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Precálculo 2ed

7.2 Identidades de suma y resta

Precálculo 2ed7.2 Identidades de suma y resta

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Utilizar las fórmulas de suma y diferencia para el coseno.
  • Utilizar las fórmulas de suma y diferencia para el seno.
  • Utilizar las fórmulas de suma y diferencia para la tangente.
  • Utilizar las fórmulas de suma y diferencia para las cofunciones.
  • Utilizar las fórmulas de suma y diferencia para verificar las identidades.
Foto del Monte McKinley.
Figura 1 Denali (anteriormente Monte McKinley, en el Parque Nacional de Denali (Alaska), se eleva a 20.237 pies (6.168 metros) sobre el nivel del mar. Es el pico más alto de América del Norte (créditos: Daniel A. Leifheit, Flickr)

¿Cómo se mide la altura de una montaña? ¿Cómo se mide la distancia de la Tierra al Sol? Al igual que muchos problemas aparentemente imposibles, nos basamos en fórmulas matemáticas para dar con las respuestas. Las identidades trigonométricas, que se utilizan comúnmente en las pruebas matemáticas, han tenido aplicaciones en el mundo real durante siglos, incluso para medir grandes distancias.

Las identidades trigonométricas que examinaremos en esta sección se remontan a un astrónomo persa que vivió alrededor del año 950. Sin embargo, los antiguos griegos descubrieron estas mismas fórmulas mucho antes y las enunciaron en términos de cuerdas. Se trata de ecuaciones o postulados especiales, verdaderos para todos los valores introducidos en las ecuaciones, y con innumerables aplicaciones.

En esta sección, aprenderemos técnicas que nos permitirán resolver problemas como los presentados anteriormente. Las fórmulas que siguen simplificarán muchas expresiones y ecuaciones trigonométricas. Tenga en cuenta que, a lo largo de esta sección, el término fórmula se utiliza como sinónimo de la palabra identidad.

Usar las fórmulas de suma y diferencia para el coseno

Hallar el valor exacto del seno, del coseno o de la tangente de un ángulo suele ser más fácil si reescribimos el ángulo dado en términos de dos ángulos que tienen valores trigonométricos conocidos. Podemos utilizar los ángulos especiales, que podemos repasar en el círculo unitario, el cual se muestra en la Figura 2.

Diagrama del círculo unitario con puntos etiquetados en su borde. El punto P está en un ángulo a del eje x positivo con coordenadas (cosa, sena). El punto Q se encuentra en un ángulo B respecto al eje x positivo con coordenadas (cosb, senb). El ángulo POQ es a - B grados. El punto A está en un ángulo de (a-B) respecto al eje x con coordenadas (cos(a-B), sen(a-B)). El punto B está justo en el punto (1,0). El ángulo AOB es también a - B grados. Los radios PO, AO, QO y BO miden 1 unidad y son los catetos de los triángulos POQ y AOB. El triángulo POQ es una rotación del triángulo AOB, por lo que la distancia de P a Q es la misma que la distancia de A a B.
Figura 2 El círculo unitario

Comenzaremos con las fórmulas de suma y diferencia para el coseno, de forma de hallar el coseno de un ángulo dado si podemos descomponerlo en la suma o resta de dos de los ángulos especiales. Vea la Tabla 1.

Fórmula de suma para el coseno cos( α+β )=cosαcosβsenαsenβ cos( α+β )=cosαcosβsenαsenβ
Fórmula de la diferencia para el coseno cos( α-β )=cosαcosβ+senαsenβ cos( α-β )=cosαcosβ+senαsenβ
Tabla 1

En primer lugar, demostraremos la fórmula de la diferencia para el coseno. Consideremos dos puntos en el círculo unitario. Vea la Figura 3. El punto P P está en ángulo α α desde el eje x positivo con coordenadas ( cosα,senα ) ( cosα,senα ) y punto Q Q está en un ángulo de β β desde el eje x positivo con coordenadas ( cosβ,senβ ). ( cosβ,senβ ). Observe la medida del ángulo POQ POQ es α-β. α-β.

