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Precálculo 2ed

7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades

Precálculo 2ed7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Verificar las identidades trigonométricas fundamentales.
  • Simplificar expresiones trigonométricas con el álgebra y las identidades.
Foto de pasaportes internacionales.
Figura 1 Pasaportes y documentos de viaje internacionales

En las películas de espionaje, vemos a espías internacionales con varios pasaportes, cada uno de los cuales declara una identidad diferente. Sin embargo, sabemos que cada uno de esos pasaportes representa a la misma persona. Las identidades trigonométricas actúan de forma similar a los pasaportes múltiples: hay muchas formas de representar la misma expresión trigonométrica. Al igual que un espía elige un pasaporte italiano cuando viaja a Italia, nosotros elegimos la identidad que se aplica al escenario dado cuando resolvemos una ecuación trigonométrica.

En esta sección, comenzaremos un examen de las identidades trigonométricas fundamentales, incluso cómo podemos verificarlas y utilizarlas para simplificar expresiones trigonométricas.

Verificar las identidades trigonométricas fundamentales

Las identidades nos permiten simplificar expresiones complicadas. Son las herramientas básicas de la trigonometría que se utilizan para resolver ecuaciones trigonométricas, al igual que la factorización, la búsqueda de denominadores comunes y el uso de fórmulas especiales son las herramientas básicas para resolver ecuaciones algebraicas. De hecho, utilizamos constantemente técnicas algebraicas para simplificar las expresiones trigonométricas. Las propiedades y fórmulas básicas del álgebra, como la fórmula de la diferencia de cuadrados y la fórmula de los cuadrados perfectos, simplificarán el trabajo con las expresiones y ecuaciones trigonométricas. Ya sabemos que todas las funciones trigonométricas están relacionadas porque todas están definidas en términos del círculo unitario. En consecuencia, cualquier identidad trigonométrica se escribe de muchas maneras.

Para verificar las identidades trigonométricas, solemos empezar con el lado más complicado de la ecuación y esencialmente reescribimos la expresión hasta que se haya transformado en la misma expresión que el otro lado de la ecuación. A veces tenemos que factorizar expresiones, expandir expresiones, hallar denominadores comunes o utilizar otras estrategias algebraicas para obtener el resultado deseado. En esta primera sección, trabajaremos con las identidades fundamentales: las identidades pitagóricas, las identidades pares, las identidades recíprocas y las identidades de cociente.

Comenzaremos con las identidades pitagóricas (vea la Tabla 1), que son ecuaciones que implican funciones trigonométricas basadas en las propiedades de un triángulo rectángulo. Ya hemos visto y utilizado la primera de estas identificaciones. Esta vez también utilizaremos otras identidades.

Identidades de Pitágoras
sen 2 θ+ cos 2 θ=1 sen 2 θ+ cos 2 θ=1 1+ cot 2 θ= csc 2 θ 1+ cot 2 θ= csc 2 θ 1+ tan 2 θ= sec 2 θ 1+ tan 2 θ= sec 2 θ
Tabla 1

La segunda y tercera identidades se obtienen al manipular la primera. La identidad 1+ cot 2 θ= csc 2 θ 1+ cot 2 θ= csc 2 θ se halla al reescribir el lado izquierdo de la ecuación en términos de seno y coseno.

Compruebe: 1+ cot 2 θ= csc 2 θ 1+ cot 2 θ= csc 2 θ

1+ cot 2 θ=( 1+ cos 2 θ sen 2 θ ) Reescriba el lado izquierdo. =( sen 2 θ sen 2 θ )+( cos 2 θ sen 2 θ ) Escriba ambos términos con el denominador común. = sen 2 θ+ cos 2 θ sen 2 θ = 1 sen 2 θ = csc 2 θ 1+ cot 2 θ=( 1+ cos 2 θ sen 2 θ ) Reescriba el lado izquierdo. =( sen 2 θ sen 2 θ )+( cos 2 θ sen 2 θ ) Escriba ambos términos con el denominador común. = sen 2 θ+ cos 2 θ sen 2 θ = 1 sen 2 θ = csc 2 θ

De la misma manera, 1+ tan 2 θ= sec 2 θ 1+ tan 2 θ= sec 2 θ se obtiene al reescribir el lado izquierdo de esta identidad en términos de seno y coseno. Esto da

