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Precálculo 2ed

8.4 Coordenadas polares: gráficos

Precálculo 2ed8.4 Coordenadas polares: gráficos

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección podrá:

  • Comprobar la simetría de las ecuaciones polares.
  • Representar gráficamente ecuaciones polares mediante trazado de puntos.

Los planetas se mueven por el espacio en órbitas elípticas y periódicas alrededor del sol, como se muestra en la Figura 1. Están en constante movimiento, por lo que fijar una posición exacta de cualquier planeta solo es válido durante un momento. En otras palabras, solo podemos fijar la posición instantánea de un planeta. Esta es una aplicación de las coordenadas polares, representadas como (r,θ). (r,θ). Interpretamos r r como la distancia al Sol y θ θ como el rumbo angular del planeta, o su dirección desde un punto fijo del Sol. En esta sección nos centraremos en el sistema polar y en los gráficos que se generan directamente a partir de coordenadas polares.

Ilustración del sistema solar con el Sol en el centro y las órbitas de los planetas Mercurio, Venus, Tierra y Marte.
Figura 1 Los planetas siguen trayectorias elípticas mientras orbitan alrededor del Sol (créditos: modificación del trabajo de la NASA/Laboratorio de Propulsión a Chorro [Jet Propulsion Laboratory, JPL]-Instituto de Tecnología de California [California Institute of Technology, Caltech]).

Probar la simetría de las ecuaciones polares

Al igual que una ecuación rectangular como y= x 2 y= x 2 describe la relación entre x x y y y en una cuadrícula cartesiana, una ecuación polar describe una relación entre r r y θ θ en una cuadrícula polar. Recordemos que el par de coordenadas (r,θ) (r,θ) indica que nos movemos en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje polar (eje x positivo) en un ángulo de θ, θ, y extiende un rayo desde el polo (origen) de r r unidades en la dirección de θ. θ. Todos los puntos que satisfacen la ecuación polar están en el gráfico.

La simetría es una propiedad que nos ayuda a reconocer y trazar el gráfico de cualquier ecuación. Si una ecuación tiene un gráfico que es simétrico respecto a un eje, significa que si doblamos el gráfico por la mitad sobre ese eje, la parte del gráfico de un lado coincidiría con la parte del otro lado. Realizando tres pruebas, veremos cómo aplicar las propiedades de la simetría a las ecuaciones polares. Además, utilizaremos la simetría (además de trazar puntos clave, ceros y máximos de r) r) para determinar el gráfico de una ecuación polar.

En la primera prueba, consideramos la simetría con respecto a la línea θ= π 2 θ= π 2 (eje y). Reemplazamos (r,θ) (r,θ) con la (-r,-θ) (-r,-θ) para determinar si la nueva ecuación es equivalente a la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación r=2senθ; r=2senθ;

r=2senθ r=2sen(-θ) Sustituya(r,θ)con (-r,-θ). r=–2senθ La identidad: sen(-θ)=-senθ. r=2senθ Multiplique ambos lados por−1. r=2senθ r=2sen(-θ) Sustituya(r,θ)con (-r,-θ). r=–2senθ La identidad: sen(-θ)=-senθ. r=2senθ Multiplique ambos lados por−1.

Esta ecuación presenta simetría con respecto a la línea θ= π 2 . θ= π 2 .

En la segunda prueba, consideramos la simetría con respecto al eje polar (eje x x ). Reemplazamos (r,θ) (r,θ) con la ( r,-θ ) ( r,-θ ) o ( -r,π-θ ) ( -r,π-θ ) para determinar la equivalencia entre la ecuación probada y la original. Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación r=1-2cosθ. r=1-2cosθ.

r=1-2cosθ r=1-2cos(-θ) Sustituya (r,θ)con(r,-θ). r=1-2cosθ Identidad par/impar r=1-2cosθ r=1-2cos(-θ) Sustituya (r,θ)con(r,-θ). r=1-2cosθ Identidad par/impar

El gráfico de esta ecuación presenta simetría con respecto al eje polar.

