Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Utilizar las fórmulas de suma y diferencia para el coseno.
Utilizar las fórmulas de suma y diferencia para el seno.
Utilizar las fórmulas de suma y diferencia para la tangente.
Utilizar las fórmulas de suma y diferencia para las cofunciones.
Utilizar las fórmulas de suma y diferencia para verificar las identidades.

Figura 1 Denali (anteriormente Monte McKinley, en el Parque Nacional de Denali (Alaska), se eleva a 20.237 pies (6.168 metros) sobre el nivel del mar. Es el pico más alto de América del Norte (créditos: Daniel A. Leifheit, Flickr)

¿Cómo se mide la altura de una montaña? ¿Cómo se mide la distancia de la Tierra al Sol? Al igual que muchos problemas aparentemente imposibles, nos basamos en fórmulas matemáticas para dar con las respuestas. Las identidades trigonométricas, que se utilizan comúnmente en las pruebas matemáticas, han tenido aplicaciones en el mundo real durante siglos, incluso para medir grandes distancias.

Las identidades trigonométricas que examinaremos en esta sección se remontan a un astrónomo persa que vivió alrededor del año 950. Sin embargo, los antiguos griegos descubrieron estas mismas fórmulas mucho antes y las enunciaron en términos de cuerdas. Se trata de ecuaciones o postulados especiales, verdaderos para todos los valores introducidos en las ecuaciones, y con innumerables aplicaciones.

En esta sección, aprenderemos técnicas que nos permitirán resolver problemas como los presentados anteriormente. Las fórmulas que siguen simplificarán muchas expresiones y ecuaciones trigonométricas. Tenga en cuenta que, a lo largo de esta sección, el término fórmula se utiliza como sinónimo de la palabra identidad.

Usar las fórmulas de suma y diferencia para el coseno

Hallar el valor exacto del seno, del coseno o de la tangente de un ángulo suele ser más fácil si reescribimos el ángulo dado en términos de dos ángulos que tienen valores trigonométricos conocidos. Podemos utilizar los ángulos especiales, que podemos repasar en el círculo unitario, el cual se muestra en la Figura 2.

Diagrama del círculo unitario con puntos etiquetados en su borde. El punto P está en un ángulo a del eje x positivo con coordenadas (cosa, sena). El punto Q se encuentra en un ángulo B respecto al eje x positivo con coordenadas (cosb, senb). El ángulo POQ es a - B grados. El punto A está en un ángulo de (a-B) respecto al eje x con coordenadas (cos(a-B), sen(a-B)). El punto B está justo en el punto (1,0). El ángulo AOB es también a - B grados. Los radios PO, AO, QO y BO miden 1 unidad y son los catetos de los triángulos POQ y AOB. El triángulo POQ es una rotación del triángulo AOB, por lo que la distancia de P a Q es la misma que la distancia de A a B.

Figura 2 El círculo unitario

Comenzaremos con las fórmulas de suma y diferencia para el coseno, de forma de hallar el coseno de un ángulo dado si podemos descomponerlo en la suma o resta de dos de los ángulos especiales. Vea la Tabla 1.

Fórmula de suma para el coseno	$\cos (α + β) = \cos α \cos β - sen α sen β$
Fórmula de la diferencia para el coseno	$\cos (α - β) = \cos α \cos β + sen α sen β$

Tabla 1

En primer lugar, demostraremos la fórmula de la diferencia para el coseno. Consideremos dos puntos en el círculo unitario. Vea la Figura 3. El punto $P$ está en ángulo $α$ desde el eje x positivo con coordenadas $(\cos α, sen α)$ y punto $Q$ está en un ángulo de $β$ desde el eje x positivo con coordenadas $(\cos β, sen β) .$ Observe la medida del ángulo $P O Q$ es $α - β .$

Marque dos puntos más: $A$ en un ángulo de $(α - β)$ desde el eje x positivo con coordenadas $(\cos (α - β), sen (α - β));$ y punto $B$ con coordenadas $(1, 0) .$ El triángulo $P O Q$ es una rotación del triángulo $A O B$ y, por ende, la distancia de $P$ con $Q$ es la misma que la distancia de $A$ hasta $B .$

Figura 3

Podemos determinar la distancia de $P$ con $Q$ con la fórmula de la distancia.

\begin{array}{l} d_{P Q} = \sqrt{{(\cos α - \cos β)}^{2} + {(sen α - sen β)}^{2}} \\ = \sqrt{\cos^{2} α - 2 \cos α \cos β + \cos^{2} β + {sen}^{2} α - 2 sen α sen β + {sen}^{2} β} \end{array}

