izquierda a derecha, en horizontal, como una frase. Buscamos patrones conocidos, factorizamos, hallamos denominadores comunes y sustituimos ciertas expresiones con una variable para que la resolución sea un proceso más sencillo. Sin embargo, con las ecuaciones trigonométricas, también tenemos la ventaja de utilizar las identidades que hemos desarrollado en las secciones anteriores.

Ejemplo 1

Resolver una ecuación trigonométrica lineal con la función coseno

Halle todas las soluciones posibles exactas de la ecuación $\cos θ = \frac{1}{2} .$

Solución

A partir del círculo unitario, sabemos que

\begin{array}{l} \cos θ = \frac{1}{2} \\ θ = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3} \end{array}

Estas son las soluciones en el intervalo $[0, 2 π] .$ Todas las soluciones posibles vienen dadas por

\frac{π}{3} \pm 2 k π y \frac{5 π}{3} \pm 2 k π

donde $k$ es un número entero.

Ejemplo 2

Resolver una ecuación lineal con la función seno

Halle todas las soluciones posibles exactas de la ecuación $sen t = \frac{1}{2} .$

Solución

Resolver para todos los valores posibles de t significa que las soluciones incluyen ángulos más allá del periodo de $2 π .$ A partir de la Figura 2, podemos ver que las soluciones son $\frac{π}{6}$ y $\frac{5 π}{6} .$ No obstante, el problema pide todos los valores posibles que resuelven la ecuación. Por lo tanto, la respuesta es

\frac{π}{6} \pm 2 π k y \frac{5 π}{6} \pm 2 π k

donde $k$ es un número entero.

Cómo

Dada una ecuación trigonométrica, resolverla con el álgebra.

Busque un patrón que sugiera una propiedad algebraica, como la diferencia de cuadrados o una oportunidad de factorización.
Sustituya la expresión trigonométrica con una sola variable, como $x$ o $u .$
Resuelva la ecuación del mismo modo que se resolvería una ecuación algebraica.
Sustituya de nuevo la expresión trigonométrica por la variable en las expresiones resultantes.
Resuelva el ángulo.

Ejemplo 3

Resolver la ecuación trigonométrica en forma lineal

Resuelva la ecuación exactamente: $2 \cos θ - 3 = - 5, 0 \leq θ < 2 π .$

Solución

Utilice técnicas algebraicas para resolver la ecuación.

\begin{array}{l} 2 \cos θ - 3 = - 5 \\ 2 \cos θ = - 2 \\ \cos θ = - 1 \\ θ = π \end{array}

Inténtelo #1

Resuelva exactamente la siguiente ecuación lineal en el intervalo $[0, 2 π) : 2 sen x + 1 = 0 .$

Resolver ecuaciones con una sola función trigonométrica

Cuando se nos dan ecuaciones que implican solo una de las seis funciones trigonométricas, sus soluciones implican el uso de técnicas algebraicas y del círculo unitario (vea la Figura 2). Tenemos que hacer varias consideraciones cuando la ecuación implica funciones trigonométricas distintas del seno y del coseno. Los problemas en los que intervienen los recíprocos de las funciones trigonométricas primarias deben considerarse desde una perspectiva algebraica. En otras palabras, escribiremos la función recíproca, y resolveremos los ángulos por medio de la función. Además, una ecuación en la que interviene la función tangente es ligeramente diferente de la que contiene una función seno o coseno. En primer lugar, como sabemos, el periodo de la tangente es $π,$ no $2 π .$ Además, el dominio de la tangente son todos los números reales, a excepción de los múltiplos enteros impares de $\frac{π}{2},$ a menos que, por supuesto, un problema imponga sus propias restricciones al dominio.

Ejemplo 4

Resolver un problema con una sola función trigonométrica

Resuelva el problema con exactitud: $2 {sen}^{2} θ - 1 = 0, 0 \leq θ < 2 π .$

Solución

Ya que este problema no se factoriza fácilmente, lo resolveremos con la propiedad de la raíz cuadrada. En primer lugar, utilizamos el álgebra para aislar $sen θ .$ Entonces determinaremos los ángulos.

\begin{array}{l} 2 {sen}^{2} θ - 1 = 0 \\ 2 {sen}^{2} θ = 1 \\ {sen}^{2} θ = \frac{1}{2} \\ \sqrt{{sen}^{2} θ} = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \\ sen θ = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \\ θ = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4} \end{array}

Ejemplo 5

Resolver una ecuación trigonométrica con cosecante

Resuelva exactamente la siguiente ecuación: $\csc θ = - 2, 0 \leq θ < 4 π .$

Solución

Queremos que todos los valores de $θ$ para los cuales $\csc θ = - 2$ en el intervalo $0 \leq θ < 4 π .$

\begin{array}{l} \csc θ = - 2 \\ \frac{1}{sen θ} = - 2 \\ sen θ = - \frac{1}{2} \\ θ = \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}, \frac{19 π}{6}, \frac{23 π}{6} \end{array}

Análisis

Dado que $sen θ = - \frac{1}{2},$ observe que las cuatro soluciones están en el tercer y cuarto cuadrante.

