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Precálculo 2ed

8.3 Coordenadas polares

Precálculo 2ed8.3 Coordenadas polares

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Trazar puntos con las coordenadas polares.
  • Convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.
  • Convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares.
  • Transformar ecuaciones entre formas polares y rectangulares.
  • Identificar y graficar ecuaciones polares al convertirlas en ecuaciones rectangulares.

A más de 12 kilómetros del puerto, un velero se topa con mal tiempo y lo desvía de su rumbo un viento de 16 nudos (vea la Figura 1). ¿Cómo puede el marinero indicar su ubicación a los guardacostas? En esta sección, investigaremos un método de representación de la ubicación, que es diferente de la típica cuadrícula de coordenadas.

Ilustración de un barco en la cuadrícula polar.
Figura 1

Trazar puntos mediante coordenadas polares

Cuando pensamos en trazar puntos en el plano, pensamos en coordenadas rectangulares ( x,y ) ( x,y ) en el plano de coordenadas cartesianas. Sin embargo, hay otras formas de escribir un par de coordenadas y otros tipos de sistemas de cuadrícula. En esta sección, introducimos a las coordenadas polares, que son puntos marcados ( r,θ ) ( r,θ ) y trazados en una cuadrícula polar. La cuadrícula polar se representa como una serie de círculos concéntricos que irradian desde el polo o el origen del plano de coordenadas.

La cuadrícula polar se presenta a escala como el círculo unitario con el eje x positivo visto ahora como el eje polar y el origen como el polo. La primera coordenada r r es el radio o la longitud del segmento rectilíneo dirigido desde el polo. El ángulo θ, θ, medido en radianes, indica la dirección de r. r. Nos movemos en sentido contrario al de las agujas del reloj desde el eje polar en un ángulo de θ, θ, y medimos un segmento rectilíneo dirigido de longitud r r en dirección a θ. θ. Aunque midamos θ θ primero y luego r, r, el punto polar se escribe primero con la coordenada r. Por ejemplo, para trazar el punto ( 2 , π 4 ), ( 2 , π 4 ), nos trasladaríamos π 4 π 4 unidades en el sentido contrario a las agujas del reloj y luego en una longitud de 2 desde el polo. Este punto se representa en la cuadrícula en la Figura 2.

Cuadrícula polar con el punto (2, pi/4) trazado.
Figura 2

Ejemplo 1

Trazar un punto en la cuadrícula polar

Trace el punto ( 3, π 2 ) ( 3, π 2 ) en la cuadrícula de coordenadas polares.

Inténtelo #1

Trace el punto ( 2 , π 3 ) ( 2 , π 3 ) en la cuadrícula polar.

Ejemplo 2

Trazar un punto en el sistema de coordenadas polares con componente negativa

Trace el punto ( 2 , π 6 ) ( 2 , π 6 ) en la cuadrícula de coordenadas polares.

Inténtelo #2

Trace los puntos ( 3,- π 6 ) ( 3,- π 6 ) y ( 2 , 9π 4 ) ( 2 , 9π 4 ) en la misma cuadrícula polar.

Convertir coordenadas polares a coordenadas rectangulares

Cuando se da un conjunto de coordenadas polares, quizá tengamos que convertirlas en coordenadas rectangulares. Para ello, podemos recordar las relaciones que existen entre las variables x,y,r, x,y,r, y θ. θ.

cosθ= x r x=rcosθ senθ= y r y=rsenθ cosθ= x r x=rcosθ senθ= y r y=rsenθ

La perpendicular que cae desde el punto del plano hasta el eje x forma un triángulo rectángulo, como se ilustra en la Figura 5. Una forma fácil de recordar las ecuaciones anteriores es pensar en cosθ cosθ como el lado adyacente sobre la hipotenusa y senθ senθ como el lado opuesto sobre la hipotenusa.

