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Precálculo 2ed

8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos

Precálculo 2ed8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Utilizar la ley de senos para resolver triángulos oblicuos.
  • Calcular el área de un triángulo oblicuo con la función seno.
  • Resolver problemas aplicados con la ley de senos.

Para garantizar la seguridad de los más de 5.000 aviones estadounidenses que vuelan simultáneamente en horas punta, los controladores aéreos los supervisan y se comunican con ellos tras recibir los datos del robusto sistema de balizas de radar. Supongamos que dos estaciones de radar, situadas a 20 millas de distancia, detectan una aeronave entre ellas. El ángulo de elevación medido por la primera estación es de 35 grados, mientras que el ángulo de elevación medido por la segunda estación es de 15 grados. ¿Cómo podemos determinar la altitud de la aeronave? Vemos en la Figura 1 que el triángulo formado por la aeronave y las dos estaciones no es un triángulo rectángulo, por lo que no podemos utilizar lo que sabemos al respecto. En esta sección, descubriremos cómo resolver problemas que implican triángulos no rectángulos.

Un diagrama de un triángulo en el que los vértices son la primera estación terrestre, la segunda estación terrestre y el avión en el aire entre ellas. El ángulo entre la primera estación terrestre y el avión es de 15 grados, y el ángulo entre la segunda estación y el avión es de 35 grados. El lado entre las dos estaciones tiene una longitud de 20 millas. Hay una línea de puntos perpendicular al lado del suelo que conecta el vértice del avión con el suelo: una línea de altitud.
Figura 1

Usar la ley de senos para resolver triángulos oblicuos

En cualquier triángulo, podemos trazar una altitud, una línea perpendicular desde un vértice hasta el lado opuesto, para formar dos triángulos rectángulos. Sin embargo, sería preferible tener métodos que podamos aplicar directamente a los triángulos no rectángulos sin tener que crear primero triángulos rectángulos.

Cualquier triángulo que no sea un triángulo rectángulo es un triángulo oblicuo. Resolver un triángulo oblicuo significa calcular las medidas de los tres ángulos y los tres lados. Para ello, tenemos que empezar con al menos tres de estos valores, incluso al menos uno de los lados. Investigaremos tres posibles situaciones de problemas de triángulos oblicuos:

  1. ALA (ángulo-lado-ángulo). Conocemos las medidas de dos ángulos y el lado incluido. Vea la Figura 2.
    Un triángulo oblicuo formado por los ángulos alfa, beta y gamma. Los valores de alfa y gamma son conocidos, así como el lado opuesto a beta, entre alfa y gamma.
    Figura 2
  2. AAL (ángulo-ángulo-lado). Conocemos las medidas de dos ángulos y un lado que no está entre los ángulos conocidos. Vea la Figura 3.
    Un triángulo oblicuo formado por los ángulos alfa, beta y gamma. Se conocen el alfa y el gamma, así como el lado opuesto al alfa, entre el beta y el gamma.
    Figura 3
  3. LLA (lado-lado-ángulo). Conocemos las medidas de dos lados y un ángulo que no está entre los lados conocidos. Vea la Figura 4.
    Un triángulo oblicuo formado por los ángulos alfa, beta y gamma. Alfa es el único ángulo conocido. Se conocen dos lados. El primero es opuesto a alfa, entre beta y gamma, y el segundo es opuesto a gamma, entre alfa y beta.
    Figura 4

Saber cómo enfocar cada una de estas situaciones nos permite resolver triángulos oblicuos sin tener que soltar una perpendicular para formar dos triángulos rectángulos. En su lugar, podemos utilizar el hecho de que la relación entre la medida de uno de los ángulos y la longitud de su lado opuesto será igual a las otras dos relaciones entre la medida del ángulo y el lado opuesto. Veamos cómo se deriva esta afirmación considerando el triángulo que se muestra en la Figura 5.