Luego aplicamos la identidad pitagórica y simplificamos.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} = \sqrt{(\cos^{2} α + {sen}^{2} α) + (\cos^{2} β + {sen}^{2} β) - 2 \cos α \cos β - 2 sen α sen β} \end{array} \\ = \sqrt{1 + 1 - 2 \cos α \cos β - 2 sen α sen β} \\ = \sqrt{2 - 2 \cos α \cos β - 2 sen α sen β} \end{array}

Del mismo modo, con la fórmula de la distancia podemos medir la distancia de $A$ hasta $B .$

\begin{array}{l} d_{A B} = \sqrt{{(\cos (α - β) - 1)}^{2} + {(sen (α - β) - 0)}^{2}} \\ = \sqrt{\cos^{2} (α - β) - 2 \cos (α - β) + 1 + {sen}^{2} (α - β)} \end{array}

Aplicando la identidad pitagórica y simplificando obtenemos:

\begin{array}{l} \begin{array}{l} = \sqrt{(\cos^{2} (α - β) + {sen}^{2} (α - β)) - 2 \cos (α - β) + 1} \end{array} \\ = \sqrt{1 - 2 \cos (α - β) + 1} \\ = \sqrt{2 - 2 \cos (α - β)} \end{array}

Dado que las dos distancias son las mismas, las igualamos y simplificamos.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \sqrt{2 - 2 \cos α \cos β - 2 sen α sen β} = \sqrt{2 - 2 \cos (α - β)} \end{array} \\ 2 - 2 \cos α \cos β - 2 sen α sen β = 2 - 2 \cos (α - β) \end{array}

Por último, restamos $2$ de ambos lados y dividimos ambos lados entre $-2.$

\cos α \cos β + sen α sen β = \cos (α - β)

Así, tenemos la fórmula de diferencia para el coseno. Podemos utilizar métodos similares para derivar el coseno de la suma de dos ángulos.

Fórmulas de suma y diferencia para el coseno

Estas fórmulas pueden utilizarse para calcular el coseno de suma y diferencia de ángulos.

\cos (α + β) = \cos α \cos β - sen α sen β

\cos (α - β) = \cos α \cos β + sen α sen β

Cómo

Dados dos ángulos, hallar el coseno de la diferencia entre estos.

Escriba la fórmula de diferencia para el coseno.
Sustituya los valores de los ángulos dados en la fórmula.
Simplifique.

Ejemplo 1

Hallar el valor exacto con la fórmula para el coseno de la diferencia de dos ángulos

Con la fórmula para el coseno de la diferencia de dos ángulos, halle el valor exacto de $\cos (\frac{5 π}{4} - \frac{π}{6}) .$

Solución

Utilice la fórmula para el coseno de la diferencia de dos ángulos. Tenemos

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \cos (α - β) = \cos α \cos β + sen α sen β \\ \cos (\frac{5 π}{4} - \frac{π}{6}) = \cos (\frac{5 π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + sen (\frac{5 π}{4}) sen (\frac{π}{6}) \\ = (- \frac{\sqrt{2}}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{\sqrt{2}}{2}) (\frac{1}{2}) \\ = - \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} \\ = \frac{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{array} \end{array}

Inténtelo #1

Halle el valor exacto de $\cos (\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) .$

Ejemplo 2

Hallar el valor exacto con la fórmula de la suma de dos ángulos para el coseno

Halle el valor exacto de $\cos (75^{\circ}) .$

Solución

A medida que $75^{\circ} = 45^{\circ} + 30^{\circ},$ podemos evaluar $\cos (75^{\circ})$ cuando $\cos (45^{\circ} + 30^{\circ}) .$ Así,

\begin{array}{l} \cos (45^{\circ} + 30^{\circ}) = \cos (45^{\circ}) \cos (30^{\circ}) - sen (45^{\circ}) sen (30^{\circ}) \\ = \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{1}{2}) \\ = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} \\ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{array}

Inténtelo #2

Halle el valor exacto de $\cos (105^{\circ}) .$

Usar las fórmulas de suma y diferencia para el seno

Las fórmulas de suma y diferencia para el seno pueden derivarse de la misma manera que las del coseno, y se parecen a las fórmulas del coseno.

Fórmulas de suma y diferencia para el seno

Estas fórmulas pueden utilizarse para calcular el seno de la suma y diferencia de los ángulos.

sen (α + β) = sen α \cos β + \cos α sen β

sen (α - β) = sen α \cos β - \cos α sen β

Cómo

Dados dos ángulos, hallar el seno de la diferencia entre los ángulos.

Escriba la fórmula de la diferencia para el seno.
Sustituya los ángulos dados en la fórmula.
Simplifique.