Comparación entre coordenadas polares y coordenadas rectangulares. Hay un triángulo rectángulo trazado en el eje x,y. Los lados son una línea horizontal en el eje x de longitud x, una línea vertical que se extiende desde el eje x hasta algún punto del cuadrante 1, y una hipotenusa r que se extiende desde el origen hasta ese mismo punto en el cuadrante 1. Los vértices están en el origen (0,0), algún punto del eje x en (x,0), y ese punto en el cuadrante 1. Este último punto es (x,y) o (r, theta), dependiendo del sistema de coordenadas que se utilice.
Figura 5

Convertir coordenadas polares a coordenadas rectangulares

Para convertir las coordenadas polares ( r,θ ) ( r,θ ) a coordenadas rectangulares ( x,y ), ( x,y ), supongamos que

cosθ= x r x=rcosθ cosθ= x r x=rcosθ
senθ= y r y=rsenθ senθ= y r y=rsenθ

Cómo

Dadas las coordenadas polares, convertir a coordenadas rectangulares.

  1. Dada la coordenada polar ( r,θ ), ( r,θ ), escriba x=rcosθ x=rcosθ y y=rsenθ. y=rsenθ.
  2. Evalúe cosθ cosθ y senθ. senθ.
  3. Multiplique cosθ cosθ entre r r para hallar la coordenada de la x de la forma rectangular.
  4. Multiplique senθ senθ entre r r para hallar la coordenada de l a y de la forma rectangular.

Ejemplo 3

Escribir coordenadas polares como coordenadas rectangulares

Escriba las coordenadas polares ( 3, π 2 ) ( 3, π 2 ) como coordenadas rectangulares.

Ejemplo 4

Escribir coordenadas polares como coordenadas rectangulares

Escriba las coordenadas polares ( 2 ,0 ) ( 2 ,0 ) como coordenadas rectangulares.

Inténtelo #3

Escriba las coordenadas polares ( -1, 2π 3 ) ( -1, 2π 3 ) como coordenadas rectangulares.

Convertir coordenadas rectangulares a coordenadas polares

Para convertir las coordenadas rectangulares en coordenadas polares, utilizaremos otras dos relaciones conocidas. Con esta conversión, sin embargo, tenemos que ser conscientes de que un conjunto de coordenadas rectangulares dará lugar a más de un punto polar.

Convertir coordenadas rectangulares a coordenadas polares

La conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas polares requiere el uso de una o más de las relaciones ilustradas en la Figura 8.

cosθ= x r x=rcosθ senθ= y r  oy=rsenθ r 2 = x 2 + y 2 tanθ= y x cosθ= x r x=rcosθ senθ= y r  oy=rsenθ r 2 = x 2 + y 2 tanθ= y x
Figura 8

Ejemplo 5

Escribir coordenadas rectangulares como coordenadas polares

Convierta las coordenadas rectangulares ( 3,3 ) ( 3,3 ) a coordenadas polares.

Análisis

Hay otros conjuntos de coordenadas polares que serán iguales a nuestra primera solución. Por ejemplo, los puntos ( -3 2 , 5π 4 ) ( -3 2 , 5π 4 ) y ( 3 2 ,- 7π 4 ) ( 3 2 ,- 7π 4 ) coincidirán con la solución original de ( 3 2 , π 4 ). ( 3 2 , π 4 ). El punto ( -3 2 , 5π 4 ) ( -3 2 , 5π 4 ) indica un movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj por π, π, que está justo enfrente de π 4 . π 4 . El radio se expresa como 3 2 . 3 2 . Sin embargo, el ángulo 5π 4 5π 4 se sitúa en el tercer cuadrante y, dado que r r es negativo, extendemos el segmento rectilíneo dirigido en la dirección opuesta, en el primer cuadrante. Este es el mismo punto que ( 3 2 , π 4 ). ( 3 2 , π 4 ). El punto ( 3 2 ,- 7π 4 ) ( 3 2 ,- 7π 4 ) es un movimiento más en el sentido de las agujas del reloj por 7π 4 , 7π 4 , a partir de π 4 . π 4 . El radio, 3 2 , 3 2 , es el mismo.