Ejemplo 6

Resolver una ecuación con tangente

Resuelva la ecuación exactamente: $\tan (θ - \frac{π}{2}) = 1, 0 \leq θ < 2 π .$

Solución

Recordemos que la función tangente tiene un periodo de $π .$ En el intervalo $[0, π),$ y en el ángulo de $\frac{π}{4},$ la tangente tiene un valor de 1. Sin embargo, el ángulo que queremos es $(θ - \frac{π}{2}) .$ Por lo tanto, si $\tan (\frac{π}{4}) = 1,$ entonces

\begin{matrix} θ - \frac{π}{2} = \frac{π}{4} \\ θ = \frac{3 π}{4} \pm k π \end{matrix}

En el intervalo $[0, 2 π),$ tenemos dos soluciones:

\frac{3 π}{4} y \frac{3 π}{4} + π = \frac{7 π}{4}

Inténtelo #2

Halle todas las soluciones para $\tan x = \sqrt{3} .$

Ejemplo 7

Identificar todas las soluciones de la ecuación que implica la tangente

Identifique todas las soluciones exactas de la ecuación $2 (\tan x + 3) = 5 + \tan x, 0 \leq x < 2 π .$

Solución

Podemos resolver esta ecuación solamente con el álgebra. Aísle la expresión $\tan x$ a la izquierda del signo de igualdad.

\begin{matrix} 2 (\tan x) + 2 (3) & = 5 + \tan x \\ 2 \tan x + 6 & = 5 + \tan x \\ 2 \tan x - \tan x & = 5 - 6 \\ \tan x & = - 1 \end{matrix}

Hay dos ángulos en el círculo unitario que tienen un valor tangente de $−1 : θ = \frac{3 π}{4}$ y $θ = \frac{7 π}{4} .$

Resolver ecuaciones trigonométricas con la calculadora

No todas las funciones pueden resolverse exactamente solo con el círculo unitario. Cuando tengamos que resolver una ecuación que implique un ángulo, que no sea ninguno de los ángulos especiales, tendremos que recurrir a la calculadora. Asegúrese de que esté configurada en el modo adecuado, ya sea grados o radianes, dependiendo de los criterios del problema dado.

Ejemplo 8

Usar la calculadora para resolver una ecuación trigonométrica que implica el seno

Utilice una calculadora para resolver la ecuación $sen θ = 0,8,$ donde $θ$ está en radianes.

Solución

Asegúrese de que el modo esté ajustado a radianes. Para hallar $θ,$ utilice la función del seno inverso. En la mayoría de las calculadoras, tendrá que pulsar el botón 2ND y luego el botón SIN para que aparezca la función ${sen}^{- 1}$ . Lo que se muestra en la pantalla es ${sen}^{- 1} (.$ La calculadora está lista para la entrada dentro del paréntesis. Para este problema, introducimos ${sen}^{- 1} (0,8),$ y pulsamos ENTER. Por lo tanto, a cuatro decimales,

{sen}^{- 1} (0,8) \approx 0,9273

La solución es

0,9273 \pm 2 π k

La medida del ángulo en grados es:

\begin{array}{l} \begin{array}{l} θ \approx {53,1}^{\circ} \end{array} \\ θ \approx 180^{\circ} - {53,1}^{\circ} \\ \approx {126,9}^{\circ} \end{array}

Análisis

Tenga en cuenta que la calculadora solo arrojará un ángulo en los cuadrantes I o IV para la función seno, ya que ese es el rango del seno inverso. El otro ángulo se obtiene al utilizar $π - θ .$

Ejemplo 9

Usar una calculadora para resolver una ecuación trigonométrica que implica la secante

Utilice una calculadora para resolver la ecuación $\sec θ = -4,$ dando su respuesta en radianes.

Solución

Podemos empezar con algo de álgebra.

\begin{matrix} \sec θ = - 4 \\ \frac{1}{\cos θ} = - 4 \\ \cos θ = - \frac{1}{4} \end{matrix}

Compruebe que el MODO esté en radianes. Ahora, utilice la función coseno inversa.

\begin{array}{l} \cos^{- 1} (- \frac{1}{4}) \approx 1,8235 \\ θ \approx 1,8235 + 2 π k \end{array}

Dado que $\frac{π}{2} \approx 1,57$ y $π \approx 3,14,$ 1,8235 está entre estos dos números, por lo que $θ \approx 1 0,8235$ está en el cuadrante II. El coseno también es negativo en el cuadrante III. Tenga en cuenta que una calculadora solo devolverá un ángulo en los cuadrantes I o II para la función coseno, ya que ese es el rango del coseno inverso. Vea la Figura 2.

