8.3 Coordenadas polares - Precálculo 2ed

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Trazar puntos con las coordenadas polares.
Convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.
Convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares.
Transformar ecuaciones entre formas polares y rectangulares.
Identificar y graficar ecuaciones polares al convertirlas en ecuaciones rectangulares.

A más de 12 kilómetros del puerto, un velero se topa con mal tiempo y lo desvía de su rumbo un viento de 16 nudos (vea la Figura 1). ¿Cómo puede el marinero indicar su ubicación a los guardacostas? En esta sección, investigaremos un método de representación de la ubicación, que es diferente de la típica cuadrícula de coordenadas.

Ilustración de un barco en la cuadrícula polar.

Figura 1

Trazar puntos mediante coordenadas polares

Cuando pensamos en trazar puntos en el plano, pensamos en coordenadas rectangulares $(x, y)$ en el plano de coordenadas cartesianas. Sin embargo, hay otras formas de escribir un par de coordenadas y otros tipos de sistemas de cuadrícula. En esta sección, introducimos a las coordenadas polares, que son puntos marcados $(r, θ)$ y trazados en una cuadrícula polar. La cuadrícula polar se representa como una serie de círculos concéntricos que irradian desde el polo o el origen del plano de coordenadas.

La cuadrícula polar se presenta a escala como el círculo unitario con el eje x positivo visto ahora como el eje polar y el origen como el polo. La primera coordenada $r$ es el radio o la longitud del segmento rectilíneo dirigido desde el polo. El ángulo $θ,$ medido en radianes, indica la dirección de $r .$ Nos movemos en sentido contrario al de las agujas del reloj desde el eje polar en un ángulo de $θ,$ y medimos un segmento rectilíneo dirigido de longitud $r$ en dirección a $θ .$ Aunque midamos $θ$ primero y luego $r,$ el punto polar se escribe primero con la coordenada r. Por ejemplo, para trazar el punto $(2, \frac{π}{4}),$ nos trasladaríamos $\frac{π}{4}$ unidades en el sentido contrario a las agujas del reloj y luego en una longitud de 2 desde el polo. Este punto se representa en la cuadrícula en la Figura 2.

Cuadrícula polar con el punto (2, pi/4) trazado.

Figura 2

Ejemplo 1

Trazar un punto en la cuadrícula polar

Trace el punto $(3, \frac{π}{2})$ en la cuadrícula de coordenadas polares.

Solución

El ángulo $\frac{π}{2}$ se encuentra al hacer un barrido en sentido contrario a las agujas del reloj a 90° del eje polar. El punto se sitúa a una longitud de 3 unidades del polo en la dirección $\frac{π}{2}$ , como se muestra en la Figura 3.

Cuadrícula polar con el punto (3, pi/2) trazado.

Figura 3

Inténtelo #1

Trace el punto $(2, \frac{π}{3})$ en la cuadrícula polar.

Ejemplo 2

Trazar un punto en el sistema de coordenadas polares con componente negativa

Trace el punto $(- 2, \frac{π}{6})$ en la cuadrícula de coordenadas polares.

Solución

Sabemos que $\frac{π}{6}$ se localiza en el primer cuadrante. Sin embargo, $r = -2.$ Podemos acercarnos a trazar un punto con coordenada $r$ negativa de dos maneras:

Trace el punto $(2, \frac{π}{6})$ al mover $\frac{π}{6}$ en el sentido contrario a las agujas del reloj y al extender un segmento rectilíneo dirigido 2 unidades en el primer cuadrante. A continuación, vuelva a trazar el segmento rectilíneo dirigido a través del polo, y continúe 2 unidades en el tercer cuadrante.
Desplace $\frac{π}{6}$ en el sentido contrario a las agujas del reloj, y dibuje el segmento rectilíneo dirigido desde el polo 2 unidades en la dirección negativa, en el tercer cuadrante.

Vea la Figura 4(a). Compare esto con el gráfico de la coordenada polar $(2, \frac{π}{6})$ que se muestra en la Figura 4(b).

Dos cuadrículas polares. Se representan los puntos (2, pi/6) y (-2, pi/6). Son reflexiones a través del origen en Q1 y Q3.

