Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Verificar las identidades trigonométricas fundamentales.
Simplificar expresiones trigonométricas con el álgebra y las identidades.

Figura 1 Pasaportes y documentos de viaje internacionales

En las películas de espionaje, vemos a espías internacionales con varios pasaportes, cada uno de los cuales declara una identidad diferente. Sin embargo, sabemos que cada uno de esos pasaportes representa a la misma persona. Las identidades trigonométricas actúan de forma similar a los pasaportes múltiples: hay muchas formas de representar la misma expresión trigonométrica. Al igual que un espía elige un pasaporte italiano cuando viaja a Italia, nosotros elegimos la identidad que se aplica al escenario dado cuando resolvemos una ecuación trigonométrica.

En esta sección, comenzaremos un examen de las identidades trigonométricas fundamentales, incluso cómo podemos verificarlas y utilizarlas para simplificar expresiones trigonométricas.

Verificar las identidades trigonométricas fundamentales

Las identidades nos permiten simplificar expresiones complicadas. Son las herramientas básicas de la trigonometría que se utilizan para resolver ecuaciones trigonométricas, al igual que la factorización, la búsqueda de denominadores comunes y el uso de fórmulas especiales son las herramientas básicas para resolver ecuaciones algebraicas. De hecho, utilizamos constantemente técnicas algebraicas para simplificar las expresiones trigonométricas. Las propiedades y fórmulas básicas del álgebra, como la fórmula de la diferencia de cuadrados y la fórmula de los cuadrados perfectos, simplificarán el trabajo con las expresiones y ecuaciones trigonométricas. Ya sabemos que todas las funciones trigonométricas están relacionadas porque todas están definidas en términos del círculo unitario. En consecuencia, cualquier identidad trigonométrica se escribe de muchas maneras.

Para verificar las identidades trigonométricas, solemos empezar con el lado más complicado de la ecuación y esencialmente reescribimos la expresión hasta que se haya transformado en la misma expresión que el otro lado de la ecuación. A veces tenemos que factorizar expresiones, expandir expresiones, hallar denominadores comunes o utilizar otras estrategias algebraicas para obtener el resultado deseado. En esta primera sección, trabajaremos con las identidades fundamentales: las identidades pitagóricas, las identidades pares, las identidades recíprocas y las identidades de cociente.

Comenzaremos con las identidades pitagóricas (vea la Tabla 1), que son ecuaciones que implican funciones trigonométricas basadas en las propiedades de un triángulo rectángulo. Ya hemos visto y utilizado la primera de estas identificaciones. Esta vez también utilizaremos otras identidades.

Identidades de Pitágoras
${sen}^{2} θ + \cos^{2} θ = 1$	$1 + \cot^{2} θ = \csc^{2} θ$	$1 + \tan^{2} θ = \sec^{2} θ$

Tabla 1

La segunda y tercera identidades se obtienen al manipular la primera. La identidad $1 + \cot^{2} θ = \csc^{2} θ$ se halla al reescribir el lado izquierdo de la ecuación en términos de seno y coseno.

Compruebe: $1 + \cot^{2} θ = \csc^{2} θ$

\begin{array}{l} 1 + \cot^{2} θ = (1 + \frac{\cos^{2} θ}{{sen}^{2} θ}) & Reescriba el lado izquierdo . \\ = (\frac{{sen}^{2} θ}{{sen}^{2} θ}) + (\frac{\cos^{2} θ}{{sen}^{2} θ}) & Escriba ambos términos con el denominador común . \\ = \frac{{sen}^{2} θ + \cos^{2} θ}{{sen}^{2} θ} \\ = \frac{1}{{sen}^{2} θ} \\ = \csc^{2} θ \end{array}

De la misma manera, $1 + \tan^{2} θ = \sec^{2} θ$ se obtiene al reescribir el lado izquierdo de esta identidad en términos de seno y coseno. Esto da

\begin{array}{l} 1 + \tan^{2} θ = 1 + {(\frac{sen θ}{\cos θ})}^{2} & Reescriba el lado izquierdo . \\ = {(\frac{\cos θ}{\cos θ})}^{2} + {(\frac{sen θ}{\cos θ})}^{2} & Escriba ambos términos con el denominador común . \\ = \frac{\cos^{2} θ + {sen}^{2} θ}{\cos^{2} θ} \\ = \frac{1}{\cos^{2} θ} \\ = \sec^{2} θ \end{array}

El siguiente conjunto de identidades fundamentales es el conjunto de identidades pares-impares. Las identidades pares-impares relacionan el valor de una función trigonométrica en un ángulo dado con el valor de la función en el ángulo opuesto y determinan si la identidad es par o impar. (Vea la Tabla 2).

