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Precálculo 2ed

Capítulo 8

Precálculo 2edCapítulo 8

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Inténtelo

8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos

1.

α= 98 a=34,6 β= 39 b=22 γ= 43 c=23,8 α= 98 a=34,6 β= 39 b=22 γ= 43 c=23,8

2.

Solución 1

α=80° a=120 β83,2° b=121 γ16,8° c35,2 α=80° a=120 β83,2° b=121 γ16,8° c35,2

Solución 2

α =80° a =120 β 96,8° b =121 γ 3,2° c 6,8 α =80° a =120 β 96,8° b =121 γ 3,2° c 6,8
3.

β5,7°,γ94,3°,c101,3 β5,7°,γ94,3°,c101,3

4.

dos

5.

alrededor de 8,2 8,2 pies cuadrados

6.

161,9 yardas.

8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos

1.

a14,9, a14,9, β23,8°,β23,8°, γ126,2°. γ126,2°.

2.

α27,7°, α27,7°, β40,5°,β40,5°, γ111,8° γ111,8°

3.

Área = 552 pies cuadrados

4.

unos 8,15 pies cuadrados

8.3 Coordenadas polares

1.
Cuadrícula polar con el punto (2, pi/3) trazado.
2.
Los puntos (2, 9pi/4) y (3, -pi/6) se representan en la cuadrícula polar.
3.

( x,y )=( 1 2 ,- 3 2 ) ( x,y )=( 1 2 ,- 3 2 )

4.

r= 3 r= 3

5.

x 2 + y 2 =2 y x 2 + y 2 =2 y o, en la forma estándar para un círculo, x 2 + ( y-1 ) 2 =1 x 2 + ( y-1 ) 2 =1

8.4 Coordenadas polares: gráficos

1.

La ecuación no supera la prueba de simetría con respecto a la línea θ= π 2 θ= π 2 y con respecto al polo. Pasa la prueba de simetría del eje polar.

2.

Las pruebas revelarán la simetría alrededor del eje polar. El cero es ( 0, π 2 ), ( 0, π 2 ), y el valor máximo es (3,0). (3,0).

3.
Gráfico del caracol de Pascal r = 3 – 2 cos(theta). Extendiéndose hacia la izquierda.
4.

El gráfico es una curva rosa polar, n n par

Gráfico de curva rosa polar r = 4 sen(2 theta). Par – cuatro pétalos igualmente espaciados, cada uno de ellos de longitud 4.
5.
Gráfico de la curva rosa polar r = 3 cos(3 theta). Tres pétalos igualmente espaciados desde el origen.

Curva rosa polar, n n impar

6.

8.5 Forma polar de los números complejos

1.
Trazado de 1 + 5i en el plano complejo (1 en el eje real, 5 en el eje imaginario).
2.

13

3.

| z |= 50 =5 2 | z |= 50 =5 2

4.

z=3( cos( π 2 )+isen( π 2 ) ) z=3( cos( π 2 )+isen( π 2 ) )

5.

z=2 ( cos( π 6 )+isen( π 6 ) ) z=2 ( cos( π 6 )+isen( π 6 ) )

6.

z=2 3 -2 i z=2 3 -2 i

7.

z 1 z 2 =4 3 ; c 1 z 2 =- 3 2 + 3 2 i z 1 z 2 =4 3 ; c 1 z 2 =- 3 2 + 3 2 i

8.

z 0 =2 (cos(30°)+isen(30°)) z 0 =2 (cos(30°)+isen(30°))

z 1 =2 (cos(120°)+isen(120°)) z 1 =2 (cos(120°)+isen(120°))

z 2 =2 (cos(210°)+isen(210°)) z 2 =2 (cos(210°)+isen(210°))

c 3 =2 (cos(300°)+isen(300°)) c 3 =2 (cos(300°)+isen(300°))

8.6 Ecuaciones paramétricas

1.
t t x( t ) x( t ) y( t ) y( t )
-1 -1 -4 -4 2 2
0 0 -3 -3 4 4
1 1 -2 -2 6 6
2 2 -1 -1 8 8
2.

x(t)= t 3 -2 t y(t)=t x(t)= t 3 -2 t y(t)=t

3.

y=5- 1 2 x-3 y=5- 1 2 x-3

4.

y=ln x y=ln x

5.

x 2 4 + y 2 9 =1 x 2 4 + y 2 9 =1

6.

y= x 2 y= x 2

8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos

1.
Gráfico de las ecuaciones paramétricas dadas con el dominio restringido: parece la mitad derecha de una parábola que se abre hacia arriba.
2.
Gráfico de las ecuaciones dadas: una elipse horizontal.
3.

