7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma - Precálculo 2ed

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Expresar los productos como sumas.
Expresar las sumas como productos.

Figura 1 La banda de música de la UCLA (créditos: Eric Chan, Flickr).

Una banda marcha por el campo creando un sonido increíble que anima al público. Ese sonido viaja como una onda que puede interpretarse mediante funciones trigonométricas. Por ejemplo, la Figura 2 representa una onda sonora para la nota musical A. En esta sección, investigaremos las identidades trigonométricas que son la base de fenómenos cotidianos como las ondas sonoras.

Gráfico de una onda sonora para la nota musical A: es una función periódica muy parecida a sen y cos, de 0 a 0,01

Figura 2

Expresar el producto como suma

Ya hemos aprendido varias fórmulas útiles para expandir o simplificar expresiones trigonométricas, pero a veces puede que tengamos que expresar el producto del coseno y el seno como una suma. Podemos utilizar las fórmulas de producto a suma, que expresan productos de funciones trigonométricas como sumas. Investiguemos primero la identidad del coseno y luego la del seno.

Expresar productos como sumas para el coseno

Podemos derivar la fórmula de producto a suma a partir de las identidades de suma y diferencia para el coseno. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos:

\begin{array}{l} \underset{________________________________}{\begin{matrix} \cos α \cos β + sen α sen β = \cos (α - β) \\ + \cos α \cos β - sen α sen β = \cos (α + β) \end{matrix}} \\ 2 \cos α \cos β = \cos (α - β) + \cos (α + β) \end{array}

A continuación, dividimos entre $2$ para aislar el producto de los cosenos:

\cos α \cos β = \frac{1}{2} [\cos (α - β) + \cos (α + β)]

Cómo

Dado un producto de cosenos, expresarlo como una suma.

Escriba la fórmula del producto de cosenos.
Sustituya los ángulos dados en la fórmula.
Simplifique.

Ejemplo 1

Escribir el producto como una suma con la fórmula producto a suma para el coseno

Escriba el siguiente producto de cosenos como una suma: $2 \cos (\frac{7 x}{2}) \cos \frac{3 x}{2} .$

Solución

Comenzamos por escribir la fórmula del producto de cosenos:

\cos α \cos β = \frac{1}{2} [\cos (α - β) + \cos (α + β)]

Podemos entonces sustituir los ángulos dados en la fórmula y simplificar.

\begin{array}{l} 2 \cos (\frac{7 x}{2}) \cos (\frac{3 x}{2}) = (2) (\frac{1}{2}) [\cos (\frac{7 x}{2} - \frac{3 x}{2}) + \cos (\frac{7 x}{2} + \frac{3 x}{2})] \\ = [\cos (\frac{4 x}{2}) + \cos (\frac{10 x}{2})] \\ = \cos 2 x + \cos 5 x \end{array}

Inténtelo #1

Utilice la fórmula producto a suma para escribir el producto como suma o diferencia: $\cos (2 θ) \cos (4 θ) .$

Expresar el producto del seno y el coseno como suma

A continuación, derivaremos la fórmula de producto a suma para el seno y el coseno a partir de las fórmulas de la suma y la diferencia para el seno. Si sumamos las identidades de suma y diferencia, obtenemos:

\begin{array}{l} \underset{_________________________________________}{\begin{array}{l} \begin{array}{l} sen (α + β) = sen α \cos β + \cos α sen β \end{array} \\ + sen (α - β) = sen α \cos β - \cos α sen β \end{array}} \\ sen (α + β) + sen (α - β) = 2 sen α \cos β \end{array}

Luego, dividimos entre 2 para aislar el producto del coseno y el seno:

sen α \cos β = \frac{1}{2} [sen (α + β) + sen (α - β)]

Ejemplo 2

Escribir el producto como una suma que contenga únicamente el seno o el coseno

Exprese el siguiente producto como una suma que contenga únicamente el seno o el coseno y ningún producto $sen (4 θ) \cos (2 θ) .$

Solución

Escriba la fórmula del producto del seno y el coseno. A continuación, sustituya los valores dados en la fórmula y simplifique.

\begin{array}{l} sen α \cos β = \frac{1}{2} [sen (α + β) + sen (α - β)] \\ sen (4 θ) \cos (2 θ) = \frac{1}{2} [sen (4 θ + 2 θ) + sen (4 θ - 2 θ)] \\ = \frac{1}{2} [sen (6 θ) + sen (2 θ)] \end{array}

Inténtelo #2

Utilice la fórmula producto a suma para escribir el producto como una suma: $sen (x + y) \cos (x - y) .$

Expresar el producto del seno en términos de coseno

Expresar el producto del seno en términos del coseno también se deriva de las identidades de suma y diferencia del coseno. En este caso, primero restaremos las dos fórmulas del coseno:

\begin{array}{l} \underset{____________________________________________________}{\begin{array}{l} \begin{array}{l} \cos (α - β) = \cos α \cos β + sen α sen β \end{array} \\ - \cos (α + β) = - (\cos α \cos β - sen α sen β) \end{array}} \\ \cos (α - β) - \cos (α + β) = 2 sen α sen β \end{array}

Luego, dividimos entre 2 para aislar el producto del seno:

sen α sen β = \frac{1}{2} [\cos (α - β) - \cos (α + β)]

De forma similar podríamos expresar el producto del coseno en términos de seno o derivar otras fórmulas de producto a suma.

