Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección podrá:

Comprobar la simetría de las ecuaciones polares.
Representar gráficamente ecuaciones polares mediante trazado de puntos.

Los planetas se mueven por el espacio en órbitas elípticas y periódicas alrededor del sol, como se muestra en la Figura 1. Están en constante movimiento, por lo que fijar una posición exacta de cualquier planeta solo es válido durante un momento. En otras palabras, solo podemos fijar la posición instantánea de un planeta. Esta es una aplicación de las coordenadas polares, representadas como $(r, θ) .$ Interpretamos $r$ como la distancia al Sol y $θ$ como el rumbo angular del planeta, o su dirección desde un punto fijo del Sol. En esta sección nos centraremos en el sistema polar y en los gráficos que se generan directamente a partir de coordenadas polares.

Ilustración del sistema solar con el Sol en el centro y las órbitas de los planetas Mercurio, Venus, Tierra y Marte.

Figura 1 Los planetas siguen trayectorias elípticas mientras orbitan alrededor del Sol (créditos: modificación del trabajo de la NASA/Laboratorio de Propulsión a Chorro [Jet Propulsion Laboratory, JPL]-Instituto de Tecnología de California [California Institute of Technology, Caltech]).

Probar la simetría de las ecuaciones polares

Al igual que una ecuación rectangular como $y = x^{2}$ describe la relación entre $x$ y $y$ en una cuadrícula cartesiana, una ecuación polar describe una relación entre $r$ y $θ$ en una cuadrícula polar. Recordemos que el par de coordenadas $(r, θ)$ indica que nos movemos en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje polar (eje x positivo) en un ángulo de $θ,$ y extiende un rayo desde el polo (origen) de $r$ unidades en la dirección de $θ .$ Todos los puntos que satisfacen la ecuación polar están en el gráfico.

La simetría es una propiedad que nos ayuda a reconocer y trazar el gráfico de cualquier ecuación. Si una ecuación tiene un gráfico que es simétrico respecto a un eje, significa que si doblamos el gráfico por la mitad sobre ese eje, la parte del gráfico de un lado coincidiría con la parte del otro lado. Realizando tres pruebas, veremos cómo aplicar las propiedades de la simetría a las ecuaciones polares. Además, utilizaremos la simetría (además de trazar puntos clave, ceros y máximos de $r)$ para determinar el gráfico de una ecuación polar.

En la primera prueba, consideramos la simetría con respecto a la línea $θ = \frac{π}{2}$ (eje y). Reemplazamos $(r, θ)$ con la $(- r, - θ)$ para determinar si la nueva ecuación es equivalente a la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación $r = 2 sen θ;$

\begin{array}{l} r = 2 sen θ \\ - r = 2 sen (- θ) \begin{matrix}  \end{matrix} & Sustituya (r, θ) con (- r, - θ) . \\ - r = –2 sen θ & La identidad: sen (- θ) = - sen θ . \\ r = 2 sen θ & Multiplique ambos lados por −1. \end{array}

Esta ecuación presenta simetría con respecto a la línea $θ = \frac{π}{2} .$

En la segunda prueba, consideramos la simetría con respecto al eje polar (eje $x$ ). Reemplazamos $(r, θ)$ con la $(r, - θ)$ o $(- r, π - θ)$ para determinar la equivalencia entre la ecuación probada y la original. Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación $r = 1 - 2 \cos θ .$

\begin{array}{l} r = 1 - 2 \cos θ \\ r = 1 - 2 \cos (- θ) \begin{matrix}  \end{matrix} & Sustituya (r, θ) con (r, - θ) . \\ r = 1 - 2 \cos θ & Identidad par/impar \end{array}

El gráfico de esta ecuación presenta simetría con respecto al eje polar.

En la tercera prueba, consideramos la simetría con respecto al polo (origen). Reemplazamos $(r, θ)$ con la $(- r, θ)$ para determinar si la ecuación probada es equivalente a la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación $r = 2 sen (3 θ).$

\begin{matrix} r = 2 sen (3 θ) \\ - r = 2 sen (3 θ) \end{matrix}

La ecuación no ha superado la prueba de simetría, pero eso no significa que no sea simétrica con respecto al polo. La superación de una o más pruebas de simetría verifica que la simetría se mostrará en un gráfico. Sin embargo, el hecho de no superar las pruebas de simetría no indica necesariamente que un gráfico no sea simétrico con respecto a la línea $θ = \frac{π}{2},$ el eje polar, o el polo. En estos casos, podemos confirmar que la simetría existe trazando puntos de reflexión a través del eje de simetría aparente o del polo. La prueba de simetría es una técnica que simplifica hacer gráficos de las ecuaciones polares, pero su aplicación no es perfecta.

Pruebas de simetría

Una ecuación polar describe una curva en la cuadrícula polar. El gráfico de la ecuación polar se evalúa para tres tipos de simetría, como se indica la Figura 2.

3 gráficos uno al lado del otro. (A) muestra un rayo que se extiende en Q 1 y su versión simétrica en Q 2. (B) muestra un rayo que se extiende en Q 1 y su versión simétrica en Q 4. (C) muestra un rayo que se extiende en Q 1 y su versión simétrica en Q 3. Para obtener más información, consulte el pie de foto.

Figura 2 (a) Un gráfico es simétrico respecto a la línea

θ = \frac{π}{2}

(eje y) si la sustitución de

(r, θ)

con la

(- r, - θ)

produce una ecuación equivalente. (b) Un gráfico es simétrico con respecto al eje polar (eje x) si la sustitución de

(r, θ)

con la

(r, - θ)

o

(- r, π– θ)

produce una ecuación equivalente. (c) Un gráfico es simétrico con respecto al polo (origen) si la sustitución de

(r, θ)

con la

(- r, θ)

produce una ecuación equivalente.

Cómo

Dada una ecuación polar, pruebe la simetría.