El gráfico de las ecuaciones paramétricas está en rojo y el gráfico de la ecuación rectangular está dibujado en puntos azules sobre las ecuaciones paramétricas.

Gráfico superpuesto de las dos versiones de la elipse, que muestra que son iguales tanto si se dan en coordenadas paramétricas como rectangulares.

8.8 Vectores

1.
Un vector desde el origen hasta (3, 5): una línea con una flecha en el punto extremo de (3, 5).
2.

3u= 15,12 3u= 15,12

3.

u=8i-11j u=8i-11j

4.

v= 34 cos(59°)i+ 34 sen(59°)j v= 34 cos(59°)i+ 34 sen(59°)j

Magnitud = 34 34

θ= tan -1 ( 5 3 )=59,04 ° θ= tan -1 ( 5 3 )=59,04 °

8.1 Ejercicios de sección

1.

La altitud se extiende desde cualquier vértice hasta el lado opuesto o hasta la línea que contiene al lado opuesto en un ángulo de 90°.

3.

Cuando los valores conocidos son el lado opuesto al ángulo que falta y otro lado y su ángulo opuesto.

5.

Un triángulo con dos lados dados y un ángulo no incluido.

7.

β=72°,a12,0,b19,9 β=72°,a12,0,b19,9

9.

γ=20°,b4,5,c1,6 γ=20°,b4,5,c1,6

11.

b3,78 b3,78

13.

c13,70 c13,70

15.

un triángulo, α50,3°,β16,7°,a26,7 α50,3°,β16,7°,a26,7

17.

dos triángulos, γ54,3°,β90,7°,b20,9 γ54,3°,β90,7°,b20,9 o γ 125,7°, β 19,3°, b 6,9 γ 125,7°, β 19,3°, b 6,9

19.

dos triángulos, β75,7°,γ61,3°,b9,9 β75,7°,γ61,3°,b9,9 o β 18,3°, γ 118,7°, b 3,2 β 18,3°, γ 118,7°, b 3,2

21.

dos triángulos, α143,2°,β26,8°,a17,3 α143,2°,β26,8°,a17,3 o α 16,8°, β 153,2°, a 8,3 α 16,8°, β 153,2°, a 8,3

23.

no hay triángulo posible.

25.

A47,8° A47,8° o A 132,2° A 132,2°

27.

8,6 8,6

29.

370,9 370,9

31.

12,3 12,3

33.

12,2 12,2

35.

16,0 16,0

37.

29,7° 29,7°

39.

x=76,9°ox=103,1° x=76,9°ox=103,1°

41.

110,6° 110,6°

43.

A39,4,C47,6,BC20,7 A39,4,C47,6,BC20,7

45.

57,1 57,1

47.

42,0 42,0

49.

430,2 430,2

51.

10,1 10,1

53.

AD13,8 AD13,8

55.

AB2,8 AB2,8

57.

L49,7,N56,3,LN5,8 L49,7,N56,3,LN5,8

59.

51,4 pies.

61.

La distancia del satélite a la estación A A es de aproximadamente 1.716 millas. El satélite se encuentra a unas 1.706 millas del suelo.

63.

2,6 pies

65.

5,6 km

67.

371 pies.

69.

5.936 pies.

71.

24,1 pies.

73.

19.056 pies cuadrados.

75.

445.624 millas cuadradas

77.

8,65 pies cuadrados.

8.2 Ejercicios de sección

1.

dos lados y el ángulo opuesto al lado que falta.

3.

s s es el semiperímetro, que es la mitad del perímetro del triángulo.

5.

La ley de cosenos debe utilizarse para cualquier triángulo oblicuo (no rectángulo).

7.

11,3

9.

34,7

11.

26,7

13.

257,4

15.

no es posible

17.

95,5°

19.

26,9°

21.

B45,9°,C99,1°,a6,4 B45,9°,C99,1°,a6,4

23.

A20,6°,B38,4°,c51,1 A20,6°,B38,4°,c51,1

25.

A37,8°,B43,8,C98,4° A37,8°,B43,8,C98,4°

27.