Figura 4

Inténtelo #2

Trace los puntos $(3, - \frac{π}{6})$ y $(2, \frac{9 π}{4})$ en la misma cuadrícula polar.

Convertir coordenadas polares a coordenadas rectangulares

Cuando se da un conjunto de coordenadas polares, quizá tengamos que convertirlas en coordenadas rectangulares. Para ello, podemos recordar las relaciones que existen entre las variables $x, y, r,$ y $θ .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \cos θ = \frac{x}{r} \to x = r \cos θ \end{array} \\ sen θ = \frac{y}{r} \to y = r sen θ \end{array}

La perpendicular que cae desde el punto del plano hasta el eje x forma un triángulo rectángulo, como se ilustra en la Figura 5. Una forma fácil de recordar las ecuaciones anteriores es pensar en $\cos θ$ como el lado adyacente sobre la hipotenusa y $sen θ$ como el lado opuesto sobre la hipotenusa.

Comparación entre coordenadas polares y coordenadas rectangulares. Hay un triángulo rectángulo trazado en el eje x,y. Los lados son una línea horizontal en el eje x de longitud x, una línea vertical que se extiende desde el eje x hasta algún punto del cuadrante 1, y una hipotenusa r que se extiende desde el origen hasta ese mismo punto en el cuadrante 1. Los vértices están en el origen (0,0), algún punto del eje x en (x,0), y ese punto en el cuadrante 1. Este último punto es (x,y) o (r, theta), dependiendo del sistema de coordenadas que se utilice.

Figura 5

Convertir coordenadas polares a coordenadas rectangulares

Para convertir las coordenadas polares $(r, θ)$ a coordenadas rectangulares $(x, y),$ supongamos que

\cos θ = \frac{x}{r} \to x = r \cos θ

sen θ = \frac{y}{r} \to y = r sen θ

Cómo

Dadas las coordenadas polares, convertir a coordenadas rectangulares.

Dada la coordenada polar $(r, θ),$ escriba $x = r \cos θ$ y $y = r sen θ .$
Evalúe $\cos θ$ y $sen θ .$
Multiplique $\cos θ$ entre $r$ para hallar la coordenada de la x de la forma rectangular.
Multiplique $sen θ$ entre $r$ para hallar la coordenada de l a y de la forma rectangular.

Ejemplo 3

Escribir coordenadas polares como coordenadas rectangulares

Escriba las coordenadas polares $(3, \frac{π}{2})$ como coordenadas rectangulares.

Solución

Utilice las relaciones equivalentes.

\begin{array}{l} x = r \cos θ \\ x = 3 \cos \frac{π}{2} = 0 \\ y = r sen θ \\ y = 3 sen \frac{π}{2} = 3 \end{array}

Las coordenadas rectangulares son $(0, 3) .$ Vea la Figura 6.

Ilustración de (3, pi/2) en coordenadas polares y (0,3) en coordenadas rectangular es: ¡son el mismo punto!

Figura 6

Ejemplo 4

Escribir coordenadas polares como coordenadas rectangulares

Escriba las coordenadas polares $(- 2, 0)$ como coordenadas rectangulares.

Solución

Vea la Figura 7. Al escribir las coordenadas polares como rectangulares, tenemos

\begin{array}{l} x = r \cos θ \\ x = −2 \cos (0) = –2 \\ y = r sen θ \\ y = –2 sen (0) = 0 \end{array}

Las coordenadas rectangulares también son $(- 2, 0) .$

Ilustración de (-2, 0) en coordenadas polares y (-2,0) en coordenadas rectangulares: ¡son el mismo punto!

Figura 7

Inténtelo #3

Escriba las coordenadas polares $(- 1, \frac{2 π}{3})$ como coordenadas rectangulares.

Convertir coordenadas rectangulares a coordenadas polares

Para convertir las coordenadas rectangulares en coordenadas polares, utilizaremos otras dos relaciones conocidas. Con esta conversión, sin embargo, tenemos que ser conscientes de que un conjunto de coordenadas rectangulares dará lugar a más de un punto polar.