Gráfico de ángulos theta =aproximadamente 1,8235, theta primo =aproximadamente pi - 1,8235 = aproximadamente 1,3181, y luego theta primo = pi + 1,3181 = aproximadamente 4,4597

Figura 2

Por lo tanto, también necesitamos hallar la medida del ángulo en el cuadrante III. En el cuadrante III, el ángulo de referencia es $θ' \approx π - 1 0,8235 \approx 1 0,3181 .$ La otra solución del cuadrante III es $π + 1 0,3181 \approx 4 0,4597 .$

Las soluciones son $1,8235 \pm 2 π k$ y $4,4597 \pm 2 π k .$

Inténtelo #3

Resuelva $\cos θ = - 0,2.$

Resolver ecuaciones trigonométricas en forma cuadrática

Resolver una ecuación cuadrática puede ser más complicado, pero una vez más, podemos utilizar el álgebra como lo haríamos para cualquier ecuación cuadrática. Mire el patrón de la ecuación. ¿Hay más de una función trigonométrica en la ecuación o solo hay una? ¿Qué función trigonométrica es al cuadrado? Si solo hay una función representada y uno de los términos está elevado al cuadrado, piense en la forma estándar de una cuadrática. Sustituya la función trigonométrica por una variable como $x$ o $u .$ Si la sustitución hace que la ecuación parezca una ecuación cuadrática, entonces podemos utilizar los mismos métodos para resolver cuadráticas y, por consiguiente, las ecuaciones trigonométricas.

Ejemplo 10

Resolver una ecuación trigonométrica en forma cuadrática

Resuelva la ecuación exactamente: $\cos^{2} θ + 3 \cos θ - 1 = 0, 0 \leq θ < 2 π .$

Solución

Comenzamos por utilizar la sustitución y reemplazar cos $θ$ con la $x .$ No es necesario utilizar la sustitución, pero puede hacer que el problema sea más fácil de resolver visualmente. Supongamos que $\cos θ = x .$ Tenemos

x^{2} + 3 x - 1 = 0

La ecuación no se puede factorizar, por lo que utilizaremos la fórmula cuadrática $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

\begin{array}{l} x = \frac{- 3 \pm \sqrt{{(3)}^{2} - 4 (1) (- 1)}}{2} \\ = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2} \end{array}

Sustituya $x$ con la $\cos θ,$ y resolvemos. Por lo tanto,

\begin{array}{l} \cos θ = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2} \\ θ = \cos^{- 1} (\frac{- 3 + \sqrt{13}}{2}) \end{array}

Observe que solo se utiliza el signo +. Esto se debe a que obtenemos un error cuando resolvemos $θ = \cos^{- 1} (\frac{- 3 - \sqrt{13}}{2})$ en una calculadora, ya que el dominio de la función coseno inversa es $[- 1, 1] .$ Sin embargo, existe una segunda solución:

\begin{array}{l} \cos^{- 1} (\frac{- 3 + \sqrt{13}}{2}) \\ \approx 1,26 \end{array}

Este lado terminal del ángulo se encuentra en el cuadrante I. Debido a que el coseno también es positivo en el cuadrante IV, la segunda solución es

\begin{array}{l} 2 π - \cos^{- 1} (\frac{- 3 + \sqrt{13}}{2}) \\ \approx 5,02 \end{array}

Ejemplo 11

Resolver una ecuación trigonométrica en forma cuadrática mediante factorización

Resuelva la ecuación exactamente: $2 {sen}^{2} θ - 5 sen θ + 3 = 0, 0 \leq θ \leq 2 π .$

Solución

Usando la agrupación, esta cuadrática puede factorizarse. Alternativamente, hacer la sustitución real, $sen θ = u,$ o imaginarla, ya que factorizamos:

\begin{array}{l} 2 {sen}^{2} θ - 5 sen θ + 3 = 0 \\ (2 sen θ - 3) (sen θ - 1) = 0 \end{array}

Ahora, lleve cada factor igual a cero.

\begin{array}{l} 2 sen θ - 3 = 0 \\ 2 sen θ = 3 \\ sen θ = \frac{3}{2} \\ sen θ - 1 = 0 \\ sen θ = 1 \end{array}

Luego, resuelva para $θ : sen θ \neq \frac{3}{2},$ ya que el rango de la función seno es $[−1, 1] .$ Sin embargo, el que $sen θ = 1,$ dando la solución $\frac{π}{2} .$

Análisis

Asegúrese de comprobar todas las soluciones en el dominio dado, ya que algunos factores no tienen solución.

Inténtelo #4

Resuelva ${sen}^{2} θ = 2 \cos θ + 2, 0 \leq θ \leq 2 π .$ [Pista: Haga una sustitución para expresar la ecuación solo en términos de coseno].

Ejemplo 12

Resolver una ecuación trigonométrica mediante el álgebra

Resuelva exactamente:

2 {sen}^{2} θ + sen θ = 0; 0 \leq θ < 2 π

Solución

Este problema debería parecerle familiar, ya que es similar a una cuadrática. Supongamos que $sen θ = x .$ La ecuación se convierte en $2 x^{2} + x = 0 .$ Comenzamos por la factorización:

\begin{array}{l} 2 x^{2} + x = 0 \\ x (2 x + 1) = 0 \end{array}

Lleve cada factor igual a cero.

\begin{array}{l} x = 0 \\ (2 x + 1) = 0 \\ x = - \frac{1}{2} \end{array}

A continuación, sustituya de nuevo en la ecuación la expresión original $sen θ$ por $x .$ Así,

\begin{array}{l} sen θ = 0 \\ θ = 0, π \\ sen θ = - \frac{1}{2} \\ θ = \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6} \end{array}

Las soluciones dentro del dominio $0 \leq θ < 2 π$ son $0, π, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6} .$

Si preferimos no sustituir, podemos resolver la ecuación al seguir el mismo patrón de factorización y llevar cada factor igual a cero.