177,56 in2

29.

0,04 m2

31.

0,91 yardas2

33.

3,0

35.

29,1

37.

0,5

39.

70,7°

41.

77,4°

43.

25,0

45.

9,3

47.

43,52

49.

1,41

51.

0,14

53.

18,3

55.

48,98

57.
Un triángulo. Un ángulo es de 52 grados con el lado opuesto = x. Los otros dos lados son 5 y 6.
59.

7,62

61.

85,1

63.

24,0 km

65.

99,9 pies

67.

37,3 millas

69.

2.371 millas

71.
El ángulo BO es de 9,1 grados, el ángulo PH es de 150,2 grados y el ángulo DC es de 20,7 grados.
73.

292,4 millas

75.

65,4 cm2

77.

468 pies2

8.3 Ejercicios de sección

1.

En las coordenadas polares, el punto en el plano depende del ángulo respecto al eje positivo x y de la distancia desde el origen, mientras que en las coordenadas cartesianas, el punto representa las distancias horizontal y vertical desde el origen. Por cada punto en el plano de las coordenadas hay una representación, pero por cada punto en el plano polar hay infinitas representaciones.

3.

Determine θ θ para el punto y luego mueva r r unidades del polo para trazar el punto. Si los valores de r r es negativo, mueva r r unidades desde el polo en la dirección opuesta, pero a lo largo del mismo ángulo. El punto es una distancia de r r desde el origen en un ángulo de θ θ desde el eje polar.

5.

El punto ( -3, π 2 ) ( -3, π 2 ) tiene un ángulo positivo, pero un radio negativo, y se traza al desplazarse a un ángulo de π 2 π 2 y luego se mueve 3 unidades en la dirección negativa. Esto coloca el punto 3 unidades por debajo del eje negativo de y. El punto ( 3,- π 2 ) ( 3,- π 2 ) tiene un ángulo negativo y un radio positivo y se traza al moverlo primero a un ángulo de π 2 π 2 y luego al moverlo 3 unidades hacia abajo, que es la dirección positiva para un ángulo negativo. El punto también está a 3 unidades del eje negativo y.

7.

( -5,0 ) ( -5,0 )

9.

( - 3 3 2 ,- 3 2 ) ( - 3 3 2 ,- 3 2 )

11.

( 2 5 ,0,464 ) ( 2 5 ,0,464 )

13.

( 34 ,5,253 ) ( 34 ,5,253 )

15.

( 8 2 , π 4 ) ( 8 2 , π 4 )

17.

r=4cscθ r=4cscθ

19.

r= senθ 2co s 4 θ 3 r= senθ 2co s 4 θ 3

21.

r=3cosθ r=3cosθ

23.

r= 3senθ cos( 2θ ) r= 3senθ cos( 2θ )

25.

r= 9senθ cos 2 θ r= 9senθ cos 2 θ

27.

r= 1 9cosθsenθ r= 1 9cosθsenθ

29.

x 2 + y 2 =4x x 2 + y 2 =4x o ( x-2 ) 2 4 + y 2 4 =1; ( x-2 ) 2 4 + y 2 4 =1; círculo

31.

3y+x=6; 3y+x=6; línea

33.

y=3; y=3; línea

35.

xy=4; xy=4; hipérbola

37.

x 2 + y 2 =4; x 2 + y 2 =4; círculo

39.

x-5y=3; x-5y=3; línea

41.

( 3, 3π 4 ) ( 3, 3π 4 )

43.

( 5,π ) ( 5,π )

45.
Sistema de coordenadas polares con un punto situado en el segundo círculo concéntrico y a dos tercios del camino entre pi y 3pi/2 (más cerca de 3pi/2).
47.
Sistema de coordenadas polares con un punto situado a medio camino entre el tercer y el cuarto círculo concéntrico y a medio camino entre 3pi/2 y 2pi.
49.
Sistema de coordenadas polares con un punto situado en el quinto círculo concéntrico y pi/2.
51.
Sistema de coordenadas polares con un punto situado en el tercer círculo concéntrico y a 2/3 del camino entre pi/2 y pi (más cerca de pi).
53.
Sistema de coordenadas polares con un punto situado en el segundo círculo concéntrico y a medio camino entre pi y 3pi/2.
55.

r= 6 5cosθ-senθ r= 6 5cosθ-senθ

Trazado de una línea dada en la cuadrícula de coordenadas polares
57.

