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Precálculo 2ed

7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción

Precálculo 2ed7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Utilizar las fórmulas del ángulo doble para hallar los valores exactos.
  • Utilizar las fórmulas del ángulo doble para verificar las identidades.
  • Utilizar fórmulas de reducción para simplificar una expresión.
  • Utilizar las fórmulas de ángulo medio para calcular los valores exactos.
Imagen de dos rampas para bicicletas: una con una pendiente pronunciada y otra con una pendiente suave.
Figura 1 Las rampas para ciclistas avanzados tienen una inclinación más pronunciada que las destinadas a los principiantes.

Las rampas para bicicletas hechas para la competición (ver la Figura 1) deben variar en altura, dependiendo del nivel de habilidad de los competidores. Para los competidores avanzados, el ángulo formado por la rampa y el suelo debe ser θ θ de manera que tanθ= 5 3 . tanθ= 5 3 . El ángulo se divide en dos para los principiantes. ¿Cuál es la inclinación de la rampa para los principiantes? En esta sección, investigaremos tres categorías adicionales de identidades que podemos utilizar para responder a preguntas como esta.

Usar fórmulas del ángulo doble para hallar valores exactos

En el apartado anterior, utilizamos fórmulas de suma y resta de funciones trigonométricas. Ahora, repasamos esas mismas fórmulas. Las fórmulas del ángulo doble son un caso especial de las fórmulas de suma, donde α=β. α=β. La derivación de la fórmula del ángulo doble del seno comienza con la fórmula de la suma,

sen( α+β )=senαcosβ+cosαsenβ sen( α+β )=senαcosβ+cosαsenβ

Supongamos que α=β=θ, α=β=θ, entonces tenemos

sen( θ+θ )=senθcosθ+cosθsenθ     sen( 2θ )=2senθcosθ sen( θ+θ )=senθcosθ+cosθsenθ     sen( 2θ )=2senθcosθ

La derivación del ángulo doble para el coseno nos brinda tres opciones. Primero, partiendo de la fórmula de la suma, cos( α+β )=cosαcosβsenαsenβ, cos( α+β )=cosαcosβsenαsenβ, y suponiendo que α=β=θ, α=β=θ, tenemos

cos(θ+θ)=cosθcosθ-senθsenθ     cos(2θ)= cos 2 θ- sen 2 θ cos(θ+θ)=cosθcosθ-senθsenθ     cos(2θ)= cos 2 θ- sen 2 θ

Con las propiedades pitagóricas podemos ampliar esta fórmula de ángulo doble para el coseno y obtener otras dos interpretaciones. La primera es:

cos(2θ)= cos 2 θ- sen 2 θ             =(1- sen 2 θ)- sen 2 θ             =1-2 sen 2 θ cos(2θ)= cos 2 θ- sen 2 θ             =(1- sen 2 θ)- sen 2 θ             =1-2 sen 2 θ

La segunda interpretación es:

cos(2θ)= cos 2 θ- sen 2 θ             = cos 2 θ(1- cos 2 θ)             =2 cos 2 θ-1 cos(2θ)= cos 2 θ- sen 2 θ             = cos 2 θ(1- cos 2 θ)             =2 cos 2 θ-1

Del mismo modo, para derivar la fórmula del ángulo doble para la tangente, al sustituir α=β=θ α=β=θ en la fórmula de la suma da

tan( α+β )= tanα+tanβ 1-tanαtanβ tan( θ+θ )= tanθ+tanθ 1-tanθtanθ tan( 2θ )= 2tanθ 1- tan 2 θ tan( α+β )= tanα+tanβ 1-tanαtanβ tan( θ+θ )= tanθ+tanθ 1-tanθtanθ tan( 2θ )= 2tanθ 1- tan 2 θ

Fórmulas del ángulo doble

Las fórmulas del ángulo doble se resumen como sigue:

sen( 2θ )=2senθcosθ sen( 2θ )=2senθcosθ

cos(2θ)= cos 2 θ- sen 2 θ             =1-2 sen 2 θ             =2 cos 2 θ-1 cos(2θ)= cos 2 θ- sen 2 θ             =1-2 sen 2 θ             =2 cos 2 θ-1

tan( 2θ )= 2tanθ 1- tan 2 θ tan( 2θ )= 2tanθ 1- tan 2 θ

Cómo

Dada la tangente de un ángulo y el cuadrante en el que se encuentra, utilizar las fórmulas del doble ángulo para hallar el valor exacto.