Marque dos puntos más: A A en un ángulo de ( α-β ) ( α-β ) desde el eje x positivo con coordenadas ( cos( α-β ),sen( α-β ) ); ( cos( α-β ),sen( α-β ) ); y punto B B con coordenadas ( 1,0 ). ( 1,0 ). El triángulo POQ POQ es una rotación del triángulo AOB AOB y, por ende, la distancia de P P con Q Q es la misma que la distancia de A A hasta B. B.

Diagrama del círculo unitario con puntos etiquetados en su borde. El punto P está en un ángulo a del eje x positivo con coordenadas (cosa, sena). El punto Q se encuentra en un ángulo B respecto al eje x positivo con coordenadas (cosb, senb). El ángulo POQ es a - B grados. El punto A está en un ángulo de (a-B) respecto al eje x con coordenadas (cos(a-B), sen(a-B)). El punto B está justo en el punto (1,0). El ángulo AOB es también a - B grados. Los radios PO, AO, QO y BO miden 1 unidad y son los catetos de los triángulos POQ y AOB. El triángulo POQ es una rotación del triángulo AOB, por lo que la distancia de P a Q es la misma que la distancia de A a B.
Figura 3

Podemos determinar la distancia de P P con Q Q con la fórmula de la distancia.

d PQ = (cosαcosβ) 2 + (senαsenβ) 2 = cos 2 α2cosαcosβ+ cos 2 β+ sen 2 α2senαsenβ+ sen 2 β d PQ = (cosαcosβ) 2 + (senαsenβ) 2 = cos 2 α2cosαcosβ+ cos 2 β+ sen 2 α2senαsenβ+ sen 2 β

Luego aplicamos la identidad pitagórica y simplificamos.

= ( cos 2 α+ sen 2 α)+( cos 2 β+ sen 2 β)-2cosαcosβ2senαsenβ = 1+1-2cosαcosβ2senαsenβ = 2 -2cosαcosβ2senαsenβ = ( cos 2 α+ sen 2 α)+( cos 2 β+ sen 2 β)-2cosαcosβ2senαsenβ = 1+1-2cosαcosβ2senαsenβ = 2 -2cosαcosβ2senαsenβ

Del mismo modo, con la fórmula de la distancia podemos medir la distancia de A A hasta B. B.

d AB = (cos(α-β)-1) 2 + (sen(α-β)-0) 2 = cos 2 (α-β)-2cos(α-β)+1+ sen 2 (α-β) d AB = (cos(α-β)-1) 2 + (sen(α-β)-0) 2 = cos 2 (α-β)-2cos(α-β)+1+ sen 2 (α-β)

Aplicando la identidad pitagórica y simplificando obtenemos:

= ( cos 2 (α-β)+ sen 2 (α-β))-2cos(α-β)+1 = 1-2cos(α-β)+1 = 2 -2cos(α-β) = ( cos 2 (α-β)+ sen 2 (α-β))-2cos(α-β)+1 = 1-2cos(α-β)+1 = 2 -2cos(α-β)

Dado que las dos distancias son las mismas, las igualamos y simplificamos.

2 -2cosαcosβ2senαsenβ = 2 -2cos(α-β) 2 -2cosαcosβ2senαsenβ=2 -2cos(α-β) 2 -2cosαcosβ2senαsenβ = 2 -2cos(α-β) 2 -2cosαcosβ2senαsenβ=2 -2cos(α-β)

Por último, restamos 2 2 de ambos lados y dividimos ambos lados entre -2. -2.

cosαcosβ+senαsenβ=cos( α-β ) cosαcosβ+senαsenβ=cos( α-β )

Así, tenemos la fórmula de diferencia para el coseno. Podemos utilizar métodos similares para derivar el coseno de la suma de dos ángulos.