Convertir coordenadas rectangulares a coordenadas polares

La conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas polares requiere el uso de una o más de las relaciones ilustradas en la Figura 8.

\begin{array}{l} \cos θ = \frac{x}{r} x = r \cos θ \\ sen θ = \frac{y}{r} o y = r sen θ \\ r^{2} = x^{2} + y^{2} \\ \tan θ = \frac{y}{x} \end{array}

Figura 8

Ejemplo 5

Escribir coordenadas rectangulares como coordenadas polares

Convierta las coordenadas rectangulares $(3, 3)$ a coordenadas polares.

Solución

Vemos que el punto original $(3, 3)$ está en el primer cuadrante. Para hallar $θ,$ utilice la fórmula $\tan θ = \frac{y}{x} .$ Esto da

\begin{array}{l} \tan θ = \frac{3}{3} \\ \tan θ = 1 \\ θ = \tan^{–1} (1) \\ θ = \frac{π}{4} \end{array}

Para hallar $r,$ sustituimos los valores de $x$ como $y$ en la fórmula $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$ Sabemos que $r$ debe ser positivo, ya que $\frac{π}{4}$ está en el primer cuadrante. Así,

\begin{array}{l} r = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} \\ r = \sqrt{9 + 9} \\ r = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \end{array}

Así que, $r = 3 \sqrt{2}$ y $θ = \frac{π}{4},$ lo que nos da el punto polar $(3 \sqrt{2}, \frac{π}{4}) .$ Vea la Figura 9.

Ilustración de (3rad2, pi/4) en coordenadas polares y (3,3) en coordenadas rectangulares: ¡son el mismo punto!

Figura 9

Análisis

Hay otros conjuntos de coordenadas polares que serán iguales a nuestra primera solución. Por ejemplo, los puntos $(- 3 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$ y $(3 \sqrt{2}, - \frac{7 π}{4})$ coincidirán con la solución original de $(3 \sqrt{2}, \frac{π}{4}) .$ El punto $(- 3 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$ indica un movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj por $π,$ que está justo enfrente de $\frac{π}{4} .$ El radio se expresa como $- 3 \sqrt{2} .$ Sin embargo, el ángulo $\frac{5 π}{4}$ se sitúa en el tercer cuadrante y, dado que $r$ es negativo, extendemos el segmento rectilíneo dirigido en la dirección opuesta, en el primer cuadrante. Este es el mismo punto que $(3 \sqrt{2}, \frac{π}{4}) .$ El punto $(3 \sqrt{2}, - \frac{7 π}{4})$ es un movimiento más en el sentido de las agujas del reloj por $- \frac{7 π}{4},$ a partir de $\frac{π}{4} .$ El radio, $3 \sqrt{2},$ es el mismo.

Transformar ecuaciones entre formas polares y rectangulares

Ahora podemos convertir las coordenadas entre la forma polar y la rectangular. La conversión de ecuaciones puede ser más difícil, pero valdría la pena convertir entre las dos formas. Debido a que hay una serie de ecuaciones polares que no pueden expresarse claramente en forma cartesiana, y viceversa, podemos utilizar los mismos procedimientos que utilizamos para convertir puntos entre los sistemas de coordenadas. A continuación, podemos utilizar una calculadora gráfica para representar la forma rectangular o la forma polar de la ecuación.

Cómo

Dada una ecuación en forma polar, grafíquela con una calculadora gráfica.

Cambie el MODO a POL, que representa la forma polar.
Pulse el botón Y= para que aparezca una pantalla que permite introducir seis ecuaciones $r_{1}, r_{2}, . . ., r_{6} .$
Introduzca la ecuación polar, ajustada a $r .$
Pulse GRAPH.

Ejemplo 6

Escribir una ecuación cartesiana en forma polar

Escriba la ecuación cartesiana $x^{2} + y^{2} = 9$ en forma polar.