  1. Dibuje un triángulo que refleje la información dada.
  2. Determine la fórmula correcta del doble ángulo.
  3. Sustituya los valores en la fórmula basada en el triángulo.
  4. Simplifique.

Ejemplo 1

Usar una fórmula de ángulo doble para hallar el valor exacto de la tangente

Dado que tanθ=- 3 4 tanθ=- 3 4 y θ θ está en el cuadrante II, calcule lo siguiente:

  1. sen( 2θ ) sen( 2θ )
  2. cos( 2θ ) cos( 2θ )
  3. tan( 2θ ) tan( 2θ )

Inténtelo #1

Dados senα= 5 8 , senα= 5 8 , con la θ θ en el cuadrante I, halle cos( 2α ). cos( 2α ).

Ejemplo 2

Usar la fórmula del ángulo doble para el coseno sin valores exactos

Utilice la fórmula del ángulo doble del coseno para escribir cos( 6x ) cos( 6x ) en términos de cos( 3x ). cos( 3x ).

Análisis

Este ejemplo ilustra que podemos utilizar la fórmula del ángulo doble sin tener valores exactos. Enfatiza que el patrón es lo que necesitamos recordar y que las identidades son verdaderas para todos los valores en el dominio de la función trigonométrica.

Usar fórmulas del ángulo doble para verificar identidades

El establecimiento de las identidades mediante las fórmulas del ángulo doble se realiza con los mismos pasos que utilizamos para derivar las fórmulas de suma y la diferencia. Elija el lado más complicado de la ecuación y reescríbala hasta que coincida con el otro lado.

Ejemplo 3

Usar las fórmulas del ángulo doble para establecer una identidad

Establezca la siguiente identidad con fórmulas de ángulo doble:

1+sen( 2θ )= ( senθ+cosθ ) 2 1+sen( 2θ )= ( senθ+cosθ ) 2

Análisis

Este proceso no es complicado, siempre que recordemos la fórmula del cuadrado perfecto del álgebra:

( a±b ) 2 = a 2 ±2ab+ b 2 ( a±b ) 2 = a 2 ±2ab+ b 2

donde a=senθ a=senθ y b=cosθ. b=cosθ. Parte del éxito en las matemáticas es la capacidad de reconocer patrones. Aunque los términos o símbolos pueden cambiar, el álgebra sigue siendo coherente.

Inténtelo #2

Establezca la identidad: cos 4 θ- sen 4 θ=cos( 2θ ). cos 4 θ- sen 4 θ=cos( 2θ ).

Ejemplo 4

Verificar una identidad de ángulo doble para la tangente

Verifique la identidad:

tan( 2θ )= 2 cotθtanθ tan( 2θ )= 2 cotθtanθ

Análisis

Este es un caso en el que el lado más complicado de la ecuación inicial aparecía a la derecha, pero elegimos trabajar el lado izquierdo. Sin embargo, si hubiéramos elegido el lado izquierdo para reescribir, habríamos estado trabajando hacia atrás para llegar a la equivalencia. Por ejemplo, supongamos que queremos mostrar

2tanθ 1- tan 2 θ = 2 cotθtanθ 2tanθ 1- tan 2 θ = 2 cotθtanθ

Trabajemos en el lado derecho.

2 cotθtanθ = 2 1 tanθ tanθ ( tanθ tanθ )                    = 2tanθ 1 tanθ ( tanθ )-tanθ(tanθ)                    = 2tanθ 1- tan 2 θ 2 cotθtanθ = 2 1 tanθ tanθ ( tanθ tanθ )                    = 2tanθ 1 tanθ ( tanθ )-tanθ(tanθ)                    = 2tanθ 1- tan 2 θ

Cuando se utilizan las identidades para simplificar o resolver una ecuación trigonométrica, hay varias vías para llegar al resultado deseado. No hay ninguna regla establecida sobre qué lado debería manipularse. Sin embargo, deberíamos empezar con las directrices expuestas anteriormente.

Inténtelo #3

Verifique la identidad: cos(2θ)cosθ= cos 3 θ-cosθ sen 2 θ. cos(2θ)cosθ= cos 3 θ-cosθ sen 2 θ.