Sustituya la combinación adecuada de componentes para $(r, θ) :$ $(- r, - θ)$ para la simetría $θ = \frac{π}{2}$ ; $(r, - θ)$ para la simetría del eje polar y $(- r, θ)$ para la simetría con respecto al polo.
Si las ecuaciones resultantes son equivalentes en una o más de las pruebas, el gráfico produce la simetría esperada.

Ejemplo 1

Probar la simetría de una ecuación polar

Pruebe la ecuación $r = 2 sen θ$ para la simetría.

Solución

Comprobación para cada uno de los tres tipos de simetría.

1) Sustituir $(r, θ)$ con la $(- r, - θ)$ produce el mismo resultado. Por lo tanto, el gráfico es simétrico con respecto a la línea $θ = \frac{π}{2} .$	$\begin{array}{l} - r = 2 sen (- θ) \\ - r = –2 sen θ & Identidad par-impar \\ r = 2 sen θ & Multiplique por −1 \\ Aprobado \end{array}$
2) La sustitución de $θ$ con $- θ$ no produce la misma ecuación. Por lo tanto, el gráfico no pasa la prueba y puede o no ser simétrico con respecto al eje polar.	$\begin{array}{l} r = 2 sen (- θ) \\ r = –2 sen θ & Identidad par-impar \\ r = –2 sen θ \neq 2 sen θ \\ Fallido \end{array}$
3) La sustitución de $r$ con la $- r$ cambia la ecuación y no pasa la prueba. El gráfico puede o no ser simétrico con respecto al polo.	$\begin{array}{l} - r = 2 sen θ \\ r = –2 sen θ \neq 2 sen θ \\ Fallido \end{array}$

Tabla 1

Análisis

Utilizando una calculadora gráfica podemos ver que la ecuación $r = 2 sen θ$ es un círculo centrado en $(0, 1)$ con radio $r = 1$ y es efectivamente simétrica a la línea $θ = \frac{π}{2} .$ También podemos ver que el gráfico no es simétrico con el eje polar ni el polo. Vea la Figura 3.

Gráfico del círculo dado en la cuadrícula de coordenadas polares. El centro está en (0,1), y tiene radio 1.

Figura 3

Inténtelo #1

Pruebe la simetría de la ecuación: $r = - 2 \cos θ .$

Representar gráficamente ecuaciones polares mediante trazado de puntos

Para hacer un gráfico en el sistema de coordenadas rectangulares construimos una tabla de valores de $x$ y $y$ . Para hacer un gráfico en el sistema de coordenadas polares construimos una tabla de valores $θ$ y $r$ . Introducimos valores de $θ$ en una ecuación polar y calculamos $r .$ Sin embargo, al usar las propiedades de simetría y calcular los valores clave de $θ$ y $r$ significa que se necesitarán menos cálculos.

Hallar ceros y máximos

Para hallar los ceros de una ecuación polar, resolvemos los valores de $θ$ que resultan en $r = 0 .$ Recordemos que, para hallar los ceros de las funciones polinómicas, fijamos la ecuación igual a cero y luego resolvemos para $x .$ Utilizamos el mismo proceso para las ecuaciones polares. Establezca $r = 0,$ y resuelva para $θ .$

Para muchas de las formas que encontraremos, el valor máximo de una ecuación polar se calcula sustituyendo aquellos valores de $θ$ en la ecuación que da como resultado el valor máximo de las funciones trigonométricas. Considere que $r = 5 \cos θ;$ la distancia máxima entre la curva y el poste es de 5 unidades. El valor máximo de la función coseno es 1 cuando $θ = 0,$ por lo que nuestra ecuación polar es $5 \cos θ,$ y el valor $θ = 0$ producirá el máximo $| r | .$

Del mismo modo, el valor máximo de la función de seno es 1 cuando $θ = \frac{π}{2},$ y si nuestra ecuación polar es $r = 5 sen θ,$ el valor $θ = \frac{π}{2}$ producirá el máximo $| r | .$ Podemos hallar información adicional calculando los valores de $r$ cuando $θ = 0 .$ Estos puntos serían las intersecciones de los ejes polares, que pueden ser útiles para dibujar el gráfico e identificar la curva de una ecuación polar.

Ejemplo 2

Hallar los ceros y los valores máximos de una ecuación polar

Utilizando la ecuación del Ejemplo 1, halle los ceros y el máximo $| r |$ y, si es necesario, las intersecciones del eje polar de $r = 2 sen θ .$

Solución

Para hallar los ceros, establezca $r$ igual a cero y resuelva para $θ .$

\begin{array}{l} 2 sen θ = 0 \\ sen θ = 0 \\ θ = {sen}^{- 1} 0 \\ θ = n π & donde n es un número entero \end{array}

Sustituya cualquiera de los valores $θ$ en la ecuación. Utilizaremos $0,$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} r = 2 sen (0) \end{array} \\ r = 0 \end{array}

Los puntos $(0, 0)$ y $(0, \pm n π)$ son los ceros de la ecuación. Todos coinciden, por lo que solo se ve un punto en el gráfico. Este punto es también la única intersección del eje polar.

Para hallar el valor máximo de la ecuación, observe el valor máximo de la función trigonométrica $sen θ,$ que se produce cuando $θ = \frac{π}{2} \pm 2 k π$ lo que da como resultado $sen (\frac{π}{2}) = 1.$ Sustituya $\frac{π}{2}$ por $θ.$

\begin{array}{l} r = 2 sen (\frac{π}{2}) \\ r = 2 (1) \\ r = 2 \end{array}

Análisis

El punto $(2, \frac{π}{2})$ será el valor máximo del gráfico. Vamos a trazar algunos puntos más para verificar el gráfico de un círculo. Vea la Tabla 2 y la Figura 4.