Ejemplo 3

Usar las identidades de suma y diferencia para evaluar la diferencia de ángulos

Utilice las identidades de suma y diferencia para evaluar la diferencia de los ángulos y demostrar que la parte a es igual a la parte b.

Ⓐ $sen (45^{\circ} - 30^{\circ})$
Ⓑ $sen (135^{\circ} - 120^{\circ})$

Solución

Ⓐ Empecemos por escribir la fórmula y sustituir los ángulos dados.
$\begin{array}{l} sen (α - β) = sen α \cos β - \cos α sen β \\ sen (45^{\circ} - 30^{\circ}) = sen (45^{\circ}) \cos (30^{\circ}) - \cos (45^{\circ}) sen (30^{\circ}) \end{array}$

A continuación, tenemos que hallar los valores de las expresiones trigonométricas.

$sen (45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos (30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos (45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}, sen (30^{\circ}) = \frac{1}{2}$

Ahora podemos sustituir estos valores en la ecuación y simplificar.

$\begin{array}{l} sen (45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{1}{2}) \\ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{array}$
Ⓑ De nuevo, escribimos la fórmula y sustituimos los ángulos dados.
$\begin{array}{l} sen (α - β) = sen α \cos β - \cos α sen β \\ sen (135^{\circ} - 120^{\circ}) = sen (135^{\circ}) \cos (120^{\circ}) - \cos (135^{\circ}) sen (120^{\circ}) \end{array}$

A continuación, calculamos los valores de las expresiones trigonométricas.

$sen (135^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos (120^{\circ}) = - \frac{1}{2}, \cos (135^{\circ}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}, sen (120^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Ahora podemos sustituir estos valores en la ecuación y simplificar.

$\begin{array}{l} sen (135^{\circ} - 120^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{1}{2}) - (- \frac{\sqrt{2}}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) \\ = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \\ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \\ sen (135^{\circ} - 120^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{1}{2}) - (- \frac{\sqrt{2}}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) \\ = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \\ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{array}$

Ejemplo 4

Hallar el valor exacto de una expresión que implica una función trigonométrica inversa

Halle el valor exacto de $sen (\cos^{−1} \frac{1}{2} + {sen}^{−1} \frac{3}{5}) .$

Solución

El patrón que se muestra en este problema es $sen (α + β) .$ Supongamos que $α = \cos^{−1} \frac{1}{2}$ y $β = {sen}^{−1} \frac{3}{5} .$ Entonces podemos escribir

\begin{array}{l} \cos α = \frac{1}{2}, 0 \leq α \leq π \\ sen β = \frac{3}{5}, - \frac{π}{2} \leq β \leq \frac{π}{2} \end{array}

Utilizaremos la identidad pitagórica para hallar $sen α$ y $\cos β .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} sen α = \sqrt{1 - \cos^{2} α} \\ = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} \\ = \sqrt{\frac{3}{4}} \\ = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos β = \sqrt{1 - {sen}^{2} β} \\ = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} \\ = \sqrt{\frac{16}{25}} \\ = \frac{4}{5} \end{array} \end{array}

Con la fórmula de suma para el seno,

\begin{array}{l} sen (\cos^{−1} \frac{1}{2} + {sen}^{−1} \frac{3}{5}) = sen (α + β) \\ = sen α \cos β + \cos α sen β \\ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \\ = \frac{4 \sqrt{3} + 3}{10} \end{array}

Usar las fórmulas de suma y diferencia para la tangente

Hallar los valores exactos de la tangente de la suma o diferencia de dos ángulos es un poco más complicado. No obstante, cabe recalcar que es cuestión de reconocer el patrón.

Hallar la fórmula de la suma de dos ángulos para la tangente implica tomar el cociente de las fórmulas de la suma para el seno y el coseno y simplificar. Recuerde, $\tan x = \frac{sen x}{\cos x}, \cos x \neq 0 .$

Derivemos la fórmula de la suma para la tangente.

\begin{array}{l} \tan (α + β) = \frac{sen (α + β)}{\cos (α + β)} \\ = \frac{sen α \cos β + \cos α sen β}{\cos α \cos β - sen α sen β} \\ = \frac{\frac{sen α \cos β + \cos α sen β}{\cos α \cos β}}{\frac{\cos α \cos β - sen α sen β}{\cos α \cos β}} & Divida el numerador y el denominador entre cos α cos β \\ = \frac{\frac{sen α \cos β}{\cos α \cos β} + \frac{\cos α sen β}{\cos α \cos β}}{\frac{\cos α \cos β}{\cos α \cos β} - \frac{sen α sen β}{\cos α \cos β}} \\ = \frac{\frac{sen α}{\cos α} + \frac{sen β}{\cos β}}{1 - \frac{sen α sen β}{\cos α \cos β}} \\ = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} \end{array}

Podemos derivar la fórmula de la diferencia para la tangente de forma similar.