Triángulo oblicuo formado por los lados a, b y c, y los ángulos alfa, beta y gamma. El lado c es el ángulo opuesto a gamma y es la base horizontal del triángulo. El lado b es opuesto al ángulo beta, y el lado a es opuesto al ángulo alfa. Hay una línea punteada perpendicular (altitud) desde el ángulo gamma hasta la base horizontal c.
Figura 5

Utilizando las relaciones del triángulo rectángulo, sabemos que senα= h b senα= h b y senβ= h a . senβ= h a . Resolviendo ambas ecuaciones para h h da dos expresiones diferentes para h. h.

h=bsenαyh=asenβ h=bsenαyh=asenβ

A continuación, igualamos las expresiones.

bsenα=asenβ ( 1 ab )(bsenα)=(asenβ)( 1 ab ) Multiplique ambos lados por 1 ab . senα a = senβ b bsenα=asenβ ( 1 ab )(bsenα)=(asenβ)( 1 ab ) Multiplique ambos lados por 1 ab . senα a = senβ b

Del mismo modo, podemos comparar los otros cocientes.

senα a = senγ c y senβ b = senγ c senα a = senγ c y senβ b = senγ c

En conjunto, estas relaciones reciben el nombre de ley de senos.

senα a = senβ b = senγ c senα a = senβ b = senγ c

Observe la forma estándar de etiquetar los triángulos: el ángulo α α (alfa) es el lado opuesto a; a; el ángulo β β (beta) es el lado opuesto b; b; y el ángulo γ γ (gamma) es el lado opuesto c. c. Vea la Figura 6.

Al calcular los ángulos y los lados, lleve los valores exactos hasta la respuesta final. Por lo general, las respuestas finales se redondean a la décima más cercana, a menos que se especifique lo contrario.

Un triángulo con etiquetas estándar.
Figura 6

Ley de senos

Dado un triángulo con ángulos y lados opuestos etiquetados como en la Figura 6, el cociente entre la medida de un ángulo y la longitud de su lado opuesto será igual a los otros dos cocientes entre la medida del ángulo y el lado opuesto. Todas las proporciones serán iguales. La ley de senos se basa en las proporciones y se presenta simbólicamente de dos maneras.

senα a = senβ b = senγ c senα a = senβ b = senγ c
a senα = b senβ = c senγ a senα = b senβ = c senγ

Para resolver un triángulo oblicuo, utilice cualquier par de cocientes aplicables.

Ejemplo 1

Resolver dos lados y un ángulo desconocidos de un triángulo AAL

Resuelva el triángulo que se muestra en la Figura 7 a la décima más cercana.

Un triángulo oblicuo con etiquetas estándar. El ángulo alfa es de 50 grados, el ángulo gamma es de 30 grados y el lado a es de longitud 10. El lado b es la base horizontal.
Figura 7

Inténtelo #1

Resuelva el triángulo que se muestra en la Figura 8 a la décima más cercana.

Un triángulo oblicuo con etiquetas estándar. El ángulo alfa es de 98 grados, el ángulo gamma es de 43 grados y el lado b es de longitud 22. El lado b es la base horizontal.
Figura 8

Usar la ley de senos para resolver triángulos LLA

Podemos utilizar la ley de senos para resolver cualquier triángulo oblicuo, aunque algunas soluciones pueden no ser sencillas. En algunos casos, más de un triángulo puede satisfacer los criterios dados, lo que describimos como un caso ambiguo. Los triángulos clasificados como LLA, aquellos en los que conocemos las longitudes de dos lados y la medida del ángulo opuesto a uno de los lados dados, pueden dar lugar a una o dos soluciones, o incluso a ninguna solución.

Posibles resultados de los triángulos LLA

Los triángulos oblicuos de la categoría LLA pueden tener cuatro resultados diferentes. La Figura 9 ilustra las soluciones con los lados conocidos a a y b b y ángulo conocido α. α.

Hay cuatro intentos de triángulos oblicuos en una fila, todos con etiquetas estándar. El lado c es la base horizontal. En el primer intento de triángulo, el lado a es menor que la altura de la altitud. Dado que el lado a no puede llegar al lado c, no hay triángulo. En el segundo intento de triángulo, el lado a es igual a la longitud de la altura, por lo que el lado a forma un ángulo recto con el lado c. En el tercer intento de triángulo, el lado a es mayor que la altura de la altitud y menor que el lado b, por lo que el lado a puede formar un ángulo agudo u obtuso con el lado c. En el cuarto intento de triángulo, el lado a es mayor o igual que el lado b, por lo que el lado a forma un ángulo agudo con el lado c.
Figura 9

Ejemplo 2

Resolver un triángulo LLA oblicuo

Resuelva el triángulo en la Figura 10 para el lado que falta y calcule las medidas de los ángulos que faltan a la décima más cercana.