1+ tan 2 θ=1+ ( senθ cosθ ) 2 Reescriba el lado izquierdo. = ( cosθ cosθ ) 2 + ( senθ cosθ ) 2 Escriba ambos términos con el denominador común. = cos 2 θ+ sen 2 θ cos 2 θ = 1 cos 2 θ = sec 2 θ 1+ tan 2 θ=1+ ( senθ cosθ ) 2 Reescriba el lado izquierdo. = ( cosθ cosθ ) 2 + ( senθ cosθ ) 2 Escriba ambos términos con el denominador común. = cos 2 θ+ sen 2 θ cos 2 θ = 1 cos 2 θ = sec 2 θ

El siguiente conjunto de identidades fundamentales es el conjunto de identidades pares-impares. Las identidades pares-impares relacionan el valor de una función trigonométrica en un ángulo dado con el valor de la función en el ángulo opuesto y determinan si la identidad es par o impar. (Vea la Tabla 2).

Identidades par-impar
tan(-θ)=-tanθ cot(-θ)=-cotθ tan(-θ)=-tanθ cot(-θ)=-cotθ sen(-θ)=-senθ csc(-θ)=-cscθ sen(-θ)=-senθ csc(-θ)=-cscθ cos(-θ)=cosθ sec(-θ)=secθ cos(-θ)=cosθ sec(-θ)=secθ
Tabla 2

Recordemos que la función impar es aquella en la que f(− x )= −f( x ) f(− x )= −f( x ) para todo x x en el dominio de f. f. La función seno es una función impar porque sen( -θ )=-senθ. sen( -θ )=-senθ. El gráfico de una función impar es simétrico respecto al origen. Por ejemplo, consideremos las entradas correspondientes de π 2 π 2 y π 2 . π 2 . La salida de sen( π 2 ) sen( π 2 ) es opuesta a la salida de sen( - π 2 ). sen( - π 2 ). Así,

sen( π 2 )=1 y sen( - π 2 )=-sen( π 2 ) =-1 sen( π 2 )=1 y sen( - π 2 )=-sen( π 2 ) =-1

Esto se muestra en la Figura 2.

Gráfico de y=sen(theta) de -2pi a 2pi, que indica en particular que es simétrica respecto al origen. Los puntos dados son (pi/2, 1) y (-pi/2, -1).
Figura 2 Gráfico de y=senθ y=senθ

Recordemos que la función par es aquella en la que

f( -x )=f( x ) para todos x en el ámbito de f f( -x )=f( x ) para todos x en el ámbito de f

El gráfico de la función par es simétrico con respecto al eje y. La función coseno es una función par porque cos(-θ)=cosθ. cos(-θ)=cosθ. Por ejemplo, considere las entradas correspondientes π 4 π 4 y π 4 . π 4 . La salida de cos( π 4 ) cos( π 4 ) es la misma que la salida de cos( - π 4 ). cos( - π 4 ). Por lo tanto,

cos( - π 4 )=cos( π 4 )               0,707 cos( - π 4 )=cos( π 4 )               0,707

Vea la Figura 3.

Gráfico de y=cos(theta) de -2pi a 2pi, que indica en particular que es simétrica respecto al eje y. Los puntos dados son (-pi/4, 0,707) y (pi/4, 0,707).
Figura 3 Gráfico de y=cosθ y=cosθ

Para todos θ θ en el dominio de las funciones seno y coseno, respectivamente, podemos afirmar lo siguiente:

  • Dado que sen(−θ )=-senθ, sen(−θ )=-senθ, seno es una función impar.
  • Dado que, cos(− θ )=cosθ, cos(− θ )=cosθ, coseno es una función par.

Las otras identidades pares-impares se derivan de la naturaleza par e impar de las funciones seno y coseno. Por ejemplo, consideremos la identidad tangente, tan(− θ )=-tanθ. tan(− θ )=-tanθ. Podemos interpretar la tangente de un ángulo negativo como tan(− θ )= sen( -θ ) cos(− θ ) = -senθ cosθ =-tanθ. tan(− θ )= sen( -θ ) cos(− θ ) = -senθ cosθ =-tanθ. La tangente es, por tanto, una función impar, lo que significa que tan( -θ )=-tan( θ ) tan( -θ )=-tan( θ ) para todos los θ θ en el dominio de la función tangente.

