Capítulo 8

La altitud se extiende desde cualquier vértice hasta el lado opuesto o hasta la línea que contiene al lado opuesto en un ángulo de 90°.

Cuando los valores conocidos son el lado opuesto al ángulo que falta y otro lado y su ángulo opuesto.

Un triángulo con dos lados dados y un ángulo no incluido.

$\beta =\mathrm{72°},a\approx \mathrm{12,0},b\approx \mathrm{19,9}$

$\gamma =\mathrm{20°},b\approx \mathrm{4,5},c\approx \mathrm{1,6}$

$b\approx \mathrm{3,78}$

$c\approx \mathrm{13,70}$

un triángulo, $\alpha \approx \mathrm{50,3°},\beta \approx \mathrm{16,7°},a\approx \mathrm{26,7}$

dos triángulos, $\gamma \approx \mathrm{54,3°},\beta \approx \mathrm{90,7°},b\approx \mathrm{20,9}$ o ${\gamma }^{\prime }\approx \mathrm{125,7°},{\beta }^{\prime }\approx \mathrm{19,3°},b^{\prime }\approx \mathrm{6,9}$

dos triángulos, $\beta \approx \mathrm{75,7°},\gamma \approx \mathrm{61,3°},b\approx \mathrm{9,9}$ o ${\beta }^{\prime }\approx \mathrm{18,3°},{\gamma }^{\prime }\approx \mathrm{118,7°},b^{\prime }\approx \mathrm{3,2}$

dos triángulos, $\alpha \approx \mathrm{143,2°},\beta \approx \mathrm{26,8°},a\approx \mathrm{17,3}$ o ${\alpha }^{\prime }\approx \mathrm{16,8°},{\beta }^{\prime }\approx \mathrm{153,2°},a^{\prime }\approx \mathrm{8,3}$

no hay triángulo posible.

$A\approx \mathrm{47,8°}$ o $A^{\prime }\approx \mathrm{132,2°}$

$\mathrm{8,6}$

$\mathrm{370,9}$

$\mathrm{12,3}$

$\mathrm{12,2}$

$\mathrm{16,0}$

$\mathrm{29,7°}$

$x=\mathrm{76,9°}\text{o}x=\mathrm{103,1°}$

$\mathrm{110,6°}$

$A\approx \mathrm{39,4},C\approx \mathrm{47,6},BC\approx \mathrm{20,7}$

$\mathrm{57,1}$

$\mathrm{42,0}$

$\mathrm{430,2}$

$\mathrm{10,1}$

$AD\approx \mathrm{13,8}$

$AB\approx \mathrm{2,8}$

$L\approx \mathrm{49,7},N\approx \mathrm{56,3},LN\approx \mathrm{5,8}$

51,4 pies.

La distancia del satélite a la estación $A$ es de aproximadamente 1.716 millas. El satélite se encuentra a unas 1.706 millas del suelo.

2,6 pies

5,6 km

371 pies.

5.936 pies.

24,1 pies.

19.056 pies cuadrados.

445.624 millas cuadradas

8,65 pies cuadrados.

dos lados y el ángulo opuesto al lado que falta.

$s$ es el semiperímetro, que es la mitad del perímetro del triángulo.

La ley de cosenos debe utilizarse para cualquier triángulo oblicuo (no rectángulo).

11,3

34,7

26,7

257,4

no es posible

95,5°

26,9°

$B\approx \mathrm{45,9°},C\approx \mathrm{99,1°},a\approx \mathrm{6,4}$

$A\approx \mathrm{20,6°},B\approx \mathrm{38,4°},c\approx \mathrm{51,1}$

$A\approx \mathrm{37,8°},B\approx \mathrm{43,8},C\approx \mathrm{98,4°}$

177,56 in²

0,04 m²

0,91 yardas²

3,0

29,1

0,5

70,7°

77,4°

25,0

9,3

43,52

1,41

0,14

18,3

48,98

7,62

85,1

24,0 km

99,9 pies

37,3 millas

2.371 millas

292,4 millas

65,4 cm²

468 pies²

En las coordenadas polares, el punto en el plano depende del ángulo respecto al eje positivo x y de la distancia desde el origen, mientras que en las coordenadas cartesianas, el punto representa las distancias horizontal y vertical desde el origen. Por cada punto en el plano de las coordenadas hay una representación, pero por cada punto en el plano polar hay infinitas representaciones.