Un triángulo oblicuo con etiquetas estándar en el que el lado a es de longitud 6, el lado b es de longitud 8 y el ángulo alfa es de 35 grados.
Figura 10

Inténtelo #2

Dados α=80°,a=120, α=80°,a=120, y b=121, b=121, halle el lado y los ángulos que faltan. Si hay más de una solución posible, muestre ambas.

Ejemplo 3

Resolver los lados y ángulos desconocidos de un triángulo LLA

En el triángulo que se muestra en la Figura 13, resuelva el lado y los ángulos desconocidos. Redondee sus respuestas a la décima más cercana.

Un triángulo oblicuo con etiquetas estándar. El lado b es 9, el lado c es 12, y el ángulo gamma es 85. El ángulo alfa, el ángulo beta y el lado a son desconocidos.
Figura 13

Inténtelo #3

Dados α=80°,a=100,b=10, α=80°,a=100,b=10, halle el lado y los ángulos que faltan. Si hay más de una solución posible, muestre ambas. Redondee sus respuestas a la décima más cercana.

Ejemplo 4

Hallar los triángulos que satisfagan los criterios dados

Halle todos los triángulos posibles si un lado tiene longitud 4 frente a un ángulo de 50°, y el otro lado tiene longitud 10.

Inténtelo #4

Determine el número de triángulos posibles dado a=31, a=31, b=26,b=26, β=48°. β=48°.

Calcular el área de un triángulo oblicuo mediante la función seno

Ahora que podemos resolver un triángulo para los valores que faltan, podemos utilizar algunos de esos valores y la función seno para calcular el área de un triángulo oblicuo. Recordemos que la fórmula del área de un triángulo viene dada por Área= 1 2 bh, Área= 1 2 bh, donde b b es la base y h h es la altura. En los triángulos oblicuos, debemos hallar h h antes de poder utilizar la fórmula del área. Al observar los dos triángulos en la Figura 15, uno agudo y otro obtuso, podemos dejar caer una perpendicular que represente la altura y luego aplicar la propiedad trigonométrica senα= opuesto hipotenusa senα= opuesto hipotenusa para escribir una ecuación del área en triángulos oblicuos. En el triángulo agudo, tenemos senα= h c senα= h c o csenα=h. csenα=h. Sin embargo, en el triángulo obtuso, dejamos caer la perpendicular fuera del triángulo y extendemos la base b b para formar un triángulo rectángulo. El ángulo utilizado en el cálculo es α , α , o 180α. 180α.

Dos triángulos oblicuos con etiquetas estándar. Ambos tienen una línea punteada de altitud h, extendida desde el ángulo beta hasta el lado de la base horizontal b. En el primero, que es un triángulo agudo, la altitud está dentro del triángulo. En el segundo, que es un triángulo obtuso, la altitud h está fuera del triángulo.
Figura 15

Por lo tanto,

Área= 1 2 ( base )( altura )= 1 2 b( csenα ) Área= 1 2 ( base )( altura )= 1 2 b( csenα )

De la misma manera,

Área= 1 2 a( bsenγ )= 1 2 a( csenβ ) Área= 1 2 a( bsenγ )= 1 2 a( csenβ )

Área de un triángulo oblicuo

La fórmula del área de un triángulo oblicuo viene dada por

Área= 1 2 bcsenα = 1 2 acsenβ = 1 2 absenγ Área= 1 2 bcsenα = 1 2 acsenβ = 1 2 absenγ

Esto equivale a la mitad del producto de dos lados y el seno de su ángulo incluido.

Ejemplo 5

Calcular el área de un triángulo oblicuo

Calcule el área de un triángulo con lados a=90,b=52, a=90,b=52, y el ángulo γ=102°. γ=102°. Redondee el área al número entero más cercano.

Inténtelo #5

Calcule el área del triángulo dado β=42°, β=42°, a=7,2pies,a=7,2pies, c=3,4pies. c=3,4pies. Redondee el área a la décima más cercana.

Resolver problemas aplicados mediante la ley de senos

Cuanto más estudiamos las aplicaciones trigonométricas, más descubrimos que son innumerables. Algunas son situaciones planas, tipo diagrama, pero muchas aplicaciones de cálculo, ingeniería y física implican tres dimensiones y movimiento.

