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Precálculo 2ed

8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos

Precálculo 2ed8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
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Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Utilizar la ley de senos para resolver triángulos oblicuos.
  • Calcular el área de un triángulo oblicuo con la función seno.
  • Resolver problemas aplicados con la ley de senos.

Para garantizar la seguridad de los más de 5.000 aviones estadounidenses que vuelan simultáneamente en horas punta, los controladores aéreos los supervisan y se comunican con ellos tras recibir los datos del robusto sistema de balizas de radar. Supongamos que dos estaciones de radar, situadas a 20 millas de distancia, detectan una aeronave entre ellas. El ángulo de elevación medido por la primera estación es de 35 grados, mientras que el ángulo de elevación medido por la segunda estación es de 15 grados. ¿Cómo podemos determinar la altitud de la aeronave? Vemos en la Figura 1 que el triángulo formado por la aeronave y las dos estaciones no es un triángulo rectángulo, por lo que no podemos utilizar lo que sabemos al respecto. En esta sección, descubriremos cómo resolver problemas que implican triángulos no rectángulos.

Figura 1

Usar la ley de senos para resolver triángulos oblicuos

En cualquier triángulo, podemos trazar una altitud, una línea perpendicular desde un vértice hasta el lado opuesto, para formar dos triángulos rectángulos. Sin embargo, sería preferible tener métodos que podamos aplicar directamente a los triángulos no rectángulos sin tener que crear primero triángulos rectángulos.

Cualquier triángulo que no sea un triángulo rectángulo es un triángulo oblicuo. Resolver un triángulo oblicuo significa calcular las medidas de los tres ángulos y los tres lados. Para ello, tenemos que empezar con al menos tres de estos valores, incluso al menos uno de los lados. Investigaremos tres posibles situaciones de problemas de triángulos oblicuos:

  1. ALA (ángulo-lado-ángulo). Conocemos las medidas de dos ángulos y el lado incluido. Vea la Figura 2.
    Figura 2
  2. AAL (ángulo-ángulo-lado). Conocemos las medidas de dos ángulos y un lado que no está entre los ángulos conocidos. Vea la Figura 3.
    Figura 3
  3. LLA (lado-lado-ángulo). Conocemos las medidas de dos lados y un ángulo que no está entre los lados conocidos. Vea la Figura 4.
    Figura 4

Saber cómo enfocar cada una de estas situaciones nos permite resolver triángulos oblicuos sin tener que soltar una perpendicular para formar dos triángulos rectángulos. En su lugar, podemos utilizar el hecho de que la relación entre la medida de uno de los ángulos y la longitud de su lado opuesto será igual a las otras dos relaciones entre la medida del ángulo y el lado opuesto. Veamos cómo se deriva esta afirmación considerando el triángulo que se muestra en la Figura 5.

Figura 5

Utilizando las relaciones del triángulo rectángulo, sabemos que senα= h b senα= h b y senβ= h a . senβ= h a . Resolviendo ambas ecuaciones para h h da dos expresiones diferentes para h. h.

h=bsenαyh=asenβ h=bsenαyh=asenβ

A continuación, igualamos las expresiones.

bsenα=asenβ ( 1 ab )(bsenα)=(asenβ)( 1 ab ) Multiplique ambos lados por 1 ab . senα a = senβ b bsenα=asenβ ( 1 ab )(bsenα)=(asenβ)( 1 ab ) Multiplique ambos lados por 1 ab . senα a = senβ b

Del mismo modo, podemos comparar los otros cocientes.

senα a = senγ c y senβ b = senγ c senα a = senγ c y senβ b = senγ c

En conjunto, estas relaciones reciben el nombre de ley de senos.

senα a = senβ b = senγ c senα a = senβ b = senγ c

Observe la forma estándar de etiquetar los triángulos: el ángulo α α (alfa) es el lado opuesto a; a; el ángulo β β (beta) es el lado opuesto b; b; y el ángulo γ γ (gamma) es el lado opuesto c. c. Vea la Figura 6.

Al calcular los ángulos y los lados, lleve los valores exactos hasta la respuesta final. Por lo general, las respuestas finales se redondean a la décima más cercana, a menos que se especifique lo contrario.

Figura 6

Ley de senos

Dado un triángulo con ángulos y lados opuestos etiquetados como en la Figura 6, el cociente entre la medida de un ángulo y la longitud de su lado opuesto será igual a los otros dos cocientes entre la medida del ángulo y el lado opuesto. Todas las proporciones serán iguales. La ley de senos se basa en las proporciones y se presenta simbólicamente de dos maneras.

senα a = senβ b = senγ c senα a = senβ b = senγ c
a senα = b senβ = c senγ a senα = b senβ = c senγ

Para resolver un triángulo oblicuo, utilice cualquier par de cocientes aplicables.

