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Precálculo 2ed

8.5 Forma polar de los números complejos

Precálculo 2ed8.5 Forma polar de los números complejos

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Graficar números complejos en el plano complejo.
  • Hallar el valor absoluto de un número complejo.
  • Escribir números complejos en forma polar.
  • Convertir un número complejo de forma polar a rectangular.
  • Hallar productos de números complejos en forma polar.
  • Hallar cocientes de números complejos en forma polar.
  • Hallar potencias de números complejos en forma polar.
  • Hallar raíces de números complejos en forma polar.

"Dios hizo los números enteros; todo lo demás es obra del hombre”. Esta célebre cita del matemático alemán del siglo XIX Leopold Kronecker sienta las bases de esta sección sobre la forma polar de un número complejo. Los números complejos fueron inventados por personas y representan más de mil años de investigación y lucha continúa por parte de matemáticos como Pitágoras, Descartes, De Moivre, Euler, Gauss y otros. Los números complejos respondieron a preguntas que durante siglos habían desconcertado a las mentes más brillantes de la ciencia.

La primera vez que vimos los números complejos fue en la sección Números complejos. En esta sección, nos centraremos en la mecánica de trabajo con los números complejos: conversión de números complejos de la forma polar a la forma rectangular y viceversa, interpretación de números complejos en el esquema de aplicaciones y aplicación del teorema de Moivre.

Graficar números complejos en el plano complejo.

Trazar un número complejo a+bi a+bi es similar a trazar un número real, excepto que el eje horizontal representa la parte real del número, a, a, y el eje vertical representa la parte imaginaria del número, bi. bi.

Cómo

Dado un número complejo a+bi, a+bi, trácelo en el plano complejo.

  1. Marque el eje horizontal como eje real y el eje vertical como eje imaginario.
  2. Trace el punto en el plano complejo moviendo las unidades de las unidades las unidades en la dirección horizontal y las unidades de las unidades b las unidades b en la dirección vertical.

Ejemplo 1

Trazar un número complejo en el plano complejo

Trace el número complejo 2-3i 2-3i en el plano complejo.

Inténtelo #1

Trace el punto 1+5i 1+5i en el plano complejo.

Hallar el valor absoluto de un número complejo

El primer paso para trabajar con un número complejo en forma polar es calcular el valor absoluto. El valor absoluto de un número complejo es igual a su magnitud, o | z |. | z |. Mide la distancia del origen a un punto en el plano. Por ejemplo, el gráfico de c=2 +4i, c=2 +4i, en la Figura 2, muestra | z |. | z |.

El trazado de 2 + 4i en el plano complejo y su magnitud, |z| = rad 20.
Figura 2

Valor absoluto de un número complejo

Dado z=x+yi, z=x+yi, un número complejo, el valor absoluto de c c se define como

| z |= x 2 + y 2 | z |= x 2 + y 2

Es la distancia del origen al punto ( x,y ). ( x,y ).

Observe que el valor absoluto de un número real da la distancia del número desde 0, mientras que el valor absoluto de un número complejo da la distancia del número desde el origen, ( 0,0 ). ( 0,0 ).

Ejemplo 2

Hallar el valor absoluto de un número complejo con un radical

Halle el valor absoluto de c= 5 i. c= 5 i.

Inténtelo #2

Halle el valor absoluto del número complejo c=125i. c=125i.

Ejemplo 3

Hallar el valor absoluto de un número complejo

Dados z=3-4i, z=3-4i, halle | z |. | z |.

Inténtelo #3

Dados z=1-7i, z=1-7i, halle | z |. | z |.

Escribir números complejos en forma polar

La forma polar de un número complejo expresa un número en términos de un ángulo θ θ y su distancia desde el origen r. r. Dado un número complejo en forma rectangular expresado como c=x+yi, c=x+yi, utilizamos las mismas fórmulas de conversión que para escribir el número en forma trigonométrica:

x=rcosθ y=rsenθ r= x 2 + y 2 x=rcosθ y=rsenθ r= x 2 + y 2

Revisamos estas relaciones en la Figura 5.