Fórmulas de suma y diferencia para el coseno

Estas fórmulas pueden utilizarse para calcular el coseno de suma y diferencia de ángulos.

cos( α+β )=cosαcosβsenαsenβ cos( α+β )=cosαcosβsenαsenβ
cos( α-β )=cosαcosβ+senαsenβ cos( α-β )=cosαcosβ+senαsenβ

Cómo

Dados dos ángulos, hallar el coseno de la diferencia entre estos.

  1. Escriba la fórmula de diferencia para el coseno.
  2. Sustituya los valores de los ángulos dados en la fórmula.
  3. Simplifique.

Ejemplo 1

Hallar el valor exacto con la fórmula para el coseno de la diferencia de dos ángulos

Con la fórmula para el coseno de la diferencia de dos ángulos, halle el valor exacto de cos( 5π 4 π 6 ). cos( 5π 4 π 6 ).

Inténtelo #1

Halle el valor exacto de cos( π 3 π 4 ). cos( π 3 π 4 ).

Ejemplo 2

Hallar el valor exacto con la fórmula de la suma de dos ángulos para el coseno

Halle el valor exacto de cos( 75 ). cos( 75 ).

Inténtelo #2

Halle el valor exacto de cos( 105 ). cos( 105 ).

Usar las fórmulas de suma y diferencia para el seno

Las fórmulas de suma y diferencia para el seno pueden derivarse de la misma manera que las del coseno, y se parecen a las fórmulas del coseno.

Fórmulas de suma y diferencia para el seno

Estas fórmulas pueden utilizarse para calcular el seno de la suma y diferencia de los ángulos.

sen( α+β )=senαcosβ+cosαsenβ sen( α+β )=senαcosβ+cosαsenβ
sen( α-β )=senαcosβcosαsenβ sen( α-β )=senαcosβcosαsenβ

Cómo

Dados dos ángulos, hallar el seno de la diferencia entre los ángulos.

  1. Escriba la fórmula de la diferencia para el seno.
  2. Sustituya los ángulos dados en la fórmula.
  3. Simplifique.

Ejemplo 3

Usar las identidades de suma y diferencia para evaluar la diferencia de ángulos

Utilice las identidades de suma y diferencia para evaluar la diferencia de los ángulos y demostrar que la parte a es igual a la parte b.

  1. sen( 45 30 ) sen( 45 30 )
  2. sen( 135 120 ) sen( 135 120 )

Ejemplo 4

Hallar el valor exacto de una expresión que implica una función trigonométrica inversa

Halle el valor exacto de sen( cos −1 1 2 + sen −1 3 5 ). sen( cos −1 1 2 + sen −1 3 5 ).

Usar las fórmulas de suma y diferencia para la tangente

Hallar los valores exactos de la tangente de la suma o diferencia de dos ángulos es un poco más complicado. No obstante, cabe recalcar que es cuestión de reconocer el patrón.

Hallar la fórmula de la suma de dos ángulos para la tangente implica tomar el cociente de las fórmulas de la suma para el seno y el coseno y simplificar. Recuerde, tanx= senx cosx ,cosx0. tanx= senx cosx ,cosx0.

Derivemos la fórmula de la suma para la tangente.

tan( α+β )= sen( α+β ) cos(α+β) = senαcosβ+cosαsenβ cosαcosβsenαsenβ = senαcosβ+cosαsenβ cosαcosβ cosαcosβsenαsenβ cosαcosβ Divida el numerador y el denominador entre cosαcosβ = senα cosβ cosα cosβ + cosα senβ cosα cosβ cosα cosβ cosα cosβ senαsenβ cosαcosβ = senα cosα + senβ cosβ 1- senαsenβ cosαcosβ = tanα+tanβ 1-tanαtanβ tan( α+β )= sen( α+β ) cos(α+β) = senαcosβ+cosαsenβ cosαcosβsenαsenβ = senαcosβ+cosαsenβ cosαcosβ cosαcosβsenαsenβ cosαcosβ Divida el numerador y el denominador entre cosαcosβ = senα cosβ cosα cosβ + cosα senβ cosα cosβ cosα cosβ cosα cosβ senαsenβ cosαcosβ = senα cosα + senβ cosβ 1- senαsenβ cosαcosβ = tanα+tanβ 1-tanαtanβ

Podemos derivar la fórmula de la diferencia para la tangente de forma similar.