Solución

El objetivo es eliminar la $x$ como $y$ de la ecuación e introducir $r$ y $θ .$ Lo ideal sería escribir la ecuación $r$ en función de $θ .$ Para obtener la forma polar, utilizaremos las relaciones entre $(x, y)$ y $(r, θ) .$ Dado que $x = r \cos θ$ y $y = r sen θ,$ podemos sustituir y resolver $r .$

\begin{array}{l} {(r \cos θ)}^{2} + {(r sen θ)}^{2} = 9 \\ r^{2} \cos^{2} θ + r^{2} {sen}^{2} θ = 9 \\ r^{2} (\cos^{2} θ + {sen}^{2} θ) = 9 \\ r^{2} (1) = 9 & {Sustituya a cos}^{2} θ + {sen}^{2} θ = 1. \\ r = \pm 3 \begin{matrix}  \end{matrix} & Utilice la propiedad de la raíz cuadrada . \end{array}

Así, $x^{2} + y^{2} = 9, r = 3,$ y $r = - 3$ debería generar el mismo gráfico. Vea el Figura 10.

Trazado de un círculo de radio 3 con centro en el origen en coordenadas polares y rectangulares. Es lo mismo en ambos sistemas.

Figura 10 (a) Forma cartesiana

x^{2} + y^{2} = 9

(b) Forma polar

r = 3

Para graficar un círculo en forma rectangular, primero debemos resolver $y .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 9 \end{array} \\ y^{2} = 9 - x^{2} \\ y = \pm \sqrt{9 - x^{2}} \end{array}

Observe que se trata de dos funciones distintas, ya que un círculo no supera la prueba de la línea vertical. Por lo tanto, tenemos que introducir en la calculadora las raíces cuadradas positivas y negativas por separado, como dos ecuaciones de la forma $Y_{1} = \sqrt{9 - x^{2}}$ y $Y_{2} = - \sqrt{9 - x^{2}} .$ Pulse GRAPH.

Ejemplo 7

Reescribir una ecuación cartesiana como ecuación polar

Reescribir la ecuación cartesiana $x^{2} + y^{2} = 6 y$ como una ecuación polar.

Solución

Esta ecuación es similar a la del ejemplo anterior, pero requiere diferentes pasos para convertir la ecuación.

Podemos seguir los mismos procedimientos que ya hemos aprendido y hacer las siguientes sustituciones:

\begin{array}{l} r^{2} = 6 y & Uso x^{2} + y^{2} = r^{2} . \\ r^{2} = 6 r sen θ & Sustituya y = r sen θ . \\ r^{2} - 6 r sen θ = 0 & Iguale a 0 . \\ r (r - 6 sen θ) = 0 & Factorice y resuelva . \\ r = 0 & Rechazamos r = 0, ya que solo representa un punto, (0, 0) . \\ r = 6 sen θ \begin{matrix}  \end{matrix} \end{array}

Por lo tanto, las ecuaciones $x^{2} + y^{2} = 6 y$ y $r = 6 sen θ$ debería darnos el mismo gráfico. Vea la Figura 11.

Gráficos de las ecuaciones indicadas anteriormente, los gráficos son los mismos en coordenadas rectangulares y polares. Son círculos.

Figura 11 (a) Forma cartesiana

x^{2} + y^{2} = 6 y

(b) forma polar

r = 6 sen θ

La ecuación cartesiana o rectangular se traza en la cuadrícula rectangular, y la ecuación polar se traza en la cuadrícula polar. Claramente, los gráficos son idénticos.

Ejemplo 8

Reescribir una ecuación cartesiana en forma polar

Reescribir la ecuación cartesiana $y = 3 x + 2$ como una ecuación polar.

Solución

Utilizaremos las relaciones $x = r \cos θ$ y $y = r sen θ .$

\begin{array}{l} y = 3 x + 2 \\ r sen θ = 3 r \cos θ + 2 \\ r sen θ - 3 r \cos θ = 2 \\ r (sen θ - 3 \cos θ) = 2 & Aísle r . \\ r = \frac{2}{sen θ - 3 \cos θ} \begin{matrix}  \end{matrix} & Resuelva para r . \end{array}

Inténtelo #4

Reescribir la ecuación cartesiana $y^{2} = 3 - x^{2}$ en forma polar.