Fórmulas de suma y diferencia para la tangente

Las fórmulas de suma y diferencia para la tangente son:

\tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β}

\tan (α - β) = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β}

Cómo

Dados dos ángulos, hallar la tangente de la suma de los ángulos.

Escriba la fórmula de la suma para la tangente.
Sustituya los ángulos dados en la fórmula.
Simplifique.

Ejemplo 5

Hallar el valor exacto de una expresión que implica la tangente

Halle el valor exacto de $\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) .$

Solución

Primero escribamos la fórmula de la suma para la tangente y sustituyamos los ángulos dados en la fórmula.

\begin{array}{l} \tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} \\ \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) = \frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - (\tan (\frac{π}{6})) (\tan (\frac{π}{4}))} \end{array}

A continuación, determinamos cada una de las tangentes dentro de la fórmula:

\tan (\frac{π}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}, \tan (\frac{π}{4}) = 1

Así que tenemos

\begin{array}{l} \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + 1}{1 - (\frac{1}{\sqrt{3}}) (1)} \\ = \frac{\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} \\ = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}) \\ = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \end{array}

Inténtelo #3

Halle el valor exacto de $\tan (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4}) .$

Ejemplo 6

Hallar varias sumas y diferencias de ángulos

Dados $sen α = \frac{3}{5}, 0 < α < \frac{π}{2}, \cos β = - \frac{5}{13}, π < β < \frac{3 π}{2},$ halle

Ⓐ $sen (α + β)$
Ⓑ $\cos (α + β)$
Ⓒ $\tan (α + β)$
Ⓓ $\tan (α - β)$

Solución

Podemos utilizar las fórmulas de suma y diferencia para identificar la suma o diferencia de ángulos cuando se proporciona el cociente del seno, coseno o tangente para cada uno de los ángulos. Para ello, construimos el llamado triángulo de referencia que permita dar con cada elemento de las fórmulas de suma y diferencia.

Ⓐ Para hallar $sen (α + β),$ comenzamos con $sen α = \frac{3}{5}$ y $0 < α < \frac{π}{2} .$ El lado opuesto $α$ tiene una longitud de 3, la hipotenusa tiene una longitud de 5, y $α$ está en el primer cuadrante. Vea la Figura 4. Con el teorema de Pitágoras podemos medir la longitud del lado

a : \begin{array}{l} a^{2} + 3^{2} = 5^{2} \\ a^{2} = 16 \\ a = 4 \end{array}

Diagrama de un triángulo en el plano x,y. Los vértices están en el origen, (4,0) y (4,3). El ángulo en el origen es de grados alfa. El ángulo formado por el eje x y el lado de (4,3) a (4,0) es un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto tiene una longitud de 5.

Figura 4

Dado que $\cos β = - \frac{5}{13}$ y $π < β < \frac{3 π}{2},$ el lado adyacente a $β$ es $−5,$ la hipotenusa es 13, y $β$ está en el tercer cuadrante. Vea la Figura 5. De nuevo, con el teorema de Pitágoras, obtenemos

\begin{array}{l} {(- 5)}^{2} + a^{2} = 13^{2} \\ 25 + a^{2} = 169 \\ a^{2} = 144 \\ a = \pm 12 \end{array}

Dado que $β$ está en el tercer cuadrante, $a = –12.$

Diagrama de un triángulo en el plano x,y. Los vértices están en el origen, (-5,0) y (-5, -12). El ángulo en el origen es de beta grados. El ángulo formado por el eje x y el lado de (-5, -12) a (-5,0) es un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto tiene una longitud de 13.

Figura 5

El siguiente paso es hallar el coseno de $α$ y el seno de $β .$ El coseno de $α$ es el lado adyacente sobre la hipotenusa. Podemos hallarlo a partir del triángulo en la Figura 5: $\cos α = \frac{4}{5} .$ También podemos hallar el seno de $β$ del triángulo en la Figura 5, como el lado opuesto sobre la hipotenusa: $sen β = - \frac{12}{13} .$ Ahora estamos listos para evaluar $sen (α + β) .$

\begin{matrix} sen (α + β) & = & sen α \cos β + \cos α sen β \\ = & (\frac{3}{5}) (- \frac{5}{13}) + (\frac{4}{5}) (- \frac{12}{13}) \\ = & - \frac{15}{65} - \frac{48}{65} \\ = & - \frac{63}{65} \end{matrix}

Ⓑ Podemos hallar $\cos (α + β)$ de manera semejante. Sustituimos los valores según la fórmula.