r=2senθ r=2senθ

Gráfico del círculo dado en la cuadrícula de coordenadas polares
59.

r= 2 cosθ r= 2 cosθ

Gráfico del círculo dado en la cuadrícula de coordenadas polares
61.

r=3cosθ r=3cosθ

Trazado del círculo dado en la cuadrícula de coordenadas polares.
63.

x 2 + y 2 =16 x 2 + y 2 =16

Trazado del círculo de radio 4 centrado en el origen en la cuadrícula de coordenadas rectangulares.
65.

y=x y=x

Trazado de la línea y=x en la cuadrícula de coordenadas rectangulares.
67.

x 2 + ( y+5 ) 2 =25 x 2 + ( y+5 ) 2 =25

Trazado del círculo de radio 5 centrado en (0,-5).
69.

( 1,618,1,176 ) ( 1,618,1,176 )

71.

( 10,630,131,186° ) ( 10,630,131,186° )

73.

( 2 ,3,14 )ir( 2 ,π ) ( 2 ,3,14 )ir( 2 ,π )

75.

Línea vertical con a a unidades a la izquierda del eje y

77.

Línea horizontal con a a unidades por debajo del eje x.

79.
Gráfico del círculo sombreado de radio 4, sin incluir el borde (línea punteada), cuadrícula de coordenadas polares.
81.
Gráfico de raya que comienza en (2, pi/4) y se extiende en dirección positiva a lo largo de pi/4, cuadrícula de coordenadas polares.
83.
Gráfico de la región sombreada 0 a pi/3 de r=0 a 2 sin incluir el borde (línea punteada), cuadrícula de coordenadas polares

8.4 Ejercicios de sección

1.

La simetría respecto al eje polar es similar a la simetría alrededor del eje x x , la simetría con respecto al polo es similar a la simetría con respecto al origen y la simetría con respecto a la línea θ= π 2 θ= π 2 es similar a la simetría alrededor del eje y y .

3.

Comprobar la simetría, hallar ceros, intersecciones y máximos, hacer una tabla de valores. Decidir el tipo general de gráfico, cardioide, caracol de Pascal, lemniscata, etc., y luego trazar los puntos en θ=0, π 2 , θ=0, π 2 , ππ 3π 2 , 3π 2 , y dibujar el gráfico.

5.

La forma del gráfico polar está determinada por la inclusión o no de un seno, un coseno y unas constantes en la ecuación.

7.

simétrica con respecto al eje polar

9.

simétrica con respecto al eje polar, simétrica con respecto a la línea θ= π 2 , θ= π 2 , simétrica con respecto al polo

11.

sin simetría

13.

sin simetría

15.

simétrica con respecto al polo

17.

círculo

Gráfico del círculo dado.
19.

cardioide

Gráfico de un cardioide dado.
21.

cardioide

Gráfico de un cardioide dado.
23.

caracol de Pascal de un lazo/con hoyuelos

Gráfico de caracol de Pascal de un lazo/con hoyuelos dado
25.

caracol de Pascal de un lazo/con hoyuelos

Gráfico de caracol de Pascal de un lazo/con hoyuelos dado
27.

caracol de Pascal de lazo interno/dos lazos

Gráfico de caracol de Pascal de lazo interno/dos lazos dado
29.

caracol de Pascal de lazo interno/dos lazos

Gráfico de caracol de Pascal de lazo interno/dos lazos dado
31.

caracol de Pascal de lazo interno/dos lazos

Gráfico de caracol de Pascal de lazo interno/dos lazos dado
33.

lemniscata

Gráfico de lemniscata dada (a lo largo del eje horizontal)
35.

lemniscata

Gráfico de lemniscata dada (a lo largo de y = x)
37.

curva rosa polar

Gráfico de curva rosa polar dada, cuatro pétalos.
39.

curva rosa polar

Gráfico de curva rosa polar dada, ocho pétalos.
41.

espiral de Arquímedes

Gráfico de la espiral de Arquímedes dada
43.

espiral de Arquímedes

Gráfico de la espiral de Arquímedes dada
45.
Gráfico de la ecuación dada.
47.
Gráfico de una hipopoda dada (dos círculos centrados en el eje x y que se encuentran en el origen)
49.
Gráfico de la ecuación dada.
51.
Gráfico de la ecuación dada. Similar a la espiral de Arquímedes original.
53.
Gráfico de la ecuación dada.
55.