$θ$	$r = 2 sen θ$	$r$
0	$r = 2 sen (0) = 0$	$0$
$\frac{π}{6}$	$r = 2 sen (\frac{π}{6}) = 1$	$1$
$\frac{π}{3}$	$r = 2 sen (\frac{π}{3}) \approx 1,73$	$1,73$
$\frac{π}{2}$	$r = 2 sen (\frac{π}{2}) = 2$	$2$
$\frac{2 π}{3}$	$r = 2 sen (\frac{2 π}{3}) \approx 1,73$	$1,73$
$\frac{5 π}{6}$	$r = 2 sen (\frac{5 π}{6}) = 1$	$1$
$π$	$r = 2 sen (π) = 0$	$0$

Tabla 2

Gráfico del círculo en la cuadrícula de coordenadas polares. El centro está en (0,1), y tiene radio 1. Se marcan seis puntos a lo largo de la circunferencia: (0,0), (1, pi/6), (1,3, pi/3), (2, pi/2), (1,73, 2pi/3) y (1, 5pi/6).

Figura 4

Inténtelo #2

Sin convertir a coordenadas cartesianas, pruebe la simetría de la ecuación dada y halle los ceros y valores máximos de $| r | :$ $r = 3 \cos θ .$

Investigar sobre círculos

Ahora hemos visto la ecuación de un círculo en el sistema de coordenadas polares. En los dos ejemplos anteriores se utilizó la misma ecuación para ilustrar las propiedades de la simetría y demostrar cómo hallar los ceros, los valores máximos y los puntos trazados que produjeron los gráficos. Sin embargo, el círculo es solo una de las muchas formas del conjunto de curvas polares.

Existen cinco curvas polares clásicas: cardioides, caracoles de Pascal, lemniscatas, curvas de rosa polar (rhodonea) y espirales de Arquímedes. Trataremos brevemente las fórmulas polares del círculo antes de pasar a las curvas clásicas y sus variaciones.

Fórmulas para la ecuación de un círculo

Algunas de las fórmulas que producen el gráfico de un círculo en coordenadas polares están dadas por $r = a \cos θ$ y $r = a sen θ,$ donde $a$ es el diámetro de la circunferencia o la distancia desde el polo hasta el punto más alejado del círculo. El radio es $\frac{| a |}{2},$ o la mitad del diámetro. Para $r = a \cos θ,$ el centro es $(\frac{a}{2}, 0) .$ Para $r = a sen θ,$ el centro es $(\frac{a}{2}, \frac{π}{2}) .$ La Figura 5 muestra los gráficos de estos cuatro círculos.

Cuatro gráficos uno al lado del otro. Todos tienen valor absoluto de radio de a / 2. El primero es r = acos(theta), a>0. El centro está en (a/2,0). El segundo es r = acos(theta), a<0. El centro está en (a/2,0). El tercero es r = asen(theta), a>0. El centro está en (a/2, pi). El cuarto es r = asen(theta), a<0. El centro está en (a/2, pi).

Figura 5

Ejemplo 3

Dibujar el gráfico de una ecuación polar para un círculo

Dibuje el gráfico de $r = 4 \cos θ .$

Solución

En primer lugar, al comprobar la simetría de la ecuación, nos damos cuenta de que el gráfico es simétrico respecto al eje polar. Luego, hallamos los ceros y el máximo $| r |$ por $r = 4 \cos θ .$ Primero, establezca $r = 0,$ y resuelva para $θ$ . Por lo tanto, se produce un cero en $θ = \frac{π}{2} \pm k π .$ Un punto clave para trazar es $(0, \frac{π}{2}) .$

Para hallar el valor máximo de $r,$ observe que el valor máximo de la función coseno es 1 cuando $θ = 0 \pm 2 k π .$ Sustituya $θ = 0$ en la ecuación:

\begin{matrix} r = 4 \cos θ \\ r = 4 \cos (0) \\ r = 4 (1) = 4 \end{matrix}

El valor máximo de la ecuación es 4. Un punto clave para trazar es $(4, 0) .$

Dado que $r = 4 \cos θ$ es simétrica con respecto al eje polar, solo tenemos que calcular los valores r para $θ$ en el intervalo $[0,$ $π] .$ Los puntos del cuadrante superior se pueden reflejar en el cuadrante inferior. Haga una tabla de valores similar a la Tabla 3. El gráfico se muestra en la Figura 6.

$θ$	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	$π$
$r$	4	3,46	2,83	2	0	−2	-2,83	-3,46	-4

Tabla 3

Gráfico de 4 = 4cos(theta) en coordenadas polares. Los puntos (0, pi/2), (–2, 2pi/3), (4,0) y (2, pi/3) están marcados en la circunferencia.

Figura 6

Investigar las cardioides

Aunque la traslación de coordenadas polares a coordenadas cartesianas puede parecer más sencilla en algunos casos, la representación gráfica de las curvas clásicas es en realidad menos complicada en el sistema polar. La siguiente curva se llama cardioide, ya que se parece a un corazón. Esta forma se incluye, a menudo, con la familia de curvas llamada caracoles de Pascal, pero aquí hablaremos de la cardioide por sí sola.

Fórmulas para una cardioide

Las fórmulas que producen los gráficos de una cardioide están dadas por $r = a \pm b \cos θ$ y $r = a \pm b sen θ$ donde $a > 0,$ $b > 0,$ y $\frac{a}{b} = 1.$ El gráfico de la cardioide pasa por el polo, como podemos ver en la Figura 7.

Gráfico de cuatro cardioides. (A) es r = a + bcos(theta). Cardioide que se extiende hacia la derecha. (B) es r=a-bcos(theta). Cardioide que se extiende hacia la izquierda. (C) es r=a+bsen(theta). Cardioide que se extiende hacia arriba. (D) es r=a-bsen(theta). Cardioide que se extiende hacia abajo.

Figura 7

Cómo

Dada la ecuación polar de una cardioide, dibuje su gráfico.

Compruebe la ecuación de los tres tipos de simetría.
Halle los ceros. Establezca $r = 0 .$
Halle el valor máximo de la ecuación según el valor máximo de la expresión trigonométrica.
Haga una tabla de valores para $r$ y $θ .$
Trace los puntos y dibuje el gráfico.