Ejemplo 1

Resolver dos lados y un ángulo desconocidos de un triángulo AAL

Resuelva el triángulo que se muestra en la Figura 7 a la décima más cercana.

Figura 7

Inténtelo #1

Resuelva el triángulo que se muestra en la Figura 8 a la décima más cercana.

Figura 8

Usar la ley de senos para resolver triángulos LLA

Podemos utilizar la ley de senos para resolver cualquier triángulo oblicuo, aunque algunas soluciones pueden no ser sencillas. En algunos casos, más de un triángulo puede satisfacer los criterios dados, lo que describimos como un caso ambiguo. Los triángulos clasificados como LLA, aquellos en los que conocemos las longitudes de dos lados y la medida del ángulo opuesto a uno de los lados dados, pueden dar lugar a una o dos soluciones, o incluso a ninguna solución.

Posibles resultados de los triángulos LLA

Los triángulos oblicuos de la categoría LLA pueden tener cuatro resultados diferentes. La Figura 9 ilustra las soluciones con los lados conocidos a a y b b y ángulo conocido α. α.

Figura 9

Ejemplo 2

Resolver un triángulo LLA oblicuo

Resuelva el triángulo en la Figura 10 para el lado que falta y calcule las medidas de los ángulos que faltan a la décima más cercana.

Figura 10

Inténtelo #2

Dados α=80°,a=120, α=80°,a=120, y b=121, b=121, halle el lado y los ángulos que faltan. Si hay más de una solución posible, muestre ambas.

Ejemplo 3

Resolver los lados y ángulos desconocidos de un triángulo LLA

En el triángulo que se muestra en la Figura 13, resuelva el lado y los ángulos desconocidos. Redondee sus respuestas a la décima más cercana.

Figura 13

Inténtelo #3

Dados α=80°,a=100,b=10, α=80°,a=100,b=10, halle el lado y los ángulos que faltan. Si hay más de una solución posible, muestre ambas. Redondee sus respuestas a la décima más cercana.

Ejemplo 4

Hallar los triángulos que satisfagan los criterios dados

Halle todos los triángulos posibles si un lado tiene longitud 4 frente a un ángulo de 50°, y el otro lado tiene longitud 10.

Inténtelo #4

Determine el número de triángulos posibles dado a=31, a=31, b=26,b=26, β=48°. β=48°.

Calcular el área de un triángulo oblicuo mediante la función seno

Ahora que podemos resolver un triángulo para los valores que faltan, podemos utilizar algunos de esos valores y la función seno para calcular el área de un triángulo oblicuo. Recordemos que la fórmula del área de un triángulo viene dada por Área= 1 2 bh, Área= 1 2 bh, donde b b es la base y h h es la altura. En los triángulos oblicuos, debemos hallar h h antes de poder utilizar la fórmula del área. Al observar los dos triángulos en la Figura 15, uno agudo y otro obtuso, podemos dejar caer una perpendicular que represente la altura y luego aplicar la propiedad trigonométrica senα= opuesto hipotenusa senα= opuesto hipotenusa para escribir una ecuación del área en triángulos oblicuos. En el triángulo agudo, tenemos senα= h c senα= h c o csenα=h. csenα=h. Sin embargo, en el triángulo obtuso, dejamos caer la perpendicular fuera del triángulo y extendemos la base b b para formar un triángulo rectángulo. El ángulo utilizado en el cálculo es α ′ , α ′ , o 180−α. 180−α.

Figura 15

Por lo tanto,

Área= 1 2 ( base )( altura )= 1 2 b( csenα ) Área= 1 2 ( base )( altura )= 1 2 b( csenα )

De la misma manera,

Área= 1 2 a( bsenγ )= 1 2 a( csenβ ) Área= 1 2 a( bsenγ )= 1 2 a( csenβ )

Área de un triángulo oblicuo

La fórmula del área de un triángulo oblicuo viene dada por

Área= 1 2 bcsenα = 1 2 acsenβ = 1 2 absenγ Área= 1 2 bcsenα = 1 2 acsenβ = 1 2 absenγ

Esto equivale a la mitad del producto de dos lados y el seno de su ángulo incluido.

Ejemplo 5

Calcular el área de un triángulo oblicuo

Calcule el área de un triángulo con lados a=90,b=52, a=90,b=52, y el ángulo γ=102°. γ=102°. Redondee el área al número entero más cercano.