En la tercera prueba, consideramos la simetría con respecto al polo (origen). Reemplazamos (r,θ) (r,θ) con la ( -r,θ ) ( -r,θ ) para determinar si la ecuación probada es equivalente a la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación r=2sen(3θ). r=2sen(3θ).

r=2sen(3θ) -r=2sen(3θ) r=2sen(3θ) -r=2sen(3θ)

La ecuación no ha superado la prueba de simetría, pero eso no significa que no sea simétrica con respecto al polo. La superación de una o más pruebas de simetría verifica que la simetría se mostrará en un gráfico. Sin embargo, el hecho de no superar las pruebas de simetría no indica necesariamente que un gráfico no sea simétrico con respecto a la línea θ= π 2 , θ= π 2 , el eje polar, o el polo. En estos casos, podemos confirmar que la simetría existe trazando puntos de reflexión a través del eje de simetría aparente o del polo. La prueba de simetría es una técnica que simplifica hacer gráficos de las ecuaciones polares, pero su aplicación no es perfecta.

Pruebas de simetría

Una ecuación polar describe una curva en la cuadrícula polar. El gráfico de la ecuación polar se evalúa para tres tipos de simetría, como se indica la Figura 2.

3 gráficos uno al lado del otro. (A) muestra un rayo que se extiende en Q 1 y su versión simétrica en Q 2. (B) muestra un rayo que se extiende en Q 1 y su versión simétrica en Q 4. (C) muestra un rayo que se extiende en Q 1 y su versión simétrica en Q 3. Para obtener más información, consulte el pie de foto.
Figura 2 (a) Un gráfico es simétrico respecto a la línea θ= π 2 θ= π 2 (eje y) si la sustitución de (r,θ) (r,θ) con la (-r,-θ) (-r,-θ) produce una ecuación equivalente. (b) Un gráfico es simétrico con respecto al eje polar (eje x) si la sustitución de ( r,θ ) ( r,θ ) con la ( r,-θ ) ( r,-θ ) o ( -r,π–θ ) ( -r,π–θ ) produce una ecuación equivalente. (c) Un gráfico es simétrico con respecto al polo (origen) si la sustitución de (r,θ) (r,θ) con la (-r,θ) (-r,θ) produce una ecuación equivalente.

Cómo

Dada una ecuación polar, pruebe la simetría.

  1. Sustituya la combinación adecuada de componentes para ( r,θ ): ( r,θ ): ( -r,-θ ) ( -r,-θ ) para la simetría θ= π 2 θ= π 2 ; ( r,-θ ) ( r,-θ ) para la simetría del eje polar y ( -r,θ ) ( -r,θ ) para la simetría con respecto al polo.
  2. Si las ecuaciones resultantes son equivalentes en una o más de las pruebas, el gráfico produce la simetría esperada.

Ejemplo 1

Probar la simetría de una ecuación polar

Pruebe la ecuación r=2senθ r=2senθ para la simetría.

Análisis

Utilizando una calculadora gráfica podemos ver que la ecuación r=2senθ r=2senθ es un círculo centrado en (0,1) (0,1) con radio r=1 r=1 y es efectivamente simétrica a la línea θ= π 2 . θ= π 2 . También podemos ver que el gráfico no es simétrico con el eje polar ni el polo. Vea la Figura 3.

Gráfico del círculo dado en la cuadrícula de coordenadas polares. El centro está en (0,1), y tiene radio 1.
Figura 3

Inténtelo #1

Pruebe la simetría de la ecuación: r=-2cosθ. r=-2cosθ.

Representar gráficamente ecuaciones polares mediante trazado de puntos

Para hacer un gráfico en el sistema de coordenadas rectangulares construimos una tabla de valores de x x y y y . Para hacer un gráfico en el sistema de coordenadas polares construimos una tabla de valores θ θ y r r . Introducimos valores de θ θ en una ecuación polar y calculamos r. r. Sin embargo, al usar las propiedades de simetría y calcular los valores clave de θ θ y r r significa que se necesitarán menos cálculos.

Hallar ceros y máximos

Para hallar los ceros de una ecuación polar, resolvemos los valores de θ θ que resultan en r=0. r=0. Recordemos que, para hallar los ceros de las funciones polinómicas, fijamos la ecuación igual a cero y luego resolvemos para x. x. Utilizamos el mismo proceso para las ecuaciones polares. Establezca r=0, r=0, y resuelva para θ. θ.