Ejemplo 4

Dibujar el gráfico de una cardioide

Dibuje el gráfico de $r = 2 + 2 \cos θ .$

Solución

Primero, al probar la simetría de la ecuación, hallamos que el gráfico de esta ecuación será simétrico alrededor del eje polar. Luego, hallamos los ceros y los máximos. Si establecemos que $r = 0,$ tenemos $θ = π + 2 k π .$ El cero de la ecuación se encuentra en $(0, π) .$ El gráfico pasa por este punto.

El valor máximo de $r = 2 + 2 \cos θ$ se produce cuando $\cos θ$ es un máximo, lo que se da cuando $\cos θ = 1$ o cuando $θ = 0 .$ Sustituya $θ = 0$ en la ecuación y resuelva para $r .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} r = 2 + 2 \cos (0) \end{array} \\ r = 2 + 2 (1) = 4 \end{array}

El punto $(4, 0)$ es el valor máximo del gráfico.

Comprobamos que la ecuación polar es simétrica con respecto al eje polar, pero como se extiende a los cuatro cuadrantes, necesitamos trazar los valores sobre el intervalo $[0, π] .$ La parte superior del gráfico se refleja entonces sobre el eje polar. A continuación, hacemos una tabla de valores, como en la Tabla 4, y luego trazamos los puntos y dibujamos el gráfico. Vea la Figura 8.

$θ$	$0$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$π$
$r$	4	3,41	2	1	0

Tabla 4

Gráfico de r = 2 + 2 cos(theta). Cardioide que se extiende hacia la derecha. Se muestran los puntos de la arista (0,pi), (4,0),(3,4, pi/4), (2,pi/2) y (1, 2pi/3).

Figura 8

Investigar sobre caracoles de Pascal

La palabra limaçon significa "caracol" en francés antiguo, nombre que describe la forma del gráfico. Como se ha mencionado anteriormente, el cardioide es un miembro de la familia de los caracoles de Pascal, y podemos ver las similitudes en los gráficos. Las demás imágenes de esta categoría consisten en un caracol de Pascal de un lazo y un caracol de Pascal de dos lazos (o de lazo interno). Los caracoles de Pascal de un lazo, a veces, se denominan caracoles de Pascal con hoyuelos cuando $1 < \frac{a}{b} < 2$ y caracoles de Pascal convexos cuando $\frac{a}{b} \geq 2.$

Fórmulas para los caracoles de Pascal de un lazo

Las fórmulas que producen el gráfico de un caracol de Pascal de un lazo con hoyuelos están dadas por $r = a \pm b \cos θ$ y $r = a \pm b sen θ$ donde $a > 0, b > 0,$ $y 1< \frac{a}{b} < 2.$ Los cuatro gráficos se muestran en la Figura 9.

Cuatro caracoles de Pascal con hoyuelos uno al lado del otro. (A) es r = a + bcos(theta). Extendiéndose hacia la derecha. (B) es r=a-bcos(theta). Extendiéndose hacia la izquierda. (C) es r=a+bsen(theta). Extendiéndose hacia arriba. (D) es r=a-bsen(theta). Extendiéndose hacia abajo.

Figura 9 Caracoles de Pascal con hoyuelos

Cómo

Dada una ecuación polar para un caracol de Pascal de un lazo, dibuje el gráfico.

Pruebe la simetría de la ecuación. Recuerde que el hecho de no superar la prueba de simetría no significa que la forma no presente simetría. A menudo, la simetría puede revelarse al trazar los puntos.
Halle los ceros.
Halle los valores máximos según la expresión trigonométrica.
Haga una tabla.
Trace los puntos y dibuje el gráfico.

Ejemplo 5

Dibujar el gráfico de un caracol de Pascal de un lazo

Represente gráficamente la ecuación $r = 4 - 3 sen θ .$

Solución

Primero, al probar la simetría de la ecuación, hallamos que no supera las tres pruebas de simetría, lo que significa que el gráfico puede o no presentar simetría, por lo que no podemos utilizar la simetría para ayudarnos a graficarla. Sin embargo, esta ecuación tiene un gráfico que muestra claramente la simetría con respecto a la línea $θ = \frac{π}{2},$ pero no supera las tres pruebas de simetría. Una calculadora gráfica ilustrará inmediatamente la cualidad de reflexión del gráfico.

Luego, hallamos los ceros y el máximo, y trazamos los puntos de reflexión para verificar cualquier simetría. Si establecemos que $r = 0$ da como resultado que $θ$ es indefinido. ¿Qué significa esto? ¿Cómo podría $θ$ ser indefinido? El ángulo $θ$ es indefinido para cualquier valor de $sen θ > 1.$ Por lo tanto, $θ$ es indefinido porque no hay ningún valor de $θ$ para los cuales $sen θ > 1.$ En consecuencia, el gráfico no pasa por el polo. Quizás el gráfico sí cruza el eje polar, pero no en el polo. Podemos investigar otras intersecciones al calcular $r$ cuando $θ = 0 .$

\begin{array}{l} r (0) = 4 - 3 sen (0) \\ r = 4 - 3 \cdot 0 = 4 \end{array}

Por lo tanto, hay al menos una intersección del eje polar en $(4, 0) .$

Luego, como el valor máximo de la función seno es 1 cuando $θ = \frac{π}{2},$ sustituiremos $θ = \frac{π}{2}$ en la ecuación y resolvemos para $r .$ Por lo tanto, $r = 1.$

Haga una tabla de las coordenadas similar a la Tabla 5

$θ$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{5 π}{6}$	$π$	$\frac{7 π}{6}$	$\frac{4 π}{3}$	$\frac{3 π}{2}$	$\frac{5 π}{3}$	$\frac{11 π}{6}$	$2 π$
$r$	4	2,5	1,4	1	1,4	2,5	4	5,5	6,6	7	6,6	5,5	4

Tabla 5

El gráfico se muestra en la Figura 10.