La identidad cotangente, cot( -θ )=-cotθ, cot( -θ )=-cotθ, también se deduce de las identidades del seno y del coseno. Podemos interpretar la cotangente de un ángulo negativo como cot( -θ )= cos( -θ ) sen( -θ ) = cosθ -senθ =-cotθ. cot( -θ )= cos( -θ ) sen( -θ ) = cosθ -senθ =-cotθ. La cotangente es, por tanto, una función impar, lo que significa que cot( -θ )=-cot( θ ) cot( -θ )=-cot( θ ) para todos los θ θ en el dominio de la función cotangente.

La función cosecante es la recíproca de la función seno, lo que significa que la cosecante de un ángulo negativo se interpretará como csc( -θ )= 1 sen( -θ ) = 1 -senθ =-cscθ. csc( -θ )= 1 sen( -θ ) = 1 -senθ =-cscθ. La función cosecante es, por tanto, impar.

Por último, la función secante es la recíproca de la función coseno, y la secante de un ángulo negativo se interpreta como sec( -θ )= 1 cos( -θ ) = 1 cosθ =secθ. sec( -θ )= 1 cos( -θ ) = 1 cosθ =secθ. La función secante es, por tanto, par.

En resumen, solo dos de las funciones trigonométricas, el coseno y la secante, son pares. Las otras cuatro funciones son impares, que verifican las identidades pares-impares.

El siguiente conjunto de identidades fundamentales es el de identidades recíprocas, que, como su nombre lo indica, relacionan funciones trigonométricas que son recíprocas entre sí. Vea la Tabla 3.

Identidades recíprocas
senθ= 1 cscθ senθ= 1 cscθ cscθ= 1 senθ cscθ= 1 senθ
cosθ= 1 secθ cosθ= 1 secθ secθ= 1 cosθ secθ= 1 cosθ
tanθ= 1 cotθ tanθ= 1 cotθ cotθ= 1 tanθ cotθ= 1 tanθ
Tabla 3

El último conjunto de identidades es el de identidades de cociente, que definen relaciones entre ciertas funciones trigonométricas y sirven para verificar otras identidades. Vea la Tabla 4.

Identidades del cociente
tanθ= senθ cosθ tanθ= senθ cosθ cotθ= cosθ senθ cotθ= cosθ senθ
Tabla 4

Las identidades recíproca y de cociente se derivan de las definiciones de las funciones trigonométricas básicas.

Resumir las identidades trigonométricas

Las identidades pitagóricas se basan en las propiedades de un triángulo rectángulo.

cos 2 θ+ sen 2 θ=1 cos 2 θ+ sen 2 θ=1
1+ cot 2 θ= csc 2 θ 1+ cot 2 θ= csc 2 θ
1+ tan 2 θ= sec 2 θ 1+ tan 2 θ= sec 2 θ

Las identidades pares-impares relacionan el valor de una función trigonométrica en un ángulo determinado con el valor de la función en el ángulo opuesto.

tan( -θ )=-tanθ tan( -θ )=-tanθ
cot( -θ )=-cotθ cot( -θ )=-cotθ
sen( -θ )=-senθ sen( -θ )=-senθ
csc( -θ )=-cscθ csc( -θ )=-cscθ
cos( -θ )=cosθ cos( -θ )=cosθ
sec( -θ )=secθ sec( -θ )=secθ

Las identidades recíprocas definen las recíprocas de las funciones trigonométricas.

senθ= 1 cscθ senθ= 1 cscθ
cosθ= 1 secθ cosθ= 1 secθ
tanθ= 1 cotθ tanθ= 1 cotθ
cscθ= 1 senθ cscθ= 1 senθ
secθ= 1 cosθ secθ= 1 cosθ
cotθ= 1 tanθ cotθ= 1 tanθ

Las identidades de cociente definen la relación entre las funciones trigonométricas.

tanθ= senθ cosθ tanθ= senθ cosθ
cotθ= cosθ senθ cotθ= cosθ senθ

Ejemplo 1

Graficar las ecuaciones de una identidad

Grafique ambos lados de la identidad cotθ= 1 tanθ . cotθ= 1 tanθ . En otras palabras, en la calculadora gráfica, grafique y=cotθ y=cotθ y y= 1 tanθ . y= 1 tanθ .