\begin{array}{l} 2 {sen}^{2} θ + sen θ = 0 \\ sen θ (2 sen θ + 1) = 0 \\ sen θ = 0 \\ θ = 0, π \\ 2 sen θ + 1 = 0 \\ 2 sen θ = - 1 \\ sen θ = - \frac{1}{2} \\ θ = \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6} \end{array}

Análisis

Podemos ver las soluciones en el gráfico en la Figura 3. En el intervalo $0 \leq θ < 2 π,$ el gráfico cruza el eje x cuatro veces, en las soluciones señaladas. Observe que las ecuaciones trigonométricas que tienen forma cuadrática pueden dar hasta cuatro soluciones en lugar de las dos esperadas que se encuentran con las ecuaciones cuadráticas. En este ejemplo, cada solución (ángulo) correspondiente a un valor de seno positivo arrojarán dos ángulos que darían lugar a ese valor.

Gráfico de 2*(sen(theta))^2 + sen(theta) de 0 a 2pi. Los ceros están en 0, pi, 7pi/6 y 11pi/6.

Figura 3

También podemos verificar las soluciones en el círculo unitario en la Figura 2.

Ejemplo 13

Resolver una ecuación trigonométrica cuadrática en forma

Resuelva la ecuación cuadrática en forma exacta: $2 {sen}^{2} θ - 3 sen θ + 1 = 0, 0 \leq θ < 2 π .$

Solución

Podemos factorizar mediante la agrupación. Los valores de solución de $θ$ se hallan en el círculo unitario:

\begin{array}{l} (2 sen θ - 1) (sen θ - 1) = 0 \\ 2 sen θ - 1 = 0 \\ sen θ = \frac{1}{2} \\ θ = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6} \\ sen θ = 1 \\ θ = \frac{π}{2} \end{array}

Inténtelo #5

Resuelva la ecuación cuadrática $2 \cos^{2} θ + \cos θ = 0 .$

Resolver ecuaciones trigonométricas mediante identidades fundamentales

Aunque se puede utilizar el álgebra para resolver una serie de ecuaciones trigonométricas, también podemos utilizar las identidades fundamentales porque hacen que la resolución de ecuaciones sea más sencilla. Recuerde que las técnicas que utilizamos para resolver no son las mismas que para verificar las identidades. Aquí se aplican las reglas básicas del álgebra, a diferencia de reescribir un lado de la identidad para que coincida con el otro lado. En el siguiente ejemplo, utilizamos dos identidades para simplificar la ecuación.

Ejemplo 14

Utilizar las identidades para resolver una ecuación

Utilice las identidades para resolver exactamente la ecuación trigonométrica sobre el intervalo $0 \leq x < 2 π .$

\cos x \cos (2 x) + sen x sen (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Solución

Observe que el lado izquierdo de la ecuación es la fórmula de la diferencia del coseno.

\begin{array}{l} \cos x \cos (2 x) + sen x sen (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos (x - 2 x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \begin{matrix}  \end{matrix} & Fórmula de la diferencia del coseno \\ \cos (- x) = \frac{\sqrt{3}}{2} & Utilice la identidad de ángulo negativo . \\ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}

A partir del círculo unitario en la Figura 2, vemos que $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ cuando $x = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6} .$

Ejemplo 15

Resolver la ecuación mediante una fórmula de doble ángulo

Resuelva la ecuación con exactitud mediante una fórmula de doble ángulo: $\cos (2 θ) = \cos θ .$

Solución

Tenemos tres opciones de expresiones para sustituir el doble ángulo del coseno. Ya que es más sencillo resolver una función trigonométrica a la vez, elegiremos la identidad de doble ángulo que involucra solo el coseno:

\begin{array}{l} \cos (2 θ) = \cos θ \\ 2 \cos^{2} θ - 1 = \cos θ \\ 2 \cos^{2} θ - \cos θ - 1 = 0 \\ (2 \cos θ + 1) (\cos θ - 1) = 0 \\ 2 \cos θ + 1 = 0 \\ \cos θ = - \frac{1}{2} \\ \cos θ - 1 = 0 \\ \cos θ = 1 \end{array}

Por lo tanto, si $\cos θ = - \frac{1}{2},$ entonces $θ = \frac{2 π}{3} \pm 2 π k$ y $θ = \frac{4 π}{3} \pm 2 π k;$ si $\cos θ = 1,$ entonces $θ = 0 \pm 2 π k .$

Ejemplo 16

Resolver una ecuación mediante el empleo de una identidad

Resuelva la ecuación exactamente con una identidad: $3 \cos θ + 3 = 2 {sen}^{2} θ, 0 \leq θ < 2 π .$

Solución

Si reescribimos el lado derecho, podemos escribir la ecuación en términos de coseno:

\begin{matrix} 3 cos θ + 3 & = {2 sen}^{2} θ \\ 3 cos θ + 3 & = 2 (1 - {cos}^{2} θ) \\ 3 cos θ + 3 & = 2 - 2 \cos^{2} θ \\ 2 \cos^{2} θ + 3 cos θ + 1 & = 0 \\ (2 cos θ + 1) (\cos θ + 1) & = 0 \\ 2 cos θ + 1 & = 0 \\ \cos θ & = - \frac{1}{2} \\ θ & = \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3} \\ \cos θ + 1 & = 0 \\ \cos θ & = - 1 \\ θ & = π \end{matrix}