Gráfico del caracol de Pascal r = 4 – 3 sen(theta). Extendiéndose hacia abajo. Se muestran los puntos de la arista: (1,pi/2), (4,0), (4,pi) y (7, 3pi/2).

Figura 10 Caracol de Pascal de un lazo

Análisis

Este es un ejemplo de una curva para la que la elaboración de una tabla de valores es fundamental para producir un gráfico preciso. Las pruebas de simetría fallan; el cero es indefinido. Aunque puede ser evidente que una ecuación que incluya $sen θ$ es probablemente simétrica con respecto a la línea $θ = \frac{π}{2},$ evaluar más puntos ayuda a verificar que el gráfico es correcto.

Inténtelo #3

Dibuje el gráfico de $r = 3 - 2 \cos θ .$

Otro tipo de caracol, el caracol de Pascal de lazo interno, recibe su nombre por el lazo que se forma dentro de la forma general del caracol. Lo descubrió el artista alemán Albrecht Dürer(1471 a 1528), quien reveló un método para dibujar el caracol de Pascal de lazo interno en su libro de 1525 Underweysung der Messing. Un siglo más tarde, el padre del matemático Blaise Pascal, Étienne Pascal (1588 a 1651), lo redescubrió.

Fórmulas para caracoles de Pascal de lazo interno

Las fórmulas que generan los caracoles de Pascal de lazo interno están dadas por $r = a \pm b \cos θ$ y $r = a \pm b sen θ$ donde $a > 0,$ $b > 0,$ y $a < b .$ El gráfico del caracol de Pascal de lazo interno pasa por el polo dos veces: una para el lazo externo y otra para el lazo interno. Vea los gráficos en la Figura 11.

Gráfico de cuatro caracoles de Pascal de lazo interno, uno al lado del otro. (A) es r = a + bcos(theta), a < b. Se extiende hacia la derecha. (B) es a – bcos(theta), a < b. Se extiende hacia la izquierda. (C) es r = a + bsen(theta), a < b. Se extiende hacia arriba. (D) es r = a – bsen(theta), a < b. Se extiende hacia abajo.

Figura 11

Ejemplo 6

Dibujar el gráfico de un caracol de Pascal de lazo interno

Dibuje el gráfico de $r = 2 + 5 cos θ .$

Solución

Al probar la simetría, hallamos que el gráfico de la ecuación es simétrico alrededor del eje polar. Luego, hallar los ceros revela que cuando $r = 0,$ $θ = 1,98.$ El máximo $| r |$ se halla cuando $\cos θ = 1$ o cuando $θ = 0 .$ Por lo tanto, el máximo se encuentra en el punto (7, 0).

Aunque hayamos calculado la simetría, el cero y el máximo, el trazado de más puntos ayudará a definir la forma, y entonces surgirá un patrón.

Vea la Tabla 6.

$θ$

0

\frac{π}{6}

\frac{π}{3}

\frac{π}{2}

\frac{2 π}{3}

\frac{5 π}{6}

π

\frac{7 π}{6}

\frac{4 π}{3}

\frac{3 π}{2}

\frac{5 π}{3}

\frac{11 π}{6}

2 π

$r$

7

6,3

4,5

2

-0,5

−2,3

−3

−2,3

-0,5

2

4,5

6,3

7

Tabla 6

Como era de esperar, los valores comienzan a repetirse después de $θ = π .$ El gráfico se muestra en la Figura 12.

Gráfico del caracol de Pascal de lazo interno r = 2 + 5 cos(theta). Se extiende hacia la derecha. Los puntos de la arista trazados son (7,0), (4,5, pi/3), (2, pi/2) y (–3, pi).

Figura 12 Caracol de Pascal de lazo interno

Investigar las lemniscatas

La lemniscata es una curva polar que se asemeja al símbolo del infinito $\infty$ o un número 8. Centrada en el polo, una lemniscata es simétrica por definición.

Fórmulas para lemniscata

Las fórmulas que generan el gráfico de una lemniscata están dadas por $r^{2} = a^{2} \cos 2 θ$ y $r^{2} = a^{2} sen 2 θ$ donde $a \neq 0 .$ La fórmula $r^{2} = a^{2} sen 2 θ$ es simétrica con respecto al polo. La fórmula $r^{2} = a^{2} \cos 2 θ$ es simétrica con respecto al polo, la línea $θ = \frac{π}{2}$ y el eje polar. Vea los gráficos en la Figura 13.

Cuatro gráficos de lemniscatas uno al lado del otro. (A) es r^2 = a^2 * cos(2theta). Número ocho horizontal, en el eje x. (B) es r^2 = – a^2 * cos(2theta). Número ocho vertical, en el eje y. (C) es r^2 = a^2 * sen(2theta). Número ocho diagonal en la línea y = x. (D) es r^2 = –a^2 *sen(2theta). Número ocho diagonal en la línea y = –x.

Figura 13

Ejemplo 7

Dibujar el gráfico de una lemniscata

Dibuje el gráfico de $r^{2} = 4 \cos 2 θ .$

Solución

La ecuación presenta simetría respecto a la línea $θ = \frac{π}{2},$ el eje polar y el polo.

Hallemos los ceros. Ya debería ser rutinario, pero abordaremos esta ecuación de forma un poco diferente haciendo la sustitución $u = 2 θ .$

\begin{array}{l} 0 = 4 \cos 2 θ \\ 0 = 4 \cos u \\ 0 = \cos u \\ \cos^{- 1} 0 = \frac{π}{2} \\ u = \frac{π}{2} & Sustituya 2 θ de nuevo para u . \\ 2 θ = \frac{π}{2} \\ θ = \frac{π}{4} \end{array}

Por lo tanto, el punto $(0, \frac{π}{4})$ es un cero de la ecuación.