Ejemplo 6

Calcular la altitud

Calcule la altitud de la aeronave en el problema presentado al comienzo de esta sección, que se muestra en la Figura 16. Redondee la altitud a la décima de milla más cercana.

Un diagrama de un triángulo en el que los vértices son la primera estación terrestre, la segunda estación terrestre y el avión en el aire entre ellas. El ángulo entre la primera estación terrestre y el avión es de 15 grados, y el ángulo entre la segunda estación y el avión es de 35 grados. El lado entre las dos estaciones tiene una longitud de 20 millas. Hay una línea punteada que denota la altitud, perpendicular al lado del suelo que conecta el vértice de la aeronave con el suelo.
Figura 16

Inténtelo #6

El diagrama que se muestra en la Figura 17 representa la altura de un dirigible que sobrevuela un estadio de fútbol. Calcule la altura del dirigible si el ángulo de elevación en la zona del extremo sur, punto A, es de 70°, el ángulo de elevación desde la zona del extremo norte, punto B, B, es de 62°, y la distancia entre los puntos de visión de las dos zonas de anotación es de 145 yardas.

Triángulo oblicuo formado por tres vértices A, B y C. Los vértices A y B son puntos en el suelo, y el vértice C es el dirigible en el aire entre ellos. La distancia entre A y B es de 145 yardas. El ángulo en el vértice A es de 70 grados, y el ángulo en el vértice B es de 62 grados.
Figura 17

Media

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8.1 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Describa la altitud de un triángulo.

2.

Compare los triángulos rectángulos y los oblicuos.

3.

¿Cuándo utilizar la ley de senos para hallar el ángulo que falta?

4.

En la ley de senos, ¿cuál es la relación entre el ángulo en el numerador y el lado en el denominador?

5.

¿Qué tipo de triángulo da lugar a un caso ambiguo?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, supongamos que α α es el lado opuesto a,β a,β es el lado opuesto b, b, y γ γ es el lado opuesto c. c. Resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

6.

α=43°,γ=69°,a=20 α=43°,γ=69°,a=20

7.

α=35°,γ=73°,c=20 α=35°,γ=73°,c=20

8.

α=60°, α=60°, β=60°,β=60°, γ=60° γ=60°

9.

a=4, a=4, α= 60° ,α= 60° , β=100° β=100°

10.

b=10, b=10, β=95°,γ= 30° β=95°,γ= 30°

En los siguientes ejercicios, utilice la ley de senos para resolver el lado que falta en cada triángulo oblicuo. Redondee cada respuesta a la centésima más cercana. Supongamos que el ángulo A A es el lado opuesto a, a, el ángulo B B es el lado opuesto b, b, y el ángulo C C es el lado opuesto c. c.

11.

Halle el lado b b cuando A=37°, A=37°, B=49°,B=49°, c=5. c=5.

12.

Halle el lado a a cuando A=132°,C=23°,b=10. A=132°,C=23°,b=10.

13.

Halle el lado c c cuando B=37°,C=21°, B=37°,C=21°, b=23. b=23.

En los siguientes ejercicios, supongamos que α α es el lado opuesto a,β a,β es el lado opuesto b, b, y γ γ es el lado opuesto c. c. Determine si no hay ningún triángulo, un triángulo o dos triángulos. A continuación, resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

14.

α=119°,a=14,b=26 α=119°,a=14,b=26

15.

γ=113°,b=10,c=32 γ=113°,b=10,c=32

16.

b=3,5, b=3,5, c=5,3,c=5,3, γ= 80° γ= 80°

17.

a=12, a=12, c=17,c=17, α= 35° α= 35°

18.

a=20,5, a=20,5, b=35,0,b=35,0, β= 25° β= 25°

19.

a=7, a=7, c=9,c=9, α=43° α=43°

20.

a=7,b=3,β=24° a=7,b=3,β=24°

21.

b=13,c=5,γ=10° b=13,c=5,γ=10°

22.

a=2,3,c=1,8,γ=28° a=2,3,c=1,8,γ=28°

23.

β=119°,b=8,2,a=11,3 β=119°,b=8,2,a=11,3

En los siguientes ejercicios, utilice la ley de senos para resolver, si es posible, el lado o ángulo que falta para cada triángulo o triángulos en el caso ambiguo. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

24.

Halle el ángulo A A cuando a=24,b=5,B=22°. a=24,b=5,B=22°.