Determine $\theta$ para el punto y luego mueva $r$ unidades del polo para trazar el punto. Si los valores de $r$ es negativo, mueva $r$ unidades desde el polo en la dirección opuesta, pero a lo largo del mismo ángulo. El punto es una distancia de $r$ desde el origen en un ángulo de $\theta$ desde el eje polar.

El punto $\left(-3,\frac{\pi }{2}\right)$ tiene un ángulo positivo, pero un radio negativo, y se traza al desplazarse a un ángulo de $\frac{\pi }{2}$ y luego se mueve 3 unidades en la dirección negativa. Esto coloca el punto 3 unidades por debajo del eje negativo de y. El punto $\left(3,-\frac{\pi }{2}\right)$ tiene un ángulo negativo y un radio positivo y se traza al moverlo primero a un ángulo de $-\frac{\pi }{2}$ y luego al moverlo 3 unidades hacia abajo, que es la dirección positiva para un ángulo negativo. El punto también está a 3 unidades del eje negativo y.

$\left(-5,0\right)$

$\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)$

$\left(2\sqrt{5},\mathrm{0,464}\right)$

$\left(\sqrt{34},\mathrm{5,253}\right)$

$\left(8\sqrt{2},\frac{\pi }{4}\right)$

$r=4\csc \theta$

$r=\sqrt[3]{\frac{sen\theta }{2co{s}^4\theta }}$

$r=3\cos \theta$

$r=\frac{3\mathrm{sen}\theta }{\cos \left(2\theta \right)}$

$r=\frac{9\mathrm{sen}\theta }{{\cos }^2\theta }$

$r=\sqrt{\frac{1}{9\cos \theta \mathrm{sen}\theta }}$

$x^2+y^2=4x$ o $\frac{{\left(x-2\right)}^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1;$ círculo

$3y+x=6;$ línea

$y=3;$ línea

$xy=4;$ hipérbola

$x^2+y^2=4;$ círculo

$x-5y=3;$ línea

$\left(3,\frac{3\pi }{4}\right)$

$\left(5,\pi \right)$

$r=\frac{6}{5\cos \theta -\mathrm{sen}\theta }$

$r=2\mathrm{sen}\theta$

$r=\frac{2}{\cos \theta }$

$r=3\cos \theta$

$x^2+y^2=16$

$y=x$

$x^2+{\left(y+5\right)}^2=25$

$\left(\mathrm{1,618},-\mathrm{1,176}\right)$

$\left(\mathrm{10,630},\mathrm{131,186°}\right)$

$\left(2,\mathrm{3,14}\right)ir\left(2,\pi \right)$

Línea vertical con $a$ unidades a la izquierda del eje y. 

Línea horizontal con $a$ unidades por debajo del eje x.

La simetría respecto al eje polar es similar a la simetría alrededor del eje $x$, la simetría con respecto al polo es similar a la simetría con respecto al origen y la simetría con respecto a la línea $\theta =\frac{\pi }{2}$ es similar a la simetría alrededor del eje $y$.

Comprobar la simetría, hallar ceros, intersecciones y máximos, hacer una tabla de valores. Decidir el tipo general de gráfico, cardioide, caracol de Pascal, lemniscata, etc., y luego trazar los puntos en $\theta =0,\frac{\pi }{2},$ $\pi$ y $\frac{3\pi }{2},$ y dibujar el gráfico.

La forma del gráfico polar está determinada por la inclusión o no de un seno, un coseno y unas constantes en la ecuación.

simétrica con respecto al eje polar

simétrica con respecto al eje polar, simétrica con respecto a la línea $\theta =\frac{\pi }{2},$ simétrica con respecto al polo

sin simetría

sin simetría

simétrica con respecto al polo

círculo

cardioide

cardioide

caracol de Pascal de un lazo/con hoyuelos

caracol de Pascal de un lazo/con hoyuelos

caracol de Pascal de lazo interno/dos lazos

caracol de Pascal de lazo interno/dos lazos

caracol de Pascal de lazo interno/dos lazos

lemniscata

lemniscata

curva rosa polar

curva rosa polar

espiral de Arquímedes

espiral de Arquímedes

Ambos son espirales, pero no iguales.

