Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Utilizar la ley de cosenos para resolver triángulos oblicuos.
Resolver problemas aplicados con la ley de cosenos.
Utilizar la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo.

Supongamos que un barco zarpa del puerto, recorre 10 millas, gira 20 grados y recorre otras 8 millas como se muestra en la Figura 1. ¿A qué distancia del puerto está el barco?

Un triángulo cuyos vértices son el barco, el puerto y el cambio de rumbo del barco. El lado entre el puerto y el cambio de rumbo es de 10 millas, y el lado entre el cambio de rumbo y el barco es de 8 millas. El lado entre el puerto y el cambio de rumbo se extiende en una línea recta punteada. El ángulo entre la línea punteada y el lado de las 8 millas es de 20 grados.

Figura 1

Por desgracia, aunque la ley de senos nos permite abordar muchos casos de triángulos no rectángulos, no nos ayuda con los triángulos en los que el ángulo conocido está entre dos lados conocidos, triángulo LAL (lado-ángulo-lado), o cuando se conocen los tres lados, pero no se conocen los ángulos, triángulo LLL (lado-lado-lado). En esta sección, investigaremos otra herramienta para resolver los triángulos oblicuos descritos en los dos últimos casos.

Usar la ley de cosenos para resolver triángulos oblicuos

La herramienta que necesitamos para resolver el problema de la distancia del barco al puerto es la ley de cosenos, que define la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes laterales en los triángulos oblicuos. Tres fórmulas componen la ley de cosenos. A primera vista, las fórmulas pueden parecer complicadas porque incluyen muchas variables. Sin embargo, una vez que se entiende el patrón, es más fácil trabajar con la ley de cosenos que con la mayoría de las fórmulas a este nivel matemático.

Vale la pena entender cómo se deriva la ley de cosenos en la utilización de las fórmulas. La derivación comienza con el teorema generalizado de Pitágoras, que es una extensión del teorema de Pitágoras a los triángulos no rectángulos. Así es como funciona: Un triángulo arbitrario no rectángulo $A B C$ se sitúa en el plano de coordenadas con el vértice $A$ en el origen, el lado $c$ dibujado a lo largo del eje x, y el vértice $C$ situado en algún punto $(x, y)$ en el plano, como se ilustra en la Figura 2. Generalmente, los triángulos existen en cualquier parte del plano; sin embargo, para esta explicación, colocaremos el triángulo como se indica.

Triángulo A B C trazado en el cuadrante 1 del plano x,y. El ángulo A es theta grados con lado opuesto a, los ángulos B y C, con lados opuestos b y c respectivamente, son desconocidos. El vértice A está situado en el origen (0,0), el vértice B está situado en algún punto (x-c, 0) a lo largo del eje x, mientras que el punto C está situado en algún punto del cuadrante 1 en el punto (b por el cos de theta, b por el seno de theta).

Figura 2

Podemos dejar caer una perpendicular desde $C$ al eje x (esta es la altitud o altura). Tras un repaso de las identidades trigonométricas básicas, sabemos que

\cos θ = \frac{x (adyacente)}{b (hipotenusa)} y sen θ = \frac{y (opuesto)}{b (hipotenusa)}

En términos de $θ, x = b \cos θ$ y $y = b sen θ .$ El punto $(x, y)$ situado en $C$ tiene coordenadas $(b \cos θ,$ $b sen θ) .$ Al utilizar el lado $(x - c)$ como cateto de un triángulo rectángulo, además de $y$ como el segundo cateto, podemos determinar la longitud de la hipotenusa $a$ con el teorema de Pitágoras. Por lo tanto,

\begin{array}{l} a^{2} = {(x - c)}^{2} + y^{2} \\ = {(b \cos θ - c)}^{2} + {(b sen θ)}^{2} & Sustituya (b \cos θ) para x y (b sen θ) para y . \\ = (b^{2} \cos^{2} θ - 2 b c \cos θ + c^{2}) + b^{2} {sen}^{2} θ & Expanda el cuadrado perfecto . \\ = b^{2} \cos^{2} θ + b^{2} {sen}^{2} θ + c^{2} - 2 b c \cos θ & Agrupe los términos al destacar que \cos^{2} θ + {sen}^{2} θ = 1. \\ = b^{2} (\cos^{2} θ + {sen}^{2} θ) + c^{2} - 2 b c \cos θ & Factorice b^{2} . \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos θ \end{array}

La fórmula derivada es una de las tres ecuaciones de la ley de cosenos. Las demás ecuaciones se determinan de forma similar.