Inténtelo #5

Calcule el área del triángulo dado β=42°, β=42°, a=7,2pies,a=7,2pies, c=3,4pies. c=3,4pies. Redondee el área a la décima más cercana.

Resolver problemas aplicados mediante la ley de senos

Cuanto más estudiamos las aplicaciones trigonométricas, más descubrimos que son innumerables. Algunas son situaciones planas, tipo diagrama, pero muchas aplicaciones de cálculo, ingeniería y física implican tres dimensiones y movimiento.

Ejemplo 6

Calcular la altitud

Calcule la altitud de la aeronave en el problema presentado al comienzo de esta sección, que se muestra en la Figura 16. Redondee la altitud a la décima de milla más cercana.

Figura 16

Inténtelo #6

El diagrama que se muestra en la Figura 17 representa la altura de un dirigible que sobrevuela un estadio de fútbol. Calcule la altura del dirigible si el ángulo de elevación en la zona del extremo sur, punto A, es de 70°, el ángulo de elevación desde la zona del extremo norte, punto B, B, es de 62°, y la distancia entre los puntos de visión de las dos zonas de anotación es de 145 yardas.

Figura 17

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las aplicaciones trigonométricas.

8.1 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Describa la altitud de un triángulo.

2.

Compare los triángulos rectángulos y los oblicuos.

3.

¿Cuándo utilizar la ley de senos para hallar el ángulo que falta?

4.

En la ley de senos, ¿cuál es la relación entre el ángulo en el numerador y el lado en el denominador?

5.

¿Qué tipo de triángulo da lugar a un caso ambiguo?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, supongamos que α α es el lado opuesto a,β a,β es el lado opuesto b, b, y γ γ es el lado opuesto c. c. Resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

6.

α=43°,γ=69°,a=20 α=43°,γ=69°,a=20

7.

α=35°,γ=73°,c=20 α=35°,γ=73°,c=20

8.

α=60°, α=60°, β=60°,β=60°, γ=60° γ=60°

9.

a=4, a=4, α= 60° ,α= 60° , β=100° β=100°

10.

b=10, b=10, β=95°,γ= 30° β=95°,γ= 30°

En los siguientes ejercicios, utilice la ley de senos para resolver el lado que falta en cada triángulo oblicuo. Redondee cada respuesta a la centésima más cercana. Supongamos que el ángulo A A es el lado opuesto a, a, el ángulo B B es el lado opuesto b, b, y el ángulo C C es el lado opuesto c. c.

11.

Halle el lado b b cuando A=37°, A=37°, B=49°,B=49°, c=5. c=5.

12.

Halle el lado a a cuando A=132°,C=23°,b=10. A=132°,C=23°,b=10.

13.

Halle el lado c c cuando B=37°,C=21°, B=37°,C=21°, b=23. b=23.

En los siguientes ejercicios, supongamos que α α es el lado opuesto a,β a,β es el lado opuesto b, b, y γ γ es el lado opuesto c. c. Determine si no hay ningún triángulo, un triángulo o dos triángulos. A continuación, resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

14.

α=119°,a=14,b=26 α=119°,a=14,b=26

15.

γ=113°,b=10,c=32 γ=113°,b=10,c=32

16.

b=3,5, b=3,5, c=5,3,c=5,3, γ= 80° γ= 80°

17.

a=12, a=12, c=17,c=17, α= 35° α= 35°

18.

a=20,5, a=20,5, b=35,0,b=35,0, β= 25° β= 25°

19.

a=7, a=7, c=9,c=9, α=43° α=43°

20.

a=7,b=3,β=24° a=7,b=3,β=24°

21.

b=13,c=5,γ=10° b=13,c=5,γ=10°

22.

a=2,3,c=1,8,γ=28° a=2,3,c=1,8,γ=28°

23.

β=119°,b=8,2,a=11,3 β=119°,b=8,2,a=11,3

En los siguientes ejercicios, utilice la ley de senos para resolver, si es posible, el lado o ángulo que falta para cada triángulo o triángulos en el caso ambiguo. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

24.

Halle el ángulo A A cuando a=24,b=5,B=22°. a=24,b=5,B=22°.

25.

Halle el ángulo A A cuando a=13,b=6,B=20°. a=13,b=6,B=20°.

26.

Halle el ángulo B B cuando A=12°,a=2 ,b=9. A=12°,a=2 ,b=9.