Transformar ecuaciones entre formas polares y rectangulares

Ahora podemos convertir las coordenadas entre la forma polar y la rectangular. La conversión de ecuaciones puede ser más difícil, pero valdría la pena convertir entre las dos formas. Debido a que hay una serie de ecuaciones polares que no pueden expresarse claramente en forma cartesiana, y viceversa, podemos utilizar los mismos procedimientos que utilizamos para convertir puntos entre los sistemas de coordenadas. A continuación, podemos utilizar una calculadora gráfica para representar la forma rectangular o la forma polar de la ecuación.

Cómo

Dada una ecuación en forma polar, grafíquela con una calculadora gráfica.

  1. Cambie el MODO a POL, que representa la forma polar.
  2. Pulse el botón Y= para que aparezca una pantalla que permite introducir seis ecuaciones r 1 , r 2 ,..., r 6 . r 1 , r 2 ,..., r 6 .
  3. Introduzca la ecuación polar, ajustada a r. r.
  4. Pulse GRAPH.

Ejemplo 6

Escribir una ecuación cartesiana en forma polar

Escriba la ecuación cartesiana x 2 + y 2 =9 x 2 + y 2 =9 en forma polar.

Ejemplo 7

Reescribir una ecuación cartesiana como ecuación polar

Reescribir la ecuación cartesiana x 2 + y 2 =6y x 2 + y 2 =6y como una ecuación polar.

Ejemplo 8

Reescribir una ecuación cartesiana en forma polar

Reescribir la ecuación cartesiana y=3x+2 y=3x+2 como una ecuación polar.

Inténtelo #4

Reescribir la ecuación cartesiana y 2 =3- x 2 y 2 =3- x 2 en forma polar.

Identificar y graficar ecuaciones polares al convertirlas en ecuaciones rectangulares

Hemos aprendido a convertir coordenadas rectangulares en coordenadas polares, y hemos visto que los puntos son efectivamente los mismos. También hemos transformado ecuaciones polares en ecuaciones rectangulares y viceversa. Ahora demostraremos que sus gráficos, aunque dibujados en cuadrículas diferentes, son idénticos.

Ejemplo 9

Graficar una ecuación polar al convertirla en una ecuación rectangular

Convierta la ecuación polar r=2sθ r=2sθ en una ecuación rectangular, y dibuje su correspondiente gráfico.

Ejemplo 10

Reescribir una ecuación polar en forma cartesiana

Reescriba la ecuación polar r= 3 1-2cosθ r= 3 1-2cosθ como una ecuación cartesiana.

Análisis

En este ejemplo, el lado derecho de la ecuación puede expandirse y la ecuación simplificarse aún más, como se indica arriba. Sin embargo, la ecuación no puede escribirse como una sola función en forma cartesiana. Podemos escribir la ecuación rectangular en la forma estándar de la hipérbola. Para ello, podemos empezar con la ecuación inicial.

x2 +y2 =(3+2 x)2 x2 +y2 (3+2 x)2 =0x2 +y2 (9+12x+4x2 )=0x2 +y2 9 12x 4x2 =0 3x2 12x+y2 =9Multipliqueestopor 13x2 +12x y2 = 93(x2 +4x+) y2 = 93(x2 +4x+4) y2 = 9+12Organicelos términosparacompletarelunidadesparax3(x+2 )2 y2 =3(x+2 )2 y23=1 x2 +y2 =(3+2 x)2 x2 +y2 (3+2 x)2 =0x2 +y2 (9+12x+4x2 )=0x2 +y2 9 12x 4x2 =0 3x2 12x+y2 =9Multipliqueestopor 13x2 +12x y2 = 93(x2 +4x+) y2 = 93(x2 +4x+4) y2 = 9+12Organicelos términosparacompletarelunidadesparax3(x+2 )2 y2 =3(x+2 )2 y23=1

Inténtelo #5

Reescriba la ecuación polar r=2senθ r=2senθ en forma cartesiana.