Ambos son espirales, pero no iguales.

57.

Ambos gráficos son curvas con 2 lazos. La ecuación con un coeficiente de θ θ tiene dos lazos a la izquierda, la ecuación con un coeficiente de 2 tiene dos lazos al lado. Grafíquelos de 0 a 4π 4π para obtener una mejor imagen.

59.

Cuando se aumenta la anchura del dominio, se ven más pétalos de la flor.

61.

Los gráficos son curvas rosa polar de tres pétalos. Cuanto mayor sea el coeficiente, mayor será la distancia de la curva al polo.

63.

Los gráficos son espirales. Cuanto más pequeño sea el coeficiente, más estrecha será la espiral.

65.

( 4, π 3 ),( 4, 5π 3 ) ( 4, π 3 ),( 4, 5π 3 )

67.

( 3 2 , π 3 ),( 3 2 , 5π 3 ) ( 3 2 , π 3 ),( 3 2 , 5π 3 )

69.

( 0, π 2 ),( 0,π ),( 0, 3π 2 ),( 0,2π ) ( 0, π 2 ),( 0,π ),( 0, 3π 2 ),( 0,2π )

71.

( 8 4 2 , π 4 ),( 8 4 2 , 5π 4 ) ( 8 4 2 , π 4 ),( 8 4 2 , 5π 4 ) y en θ= 3π 4 , θ= 3π 4 , 7π 4 7π 4 dado que r r está elevada al cuadrado

8.5 Ejercicios de sección

1.

a es la parte real, b es la parte imaginaria y i= -1 i= -1

3.

La forma polar convierte las partes real e imaginaria del número complejo en forma polar usando x=rcosθ x=rcosθ y y=rsenθ. y=rsenθ.

5.

c n = r n ( cos( nθ )+isen( nθ ) ) c n = r n ( cos( nθ )+isen( nθ ) ) Se usa para simplificar la forma polar cuando un número ha sido elevado a una potencia.

7.

5 2 5 2

9.

38 38

11.

14,45 14,45

13.

4 5 cis( 333,4° ) 4 5 cis( 333,4° )

15.

2cis( π 6 ) 2cis( π 6 )

17.

7 3 2 +i 7 2 7 3 2 +i 7 2

19.

-2 3 -2 i -2 3 -2 i

21.

1,5i 3 3 2 1,5i 3 3 2

23.

4 3 cis( 198° ) 4 3 cis( 198° )

25.

3 4 cis( 180° ) 3 4 cis( 180° )

27.

5 3 cis( 17π 24 ) 5 3 cis( 17π 24 )

29.

7cis( 70° ) 7cis( 70° )

31.

5cis( 80° ) 5cis( 80° )

33.

5cis( π 3 ) 5cis( π 3 )

35.

125cis( 135° ) 125cis( 135° )

37.

9cis( 240° ) 9cis( 240° )

39.

cis( 3π 4 ) cis( 3π 4 )

41.

3cis( 80° ),3cis( 200° ),3cis( 320° ) 3cis( 80° ),3cis( 200° ),3cis( 320° )

43.

2 4 3 cis( 2π 9 ),2 4 3 cis( 8π 9 ),2 4 3 cis( 14π 9 ) 2 4 3 cis( 2π 9 ),2 4 3 cis( 8π 9 ),2 4 3 cis( 14π 9 )

45.

2 2 cis( 7π 8 ),2 2 cis( 15π 8 ) 2 2 cis( 7π 8 ),2 2 cis( 15π 8 )

47.
Trazado de –3 –3i en el plano complejo (–3 en el eje real, –3 en el eje imaginario).
49.
Trazado de –1 –5i en el plano complejo (–1 en el eje real, –5 en el eje imaginario).
51.
Trazado de 2i en el plano complejo (0 en el eje real, 2 en el eje imaginario).
53.
Trazado de 6 –2i en el plano complejo (6 en el eje real, –2 en el eje imaginario).
55.
Trazado de 1 –4i en el plano complejo (1 en el eje real, –4 en el eje imaginario).
57.

3,61 e 0,59i 3,61 e 0,59i

59.

-2 +3,46i -2 +3,46i

61.

4,332,50i 4,332,50i

8.6 Ejercicios de sección

1.