Fórmulas de suma y diferencia para la tangente

Las fórmulas de suma y diferencia para la tangente son:

tan( α+β )= tanα+tanβ 1-tanαtanβ tan( α+β )= tanα+tanβ 1-tanαtanβ
tan( α-β )= tanαtanβ 1+tanαtanβ tan( α-β )= tanαtanβ 1+tanαtanβ

Cómo

Dados dos ángulos, hallar la tangente de la suma de los ángulos.

  1. Escriba la fórmula de la suma para la tangente.
  2. Sustituya los ángulos dados en la fórmula.
  3. Simplifique.

Ejemplo 5

Hallar el valor exacto de una expresión que implica la tangente

Halle el valor exacto de tan( π 6 + π 4 ). tan( π 6 + π 4 ).

Inténtelo #3

Halle el valor exacto de tan( 2π 3 + π 4 ). tan( 2π 3 + π 4 ).

Ejemplo 6

Hallar varias sumas y diferencias de ángulos

Dados senα= 3 5 ,0<α< π 2 ,cosβ=- 5 13 ,π<β< 3π 2 , senα= 3 5 ,0<α< π 2 ,cosβ=- 5 13 ,π<β< 3π 2 , halle

  1. sen( α+β ) sen( α+β )
  2. cos( α+β ) cos( α+β )
  3. tan( α+β ) tan( α+β )
  4. tan( α-β ) tan( α-β )

Análisis

Un error común al abordar problemas como este es que podemos caer en la tentación de pensar que α α y β β son ángulos en el mismo triángulo. Por supuesto, no lo son. También hay que tener en cuenta que

tan( α+β )= sen( α+β ) cos( α+β ) tan( α+β )= sen( α+β ) cos( α+β )

Usar las fórmulas de suma y diferencia para las cofunciones

Ahora que hallamos las funciones seno, coseno y tangente para las sumas y diferencias de los ángulos, podemos utilizarlas para hacer lo mismo con sus cofunciones. Recordará de la Trigonometría de triángulos rectángulos que, si la suma de dos ángulos positivos es π 2 , π 2 , esos dos ángulos son complementarios, y la suma de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo es π 2 , π 2 , por lo que también son complementos. En la Figura 6, observe que, si uno de los ángulos agudos se marca como θ, θ, entonces el otro ángulo agudo debe marcarse ( π 2 -θ ). ( π 2 -θ ).

Observe también que senθ=cos( π 2 -θ ): senθ=cos( π 2 -θ ): opuesto sobre la hipotenusa. Así, cuando dos ángulos son complementarios, podemos enunciar que el seno de θ θ es igual a la cofunción del complemento de θ. θ. Del mismo modo, la tangente y la cotangente son cofunciones, y la secante y la cosecante son cofunciones.

Imagen de un triángulo rectángulo. Los ángulos restantes se denominan theta y pi/2 - theta.
Figura 6

A partir de estas relaciones, se forman las identidades de cofunción.

Identidades de la cofunción

Las identidades de cofunción se resumen en la Tabla 2.

senθ=cos( π 2 -θ ) senθ=cos( π 2 -θ ) cosθ=sen( π 2 -θ ) cosθ=sen( π 2 -θ )
tanθ=cot( π 2 -θ ) tanθ=cot( π 2 -θ ) cotθ=tan( π 2 -θ ) cotθ=tan( π 2 -θ )
secθ=csc( π 2 -θ ) secθ=csc( π 2 -θ ) cscθ=sec( π 2 -θ ) cscθ=sec( π 2 -θ )
Tabla 2

Observe que las fórmulas de la tabla también pueden justificarse algebraicamente mediante las fórmulas de suma y diferencia. Por ejemplo, utilizando

cos( α-β )=cosαcosβ+senαsenβ, cos( α-β )=cosαcosβ+senαsenβ,

podemos escribir

cos( π 2 -θ )=cos π 2 cosθ+sen π 2 senθ =(0)cosθ+(1)senθ =senθ cos( π 2 -θ )=cos π 2 cosθ+sen π 2 senθ =(0)cosθ+(1)senθ =senθ

Ejemplo 7

Hallar una cofunción con el mismo valor que la expresión dada

Escriba tan π 9 tan π 9 en términos de su cofunción.