El triángulo representado en el plano complejo (el eje x es real, el eje y es imaginario). La base está a lo largo del eje x/real, la altura es algún valor y/imaginario en Q 1 y la hipotenusa r se extiende desde el origen hasta ese punto (x + yi) en Q 1. El ángulo en el origen es theta. Hay un arco que pasa por (x + yi).
Figura 5

Usamos el término módulo para representar el valor absoluto de un número complejo o la distancia desde el origen al punto ( x,y ). ( x,y ). El módulo, entonces, es el mismo que r, r, el radio en forma polar. Usamos θ θ para indicar el ángulo de dirección (igual que con las coordenadas polares). Al sustituir, tenemos

c=x+yi c=rcosθ+( rsenθ )i c=r( cosθ+isenθ ) c=x+yi c=rcosθ+( rsenθ )i c=r( cosθ+isenθ )

Forma polar de un número complejo

Escribir un número complejo en forma polar implica las siguientes fórmulas de conversión:

x=rcosθ y=rsenθ r= x 2 + y 2 x=rcosθ y=rsenθ r= x 2 + y 2

Al hacer una sustitución directa, tenemos

c=x+yi c=( rcosθ )+i( rsenθ ) z=r( cosθ+isenθ ) c=x+yi c=( rcosθ )+i( rsenθ ) z=r( cosθ+isenθ )

donde r r es el módulo y θ θ es el argumento. A menudo utilizamos la abreviatura rcisθ rcisθ para representar r( cosθ+isenθ ). r( cosθ+isenθ ).

Ejemplo 4

Expresión de un número complejo mediante coordenadas polares

Exprese el número complejo 4i 4i mediante coordenadas polares.

Inténtelo #4

Exprese c=3i c=3i como rcisθ rcisθ en forma polar.

Ejemplo 5

Hallar la forma polar de un número complejo

Halle la forma polar de 4+4i. 4+4i.

Inténtelo #5

Escriba c= 3 +i c= 3 +i en forma polar.

Conversión de un número complejo de la forma polar a la rectangular

Convertir un número complejo de la forma polar a la rectangular es cuestión de evaluar lo que se da y utilizar la propiedad distributiva. En otras palabras, dado que c=r( cosθ+isenθ ), c=r( cosθ+isenθ ), primero evalúe las funciones trigonométricas cosθ cosθ y senθ. senθ. Entonces, multiplique por r. r.

Ejemplo 6

Conversión de la forma polar a la rectangular

Convierta el número complejo dado de la forma polar a la rectangular:

z=12( cos( π 6 )+isen( π 6 ) ) z=12( cos( π 6 )+isen( π 6 ) )

Ejemplo 7

Hallar la forma rectangular de un número complejo

Halle la forma rectangular del número complejo dado r=13 r=13 y tanθ= 5 12 . tanθ= 5 12 .

Inténtelo #6

Convierta el número complejo en forma rectangular:

c=4( cos 11π 6 +isen 11π 6 ) c=4( cos 11π 6 +isen 11π 6 )

Hallar productos de números complejos en forma polar

Ahora, que podemos convertir los números complejos a la forma polar, aprenderemos a realizar operaciones con los números complejos en forma polar. En el resto de esta sección trabajaremos con fórmulas desarrolladas por el matemático francés Abraham De Moivre (1667-1754). Estas fórmulas han hecho que trabajar con productos, cocientes, potencias y raíces de números complejos sea mucho más sencillo de lo que parece. Las reglas se basan en la multiplicación de los módulos y la suma de los argumentos.