Las fórmulas de producto a suma

Las fórmulas de producto a suma son las siguientes:

\cos α \cos β = \frac{1}{2} [\cos (α - β) + \cos (α + β)]

sen α \cos β = \frac{1}{2} [sen (α + β) + sen (α - β)]

sen α sen β = \frac{1}{2} [\cos (α - β) - \cos (α + β)]

\cos α sen β = \frac{1}{2} [sen (α + β) - sen (α - β)]

Ejemplo 3

Expresar el producto como suma o diferencia

Escriba $\cos (3 θ) \cos (5 θ)$ como suma o diferencia.

Solución

Tenemos el producto del coseno, así que empezamos por escribir la fórmula relacionada. Luego sustituimos los ángulos dados y simplificamos.

\begin{array}{l} \cos α \cos β = \frac{1}{2} [\cos (α - β) + \cos (α + β)] \\ \cos (3 θ) \cos (5 θ) = \frac{1}{2} [\cos (3 θ - 5 θ) + \cos (3 θ + 5 θ)] \\ = \frac{1}{2} [\cos (2 θ) + \cos (8 θ)] & Utilizamos la identidad par-impar . \end{array}

Inténtelo #3

Utilice la fórmula de producto a suma para evaluar $\cos \frac{11 π}{12} \cos \frac{π}{12} .$

Expresar suma como producto

Algunos problemas requieren el proceso inverso al que acabamos de utilizar. Las fórmulas de suma a producto nos permiten expresar sumas de seno o coseno como productos. Estas fórmulas pueden derivarse de las identidades de producto a suma. Por ejemplo, con unas cuantas sustituciones, podemos derivar la identidad de suma a producto para el seno. Supongamos que $\frac{u + v}{2} = α$ y $\frac{u - v}{2} = β .$

Entonces,

\begin{array}{l} α + β = \frac{u + v}{2} + \frac{u - v}{2} \\ = \frac{2 u}{2} \\ = u \\ α - β = \frac{u + v}{2} - \frac{u - v}{2} \\ = \frac{2 v}{2} \\ = v \end{array}

Así, al sustituir $α$ y $β$ en la fórmula de producto a suma con las expresiones sustitutivas, tenemos:

\begin{array}{l} sen α \cos β = \frac{1}{2} [sen (α + β) + sen (α - β)] \\ sen (\frac{u + v}{2}) \cos (\frac{u - v}{2}) = \frac{1}{2} [sen u + sen v] & Sustituya por (α + β) y (α - β) \\ 2 sen (\frac{u + v}{2}) \cos (\frac{u - v}{2}) = sen u + sen v]. \end{array}

Las demás identidades de suma a producto se derivan de forma similar.

Fórmulas de suma a producto

Las fórmulas de suma a producto son las siguientes:

sen α + sen β = 2 sen (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2})

sen α - sen β = 2 sen (\frac{α - β}{2}) \cos (\frac{α + β}{2})

\cos α - \cos β = - 2 sen (\frac{α + β}{2}) sen (\frac{α - β}{2})

\cos α + \cos β = 2 \cos (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2})

Ejemplo 4

Escribir la diferencia de senos como producto

Escriba la siguiente expresión de diferencia de senos como producto: $sen (4 θ) - sen (2 θ) .$

Solución

Comenzamos por escribir la fórmula de la diferencia de senos.

sen α - sen β = 2 sen (\frac{α - β}{2}) \cos (\frac{α + β}{2})

Sustituya los valores en la fórmula y simplifique.

\begin{array}{l} sen (4 θ) - sen (2 θ) = 2 sen (\frac{4 θ - 2 θ}{2}) \cos (\frac{4 θ + 2 θ}{2}) \\ = 2 sen (\frac{2 θ}{2}) \cos (\frac{6 θ}{2}) \\ = 2 sen θ \cos (3 θ) \end{array}

Inténtelo #4

Utilice la fórmula de suma a producto para escribir la suma como producto: $sen (3 θ) + sen (θ) .$

Ejemplo 5

Evaluar mediante la fórmula de suma a producto

Evalúe $\cos (15^{\circ}) - \cos (75^{\circ}) .$

Solución

Comenzamos por escribir la fórmula para la diferencia de cosenos.