25.

Halle el ángulo A A cuando a=13,b=6,B=20°. a=13,b=6,B=20°.

26.

Halle el ángulo B B cuando A=12°,a=2 ,b=9. A=12°,a=2 ,b=9.

En los siguientes ejercicios, calcule el área del triángulo con las medidas dadas. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

27.

a=5,c=6,β= 35° a=5,c=6,β= 35°

28.

b=11,c=8,α= 28° b=11,c=8,α= 28°

29.

a=32,b=24,γ= 75° a=32,b=24,γ= 75°

30.

a=7,2,b=4,5,γ= 43° a=7,2,b=4,5,γ= 43°

Gráficos

En los siguientes ejercicios, calcule la longitud del lado x. x. Redondee a la décima más cercana.

31.
Un triángulo con un ángulo de 50 grados y un lado opuesto de longitud 10. Otro ángulo es de 70 grados con el lado opuesto de longitud x.
32.
Un triángulo con un ángulo = 120 grados. Otro ángulo es de 25 grados con el lado opuesto = x. El lado adyacente a los ángulos de 25 y 120 grados tiene una longitud de 6.
33.
Un triángulo. Un ángulo es de 45 grados con el lado opuesto = x. Otro ángulo es de 75 grados. El lado adyacente a los ángulos de 45 y 75 grados = 15.
34.
Un triángulo. Un ángulo es de 40 grados con el lado opuesto = x. Otro ángulo es de 110 grados con el lado opuesto = 18.
35.
Un triángulo. Un ángulo es de 50 grados con el lado opuesto = x. Otro ángulo es de 42 grados con el lado opuesto = 14.
36.
Un triángulo. Un ángulo es de 111 grados con el lado opuesto = x. Otro ángulo es de 22 grados. El lado adyacente a los ángulos de 111 y 22 grados = 8,6.

En los siguientes ejercicios, calcule la medida del ángulo x, x, si es posible. Redondee a la décima más cercana.

37.
Un triángulo. Uno de los ángulos es de 98 grados con el lado opuesto = 10. Otro ángulo es de x grados con el lado opuesto = 5.
38.
Un triángulo. Un ángulo es de 37 grados con el lado opuesto = 11. Otro ángulo es de x grados con el lado opuesto = 8.
39.
Un triángulo. Un ángulo es de 22 grados con el lado opuesto = 5. Otro ángulo es de x grados con el lado opuesto = 13.
40.
Un triángulo. Un ángulo es de 59 grados con el lado opuesto = 5,7. Otro ángulo es de x grados con el lado opuesto = 5,3.
41.

Observe que x x es un ángulo
obtuso.

Un triángulo. Un ángulo es de 55 grados con el lado opuesto = 21. Otro ángulo es de x grados con el lado opuesto = 24.
42.
Un triángulo. Un ángulo es de 65 grados con el lado opuesto = 10. Otro ángulo es de x grados con el lado opuesto = 12.

En el siguiente ejercicio, resuelva el triángulo. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

43.
Un triángulo. Un ángulo es de 93 grados con el lado opuesto = 32,6. Otro lado es de 24,1.
44.

En los siguientes ejercicios, calcule el área de cada triángulo. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

Un triángulo. Un ángulo es de 30 grados. Los dos lados adyacentes a ese ángulo son de 10 y 16.
45.
Un triángulo. Un ángulo es de 25 grados. Los dos lados adyacentes a ese ángulo son de 18 y 15.
46.
Un triángulo. Un ángulo es de 51 grados con el lado opuesto = 3,5. Los otros dos lados son de 4,5 y 2,9.
47.
Un triángulo. Un ángulo es de 58 grados con el lado opuesto desconocido. Otro ángulo es de 51 grados con el lado opuesto = 9. El lado adyacente a los dos ángulos dados es de 11.
48.
Un triángulo. Un ángulo es de 40 grados con el lado opuesto = 18. Uno de los otros lados es de 25.
49.
Un triángulo. Un ángulo es de 115 grados con el lado opuesto = 50. Otro ángulo es de 30 grados con el lado opuesto = 30.

Extensiones

50.

Halle el radio del círculo en la
Figura 18. Redondee a la décima más cercana.

Un triángulo inscrito en un círculo. Dos de los catetos son radios. El ángulo central formado por los radios es de 145 grados, y el lado opuesto es de 3.
Figura 18
51.