Ahora vamos a hallar el valor máximo. Dado que el máximo de $\cos u = 1$ cuando $u = 0,$ el máximo de $\cos 2 θ = 1$ cuando $2 θ = 0 .$ Por lo tanto,

\begin{matrix} r^{2} = 4 \cos (0) \\ r^{2} = 4 (1) = 4 \\ r = \pm \sqrt{4} \pm 2 \end{matrix}

Tenemos un máximo en (2, 0). Dado que este gráfico es simétrico con respecto al polo, la línea $θ = \frac{π}{2},$ y el eje polar, solo necesitamos trazar puntos en el primer cuadrante.

Haga una tabla similar a la Tabla 7.

$θ$	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$
$r$	$\pm 2$	$\pm \sqrt{2}$	0

Tabla 7

Trace los puntos en el gráfico, como el que se muestra en la Figura 14.

Gráfico de r^2 = 4 cos(2theta). Lemniscata horizontal, a lo largo del eje x. Los puntos de la arista trazados son (2,0), (rad2, pi/6), (rad2 7pi/6).

Figura 14 Lemniscata

Análisis

Al hacer una sustitución como $u = 2 θ$ es una práctica habitual en matemáticas porque puede simplificar los cálculos. Sin embargo, no debemos olvidar sustituir el término de sustitución por el término original al final y, luego, resolver la incógnita.

Es posible que algunos de los puntos de este gráfico no aparezcan utilizando la función Trace de la calculadora gráfica TI-84, y que la tabla de la calculadora muestre un error para estos mismos puntos de $r .$ Esto se debe a que no hay raíces cuadradas reales para estos valores de $θ .$ En otras palabras, los correspondientes valores r de $\sqrt{4 \cos (2 θ)}$ son números complejos porque hay un número negativo bajo el radical.

Investigar sobre curvas rosa polar (rhodonea)

El siguiente tipo de ecuación polar produce una forma parecida a un pétalo llamada curva rosa polar. Aunque los gráficos parecen complejos, una simple ecuación polar genera el patrón.

Curva rosa polar

Las fórmulas que generan el gráfico de una curva rosa polar están dadas por $r = a \cos n θ$ y $r = a sen n θ$ donde $a \neq 0 .$ Si $n$ es par, la curva tiene $2 n$ pétalos. Si los valores de $n$ es impar, la curva tiene $n$ pétalos. Vea la Figura 15.

Gráfico de dos curvas rosa polar, una al lado de la otra. (A) es r = acos(ntheta), donde n es par. Ocho pétalos que se extienden desde el origen, igualmente espaciados. (B) es r = asen(ntheta) donde n es impar. Tres pétalos que se extienden desde el origen, igualmente espaciados.

Figura 15

Ejemplo 8

Dibujar el gráfico de una curva rosa polar (n par)

Dibuje el gráfico de $r = 2 \cos 4 θ .$

Solución

Al comprobar la simetría, hallamos de nuevo que las pruebas de simetría no cuentan toda la historia. El gráfico no solo es simétrico con respecto al eje polar, sino también con respecto a la línea $θ = \frac{π}{2}$ y al polo.

Ahora, hallaremos los ceros. Primero, haga la sustitución de $u = 4 θ .$

\begin{matrix} 0 = 2 \cos 4 θ \\ 0 = \cos 4 θ \\ 0 = \cos u \\ \cos^{- 1} 0 = u \\ u = \frac{π}{2} \\ 4 θ = \frac{π}{2} \\ θ = \frac{π}{8} \end{matrix}

El cero es $θ = \frac{π}{8} .$ El punto $(0, \frac{π}{8})$ está en la curva.

Luego, hallamos el máximo $| r | .$ Sabemos que el valor máximo de $\cos u = 1$ cuando $θ = 0 .$ Por lo tanto,

\begin{array}{l} r = 2 \cos (4 \cdot 0) \\ r = 2 \cos (0) \\ r = 2 (1) = 2 \end{array}

El punto $(2, 0)$ está en la curva.

El gráfico de la curva rosa polar tiene propiedades únicas, que se revelan en la Tabla 8.

$θ$	0	$\frac{π}{8}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{3 π}{8}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{5 π}{8}$	$\frac{3 π}{4}$
$r$	2	0	−2	0	2	0	−2

Tabla 8

A medida que $r = 0$ cuando $θ = \frac{π}{8},$ tiene sentido dividir los valores de la tabla entre $\frac{π}{8}$ unidades. Surge un patrón definido. Mire el rango de valores r: 2, 0, –2, 0, 2, 0, –2 y así sucesivamente. Esto representa el desarrollo de la curva un pétalo a la vez. A partir de $r = 0,$ cada pétalo se extiende una distancia de $r = 2,$ y luego vuelve a cero $2 n$ veces para un total de ocho pétalos. Vea el gráfico en la Figura 16.

Dibujo de la curva rosa polar r = 2 * cos(4 theta). Sale a la distancia de 2 por cada pétalo 2n veces (aquí 2 * 4 = 8 veces).

Figura 16 Curva rosa polar,

n

par

Análisis

Cuando se dibujan estas curvas, lo mejor es trazar los puntos en orden, como en la Tabla 8. Esto nos permite ver cómo el gráfico alcanza un máximo (la punta de un pétalo), hace una vuelta cruzando el polo, alcanza el máximo opuesto y vuelve a hacer una vuelta hacia el polo. La acción es continua hasta que se dibujan todos los pétalos.

Inténtelo #4

Dibuje el gráfico de $r = 4 sen (2 θ) .$

Ejemplo 9

Dibujar el gráfico de una curva rosa polar (n impar)

Dibuje el gráfico de $r = 2 sen (5 θ) .$

Solución

El gráfico de la ecuación muestra simetría con respecto a la línea $θ = \frac{π}{2} .$ A continuación, halle los ceros y el máximo. Queremos hacer la sustitución de $u = 5 θ .$

\begin{matrix} 0 = 2 sen (5 θ) \\ 0 = sen u \\ {sen}^{- 1} 0 = 0 \\ u = 0 \\ 5 θ = 0 \\ θ = 0 \end{matrix}

El valor máximo se calcula en el ángulo donde $sen θ$ es un máximo. Por lo tanto,

\begin{array}{l} \begin{array}{l} r = 2 sen (5 \cdot \frac{π}{2}) \end{array} \\ r = 2 (1) = 2 \end{array}

Por lo tanto, el valor máximo de la ecuación polar es 2. Esta es la longitud de cada pétalo. Como la curva de $n$ impar produce el mismo número de pétalos que $n,$ habrá cinco pétalos en el gráfico. Vea la Figura 17.