\cos α - \cos β = - 2 sen (\frac{α + β}{2}) sen (\frac{α - β}{2})

Luego sustituimos los ángulos dados y simplificamos.

\begin{array}{l} \cos (15^{\circ}) - \cos (75^{\circ}) = - 2 sen (\frac{15^{\circ} + 75^{\circ}}{2}) sen (\frac{15^{\circ} - 75^{\circ}}{2}) \\ = - 2 sen (45^{\circ}) sen (- 30^{\circ}) \\ = - 2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) (- \frac{1}{2}) \\ = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}

Ejemplo 6

Probar una identidad

Pruebe la identidad:

\frac{\cos (4 t) - \cos (2 t)}{sen (4 t) + sen (2 t)} = - \tan t

Solución

Empezaremos por el lado izquierdo, el más complicado de la ecuación, y reescribiremos la expresión hasta que coincida con el lado derecho.

\begin{array}{l} \frac{\cos (4 t) - \cos (2 t)}{sen (4 t) + sen (2 t)} = \frac{- 2 sen (\frac{4 t + 2 t}{2}) sen (\frac{4 t - 2 t}{2})}{2 sen (\frac{4 t + 2 t}{2}) \cos (\frac{4 t - 2 t}{2})} \\ = \frac{- 2 sen (3 t) sen t}{2 sen (3 t) \cos t} \\ = \frac{- 2 sen (3 t) sen t}{2 sen (3 t) \cos t} \\ = - \frac{sen t}{\cos t} \\ = - \tan t \end{array}

Análisis

Recordemos que la verificación de las identidades trigonométricas tiene su propio conjunto de reglas. Los procedimientos para resolver una ecuación no son los mismos que los procedimientos para verificar una identidad. Cuando comprobamos una identidad, elegimos un lado para trabajar y hacemos sustituciones hasta que ese lado se transforme en el otro.

Ejemplo 7

Verificar la identidad mediante fórmulas de ángulo doble e identidades recíprocas

Verifique la identidad $\csc^{2} θ - 2 = \frac{\cos (2 θ)}{{sen}^{2} θ} .$

Solución

Para verificar esta ecuación, reunimos varias de las identidades. Utilizaremos la fórmula del doble ángulo y las identidades recíprocas. Trabajaremos con el lado derecho de la ecuación y lo reescribiremos hasta que coincida con el lado izquierdo.

\begin{array}{l} \frac{\cos (2 θ)}{{sen}^{2} θ} = \frac{1 - 2 {sen}^{2} θ}{{sen}^{2} θ} \\ = \frac{1}{{sen}^{2} θ} - \frac{2 {sen}^{2} θ}{{sen}^{2} θ} \\ = \csc^{2} θ - 2 \end{array}

Inténtelo #5

Verifique la identidad $\tan θ \cot θ - \cos^{2} θ = {sen}^{2} θ .$

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las identidades de producto a suma y suma a producto.

7.4 Ejercicios de sección

Verbales

Empezando por la fórmula de producto a suma $sen α \cos β = \frac{1}{2} [sen (α + β) + sen (α - β)],$ explique cómo determinar la fórmula para $\cos α sen β .$

Explique dos métodos distintos de cálculo $\cos (195°) \cos (105°),$ uno de los cuales utiliza el producto a suma. ¿Qué método es más fácil?

Explique una situación en la que convertiríamos una ecuación de suma a producto y dé un ejemplo.

Explique una situación en la que convertiríamos una ecuación de producto a suma, y dé un ejemplo.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, reescriba el producto como suma o diferencia.

$16 sen (16 x) sen (11 x)$

$20 \cos (36 t) \cos (6 t)$

$2 sen (5 x) \cos (3 x)$

$10 \cos (5 x) sen (10 x)$

$sen (- x) sen (5 x)$

10.

$sen (3 x) \cos (5 x)$

En los siguientes ejercicios, reescriba la suma o la diferencia como un producto.

11.

$\cos (6 t) + \cos (4 t)$

12.

$sen (3 x) + sen (7 x)$

13.

$\cos (7 x) + \cos (- 7 x)$

14.

$sen (3 x) - sen (- 3 x)$

15.

$\cos (3 x) + \cos (9 x)$

16.

$sen h - sen (3 h)$

En los siguientes ejercicios, evalúe el producto de lo siguiente mediante la suma o diferencia de dos funciones.

17.

$\cos (45°) \cos (15°)$

18.

$\cos (45°) sen (15°)$

19.

$sen (−345°) sen (−15°)$

20.

$sen (195°) \cos (15°)$

21.

$sen (−45°) sen (−15°)$

En los siguientes ejercicios, evalúe el producto mediante la suma o diferencia de dos funciones. Deje en términos de seno y coseno.

22.

$\cos (23°) sen (17°)$

23.

$2 sen (100°) sen (20°)$

24.