Tenga en cuenta que siempre es útil dibujar el triángulo al resolver los ángulos o los lados. En una situación del mundo real, intente dibujar un diagrama de la situación. A medida que surja más información, quizás haya que modificar el diagrama. Haga esas modificaciones en el diagrama y, al final, será más fácil resolver el problema.

Ley de cosenos

La ley de cosenos establece que el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de los otros dos lados y el coseno del ángulo incluido. En los triángulos etiquetados como en la Figura 3, con ángulos $α, β,$ y $γ,$ y los lados opuestos correspondientes $a, b,$ y $c,$ respectivamente, la ley de cosenos se da en tres ecuaciones.

\begin{array}{l} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α \\ b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ \end{array}

Triángulo con etiquetas estándar: ángulos alfa, beta y gamma con lados opuestos a, b y c respectivamente.

Figura 3

Para resolver la medida que falta de un lado, se necesita la medida correspondiente del ángulo opuesto.

Al momento de resolver un ángulo, se necesita la medida correspondiente del lado opuesto. Podemos utilizar otra versión de la ley de cosenos para resolver un ángulo.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cos α = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} \end{array} \\ \cos β = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} \\ \cos γ = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} \end{array} \end{array}

Cómo

Dados dos lados y el ángulo entre ellos (LAL), hallar las medidas del lado y los ángulos restantes de un triángulo.

Dibuje el triángulo. Identifique las medidas de los lados y ángulos conocidos. Utilice las variables para representar las medidas de los lados y ángulos desconocidos.
Aplique la ley de cosenos para medir la longitud del lado o ángulo desconocido.
Aplique la ley de senos o cosenos para hallar la medida de un segundo ángulo.
Calcule la medida del ángulo restante.

Ejemplo 1

Hallar el lado y los ángulos desconocidos de un triángulo LAL

Halle el lado y los ángulos desconocidos del triángulo en la Figura 4.

Un triángulo con etiquetas estándar. Lado a = 10, lado c = 12, y ángulo beta = 30 grados.

Figura 4

Solución

En primer lugar, tome nota de lo que se da: dos lados y el ángulo entre ellos. Esta disposición se clasifica como LAL y suministra los datos necesarios para aplicar la ley de cosenos.

Cada una de las tres leyes de los cosenos comienza con el cuadrado de un lado desconocido opuesto a un ángulo conocido. Para este ejemplo, el primer lado por resolver es el lado $b,$ ya que conocemos la medida del ángulo opuesto $β .$

\begin{array}{l} b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β \\ b^{2} = 10^{2} + 12^{2} - 2 (10) (12) \cos (30^{\circ}) \begin{matrix}  \end{matrix} & Sustituya las medidas por las cantidades conocidas . \\ b^{2} = 100 + 144 - 240 (\frac{\sqrt{3}}{2}) & Evalúe el coseno y empiece a simplificar . \\ b^{2} = 244 - 120 \sqrt{3} \\ b = \sqrt{244 - 120 \sqrt{3}} & Utilice la propiedad de la raíz cuadrada . \\ b \approx 6,013 \end{array}

Ya que estamos resolviendo una longitud, utilizamos solo la raíz cuadrada positiva. Ahora que sabemos la longitud $b,$ podemos utilizar la ley de senos para completar los ángulos restantes del triángulo. Al resolver el ángulo $α,$ tenemos

\begin{array}{l} \frac{sen α}{a} = \frac{sen β}{b} \\ \frac{sen α}{10} = \frac{sen (30°)}{6,013} \\ sen α = \frac{10 sen (30°)}{6,013} & Multiplique ambos lados de la ecuación por 10 . \\ α = {sen}^{- 1} (\frac{10 sen (30°)}{6,013}) \begin{matrix}  \end{matrix} & Halle el seno inverso de \frac{10 sen (30°)}{6,013} . \\ α \approx 56,3° \end{array}