\begin{matrix} \cos (α + β) & = & \cos α \cos β - sen α sen β \\ = & (\frac{4}{5}) (- \frac{5}{13}) - (\frac{3}{5}) (- \frac{12}{13}) \\ = & - \frac{20}{65} + \frac{36}{65} \\ = & \frac{16}{65} \end{matrix}

\tan α = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}

Si los valores de $sen β = - \frac{12}{13}$ y $\cos β = - \frac{5}{13},$ entonces

\tan β = \frac{\frac{- 12}{13}}{\frac{- 5}{13}} = \frac{12}{5}

Entonces,

\begin{matrix} \tan (α + β) & = & \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} \\ = & \frac{\frac{3}{4} + \frac{12}{5}}{1 - \frac{3}{4} (\frac{12}{5})} \\ = & \frac{\frac{63}{20}}{- \frac{16}{20}} \\ = & - \frac{63}{16} \end{matrix}

Ⓓ Para hallar $\tan (α - β),$ tenemos los valores que necesitamos. Podemos sustituirlos y evaluarlos.

\begin{matrix} \tan (α - β) & = & \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β} \\ = & \frac{\frac{3}{4} - \frac{12}{5}}{1 + \frac{3}{4} (\frac{12}{5})} \\ = & \frac{- \frac{33}{20}}{\frac{56}{20}} \\ = & - \frac{33}{56} \end{matrix}

Análisis

Un error común al abordar problemas como este es que podemos caer en la tentación de pensar que $α$ y $β$ son ángulos en el mismo triángulo. Por supuesto, no lo son. También hay que tener en cuenta que

\tan (α + β) = \frac{sen (α + β)}{\cos (α + β)}

Usar las fórmulas de suma y diferencia para las cofunciones

Ahora que hallamos las funciones seno, coseno y tangente para las sumas y diferencias de los ángulos, podemos utilizarlas para hacer lo mismo con sus cofunciones. Recordará de la Trigonometría de triángulos rectángulos que, si la suma de dos ángulos positivos es $\frac{π}{2},$ esos dos ángulos son complementarios, y la suma de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo es $\frac{π}{2},$ por lo que también son complementos. En la Figura 6, observe que, si uno de los ángulos agudos se marca como $θ,$ entonces el otro ángulo agudo debe marcarse $(\frac{π}{2} - θ) .$

Observe también que $sen θ = \cos (\frac{π}{2} - θ) :$ opuesto sobre la hipotenusa. Así, cuando dos ángulos son complementarios, podemos enunciar que el seno de $θ$ es igual a la cofunción del complemento de $θ .$ Del mismo modo, la tangente y la cotangente son cofunciones, y la secante y la cosecante son cofunciones.

Imagen de un triángulo rectángulo. Los ángulos restantes se denominan theta y pi/2 - theta.

Figura 6

A partir de estas relaciones, se forman las identidades de cofunción.

Identidades de la cofunción

Las identidades de cofunción se resumen en la Tabla 2.

$sen θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)$	$\cos θ = sen (\frac{π}{2} - θ)$
$\tan θ = \cot (\frac{π}{2} - θ)$	$\cot θ = \tan (\frac{π}{2} - θ)$
$\sec θ = \csc (\frac{π}{2} - θ)$	$\csc θ = \sec (\frac{π}{2} - θ)$

Tabla 2

Observe que las fórmulas de la tabla también pueden justificarse algebraicamente mediante las fórmulas de suma y diferencia. Por ejemplo, utilizando

\cos (α - β) = \cos α \cos β + sen α sen β,

podemos escribir

\begin{array}{l} \cos (\frac{π}{2} - θ) = \cos \frac{π}{2} \cos θ + sen \frac{π}{2} sen θ \\ = (0) \cos θ + (1) sen θ \\ = sen θ \end{array}

Ejemplo 7

Hallar una cofunción con el mismo valor que la expresión dada

Escriba $\tan \frac{π}{9}$ en términos de su cofunción.

Solución

La cofunción de $\tan θ = \cot (\frac{π}{2} - θ) .$ Así,

\begin{array}{l} \tan (\frac{π}{9}) = \cot (\frac{π}{2} - \frac{π}{9}) \\ = \cot (\frac{9 π}{18} - \frac{2 π}{18}) \\ = \cot (\frac{7 π}{18}) \end{array}

Inténtelo #4

Escriba $sen \frac{π}{7}$ en términos de su cofunción.

Usar las fórmulas de suma y diferencia para verificar las identidades

Verificar una identidad significa demostrar que la ecuación es válida para todos los valores de la variable. Ayuda estar bastante familiarizado con las identidades o tener una lista de ellas accesible mientras se trabajan los problemas. Repasar las reglas generales de Resolución de ecuaciones trigonométricas con identidades simplifica la verificación de identidad.