Para muchas de las formas que encontraremos, el valor máximo de una ecuación polar se calcula sustituyendo aquellos valores de θ θ en la ecuación que da como resultado el valor máximo de las funciones trigonométricas. Considere que r=5cosθ; r=5cosθ; la distancia máxima entre la curva y el poste es de 5 unidades. El valor máximo de la función coseno es 1 cuando θ=0, θ=0, por lo que nuestra ecuación polar es 5cosθ, 5cosθ, y el valor θ=0 θ=0 producirá el máximo | r |. | r |.

Del mismo modo, el valor máximo de la función de seno es 1 cuando θ= π 2 , θ= π 2 , y si nuestra ecuación polar es r=5senθ, r=5senθ, el valor θ= π 2 θ= π 2 producirá el máximo | r |. | r |. Podemos hallar información adicional calculando los valores de r r cuando θ=0. θ=0. Estos puntos serían las intersecciones de los ejes polares, que pueden ser útiles para dibujar el gráfico e identificar la curva de una ecuación polar.

Ejemplo 2

Hallar los ceros y los valores máximos de una ecuación polar

Utilizando la ecuación del Ejemplo 1, halle los ceros y el máximo | r | | r | y, si es necesario, las intersecciones del eje polar de r=2senθ. r=2senθ.

Análisis

El punto ( 2 , π 2 ) ( 2 , π 2 ) será el valor máximo del gráfico. Vamos a trazar algunos puntos más para verificar el gráfico de un círculo. Vea la Tabla 2 y la Figura 4.

θ θ r=2senθ r=2senθ r r
0 r=2sen(0)=0 r=2sen(0)=0 0 0
π 6 π 6 r=2sen( π 6 )=1 r=2sen( π 6 )=1 1 1
π 3 π 3 r=2sen( π 3 )1,73 r=2sen( π 3 )1,73 1,73 1,73
π 2 π 2 r=2sen( π 2 )=2 r=2sen( π 2 )=2 2 2
2π 3 2π 3 r=2sen( 2π 3 )1,73 r=2sen( 2π 3 )1,73 1,73 1,73
5π 6 5π 6 r=2sen( 5π 6 )=1 r=2sen( 5π 6 )=1 1 1
π π r=2sen( π )=0 r=2sen( π )=0 0 0
Tabla 2
Gráfico del círculo en la cuadrícula de coordenadas polares. El centro está en (0,1), y tiene radio 1. Se marcan seis puntos a lo largo de la circunferencia: (0,0), (1, pi/6), (1,3, pi/3), (2, pi/2), (1,73, 2pi/3) y (1, 5pi/6).
Figura 4

Inténtelo #2

Sin convertir a coordenadas cartesianas, pruebe la simetría de la ecuación dada y halle los ceros y valores máximos de | r |: | r |: r=3cosθ. r=3cosθ.

Investigar sobre círculos

Ahora hemos visto la ecuación de un círculo en el sistema de coordenadas polares. En los dos ejemplos anteriores se utilizó la misma ecuación para ilustrar las propiedades de la simetría y demostrar cómo hallar los ceros, los valores máximos y los puntos trazados que produjeron los gráficos. Sin embargo, el círculo es solo una de las muchas formas del conjunto de curvas polares.

Existen cinco curvas polares clásicas: cardioides, caracoles de Pascal, lemniscatas, curvas de rosa polar (rhodonea) y espirales de Arquímedes. Trataremos brevemente las fórmulas polares del círculo antes de pasar a las curvas clásicas y sus variaciones.

Fórmulas para la ecuación de un círculo

Algunas de las fórmulas que producen el gráfico de un círculo en coordenadas polares están dadas por r=acosθ r=acosθ y r=asenθ, r=asenθ, donde a a es el diámetro de la circunferencia o la distancia desde el polo hasta el punto más alejado del círculo. El radio es | a | 2 , | a | 2 , o la mitad del diámetro. Para r=acosθ,  r=acosθ,  el centro es ( a 2 ,0 ). ( a 2 ,0 ). Para r=asenθ, r=asenθ, el centro es ( a 2 ,π2 ). ( a 2 ,π2 ). La Figura 5 muestra los gráficos de estos cuatro círculos.