La otra posibilidad para $α$ sería $α = 180° - 56,3° \approx 123,7°.$ En el diagrama original, $α$ es adyacente al lado más largo, por lo que $α$ es un ángulo agudo y, por lo tanto, $123,7°$ no tiene sentido. Observe que si optamos por aplicar la ley de cosenos, llegamos a una respuesta única. No tenemos que considerar las otras posibilidades, ya que el coseno es único para ángulos entre $0°$ y $180°.$ Al proceder con $α \approx 56,3°,$ podemos entonces hallar el tercer ángulo del triángulo.

γ = 180° - 30° - 56,3° \approx 93,7°

El conjunto completo de ángulos y lados es

\begin{array}{l} α \approx 56,3° \begin{matrix}  \end{matrix} & a = 10 \\ β = 30° & b \approx 6,013 \\ γ \approx 93,7° & c = 12 \end{array}

Inténtelo #1

Halle el lado y los ángulos que faltan en el triángulo dado: $α = 30°,$ $b = 12,$ $c = 24.$

Ejemplo 2

Resolver un ángulo de un triángulo LLL

Halle el ángulo $α$ para el triángulo dado si el lado $a = 20,$ el lado $b = 25,$ y el lado $c = 18.$

Solución

Para este ejemplo no tenemos ángulos. Podemos resolver cualquier ángulo con la ley de cosenos. Para resolver el ángulo $α,$ tenemos

\begin{array}{l} a^{2} = b^{2} + c^{2} −2 b c \cos α \\ 20^{2} = 25^{2} + 18^{2} −2 (25) (18) \cos α & Sustituya las medidas pertinentes . \\ 400 = 625 + 324 - 900 \cos α & Simplifique en cada paso . \\ 400 = 949 - 900 \cos α \\ -549 = -900 \cos α & Aísle el coseno α . \\ \frac{-549}{-900} = \cos α \\ 0,61 \approx \cos α \\ \cos^{−1} (0,61) \approx α & Halle el coseno inverso . \\ α \approx 52,4° \end{array}

Vea el Figura 5.

Un triángulo con etiquetas estándar. Lado b =25, lado a = 20, lado c = 18, y ángulo alfa = 52,4 grados.

Figura 5

Análisis

Dado que el coseno inverso puede arrojar cualquier ángulo entre 0 y 180 grados, no habrá ninguna ambigüedad con este método.

Inténtelo #2

Dados $a = 5, b = 7,$ y $c = 10,$ halle los ángulos que faltan.

Resolver problemas aplicados mediante la ley de cosenos

Así como la ley de senos proporcionó las ecuaciones apropiadas para resolver una serie de aplicaciones, la ley de cosenos se aplica a las situaciones en las que los datos dados se ajustan a los modelos del coseno. Podemos verlos en los campos de la navegación, la agrimensura, la astronomía y la geometría, por nombrar tan solo algunos.

Ejemplo 3

Usar la ley de cosenos para resolver un problema de comunicaciones

En muchos teléfonos móviles con GPS, se puede dar una ubicación aproximada antes de recibir la señal GPS. Esto se consigue mediante un proceso llamado triangulación, que funciona utilizando las distancias de dos puntos conocidos. Supongamos que hay dos torres de telefonía móvil dentro del rango de un teléfono móvil. Las dos torres están situadas a 6.000 pies de distancia a lo largo de una autopista recta, que va de este a oeste, y el teléfono móvil está al norte de la autopista. Basándose en el retardo de la señal, se puede determinar que la señal está a 5.050 pies de la primera torre y a 2.420 pies de la segunda torre. Determine la posición del teléfono móvil al norte y al este de la primera torre, y ubique a qué distancia se encuentra de la autopista.

Solución

Para simplificar, empezamos por dibujar un diagrama similar al de la Figura 6 y etiquetar nuestra información dada.