Análisis

Solo vemos un gráfico porque ambas expresiones generan la misma imagen. Una está encima de la otra. Esta es una buena manera de confirmar una identidad verificada con medios analíticos. Si ambas expresiones dan el mismo gráfico, lo más probable es que sean identidades.

Cómo

Dada una identidad trigonométrica, verificar que es verdadera.

  1. Trabaje en un lado de la ecuación. Es mejor empezar por el lado más complejo, ya que es más fácil simplificar que construir.
  2. Busque la manera de factorizar expresiones, elevar al cuadrado un binomio o sumar fracciones.
  3. Al observar qué funciones hay en la expresión final, busque la manera de utilizar las identidades y hacer las sustituciones adecuadas.
  4. Si estos pasos no dan el resultado deseado, intente convertir todos los términos en senos y cosenos.

Ejemplo 2

Verificar una identidad trigonométrica

Verifique tanθcosθ=senθ. tanθcosθ=senθ.

Análisis

Esta identidad era bastante sencilla de verificar, ya que solo había que escribir tanθ tanθ en términos de senθ senθ y cosθ. cosθ.

Inténtelo #1

Verifique la identidad cscθcosθtanθ=1. cscθcosθtanθ=1.

Ejemplo 3

Verificar la equivalencia mediante las identidades pares-impares

Verifique la siguiente equivalencia mediante las identidades pares-impares:

( 1+senx )[ 1+sen( -x ) ]= cos 2 x ( 1+senx )[ 1+sen( -x ) ]= cos 2 x

Ejemplo 4

Verificar una identidad trigonométrica que implique sec2θ

Verifique la identidad sec 2 θ-1 sec 2 θ = sen 2 θ sec 2 θ-1 sec 2 θ = sen 2 θ

Análisis

En el primer método, utilizamos la identidad sec 2 θ= tan 2 θ+1 sec 2 θ= tan 2 θ+1 y continuamos simplificando. En el segundo método, dividimos la fracción, al colocar ambos términos en el numerador sobre el denominador común. Este problema ilustra que hay varias formas de verificar una identidad. Un poco de creatividad a veces simplifica un procedimiento. Siempre que las sustituciones sean correctas, la respuesta será la misma.

Inténtelo #2

Demuestre que cotθ cscθ =cosθ. cotθ cscθ =cosθ.

Ejemplo 5

Crear y verificar una identidad

Cree una identidad para la expresión 2tanθsecθ 2tanθsecθ al reescribir estrictamente en términos de seno.

Ejemplo 6

Verificar una identidad mediante el álgebra y las identidades pares-impares

Verifique la identidad:

sen 2 ( -θ )- cos 2 ( -θ ) sen( -θ )-cos( -θ ) =cosθ-senθ sen 2 ( -θ )- cos 2 ( -θ ) sen( -θ )-cos( -θ ) =cosθ-senθ

Inténtelo #3

Verifique la identidad sen 2 θ-1 tanθsenθtanθ = senθ+1 tanθ . sen 2 θ-1 tanθsenθtanθ = senθ+1 tanθ .

Ejemplo 7

Verificar una identidad con coseno y cotangente

Verifique la identidad: ( 1- cos 2 x )( 1+ cot 2 x )=1. ( 1- cos 2 x )( 1+ cot 2 x )=1.

Usar el álgebra para simplificar expresiones trigonométricas

Hemos visto que el álgebra es muy importante para verificar las identidades trigonométricas, pero es igual de crítica para simplificar las expresiones trigonométricas antes de resolverlas. Estar familiarizado con las propiedades y fórmulas básicas del álgebra, como la fórmula de la diferencia de cuadrados, la fórmula del cuadrado perfecto o la sustitución, simplificará el trabajo con las expresiones y ecuaciones trigonométricas.