En los siguientes ejercicios, calcule el área del triángulo con las medidas dadas. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

27.

a=5,c=6,β= 35° a=5,c=6,β= 35°

28.

b=11,c=8,α= 28° b=11,c=8,α= 28°

29.

a=32,b=24,γ= 75° a=32,b=24,γ= 75°

30.

a=7,2,b=4,5,γ= 43° a=7,2,b=4,5,γ= 43°

Gráficos

En los siguientes ejercicios, calcule la longitud del lado x. x. Redondee a la décima más cercana.

31.
32.
33.
34.
35.
36.

En los siguientes ejercicios, calcule la medida del ángulo x, x, si es posible. Redondee a la décima más cercana.

37.
38.
39.
40.
41.

Observe que x x es un ángulo
obtuso.

42.

En el siguiente ejercicio, resuelva el triángulo. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

43.
44.

En los siguientes ejercicios, calcule el área de cada triángulo. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

45.
46.
47.
48.
49.

Extensiones

50.

Halle el radio del círculo en la
 Figura 18. Redondee a la décima más cercana.

Figura 18
51.

Halle el diámetro del círculo en la Figura 19. Redondee a la décima más cercana.

Figura 19
52.

Halle m∠ADC m∠ADC en la Figura 20.
Redondee a la décima más cercana.

Figura 20
53.

Halle AD AD en la Figura 21.
Redondee a la décima más cercana.

Figura 21
54.

Resuelva ambos triángulos en la Figura 22. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

Figura 22
55.

Halle AB AB en el paralelogramo que se muestra en la Figura 23.

Figura 23
56.

Resuelva el triángulo en la Figura 24. (Pista: Dibuje una perpendicular desde H H hasta JK). JK). Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

Figura 24
57.

Resuelva el triángulo en la Figura 25. (Pista: Dibuje una perpendicular desde N N hasta LM). LM). Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

Figura 25
58.

En la Figura 26, ABCD ABCD no es un paralelogramo ∠m ∠m es obtuso. Resuelva ambos triángulos. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

Figura 26

Aplicaciones en el mundo real

59.

Un poste se aleja del sol en un ángulo de 7° 7° a la vertical, como se muestra en la Figura 27. Cuando la elevación del sol es 55°, 55°, el poste proyecta una sombra de 42 pies de largo en el suelo plano. ¿Qué longitud tiene el poste? Redondee la respuesta a la décima más cercana.

Figura 27
60.

Para determinar cuán lejos está un barco de la costa, dos estaciones de radar situadas a 500 pies de distancia determinan los ángulos hacia el barco, como se muestra en la Figura 28. Determine la distancia del barco desde la estación A A y la distancia del barco a la costa. Redondee sus respuestas al pie entero más cercano.

Figura 28
61.

La Figura 29 muestra un satélite en órbita alrededor de la Tierra. El satélite pasa directamente sobre dos estaciones rastreadoras A A y B, B, que están a 69 millas de distancia. Cuando el satélite está en un lado de las dos estaciones, los ángulos de elevación en A A y B B se miden en 83,9° 83,9° y 86,2°, 86,2°, respectivamente. ¿A qué distancia está el satélite de la estación A A y a qué altura está el satélite sobre el suelo? Redondee las respuestas a la milla entera más cercana.

Figura 29
62.

Una torre de comunicaciones está situada en la cima de una colina empinada, como se muestra en la Figura 30. El ángulo de inclinación de la colina es 67°. 67°. Se debe fijar un cable de sujeción en la parte superior de la torre y en el suelo, 165 metros cuesta abajo desde la base de la torre. El ángulo formado por el cable de sujeción y la colina es de 16°. 16°. Calcule la longitud del cable necesario para el cable de sujeción con una precisión de un metro.

Figura 30
63.

El tejado de una casa está a un ángulo de 20° 20° Se instalará un panel solar de 8 pies en el tejado y deberá estar en un ángulo de 38° 38° respecto a la horizontal para obtener resultados óptimos. (Vea la Figura 31). ¿Qué longitud debe tener el soporte vertical que sostiene la parte trasera del panel? Redondee a la décima más cercana.

Figura 31
64.

Al igual que el ángulo de elevación, el ángulo de depresión es el ángulo agudo formado por una línea horizontal y la línea de visión de un observador hacia un objeto situado por debajo de la horizontal. Un piloto vuela sobre una carretera recta. Determine que los ángulos de depresión de dos hitos, separados por 6,6 km, sean de 37° 37° y 44°, 44°, como se muestra en la Figura 32. Calcule la distancia del avión al punto A A a la décima de kilómetro más cercana.