Identificar y graficar ecuaciones polares al convertirlas en ecuaciones rectangulares

Hemos aprendido a convertir coordenadas rectangulares en coordenadas polares, y hemos visto que los puntos son efectivamente los mismos. También hemos transformado ecuaciones polares en ecuaciones rectangulares y viceversa. Ahora demostraremos que sus gráficos, aunque dibujados en cuadrículas diferentes, son idénticos.

Ejemplo 9

Graficar una ecuación polar al convertirla en una ecuación rectangular

Convierta la ecuación polar $r = 2 s θ$ en una ecuación rectangular, y dibuje su correspondiente gráfico.

Solución

La conversión es

\begin{matrix} r & = & 2 s θ \\ r & = & \frac{2}{\cos θ} \\ r \cos θ & = & 2 \\ x & = & 2 \end{matrix}

Observe que la ecuación $r = 2 s θ$ dibujada en la cuadrícula polar es claramente la misma que la línea vertical $x = 2$ dibujada en la cuadrícula rectangular (vea la Figura 12). Así como $x = c$ es la forma estándar para una línea vertical en forma rectangular, $r = c \sec θ$ es la forma estándar para una línea vertical en forma polar.

Gráficos de las ecuaciones indicadas anteriormente, los gráficos son los mismos en coordenadas rectangulares y polares. Son líneas.

Figura 12 (a) Cuadrícula polar (b) Sistema de coordenadas rectangulares

Una explicación similar demostraría que el gráfico de la función $r = 2 \csc θ$ será la línea horizontal $y = 2.$ De hecho, $r = c \csc θ$ es la forma estándar de una línea horizontal en forma polar, correspondiente a la forma rectangular $y = c .$

Ejemplo 10

Reescribir una ecuación polar en forma cartesiana

Reescriba la ecuación polar $r = \frac{3}{1 - 2 \cos θ}$ como una ecuación cartesiana.

Solución

El objetivo es eliminar la $θ$ y $r,$ e introducir la $x$ como $y .$ Despejamos la fracción y luego utilizamos la sustitución. Para sustituir $r$ con la $x$ como $y,$ debemos utilizar la expresión $x^{2} + y^{2} = r^{2} .$

\begin{matrix} r & = & \frac{3}{1 2 \cos θ} \\ r (1 2 (\frac{x}{r})) & = & 3 \\ r 2 x & = & 3 & Uso \cos θ = \frac{x}{r} t i elimine θ \\ r 2 x & = & 3 \\ r & = & 3 + 2 x & Aísle r \\ r^{2} & = & {(3 + 2 x)}^{2} & Lleve al cuadrado ambos lados \\ x^{2} + y^{2} & = & {(3 + 2 x)}^{2} & Uso x^{2} + y^{2} = r^{2} \end{matrix}

La ecuación cartesiana es $x^{2} + y^{2} = {(3 + 2 x)}^{2} .$ Sin embargo, para graficarlo, especialmente con una calculadora gráfica o un programa computarizado, queremos aislar $y .$

\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = {(3 + 2 x)}^{2} \\ y^{2} = {(3 + 2 x)}^{2} - x^{2} \\ y = \pm \sqrt{{(3 + 2 x)}^{2} - x^{2}} \end{array}

Cuando toda nuestra ecuación se haya cambiado de $r$ y $θ$ a la $x$ como $y,$ podemos parar, a no ser que se nos pida que resolvamos $y$ o simplificar. Vea la Figura 13.

Gráficos de las ecuaciones indicadas anteriormente, los gráficos son los mismos en coordenadas rectangulares y polares. Son hipérbolas.

Figura 13

La forma de "reloj de arena" en el gráfico se denomina hipérbola. Las hipérbolas tienen muchas características y aplicaciones geométricas interesantes, que investigaremos más a fondo en Geometría Analítica.

Análisis

En este ejemplo, el lado derecho de la ecuación puede expandirse y la ecuación simplificarse aún más, como se indica arriba. Sin embargo, la ecuación no puede escribirse como una sola función en forma cartesiana. Podemos escribir la ecuación rectangular en la forma estándar de la hipérbola. Para ello, podemos empezar con la ecuación inicial.