Identidades par-impar
$\begin{array}{l} \tan (- θ) = - \tan θ \\ \cot (- θ) = - \cot θ \end{array}$	$\begin{array}{l} sen (- θ) = - sen θ \\ \csc (- θ) = - \csc θ \end{array}$	$\begin{array}{l} \cos (- θ) = \cos θ \\ \sec (- θ) = \sec θ \end{array}$

Tabla 2

Recordemos que la función impar es aquella en la que $f (- x) = - f (x)$ para todo $x$ en el dominio de $f .$ La función seno es una función impar porque $sen (- θ) = - sen θ .$ El gráfico de una función impar es simétrico respecto al origen. Por ejemplo, consideremos las entradas correspondientes de $\frac{π}{2}$ y $- \frac{π}{2} .$ La salida de $sen (\frac{π}{2})$ es opuesta a la salida de $sen (- \frac{π}{2}) .$ Así,

\begin{array}{l} sen (\frac{π}{2}) = 1 \\ y \\ sen (- \frac{π}{2}) = - sen (\frac{π}{2}) \\ = - 1 \end{array}

Esto se muestra en la Figura 2.

Gráfico de y=sen(theta) de -2pi a 2pi, que indica en particular que es simétrica respecto al origen. Los puntos dados son (pi/2, 1) y (-pi/2, -1).

Figura 2 Gráfico de

y = sen θ

Recordemos que la función par es aquella en la que

f (- x) = f (x) para todos x en el ámbito de f

El gráfico de la función par es simétrico con respecto al eje y. La función coseno es una función par porque $\cos (- θ) = \cos θ .$ Por ejemplo, considere las entradas correspondientes $\frac{π}{4}$ y $- \frac{π}{4} .$ La salida de $\cos (\frac{π}{4})$ es la misma que la salida de $\cos (- \frac{π}{4}) .$ Por lo tanto,

\begin{array}{l} \cos (- \frac{π}{4}) = \cos (\frac{π}{4}) \\ \approx 0,707 \end{array}

Vea la Figura 3.

Gráfico de y=cos(theta) de -2pi a 2pi, que indica en particular que es simétrica respecto al eje y. Los puntos dados son (-pi/4, 0,707) y (pi/4, 0,707).

Figura 3 Gráfico de

y = \cos θ

Para todos $θ$ en el dominio de las funciones seno y coseno, respectivamente, podemos afirmar lo siguiente:

Dado que $sen (- θ) = - sen θ,$ seno es una función impar.
Dado que, $\cos (- θ) = \cos θ,$ coseno es una función par.

Las otras identidades pares-impares se derivan de la naturaleza par e impar de las funciones seno y coseno. Por ejemplo, consideremos la identidad tangente, $\tan (- θ) = -tan θ .$ Podemos interpretar la tangente de un ángulo negativo como $\tan (- θ) = \frac{sen (- θ)}{\cos (- θ)} = \frac{- sen θ}{\cos θ} = - \tan θ .$ La tangente es, por tanto, una función impar, lo que significa que $\tan (- θ) = - \tan (θ)$ para todos los $θ$ en el dominio de la función tangente.

La identidad cotangente, $\cot (- θ) = - \cot θ,$ también se deduce de las identidades del seno y del coseno. Podemos interpretar la cotangente de un ángulo negativo como $\cot (- θ) = \frac{\cos (- θ)}{sen (- θ)} = \frac{\cos θ}{- sen θ} = - \cot θ .$ La cotangente es, por tanto, una función impar, lo que significa que $\cot (- θ) = - \cot (θ)$ para todos los $θ$ en el dominio de la función cotangente.