Se formó un triángulo entre las dos torres de telefonía móvil situadas en la autopista de este a oeste y el teléfono móvil entre y al norte de ellas. El lado entre las dos torres es de 6.000 pies, el lado entre la torre izquierda y el teléfono es de 5.050 pies, y el lado entre la torre derecha y el teléfono es de 2.420 pies. El ángulo entre los lados de 5.050 y 6.000 pies se denomina theta.

Figura 6

Utilizando la ley de cosenos, podemos resolver el ángulo $θ .$ Recuerde que en la ley de cosenos se utiliza el cuadrado de un lado para hallar el coseno del ángulo opuesto. Para este ejemplo, supongamos que $a = 2.420, b = 5.050,$ y $c = 6.000.$ Por lo tanto, $θ$ corresponde al lado opuesto $a = 2.420.$

\begin{matrix} a^{2} & = & b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos θ \\ {(2, 420)}^{2} & = & {(5.050)}^{2} + {(6.000)}^{2} - 2 (5.050) (6.000) \cos θ \\ \begin{matrix} {(2.420)}^{2} & - & {(5.050)}^{2} - {(6, 000)}^{2} \end{matrix} & = & - 2 (5.050) (6.000) \cos θ \\ \frac{\begin{matrix} {(2.420)}^{2} & - & {(5.050)}^{2} - {(6.000)}^{2} \end{matrix}}{- 2 (5.050) (6.000)} & = & \cos θ \\ \cos θ & \approx & 0,9183 \\ θ & \approx & \cos^{- 1} (0,9183) \\ θ & \approx & 23,3 ° \end{matrix}

Para responder las preguntas acerca de la posición del teléfono al norte y al este de la torre, y la distancia a la autopista, deje caer una perpendicular desde la posición del teléfono móvil, como en la Figura 7. Esto forma dos triángulos rectángulos, aunque para este problema solo necesitamos el triángulo rectángulo que incluye la primera torre.

El triángulo entre el teléfono, la torre de la izquierda y un punto entre el teléfono y la carretera entre las torres. El lado entre el teléfono y la autopista es perpendicular a la autopista y es de y pies. El lado de la autopista es de x pies. El ángulo en la torre, previamente etiquetado como theta, es de 23,3 grados.

Figura 7

Con el ángulo $θ = 23,3°$ y las identidades trigonométricas básicas, podemos hallar las soluciones. Así,

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \cos (23,3°) = \frac{x}{5.050} \end{array} \\ x = 5.050 \cos (23,3°) \\ x \approx 4.638,15 pies \\ sen (23,3°) = \frac{y}{5.050} \\ y = 5.050 sen (23,3°) \\ y \approx 1.997,5 pies \end{array}

El teléfono celular se encuentra aproximadamente a 4.638 pies al este, a 1.998 pies al norte de la primera torre, y a 1.998 pies de la autopista.

Ejemplo 4

Calcular la distancia recorrida mediante un triángulo LAL

Volviendo a nuestro problema al principio de esta sección, supongamos que un barco zarpa del puerto, recorre 10 millas, gira 20 grados y recorre otras 8 millas. ¿A qué distancia del puerto está el barco? El diagrama se repite aquí en la Figura 8.

Figura 8

Solución

El barco viró 20 grados, por lo que el ángulo obtuso del triángulo no rectángulo es el ángulo complementario, $180° - 20° = 160° .$ Con esto, podemos utilizar la ley de cosenos para hallar el lado que falta en el triángulo obtuso: la distancia del barco al puerto.

\begin{array}{l} x^{2} = 8^{2} + 10^{2} - 2 (8) (10) \cos (160°) \\ x^{2} = 314,35 \\ x = \sqrt{314,35} \\ x \approx 17,7 millas \end{array}

El barco está a unas 17,7 millas del puerto.

Usar la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo

Ya hemos aprendido a calcular el área de un triángulo oblicuo cuando conocemos dos lados y un ángulo. También conocemos la fórmula para hallar el área de un triángulo mediante la base y la altura. Sin embargo, cuando conocemos los tres lados, podemos utilizar la fórmula de Herón en lugar de calcular la altura. Herón de Alejandría fue un geómetra que vivió durante el siglo I d.C. Descubrió una fórmula para hallar el área de triángulos oblicuos cuando se conocen tres lados.