Nuestras soluciones son $\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, π .$

Resolver ecuaciones trigonométricas con ángulos múltiples

A veces no es posible resolver una ecuación trigonométrica con identidades que tienen un ángulo múltiple, como por ejemplo $sen (2 x)$ o $\cos (3 x) .$ Cuando se enfrente a estas ecuaciones, recuerde que $y = sen (2 x)$ es una compresión horizontal por un factor de 2 de la función $y = sen x .$ En un intervalo de $2 π,$ podemos graficar dos periodos de $y = sen (2 x),$ frente a un ciclo de $y = sen x .$ Esta compresión del gráfico nos lleva a pensar que puede haber el doble de intersecciones en x o soluciones a $sen (2 x) = 0$ en comparación con $sen x = 0 .$ Esta información nos ayudará a resolver la ecuación.

Ejemplo 17

Resolver una ecuación trigonométrica de ángulos múltiples

Resuelva exactamente $\cos (2 x) = \frac{1}{2}$ en $[0, 2 π) .$

Solución

Podemos ver que esta es la ecuación estándar con un múltiplo de un ángulo. Si los valores de $\cos (α) = \frac{1}{2},$ sabemos que $α$ está en los cuadrantes I y IV. Mientras que $θ = \cos^{- 1} \frac{1}{2}$ solo arrojará soluciones en los cuadrantes I y II, reconocemos que las soluciones de la ecuación $\cos θ = \frac{1}{2}$ estará en los cuadrantes I y IV.

Por lo tanto, los ángulos posibles son $θ = \frac{π}{3}$ y $θ = \frac{5 π}{3} .$ Así que, $2 x = \frac{π}{3}$ o $2 x = \frac{5 π}{3},$ lo que significa que $x = \frac{π}{6}$ o $x = \frac{5 π}{6} .$ ¿Tiene esto sentido? Sí, porque $\cos (2 (\frac{π}{6})) = \cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} .$

¿Hay otras respuestas posibles? Volvamos a nuestro primer paso.

En el cuadrante I, $2 x = \frac{π}{3},$ por lo que $x = \frac{π}{6}$ como se indica. Volvamos a girar alrededor del círculo:

\begin{array}{l} 2 x = \frac{π}{3} + 2 π \\ = \frac{π}{3} + \frac{6 π}{3} \\ = \frac{7 π}{3} \end{array}

por lo que $x = \frac{7 π}{6} .$

Una rotación más produce

\begin{array}{l} \begin{array}{l} 2 x = \frac{π}{3} + 4 π \end{array} \\ = \frac{π}{3} + \frac{12 π}{3} \\ = \frac{13 π}{3} \end{array}

$x = \frac{13 π}{6} > 2 π,$ por lo que este valor para $x$ es mayor que $2 π,$ por lo que no es una solución en $[0, 2 π) .$

En el cuadrante IV, $2 x = \frac{5 π}{3},$ por lo que $x = \frac{5 π}{6}$ como se indica. Volvamos a girar alrededor del círculo:

\begin{array}{l} 2 x = \frac{5 π}{3} + 2 π \\ = \frac{5 π}{3} + \frac{6 π}{3} \\ = \frac{11 π}{3} \end{array}

por lo que $x = \frac{11 π}{6} .$

Una rotación más produce

\begin{array}{l} 2 x = \frac{5 π}{3} + 4 π \\ = \frac{5 π}{3} + \frac{12 π}{3} \\ = \frac{17 π}{3} \end{array}

$x = \frac{17 π}{6} > 2 π,$ por lo que este valor para $x$ es mayor que $2 π,$ por lo que no es una solución en $[0, 2 π) .$

Nuestras soluciones son $\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, y \frac{11 π}{6} .$ Observe que, siempre que resolvemos un problema en forma de $sen (n x) = c,$ debemos rodear el círculo unitario $n$ veces.

Resolver problemas de triángulos rectángulos

Ahora podemos utilizar todos los métodos que hemos aprendido para resolver problemas que impliquen la aplicación de las propiedades de los triángulos rectángulos y del teorema de Pitágoras. Comenzamos con el conocido teorema de Pitágoras, $a^{2} + b^{2} = c^{2},$ y modelamos una ecuación que se ajuste a una situación.

Ejemplo 18

Usar el teorema de Pitágoras para modelar una ecuación

Utilice el teorema de Pitágoras y las propiedades de los triángulos rectángulos para modelar una ecuación que se ajuste al problema.

Uno de los cables que ancla el centro de la rueda de la fortuna del London Eye al suelo necesita reemplazo. El centro de la rueda está a 69,5 metros del suelo, y el segundo anclaje en el suelo está a 23 metros de su base ¿Qué longitud tiene el cable, aproximadamente, y cuál es el ángulo de elevación (desde el suelo hasta el centro de la rueda de la fortuna)? Vea la Figura 4.