Inténtelo #4

Escriba sen π 7 sen π 7 en términos de su cofunción.

Usar las fórmulas de suma y diferencia para verificar las identidades

Verificar una identidad significa demostrar que la ecuación es válida para todos los valores de la variable. Ayuda estar bastante familiarizado con las identidades o tener una lista de ellas accesible mientras se trabajan los problemas. Repasar las reglas generales de Resolución de ecuaciones trigonométricas con identidades simplifica la verificación de identidad.

Cómo

Dada una identidad, verificarla con las fórmulas de suma y diferencia.

  1. Comience con la expresión del lado del signo igual que parezca más compleja. Reescriba esa expresión hasta que coincida con el otro lado del signo de igualdad. Ocasionalmente, es posible que tengamos que alterar ambos lados; sin embargo, trabajar en un solo lado es lo más eficiente.
  2. Busque oportunidades para utilizar las fórmulas de suma y diferencia.
  3. Reescriba sumas o diferencias de cocientes como cocientes simples.
  4. Si el proceso se vuelve engorroso, reescriba la expresión en términos de seno y coseno.

Ejemplo 8

Verificar una identidad que implique el seno

Verifique la identidad sen(α+β)+sen(α-β)=2senαcosβ. sen(α+β)+sen(α-β)=2senαcosβ.

Ejemplo 9

Verificar una identidad que implique la tangente

Verifique la siguiente identidad.

sen(α-β) cosαcosβ =tanαtanβ sen(α-β) cosαcosβ =tanαtanβ

Inténtelo #5

Verifique la identidad: tan( π-θ )=-tanθ. tan( π-θ )=-tanθ.

Ejemplo 10

Usar las fórmulas de suma y diferencia para resolver un problema de aplicación

Supongamos que L 1 L 1 y L 2 L 2 denotan dos líneas no verticales que se cruzan, y supongamos que θ θ denota el ángulo agudo entre L 1 L 1 y L 2 . L 2 . Vea la Figura 7. Demuestre que

tanθ= m 2 m 1 1+ m 1 m 2 tanθ= m 2 m 1 1+ m 1 m 2

donde m 1 m 1 y m 2 m 2 son las pendientes de L 1 L 1 y L 2 L 2 respectivamente. (Pista: Utilice el hecho de que tan θ 1 = m 1 tan θ 1 = m 1 y tan θ 2 = m 2 . tan θ 2 = m 2 . ).

Diagrama de dos líneas no verticales que se cruzan L1 y L2 y que también se cruzan con el eje x. El ángulo agudo que se forma por la intersección de L1 y L2 es theta. El ángulo agudo que se forma por L2 y el eje x es theta 1, y el ángulo agudo que se forma por el eje x y L1 es theta 2.
Figura 7

Ejemplo 11

Investigación de un problema de cableado

Para un muro de escalada, un cable de sujeción R R está fijado a 47 pies de altura en un poste vertical. El soporte adicional lo proporciona otro cable de sujeción S S , que está fijado a 40 pies del suelo en el mismo poste. Si los cables están fijados al suelo a 50 pies del poste, halle el ángulo α α entre los cables. Vea la Figura 8.

Dos triángulos rectángulos. Ambos comparten la misma base, 50 pies. El primero tiene una altura de 40 pies y la hipotenusa S. El segundo tiene una altura de 47 pies y la hipotenusa R. Los lados de la altura de los triángulos se superponen. Hay un ángulo de B grados entre R y la base, y un ángulo de a grados entre las dos hipotenusas dentro del ángulo de B grados.
Figura 8

Análisis

En ocasiones, cuando aparece una aplicación que incluye un triángulo rectángulo, podemos pensar que la resolución es cuestión de aplicar el teorema de Pitágoras. Eso puede ser parcialmente cierto, pero depende de lo que se pida en el problema y de la información que se dé.