Fórmula de Herón

La fórmula de Herón sirve para determinar el área de los triángulos oblicuos cuyos lados $a, b,$ y $c$ son conocidas.

Área = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}

donde $s = \frac{(a + b + c)}{2}$ es la mitad del perímetro del triángulo, a veces llamado semiperímetro.

Ejemplo 5

Usar la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo dado

Calcule el área del triángulo en la Figura 9 con la fórmula de Herón.

Triángulo con ángulos A, B y C y lados opuestos a, b y c, respectivamente. Lado a = 10, lado b - 15, y lado c = 7.

Figura 9

Solución

En primer lugar, calculamos $s .$

\begin{array}{l} s = \frac{(a + b + c)}{2} \\ s = \frac{(10 + 15 + 7)}{2} = 16 \end{array}

Entonces aplicamos la fórmula.

\begin{array}{l} Área = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)} \\ Área = \sqrt{16 (16 - 10) (16 - 15) (16 - 7)} \\ Área \approx 29,4 \end{array}

El área es de aproximadamente 29,4 unidades cuadradas.

Inténtelo #3

Utilice la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo con lados de longitudes $a = 29,7 pies, b = 42,3 pies,$ y $c = 38,4 pies .$

Ejemplo 6

Aplicar la fórmula de Herón a un problema del mundo real

Un promotor de la ciudad de Chicago quiere construir un edificio de estudios para artistas en un solar triangular delimitado por Rush Street, Wabash Avenue y Pearson Street. La fachada a lo largo de la calle Rush es de aproximadamente 62,4 metros, a lo largo de la avenida Wabash es de aproximadamente 43,5 metros, y a lo largo de la calle Pearson es de aproximadamente 34,1 metros. ¿De cuántos metros cuadrados dispone el promotor? Vea la Figura 10 para una vista de la propiedad de la ciudad.

Triángulo formado por los lados de la calle Rush, la avenida N. Wabash y la calle E. Pearson con longitudes de 62,4, 43,5 y 34,1, respectivamente.

Figura 10

Solución

Halle la medida para $s,$ que es la mitad del perímetro.

\begin{array}{l} s = \frac{(62,4 + 43,5 + 34,1)}{2} \\ s = 70 m \end{array}

Aplique la fórmula de Herón.

\begin{array}{l} Área = \sqrt{70 (70 - 62,4) (70 - 43,5) (70 - 34,1)} \\ Área = \sqrt{506.118,2} \\ Área \approx 711,4 \end{array}

El promotor tiene unos 711,4 metros cuadrados.

Inténtelo #4

Calcule el área de un triángulo dado $a = 4,38 pies, b = 3,79 pies,$ y $c = 5,22 pies .$

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con la ley de cosenos.

8.2 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Si busca un lado que falta en un triángulo, ¿qué necesita saber al momento de utilizar la ley de cosenos?

2.

Si busca un ángulo que falta en un triángulo, ¿qué necesita saber al momento de utilizar la ley de cosenos?

3.

Explique qué representa $s$ en la fórmula de Herón.

4.

Explique la relación entre el teorema de Pitágoras y la ley de cosenos.

5.

¿Cuándo hay que utilizar la ley de cosenos en lugar del teorema de Pitágoras?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, supongamos que $α$ es el lado opuesto $a, β$ es el lado opuesto $b,$ y $γ$ es el lado opuesto $c .$ Si es posible, resuelva cada triángulo para el lado desconocido. Redondee a la décima más cercana.

6.

$γ = 41,2°, a = 2,49, b = 3,13$

7.

$α = 120°, b = 6, c = 7$

8.

$β = 58,7°, a = 10,6, c = 15,7$

9.

$γ = 115°, a = 18, b = 23$

10.

$α = 119°, a = 26, b = 14$

11.

$γ = 113°, b = 10, c = 32$

12.

$β = 67°, a = 49, b = 38$

13.

$α = 43,1°, a = 184,2, b = 242,8$

14.

$α = 36,6°, a = 186,2, b = 242,2$

15.

$β = 50°, a = 105, b = 45$

En los siguientes ejercicios, utilice la ley de cosenos para resolver el ángulo que falta en el triángulo oblicuo. Redondee a la décima más cercana.