Ejemplo 11

Reescribir una ecuación polar en forma cartesiana

Reescriba la ecuación polar r=sen( 2θ ) r=sen( 2θ ) en forma cartesiana.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las coordenadas polares.

8.3 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿En qué se diferencian las coordenadas polares de las rectangulares?

2.

¿En qué se diferencian los ejes polares de los ejes de x y de y en el plano cartesiano?

3.

Explique cómo se grafican las coordenadas polares.

4.

¿Cómo son los puntos ( 3, π 2 ) ( 3, π 2 ) y ( -3, π 2 ) ( -3, π 2 )?

5.

Explique por qué los puntos ( -3, π 2 ) ( -3, π 2 ) y ( 3,- π 2 ) ( 3,- π 2 ) son los mismos.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, convierta las coordenadas polares dadas en coordenadas cartesianas. Recuerde el cuadrante donde se encuentra el punto dado cuando determine θ θ para el punto.

6.

( 7, 7π 6 ) ( 7, 7π 6 )

7.

( 5,π ) ( 5,π )

8.

( 6,- π 4 ) ( 6,- π 4 )

9.

( -3, π 6 ) ( -3, π 6 )

10.

( 4, 7π 4 ) ( 4, 7π 4 )

En los siguientes ejercicios, convierta las coordenadas cartesianas dadas en coordenadas polares con r>0,0θ<2π. r>0,0θ<2π. Recuerde considerar el cuadrante en el que se localiza el punto dado.

11.

( 4,2 ) ( 4,2 )

12.

( -4,6 ) ( -4,6 )

13.

( 3,−5 ) ( 3,−5 )

14.

( –10,-13 ) ( –10,-13 )

15.

( 8,8 ) ( 8,8 )

En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación cartesiana dada en una ecuación polar.

16.

x=3 x=3

17.

y=4 y=4

18.

y=4 x 2 y=4 x 2

19.

y=2 x 4 y=2 x 4

20.

x 2 + y 2 =4y x 2 + y 2 =4y

21.

x 2 + y 2 =3x x 2 + y 2 =3x

22.

x 2 - y 2 =x x 2 - y 2 =x

23.

x 2 - y 2 =3y x 2 - y 2 =3y

24.

x 2 + y 2 =9 x 2 + y 2 =9

25.

x 2 =9y x 2 =9y

26.

y 2 =9x y 2 =9x

27.

9xy=1 9xy=1

En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar dada en una ecuación cartesiana. Escriba en la forma estándar de una cónica, si es posible, e identifique la sección cónica representada.

28.

r=3senθ r=3senθ

29.

r=4cosθ r=4cosθ

30.

r= 4 senθ+7cosθ r= 4 senθ+7cosθ

31.

r= 6 cosθ+3senθ r= 6 cosθ+3senθ

32.

r=2sθ r=2sθ

33.

r=3cscθ r=3cscθ

34.

r= rcosθ+2 r= rcosθ+2

35.

r 2 =4secθcscθ r 2 =4secθcscθ

36.

r=4 r=4

37.

r 2 =4 r 2 =4

38.

r= 1 4cosθ-3senθ r= 1 4cosθ-3senθ

39.

r= 3 cosθ5senθ r= 3 cosθ5senθ

Gráficos

En los siguientes ejercicios, halle las coordenadas polares del punto.