$2 sen (−100°) sen (−20°)$

25.

$sen (213°) \cos (8°)$

26.

$2 \cos (56°) \cos (47°)$

En los siguientes ejercicios, reescriba la suma como producto de dos funciones. Deje en términos de seno y coseno.

27.

$sen (76°) + sen (14°)$

28.

$\cos (58°) - \cos (12°)$

29.

$sen (101°) - sen (32°)$

30.

$\cos (100°) + \cos (200°)$

31.

$sen (−1°) + sen (−2°)$

En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.

32.

$\frac{\cos (a + b)}{\cos (a - b)} = \frac{1 - \tan a \tan b}{1 + \tan a \tan b}$

33.

$4 sen (3 x) \cos (4 x) = 2 sen (7 x) - 2 sen x$

34.

$\frac{6 \cos (8 x) sen (2 x)}{sen (- 6 x)} = −3 sen (10 x) \csc (6 x) + 3$

35.

$sen x + sen (3 x) = 4 sen x \cos^{2} x$

36.

$2 (\cos^{3} x - \cos x {sen}^{2} x) = \cos (3 x) + \cos x$

37.

$2 \tan x \cos (3 x) = \sec x (sen (4 x) - sen (2 x))$

38.

$\cos (a + b) + \cos (a - b) = 2 \cos a \cos b$

Numéricos

En los siguientes ejercicios, reescriba la suma como producto de dos funciones o el producto como suma de dos funciones. Responda en términos de seno y coseno. A continuación, evalúe la respuesta final numéricamente, redondeada a cuatro decimales.

39.

$\cos (58^{\circ}) + \cos (12^{\circ})$

40.

$sen (2^{\circ}) - sen (3^{\circ})$

41.

$\cos (44^{\circ}) - \cos (22^{\circ})$

42.

$\cos (176^{\circ}) sen (9^{\circ})$

43.

$sen (- 14^{\circ}) sen (85^{\circ})$

En tecnología

En los siguientes ejercicios, determine algebraicamente si cada una de las expresiones dadas es una identidad verdadera. Si no es una identidad, sustituya el lado derecho por una expresión equivalente al lado izquierdo. Verifique los resultados al graficar ambas expresiones en la calculadora.

44.

$2 sen (2 x) sen (3 x) = \cos x - \cos (5 x)$

45.

$\frac{\cos (10 θ) + \cos (6 θ)}{\cos (6 θ) - \cos (10 θ)} = \cot (2 θ) \cot (8 θ)$

46.

$\frac{sen (3 x) - sen (5 x)}{\cos (3 x) + \cos (5 x)} = \tan x$

47.

$2 \cos (2 x) \cos x + sen (2 x) sen x = 2 sen x$

48.

$\frac{sen (2 x) + sen (4 x)}{sen (2 x) - sen (4 x)} = - \tan (3 x) \cot x$

En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión a un término, luego grafique la función original y su versión simplificada para verificar que sean idénticas.

49.

$\frac{sen (9 t) - sen (3 t)}{\cos (9 t) + \cos (3 t)}$

50.

$2 sen (8 x) \cos (6 x) - sen (2 x)$

51.

$\frac{sen (3 x) - sen x}{sen x}$

52.

$\frac{\cos (5 x) + \cos (3 x)}{sen (5 x) + sen (3 x)}$

53.

$sen x \cos (15 x) - \cos x sen (15 x)$

Extensiones

En los siguientes ejercicios, compruebe las siguientes fórmulas de suma a producto.

54.

$sen x - sen y = 2 sen (\frac{x - y}{2}) \cos (\frac{x + y}{2})$

55.

$\cos x + \cos y = 2 \cos (\frac{x + y}{2}) \cos (\frac{x - y}{2})$

En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.

56.

$\frac{sen (6 x) + sen (4 x)}{sen (6 x) - sen (4 x)} = \tan (5 x) \cot x$

57.

$\frac{\cos (3 x) + \cos x}{\cos (3 x) - \cos x} = - \cot (2 x) \cot x$

58.

$\frac{\cos (6 y) + \cos (8 y)}{sen (6 y) - sen (4 y)} = \cot y \cos (7 y) \sec (5 y)$

59.

$\frac{\cos (2 y) - \cos (4 y)}{sen (2 y) + sen (4 y)} = \tan y$

60.

$\frac{sen (10 x) - sen (2 x)}{\cos (10 x) + \cos (2 x)} = \tan (4 x)$

61.

$\cos x - \cos (3 x) = 4 {sen}^{2} x \cos x$

62.

${(\cos (2 x) - \cos (4 x))}^{2} + {(sen (4 x) + sen (2 x))}^{2} = 4 {sen}^{2} (3 x)$

63.

$\tan (\frac{π}{4} - t) = \frac{1 - \tan t}{1 + \tan t}$