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Precálculo 2ed

7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma

Precálculo 2ed7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Expresar los productos como sumas.
  • Expresar las sumas como productos.
Foto de la banda de música de la UCLA.
Figura 1 La banda de música de la UCLA (créditos: Eric Chan, Flickr).

Una banda marcha por el campo creando un sonido increíble que anima al público. Ese sonido viaja como una onda que puede interpretarse mediante funciones trigonométricas. Por ejemplo, la Figura 2 representa una onda sonora para la nota musical A. En esta sección, investigaremos las identidades trigonométricas que son la base de fenómenos cotidianos como las ondas sonoras.

Gráfico de una onda sonora para la nota musical A: es una función periódica muy parecida a sen y cos, de 0 a 0,01
Figura 2

Expresar el producto como suma

Ya hemos aprendido varias fórmulas útiles para expandir o simplificar expresiones trigonométricas, pero a veces puede que tengamos que expresar el producto del coseno y el seno como una suma. Podemos utilizar las fórmulas de producto a suma, que expresan productos de funciones trigonométricas como sumas. Investiguemos primero la identidad del coseno y luego la del seno.

Expresar productos como sumas para el coseno

Podemos derivar la fórmula de producto a suma a partir de las identidades de suma y diferencia para el coseno. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos:

cosαcosβ+senαsenβ=cos( α-β ) +cosαcosβsenαsenβ=cos( α+β ) ________________________________ 2cosαcosβ=cos( α-β )+cos( α+β ) cosαcosβ+senαsenβ=cos( α-β ) +cosαcosβsenαsenβ=cos( α+β ) ________________________________ 2cosαcosβ=cos( α-β )+cos( α+β )

A continuación, dividimos entre 2 2 para aislar el producto de los cosenos:

cosαcosβ= 1 2 [cos(α-β)+cos(α+β)] cosαcosβ= 1 2 [cos(α-β)+cos(α+β)]

Cómo

Dado un producto de cosenos, expresarlo como una suma.

  1. Escriba la fórmula del producto de cosenos.
  2. Sustituya los ángulos dados en la fórmula.
  3. Simplifique.

Ejemplo 1

Escribir el producto como una suma con la fórmula producto a suma para el coseno

Escriba el siguiente producto de cosenos como una suma: 2cos( 7x 2 )cos 3x 2 . 2cos( 7x 2 )cos 3x 2 .

Inténtelo #1

Utilice la fórmula producto a suma para escribir el producto como suma o diferencia: cos( 2θ )cos( 4θ ). cos( 2θ )cos( 4θ ).

Expresar el producto del seno y el coseno como suma

A continuación, derivaremos la fórmula de producto a suma para el seno y el coseno a partir de las fórmulas de la suma y la diferencia para el seno. Si sumamos las identidades de suma y diferencia, obtenemos:

sen(α+β)=senαcosβ+cosαsenβ +                sen(α-β)=senαcosβcosαsenβ _________________________________________ sen(α+β)+sen(α-β)=2senαcosβ sen(α+β)=senαcosβ+cosαsenβ +                sen(α-β)=senαcosβcosαsenβ _________________________________________ sen(α+β)+sen(α-β)=2senαcosβ

Luego, dividimos entre 2 para aislar el producto del coseno y el seno:

senαcosβ= 1 2 [ sen( α+β )+sen( α-β ) ] senαcosβ= 1 2 [ sen( α+β )+sen( α-β ) ]

Ejemplo 2

Escribir el producto como una suma que contenga únicamente el seno o el coseno

Exprese el siguiente producto como una suma que contenga únicamente el seno o el coseno y ningún producto sen( 4θ )cos( 2θ ). sen( 4θ )cos( 2θ ).

Inténtelo #2

Utilice la fórmula producto a suma para escribir el producto como una suma: sen( x+y )cos( x-y ). sen( x+y )cos( x-y ).

Expresar el producto del seno en términos de coseno

Expresar el producto del seno en términos del coseno también se deriva de las identidades de suma y diferencia del coseno. En este caso, primero restaremos las dos fórmulas del coseno:

                    cos( α-β )=cosαcosβ+senαsenβ                  cos( α+β )=-( cosαcosβsenαsenβ ) ____________________________________________________ cos( α-β )-cos( α+β )=2senαsenβ                     cos( α-β )=cosαcosβ+senαsenβ                  cos( α+β )=-( cosαcosβsenαsenβ ) ____________________________________________________ cos( α-β )-cos( α+β )=2senαsenβ

Luego, dividimos entre 2 para aislar el producto del seno:

senαsenβ= 1 2 [ cos( α-β )-cos( α+β ) ] senαsenβ= 1 2 [ cos( α-β )-cos( α+β ) ]

De forma similar podríamos expresar el producto del coseno en términos de seno o derivar otras fórmulas de producto a suma.