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} & = & {(3 + 2 x)}^{2} \\ x^{2} + y^{2} {(3 + 2 x)}^{2} & = & 0 \\ x^{2} + y^{2} (9 + 12 x + 4 x^{2}) & = & 0 \\ x^{2} + y^{2} 9 12 x 4 x^{2} & = & 0 \\ 3 x^{2} 12 x + y^{2} & = & 9 & Multiplique esto por 1 \\ 3 x^{2} + 12 x y^{2} & = & 9 \\ 3 (x^{2} + 4 x +) y^{2} & = & 9 \\ 3 (x^{2} + 4 x + 4) y^{2} & = & 9 + 12 & O r g a n i c e los términos para completar el unidades para x \\ 3 {(x + 2)}^{2} y^{2} & = & 3 \\ {(x + 2)}^{2} \frac{y 2}{3} & = & 1 \end{matrix}

Inténtelo #5

Reescriba la ecuación polar $r = 2 sen θ$ en forma cartesiana.

Ejemplo 11

Reescribir una ecuación polar en forma cartesiana

Reescriba la ecuación polar $r = sen (2 θ)$ en forma cartesiana.

Solución

\begin{array}{l} r = sen (2 θ) & Utilice la identidad de ángulo doble para el seno . \\ r = 2 sen θ \cos θ \begin{matrix}  \end{matrix} & Uso \cos θ = \frac{x}{r} y sen θ = \frac{y}{r} . \\ r = 2 (\frac{x}{r}) (\frac{y}{r}) & Simplifique . \\ r = \frac{2 x y}{r^{2}} & Multiplique ambos lados por r^{2} . \\ r^{3} = 2 x y \\ {(\sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{3} = 2 x y & Dado que x^{2} + y^{2} = r^{2}, r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} . \end{array}

Esta ecuación también se escribe como

{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}} = 2 x y o x^{2} + y^{2} = {(2 x y)}^{\frac{2}{3}}

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las coordenadas polares.

8.3 Ejercicios de sección

Verbales

¿En qué se diferencian las coordenadas polares de las rectangulares?

¿En qué se diferencian los ejes polares de los ejes de x y de y en el plano cartesiano?

Explique cómo se grafican las coordenadas polares.

¿Cómo son los puntos $(3, \frac{π}{2})$ y $(- 3, \frac{π}{2})$ ?

Explique por qué los puntos $(- 3, \frac{π}{2})$ y $(3, - \frac{π}{2})$ son los mismos.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, convierta las coordenadas polares dadas en coordenadas cartesianas. Recuerde el cuadrante donde se encuentra el punto dado cuando determine $θ$ para el punto.

$(7, \frac{7 π}{6})$

$(5, π)$

$(6, - \frac{π}{4})$

$(- 3, \frac{π}{6})$

10.

$(4, \frac{7 π}{4})$

En los siguientes ejercicios, convierta las coordenadas cartesianas dadas en coordenadas polares con $r > 0, 0 \leq θ < 2 π .$ Recuerde considerar el cuadrante en el que se localiza el punto dado.

11.

$(4, 2)$

12.

$(- 4, 6)$

13.

$(3, −5)$

14.

$(–10, -13)$

15.

$(8, 8)$

En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación cartesiana dada en una ecuación polar.

16.

$x = 3$

17.

$y = 4$

18.

$y = 4 x^{2}$

19.

$y = 2 x^{4}$

20.

$x^{2} + y^{2} = 4 y$

21.

$x^{2} + y^{2} = 3 x$

22.

$x^{2} - y^{2} = x$

23.

$x^{2} - y^{2} = 3 y$

24.

$x^{2} + y^{2} = 9$

25.

$x^{2} = 9 y$

26.

$y^{2} = 9 x$

27.

$9 x y = 1$

En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar dada en una ecuación cartesiana. Escriba en la forma estándar de una cónica, si es posible, e identifique la sección cónica representada.

28.

$r = 3 sen θ$

29.

$r = 4 \cos θ$

30.

$r = \frac{4}{sen θ + 7 \cos θ}$

31.