Usar fórmulas de reducción para simplificar una expresión

Las fórmulas del ángulo doble se pueden utilizar para derivar las fórmulas de reducción, las cuales podemos utilizar para reducir la potencia de una expresión dada que implique potencias pares de seno o coseno. Nos permiten reescribir las potencias pares del seno o del coseno en términos de la primera potencia del coseno. Estas fórmulas son especialmente importantes en los cursos de matemáticas de nivel superior, el cálculo en particular. También llamadas fórmulas de reducción de potencia, se incluyen tres identidades que se derivan fácilmente de las fórmulas del ángulo doble.

Podemos utilizar dos de las tres fórmulas del ángulo doble del coseno para derivar las fórmulas de reducción del seno y del coseno. Comencemos con cos( 2θ )=1-2 sen 2 θ. cos( 2θ )=1-2 sen 2 θ. Resuelva para sen 2 θ: sen 2 θ:

cos(2θ)=1-2 sen 2 θ 2 sen 2 θ=1-cos(2θ)     sen 2 θ= 1-cos(2θ) 2 cos(2θ)=1-2 sen 2 θ 2 sen 2 θ=1-cos(2θ)     sen 2 θ= 1-cos(2θ) 2

A continuación, utilizamos la fórmula cos( 2θ )=2 cos 2 θ1. cos( 2θ )=2 cos 2 θ1. Resuelva para cos 2 θ: cos 2 θ:

       cos(2θ)=2 cos 2 θ-1 1+cos(2θ)=2 cos 2 θ 1+cos(2θ) 2 = cos 2 θ        cos(2θ)=2 cos 2 θ-1 1+cos(2θ)=2 cos 2 θ 1+cos(2θ) 2 = cos 2 θ

La última fórmula de reducción se deriva al escribir la tangente en términos de seno y coseno:

tan 2 θ= sen 2 θ cos 2 θ          = 1-cos(2θ) 2 1+cos(2θ) 2 Sustituya las fórmulas de reducción.          =( 1-cos(2θ) 2 )( 2 1+cos(2θ) )          = 1-cos(2θ) 1+cos(2θ) tan 2 θ= sen 2 θ cos 2 θ          = 1-cos(2θ) 2 1+cos(2θ) 2 Sustituya las fórmulas de reducción.          =( 1-cos(2θ) 2 )( 2 1+cos(2θ) )          = 1-cos(2θ) 1+cos(2θ)

Fórmulas de reducción

Las fórmulas de reducción se resumen como sigue:

sen 2 θ= 1-cos( 2θ ) 2 sen 2 θ= 1-cos( 2θ ) 2
cos 2 θ= 1+cos( 2θ ) 2 cos 2 θ= 1+cos( 2θ ) 2
tan 2 θ= 1-cos( 2θ ) 1+cos( 2θ ) tan 2 θ= 1-cos( 2θ ) 1+cos( 2θ )

Ejemplo 5

Escribir una expresión equivalente que no contenga potencias mayores que 1

Escriba una expresión equivalente para cos 4 x cos 4 x que no implique ninguna potencia de seno o coseno mayor que 1.

Análisis

La solución se encuentra al utilizar dos veces la fórmula de reducción, como se ha señalado, así como la fórmula del cuadrado perfecto del álgebra.

Ejemplo 6

Usar las fórmulas de reducción de potencia para demostrar una identidad

Utilice las fórmulas de reducción de potencia para demostrar

sen 3 ( 2 x )=[ 1 2 sen( 2 x ) ][ 1-cos( 4x ) ] sen 3 ( 2 x )=[ 1 2 sen( 2 x ) ][ 1-cos( 4x ) ]

Análisis

Tenga en cuenta que en este ejemplo, hemos sustituido

1-cos( 4x ) 2 1-cos( 4x ) 2

por sen 2 ( 2 x ). sen 2 ( 2 x ). La fórmula establece

sen 2 θ= 1-cos( 2θ ) 2 sen 2 θ= 1-cos( 2θ ) 2

Supongamos que θ=2 x, θ=2 x, por lo que 2θ=4x. 2θ=4x.

Inténtelo #4

Utilice las fórmulas de reducción de potencia para demostrar que 10 cos 4 x= 15 4 +5cos( 2 x )+ 5 4 cos( 4x ). 10 cos 4 x= 15 4 +5cos( 2 x )+ 5 4 cos( 4x ).