Halle el diámetro del círculo en la Figura 19. Redondee a la décima más cercana.

Un triángulo inscrito en un círculo. Dos de los catetos son radios. El ángulo central formado por los radios es de 110 grados, y el lado opuesto es de 8,3.
Figura 19
52.

Halle mADC mADC en la Figura 20.
Redondee a la décima más cercana.

Un triángulo dentro de un triángulo. El triángulo exterior está formado por los vértices A, B y D. El lado B D es la base. El triángulo interior comparte los vértices A y B. El último vértice C está situado en el lado de la base del triángulo exterior entre los vértices B y D. El ángulo B es de 60 grados, el lado A D es 10 y el lado A C es 9.
Figura 20
53.

Halle AD AD en la Figura 21.
Redondee a la décima más cercana.

Un triángulo dentro de un triángulo. El triángulo exterior está formado por los vértices A, B y D. El lado B D es la base. El triángulo interior comparte los vértices A y B. El último vértice C está situado en el lado de la base del triángulo exterior entre los vértices B y D. El ángulo B es de 53 grados, el ángulo D es de 44 grados, el lado A B es 12 y el lado A C es 13.
Figura 21
54.

Resuelva ambos triángulos en la Figura 22. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

Dos triángulos formados por la intersección de las líneas A D y B C. Se cruzan en el punto E. El primer triángulo está formado por los vértices A, B y E, mientras que el segundo triángulo está formado por los vértices C, E y D. El ángulo A es de 48 grados, el lado A B es de 4,2, el ángulo D es de 48 grados y el lado C D es de 2. El ángulo A E B es de 46 grados.
Figura 22
55.

Halle AB AB en el paralelogramo que se muestra en la Figura 23.

Un paralelogramo con vértices A, B, C y D. Hay una diagonal del vértice B al vértice C. El ángulo A es de 130 grados, el ángulo D es de 130 grados, el lado B D es de 10 y la diagonal B C es de 12.
Figura 23
56.

Resuelva el triángulo en la Figura 24. (Pista: Dibuje una perpendicular desde H H hasta JK). JK). Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

Un triángulo con vértices J, K y H. El lado J K es la base horizontal y es de 10. El lado JH es de 7. El ángulo J es de 20 grados.
Figura 24
57.

Resuelva el triángulo en la Figura 25. (Pista: Dibuje una perpendicular desde N N hasta LM). LM). Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

Un triángulo con vértices M, N y L. El lado M N es la base horizontal y es de 4,6. El ángulo M es de 74 grados y el lado M L es de 5.
Figura 25
58.

En la Figura 26, ABCD ABCD no es un paralelogramo m m es obtuso. Resuelva ambos triángulos. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

Un cuadrilátero con vértices A, B, C y D. Hay una diagonal del vértice B al vértice D de longitud 45. El lado A B es x, el lado B C es y, el lado C D es de 40, y el lado D A es de 29. El ángulo A es m grados, el ángulo C es de 65 grados, el ángulo A B D es de 35 grados, el ángulo D B C es n grados, el ángulo B D C es k grados y el ángulo A D B es h grados.
Figura 26

Aplicaciones en el mundo real

59.

Un poste se aleja del sol en un ángulo de a la vertical, como se muestra en la Figura 27. Cuando la elevación del sol es 55°, 55°, el poste proyecta una sombra de 42 pies de largo en el suelo plano. ¿Qué longitud tiene el poste? Redondee la respuesta a la décima más cercana.

Un triángulo dentro de un triángulo. El triángulo exterior está formado por los vértices A, B y S (el sol). El lado A B es la base horizontal, el suelo, y tiene 42 pies. El ángulo A es de 55 grados. El triángulo interior está formado por los vértices A, B y C. El lado B C es el poste. El vértice C está situado en el lado A S del triángulo exterior entre los vértices A y S. El ángulo C B S es de 7 grados.
Figura 27
60.

Para determinar cuán lejos está un barco de la costa, dos estaciones de radar situadas a 500 pies de distancia determinan los ángulos hacia el barco, como se muestra en la Figura 28. Determine la distancia del barco desde la estación A A y la distancia del barco a la costa. Redondee sus respuestas al pie entero más cercano.