Un par de funciones que depende de un factor externo. Las dos funciones están escritas en términos del mismo parámetro. Por ejemplo, x=f( t ) x=f( t ) y y=f( t ). y=f( t ).

3.

Elija una ecuación para resolver t, t, sustituya en la otra ecuación y simplifique.

5.

Algunas ecuaciones no se pueden escribir como funciones, como un círculo. Sin embargo, cuando se escriben como dos ecuaciones paramétricas, por separado, las ecuaciones son funciones.

7.

y=-2 +2 x y=-2 +2 x

9.

y=3 x1 2 y=3 x1 2

11.

x=2 e 1-y 5 x=2 e 1-y 5 o y=1-5ln( x 2 ) y=1-5ln( x 2 )

13.

x=4log( y-3 2 ) x=4log( y-3 2 )

15.

x= ( y 2 ) 3 - y 2 x= ( y 2 ) 3 - y 2

17.

y= x 3 y= x 3

19.

( x 4 ) 2 + ( y 5 ) 2 =1 ( x 4 ) 2 + ( y 5 ) 2 =1

21.

y 2 =1- 1 2 x y 2 =1- 1 2 x

23.

y= x 2 +2 x+1 y= x 2 +2 x+1

25.

y= ( x+1 2 ) 3 -2 y= ( x+1 2 ) 3 -2

27.

y=-3x+14 y=-3x+14

29.

y=x+3 y=x+3

31.

{ x( t )=t y( t )=2sent+1 { x( t )=t y( t )=2sent+1

33.

{ x( t )= t +2 t y( t )=t { x( t )= t +2 t y( t )=t

35.

{ x( t )=4cost y( t )=6sent ; { x( t )=4cost y( t )=6sent ; Elipse

37.

{ x( t )= 10 cost y( t )= 10 sent ; { x( t )= 10 cost y( t )= 10 sent ; Círculo

39.

{ x( t )=-1+4t y( t )=-2 t { x( t )=-1+4t y( t )=-2 t

41.

{ x( t )=4+2 t y( t )=1-3t { x( t )=4+2 t y( t )=1-3t

43.

sí, en t=2 t=2

45.
t t x x y y
1 -3 1
2 0 7
3 5 17
47.

las respuestas pueden variar { x( t )=t-1 y( t )= t 2  y { x( t )=t+1 y( t )= ( t+2 ) 2 { x( t )=t-1 y( t )= t 2  y { x( t )=t+1 y( t )= ( t+2 ) 2

49.

las respuestas pueden variar: { x( t )=t y( t )= t 2 -4t+4  y { x( t )=t+2 y( t )= t 2 { x( t )=t y( t )= t 2 -4t+4  y { x( t )=t+2 y( t )= t 2

8.7 Ejercicios de sección

1.

trazar puntos con la flecha de orientación y una calculadora gráfica

3.

Las flechas muestran la orientación, la dirección del movimiento según los valores crecientes de t. t.

5.

Las ecuaciones paramétricas muestran los diferentes movimientos verticales y horizontales en el tiempo.

7.
Gráfico de las ecuaciones dadas: parece una parábola que se abre hacia arriba.
9.
Gráfico de las ecuaciones dadas: una línea, pendiente negativa.
11.
Gráfico de las ecuaciones dadas: parece una parábola lateral, que se abre hacia la derecha.
13.
Gráfico de las ecuaciones dadas: parece la mitad izquierda de una parábola que se abre hacia arriba.
15.
Gráfico de las ecuaciones dadas: parece una función de valor absoluto que se abre hacia abajo.
17.
Gráfico de las ecuaciones dadas: una elipse vertical.
19.
Gráfico de las ecuaciones dadas: línea de (0, –3) a (3,0). Se recorre en ambos sentidos, pendiente positiva y negativa.
21.
Gráfico de las ecuaciones dadas: parece una parábola que se abre hacia arriba.
23.
Gráfico de las ecuaciones dadas: parece una parábola que se abre hacia abajo.
25.
Gráfico de las ecuaciones dadas: elipse horizontal.
27.
Gráfico de las ecuaciones dadas: parece la mitad inferior de una parábola lateral que se abre hacia la derecha.
29.
Gráfico de las ecuaciones dadas: parece una parábola que se abre hacia arriba.
31.
Gráfico de las ecuaciones dadas: parece la mitad superior de una parábola lateral que se abre hacia la izquierda.
33.
Gráfico de las ecuaciones dadas: la mitad izquierda de una hipérbola con asíntotas diagonales.
35.
Gráfico de las ecuaciones dadas: trayectoria periódica vertical
37.
Gráfico de las ecuaciones dadas: trayectoria periódica vertical
39.