Productos de números complejos en forma polar

Si los valores de c 1 = r 1 (cos θ 1 +isen θ 1 ) c 1 = r 1 (cos θ 1 +isen θ 1 ) y z 2 = r 2 (cos θ 2 +isen θ 2 ), z 2 = r 2 (cos θ 2 +isen θ 2 ), entonces el producto de estos números se da como:

c 1 z 2 = r 1 r 2 [ cos( θ 1 + θ 2 )+isen( θ 1 + θ 2 ) ] c 1 z 2 = r 1 r 2 cis( θ 1 + θ 2 ) c 1 z 2 = r 1 r 2 [ cos( θ 1 + θ 2 )+isen( θ 1 + θ 2 ) ] c 1 z 2 = r 1 r 2 cis( θ 1 + θ 2 )

Observe que el producto exige multiplicar los módulos y sumar los ángulos.

Ejemplo 8

Hallar el producto de dos números complejos en forma polar

Halle el producto de c 1 z 2 , c 1 z 2 , dado que c 1 =4(cos(80°)+isen(80°)) c 1 =4(cos(80°)+isen(80°)) y z 2 =2 (cos(145°)+isen(145°)). z 2 =2 (cos(145°)+isen(145°)).

Hallar cocientes de números complejos en forma polar

El cociente de dos números complejos en forma polar es el cociente de los dos módulos y la diferencia de los dos argumentos.

Cocientes de números complejos en forma polar

Si los valores de c 1 = r 1 (cos θ 1 +isen θ 1 ) c 1 = r 1 (cos θ 1 +isen θ 1 ) y z 2 = r 2 (cos θ 2 +isen θ 2 ), z 2 = r 2 (cos θ 2 +isen θ 2 ), entonces el cociente de estos números es

c 1 z 2 = r 1 r 2 [ cos( θ 1 - θ 2 )+isen( θ 1 - θ 2 ) ], z 2 0 z 1 z 2 = r 1 r 2 cis( θ 1 - θ 2 ), z 2 0 c 1 z 2 = r 1 r 2 [ cos( θ 1 - θ 2 )+isen( θ 1 - θ 2 ) ], z 2 0 z 1 z 2 = r 1 r 2 cis( θ 1 - θ 2 ), z 2 0

Observe que los módulos se dividen y los ángulos se restan.

Cómo

Dados dos números complejos en forma polar, calcule el cociente.

  1. Divida r 1 r 2 . r 1 r 2 .
  2. Halle θ 1 - θ 2 . θ 1 - θ 2 .
  3. Sustituya los resultados en la fórmula: c=r( cosθ+isenθ ). c=r( cosθ+isenθ ). Sustituya r r con r 1 r 2 , r 1 r 2 , y sustituya θ θ con θ 1 - θ 2 . θ 1 - θ 2 .
  4. Calcule las nuevas expresiones trigonométricas y multiplique por r. r.

Ejemplo 9

Hallar el cociente de dos números complejos

Halle el cociente de c 1 =2 (cos(213°)+isen(213°)) c 1 =2 (cos(213°)+isen(213°)) y z 2 =4(cos(33°)+isen(33°)). z 2 =4(cos(33°)+isen(33°)).

Inténtelo #7

Halle el producto y el cociente de c 1 =2 3 (cos(150°)+isen(150°)) c 1 =2 3 (cos(150°)+isen(150°)) y z 2 =2 (cos(30°)+isen(30°)). z 2 =2 (cos(30°)+isen(30°)).

Hallar potencias de números complejos en forma polar

El cálculo de potencias de números complejos se simplifica enormemente con el teorema de Moivre. Establece que, para un número entero positivo n, c n n, c n se calcula elevando el módulo a enésimo enésimo potencia y multiplicando el argumento por n. n. Es el método estándar utilizado en las matemáticas modernas.

Teorema de Moivre

Si los valores de z=r( cosθ+isenθ ) z=r( cosθ+isenθ ) es un número complejo, entonces

c n = r n [ cos( nθ )+isen( nθ ) ] c n = r n cis( nθ ) c n = r n [ cos( nθ )+isen( nθ ) ] c n = r n cis( nθ )

donde n n es un número entero positivo.