Las fórmulas de producto a suma

Las fórmulas de producto a suma son las siguientes:

cosαcosβ= 1 2 [ cos( α-β )+cos( α+β ) ] cosαcosβ= 1 2 [ cos( α-β )+cos( α+β ) ]
senαcosβ= 1 2 [ sen( α+β )+sen( α-β ) ] senαcosβ= 1 2 [ sen( α+β )+sen( α-β ) ]
senαsenβ= 1 2 [ cos( α-β )-cos( α+β ) ] senαsenβ= 1 2 [ cos( α-β )-cos( α+β ) ]
cosαsenβ= 1 2 [ sen( α+β )-sen( α-β ) ] cosαsenβ= 1 2 [ sen( α+β )-sen( α-β ) ]

Ejemplo 3

Expresar el producto como suma o diferencia

Escriba cos(3θ)cos(5θ) cos(3θ)cos(5θ) como suma o diferencia.

Inténtelo #3

Utilice la fórmula de producto a suma para evaluar cos 11π 12 cos π 12 . cos 11π 12 cos π 12 .

Expresar suma como producto

Algunos problemas requieren el proceso inverso al que acabamos de utilizar. Las fórmulas de suma a producto nos permiten expresar sumas de seno o coseno como productos. Estas fórmulas pueden derivarse de las identidades de producto a suma. Por ejemplo, con unas cuantas sustituciones, podemos derivar la identidad de suma a producto para el seno. Supongamos que u+v 2 =α u+v 2 =α y u-v 2 =β. u-v 2 =β.

Entonces,

α+β= u+v 2 + u-v 2          = 2u 2          =u α-β= u+v 2 - u-v 2          = 2v 2          =v α+β= u+v 2 + u-v 2          = 2u 2          =u α-β= u+v 2 - u-v 2          = 2v 2          =v

Así, al sustituir α α y β β en la fórmula de producto a suma con las expresiones sustitutivas, tenemos:

                    senαcosβ= 1 2 [sen(α+β)+sen(α-β)]   sen( u+v 2 )cos( u-v 2 )= 1 2 [senu+senv] Sustituya por(α+β) y (α-β) 2sen( u+v 2 )cos( u-v 2 )=senu+senv].                     senαcosβ= 1 2 [sen(α+β)+sen(α-β)]   sen( u+v 2 )cos( u-v 2 )= 1 2 [senu+senv] Sustituya por(α+β) y (α-β) 2sen( u+v 2 )cos( u-v 2 )=senu+senv].

Las demás identidades de suma a producto se derivan de forma similar.

Fórmulas de suma a producto

Las fórmulas de suma a producto son las siguientes:

senα+senβ=2sen( α+β 2 )cos( α-β 2 ) senα+senβ=2sen( α+β 2 )cos( α-β 2 )
senαsenβ=2sen( α-β 2 )cos( α+β 2 ) senαsenβ=2sen( α-β 2 )cos( α+β 2 )
cosαcosβ=-2sen( α+β 2 )sen( α-β 2 ) cosαcosβ=-2sen( α+β 2 )sen( α-β 2 )
cosα+cosβ=2cos( α+β 2 )cos( α-β 2 ) cosα+cosβ=2cos( α+β 2 )cos( α-β 2 )

Ejemplo 4

Escribir la diferencia de senos como producto

Escriba la siguiente expresión de diferencia de senos como producto: sen( 4θ )-sen( 2θ ). sen( 4θ )-sen( 2θ ).

Inténtelo #4

Utilice la fórmula de suma a producto para escribir la suma como producto: sen( 3θ )+sen( θ ). sen( 3θ )+sen( θ ).

Ejemplo 5

Evaluar mediante la fórmula de suma a producto

Evalúe cos( 15 )-cos( 75 ). cos( 15 )-cos( 75 ).

Ejemplo 6

Probar una identidad

Pruebe la identidad:

cos( 4t )-cos( 2 t ) sen( 4t )+sen( 2 t ) =-tant cos( 4t )-cos( 2 t ) sen( 4t )+sen( 2 t ) =-tant

Análisis

Recordemos que la verificación de las identidades trigonométricas tiene su propio conjunto de reglas. Los procedimientos para resolver una ecuación no son los mismos que los procedimientos para verificar una identidad. Cuando comprobamos una identidad, elegimos un lado para trabajar y hacemos sustituciones hasta que ese lado se transforme en el otro.

Ejemplo 7

Verificar la identidad mediante fórmulas de ángulo doble e identidades recíprocas

Verifique la identidad csc 2 θ-2 = cos(2θ) sen 2 θ . csc 2 θ-2 = cos(2θ) sen 2 θ .