Un triángulo formado por las dos estaciones de radar A y B y el barco. El lado A B es la base horizontal. El ángulo A es de 70 grados y el ángulo B es de 60 grados.
Figura 28
61.

La Figura 29 muestra un satélite en órbita alrededor de la Tierra. El satélite pasa directamente sobre dos estaciones rastreadoras A A y B, B, que están a 69 millas de distancia. Cuando el satélite está en un lado de las dos estaciones, los ángulos de elevación en A A y B B se miden en 83,9° 83,9° y 86,2°, 86,2°, respectivamente. ¿A qué distancia está el satélite de la estación A A y a qué altura está el satélite sobre el suelo? Redondee las respuestas a la milla entera más cercana.

Un triángulo formado por dos estaciones rastreadoras en tierra A y B y el satélite. El lado A B es la base horizontal del triángulo. El ángulo A es de 83,9 grados, y el ángulo complementario al ángulo B es de 86,2 grados.
Figura 29
62.

Una torre de comunicaciones está situada en la cima de una colina empinada, como se muestra en la Figura 30. El ángulo de inclinación de la colina es 67°. 67°. Se debe fijar un cable de sujeción en la parte superior de la torre y en el suelo, 165 metros cuesta abajo desde la base de la torre. El ángulo formado por el cable de sujeción y la colina es de 16°. 16°. Calcule la longitud del cable necesario para el cable de sujeción con una precisión de un metro.

Un triángulo formado por la falda de la colina, la base de la torre en la cima de la colina y el tope de la torre. El lado entre la falda de la colina y el tope de la torre es el cable. La longitud del lado entre la falda de la colina y la base de la torre es de 165 metros. El ángulo formado por el lado del cable y la falda de la colina es de 16 grados. El ángulo entre la colina y el suelo horizontal es de 67 grados.
Figura 30
63.

El tejado de una casa está a un ángulo de 20° 20° Se instalará un panel solar de 8 pies en el tejado y deberá estar en un ángulo de 38° 38° respecto a la horizontal para obtener resultados óptimos. (Vea la Figura 31). ¿Qué longitud debe tener el soporte vertical que sostiene la parte trasera del panel? Redondee a la décima más cercana.

Un triángulo cuyos lados son el panel solar, el techo que pasa por delante del panel solar y el soporte vertical del panel. El lado del panel solar tiene 8 pies de largo. Hay líneas punteadas horizontales en la parte inferior del panel solar y en la parte inferior del tejado. El ángulo entre el panel solar y la horizontal es de 38 grados. El ángulo entre el tejado y la horizontal es de 20 grados.
Figura 31
64.

Al igual que el ángulo de elevación, el ángulo de depresión es el ángulo agudo formado por una línea horizontal y la línea de visión de un observador hacia un objeto situado por debajo de la horizontal. Un piloto vuela sobre una carretera recta. Determine que los ángulos de depresión de dos hitos, separados por 6,6 km, sean de 37° 37° y 44°, 44°, como se muestra en la Figura 32. Calcule la distancia del avión al punto A A a la décima de kilómetro más cercana.

Un triángulo formado por los puntos A y B en el suelo y un avión en el aire entre ellos. El lado A B es el suelo horizontal. Hay una línea punteada horizontal paralela al suelo que atraviesa el avión. El ángulo formado por la línea punteada horizontal, el avión y el punto A es de 37 grados. El ángulo entre la línea punteada horizontal, el avión, y el punto B es de 44 grados.
Figura 32
65.

Un piloto vuela sobre una carretera recta. Determine que los ángulos de depresión de dos hitos, separados por 4,3 km, son de 32° y 56°, como se muestra en la Figura 33. Calcule la distancia del avión al punto A A a la décima de kilómetro más cercana.

Triángulo formado entre el avión y dos puntos del suelo, A y B. El lado A B es la base horizontal. El avión está por encima y a la izquierda de A y B. El punto B está a la derecha del punto A. Hay una línea punteada horizontal que pasa por el avión en paralelo al suelo. El ángulo formado entre el punto B, el avión y la línea punteada horizontal es de 32 grados. El ángulo formado entre el punto A, el avión, y la línea punteada horizontal es de 56 grados.
Figura 33
66.