Por ejemplo, la ecuación ( senx+1 )( senx1 )=0 ( senx+1 )( senx1 )=0 se parece a la ecuación ( x+1 )( x1 )=0, ( x+1 )( x1 )=0, que utiliza la forma factorizada de la diferencia de cuadrados. El uso del álgebra hace que hallar una solución sea algo sencillo y familiar. Podemos llevar cada factor igual a cero y resolver. Este es un ejemplo de reconocimiento de patrones algebraicos en expresiones o ecuaciones trigonométricas.

Otro ejemplo es la fórmula de la diferencia de cuadrados, a 2 - b 2 =( a-b )( a+b ), a 2 - b 2 =( a-b )( a+b ), que se utiliza ampliamente en muchas áreas distintas de las matemáticas, como la ingeniería, la arquitectura y la física. También podemos crear nuestras propias identidades al ampliar continuamente una expresión y realizar las sustituciones adecuadas. El uso de propiedades y fórmulas algebraicas facilita la comprensión y resolución de muchas ecuaciones trigonométricas.

Ejemplo 8

Escribir la expresión trigonométrica como expresión algebraica

Escriba la siguiente expresión trigonométrica como expresión algebraica 2 cos 2 θ+cosθ1. 2 cos 2 θ+cosθ1.

Ejemplo 9

Reescribir una expresión trigonométrica mediante la diferencia de cuadrados

Reescriba la expresión trigonométrica 4 cos 2 θ1. 4 cos 2 θ1.

Análisis

Si esta expresión se escribiera en forma de ecuación igual a cero, podríamos resolver cada factor con la propiedad del factor cero. También podríamos utilizar la sustitución como hicimos en el problema anterior. Así, supongamos que cosθ=x, cosθ=x, reescribimos la expresión como 4 x 2 1, 4 x 2 1, y factorizamos ( 2 x1 )( 2 x+1 ). ( 2 x1 )( 2 x+1 ). Entonces sustituimos x x con la cosθ cosθ y resolvemos el ángulo.

Inténtelo #4

Reescriba la expresión trigonométrica 259 sen 2 θ. 259 sen 2 θ.

Ejemplo 10

Simplificar mediante la reescritura y la sustitución

Simplifique la expresión al reescribir y utilizar las identidades:

csc 2 θ- cot 2 θ csc 2 θ- cot 2 θ

Inténtelo #5

Utilice técnicas algebraicas para verificar la identidad: cosθ 1+senθ = 1-senθ cosθ . cosθ 1+senθ = 1-senθ cosθ .

(Pista: Multiplique el numerador y el denominador en el lado izquierdo por 1-senθ.) 1-senθ.)

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las identidades trigonométricas fundamentales.

7.1 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Sabemos que g(x)=cosx g(x)=cosx es una función par, y f(x)=senx f(x)=senx y h(x)=tanx h(x)=tanx son funciones impares. ¿Qué pasa con G(x)= cos 2 x,F(x)= sen 2 x, G(x)= cos 2 x,F(x)= sen 2 x, y H(x)= tan 2 x? H(x)= tan 2 x? ¿Son pares, impares o ninguna de las dos? ¿Por qué?

2.

Examine el gráfico de f(x)=secx f(x)=secx en el intervalo [-π,π]. [-π,π]. ¿Cómo podemos saber si la función es par o impar a partir únicamente del gráfico de f(x)=secx? f(x)=secx?

3.

Luego de examinar la identidad recíproca para sect, sect, explique por qué la función es indefinida en ciertos puntos.

4.

Todas las identidades pitagóricas están relacionadas. Describa cómo manipular las ecuaciones para pasar de sen 2 t+ cos 2 t=1 sen 2 t+ cos 2 t=1 a las demás formas.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice las identidades fundamentales para simplificar completamente la expresión.

5.

senxcosxsecx senxcosxsecx

6.

sen(-x)cos(-x)csc(-x) sen(-x)cos(-x)csc(-x)

7.

tanxsenx+secx cos 2 x tanxsenx+secx cos 2 x

8.

cscx+cosxcot(-x) cscx+cosxcot(-x)

9.

cott+tant sec(t) cott+tant sec(t)

10.

3 sen 3 tcsct+ cos 2 t+2cos(t)cost 3 sen 3 tcsct+ cos 2 t+2cos(t)cost

11.

tan(-x)cot(-x) tan(-x)cot(-x)

12.