La función cosecante es la recíproca de la función seno, lo que significa que la cosecante de un ángulo negativo se interpretará como $\csc (- θ) = \frac{1}{sen (- θ)} = \frac{1}{- sen θ} = - \csc θ .$ La función cosecante es, por tanto, impar.

Por último, la función secante es la recíproca de la función coseno, y la secante de un ángulo negativo se interpreta como $\sec (- θ) = \frac{1}{\cos (- θ)} = \frac{1}{\cos θ} = \sec θ .$ La función secante es, por tanto, par.

En resumen, solo dos de las funciones trigonométricas, el coseno y la secante, son pares. Las otras cuatro funciones son impares, que verifican las identidades pares-impares.

El siguiente conjunto de identidades fundamentales es el de identidades recíprocas, que, como su nombre lo indica, relacionan funciones trigonométricas que son recíprocas entre sí. Vea la Tabla 3.

Identidades recíprocas
$sen θ = \frac{1}{\csc θ}$	$\csc θ = \frac{1}{sen θ}$
$\cos θ = \frac{1}{\sec θ}$	$\sec θ = \frac{1}{\cos θ}$
$\tan θ = \frac{1}{\cot θ}$	$\cot θ = \frac{1}{\tan θ}$

Tabla 3

El último conjunto de identidades es el de identidades de cociente, que definen relaciones entre ciertas funciones trigonométricas y sirven para verificar otras identidades. Vea la Tabla 4.

Identidades del cociente
$\tan θ = \frac{sen θ}{\cos θ}$	$\cot θ = \frac{\cos θ}{sen θ}$

Tabla 4

Las identidades recíproca y de cociente se derivan de las definiciones de las funciones trigonométricas básicas.

Resumir las identidades trigonométricas

Las identidades pitagóricas se basan en las propiedades de un triángulo rectángulo.

\cos^{2} θ + {sen}^{2} θ = 1

1 + \cot^{2} θ = \csc^{2} θ

1 + \tan^{2} θ = \sec^{2} θ

Las identidades pares-impares relacionan el valor de una función trigonométrica en un ángulo determinado con el valor de la función en el ángulo opuesto.

\tan (- θ) = - \tan θ

\cot (- θ) = - \cot θ

sen (- θ) = - sen θ

\csc (- θ) = - \csc θ

\cos (- θ) = \cos θ

\sec (- θ) = \sec θ

Las identidades recíprocas definen las recíprocas de las funciones trigonométricas.

sen θ = \frac{1}{\csc θ}

\cos θ = \frac{1}{\sec θ}

\tan θ = \frac{1}{\cot θ}

\csc θ = \frac{1}{sen θ}

\sec θ = \frac{1}{\cos θ}

\cot θ = \frac{1}{\tan θ}

Las identidades de cociente definen la relación entre las funciones trigonométricas.

\tan θ = \frac{sen θ}{\cos θ}

\cot θ = \frac{\cos θ}{sen θ}

Ejemplo 1

Graficar las ecuaciones de una identidad

Grafique ambos lados de la identidad $\cot θ = \frac{1}{\tan θ} .$ En otras palabras, en la calculadora gráfica, grafique $y = \cot θ$ y $y = \frac{1}{\tan θ} .$

Solución

Vea la Figura 4.

Gráfico de y = cot(theta) e y=1/tan(theta) de -2pi a 2pi. ¡Son iguales!

Figura 4

Análisis

Solo vemos un gráfico porque ambas expresiones generan la misma imagen. Una está encima de la otra. Esta es una buena manera de confirmar una identidad verificada con medios analíticos. Si ambas expresiones dan el mismo gráfico, lo más probable es que sean identidades.

Cómo

Dada una identidad trigonométrica, verificar que es verdadera.

Trabaje en un lado de la ecuación. Es mejor empezar por el lado más complejo, ya que es más fácil simplificar que construir.
Busque la manera de factorizar expresiones, elevar al cuadrado un binomio o sumar fracciones.
Al observar qué funciones hay en la expresión final, busque la manera de utilizar las identidades y hacer las sustituciones adecuadas.
Si estos pasos no dan el resultado deseado, intente convertir todos los términos en senos y cosenos.