Esquema básico de una rueda de la fortuna (círculo) y sus cables de soporte (forman un triángulo rectángulo). Un cable va desde el centro del círculo hasta el suelo (fuera del círculo), es perpendicular al suelo y tiene una longitud de 69,5. Otro cable de longitud desconocida (la hipotenusa) va desde el centro del círculo hasta el suelo a 23 pies de distancia del otro cable con un ángulo de theta grados con el suelo. Así que, para terminar, hay un triángulo rectángulo con base 23, altura 69,5, hipotenusa desconocida y ángulo entre base e hipotenusa de theta grados.

Figura 4

Solución

Con la información dada, podemos dibujar un triángulo rectángulo. Podemos determinar la longitud del cable con el teorema de Pitágoras.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l} a^{2} + b^{2} = c^{2} \end{array} \\ {(23)}^{2} + {(69,5)}^{2} \approx 5359 \\ \sqrt{5359} \approx 73,2 m \end{array} \end{array}

El ángulo de elevación es $θ,$ formado por el segundo anclaje en el suelo y el cable que llega al centro de la rueda. Podemos utilizar la función tangente para hallar su medida. Redondee a dos decimales.

\begin{array}{l} \tan θ = \frac{69,5}{23} \\ \tan^{- 1} (\frac{69,5}{23}) \approx 1,2522 \\ \approx {71,69}^{\circ} \end{array}

El ángulo de elevación es aproximadamente ${71,7}^{\circ},$ y la longitud del cable es de 73,2 metros.

Ejemplo 19

Uso del teorema de Pitágoras para modelar un problema abstracto

Las normas de seguridad de la Administración de Seguridad y Salud Ocupacional (Occupational Safety and Health Administration, OSHA) exigen que la base de una escalera se sitúe a 1 pie de la pared por cada 4 pies de longitud de la escalera. Halle el ángulo que forma una escalera de cualquier longitud con el suelo y la altura a la que toca la pared.

Solución

Para cualquier longitud de la escalera, la base debe estar a una distancia de la pared igual a la cuarta parte de la longitud de la escalera. Por equivalencia, si la base de la escalera está a "a" pies de la pared, la longitud de la escalera será de 4a pies. Vea la Figura 5.

Diagrama de un triángulo rectángulo con base de longitud a, altura de longitud b, hipotenusa de longitud 4a. Frente a la altura hay un ángulo de theta grados, y frente a la hipotenusa hay un ángulo de 90 grados.

Figura 5

El lado adyacente a $θ$ es a y la hipotenusa es $4 a .$ Así,

\begin{array}{l} \cos θ = \frac{a}{4 a} = \frac{1}{4} \\ \cos^{- 1} (\frac{1}{4}) \approx {75,5}^{\circ} \end{array}

La elevación de la escalera forma un ángulo de ${75,5}^{\circ}$ con el suelo. La altura a la que la escalera toca la pared se puede calcular con el teorema de Pitágoras:

\begin{array}{l} a^{2} + b^{2} = {(4 a)}^{2} \\ b^{2} = {(4 a)}^{2} - a^{2} \\ b^{2} = 16 a^{2} - a^{2} \\ b^{2} = 15 a^{2} \\ b = \sqrt{15} a \end{array}

Así, la escalera toca la pared a $\sqrt{15} a$ pies del suelo.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar la resolución de ecuaciones trigonométricas.

7.5 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Habrá siempre soluciones a las ecuaciones de las funciones trigonométricas? Si no es así, describa una ecuación que no tenga solución. Explique por qué sí o por qué no.

2.

Cuando se resuelve una ecuación trigonométrica en la que interviene más de una función trigonométrica, ¿queremos siempre intentar reescribir la ecuación para que se exprese en términos de una sola función trigonométrica? ¿Por qué sí o por qué no?

3.

Cuando se resuelven ecuaciones trigonométricas lineales en términos solo de seno o coseno, ¿cómo sabemos si habrá soluciones?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactamente en el intervalo $0 \leq θ < 2 π .$

4.

$2 sen θ = - \sqrt{2}$

5.

$2 sen θ = \sqrt{3}$

6.

$2 \cos θ = 1$

7.

$2 \cos θ = - \sqrt{2}$

8.

$\tan θ = –1$

9.

$\tan x = 1$

10.

$\cot x + 1 = 0$

11.

$4 {sen}^{2} x - 2 = 0$

12.

$\csc^{2} x - 4 = 0$

En los siguientes ejercicios, resuelva exactamente en $[0, 2 π) .$

13.

$2 \cos θ = \sqrt{2}$

14.

$2 \cos θ = –1$

15.

$2 sen θ = –1$

16.

$2 sen θ = - \sqrt{3}$

17.

$2 sen (3 θ) = 1$

18.

$2 sen (2 θ) = \sqrt{3}$

19.

$2 \cos (3 θ) = - \sqrt{2}$

20.

$\cos (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

21.

$2 sen (π θ) = 1$

22.

$2 \cos (\frac{π}{5} θ) = \sqrt{3}$

En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas en $[0, 2 π) .$

23.

$\sec (x) sen (x) - 2 sen (x) = 0$

24.

$\tan (x) - 2 sen (x) \tan (x) = 0$

25.

$2 \cos^{2} t + \cos (t) = 1$

26.

$2 \tan^{2} (t) = 3 \sec (t)$

27.