Ejemplo 10

Evaluación de una expresión mediante el teorema de Moivre

Evalúe la expresión ( 1+i ) 5 ( 1+i ) 5 mediante el teorema de Moivre.

Hallar raíces de números complejos en forma polar

Para hallar la raíz enésima de un número complejo en forma polar, usamos el nenésimo nenésimo o teorema de Moivre y se eleva el número complejo a una potencia con exponente racional. Hay varias maneras de representar una fórmula para hallar raícesenésimas raícesenésimas de números complejos en forma polar.

El teorema de raíz a la n

Para calcular la raízenésima raízenésima de un número complejo en forma polar, use la fórmula dada

c 1 n = r 1 n [ cos( θ n + 2kπ n )+isen( θ n + 2kπ n ) ] c 1 n = r 1 n [ cos( θ n + 2kπ n )+isen( θ n + 2kπ n ) ]

donde k=0,1,2 ,3,...,n1. k=0,1,2 ,3,...,n1. Añadimos 2kπ n 2kπ n con θ n θ n para obtener las raíces periódicas.

Ejemplo 11

Hallar la raíz enésima de un número complejo

Evaluar las raíces cúbicas de c=8( cos( 2π 3 )+isen( 2π 3 ) ). c=8( cos( 2π 3 )+isen( 2π 3 ) ).

Inténtelo #8

Halle las cuatro raíces cuartas de 16(cos(120°)+isen(120°)). 16(cos(120°)+isen(120°)).

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar formas polares de números complejos.

8.5 Ejercicios de sección

Verbal

1.

Un número complejo es a+bi. a+bi. Explique cada parte.

2.

¿Qué representa el valor absoluto de un número complejo?

3.

¿Cómo se convierte un número complejo en forma polar?

4.

¿Cómo se calcula el producto de dos números complejos?

5.

¿Qué es el teorema de Moivre y para qué sirve?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle el valor absoluto del número complejo dado.

6.

5+3i 5+3i

7.

7+i 7+i

8.

-3-3i -3-3i

9.

2 -6i 2 -6i

10.

2i 2i

11.

2,23,1i 2,23,1i

En los siguientes ejercicios, escriba el número complejo en forma polar.

12.

2 +2 i 2 +2 i

13.

84i 84i

14.

- 1 2 1 2 i - 1 2 1 2 i

15.

3 +i 3 +i

16.

3i 3i

En los siguientes ejercicios, convierta el número complejo de forma polar a rectangular.

17.

z=7cis( π 6 ) z=7cis( π 6 )

18.

z=2cis( π 3 ) z=2cis( π 3 )

19.

z=4cis( 7π 6 ) z=4cis( 7π 6 )

20.

z=7cis( 25° ) z=7cis( 25° )

21.

z=3cis( 240° ) z=3cis( 240° )

22.

z= 2 cis( 100° ) z= 2 cis( 100° )

En los siguientes ejercicios, calcule c 1 z 2 c 1 z 2 en forma polar.

23.

z 1 =2 3 cis( 116° ); c 2 =2cis( 82° ) z 1 =2 3 cis( 116° ); c 2 =2cis( 82° )

24.

z 1 = 2 cis( 205° ); c 2 =2 2 cis( 118° ) z 1 = 2 cis( 205° ); c 2 =2 2 cis( 118° )

25.

z 1 =3cis( 120° ); c 2 = 1 4 cis( 60° ) z 1 =3cis( 120° ); c 2 = 1 4 cis( 60° )

26.

z 1 =3cis( π 4 ); c 2 =5cis( π 6 ) z 1 =3cis( π 4 ); c 2 =5cis( π 6 )

27.

z 1 = 5 cis( 5π 8 ); c 2 = 15 cis( π 12 ) z 1 = 5 cis( 5π 8 ); c 2 = 15 cis( π 12 )

28.

z 1 =4cis( π 2 ); c 2 =2cis( π 4 ) z 1 =4cis( π 2 ); c 2 =2cis( π 4 )

En los siguientes ejercicios, calcule c 1 z 2 c 1 z 2 en forma polar.