Usar fórmulas del ángulo medio para calcular valores exactos

El siguiente conjunto de identidades es el de las fórmulas del ángulo mitad, que pueden derivarse de las fórmulas de reducción y que podemos utilizar cuando tenemos un ángulo que sea la mitad de un ángulo especial. Si sustituimos θ θ con la α 2 , α 2 , la fórmula del ángulo medio para el seno se determina al simplificar la ecuación y resolver para sen( α 2 ). sen( α 2 ). Observe que las fórmulas del ángulo medio van precedidas del signo ± ± Esto no significa que tanto las expresiones positivas como las negativas son válidas. Más bien, depende del cuadrante en el que α 2 α 2 termina.

La fórmula del semicírculo del seno se obtiene como sigue:

    sen 2 θ= 1-cos(2θ) 2 sen 2 ( α 2 )= 1- cos(2 α 2 ) 2 = 1-cosα 2 sen( α 2 )=± 1-cosα 2     sen 2 θ= 1-cos(2θ) 2 sen 2 ( α 2 )= 1- cos(2 α 2 ) 2 = 1-cosα 2 sen( α 2 )=± 1-cosα 2

Para derivar la fórmula del ángulo medio para el coseno, tenemos

    cos 2 θ= 1+cos(2θ) 2 cos 2 ( α 2 )= 1+cos( 2 α 2 ) 2              = 1+cosα 2   cos( α 2 )=± 1+cosα 2     cos 2 θ= 1+cos(2θ) 2 cos 2 ( α 2 )= 1+cos( 2 α 2 ) 2              = 1+cosα 2   cos( α 2 )=± 1+cosα 2

Para la identidad tangente, tenemos

    tan 2 θ= 1-cos(2θ) 1+cos(2θ) tan 2 ( α 2 )= 1-cos( 2 α 2 ) 1+cos( 2 α 2 )             = 1-cosα 1+cosα   tan( α 2 )=± 1-cosα 1+cosα     tan 2 θ= 1-cos(2θ) 1+cos(2θ) tan 2 ( α 2 )= 1-cos( 2 α 2 ) 1+cos( 2 α 2 )             = 1-cosα 1+cosα   tan( α 2 )=± 1-cosα 1+cosα

Fórmulas del ángulo medio

Las fórmulas del ángulo medio son las siguientes:

sen( α 2 )=± 1-cosα 2 sen( α 2 )=± 1-cosα 2
cos( α 2 )=± 1+cosα 2 cos( α 2 )=± 1+cosα 2
tan( α 2 )=± 1-cosα 1+cosα = senα 1+cosα = 1-cosα senα tan( α 2 )=± 1-cosα 1+cosα = senα 1+cosα = 1-cosα senα

Ejemplo 7

Usar una fórmula del ángulo medio para calcular el valor exacto de una función seno

Halle sen( 15 ) sen( 15 ) con una fórmula del ángulo medio.

Análisis

Observe que hemos utilizado únicamente la raíz positiva porque sen( 15 i ) sen( 15 i ) es positivo.

Cómo

Dada la tangente de un ángulo y el cuadrante en el que se encuentra el ángulo, calcular los valores exactos de las funciones trigonométricas de la mitad del ángulo.

  1. Dibuje un triángulo que represente la información dada.
  2. Determine la fórmula correcta del ángulo medio.
  3. Sustituya los valores en la fórmula basada en el triángulo.
  4. Simplifique.

Ejemplo 8

Calcular valores exactos con identidades de ángulo medio

Dado que tanα= 8 15 tanα= 8 15 y α α se encuentra en el cuadrante III, calcule el valor exacto de lo siguiente:

  1. sen( α 2 ) sen( α 2 )
  2. cos( α 2 ) cos( α 2 )
  3. tan( α 2 ) tan( α 2 )

Inténtelo #5

Dado que senα= 4 5 senα= 4 5 y α α se halla en el cuadrante IV, calcule el valor exacto de cos( α 2 ). cos( α 2 ).

Ejemplo 9

Hallar la medida de un ángulo medio

Ahora, volvemos al problema planteado al principio de la sección. Se construye una rampa para bicicletas de alta competición en un ángulo de θ θ formado por la rampa y el suelo. Se va a construir otra rampa con la mitad de pendiente para la competición de principiantes. Si los valores de tanθ= 5 3 tanθ= 5 3 para la competición de nivel superior, ¿cuál es la medida del ángulo para la competición de principiantes?

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción.