Ambos gráficos son curvas con 2 lazos. La ecuación con un coeficiente de $\theta$ tiene dos lazos a la izquierda, la ecuación con un coeficiente de 2 tiene dos lazos al lado. Grafíquelos de 0 a $4\pi$ para obtener una mejor imagen.

Cuando se aumenta la anchura del dominio, se ven más pétalos de la flor.

Los gráficos son curvas rosa polar de tres pétalos. Cuanto mayor sea el coeficiente, mayor será la distancia de la curva al polo.

Los gráficos son espirales. Cuanto más pequeño sea el coeficiente, más estrecha será la espiral.

$\left(4,\frac{\pi }{3}\right),\left(4,\frac{5\pi }{3}\right)$

$\left(\frac{3}{2},\frac{\pi }{3}\right),\left(\frac{3}{2},\frac{5\pi }{3}\right)$

$\left(0,\frac{\pi }{2}\right),\left(0,\pi \right),\left(0,\frac{3\pi }{2}\right),\left(0,2\pi \right)$

$\left(\frac{\sqrt[4]{8}}{2},\frac{\pi }{4}\right),\left(\frac{\sqrt[4]{8}}{2},\frac{5\pi }{4}\right)$ y en $\theta =\frac{3\pi }{4},$ $\frac{7\pi }{4}$ dado que $r$ está elevada al cuadrado

a es la parte real, b es la parte imaginaria y $i=\sqrt{-1}$

La forma polar convierte las partes real e imaginaria del número complejo en forma polar usando $x=r\cos \theta$ y $y=r\mathrm{sen}\theta .$

$c^n=r^n\left(\cos \left(n\theta \right)+i\mathrm{sen}\left(n\theta \right)\right)$ Se usa para simplificar la forma polar cuando un número ha sido elevado a una potencia.

$5\sqrt{2}$

$\sqrt{38}$

$\sqrt{\mathrm{14,45}}$

$4\sqrt{5}\mathrm{cis}\left(\mathrm{333,4°}\right)$

$2\mathrm{cis}\left(\frac{\pi }{6}\right)$

$\frac{7\sqrt{3}}{2}+i\frac{7}{2}$

$-2\sqrt{3}-2i$

$-\mathrm{1,5}-i\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$4\sqrt{3}\mathrm{cis}\left(\mathrm{198°}\right)$

$\frac{3}{4}\mathrm{cis}\left(\mathrm{180°}\right)$

$5\sqrt{3}\mathrm{cis}\left(\frac{17\pi }{24}\right)$

$7\mathrm{cis}\left(\mathrm{70°}\right)$

$5\mathrm{cis}\left(\mathrm{80°}\right)$

$5\mathrm{cis}\left(\frac{\pi }{3}\right)$

$125\mathrm{cis}\left(\mathrm{135°}\right)$

$9\mathrm{cis}\left(\mathrm{240°}\right)$

$\mathrm{cis}\left(\frac{3\pi }{4}\right)$

$3\mathrm{cis}\left(\mathrm{80°}\right),3\mathrm{cis}\left(\mathrm{200°}\right),3\mathrm{cis}\left(\mathrm{320°}\right)$

$2\sqrt[3]{4}\mathrm{cis}\left(\frac{2\pi }{9}\right),2\sqrt[3]{4}\mathrm{cis}\left(\frac{8\pi }{9}\right),2\sqrt[3]{4}\mathrm{cis}\left(\frac{14\pi }{9}\right)$

$2\sqrt{2}\mathrm{cis}\left(\frac{7\pi }{8}\right),2\sqrt{2}\mathrm{cis}\left(\frac{15\pi }{8}\right)$

$\mathrm{3,61}{e}^{-\mathrm{0,59}i}$

$-2+\mathrm{3,46}i$

$-\mathrm{4,33}-\mathrm{2,50}i$

Un par de funciones que depende de un factor externo. Las dos funciones están escritas en términos del mismo parámetro. Por ejemplo, $x=f\left(t\right)$ y $y=f\left(t\right).$

Elija una ecuación para resolver $t,$ sustituya en la otra ecuación y simplifique.