Ejemplo 2

Verificar una identidad trigonométrica

Verifique $\tan θ \cos θ = sen θ .$

Solución

Empezaremos por el lado izquierdo, ya que es el más complicado:

\begin{array}{l} \tan θ \cos θ = (\frac{sen θ}{\cos θ}) \cos θ \\ = (\frac{sen θ}{\cos θ}) \cos θ \\ = sen θ \end{array}

Análisis

Esta identidad era bastante sencilla de verificar, ya que solo había que escribir $\tan θ$ en términos de $sen θ$ y $\cos θ .$

Inténtelo #1

Verifique la identidad $\csc θ \cos θ \tan θ = 1.$

Ejemplo 3

Verificar la equivalencia mediante las identidades pares-impares

Verifique la siguiente equivalencia mediante las identidades pares-impares:

(1 + sen x) [1 + sen (- x)] = \cos^{2} x

Solución

Trabajando en el lado izquierdo de la ecuación, tenemos

\begin{array}{l} (1 + sen x) [1 + sen (- x)] = (1 + sen x) (1 - sen x) & Dado que sen(- x)= - sen x \\ = 1 - {sen}^{2} x & Diferencia de cuadrados \\ = \cos^{2} x & {cos}^{2} x = 1 - {sen}^{2} x \end{array}

Ejemplo 4

Verificar una identidad trigonométrica que implique sec²θ

Verifique la identidad $\frac{\sec^{2} θ - 1}{\sec^{2} θ} = {sen}^{2} θ$

Solución

Dado que el lado izquierdo es más complicado, empecemos por ahí.

\begin{array}{l} \frac{\sec^{2} θ - 1}{\sec^{2} θ} = \frac{(\tan^{2} θ + 1) - 1}{\sec^{2} θ} & {sec}^{2} θ = \tan^{2} θ + 1 \\ = \frac{\tan^{2} θ}{\sec^{2} θ} \\ = \tan^{2} θ (\frac{1}{\sec^{2} θ}) \\ = \tan^{2} θ (\cos^{2} θ) & \cos^{2} θ = \frac{1}{\sec^{2} θ} \\ = (\frac{{sen}^{2} θ}{\cos^{2} θ}) (\cos^{2} θ) & \begin{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix} & {tan}^{2} θ = \frac{{sen}^{2} θ}{\cos^{2} θ} \\ = (\frac{{sen}^{2} θ}{\cos^{2} θ}) (\cos^{2} θ) \\ = {sen}^{2} θ \end{array}

Hay más de una forma de verificar una identidad. Aquí hay otra posibilidad. De nuevo, podemos empezar por el lado izquierdo.

\begin{array}{l} \frac{\sec^{2} θ - 1}{\sec^{2} θ} = \frac{\sec^{2} θ}{\sec^{2} θ} - \frac{1}{\sec^{2} θ} \\ = 1 - \cos^{2} θ \\ = {sen}^{2} θ \end{array}

Análisis

En el primer método, utilizamos la identidad $\sec^{2} θ = \tan^{2} θ + 1$ y continuamos simplificando. En el segundo método, dividimos la fracción, al colocar ambos términos en el numerador sobre el denominador común. Este problema ilustra que hay varias formas de verificar una identidad. Un poco de creatividad a veces simplifica un procedimiento. Siempre que las sustituciones sean correctas, la respuesta será la misma.

Inténtelo #2

Demuestre que $\frac{\cot θ}{\csc θ} = \cos θ .$

Ejemplo 5

Crear y verificar una identidad

Cree una identidad para la expresión $2 \tan θ \sec θ$ al reescribir estrictamente en términos de seno.