Cuatro gráficos uno al lado del otro. Todos tienen valor absoluto de radio de a / 2. El primero es r = acos(theta), a>0. El centro está en (a/2,0). El segundo es r = acos(theta), a<0. El centro está en (a/2,0). El tercero es r = asen(theta), a>0. El centro está en (a/2, pi). El cuarto es r = asen(theta), a<0. El centro está en (a/2, pi).
Figura 5

Ejemplo 3

Dibujar el gráfico de una ecuación polar para un círculo

Dibuje el gráfico de r=4cosθ. r=4cosθ.

Investigar las cardioides

Aunque la traslación de coordenadas polares a coordenadas cartesianas puede parecer más sencilla en algunos casos, la representación gráfica de las curvas clásicas es en realidad menos complicada en el sistema polar. La siguiente curva se llama cardioide, ya que se parece a un corazón. Esta forma se incluye, a menudo, con la familia de curvas llamada caracoles de Pascal, pero aquí hablaremos de la cardioide por sí sola.

Fórmulas para una cardioide

Las fórmulas que producen los gráficos de una cardioide están dadas por r=a±bcosθ r=a±bcosθ y r=a±bsenθ r=a±bsenθ donde a>0, a>0, b>0, b>0, y a b =1. a b =1. El gráfico de la cardioide pasa por el polo, como podemos ver en la Figura 7.

Gráfico de cuatro cardioides. (A) es r = a + bcos(theta). Cardioide que se extiende hacia la derecha. (B) es r=a-bcos(theta). Cardioide que se extiende hacia la izquierda. (C) es r=a+bsen(theta). Cardioide que se extiende hacia arriba. (D) es r=a-bsen(theta). Cardioide que se extiende hacia abajo.
Figura 7

Cómo

Dada la ecuación polar de una cardioide, dibuje su gráfico.

  1. Compruebe la ecuación de los tres tipos de simetría.
  2. Halle los ceros. Establezca r=0. r=0.
  3. Halle el valor máximo de la ecuación según el valor máximo de la expresión trigonométrica.
  4. Haga una tabla de valores para r r y θ. θ.
  5. Trace los puntos y dibuje el gráfico.

Ejemplo 4

Dibujar el gráfico de una cardioide

Dibuje el gráfico de r=2 +2cosθ. r=2 +2cosθ.

Investigar sobre caracoles de Pascal

La palabra limaçon significa "caracol" en francés antiguo, nombre que describe la forma del gráfico. Como se ha mencionado anteriormente, el cardioide es un miembro de la familia de los caracoles de Pascal, y podemos ver las similitudes en los gráficos. Las demás imágenes de esta categoría consisten en un caracol de Pascal de un lazo y un caracol de Pascal de dos lazos (o de lazo interno). Los caracoles de Pascal de un lazo, a veces, se denominan caracoles de Pascal con hoyuelos cuando 1< a b <2 1< a b <2 y caracoles de Pascal convexos cuando a b 2. a b 2.

Fórmulas para los caracoles de Pascal de un lazo

Las fórmulas que producen el gráfico de un caracol de Pascal de un lazo con hoyuelos están dadas por r=a±bcosθ r=a±bcosθ y r=a±bsenθ r=a±bsenθ donde a>0,b>0, a>0,b>0, y 1< a b <2. y 1< a b <2. Los cuatro gráficos se muestran en la Figura 9.

Cuatro caracoles de Pascal con hoyuelos uno al lado del otro. (A) es r = a + bcos(theta). Extendiéndose hacia la derecha. (B) es r=a-bcos(theta). Extendiéndose hacia la izquierda. (C) es r=a+bsen(theta). Extendiéndose hacia arriba. (D) es r=a-bsen(theta). Extendiéndose hacia abajo.
Figura 9 Caracoles de Pascal con hoyuelos

Cómo

Dada una ecuación polar para un caracol de Pascal de un lazo, dibuje el gráfico.