Algunas ecuaciones no se pueden escribir como funciones, como un círculo. Sin embargo, cuando se escriben como dos ecuaciones paramétricas, por separado, las ecuaciones son funciones.

$y=-2+2x$

$y=3\sqrt{\frac{x–1}{2}}$

$x=2e^{\frac{1-y}{5}}$ o $y=1-5ln\left(\frac{x}{2}\right)$

$x=4\log \left(\frac{y-3}{2}\right)$

$x={\left(\frac{y}{2}\right)}^3-\frac{y}{2}$

$y=x^3$

${\left(\frac{x}{4}\right)}^2+{\left(\frac{y}{5}\right)}^2=1$

$y^2=1-\frac{1}{2}x$

$y=x^2+2x+1$

$y={\left(\frac{x+1}{2}\right)}^3-2$

$y=-3x+14$

$y=x+3$

$\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=t\hfill \\ y\left(t\right)=2\mathrm{sen}t+1\hfill \end{array}$

$\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=\sqrt{t}+2t\hfill \\ y\left(t\right)=t\hfill \end{array}$

$\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=4\cos t\hfill \\ y\left(t\right)=6\mathrm{sen}t\hfill \end{array};$ Elipse

$\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=\sqrt{10}\cos t\hfill \\ y\left(t\right)=\sqrt{10}\mathrm{sen}t\hfill \end{array};$ Círculo

$\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=-1+4t\hfill \\ y\left(t\right)=-2t\hfill \end{array}$

$\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=4+2t\hfill \\ y\left(t\right)=1-3t\hfill \end{array}$

sí, en $t=2$

las respuestas pueden variar $\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=t-1\hfill \\ y\left(t\right)=t^2\hfill \end{array}\text{ y }\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=t+1\hfill \\ y\left(t\right)={\left(t+2\right)}^2\hfill \end{array}$

las respuestas pueden variar: $\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=t\hfill \\ y\left(t\right)=t^2-4t+4\hfill \end{array}\text{ y }\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=t+2\hfill \\ y\left(t\right)=t^2\hfill \end{array}$

trazar puntos con la flecha de orientación y una calculadora gráfica

Las flechas muestran la orientación, la dirección del movimiento según los valores crecientes de $t.$

Las ecuaciones paramétricas muestran los diferentes movimientos verticales y horizontales en el tiempo.

Habrá 100 movimientos de ida y vuelta.

Tome lo contrario de la ecuación $x\left(t\right)$.

La parábola se abre.

$\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=5\cos t\\ y\left(t\right)=5\mathrm{sen}t\end{array}$

$a=4,$ $b=3,$ $c=6,$ $d=1$

$a=4,$ $b=2,$ $c=3,$ $d=3$

La intersección en $y$ cambia.

$y\left(x\right)=-16{\left(\frac{x}{15}\right)}^2+20\left(\frac{x}{15}\right)$

$\{\begin{array}{l}x(t)=64t\cos \left(52°\right)\\ y(t)=-16t^2+64t\mathrm{sen}\left(52°\right)\end{array}$

aproximadamente en 3,2 segundos

1,6 segundos

letra minúscula, en negrita, generalmente $u,v,w$

Son vectores unitarios. Se utilizan para representar los componentes horizontales y verticales de un vector. Cada uno de ellos tiene una magnitud de 1.

El primer número representa siempre el coeficiente de la $i,$ y el segundo representa el coeficiente de la $j.$

$〈7,-5〉$

no es igual

igual

igual

$7i-3j$

$-6i-2j$

$u+v=〈-5,5〉,u-v=〈-1,3〉,2u-3v=〈0,5〉$

$-10i–4j$

$-\frac{2\sqrt{29}}{29}i+\frac{5\sqrt{29}}{29}j$

$-\frac{2\sqrt{229}}{229}i+\frac{15\sqrt{229}}{229}j$

$-\frac{7\sqrt{2}}{10}i+\frac{\sqrt{2}}{10}j$

$\left|v\right|=\mathrm{7,810},\theta =\mathrm{39,806}°$

$\left|v\right|=\mathrm{7,211},\theta =\mathrm{236,310\; °}$