Gráfico de la curva rosa polar r = 2 sen(5 theta). Cinco pétalos igualmente espaciados alrededor del origen. Se marca el punto (2, pi/2) de la arista.

Figura 17 Curva rosa polar,

n

impar

Cree una tabla de valores similar a la Tabla 9.

$θ$	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{5 π}{6}$	$π$
$r$	0	1	-1,73	2	-1,73	1	0

Tabla 9

Inténtelo #5

Dibuje el gráfico de $r = 3 \cos (3 θ).$

Investigar sobre la espiral de Arquímedes

La última ecuación polar que analizaremos es la espiral de Arquímedes, llamada así por su descubridor, el matemático griego Arquímedes (c. 287 a.C. a c. 212 a.C.), a quien se le atribuyen numerosos descubrimientos en los campos de la geometría y la mecánica.

Espiral de Arquímedes

La fórmula que genera el gráfico de la espiral de Arquímedes está dada por $r = θ$ por $θ \geq 0 .$ A medida que $θ$ aumenta, $r$ aumenta a una tasa constante en una trayectoria en espiral cada vez más amplia e interminable. Vea la Figura 18.

Figura 18

Cómo

Dada una espiral de Arquímedes sobre $[0, 2 π],$ dibuje el gráfico.

Haga una tabla de valores para $r$ y $θ$ sobre el dominio dado.
Trace los puntos y dibuje el gráfico.

Ejemplo 10

Dibujar el gráfico de una espiral de Arquímedes

Dibuje el gráfico de $r = θ$ en $[0, 2 π] .$

Solución

Dado que $r$ es igual a $θ,$ el gráfico de la espiral de Arquímedes comienza en el polo en el punto (0, 0). Aunque el gráfico insinúa una simetría, no existe una simetría formal con respecto a la superación de las pruebas de simetría. Además, no hay un valor máximo, a menos que el dominio esté restringido.

Cree una tabla como la Tabla 10.

$θ$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$\frac{7 π}{4}$	$2 π$
$r$	0,785	1,57	3,14	4,71	5,50	6,28

Tabla 10

Observe que los valores r son solo la forma decimal del ángulo medido en radianes. Podemos verlos en un gráfico en la Figura 19.

Gráfico de la espiral de Arquímedes r = theta sobre [0,2pi]. Comienza en el origen y hace una espiral en sentido contrario a las agujas del reloj. Se marcan los puntos (pi/4, pi/4), (pi/2,pi/2), (pi,pi), (5pi/4, 5pi/4), (7pi/4, pi/4) y (2pi, 2pi).

Figura 19 espiral de Arquímedes

Análisis

El dominio de esta curva polar es $[0, 2 π] .$ Sin embargo, en general, el dominio de esta función es $(- \infty, \infty) .$ Graficar la ecuación de la espiral de Arquímedes es bastante sencillo, aunque la imagen hace pensar que sería complejo.

Inténtelo #6

Dibuje el gráfico de $r = - θ$ en el intervalo $[0, 4 π] .$

Resumen de curvas

En esta sección hemos explorado una serie de curvas polares aparentemente complejas. La Figura 20 y la Figura 21 resumen los gráficos y ecuaciones de cada una de estas curvas.

Cuatro gráficos uno al lado del otro: un resumen. (A) es un círculo: r = asen(theta) o r = acos(theta). (B) es una cardioide: r = a + o – bcos(theta), o r = a + o – b sen(theta). a > 0, b > 0, a/b = 1. (C) es un caracol de Pascal de un lazo. r = a + o – bcos(theta), o r = a + o – bsen(theta). a > 0, b > 0, 1 < a/b < 2. (D) es un caracol de Pascal de lazo interno. R = a + o – bcos(theta), o r = a + o – bsen(theta). A > 0, b > 0, a < b.

Figura 20

Cuatro gráficos uno al lado del otro: un resumen. (A) es una lemniscata. R^2 = a^2 cos(2theta), o r^2 = a^2 sen(2theta). a no es igual a 0. (B) es una curva rosa polar (n par). R = acos(ntheta), o r = asen(ntheta). N es par, y tiene 2n pétalos. (C) es una curva rosa polar (n impar). R = acos(ntheta), o r = asen(theta). N es impar y tiene n pétalos. (D) es una espiral de Arquímedes. R = theta y theta > = 0.

Figura 21

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con los gráficos de coordenadas polares.

8.4 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Describa los tres tipos de simetría en los gráficos polares y compárelos con la simetría del plano cartesiano.

2.

¿Cuál de los tres tipos de simetrías de los gráficos polares corresponde a las simetrías con respecto al eje x, al eje y y al origen?

3.

¿Cuáles son los pasos que se deben seguir para hacer gráficos de ecuaciones polares?

4.

Describa las formas de los gráficos de cardioides, caracol de Pascal y lemniscatas.

5.

¿Qué parte de la ecuación determina la forma del gráfico de una ecuación polar?

Gráficos

En los siguientes ejercicios, compruebe la simetría de la ecuación.

6.

$r = 5 \cos 3 θ$

7.

$r = 3 - 3 \cos θ$

8.

$r = 3 + 2 sen θ$

9.

$r = 3 sen 2 θ$

10.

$r = 4$

11.

$r = 2 θ$

12.

$r = 4 \cos \frac{θ}{2}$

13.

$r = \frac{2}{θ}$

14.

$r = 3 \sqrt{1 - \cos^{2} θ}$

15.

$r = \sqrt{5 sen 2 θ}$

En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación polar. Identifique el nombre de la forma.