  1. Pruebe la simetría de la ecuación. Recuerde que el hecho de no superar la prueba de simetría no significa que la forma no presente simetría. A menudo, la simetría puede revelarse al trazar los puntos.
  2. Halle los ceros.
  3. Halle los valores máximos según la expresión trigonométrica.
  4. Haga una tabla.
  5. Trace los puntos y dibuje el gráfico.

Ejemplo 5

Dibujar el gráfico de un caracol de Pascal de un lazo

Represente gráficamente la ecuación r=4-3senθ. r=4-3senθ.

Análisis

Este es un ejemplo de una curva para la que la elaboración de una tabla de valores es fundamental para producir un gráfico preciso. Las pruebas de simetría fallan; el cero es indefinido. Aunque puede ser evidente que una ecuación que incluya senθ senθ es probablemente simétrica con respecto a la línea θ= π 2 , θ= π 2 , evaluar más puntos ayuda a verificar que el gráfico es correcto.

Inténtelo #3

Dibuje el gráfico de r=3-2cosθ. r=3-2cosθ.

Otro tipo de caracol, el caracol de Pascal de lazo interno, recibe su nombre por el lazo que se forma dentro de la forma general del caracol. Lo descubrió el artista alemán Albrecht Dürer(1471 a 1528), quien reveló un método para dibujar el caracol de Pascal de lazo interno en su libro de 1525 Underweysung der Messing. Un siglo más tarde, el padre del matemático Blaise Pascal, Étienne Pascal (1588 a 1651), lo redescubrió.

Fórmulas para caracoles de Pascal de lazo interno

Las fórmulas que generan los caracoles de Pascal de lazo interno están dadas por r=a±bcosθ r=a±bcosθ y r=a±bsenθ r=a±bsenθ donde a>0, a>0, b>0, b>0, y a<b. a<b. El gráfico del caracol de Pascal de lazo interno pasa por el polo dos veces: una para el lazo externo y otra para el lazo interno. Vea los gráficos en la Figura 11.

Gráfico de cuatro caracoles de Pascal de lazo interno, uno al lado del otro. (A) es r = a + bcos(theta), a < b. Se extiende hacia la derecha. (B) es a – bcos(theta), a < b. Se extiende hacia la izquierda. (C) es r = a + bsen(theta), a < b. Se extiende hacia arriba. (D) es r = a – bsen(theta), a < b. Se extiende hacia abajo.
Figura 11

Ejemplo 6

Dibujar el gráfico de un caracol de Pascal de lazo interno

Dibuje el gráfico de r=2 +5cosθ. r=2 +5cosθ.

Investigar las lemniscatas

La lemniscata es una curva polar que se asemeja al símbolo del infinito o un número 8. Centrada en el polo, una lemniscata es simétrica por definición.

Fórmulas para lemniscata

Las fórmulas que generan el gráfico de una lemniscata están dadas por r 2 = a 2 cos2θ r 2 = a 2 cos2θ y r 2 = a 2 sen2θ r 2 = a 2 sen2θ donde a0. a0. La fórmula r 2 = a 2 sen2θ r 2 = a 2 sen2θ es simétrica con respecto al polo. La fórmula r 2 = a 2 cos2θ r 2 = a 2 cos2θ es simétrica con respecto al polo, la línea θ= π 2 θ= π 2 y el eje polar. Vea los gráficos en la Figura 13.

Cuatro gráficos de lemniscatas uno al lado del otro. (A) es r^2 = a^2 * cos(2theta). Número ocho horizontal, en el eje x. (B) es r^2 = – a^2 * cos(2theta). Número ocho vertical, en el eje y. (C) es r^2 = a^2 * sen(2theta). Número ocho diagonal en la línea y = x. (D) es r^2 = –a^2 *sen(2theta). Número ocho diagonal en la línea y = –x.
Figura 13

Ejemplo 7

Dibujar el gráfico de una lemniscata

Dibuje el gráfico de r 2 =4cos2θ. r 2 =4cos2θ.

Análisis

Al hacer una sustitución como u=2θ u=2θ es una práctica habitual en matemáticas porque puede simplificar los cálculos. Sin embargo, no debemos olvidar sustituir el término de sustitución por el término original al final y, luego, resolver la incógnita.