16.

$a = 42, b = 19, c = 30;$ halle el ángulo $A .$

17.

$a = 14, b = 13, c = 20;$ halle el ángulo $C .$

18.

$a = 16, b = 31, c = 20;$ halle el ángulo $B .$

19.

$a = 13, b = 22, c = 28;$ halle el ángulo $A .$

20.

$a = 108, b = 132, c = 160;$ halle el ángulo $C .$

En los siguientes ejercicios, resuelva el triángulo. Redondee a la décima más cercana.

21.

$A = 35°, b = 8, c = 11$

22.

$B = 88°, a = 4,4, c = 5,2$

23.

$C = 121°, a = 21, b = 37$

24.

$a = 13, b = 11, c = 15$

25.

$a = 3,1, b = 3,5, c = 5$

26.

$a = 51, b = 25, c = 29$

En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de Herón para calcular el área del triángulo. Redondee a la centésima más cercana.

27.

Calcule el área de un triángulo cuyos lados miden 18 pulgadas, 21 pulgadas y 32 pulgadas. Redondee a la décima más cercana.

28.

Calcule el área de un triángulo cuyos lados miden 20 cm, 26 cm y 37 cm. Redondee a la décima más cercana.

29.

$a = \frac{1}{2} m, b = \frac{1}{3} m, c = \frac{1}{4} m$

30.

$a = 12,4 pies, b = 13,7 pies, c = 20,2 pies$

31.

$a = 1,6 yardas, b = 2,6 yardas, c = 4,1 yardas$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, calcule la longitud del lado $x .$ Redondee a la décima más cercana.

32.

Un triángulo. Un ángulo es de 72 grados, con el lado opuesto = x. Los otros dos lados son 5 y 6,5.

33.

Un triángulo. Un ángulo es de 42 grados con el lado opuesto = x. Los otros dos lados son 4,5 y 3,4.

34.

Un triángulo. Un ángulo es de 40 grados con el lado opuesto = 15. Los otros dos lados son 12 y x.

35.

Un triángulo. Un ángulo es de 65 grados con el lado opuesto = x. Los otros dos lados son 30 y 23.

36.

Un triángulo. Un ángulo es de 50 grados con el lado opuesto = x. Los otros dos lados son 225 y 305.

37.

Un triángulo. Un ángulo es de 123 grados con el lado opuesto = x. Los otros dos lados son 1/5 y 1/3.

En los siguientes ejercicios, halle la medida del ángulo $A .$

38.

Un triángulo. El ángulo A está opuesto a un lado de longitud 2,3. Los otros dos lados son 1,5 y 2,5.

39.

Un triángulo. El ángulo A está opuesto a un lado de longitud 125. Los otros dos lados son 115 y 100.

40.

Un triángulo. El ángulo A está opuesto a un lado de longitud 6,8. Los otros dos lados son 4,3 y 8,2.

41.

Un triángulo. El ángulo A está opuesto a un lado de longitud 40,6. Los otros dos lados son 38,7 y 23,3.

42.

Calcule la medida de cada ángulo en el triángulo que se indica en la Figura 11. Redondee a la décima más cercana.

Un triángulo A B C. El ángulo A está opuesto a un lado de longitud 10, el ángulo B está opuesto a un lado de longitud 12 y el ángulo C está opuesto a un lado de longitud 7.

Figura 11

En los siguientes ejercicios, resuelva el lado desconocido. Redondee a la décima más cercana.

43.

Un triángulo. Un ángulo es de 60 grados con el lado opuesto desconocido. Los otros dos lados son 20 y 28.

44.

Un triángulo. Un ángulo es de 30 grados con el lado opuesto desconocido. Los otros dos lados son 16 y 10.

45.

Un triángulo. Un ángulo es de 22 grados con el lado opuesto desconocido. Los otros dos lados son 20 y 13.

46.

Un triángulo. Un ángulo es de 88 grados con el lado opuesto = 9. Otro lado es el 5.

En los siguientes ejercicios, calcule el área del triángulo. Redondee a la centésima más cercana.

47.