Cómo

Dada una identidad, verificarla con las fórmulas de suma y diferencia.

Comience con la expresión del lado del signo igual que parezca más compleja. Reescriba esa expresión hasta que coincida con el otro lado del signo de igualdad. Ocasionalmente, es posible que tengamos que alterar ambos lados; sin embargo, trabajar en un solo lado es lo más eficiente.
Busque oportunidades para utilizar las fórmulas de suma y diferencia.
Reescriba sumas o diferencias de cocientes como cocientes simples.
Si el proceso se vuelve engorroso, reescriba la expresión en términos de seno y coseno.

Ejemplo 8

Verificar una identidad que implique el seno

Verifique la identidad $sen (α + β) + sen (α - β) = 2 sen α \cos β .$

Solución

Vemos que el lado izquierdo de la ecuación incluye el seno de la suma y la diferencia de los ángulos.

\begin{array}{l} sen (α + β) = sen α \cos β + \cos α sen β \\ sen (α - β) = sen α \cos β - \cos α sen β \end{array}

Podemos reescribir cada una de ellas con las fórmulas de suma y diferencia.

\begin{array}{l} sen (α + β) + sen (α - β) = sen α \cos β + \cos α sen β + sen α \cos β - \cos α sen β \\ = 2 sen α \cos β \end{array}

Vemos que la identidad se verifica.

Ejemplo 9

Verificar una identidad que implique la tangente

Verifique la siguiente identidad.

\frac{sen (α - β)}{\cos α \cos β} = \tan α - \tan β

Solución

Podemos empezar por reescribir el numerador en el lado izquierdo de la ecuación.

\begin{array}{l} \frac{sen (α - β)}{\cos α \cos β} = \frac{sen α \cos β - \cos α sen β}{\cos α \cos β} \\ = \frac{sen α \cos β}{\cos α \cos β} - \frac{\cos α sen β}{\cos α \cos β} \begin{matrix}  \end{matrix} & Reescribir con un denominador común . \\ = \frac{sen α}{\cos α} - \frac{sen β}{\cos β} & Cancele . \\ = \tan α - \tan β & Reescriba en términos de tangente . \end{array}

Vemos que la identidad se verifica. En muchos casos, se puede verificar exitosamente la identidad de la tangente al escribirla en términos de seno y coseno.

Inténtelo #5

Verifique la identidad: $\tan (π - θ) = - \tan θ .$

Ejemplo 10

Usar las fórmulas de suma y diferencia para resolver un problema de aplicación

Supongamos que $L_{1}$ y $L_{2}$ denotan dos líneas no verticales que se cruzan, y supongamos que $θ$ denota el ángulo agudo entre $L_{1}$ y $L_{2} .$ Vea la Figura 7. Demuestre que

\tan θ = \frac{m_{2} - m_{1}}{1 + m_{1} m_{2}}

donde $m_{1}$ y $m_{2}$ son las pendientes de $L_{1}$ y $L_{2}$ respectivamente. (Pista: Utilice el hecho de que $\tan θ_{1} = m_{1}$ y $\tan θ_{2} = m_{2} .$ ).

Diagrama de dos líneas no verticales que se cruzan L1 y L2 y que también se cruzan con el eje x. El ángulo agudo que se forma por la intersección de L1 y L2 es theta. El ángulo agudo que se forma por L2 y el eje x es theta 1, y el ángulo agudo que se forma por el eje x y L1 es theta 2.

Figura 7

Solución

Con la fórmula de la diferencia para la tangente, este problema no luce tan desalentador.

\begin{array}{l} \tan θ = \tan (θ_{2} - θ_{1}) \\ = \frac{\tan θ_{2} - \tan θ_{1}}{1 + \tan θ_{1} \tan θ_{2}} \\ = \frac{m_{2} - m_{1}}{1 + m_{1} m_{2}} \end{array}

Ejemplo 11

Investigación de un problema de cableado

Para un muro de escalada, un cable de sujeción $R$ está fijado a 47 pies de altura en un poste vertical. El soporte adicional lo proporciona otro cable de sujeción $S$ , que está fijado a 40 pies del suelo en el mismo poste. Si los cables están fijados al suelo a 50 pies del poste, halle el ángulo $α$ entre los cables. Vea la Figura 8.

Dos triángulos rectángulos. Ambos comparten la misma base, 50 pies. El primero tiene una altura de 40 pies y la hipotenusa S. El segundo tiene una altura de 47 pies y la hipotenusa R. Los lados de la altura de los triángulos se superponen. Hay un ángulo de B grados entre R y la base, y un ángulo de a grados entre las dos hipotenusas dentro del ángulo de B grados.