$2 sen (x) \cos (x) - sen (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

28.

$\cos^{2} θ = \frac{1}{2}$

29.

$\sec^{2} x = 1$

30.

$\tan^{2} (x) = - 1 + 2 \tan (- x)$

31.

$8 {sen}^{2} (x) + 6 sen (x) + 1 = 0$

32.

$\tan^{5} (x) = \tan (x)$

En los siguientes ejercicios, resuelva con los métodos mostrados en esta sección exactamente en el intervalo $[0, 2 π) .$

33.

$sen (3 x) \cos (6 x) - \cos (3 x) sen (6 x) = -0,9$

34.

$sen (6 x) \cos (11 x) - \cos (6 x) sen (11 x) = -0,1$

35.

$\cos (2 x) \cos x + sen (2 x) sen x = 1$

36.

$6 sen (2 t) + 9 sen t = 0$

37.

$9 \cos (2 θ) = 9 \cos^{2} θ - 4$

38.

$sen (2 t) = \cos t$

39.

$\cos (2 t) = sen t$

40.

$\cos (6 x) - \cos (3 x) = 0$

En los siguientes ejercicios, resuelva exactamente en el intervalo $[0, 2 π) .$ Utilice la fórmula cuadrática si las ecuaciones no son factorizables.

41.

$\tan^{2} x - \sqrt{3} \tan x = 0$

42.

${sen}^{2} x + sen x - 2 = 0$

43.

${sen}^{2} x - 2 sen x - 4 = 0$

44.

$5 \cos^{2} x + 3 \cos x - 1 = 0$

45.

$3 \cos^{2} x - 2 \cos x - 2 = 0$

46.

$5 {sen}^{2} x + 2 sen x - 1 = 0$

47.

$\tan^{2} x + 5 \tan x - 1 = 0$

48.

$\cot^{2} x = - \cot x$

49.

$- \tan^{2} x - \tan x - 2 = 0$

En los siguientes ejercicios, halle soluciones exactas en el intervalo $[0, 2 π) .$ Busque las oportunidades para utilizar las identidades trigonométricas.

50.

${sen}^{2} x - \cos^{2} x - sen x = 0$

51.

${sen}^{2} x + \cos^{2} x = 0$

52.

$sen (2 x) - sen x = 0$

53.

$\cos (2 x) - \cos x = 0$

54.

$\frac{2 \tan x}{2 - \sec^{2} x} - {sen}^{2} x = \cos^{2} x$

55.

$1 - \cos (2 x) = 1 + \cos (2 x)$

56.

$\sec^{2} x = 7$

57.

$10 sen x \cos x = 6 \cos x$

58.

$−3 sen t = 15 \cos t sen t$

59.

$4 \cos^{2} x - 4 = 15 \cos x$

60.

$8 {sen}^{2} x + 6 sen x + 1 = 0$

61.

$8 \cos^{2} θ = 3 - 2 \cos θ$

62.

$6 \cos^{2} x + 7 sen x - 8 = 0$

63.

$12 {sen}^{2} t + \cos t - 6 = 0$

64.

$\tan x = 3 sen x$

65.

$\cos^{3} t = \cos t$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, determine algebraicamente todas las soluciones de la ecuación trigonométrica con exactitud, luego verifique los resultados al graficar la ecuación y hallar los ceros.

66.

$6 {sen}^{2} x - 5 sen x + 1 = 0$

67.

$8 \cos^{2} x - 2 \cos x - 1 = 0$

68.

$100 \tan^{2} x + 20 \tan x - 3 = 0$

69.

$2 \cos^{2} x - \cos x + 15 = 0$

70.

$20 {sen}^{2} x - 27 sen x + 7 = 0$

71.

$2 \tan^{2} x + 7 \tan x + 6 = 0$

72.

$130 \tan^{2} x + 69 \tan x - 130 = 0$

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para hallar todas las soluciones a cuatro decimales.

73.

$sen x = 0,27$

74.

$sen x = -0,55$

75.

$\tan x = -0,34$

76.

$\cos x = 0,71$

En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones algebraicamente y luego utilice la calculadora para estimar los valores en el intervalo $[0, 2 π) .$ Redondee a cuatro decimales.

77.

$\tan^{2} x + 3 \tan x - 3 = 0$

78.

$6 \tan^{2} x + 13 \tan x = −6$

79.

$\tan^{2} x - \sec x = 1$

80.

${sen}^{2} x - 2 \cos^{2} x = 0$

81.

$2 \tan^{2} x + 9 \tan x - 6 = 0$

82.

$4 {sen}^{2} x + sen (2 x) \sec x - 3 = 0$

Extensiones

En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas de las ecuaciones en el intervalo $[0, 2 π) .$

83.

$\csc^{2} x - 3 \csc x - 4 = 0$

84.

${sen}^{2} x - \cos^{2} x - 1 = 0$

85.

${sen}^{2} x (1 - {sen}^{2} x) + \cos^{2} x (1 - {sen}^{2} x) = 0$

86.

$3 \sec^{2} x + 2 + {sen}^{2} x - \tan^{2} x + \cos^{2} x = 0$

87.

${sen}^{2} x - 1 + 2 \cos (2 x) - \cos^{2} x = 1$

88.