Un triángulo con lados 8, 12 y 17. Ángulos desconocidos.

48.

Un triángulo con lados 50, 22 y 36. Ángulos desconocidos.

49.

Un triángulo con lados 1,9, 2,6 y 4,3. Ángulos desconocidos.

50.

Un triángulo con lados 8,9, 12,5 y 16,2. Ángulos desconocidos.

51.

Un triángulo con lados 1/2, 2/3 y 3/5. Ángulos desconocidos.

Extensiones

52.

Un paralelogramo tiene lados de longitud 16 unidades y 10 unidades. La diagonal más corta es de 12 unidades. Calcule la medida de la diagonal más larga.

53.

Los lados de un paralelogramo son 11 pies y 17 pies. La diagonal más larga es de 22 pies. Calcule la longitud de la diagonal más corta.

54.

Los lados de un paralelogramo miden 28 centímetros y 40 centímetros. La medida del ángulo mayor es 100°. Calcule la longitud de la diagonal más corta.

55.

Un octógono regular está inscrito en un círculo con un radio de 8 pulgadas. (Vea la Figura 12). Halle el perímetro del octógono.

Figura 12

56.

Un pentágono regular está inscrito en un círculo de radio de 12 cm. (Vea la Figura 13). Halle el perímetro del pentágono. Redondee a la décima de centímetro más cercana.

Figura 13

En los siguientes ejercicios, supongamos que $x^{2} = 25 + 36 - 60 \cos (52)$ representa la relación de tres lados de un triángulo y el coseno de un ángulo.

57.

Dibuje el triángulo.

58.

Mida la longitud del tercer lado.

En los siguientes ejercicios, calcule el área del triángulo.

59.

Un triángulo. Un ángulo es de 22 grados con el lado opuesto = 3,4. Otro lado es de 5,3.

60.

Un triángulo. Un ángulo es de 80 grados con el lado opuesto desconocido. Los otros dos lados son 8 y 6.

61.

Un triángulo. Un ángulo es de 18 grados con el lado opuesto = 12,8. Otro lado es de 18,8.

Aplicaciones en el mundo real

62.

Un topógrafo ha tomado las medidas indicadas en la Figura 14. Mida la distancia a través del lago. Redondee las respuestas a la décima más cercana.

Un triángulo. Un ángulo es de 70 grados con el lado opuesto desconocido, que es la longitud del lago. Los otros dos lados tienen 800 y 900 pies.

Figura 14

63.

Un satélite calcula las distancias
y el ángulo que se muestran en la Figura 15 (no a escala). Calcule la distancia entre las dos ciudades. Redondee las respuestas a la décima más cercana.

Inserte el texto alternativo de la figura (tabla): Un triángulo formado por dos ciudades en el suelo y un satélite sobre ellas. El ángulo formado por el satélite es de 2,1 grados con el lado opuesto desconocido, que es la distancia entre las dos ciudades. Las longitudes de los otros lados son 370 y 350 km.

Figura 15

64.

Un avión vuela 220 millas con un rumbo de 40°, y luego vuela 180 millas con un rumbo de 170°. ¿A qué distancia está el avión de su punto de partida y con qué rumbo? Redondee las respuestas a la décima más cercana.

65.

Una torre de 113 pies está situada en una colina con una inclinación de 34° respecto a la horizontal, como se muestra en la Figura 16. Se fijará un cable de sujeción en la parte superior de la torre y se anclará en un punto situado a 98 pies de la base de la torre. Halle la longitud del cable necesario.

Inserte el texto alternativo de la figura (tabla): Dos triángulos, uno encima del otro. El triángulo inferior es la colina inclinada 34 grados respecto a la horizontal. El segundo está formada por la base de la torre en la pendiente de la colina, la parte superior de la torre y el punto de anclaje del cable cuesta arriba desde la torre en la pendiente. Los lados son la torre, la inclinación de la colina y el cable. El lado de la torre mide 113 pies y el lado de la pendiente 98 pies.

Figura 16

66.

Dos barcos zarpan del puerto al mismo tiempo. Un barco viaja a una velocidad de 18 millas por hora con un rumbo de 320°. El otro barco viaja a una velocidad de 22 millas por hora con un rumbo de 194°. Calcule la distancia entre los dos barcos después de 10 horas de viaje.