Media

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7.2 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Explique el fundamento de las identidades de cofunción y cuándo se aplican.

2.

¿Existe una sola manera de evaluar cos( 5π 4 )? cos( 5π 4 )? Explique cómo establecer la solución de dos maneras diferentes, y luego calcular para que den la misma respuesta.

3.

Explique a alguien que haya olvidado las propiedades pares-impares de las funciones sinusoidales cómo las fórmulas de suma y resta pueden determinar esta característica para f(x)=sen(x) f(x)=sen(x) y g(x)=cos(x). g(x)=cos(x). (Pista: 0-x=-x 0-x=-x ).

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.

4.

cos( 7π 12 ) cos( 7π 12 )

5.

cos( π 12 ) cos( π 12 )

6.

sen( 5π 12 ) sen( 5π 12 )

7.

sen( 11π 12 ) sen( 11π 12 )

8.

tan( - π 12 ) tan( - π 12 )

9.

tan( 19π 12 ) tan( 19π 12 )

En los siguientes ejercicios, reescriba en términos de senx senx y cosx. cosx.

10.

sen( x+ 11π 6 ) sen( x+ 11π 6 )

11.

sen( x- 3π 4 ) sen( x- 3π 4 )

12.

cos( x- 5π 6 ) cos( x- 5π 6 )

13.

cos( x+ 2π 3 ) cos( x+ 2π 3 )

En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión dada.

14.

csc( π 2 -t ) csc( π 2 -t )

15.

sec( π 2 -θ ) sec( π 2 -θ )

16.

cot( π 2 -x ) cot( π 2 -x )

17.

tan( π 2 -x ) tan( π 2 -x )

18.

sen( 2 x )cos( 5x )-sen( 5x )cos( 2 x ) sen( 2 x )cos( 5x )-sen( 5x )cos( 2 x )

19.

tan( 3 2 x )-tan( 7 5 x ) 1+tan( 3 2 x )tan( 7 5 x ) tan( 3 2 x )-tan( 7 5 x ) 1+tan( 3 2 x )tan( 7 5 x )

En los siguientes ejercicios, halle la información solicitada.

20.

Dado que sena= 2 3 sena= 2 3 y cosb=- 1 4 , cosb=- 1 4 , con la a a y b b ambos en el intervalo [ π 2 ,π ), [ π 2 ,π ), calcule sen(a+b) sen(a+b) y cos(a-b). cos(a-b).

21.

Dado que sena= 4 5 , sena= 4 5 , y cosb= 1 3 , cosb= 1 3 , con la a a y b b ambos en el intervalo [ 0, π 2 ), [ 0, π 2 ), calcule sen(a-b) sen(a-b) y cos(a+b). cos(a+b).

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de cada expresión.

22.

sen( cos 1 (0)- cos 1 ( 1 2 ) ) sen( cos 1 (0)- cos 1 ( 1 2 ) )

23.

cos( cos 1 ( 2 2 )+ sen 1 ( 3 2 ) ) cos( cos 1 ( 2 2 )+ sen 1 ( 3 2 ) )

24.

tan( sen 1 ( 1 2 )- cos 1 ( 1 2 ) ) tan( sen 1 ( 1 2 )- cos 1 ( 1 2 ) )

Gráficos

En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión y luego grafique ambas expresiones como funciones para verificar que los gráficos sean idénticos.

25.

cos( π 2 -x ) cos( π 2 -x )

26.

sen(πx) sen(πx)

27.

tan( π 3 +x ) tan( π 3 +x )

28.

sen( π 3 +x ) sen( π 3 +x )

29.

tan( π 4 -x ) tan( π 4 -x )

30.

cos( 7π 6 +x ) cos( 7π 6 +x )

31.

sen( π 4 +x ) sen( π 4 +x )

32.

cos( 5π 4 +x ) cos( 5π 4 +x )

En los siguientes ejercicios, utilice un gráfico para determinar si las funciones son iguales o diferentes. Si son iguales, demuestre por qué. Si son diferentes, sustituya la segunda función por una idéntica a la primera. (Pista: piense en 2x=x+x. 2x=x+x. ).