Figura 8

Solución

Resumamos primero la información que podemos obtener del diagrama. Dado que apenas se conocen los lados adyacentes al ángulo recto, podemos utilizar la función tangente. Observe que $\tan β = \frac{47}{50},$ y $\tan (β - α) = \frac{40}{50} = \frac{4}{5} .$ Podemos entonces utilizar la fórmula de la diferencia para la tangente.

\tan (β - α) = \frac{\tan β - \tan α}{1 + \tan β \tan α}

Ahora, sustituyendo los valores que conocemos en la fórmula, tenemos

\begin{array}{l} \frac{4}{5} = \frac{\frac{47}{50} - \tan α}{1 + \frac{47}{50} \tan α} \\ 4 (1 + \frac{47}{50} \tan α) = 5 (\frac{47}{50} - \tan α) \end{array}

Utilice la propiedad distributiva y luego simplifique las funciones.

\begin{array}{l} 4 (1) + 4 (\frac{47}{50}) \tan α = 5 (\frac{47}{50}) - 5 \tan α \\ 4 + 3,76 \tan α = 4,7 - 5 \tan α \\ 5 \tan α + 3,76 \tan α = 0,7 \\ 8,76 \tan α = 0,7 \\ \tan α \approx 0,07991 \\ \tan^{- 1} (0,07991) \approx 0,079741 \end{array}

Ahora podemos calcular el ángulo en grados.

α \approx 0,079741 (\frac{180}{π}) \approx {4,57}^{\circ}

Análisis

En ocasiones, cuando aparece una aplicación que incluye un triángulo rectángulo, podemos pensar que la resolución es cuestión de aplicar el teorema de Pitágoras. Eso puede ser parcialmente cierto, pero depende de lo que se pida en el problema y de la información que se dé.

Media

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7.2 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Explique el fundamento de las identidades de cofunción y cuándo se aplican.

2.

¿Existe una sola manera de evaluar $\cos (\frac{5 π}{4}) ?$ Explique cómo establecer la solución de dos maneras diferentes, y luego calcular para que den la misma respuesta.

3.

Explique a alguien que haya olvidado las propiedades pares-impares de las funciones sinusoidales cómo las fórmulas de suma y resta pueden determinar esta característica para $f (x) = sen (x)$ y $g (x) = \cos (x) .$ (Pista: $0 - x = - x$ ).

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.

4.

$\cos (\frac{7 π}{12})$

5.

$\cos (\frac{π}{12})$

6.

$sen (\frac{5 π}{12})$

7.

$sen (\frac{11 π}{12})$

8.

$\tan (- \frac{π}{12})$

9.

$\tan (\frac{19 π}{12})$

En los siguientes ejercicios, reescriba en términos de $sen x$ y $\cos x .$

10.

$sen (x + \frac{11 π}{6})$

11.

$sen (x - \frac{3 π}{4})$

12.

$\cos (x - \frac{5 π}{6})$

13.

$\cos (x + \frac{2 π}{3})$

En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión dada.

14.

$\csc (\frac{π}{2} - t)$

15.

$\sec (\frac{π}{2} - θ)$

16.

$\cot (\frac{π}{2} - x)$

17.

$\tan (\frac{π}{2} - x)$

18.

$sen (2 x) \cos (5 x) - sen (5 x) \cos (2 x)$

19.

$\frac{\tan (\frac{3}{2} x) - \tan (\frac{7}{5} x)}{1 + \tan (\frac{3}{2} x) \tan (\frac{7}{5} x)}$

En los siguientes ejercicios, halle la información solicitada.

20.

Dado que $sen a = \frac{2}{3}$ y $\cos b = - \frac{1}{4},$ con la $a$ y $b$ ambos en el intervalo $[\frac{π}{2}, π),$ calcule $sen (a + b)$ y $\cos (a - b) .$

21.

Dado que $sen a = \frac{4}{5},$ y $\cos b = \frac{1}{3},$ con la $a$ y $b$ ambos en el intervalo $[0, \frac{π}{2}),$ calcule $sen (a - b)$ y $\cos (a + b) .$

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de cada expresión.

22.

$sen (\cos^{- 1} (0) - \cos^{- 1} (\frac{1}{2}))$

23.

$\cos (\cos^{- 1} (\frac{\sqrt{2}}{2}) + {sen}^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{2}))$

24.

$\tan ({sen}^{- 1} (\frac{1}{2}) - \cos^{- 1} (\frac{1}{2}))$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión y luego grafique ambas expresiones como funciones para verificar que los gráficos sean idénticos.

25.

$\cos (\frac{π}{2} - x)$

26.

$sen (π - x)$

27.