7.3 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Explique cómo determinar las identidades de reducción a partir de la identidad del ángulo doble cos( 2 x )= cos 2 x- sen 2 x. cos( 2 x )= cos 2 x- sen 2 x.

2.

Explique cómo determinar la fórmula del ángulo doble para tan(2 x) tan(2 x) con las fórmulas de ángulo doble para cos(2 x) cos(2 x) y sen(2 x). sen(2 x).

3.

Podemos determinar la fórmula del ángulo medio para tan( x 2 )= 1-cosx 1+cosx tan( x 2 )= 1-cosx 1+cosx al dividir la fórmula para sen( x 2 ) sen( x 2 ) entre cos( x 2 ). cos( x 2 ). Explique cómo determinar dos fórmulas para tan( x 2 ) tan( x 2 ) que no impliquen ninguna raíz cuadrada.

4.

Con respecto a la fórmula de ángulo medio que se suministró en el ejercicio anterior para tan( x 2 ), tan( x 2 ), explique por qué la división entre 0 no es relevante. (Pista: examine los valores de cosx cosx necesarios para que el denominador sea 0).

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle los valores exactos de a) sen( 2 x ), sen( 2 x ), b) cos( 2 x ), cos( 2 x ), y c) tan( 2 x ) tan( 2 x ) sin resolver para x. x.

5.

Si los valores de senx= 1 8 , senx= 1 8 , y x x está en el cuadrante I.

6.

Si los valores de cosx= 2 3 , cosx= 2 3 , y x x está en el cuadrante I.

7.

Si los valores de cosx=- 1 2 , cosx=- 1 2 , y x x está en el cuadrante III.

8.

Si tanx=-8, tanx=-8, y x x está en el cuadrante IV.

En los siguientes ejercicios, calcule los valores de las seis funciones trigonométricas si se cumplen las condiciones previstas.

9.

cos(2θ)= 3 5 cos(2θ)= 3 5 y 90 θ 180 90 θ 180

10.

cos(2θ)= 1 2 cos(2θ)= 1 2 y 180 θ 270 180 θ 270

En los siguientes ejercicios, simplifique a una expresión trigonométrica.

11.

2sen( π 4 )2cos( π 4 ) 2sen( π 4 )2cos( π 4 )

12.

4sen( π 8 )cos( π 8 ) 4sen( π 8 )cos( π 8 )

En los siguientes ejercicios, calcule el valor exacto con las fórmulas de ángulo medio.

13.

sen( π 8 ) sen( π 8 )

14.

cos( 11π 12 ) cos( 11π 12 )

15.

sen( 11π 12 ) sen( 11π 12 )

16.

cos( 7π 8 ) cos( 7π 8 )

17.

tan( 5π 12 ) tan( 5π 12 )

18.

tan( - 3π 12 ) tan( - 3π 12 )

19.

tan( - 3π 8 ) tan( - 3π 8 )

En los siguientes ejercicios, halle los valores exactos de a) sen( x 2 ), sen( x 2 ), b) cos( x 2 ), cos( x 2 ), y c) tan( x 2 ) tan( x 2 ) sin resolver para x, x, cuando 0 x 360 0 x 360

20.

Si tanx= 4 3 , tanx= 4 3 , y x x está en el cuadrante IV.

21.

Si los valores de senx= 12 13 , senx= 12 13 , y x x está en el cuadrante III.

22.

Si los valores de cscx=7, cscx=7, y x x está en el cuadrante II.

23.

Si los valores de secx=4, secx=4, y x x está en el cuadrante II.

En los siguientes ejercicios, utilice la Figura 5 para hallar los ángulos medios y los ángulos doble solicitados.

Imagen de un triángulo rectángulo. La base tiene una longitud de 12 y altura de 5. El ángulo entre la base y la altura es de 90 grados, el ángulo entre la base y la hipotenusa es theta, y el ángulo entre la altura y la hipotenusa es alfa grados.
Figura 5
24.

Halle sen( 2θ ),cos(2θ), sen( 2θ ),cos(2θ), y tan(2θ). tan(2θ).

25.

Halle sen(2α),cos(2α), sen(2α),cos(2α), y tan(2α). tan(2α).

26.

Halle sen( θ 2 ),cos( θ 2 ), sen( θ 2 ),cos( θ 2 ), y tan( θ 2 ). tan( θ 2 ).

27.