Solución

Hay varias formas de empezar, pero aquí utilizaremos las identidades de cociente y recíproca para reescribir la expresión:

\begin{array}{l} 2 \tan θ \sec θ = 2 (\frac{sen θ}{\cos θ}) (\frac{1}{\cos θ}) \\ = \frac{2 sen θ}{\cos^{2} θ} \\ = \frac{2 sen θ}{1 - {sen}^{2} θ} & Sustituya 1 - {sen}^{2} θ para \cos^{2} θ \end{array}

Por lo tanto,

2 \tan θ \sec θ = \frac{2 sen θ}{1 - {sen}^{2} θ}

Ejemplo 6

Verificar una identidad mediante el álgebra y las identidades pares-impares

Verifique la identidad:

\frac{{sen}^{2} (- θ) - \cos^{2} (- θ)}{sen (- θ) - \cos (- θ)} = \cos θ - sen θ

Solución

Empecemos por el lado izquierdo y simplifiquemos:

\begin{array}{l} \frac{{sen}^{2} (- θ) - \cos^{2} (- θ)}{sen (- θ) - \cos (- θ)} = \frac{{[sen (- θ)]}^{2} - {[\cos (- θ)]}^{2}}{sen (- θ) - \cos (- θ)} \\ = \frac{{(- sen θ)}^{2} - {(\cos θ)}^{2}}{- sen θ - \cos θ} & sen (- x) = - sen x y \cos (- x) = \cos x \\ = \frac{{(sen θ)}^{2} - {(\cos θ)}^{2}}{- sen θ - \cos θ} & Diferencia de cuadrados \\ = \frac{(sen θ - \cos θ) (sen θ + \cos θ)}{- (sen θ + \cos θ)} \\ = \frac{(sen θ - \cos θ) (sen θ + \cos θ)}{- (sen θ + \cos θ)} \\ = \cos θ - sen θ \end{array}

Inténtelo #3

Verifique la identidad $\frac{{sen}^{2} θ - 1}{\tan θ sen θ - \tan θ} = \frac{sen θ + 1}{\tan θ} .$

Ejemplo 7

Verificar una identidad con coseno y cotangente

Verifique la identidad: $(1 - \cos^{2} x) (1 + \cot^{2} x) = 1.$

Solución

Trabajaremos en el lado izquierdo de la ecuación.

\begin{array}{l} (1 - \cos^{2} x) (1 + \cot^{2} x) = (1 - \cos^{2} x) (1 + \frac{\cos^{2} x}{{sen}^{2} x}) \\ = (1 - \cos^{2} x) (\frac{{sen}^{2} x}{{sen}^{2} x} + \frac{\cos^{2} x}{{sen}^{2} x}) & Halle el denominador común . \\ = (1 - \cos^{2} x) (\frac{{sen}^{2} x + \cos^{2} x}{{sen}^{2} x}) \\ = ({sen}^{2} x) (\frac{1}{{sen}^{2} x}) \\ = 1 \end{array}

Usar el álgebra para simplificar expresiones trigonométricas

Hemos visto que el álgebra es muy importante para verificar las identidades trigonométricas, pero es igual de crítica para simplificar las expresiones trigonométricas antes de resolverlas. Estar familiarizado con las propiedades y fórmulas básicas del álgebra, como la fórmula de la diferencia de cuadrados, la fórmula del cuadrado perfecto o la sustitución, simplificará el trabajo con las expresiones y ecuaciones trigonométricas.

Por ejemplo, la ecuación $(sen x + 1) (sen x - 1) = 0$ se parece a la ecuación $(x + 1) (x - 1) = 0,$ que utiliza la forma factorizada de la diferencia de cuadrados. El uso del álgebra hace que hallar una solución sea algo sencillo y familiar. Podemos llevar cada factor igual a cero y resolver. Este es un ejemplo de reconocimiento de patrones algebraicos en expresiones o ecuaciones trigonométricas.

Otro ejemplo es la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b),$ que se utiliza ampliamente en muchas áreas distintas de las matemáticas, como la ingeniería, la arquitectura y la física. También podemos crear nuestras propias identidades al ampliar continuamente una expresión y realizar las sustituciones adecuadas. El uso de propiedades y fórmulas algebraicas facilita la comprensión y resolución de muchas ecuaciones trigonométricas.