Habrá 100 movimientos de ida y vuelta.

41.

Tome lo contrario de la ecuación x( t ) x( t ) .

43.

La parábola se abre.

45.

{ x( t )=5cost y( t )=5sent { x( t )=5cost y( t )=5sent

47.
Gráfico de las ecuaciones dadas
49.
Gráfico de las ecuaciones dadas: líneas que se extienden en Q1 y Q3 (en ambas direcciones) desde el origen hasta 1 unidad.
51.
Gráfico de las ecuaciones dadas: líneas que se extienden en Q1 y Q3 (en ambas direcciones) desde el origen hasta 3 unidades.
53.

a=4, a=4, b=3,b=3, c=6,c=6, d=1 d=1

55.

a=4, a=4, b=2 ,b=2 , c=3,c=3, d=3 d=3

57.
Gráfico de las ecuaciones dadas Gráfico de las ecuaciones dadas Gráfico de las ecuaciones dadas
59.
Gráfico de las ecuaciones dadas Gráfico de las ecuaciones dadas Gráfico de las ecuaciones dadas
61.

La intersección en y y cambia.

63.

y( x )=-16 ( x 15 ) 2 +20( x 15 ) y( x )=-16 ( x 15 ) 2 +20( x 15 )

65.

{ x(t)=64tcos( 52° ) y(t)=-16 t 2 +64tsen( 52° ) { x(t)=64tcos( 52° ) y(t)=-16 t 2 +64tsen( 52° )

67.

aproximadamente en 3,2 segundos

69.

1,6 segundos

71.
Gráfico de las ecuaciones dadas: una hipocicloide
73.
Gráfico de las ecuaciones dadas: una rosa de cuatro pétalos

8.8 Ejercicios de sección

1.

letra minúscula, en negrita, generalmente u,v,w u,v,w

3.

Son vectores unitarios. Se utilizan para representar los componentes horizontales y verticales de un vector. Cada uno de ellos tiene una magnitud de 1.

5.

El primer número representa siempre el coeficiente de la i, i, y el segundo representa el coeficiente de la j. j.

7.

7,-5 7,-5

9.

no es igual

11.

igual

13.

igual

15.

7i-3j 7i-3j

17.

6i-2j 6i-2j

19.

u+v= 5,5 ,u-v= 1,3 ,2u-3v= 0,5 u+v= 5,5 ,u-v= 1,3 ,2u-3v= 0,5

21.

10i4j 10i4j

23.

- 2 29 29 i+ 5 29 29 j - 2 29 29 i+ 5 29 29 j

25.

- 2 229 229 i+ 15 229 229 j - 2 229 229 i+ 15 229 229 j

27.

7 2 10 i+ 2 10 j 7 2 10 i+ 2 10 j

29.

| v |=7,810,θ=39,806° | v |=7,810,θ=39,806°

31.

| v |=7,211,θ=236,310 ° | v |=7,211,θ=236,310 °

33.

6 6

35.

12 12

37.
39.
Grafique u + v, u – v y 2u a partir de los vectores anteriores. En relación con el mismo punto de origen, u + v va a (0, 3), u – v va a (2, –1) y 2u va a (2, 2).
41.
Grafique los vectores u+v, u-v y 2u a partir de los vectores anteriores. Dado que el punto de partida de u era el origen, u+v empieza en el origen y va hasta (2,-3); u-v empieza en el origen y va hasta (4,-1); 2u va desde el origen hasta (6,-4).
43.
Trazado de un solo vector. Tomando el punto inicial del vector como (0,0) de la configuración anterior, el vector va desde el origen hasta (-1,-6).
45.
Vector que se prolonga desde el origen hasta (7, 5), tomando la base como origen.
47.

4,1 4,1

49.

v=-7i+3j v=-7i+3j

Vector que va de (4, –1) a (–3, 2).
51.

3 2 i+3 2 j 3 2 i+3 2 j

53.

i- 3 j i- 3 j

55.
  1. 58,7
  2. 12,5
57.

x=7,13 x=7,13 libras, y=3,63 y=3,63 libras

59.

x=2,87 x=2,87 libras, y=4,10 y=4,10 libras

61.