Para estimar la altura de un edificio, dos estudiantes se sitúan a cierta distancia del edificio a nivel de la calle. Desde este punto, calculan que el ángulo de elevación desde la calle hasta la parte superior del edificio es de 39°. A continuación, se acercan 300 pies al edificio y descubren que el ángulo de elevación es de 50°. Suponiendo que la calle está nivelada, calcule la altura del edificio con una aproximación de un pie.

67.

Para estimar la altura de un edificio, dos estudiantes se sitúan a cierta distancia del edificio a nivel de la calle. Desde este punto, calculan que el ángulo de elevación desde la calle hasta la parte superior del edificio es de 35°. A continuación, se acercan 250 pies al edificio y descubren que el ángulo de elevación es de 53°. Suponiendo que la calle está nivelada, calcule la altura del edificio con una aproximación de un pie.

68.

Los puntos A A y B B están en lados opuestos de un lago. El punto C C está a 97 metros de A. A. La medida del ángulo BAC BAC se determina que es de 101°, mientras que la medida del ángulo ACB ACB se determina que es de 53°. ¿Cuál es la distancia desde A A hasta B, B, redondeada al metro entero más cercano?

69.

Un hombre y una mujer de pie 3 1 2 3 1 2 millas de distancia divisan un globo aerostático al mismo tiempo. Si el ángulo de elevación desde el hombre hasta el globo es de 27°, y el ángulo de elevación desde la mujer hasta el globo es de 41°, calcule la altitud del globo al pie más cercano.

70.

Dos equipos de búsqueda localizan a un escalador varado en una montaña. El primer equipo de búsqueda está a 0,5 millas del segundo equipo de búsqueda, y ambos están a una altura de 1 milla. El ángulo de elevación desde el primer equipo de búsqueda hasta el escalador varado es de 15°. El ángulo de elevación del segundo equipo de búsqueda al escalador es de 22°. ¿Cuál es la altitud del escalador? Redondee a la décima de milla más cercana.

71.

Una farola está montada en un poste. Un hombre de 6 pies de alto está de pie en la calle, a poca distancia del poste, proyectando una sombra. El ángulo de elevación desde la punta de la sombra del hombre hasta la parte superior de su cabeza de 28°. Una mujer de 6 pies de alto se encuentra en la misma calle, en el lado opuesto del poste del hombre. El ángulo de elevación desde la punta de su sombra hasta la parte superior de su cabeza es de 28°. Si el hombre y la mujer están a 20 pies de distancia, ¿a qué distancia está la farola de la punta de la sombra de cada persona? Redondee la distancia a la décima de pie más cercana.

72.

Tres ciudades, A,B, A,B, y C, C, están situadas de manera que la ciudad A A está al este de la ciudad B. B. Si la ciudad C C se encuentra a 35° al oeste del norte de la ciudad B B y está a 100 millas de la ciudad A A y 70 millas de la ciudad B, B, a qué distancia se encuentra la ciudad A A de la ciudad B? B? Redondee la distancia a la décima de milla más cercana.

73.

Dos calles se encuentran en un ángulo de 80°. En la esquina se construye un parque en forma de triángulo. Calcule el área del parque si, a lo largo de una calle, el parque mide 180 pies, y a lo largo de la otra calle, el parque mide 215 pies.

74.

La casa de Brian está en una esquina. Calcule el área del patio delantero si los bordes miden 40 y 56 pies, como se muestra en la Figura 34.

Un triángulo con ángulo de 135 grados. Los lados adyacentes a ese ángulo son de 56 pies y 40 pies. El otro lado es la casa, de longitud desconocida.
Figura 34
75.

El triángulo de las Bermudas es una región del océano Atlántico que conecta las Bermudas, Florida y Puerto Rico. Calcule el área del triángulo de las Bermudas si la distancia de Florida a las Bermudas es de 1.030 millas, la distancia de Puerto Rico a las Bermudas es de 980 millas y el ángulo creado por las dos distancias es de 62°.

76.

Un cartel de ceda el paso mide 30 pulgadas en los tres lados. ¿Cuál es el área del cartel?

77.

Naomi compró una mesa de comedor cuyo tablero tiene forma triangular. Calcule el área del tablero de la mesa si dos de los lados miden 4 pies y 4,5 pies, y los ángulos menores miden 32° y 42°, como se muestra en la Figura 35.

Un triángulo. Un ángulo es de 32 grados con el lado opuesto = 4. Otro ángulo es de 42 grados con lado opuesto = 4,5.
Figura 35
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