Ejemplo 8

Escribir la expresión trigonométrica como expresión algebraica

Escriba la siguiente expresión trigonométrica como expresión algebraica $2 \cos^{2} θ + \cos θ - 1.$

Solución

Observe que el patrón mostrado tiene la misma forma que la típica expresión cuadrática, $a x^{2} + b x + c .$ Supongamos que $\cos θ = x,$ podemos reescribir la expresión como sigue:

2 x^{2} + x - 1

Esta expresión se puede factorizar como $(2 x - 1) (x + 1) .$ Si se llevara igual a cero y quisiéramos resolver la ecuación, utilizaríamos la propiedad del factor cero y resolveríamos cada factor para $x .$ En este punto, sustituimos $x$ con la $\cos θ$ y resuelva para $θ .$

Ejemplo 9

Reescribir una expresión trigonométrica mediante la diferencia de cuadrados

Reescriba la expresión trigonométrica $4 \cos^{2} θ - 1.$

Solución

Observe que tanto el coeficiente como la expresión trigonométrica del primer término están elevados al cuadrado, y el cuadrado del número 1 es 1. Esta es la diferencia de cuadrados. Por lo tanto,

\begin{array}{l} 4 \cos^{2} θ - 1 = {(2 \cos θ)}^{2} - 1 \\ = (2 \cos θ - 1) (2 \cos θ + 1) \end{array}

Análisis

Si esta expresión se escribiera en forma de ecuación igual a cero, podríamos resolver cada factor con la propiedad del factor cero. También podríamos utilizar la sustitución como hicimos en el problema anterior. Así, supongamos que $\cos θ = x,$ reescribimos la expresión como $4 x^{2} - 1,$ y factorizamos $(2 x - 1) (2 x + 1) .$ Entonces sustituimos $x$ con la $\cos θ$ y resolvemos el ángulo.

Inténtelo #4

Reescriba la expresión trigonométrica $25 - 9 {sen}^{2} θ .$

Ejemplo 10

Simplificar mediante la reescritura y la sustitución

Simplifique la expresión al reescribir y utilizar las identidades:

\csc^{2} θ - \cot^{2} θ

Solución

Podemos empezar con la identidad pitagórica.

1 + \cot^{2} θ = \csc^{2} θ

Ahora podemos simplificar al sustituir $1 + \cot^{2} θ$ por $\csc^{2} θ .$ Tenemos

\begin{array}{l} \csc^{2} θ - \cot^{2} θ = 1 + \cot^{2} θ - \cot^{2} θ \\ = 1 \end{array}

Inténtelo #5

Utilice técnicas algebraicas para verificar la identidad: $\frac{\cos θ}{1 + sen θ} = \frac{1 - sen θ}{\cos θ} .$

(Pista: Multiplique el numerador y el denominador en el lado izquierdo por $1 - sen θ .)$

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las identidades trigonométricas fundamentales.

7.1 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Sabemos que $g (x) = \cos x$ es una función par, y $f (x) = sen x$ y $h (x) = \tan x$ son funciones impares. ¿Qué pasa con $G (x) = \cos^{2} x, F (x) = {sen}^{2} x,$ y $H (x) = \tan^{2} x ?$ ¿Son pares, impares o ninguna de las dos? ¿Por qué?

2.

Examine el gráfico de $f (x) = \sec x$ en el intervalo $[- π, π] .$ ¿Cómo podemos saber si la función es par o impar a partir únicamente del gráfico de $f (x) = \sec x ?$

3.

Luego de examinar la identidad recíproca para $\sec t,$ explique por qué la función es indefinida en ciertos puntos.

4.

Todas las identidades pitagóricas están relacionadas. Describa cómo manipular las ecuaciones para pasar de ${sen}^{2} t + \cos^{2} t = 1$ a las demás formas.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice las identidades fundamentales para simplificar completamente la expresión.

5.

$sen x \cos x \sec x$

6.

$sen (- x) \cos (- x) \csc (- x)$

7.

$\tan x sen x + \sec x \cos^{2} x$

8.

$\csc x + \cos x \cot (- x)$

9.

$\frac{\cot t + \tan t}{\sec (- t)}$

10.

$3 {sen}^{3} t \csc t + \cos^{2} t + 2 \cos (- t) \cos t$

11.

$- \tan (- x) \cot (- x)$

12.

$\frac{- sen (- x) \cos x \sec x \csc x \tan x}{\cot x}$

13.

$\frac{1 + \tan^{2} θ}{\csc^{2} θ} + {sen}^{2} θ + \frac{1}{\sec^{2} θ}$

14.