$\tan^{2} x - 1 - \sec^{3} x \cos x = 0$

89.

$\frac{sen (2 x)}{\sec^{2} x} = 0$

90.

$\frac{sen (2 x)}{2 \csc^{2} x} = 0$

91.

$2 \cos^{2} x - {sen}^{2} x - \cos x - 5 = 0$

92.

$\frac{1}{\sec^{2} x} + 2 + {sen}^{2} x + 4 \cos^{2} x = 4$

Aplicaciones en el mundo real

93.

Un avión tiene gasolina suficiente únicamente para volar hasta una ciudad situada a 200 millas al noreste de su ubicación actual. Si el piloto sabe que la ciudad está a 25 millas al norte, ¿a cuántos grados al norte del este debe volar el avión?

94.

Si se coloca una rampa de carga junto a un camión, a una altura de 4 pies, y la rampa tiene 15 pies de longitud, ¿qué ángulo forma la rampa con el suelo?

95.

Si se coloca una rampa de carga junto a un camión, a una altura de 2 pies, y la rampa tiene 20 pies de longitud, ¿qué ángulo forma la rampa con el suelo?

96.

Una mujer observa el lanzamiento de un cohete a 11 millas de altitud. Si está de pie a 4 millas de la plataforma de lanzamiento, ¿en qué ángulo mira hacia arriba desde la horizontal?

97.

Una astronauta se encuentra en un cohete lanzado a 15 millas de altitud. Si un hombre está de pie a 2 millas de la plataforma de lanzamiento, ¿en qué ángulo ella lo mira a él desde la horizontal? (Pista: esto recibe el nombre de ángulo de depresión).

98.

Una mujer está de pie a 8 metros de un edificio de 10 metros de altura. ¿En qué ángulo mira hacia la parte superior del edificio?

99.

Un hombre está de pie a 10 metros de un edificio de 6 metros de altura. Alguien lo mira desde la parte superior del edificio. ¿En qué ángulo lo mira esta persona?

100.

Un edificio de 20 pies de altura proyecta una sombra de 55 pies de largo. ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol?

101.

Un edificio de 90 pies de altura proyecta una sombra de 2 pies de largo. ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol?

102.

Un reflector en el suelo a 3 metros de un hombre de 2 metros de altura proyecta una sombra de 6 metros en una pared situada a 6 metros de él. ¿En qué ángulo está la luz?

103.

Un reflector en el suelo a 3 pies de una mujer de 5 pies de alto proyecta una sombra de 15 pies de alto en una pared situada a 6 pies de ella. ¿En qué ángulo está la luz?

En los siguientes ejercicios, halle la solución del problema de forma algebraica. A continuación, utilice la calculadora para verificar el resultado. Redondee la respuesta a la décima de grado más cercana.

104.

Una persona hace una parada de manos; los pies tocan la pared y las manos están a 3 pies de la pared. Si la persona mide 6 pies, ¿qué ángulo forman sus pies con la pared?

105.

Una persona hace una parada de manos; los pies tocan la pared y las manos están a 3 pies de la pared. Si la persona mide 5 pies, ¿qué ángulo forman sus pies con la pared?

106.

Una escalera de 23 pies está colocada junto a una casa. Si la escalera resbala a 7 pies de la casa cuando no hay suficiente tracción, ¿qué ángulo debe formar la escalera con el suelo para no resbalar?

7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas

Resolver ecuaciones trigonométricas lineales en seno y coseno

Resolver una ecuación trigonométrica lineal con la función coseno

Solución

Resolver una ecuación lineal con la función seno

Solución

Resolver la ecuación trigonométrica en forma lineal

Solución

Resolver ecuaciones con una sola función trigonométrica

Resolver un problema con una sola función trigonométrica

Solución

Resolver una ecuación trigonométrica con cosecante

Solución

Análisis

Resolver una ecuación con tangente

Solución

Identificar todas las soluciones de la ecuación que implica la tangente

Solución

Resolver ecuaciones trigonométricas con la calculadora

Usar la calculadora para resolver una ecuación trigonométrica que implica el seno

Solución

Análisis

Usar una calculadora para resolver una ecuación trigonométrica que implica la secante

Solución

Resolver ecuaciones trigonométricas en forma cuadrática

Resolver una ecuación trigonométrica en forma cuadrática

Solución

Resolver una ecuación trigonométrica en forma cuadrática mediante factorización

Solución

Análisis

Resolver una ecuación trigonométrica mediante el álgebra

Solución

Análisis

Resolver una ecuación trigonométrica cuadrática en forma

Solución

Resolver ecuaciones trigonométricas mediante identidades fundamentales

Utilizar las identidades para resolver una ecuación

Solución

Resolver la ecuación mediante una fórmula de doble ángulo

Solución

Resolver una ecuación mediante el empleo de una identidad

Solución

Resolver ecuaciones trigonométricas con ángulos múltiples

Resolver una ecuación trigonométrica de ángulos múltiples

Solución

Resolver problemas de triángulos rectángulos

Usar el teorema de Pitágoras para modelar una ecuación

Solución

Uso del teorema de Pitágoras para modelar un problema abstracto

Solución

7.5 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

En tecnología

Extensiones

Aplicaciones en el mundo real