Es posible que algunos de los puntos de este gráfico no aparezcan utilizando la función Trace de la calculadora gráfica TI-84, y que la tabla de la calculadora muestre un error para estos mismos puntos de r. r. Esto se debe a que no hay raíces cuadradas reales para estos valores de θ. θ. En otras palabras, los correspondientes valores r de 4cos(2θ) 4cos(2θ) son números complejos porque hay un número negativo bajo el radical.

Investigar sobre curvas rosa polar (rhodonea)

El siguiente tipo de ecuación polar produce una forma parecida a un pétalo llamada curva rosa polar. Aunque los gráficos parecen complejos, una simple ecuación polar genera el patrón.

Curva rosa polar

Las fórmulas que generan el gráfico de una curva rosa polar están dadas por r=acosnθ r=acosnθ y r=asennθ r=asennθ donde a0. a0. Si n n es par, la curva tiene 2n 2n pétalos. Si los valores de n n es impar, la curva tiene n n pétalos. Vea la Figura 15.

Gráfico de dos curvas rosa polar, una al lado de la otra. (A) es r = acos(ntheta), donde n es par. Ocho pétalos que se extienden desde el origen, igualmente espaciados. (B) es r = asen(ntheta) donde n es impar. Tres pétalos que se extienden desde el origen, igualmente espaciados.
Figura 15

Ejemplo 8

Dibujar el gráfico de una curva rosa polar (n par)

Dibuje el gráfico de r=2cos4θ. r=2cos4θ.

Análisis

Cuando se dibujan estas curvas, lo mejor es trazar los puntos en orden, como en la Tabla 8. Esto nos permite ver cómo el gráfico alcanza un máximo (la punta de un pétalo), hace una vuelta cruzando el polo, alcanza el máximo opuesto y vuelve a hacer una vuelta hacia el polo. La acción es continua hasta que se dibujan todos los pétalos.

Inténtelo #4

Dibuje el gráfico de r=4sen( 2θ ). r=4sen( 2θ ).

Ejemplo 9

Dibujar el gráfico de una curva rosa polar (n impar)

Dibuje el gráfico de r=2sen( 5θ ). r=2sen( 5θ ).

Inténtelo #5

Dibuje el gráfico de r=3cos(3θ). r=3cos(3θ).

Investigar sobre la espiral de Arquímedes

La última ecuación polar que analizaremos es la espiral de Arquímedes, llamada así por su descubridor, el matemático griego Arquímedes (c. 287 a.C. a c. 212 a.C.), a quien se le atribuyen numerosos descubrimientos en los campos de la geometría y la mecánica.

Espiral de Arquímedes

La fórmula que genera el gráfico de la espiral de Arquímedes está dada por r=θ r=θ por θ0. θ0. A medida que θ θ aumenta, r r aumenta a una tasa constante en una trayectoria en espiral cada vez más amplia e interminable. Vea la Figura 18.

Dos gráficos de la espiral de Arquímedes, uno al lado del otro. (A) es r = theta, [0, 2pi]. (B) es r = theta, [0, 4pi]. Ambos comienzan en el origen y salen en espiral en sentido contrario a agujas del reloj. El segundo tiene dos espirales hacia fuera mientras que el primero tiene una.
Figura 18

Cómo

Dada una espiral de Arquímedes sobre [ 0,2π ], [ 0,2π ], dibuje el gráfico.

  1. Haga una tabla de valores para r r y θ θ sobre el dominio dado.
  2. Trace los puntos y dibuje el gráfico.

Ejemplo 10

Dibujar el gráfico de una espiral de Arquímedes

Dibuje el gráfico de r=θ r=θ en [0,2π]. [0,2π].

Análisis

El dominio de esta curva polar es [ 0,2π ]. [ 0,2π ]. Sin embargo, en general, el dominio de esta función es ( -, ). ( -, ). Graficar la ecuación de la espiral de Arquímedes es bastante sencillo, aunque la imagen hace pensar que sería complejo.