$(\frac{\tan x}{\csc^{2} x} + \frac{\tan x}{\sec^{2} x}) (\frac{1 + \tan x}{1 + \cot x}) - \frac{1}{\cos^{2} x}$

15.

$\frac{1 - \cos^{2} x}{\tan^{2} x} + 2 {sen}^{2} x$

En los siguientes ejercicios, simplifique la primera expresión trigonométrica al escribir la forma simplificada en términos de la segunda expresión.

16.

$\frac{\tan x + \cot x}{\csc x}; \cos x$

17.

$\frac{\sec x + \csc x}{1 + \tan x}; sen x$

18.

$\frac{\cos x}{1 + sen x} + \tan x; \cos x$

19.

$\frac{1}{sen x \cos x} - \cot x; \cot x$

20.

$\frac{1}{1 - \cos x} - \frac{\cos x}{1 + \cos x}; \csc x$

21.

$(\sec x + \csc x) (sen x + \cos x) - 2 - \cot x; \tan x$

22.

$\frac{1}{\csc x - sen x}; \sec x y \tan x$

23.

$\frac{1 - sen x}{1 + sen x} - \frac{1 + sen x}{1 - sen x}; \sec x y \tan x$

24.

$\tan x; \sec x$

25.

$\sec x; \cot x$

26.

$\sec x; sen x$

27.

$\cot x; sen x$

28.

$\cot x; \csc x$

En los siguientes ejercicios, verifique la identidad.

29.

$\cos x - \cos^{3} x = \cos x {sen}^{2} x$

30.

$\cos x (\tan x - \sec (- x)) = sen x - 1$

31.

$\frac{1 + {sen}^{2} x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{\cos^{2} x} + \frac{{sen}^{2} x}{\cos^{2} x} = 1 + 2 \tan^{2} x$

32.

${(sen x + \cos x)}^{2} = 1 + 2 sen x \cos x$

33.

$\cos^{2} x - \tan^{2} x = 2 - {sen}^{2} x - \sec^{2} x$

Extensiones

En los siguientes ejercicios, demuestre o refute la identidad.

34.

$\frac{1}{1 + \cos x} - \frac{1}{1 - \cos (- x)} = - 2 \cot x \csc x$

35.

$\csc^{2} x (1 + {sen}^{2} x) = \cot^{2} x$

36.

$(\frac{\sec^{2} (- x) - \tan^{2} x}{\tan x}) (\frac{2 + 2 \tan x}{2 + 2 \cot x}) - 2 {sen}^{2} x = \cos 2 x$

37.

$\frac{\tan x}{\sec x} sen (- x) = \cos^{2} x$

38.

$\frac{\sec (- x)}{\tan x + \cot x} = - sen (- x)$

39.

$\frac{1 + sen x}{\cos x} = \frac{\cos x}{1 + sen (- x)}$

En los siguientes ejercicios, determine si la identidad es verdadera o falsa. Si es falso, halle una expresión equivalente apropiada.

40.

$\frac{\cos^{2} θ - {sen}^{2} θ}{1 - \tan^{2} θ} = {sen}^{2} θ$

41.

$3 {sen}^{2} θ + 4 \cos^{2} θ = 3 + \cos^{2} θ$

42.

$\frac{\sec θ + \tan θ}{\cot θ + \cos θ} = \sec^{2} θ$

7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades

Verificar las identidades trigonométricas fundamentales

Graficar las ecuaciones de una identidad

Solución

Análisis

Verificar una identidad trigonométrica

Solución

Análisis

Verificar la equivalencia mediante las identidades pares-impares

Solución

Verificar una identidad trigonométrica que implique sec2θ

Solución

Análisis

Crear y verificar una identidad

Solución

Verificar una identidad mediante el álgebra y las identidades pares-impares

Solución

Verificar una identidad con coseno y cotangente

Solución

Usar el álgebra para simplificar expresiones trigonométricas

Escribir la expresión trigonométrica como expresión algebraica

Solución

Reescribir una expresión trigonométrica mediante la diferencia de cuadrados

Solución

Análisis

Simplificar mediante la reescritura y la sustitución

Solución

7.1 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Extensiones

Verificar una identidad trigonométrica que implique sec²θ