-sen(-x)cosxsecxcscxtanx cotx -sen(-x)cosxsecxcscxtanx cotx

13.

1+ tan 2 θ csc 2 θ + sen 2 θ+ 1 sec 2 θ 1+ tan 2 θ csc 2 θ + sen 2 θ+ 1 sec 2 θ

14.

( tanx csc 2 x + tanx sec 2 x )( 1+tanx 1+cotx )- 1 cos 2 x ( tanx csc 2 x + tanx sec 2 x )( 1+tanx 1+cotx )- 1 cos 2 x

15.

1- cos 2 x tan 2 x +2 sen 2 x 1- cos 2 x tan 2 x +2 sen 2 x

En los siguientes ejercicios, simplifique la primera expresión trigonométrica al escribir la forma simplificada en términos de la segunda expresión.

16.

tanx+cotx cscx ;cosx tanx+cotx cscx ;cosx

17.

secx+cscx 1+tanx ;senx secx+cscx 1+tanx ;senx

18.

cosx 1+senx +tanx;cosx cosx 1+senx +tanx;cosx

19.

1 senxcosx cotx;cotx 1 senxcosx cotx;cotx

20.

1 1-cosx - cosx 1+cosx ;cscx 1 1-cosx - cosx 1+cosx ;cscx

21.

( secx+cscx )( senx+cosx )-2 cotx;tanx ( secx+cscx )( senx+cosx )-2 cotx;tanx

22.

1 cscx-senx ;secx y tanx 1 cscx-senx ;secx y tanx

23.

1-senx 1+senx 1+senx 1-senx ;secx y tanx 1-senx 1+senx 1+senx 1-senx ;secx y tanx

24.

tanx;secx tanx;secx

25.

secx;cotx secx;cotx

26.

secx;senx secx;senx

27.

cotx;senx cotx;senx

28.

cotx;cscx cotx;cscx

En los siguientes ejercicios, verifique la identidad.

29.

cosx- cos 3 x=cosx sen 2 x cosx- cos 3 x=cosx sen 2 x

30.

cosx( tanxsec( -x ) )=senx1 cosx( tanxsec( -x ) )=senx1

31.

1+ sen 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x + sen 2 x cos 2 x =1+2 tan 2 x 1+ sen 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x + sen 2 x cos 2 x =1+2 tan 2 x

32.

( senx+cosx ) 2 =1+2senxcosx ( senx+cosx ) 2 =1+2senxcosx

33.

cos 2 x- tan 2 x=2 - sen 2 x sec 2 x cos 2 x- tan 2 x=2 - sen 2 x sec 2 x

Extensiones

En los siguientes ejercicios, demuestre o refute la identidad.

34.

1 1+cosx 1 1-cos(-x) =-2cotxcscx 1 1+cosx 1 1-cos(-x) =-2cotxcscx

35.

csc 2 x( 1+ sen 2 x )= cot 2 x csc 2 x( 1+ sen 2 x )= cot 2 x

36.

( sec 2 (-x)- tan 2 x tanx )( 2 +2tanx 2 +2cotx )-2 sen 2 x=cos2x ( sec 2 (-x)- tan 2 x tanx )( 2 +2tanx 2 +2cotx )-2 sen 2 x=cos2x

37.

tanx secx sen( -x )= cos 2 x tanx secx sen( -x )= cos 2 x

38.

sec( -x ) tanx+cotx =-sen( -x ) sec( -x ) tanx+cotx =-sen( -x )

39.

1+senx cosx = cosx 1+sen( -x ) 1+senx cosx = cosx 1+sen( -x )

En los siguientes ejercicios, determine si la identidad es verdadera o falsa. Si es falso, halle una expresión equivalente apropiada.

40.

cos 2 θ- sen 2 θ 1- tan 2 θ = sen 2 θ cos 2 θ- sen 2 θ 1- tan 2 θ = sen 2 θ

41.

3 sen 2 θ+4 cos 2 θ=3+ cos 2 θ 3 sen 2 θ+4 cos 2 θ=3+ cos 2 θ

42.

secθ+tanθ cotθ+cosθ = sec 2 θ secθ+tanθ cotθ+cosθ = sec 2 θ

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