Halle sen( α 2 ),cos( α 2 ), sen( α 2 ),cos( α 2 ), y tan( α 2 ). tan( α 2 ).

En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión. No evalúe.

28.

cos 2 ( 28 )- sen 2 ( 28 ) cos 2 ( 28 )- sen 2 ( 28 )

29.

2 cos 2 ( 37 )-1 2 cos 2 ( 37 )-1

30.

1-2 sen 2 ( 17 ) 1-2 sen 2 ( 17 )

31.

cos 2 (9x)- sen 2 (9x) cos 2 (9x)- sen 2 (9x)

32.

4sen(8x)cos(8x) 4sen(8x)cos(8x)

33.

6sen(5x)cos(5x) 6sen(5x)cos(5x)

En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad dada.

34.

( sentcost ) 2 =1-sen( 2 t ) ( sentcost ) 2 =1-sen( 2 t )

35.

sen( 2 x )=-2sen( -x )cos( -x ) sen( 2 x )=-2sen( -x )cos( -x )

36.

cotx-tanx=2cot( 2 x ) cotx-tanx=2cot( 2 x )

37.

1+cos( 2θ ) sen( 2θ ) tan 2 θ=tanθ 1+cos( 2θ ) sen( 2θ ) tan 2 θ=tanθ

En los siguientes ejercicios, reescriba la expresión con un exponente no mayor a 1.

38.

cos 2 (5x) cos 2 (5x)

39.

cos 2 (6x) cos 2 (6x)

40.

sen 4 (8x) sen 4 (8x)

41.

sen 4 (3x) sen 4 (3x)

42.

cos 2 x sen 4 x cos 2 x sen 4 x

43.

cos 4 x sen 2 x cos 4 x sen 2 x

44.

tan 2 x sen 2 x tan 2 x sen 2 x

En tecnología

En los siguientes ejercicios, reduzca las ecuaciones a potencias de uno y luego compruebe la respuesta gráficamente.

45.

tan 4 x tan 4 x

46.

sen 2 (2 x) sen 2 (2 x)

47.

sen 2 x cos 2 x sen 2 x cos 2 x

48.

tan 2 xsenx tan 2 xsenx

49.

tan 4 x cos 2 x tan 4 x cos 2 x

50.

cos 2 xsen( 2 x ) cos 2 xsen( 2 x )

51.

cos 2 ( 2 x )senx cos 2 ( 2 x )senx

52.

tan 2 ( x 2 )senx tan 2 ( x 2 )senx

En los siguientes ejercicios, halle algebraicamente una función equivalente, solo en términos de senx senx o cosx, cosx, y luego compruebe la respuesta al graficar ambas ecuaciones.

53.

sen(4x) sen(4x)

54.

cos(4x) cos(4x)

Extensiones

En los siguientes ejercicios, demuestre las identidades.

55.

sen( 2 x )= 2tanx 1+ tan 2 x sen( 2 x )= 2tanx 1+ tan 2 x

56.

cos(2α)= 1- tan 2 α 1+ tan 2 α cos(2α)= 1- tan 2 α 1+ tan 2 α

57.

tan(2 x)= 2senxcosx 2 cos 2 x1 tan(2 x)= 2senxcosx 2 cos 2 x1

58.

( sen 2 x1 ) 2 =cos( 2 x )+ sen 4 x ( sen 2 x1 ) 2 =cos( 2 x )+ sen 4 x

59.

sen( 3x )=3senx cos 2 x- sen 3 x sen( 3x )=3senx cos 2 x- sen 3 x

60.

cos( 3x )= cos 3 x-3 sen 2 xcosx cos( 3x )= cos 3 x-3 sen 2 xcosx

61.

1+cos( 2 t ) sen( 2 t )-cost = 2cost 2sent-1 1+cos( 2 t ) sen( 2 t )-cost = 2cost 2sent-1

62.

sen( 16x )=16senxcosxcos( 2 x )cos( 4x )cos( 8x ) sen( 16x )=16senxcosxcos( 2 x )cos( 4x )cos( 8x )

63.

cos( 16x )=( cos 2 ( 4x )- sen 2 ( 4x )-sen( 8x ) )( cos 2 ( 4x )- sen 2 ( 4x )+sen( 8x ) ) cos( 16x )=( cos 2 ( 4x )- sen 2 ( 4x )-sen( 8x ) )( cos 2 ( 4x )- sen 2 ( 4x )+sen( 8x ) )

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