Inténtelo #5

Verifique la identidad tanθcotθ- cos 2 θ= sen 2 θ. tanθcotθ- cos 2 θ= sen 2 θ.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las identidades de producto a suma y suma a producto.

7.4 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Empezando por la fórmula de producto a suma senαcosβ= 1 2 [sen(α+β)+sen(α-β)], senαcosβ= 1 2 [sen(α+β)+sen(α-β)], explique cómo determinar la fórmula para cosαsenβ. cosαsenβ.

2.

Explique dos métodos distintos de cálculo cos( 195° )cos( 105° ), cos( 195° )cos( 105° ), uno de los cuales utiliza el producto a suma. ¿Qué método es más fácil?

3.

Explique una situación en la que convertiríamos una ecuación de suma a producto y dé un ejemplo.

4.

Explique una situación en la que convertiríamos una ecuación de producto a suma, y dé un ejemplo.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, reescriba el producto como suma o diferencia.

5.

16sen(16x)sen(11x) 16sen(16x)sen(11x)

6.

20cos( 36t )cos( 6t ) 20cos( 36t )cos( 6t )

7.

2sen( 5x )cos( 3x ) 2sen( 5x )cos( 3x )

8.

10cos( 5x )sen( 10x ) 10cos( 5x )sen( 10x )

9.

sen( -x )sen( 5x ) sen( -x )sen( 5x )

10.

sen( 3x )cos( 5x ) sen( 3x )cos( 5x )

En los siguientes ejercicios, reescriba la suma o la diferencia como un producto.

11.

cos( 6t )+cos( 4t ) cos( 6t )+cos( 4t )

12.

sen( 3x )+sen( 7x ) sen( 3x )+sen( 7x )

13.

cos( 7x )+cos( 7x ) cos( 7x )+cos( 7x )

14.

sen( 3x )-sen( -3x ) sen( 3x )-sen( -3x )

15.

cos( 3x )+cos( 9x ) cos( 3x )+cos( 9x )

16.

senhsen( 3h ) senhsen( 3h )

En los siguientes ejercicios, evalúe el producto de lo siguiente mediante la suma o diferencia de dos funciones.

17.

cos( 45° )cos( 15° ) cos( 45° )cos( 15° )

18.

cos( 45° )sen( 15° ) cos( 45° )sen( 15° )

19.

sen( −345° )sen( −15° ) sen( −345° )sen( −15° )

20.

sen( 195° )cos( 15° ) sen( 195° )cos( 15° )

21.

sen( −45° )sen( −15° ) sen( −45° )sen( −15° )

En los siguientes ejercicios, evalúe el producto mediante la suma o diferencia de dos funciones. Deje en términos de seno y coseno.

22.

cos( 23° )sen( 17° ) cos( 23° )sen( 17° )

23.

2sen( 100° )sen( 20° ) 2sen( 100° )sen( 20° )

24.

2sen(−100°)sen(−20°) 2sen(−100°)sen(−20°)

25.

sen( 213° )cos( ) sen( 213° )cos( )

26.

2cos(56°)cos(47°) 2cos(56°)cos(47°)

En los siguientes ejercicios, reescriba la suma como producto de dos funciones. Deje en términos de seno y coseno.

27.

sen(76°)+sen(14°) sen(76°)+sen(14°)

28.

cos( 58° )-cos( 12° ) cos( 58° )-cos( 12° )

29.

sen(101°)-sen(32°) sen(101°)-sen(32°)

30.

cos( 100° )+cos( 200° ) cos( 100° )+cos( 200° )

31.

sen(−1°)+sen(−2°) sen(−1°)+sen(−2°)

En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.

32.

cos(a+b) cos(a-b) = 1-tanatanb 1+tanatanb cos(a+b) cos(a-b) = 1-tanatanb 1+tanatanb

33.

4sen( 3x )cos( 4x )=2sen( 7x )-2senx 4sen( 3x )cos( 4x )=2sen( 7x )-2senx

34.

6cos( 8x )sen( 2 x ) sen( 6x ) =−3sen( 10x )csc( 6x )+3 6cos( 8x )sen( 2 x ) sen( 6x ) =−3sen( 10x )csc( 6x )+3

35.

senx+sen( 3x )=4senx cos 2 x senx+sen( 3x )=4senx cos 2 x

36.

2( cos 3 x-cosx sen 2 x )=cos( 3x )+cosx 2( cos 3 x-cosx sen 2 x )=cos( 3x )+cosx

37.