Figura 32
65.

Un piloto vuela sobre una carretera recta. Determine que los ángulos de depresión de dos hitos, separados por 4,3 km, son de 32° y 56°, como se muestra en la Figura 33. Calcule la distancia del avión al punto A A a la décima de kilómetro más cercana.

Figura 33
66.

Para estimar la altura de un edificio, dos estudiantes se sitúan a cierta distancia del edificio a nivel de la calle. Desde este punto, calculan que el ángulo de elevación desde la calle hasta la parte superior del edificio es de 39°. A continuación, se acercan 300 pies al edificio y descubren que el ángulo de elevación es de 50°. Suponiendo que la calle está nivelada, calcule la altura del edificio con una aproximación de un pie.

67.

Para estimar la altura de un edificio, dos estudiantes se sitúan a cierta distancia del edificio a nivel de la calle. Desde este punto, calculan que el ángulo de elevación desde la calle hasta la parte superior del edificio es de 35°. A continuación, se acercan 250 pies al edificio y descubren que el ángulo de elevación es de 53°. Suponiendo que la calle está nivelada, calcule la altura del edificio con una aproximación de un pie.

68.

Los puntos A A y B B están en lados opuestos de un lago. El punto C C está a 97 metros de A. A. La medida del ángulo BAC BAC se determina que es de 101°, mientras que la medida del ángulo ACB ACB se determina que es de 53°. ¿Cuál es la distancia desde A A hasta B, B, redondeada al metro entero más cercano?

69.

Un hombre y una mujer de pie 3 1 2 3 1 2 millas de distancia divisan un globo aerostático al mismo tiempo. Si el ángulo de elevación desde el hombre hasta el globo es de 27°, y el ángulo de elevación desde la mujer hasta el globo es de 41°, calcule la altitud del globo al pie más cercano.

70.

Dos equipos de búsqueda localizan a un escalador varado en una montaña. El primer equipo de búsqueda está a 0,5 millas del segundo equipo de búsqueda, y ambos están a una altura de 1 milla. El ángulo de elevación desde el primer equipo de búsqueda hasta el escalador varado es de 15°. El ángulo de elevación del segundo equipo de búsqueda al escalador es de 22°. ¿Cuál es la altitud del escalador? Redondee a la décima de milla más cercana.

71.

Una farola está montada en un poste. Un hombre de 6 pies de alto está de pie en la calle, a poca distancia del poste, proyectando una sombra. El ángulo de elevación desde la punta de la sombra del hombre hasta la parte superior de su cabeza de 28°. Una mujer de 6 pies de alto se encuentra en la misma calle, en el lado opuesto del poste del hombre. El ángulo de elevación desde la punta de su sombra hasta la parte superior de su cabeza es de 28°. Si el hombre y la mujer están a 20 pies de distancia, ¿a qué distancia está la farola de la punta de la sombra de cada persona? Redondee la distancia a la décima de pie más cercana.

72.

Tres ciudades, A,B, A,B, y C, C, están situadas de manera que la ciudad A A está al este de la ciudad B. B. Si la ciudad C C se encuentra a 35° al oeste del norte de la ciudad B B y está a 100 millas de la ciudad A A y 70 millas de la ciudad B, B, a qué distancia se encuentra la ciudad A A de la ciudad B? B? Redondee la distancia a la décima de milla más cercana.

73.

Dos calles se encuentran en un ángulo de 80°. En la esquina se construye un parque en forma de triángulo. Calcule el área del parque si, a lo largo de una calle, el parque mide 180 pies, y a lo largo de la otra calle, el parque mide 215 pies.

74.

La casa de Brian está en una esquina. Calcule el área del patio delantero si los bordes miden 40 y 56 pies, como se muestra en la Figura 34.

Figura 34
75.

El triángulo de las Bermudas es una región del océano Atlántico que conecta las Bermudas, Florida y Puerto Rico. Calcule el área del triángulo de las Bermudas si la distancia de Florida a las Bermudas es de 1.030 millas, la distancia de Puerto Rico a las Bermudas es de 980 millas y el ángulo creado por las dos distancias es de 62°.

76.

Un cartel de ceda el paso mide 30 pulgadas en los tres lados. ¿Cuál es el área del cartel?

77.

Naomi compró una mesa de comedor cuyo tablero tiene forma triangular. Calcule el área del tablero de la mesa si dos de los lados miden 4 pies y 4,5 pies, y los ángulos menores miden 32° y 42°, como se muestra en la Figura 35.

Figura 35
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