40.
Sistema de coordenadas polares con un punto situado en el tercer círculo concéntrico y pi/2.
41.
Sistema de coordenadas polares con un punto situado en el tercer círculo concéntrico y a medio camino entre pi/2 y pi en el segundo cuadrante.
42.
Sistema de coordenadas polares con un punto situado a medio camino entre el primer y el segundo círculo concéntrico y a un tercio del camino entre pi y 3pi/2 (más cerca de pi).
43.
Sistema de coordenadas polares con un punto situado en el quinto círculo concéntrico y pi.
44.
Sistema de coordenadas polares con un punto situado en el cuarto círculo concéntrico y a un tercio del camino entre 3pi/2 y 2pi (más cerca de 3pi/2).

En los siguientes ejercicios, trace los puntos.

45.

( 2 , π 3 ) ( 2 , π 3 )

46.

( -1,- π 2 ) ( -1,- π 2 )

47.

( 3,5, 7π 4 ) ( 3,5, 7π 4 )

48.

( -4, π 3 ) ( -4, π 3 )

49.

( 5, π 2 ) ( 5, π 2 )

50.

( 4, -5π 4 ) ( 4, -5π 4 )

51.

( 3, 5π 6 ) ( 3, 5π 6 )

52.

( 1,5, 7π 6 ) ( 1,5, 7π 6 )

53.

( 2 , π 4 ) ( 2 , π 4 )

54.

( 1, 3π 2 ) ( 1, 3π 2 )

En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación de forma rectangular a polar y grafique en el eje polar.

55.

5x-y=6 5x-y=6

56.

2 x+7y=-3 2 x+7y=-3

57.

x 2 + ( y-1 ) 2 =1 x 2 + ( y-1 ) 2 =1

58.

( x+2 ) 2 + ( y+3 ) 2 =13 ( x+2 ) 2 + ( y+3 ) 2 =13

59.

x=2 x=2

60.

x 2 + y 2 =5y x 2 + y 2 =5y

61.

x 2 + y 2 =3x x 2 + y 2 =3x

En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación de forma polar a rectangular y grafique en el plano rectangular.

62.

r=6 r=6

63.

r=4 r=4

64.

θ=- 2π 3 θ=- 2π 3

65.

θ= π 4 θ= π 4

66.

r=secθ r=secθ

67.

r=−10senθ r=−10senθ

68.

r=3cosθ r=3cosθ

En tecnología

69.

Utilice una calculadora gráfica para calcular las coordenadas rectangulares de ( 2 ,- π 5 ). ( 2 ,- π 5 ). Redondee a la milésima más cercana.

70.

Utilice una calculadora gráfica para calcular las coordenadas rectangulares de ( -3, 3π 7 ). ( -3, 3π 7 ). Redondee a la milésima más cercana.

71.

Utilice una calculadora gráfica para calcular las coordenadas polares de ( 7,8 ) ( 7,8 ) en grados. Redondee a la milésima más cercana.

72.

Utilice una calculadora gráfica para calcular las coordenadas polares de ( 3,-4 ) ( 3,-4 ) en grados. Redondee a la centésima más cercana.

73.

Utilice una calculadora gráfica para calcular las coordenadas polares de ( 2 ,0 ) ( 2 ,0 ) en radianes. Redondee a la centésima más cercana.

Extensiones

74.

Describa el gráfico de r=asecθ;a>0. r=asecθ;a>0.

75.

Describa el gráfico de r=asecθ;a<0. r=asecθ;a<0.

76.

Describa el gráfico de r=acscθ;a>0. r=acscθ;a>0.

77.

Describa el gráfico de r=acscθ;a<0. r=acscθ;a<0.

78.

¿Qué ecuaciones polares darán una línea oblicua?

En el siguiente ejercicio, grafique la inecuación polar.

79.

r<4 r<4

80.

0θ π 4 0θ π 4

81.

θ= π 4 ,r2 θ= π 4 ,r2

82.

θ= π 4 ,r−3 θ= π 4 ,r−3

83.

0θ π 3 ,r<2 0θ π 3 ,r<2

84.

π 6 <θ π 3 ,-3<r<2 π 6 <θ π 3 ,-3<r<2

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