16.

$r = 3 \cos θ$

17.

$r = 4 sen θ$

18.

$r = 2 + 2 \cos θ$

19.

$r = 2 - 2 \cos θ$

20.

$r = 5 - 5 sen θ$

21.

$r = 3 + 3 sen θ$

22.

$r = 3 + 2 sen θ$

23.

$r = 7 + 4 sen θ$

24.

$r = 4 + 3 \cos θ$

25.

$r = 5 + 4 \cos θ$

26.

$r = 10 + 9 \cos θ$

27.

$r = 1 + 3 sen θ$

28.

$r = 2 + 5 sen θ$

29.

$r = 5 + 7 sen θ$

30.

$r = 2 + 4 \cos θ$

31.

$r = 5 + 6 \cos θ$

32.

$r^{2} = 36 \cos (2 θ)$

33.

$r^{2} = 10 \cos (2 θ)$

34.

$r^{2} = 4 sen (2 θ)$

35.

$r^{2} = 10 sen (2 θ)$

36.

$r = 3 sen (2 θ)$

37.

$r = 3 cos (2 θ)$

38.

$r = 5 sen (3 θ)$

39.

$r = 4 sen (4 θ)$

40.

$r = 4 sen (5 θ)$

41.

$r = - θ$

42.

$r = 2 θ$

43.

$r = - 3 θ$

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para dibujar el gráfico de la ecuación polar.

44.

$r = \frac{1}{θ}$

45.

$r = \frac{1}{\sqrt{θ}}$

46.

$r = 2 sen θ \tan θ,$ una cisoide

47.

$r = 2 \sqrt{1 - {sen}^{2} θ}$ , una hipopoda

48.

$r = 5 + \cos (4 θ)$

49.

$r = 2 - sen (2 θ)$

50.

$r = θ^{2}$

51.

$r = θ + 1$

52.

$r = θ sen θ$

53.

$r = θ \cos θ$

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar cada par de ecuaciones polares sobre un dominio de $[0, 4 π]$ y, luego, explique las diferencias que aparecen en los gráficos.

54.

$r = θ, r = - θ$

55.

$r = θ, r = θ + sen θ$

56.

$r = sen θ + θ, r = sen θ - θ$

57.

$r = 2 sen (\frac{θ}{2}), r = θ sen (\frac{θ}{2})$

58.

$r = sen (\cos (3 θ)) r = sen (3 θ)$

59.

En una herramienta gráfica, grafique $r = sen (\frac{16}{5} θ)$ en $[0$ , $4 π]$ , $[0$ , $8 π]$ , $[0$ , $12 π]$ y $[0$ , $16 π] .$ Describa el efecto de aumentar la anchura del dominio.

60.

En una herramienta gráfica, grafique y dibuje $r = sen θ + {(sen (\frac{5}{2} θ))}^{3}$ en $[0, 4 π] .$

61.

En una herramienta gráfica, grafique cada ecuación polar. Explique las similitudes y diferencias que observa en los gráficos.

\begin{array}{l} r_{1} = 3 sen (3 θ) \\ r_{2} = 2 sen (3 θ) \\ r_{3} = sen (3 θ) \end{array}

62.

En una herramienta gráfica, grafique cada ecuación polar. Explique las similitudes y diferencias que observa en los gráficos.

\begin{array}{l} r_{1} = 3 + 3 \cos θ \\ r_{2} = 2 + 2 \cos θ \\ r_{3} = 1 + \cos θ \end{array}

63.

En una herramienta gráfica, grafique cada ecuación polar. Explique las similitudes y diferencias que observa en los gráficos.

\begin{array}{l} r_{1} = 3 θ \\ r_{2} = 2 θ \\ r_{3} = θ \end{array}

Extensiones

En los siguientes ejercicios, dibuje cada ecuación polar sobre el mismo conjunto de ejes polares y halle los puntos de intersección.

64.

$r_{1} = 3 + 2 sen θ, r_{2} = 2$

65.

$r_{1} = 6 - 4 \cos θ, r_{2} = 4$

66.

$r_{1} = 1 + sen θ, r_{2} = 3 sen θ$

67.

$r_{1} = 1 + \cos θ, r_{2} = 3 \cos θ$

68.

$r_{1} = \cos (2 θ), r_{2} = sen (2 θ)$

69.

$r_{1} = {sen}^{2} (2 θ)$ , $r_{2} = 1 - \cos (4 θ)$

70.

$r_{1} = \sqrt{3}, r_{2} = 2 sen (θ)$

71.

$r_{1}^{2} = sen θ, r_{2}^{2} = \cos θ$

72.

$r_{1} = 1 + \cos θ$ , $r_{2} = 1 - sen θ$

8.4 Coordenadas polares: gráficos

Probar la simetría de las ecuaciones polares

Probar la simetría de una ecuación polar

Solución

Análisis

Representar gráficamente ecuaciones polares mediante trazado de puntos

Hallar ceros y máximos

Hallar los ceros y los valores máximos de una ecuación polar

Solución

Análisis

Investigar sobre círculos

Dibujar el gráfico de una ecuación polar para un círculo

Solución

Investigar las cardioides

Dibujar el gráfico de una cardioide

Solución

Investigar sobre caracoles de Pascal

Dibujar el gráfico de un caracol de Pascal de un lazo

Solución

Análisis

Dibujar el gráfico de un caracol de Pascal de lazo interno

Solución

Investigar las lemniscatas

Dibujar el gráfico de una lemniscata

Solución

Análisis

Investigar sobre curvas rosa polar (rhodonea)

Dibujar el gráfico de una curva rosa polar (n par)

Solución

Análisis

Dibujar el gráfico de una curva rosa polar (n impar)

Solución

Investigar sobre la espiral de Arquímedes

Dibujar el gráfico de una espiral de Arquímedes

Solución

Análisis

Resumen de curvas

8.4 Ejercicios de sección

Verbales

Gráficos

En tecnología

Extensiones