2tanxcos( 3x )=secx( sen( 4x )-sen( 2 x ) ) 2tanxcos( 3x )=secx( sen( 4x )-sen( 2 x ) )

38.

cos( a+b )+cos( a-b )=2cosacosb cos( a+b )+cos( a-b )=2cosacosb

Numéricos

En los siguientes ejercicios, reescriba la suma como producto de dos funciones o el producto como suma de dos funciones. Responda en términos de seno y coseno. A continuación, evalúe la respuesta final numéricamente, redondeada a cuatro decimales.

39.

cos( 58 )+cos( 12 ) cos( 58 )+cos( 12 )

40.

sen( 2 )-sen( 3 ) sen( 2 )-sen( 3 )

41.

cos( 44 )-cos( 22 ) cos( 44 )-cos( 22 )

42.

cos( 176 )sen( 9 ) cos( 176 )sen( 9 )

43.

sen( 14 )sen( 85 ) sen( 14 )sen( 85 )

En tecnología

En los siguientes ejercicios, determine algebraicamente si cada una de las expresiones dadas es una identidad verdadera. Si no es una identidad, sustituya el lado derecho por una expresión equivalente al lado izquierdo. Verifique los resultados al graficar ambas expresiones en la calculadora.

44.

2sen(2 x)sen(3x)=cosx-cos(5x) 2sen(2 x)sen(3x)=cosx-cos(5x)

45.

cos( 10θ )+cos( 6θ ) cos( 6θ )-cos( 10θ ) =cot( 2θ )cot( 8θ ) cos( 10θ )+cos( 6θ ) cos( 6θ )-cos( 10θ ) =cot( 2θ )cot( 8θ )

46.

sen( 3x )-sen( 5x ) cos( 3x )+cos( 5x ) =tanx sen( 3x )-sen( 5x ) cos( 3x )+cos( 5x ) =tanx

47.

2cos(2 x)cosx+sen(2 x)senx=2senx 2cos(2 x)cosx+sen(2 x)senx=2senx

48.

sen( 2 x )+sen( 4x ) sen( 2 x )-sen( 4x ) =-tan( 3x )cotx sen( 2 x )+sen( 4x ) sen( 2 x )-sen( 4x ) =-tan( 3x )cotx

En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión a un término, luego grafique la función original y su versión simplificada para verificar que sean idénticas.

49.

sen( 9t )-sen( 3t ) cos( 9t )+cos( 3t ) sen( 9t )-sen( 3t ) cos( 9t )+cos( 3t )

50.

2sen( 8x )cos( 6x )-sen( 2 x ) 2sen( 8x )cos( 6x )-sen( 2 x )

51.

sen( 3x )-senx senx sen( 3x )-senx senx

52.

cos( 5x )+cos( 3x ) sen( 5x )+sen( 3x ) cos( 5x )+cos( 3x ) sen( 5x )+sen( 3x )

53.

senxcos( 15x )-cosxsen( 15x ) senxcos( 15x )-cosxsen( 15x )

Extensiones

En los siguientes ejercicios, compruebe las siguientes fórmulas de suma a producto.

54.

senx-seny=2sen( x-y 2 )cos( x+y 2 ) senx-seny=2sen( x-y 2 )cos( x+y 2 )

55.

cosx+cosy=2cos( x+y 2 )cos( x-y 2 ) cosx+cosy=2cos( x+y 2 )cos( x-y 2 )

En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.

56.

sen(6x)+sen(4x) sen(6x)-sen(4x) =tan(5x)cotx sen(6x)+sen(4x) sen(6x)-sen(4x) =tan(5x)cotx

57.

cos(3x)+cosx cos(3x)-cosx =-cot(2 x)cotx cos(3x)+cosx cos(3x)-cosx =-cot(2 x)cotx

58.

cos(6y)+cos(8y) sen(6y)-sen(4y) =cotycos(7y)sec(5y) cos(6y)+cos(8y) sen(6y)-sen(4y) =cotycos(7y)sec(5y)

59.

cos( 2y )-cos( 4y ) sen( 2y )+sen( 4y ) =tany cos( 2y )-cos( 4y ) sen( 2y )+sen( 4y ) =tany

60.

sen( 10x )-sen( 2 x ) cos( 10x )+cos( 2 x ) =tan( 4x ) sen( 10x )-sen( 2 x ) cos( 10x )+cos( 2 x ) =tan( 4x )

61.

cosx-cos(3x)=4 sen 2 xcosx cosx-cos(3x)=4 sen 2 xcosx

62.

(cos(2 x)-cos(4x)) 2 + (sen(4x)+sen(2 x)) 2 =4 sen 2 (3x) (cos(2 x)-cos(4x)) 2 + (sen(4x)+sen(2 x)) 2 =4 sen 2 (3x)

63.

tan( π 4 -t )= 1-tant 1+tant tan( π 4 -t )= 1-tant 1+tant

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