33.

f( x )=sen( 4x )-sen( 3x )cosx f( x )=sen( 4x )-sen( 3x )cosx, g( x )=senxcos( 3x ) g( x )=senxcos( 3x )

34.

f( x )=cos( 4x )+senxsen( 3x ),g( x )=-cosxcos( 3x ) f( x )=cos( 4x )+senxsen( 3x ),g( x )=-cosxcos( 3x )

35.

f( x )=sen( 3x )cos( 6x ) f( x )=sen( 3x )cos( 6x ), g( x )=-sen( 3x )cos( 6x ) g( x )=-sen( 3x )cos( 6x )

36.

f(x)=sen(4x) f(x)=sen(4x), g(x)=sen(5x)cosx-cos(5x)senx g(x)=sen(5x)cosx-cos(5x)senx

37.

f(x)=sen(2 x) f(x)=sen(2 x), g(x)=2senxcosx g(x)=2senxcosx

38.

f( θ )=cos( 2θ ) f( θ )=cos( 2θ ), g( θ )= cos 2 θ- sen 2 θ g( θ )= cos 2 θ- sen 2 θ

39.

f(θ)=tan(2θ) f(θ)=tan(2θ), g(θ)= tanθ 1+ tan 2 θ g(θ)= tanθ 1+ tan 2 θ

40.

f(x)=sen(3x)senx f(x)=sen(3x)senx, g(x)= sen 2 (2 x) cos 2 x- cos 2 (2 x) sen 2 x g(x)= sen 2 (2 x) cos 2 x- cos 2 (2 x) sen 2 x

41.

f(x)=tan(-x) f(x)=tan(-x), g(x)= tanx-tan(2 x) 1-tanxtan(2 x) g(x)= tanx-tan(2 x) 1-tanxtan(2 x)

En tecnología

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto algebraicamente y luego confirme la respuesta con una calculadora hasta el cuarto decimal.

42.

sen( 75 ) sen( 75 )

43.

sen( 195 ) sen( 195 )

44.

cos( 165 ) cos( 165 )

45.

cos( 345 ) cos( 345 )

46.

tan( 15 ) tan( 15 )

Extensiones

En los siguientes ejercicios, demuestre las identidades proporcionadas.

47.

tan(x+ π 4 )= tanx+1 1-tanx tan(x+ π 4 )= tanx+1 1-tanx

48.

tan(a+b) tan(a-b) = senacosa+senbcosb senacosasenbcosb tan(a+b) tan(a-b) = senacosa+senbcosb senacosasenbcosb

49.

cos(a+b) cosacosb =1-tanatanb cos(a+b) cosacosb =1-tanatanb

50.

cos( x+y )cos( x-y )= cos 2 x- sen 2 y cos( x+y )cos( x-y )= cos 2 x- sen 2 y

51.

cos(x+h)-cosx h =cosx cosh-1 h senx senh h cos(x+h)-cosx h =cosx cosh-1 h senx senh h

En los siguientes ejercicios, demuestre o refute los enunciados.

52.

tan(u+v)= tanu+tanv 1-tanutanv tan(u+v)= tanu+tanv 1-tanutanv

53.

tan(u-v)= tanutanv 1+tanutanv tan(u-v)= tanutanv 1+tanutanv

54.

tan( x+y ) 1+tanxtanx = tanx+tany 1- tan 2 x tan 2 y tan( x+y ) 1+tanxtanx = tanx+tany 1- tan 2 x tan 2 y

55.

Si los valores de α, β, α, β, y γ γ son ángulos en el mismo triángulo, entonces demuestre o refute sen( α+β )=senγ. sen( α+β )=senγ.

56.

Si los valores de α,β, α,β, y γ γ son ángulos en el mismo triángulo, entonces demuestre o refute tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ

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