29.

z 1 =21cis( 135° ); c 2 =3cis( 65° ) z 1 =21cis( 135° ); c 2 =3cis( 65° )

30.

z 1 = 2 cis( 90° ); c 2 =2cis( 60° ) z 1 = 2 cis( 90° ); c 2 =2cis( 60° )

31.

z 1 =15cis( 120° ); c 2 =3cis( 40° ) z 1 =15cis( 120° ); c 2 =3cis( 40° )

32.

z 1 =6cis( π 3 ); c 2 =2cis( π 4 ) z 1 =6cis( π 3 ); c 2 =2cis( π 4 )

33.

z 1 =5 2 cis( π ); c 2 = 2 cis( 2π 3 ) z 1 =5 2 cis( π ); c 2 = 2 cis( 2π 3 )

34.

z 1 =2cis( 3π 5 ); c 2 =3cis( π 4 ) z 1 =2cis( 3π 5 ); c 2 =3cis( π 4 )

En los siguientes ejercicios, calcule las potencias de cada número complejo en forma polar.

35.

Calcule c 3 c 3 cuando z=5cis( 45° ). z=5cis( 45° ).

36.

Calcule z 4 z 4 cuando z=2cis( 70° ). z=2cis( 70° ).

37.

Calcule z 2 z 2 cuando z=3cis( 120° ). z=3cis( 120° ).

38.

Calcule z 2 z 2 cuando z=4cis( π 4 ). z=4cis( π 4 ).

39.

Calcule z 4 z 4 cuando z=cis( 3π 16 ). z=cis( 3π 16 ).

40.

Calcule c 3 c 3 cuando z=3cis( 5π 3 ). z=3cis( 5π 3 ).

En los siguientes ejercicios, evalúe cada raíz.

41.

Evalúe la raíz cúbica de z z cuando z=27cis( 240° ). z=27cis( 240° ).

42.

Evalúe la raíz cuadrada de z z cuando z=16cis( 100° ). z=16cis( 100° ).

43.

Evalúe la raíz cúbica de z z cuando z=32cis( 2π 3 ). z=32cis( 2π 3 ).

44.

Evalúe la raíz cuadrada de z z cuando z=32cis( π ). z=32cis( π ).

45.

Evalúe la raíz cuadrada de z z cuando z=8cis( 7π 4 ). z=8cis( 7π 4 ).

Gráficos

En los siguientes ejercicios, trace el número complejo en el plano complejo.

46.

2 +4i 2 +4i

47.

-3-3i -3-3i

48.

5-4i 5-4i

49.

-1-5i -1-5i

50.

3+2 i 3+2 i

51.

2i 2i

52.

-4 -4

53.

6-2 i 6-2 i

54.

-2 +i -2 +i

55.

1-4i 1-4i

En tecnología

En los siguientes ejercicios, calcule todas las respuestas redondeadas a la centésima más cercana.

56.

Utilice la función de rectangular a polar de la calculadora gráfica para cambiar 5+5i 5+5i a la forma polar.

57.

Utilice la función de rectangular a polar de la calculadora gráfica para cambiar 3-2 i 3-2 i a la forma polar.

58.

Utilice la función de rectangular a polar de la calculadora gráfica para cambiar 3-8i 3-8i a la forma polar.

59.

Utilice la función de polar a rectangular de la calculadora gráfica para cambiar 4cis( 120° ) 4cis( 120° ) a la forma rectangular.

60.

Utilice la función de polar a rectangular de la calculadora gráfica para cambiar 2cis( 45° ) 2cis( 45° ) a la forma rectangular.

61.

Utilice la función de polar a rectangular de la calculadora gráfica para cambiar 5cis( 210° ) 5cis( 210° ) a la forma rectangular.

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