$\tan (\frac{π}{3} + x)$

28.

$sen (\frac{π}{3} + x)$

29.

$\tan (\frac{π}{4} - x)$

30.

$\cos (\frac{7 π}{6} + x)$

31.

$sen (\frac{π}{4} + x)$

32.

$\cos (\frac{5 π}{4} + x)$

En los siguientes ejercicios, utilice un gráfico para determinar si las funciones son iguales o diferentes. Si son iguales, demuestre por qué. Si son diferentes, sustituya la segunda función por una idéntica a la primera. (Pista: piense en $2 x = x + x .$ ).

33.

$f (x) = sen (4 x) - sen (3 x) \cos x$ , $g (x) = sen x \cos (3 x)$

34.

$f (x) = \cos (4 x) + sen x sen (3 x), g (x) = - \cos x \cos (3 x)$

35.

$f (x) = sen (3 x) \cos (6 x)$ , $g (x) = - sen (3 x) \cos (6 x)$

36.

$f (x) = sen (4 x)$ , $g (x) = sen (5 x) \cos x - \cos (5 x) sen x$

37.

$f (x) = sen (2 x)$ , $g (x) = 2 sen x \cos x$

38.

$f (θ) = \cos (2 θ)$ , $g (θ) = \cos^{2} θ - {sen}^{2} θ$

39.

$f (θ) = \tan (2 θ)$ , $g (θ) = \frac{\tan θ}{1 + \tan^{2} θ}$

40.

$f (x) = sen (3 x) sen x$ , $g (x) = {sen}^{2} (2 x) \cos^{2} x - \cos^{2} (2 x) {sen}^{2} x$

41.

$f (x) = \tan (- x)$ , $g (x) = \frac{\tan x - \tan (2 x)}{1 - \tan x \tan (2 x)}$

En tecnología

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto algebraicamente y luego confirme la respuesta con una calculadora hasta el cuarto decimal.

42.

$sen (75^{\circ})$

43.

$sen (195^{\circ})$

44.

$\cos (165^{\circ})$

45.

$\cos (345^{\circ})$

46.

$\tan (- 15^{\circ})$

Extensiones

En los siguientes ejercicios, demuestre las identidades proporcionadas.

47.

$\tan (x + \frac{π}{4}) = \frac{\tan x + 1}{1 - \tan x}$

48.

$\frac{\tan (a + b)}{\tan (a - b)} = \frac{sen a \cos a + sen b \cos b}{sen a \cos a - sen b \cos b}$

49.

$\frac{\cos (a + b)}{\cos a \cos b} = 1 - \tan a \tan b$

50.

$\cos (x + y) \cos (x - y) = \cos^{2} x - {sen}^{2} y$

51.

$\frac{\cos (x + h) - \cos x}{h} = \cos x \frac{\cos h - 1}{h} - sen x \frac{sen h}{h}$

En los siguientes ejercicios, demuestre o refute los enunciados.

52.

$\tan (u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u \tan v}$

53.

$\tan (u - v) = \frac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u \tan v}$

54.

$\frac{\tan (x + y)}{1 + \tan x \tan x} = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan^{2} x \tan^{2} y}$

55.

Si los valores de $α, β,$ y $γ$ son ángulos en el mismo triángulo, entonces demuestre o refute $sen (α + β) = sen γ .$

56.

Si los valores de $α, β,$ y $γ$ son ángulos en el mismo triángulo, entonces demuestre o refute $\tan α + \tan β + \tan γ = \tan α \tan β \tan γ$

7.2 Identidades de suma y resta

Usar las fórmulas de suma y diferencia para el coseno

Hallar el valor exacto con la fórmula para el coseno de la diferencia de dos ángulos

Solución

Hallar el valor exacto con la fórmula de la suma de dos ángulos para el coseno

Solución

Usar las fórmulas de suma y diferencia para el seno

Usar las identidades de suma y diferencia para evaluar la diferencia de ángulos

Solución

Hallar el valor exacto de una expresión que implica una función trigonométrica inversa

Solución

Usar las fórmulas de suma y diferencia para la tangente

Hallar el valor exacto de una expresión que implica la tangente

Solución

Hallar varias sumas y diferencias de ángulos

Solución

Análisis

Usar las fórmulas de suma y diferencia para las cofunciones

Hallar una cofunción con el mismo valor que la expresión dada

Solución

Usar las fórmulas de suma y diferencia para verificar las identidades

Verificar una identidad que implique el seno

Solución

Verificar una identidad que implique la tangente

Solución

Usar las fórmulas de suma y diferencia para resolver un problema de aplicación

Solución

Investigación de un problema de cableado

Solución

Análisis

7.2 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

En tecnología

Extensiones