67.

El gráfico en la Figura 17 representa dos barcos que zarpan al mismo tiempo del mismo muelle. El primer barco viaja a 18 millas por hora con un rumbo de 327° y el segundo barco viaja a 4 millas por hora con un rumbo de 60°. Calcule la distancia entre los dos barcos después de 2 horas.

Inserte el texto alternativo de la figura (tabla): Gráfico de dos rayas, que representan las trayectorias de los dos barcos. Ambas rayas comienzan en el origen. El primero entra en el primer cuadrante en un ángulo de 60 grados a 4 mph. El segundo entra en el cuarto cuadrante con un ángulo de 327 grados desde el origen. El segundo viaja a 18 mph.

Figura 17

68.

Una piscina triangular mide 40 pies por un lado y 65 pies por el otro. Estos lados forman un ángulo que mide 50°. ¿Qué longitud tiene el tercer lado (redondeando a la décima más cercana)?

69.

Un piloto vuela en una trayectoria recta durante 1 hora y 30 minutos. A continuación, realiza una corrección de rumbo, dirigiéndose 10° a la derecha de su rumbo original, y vuela 2 horas en la nueva dirección. Si mantiene una velocidad constante de 680 millas por hora, ¿a qué distancia se encuentra de su posición inicial?

70.

Los Ángeles está a 1.744 millas de Chicago, Chicago está a 714 millas de Nueva York y Nueva York está a 2.451 millas de Los Ángeles. Dibuje un triángulo que conecte estas tres ciudades y halle los ángulos del triángulo.

71.

Filadelfia está a 140 millas de Washington D.C., Washington D.C. está a 442 millas de Boston y Boston está a 315 millas de Filadelfia. Dibuje un triángulo que conecte estas tres ciudades y encuentra los ángulos del triángulo.

72.

Dos aviones salen del mismo aeropuerto a la vez. Uno vuela a 20° al este del norte a 500 millas por hora. El segundo vuela a 30° al este del sur a 600 millas por hora. ¿A qué distancia están los aviones después de 2 horas?

73.

Dos aviones despegan en direcciones diferentes. Uno viaja a 300 mph hacia el oeste y el otro viaja 25° al norte del oeste a 420 mph. Después de 90 minutos, ¿a qué distancia están, suponiendo que vuelan a la misma altitud?

74.

Un paralelogramo tiene lados de longitud 15,4 unidades y 9,8 unidades. Su área es de 72,9 unidades cuadradas. Calcule la medida de la diagonal más larga.

75.

Los cuatro lados secuenciales de un cuadrilátero tienen longitudes de 4,5 cm, 7,9 cm, 9,4 cm y 12,9 cm. El ángulo entre los dos lados más pequeños es de 117°. ¿Cuál es el área de este cuadrilátero?

76.

Los cuatro lados secuenciales de un cuadrilátero tienen longitudes de 5,7 cm, 7,2 cm, 9,4 cm y 12,8 cm. El ángulo entre los dos lados más pequeños es de 106°. ¿Cuál es el área de este cuadrilátero?

77.

Calcule el área de una parcela triangular que mide 30 pies en un lado y 42 pies en otro; el ángulo incluido mide 132°. Redondee al pie cuadrado más cercano.

78.

Calcule el área de una parcela triangular que mide 110 pies en un lado y 250 pies en otro; el ángulo incluido mide 85°. Redondee al pie cuadrado más cercano.

8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos

Usar la ley de cosenos para resolver triángulos oblicuos

Hallar el lado y los ángulos desconocidos de un triángulo LAL

Solución

Resolver un ángulo de un triángulo LLL

Solución

Análisis

Resolver problemas aplicados mediante la ley de cosenos

Usar la ley de cosenos para resolver un problema de comunicaciones

Solución

Calcular la distancia recorrida mediante un triángulo LAL

Solución

Usar la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo

Usar la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo dado

Solución

Aplicar la fórmula de Herón a un problema del mundo real

Solución

8.2 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

Extensiones

Aplicaciones en el mundo real