4,635 millas, 17,764° N del E

63.

17 millas. 10,318 millas.

65.

Distancia: 4,62 Dirección: 86,474° al norte del oeste, o 3,526° al oeste del norte.

67.

4,924°. 659 km/h

69.

4,424°

71.

( 0,081,8,602 ) ( 0,081,8,602 )

73.

21,801°, respecto a la dirección de avance del automóvil

75.

paralelos: 16,28, perpendicular: 47,28 libras

77.

19,35 libras, 231,54° de la horizontal

79.

5,1583 libras, 75,8° desde la horizontal

Ejercicios de repaso

1.

No es posible

3.

C=120°,a=23,1,c=34,1 C=120°,a=23,1,c=34,1

5.

distancia del avión al punto A: A: 2,2 km, elevación del avión: 1,6 km

7.

b=71,0°,C=55,0°,a=12,8 b=71,0°,C=55,0°,a=12,8

9.

40,6 km

11.


Una cuadrícula de coordenadas polares con un punto trazado en el quinto círculo concéntrico a 2/3 del camino entre pi y 3pi/2 (más cerca de 3pi/2).
13.

( 0,2 ) ( 0,2 )

15.

( 9,8489,203,96° ) ( 9,8489,203,96° )

17.

r=8 r=8

19.

x 2 + y 2 =7x x 2 + y 2 =7x

21.

y=-x y=-x

Trace la función y = –x en coordenadas rectangulares.
23.

es simétrica con respecto a la línea θ= π 2 θ= π 2

25.


Gráfico de la ecuación polar dada: un bucle interior de limaçon.
27.


Gráfico de la ecuación polar dada: un cardioide.
29.

5

31.

cis( - π 3 ) cis( - π 3 )

33.

2,3+1,9i 2,3+1,9i

35.

60cis( π 2 ) 60cis( π 2 )

37.

3cis( 4π 3 ) 3cis( 4π 3 )

39.

25cis( 3π 2 ) 25cis( 3π 2 )

41.

5cis( 3π 4 ),5cis( 7π 4 ) 5cis( 3π 4 ),5cis( 7π 4 )

43.
Trace –1 + 3i en el plano complejo (–1 en el eje real, 3 en el imaginario).
45.

x 2 + 1 2 y=1 x 2 + 1 2 y=1

47.

{ x( t )=-2 +6t y( t )=3+4t { x( t )=-2 +6t y( t )=3+4t

49.

y=-2 x 5 y=-2 x 5

Trace las ecuaciones paramétricas dadas.
51.
  1. { x( t )=( 80cos( 40° ) )t y( t )=-16 t 2 +( 80sen( 40° ) )t+4 { x( t )=( 80cos( 40° ) )t y( t )=-16 t 2 +( 80sen( 40° ) )t+4
  2. La pelota tiene 14 pies de altura y 184 pies desde donde se lanzó.
  3. 3,3 segundos
53.

no es igual

55.

4i

57.

- 3 10 10 - 3 10 10 i 10 10 10 10 j

59.

Magnitud: 3 2 , 3 2 , Dirección: 225° 225°

61.

16 16

63.


Diagrama de los vectores u y v. Tomando el punto de partida de u como el origen, u va del origen a (4, 1) y v va de (4, 1) a (6, 0).

Examen de práctica

1.

α=67,1°,γ=44,9°,a=20,9 α=67,1°,γ=44,9°,a=20,9

3.

1.712 millas 1.712 millas

5.

( 1, 3 ) ( 1, 3 )

7.

y=-3 y=-3

Trazado de la ecuación dada en forma rectangular: línea y = –3.
9.


Gráfico de las ecuaciones dadas: un cardioide.
11.

106 106

13.

-5 2 +i 5 3 2 -5 2 +i 5 3 2

15.

4cis( 21° ) 4cis( 21° )

17.

2 2 cis( 18° ),2 2 cis( 198° ) 2 2 cis( 18° ),2 2 cis( 198° )

19.

y=2 ( x1 ) 2 y=2 ( x1 ) 2

21.


Gráfico de las ecuaciones dadas: una elipse vertical.
23.

−4i − 15j

25.

2 13 13 i+ 3 13 13 j 2 13 13 i+ 3 13 13 j

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