Inténtelo #6

Dibuje el gráfico de r=θ r=θ en el intervalo [ 0,4π ]. [ 0,4π ].

Resumen de curvas

En esta sección hemos explorado una serie de curvas polares aparentemente complejas. La Figura 20 y la Figura 21 resumen los gráficos y ecuaciones de cada una de estas curvas.

Cuatro gráficos uno al lado del otro: un resumen. (A) es un círculo: r = asen(theta) o r = acos(theta). (B) es una cardioide: r = a + o – bcos(theta), o r = a + o – b sen(theta). a > 0, b > 0, a/b = 1. (C) es un caracol de Pascal de un lazo. r = a + o – bcos(theta), o r = a + o – bsen(theta). a > 0, b > 0, 1 < a/b < 2. (D) es un caracol de Pascal de lazo interno. R = a + o – bcos(theta), o r = a + o – bsen(theta). A > 0, b > 0, a < b.
Figura 20
Cuatro gráficos uno al lado del otro: un resumen. (A) es una lemniscata. R^2 = a^2 cos(2theta), o r^2 = a^2 sen(2theta). a no es igual a 0. (B) es una curva rosa polar (n par). R = acos(ntheta), o r = asen(ntheta). N es par, y tiene 2n pétalos. (C) es una curva rosa polar (n impar). R = acos(ntheta), o r = asen(theta). N es impar y tiene n pétalos. (D) es una espiral de Arquímedes. R = theta y theta > = 0.
Figura 21

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con los gráficos de coordenadas polares.

8.4 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Describa los tres tipos de simetría en los gráficos polares y compárelos con la simetría del plano cartesiano.

2.

¿Cuál de los tres tipos de simetrías de los gráficos polares corresponde a las simetrías con respecto al eje x, al eje y y al origen?

3.

¿Cuáles son los pasos que se deben seguir para hacer gráficos de ecuaciones polares?

4.

Describa las formas de los gráficos de cardioides, caracol de Pascal y lemniscatas.

5.

¿Qué parte de la ecuación determina la forma del gráfico de una ecuación polar?

Gráficos

En los siguientes ejercicios, compruebe la simetría de la ecuación.

6.

r=5cos3θ r=5cos3θ

7.

r=3-3cosθ r=3-3cosθ

8.

r=3+2senθ r=3+2senθ

9.

r=3sen2θ r=3sen2θ

10.

r=4 r=4

11.

r=2θ r=2θ

12.

r=4cos θ 2 r=4cos θ 2

13.

r= 2 θ r= 2 θ

14.

r=3 1- cos 2 θ r=3 1- cos 2 θ

15.

r= 5sen2θ r= 5sen2θ

En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación polar. Identifique el nombre de la forma.

16.

r=3cosθ r=3cosθ

17.

r=4senθ r=4senθ

18.

r=2 +2cosθ r=2 +2cosθ

19.

r=2 -2cosθ r=2 -2cosθ

20.

r=5-5senθ r=5-5senθ

21.

r=3+3senθ r=3+3senθ

22.

r=3+2senθ r=3+2senθ

23.

r=7+4senθ r=7+4senθ

24.

r=4+3cosθ r=4+3cosθ

25.

r=5+4cosθ r=5+4cosθ

26.

r=10+9cosθ r=10+9cosθ

27.

r=1+3senθ r=1+3senθ

28.

r=2 +5senθ r=2 +5senθ

29.

r=5+7senθ r=5+7senθ

30.

r=2 +4cosθ r=2 +4cosθ

31.

r=5+6cosθ r=5+6cosθ

32.

r 2 =36cos( 2θ ) r 2 =36cos( 2θ )

33.

r 2 =10cos( 2θ ) r 2 =10cos( 2θ )

34.

r 2 =4sen( 2θ ) r 2 =4sen( 2θ )

35.

r 2 =10sen( 2θ ) r 2 =10sen( 2θ )

36.

r=3sen(2θ) r=3sen(2θ)

37.

r=3cos(2θ) r=3cos(2θ)

38.

r=5sen(3θ) r=5sen(3θ)

39.

r=4sen(4θ) r=4sen(4θ)

40.

r=4sen(5θ) r=4sen(5θ)

41.

r=θ r=θ

42.

r=2θ r=2θ

43.

r=-3θ r=-3θ

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para dibujar el gráfico de la ecuación polar.