$r = \frac{6}{\cos θ + 3 sen θ}$

32.

$r = 2 s θ$

33.

$r = 3 \csc θ$

34.

$r = \sqrt{r \cos θ + 2}$

35.

$r^{2} = 4 \sec θ \csc θ$

36.

$r = 4$

37.

$r^{2} = 4$

38.

$r = \frac{1}{4 \cos θ - 3 sen θ}$

39.

$r = \frac{3}{\cos θ - 5 sen θ}$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, halle las coordenadas polares del punto.

40.

Sistema de coordenadas polares con un punto situado en el tercer círculo concéntrico y pi/2.

41.

Sistema de coordenadas polares con un punto situado en el tercer círculo concéntrico y a medio camino entre pi/2 y pi en el segundo cuadrante.

42.

Sistema de coordenadas polares con un punto situado a medio camino entre el primer y el segundo círculo concéntrico y a un tercio del camino entre pi y 3pi/2 (más cerca de pi).

43.

Sistema de coordenadas polares con un punto situado en el quinto círculo concéntrico y pi.

44.

Sistema de coordenadas polares con un punto situado en el cuarto círculo concéntrico y a un tercio del camino entre 3pi/2 y 2pi (más cerca de 3pi/2).

En los siguientes ejercicios, trace los puntos.

45.

$(- 2, \frac{π}{3})$

46.

$(- 1, - \frac{π}{2})$

47.

$(3,5, \frac{7 π}{4})$

48.

$(- 4, \frac{π}{3})$

49.

$(5, \frac{π}{2})$

50.

$(4, \frac{- 5 π}{4})$

51.

$(3, \frac{5 π}{6})$

52.

$(- 1,5, \frac{7 π}{6})$

53.

$(- 2, \frac{π}{4})$

54.

$(1, \frac{3 π}{2})$

En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación de forma rectangular a polar y grafique en el eje polar.

55.

$5 x - y = 6$

56.

$2 x + 7 y = - 3$

57.

$x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

58.

${(x + 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 13$

59.

$x = 2$

60.

$x^{2} + y^{2} = 5 y$

61.

$x^{2} + y^{2} = 3 x$

En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación de forma polar a rectangular y grafique en el plano rectangular.

62.

$r = 6$

63.

$r = - 4$

64.

$θ = - \frac{2 π}{3}$

65.

$θ = \frac{π}{4}$

66.

$r = \sec θ$

67.

$r = −10 sen θ$

68.

$r = 3 \cos θ$

En tecnología

69.

Utilice una calculadora gráfica para calcular las coordenadas rectangulares de $(2, - \frac{π}{5}) .$ Redondee a la milésima más cercana.

70.

Utilice una calculadora gráfica para calcular las coordenadas rectangulares de $(- 3, \frac{3 π}{7}) .$ Redondee a la milésima más cercana.

71.

Utilice una calculadora gráfica para calcular las coordenadas polares de $(- 7, 8)$ en grados. Redondee a la milésima más cercana.

72.

Utilice una calculadora gráfica para calcular las coordenadas polares de $(3, - 4)$ en grados. Redondee a la centésima más cercana.

73.

Utilice una calculadora gráfica para calcular las coordenadas polares de $(- 2, 0)$ en radianes. Redondee a la centésima más cercana.

Extensiones

74.

Describa el gráfico de $r = a \sec θ; a > 0 .$

75.

Describa el gráfico de $r = a \sec θ; a < 0 .$

76.

Describa el gráfico de $r = a \csc θ; a > 0 .$

77.

Describa el gráfico de $r = a \csc θ; a < 0 .$

78.

¿Qué ecuaciones polares darán una línea oblicua?

En el siguiente ejercicio, grafique la inecuación polar.

79.

$r < 4$

80.

$0 \leq θ \leq \frac{π}{4}$

81.

$θ = \frac{π}{4}, r \geq 2$

82.

$θ = \frac{π}{4}, r \geq −3$

83.

$0 \leq θ \leq \frac{π}{3}, r < 2$

84.

$\frac{- π}{6} < θ \leq \frac{π}{3}, - 3 < r < 2$