44.

r= 1 θ r= 1 θ

45.

r= 1 θ r= 1 θ

46.

r=2senθtanθ, r=2senθtanθ, una cisoide

47.

r=2 1- sen 2 θ r=2 1- sen 2 θ , una hipopoda

48.

r=5+cos( 4θ ) r=5+cos( 4θ )

49.

r=2 -sen( 2θ ) r=2 -sen( 2θ )

50.

r= θ 2 r= θ 2

51.

r=θ+1 r=θ+1

52.

r=θsenθ r=θsenθ

53.

r=θcosθ r=θcosθ

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar cada par de ecuaciones polares sobre un dominio de [ 0,4π ] [ 0,4π ] y, luego, explique las diferencias que aparecen en los gráficos.

54.

r=θ,r=θ r=θ,r=θ

55.

r=θ,r=θ+senθ r=θ,r=θ+senθ

56.

r=senθ+θ,r=senθ-θ r=senθ+θ,r=senθ-θ

57.

r=2sen( θ 2 ),r=θsen( θ 2 ) r=2sen( θ 2 ),r=θsen( θ 2 )

58.

r=sen( cos(3θ) )r=sen(3θ) r=sen( cos(3θ) )r=sen(3θ)

59.

En una herramienta gráfica, grafique r=sen( 16 5 θ ) r=sen( 16 5 θ ) en [ 0[ 0, 4π ]4π], [ 0[0, 8π ]8π], [ 0[0, 12π ] 12π] y [ 0[0, 16π ]. 16π]. Describa el efecto de aumentar la anchura del dominio.

60.

En una herramienta gráfica, grafique y dibuje r=senθ+ ( sen( 5 2 θ ) ) 3 r=senθ+ ( sen( 5 2 θ ) ) 3 en [ 0,4π ]. [ 0,4π ].

61.

En una herramienta gráfica, grafique cada ecuación polar. Explique las similitudes y diferencias que observa en los gráficos.

r 1 =3sen(3θ) r 2 =2sen(3θ) r 3 =sen(3θ) r 1 =3sen(3θ) r 2 =2sen(3θ) r 3 =sen(3θ)
62.

En una herramienta gráfica, grafique cada ecuación polar. Explique las similitudes y diferencias que observa en los gráficos.

r 1 =3+3cosθ r 2 =2 +2cosθ r 3 =1+cosθ r 1 =3+3cosθ r 2 =2 +2cosθ r 3 =1+cosθ
63.

En una herramienta gráfica, grafique cada ecuación polar. Explique las similitudes y diferencias que observa en los gráficos.

r 1 =3θ r 2 =2θ r 3 =θ r 1 =3θ r 2 =2θ r 3 =θ

Extensiones

En los siguientes ejercicios, dibuje cada ecuación polar sobre el mismo conjunto de ejes polares y halle los puntos de intersección.

64.

r 1 =3+2senθ, r 2 =2 r 1 =3+2senθ, r 2 =2

65.

r 1 =6-4cosθ, r 2 =4 r 1 =6-4cosθ, r 2 =4

66.

r 1 =1+senθ, r 2 =3senθ r 1 =1+senθ, r 2 =3senθ

67.

r 1 =1+cosθ, r 2 =3cosθ r 1 =1+cosθ, r 2 =3cosθ

68.

r 1 =cos( 2θ ), r 2 =sen( 2θ ) r 1 =cos( 2θ ), r 2 =sen( 2θ )

69.

r 1 = sen 2 ( 2θ ) r 1 = sen 2 ( 2θ ), r 2 =1-cos( 4θ ) r 2 =1-cos( 4θ )

70.

r 1 = 3 , r 2 =2sen( θ ) r 1 = 3 , r 2 =2sen( θ )

71.

r 1 2 =senθ, r 2 2 =cosθ r 1 2 =senθ, r 2 2 =cosθ

72.

r 1 =1+cosθ r 1 =1+cosθ, r 2 =1-senθ r 2 =1-senθ

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