Capítulo 9

No, puede tener cero, uno o infinitos. Examine los gráficos.

Esto significa que no hay un punto de equilibrio realista. En el momento en que la compañía produce una unidad ya está obteniendo ganancias.

Se puede resolver por sustitución (aísle $x$ o $y$ ), gráficamente o por adición.

Sí

Sí

$(\mathrm{–1},2)$

$(\mathrm{-3},1)$

$\left(-\frac{3}{5},0\right)$

No existe una solución.

$\left(\frac{72}{5},\frac{132}{5}\right)$

$\left(6,\mathrm{–6}\right)$

$\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{10}\right)$

No existe una solución.

$\left(-\frac{1}{5},\frac{2}{3}\right)$

$\left(x,\frac{x+3}{2}\right)$

$(-4,4)$

$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{8}\right)$

$\left(\frac{1}{6},0\right)$

$\left(x,2(7x\mathrm{-6})\right)$

$\left(-\frac{5}{6},\frac{4}{3}\right)$

Consistente con una solución

Consistente con una solución

Dependiente con infinitas soluciones

$\left(\mathrm{-3,08},\mathrm{4,91}\right)$

$\left(\mathrm{-1,52},\mathrm{2,29}\right)$

$\left(\frac{A+B}{2},\frac{A-B}{2}\right)$

$\left(\frac{\mathrm{-1}}{A-B},\frac{A}{A-B}\right)$

$\left(\frac{CE-BF}{BD-AE},\frac{AF-CD}{BD-AE}\right)$

Nunca obtienen ganancias.

$(1,250,100,000)$

Los números son 7,5 y 20,5.

24.000

790 estudiantes de segundo año, 805 estudiantes de primer año

56 hombres, 74 mujeres

10 galones de solución al 10 %, 15 galones de solución al 60 %

Swan Peak: 750.000 dólares, Riverside: 350.000 dólares.

12.500 dólares en la primera cuenta, 10.500 dólares en la segunda.

Los zapatos de caña alta: 45, los de corte bajo: 15

Infinitas soluciones. Necesitamos más información.

No, solo puede haber una, cero o infinitas soluciones.

No necesariamente. Puede haber cero, una o infinitas soluciones. Por ejemplo, $\left(0,0,0\right)$ no es una solución al sistema que está a continuación, pero eso no significa que no tenga solución.

$\begin{array}{l}2x+3y\mathrm{-6}c=1\hfill \\ -4x\mathrm{-6}y+12c=\mathrm{–2}\hfill \\ x+2y+5z=10\hfill \end{array}$

Todo sistema de ecuaciones se puede resolver gráficamente, por sustitución y por adición. Sin embargo, los sistemas de tres ecuaciones se vuelven muy complejos de resolver gráficamente, por lo que se suelen preferir otros métodos.

No

Sí

$\left(\mathrm{–1},4,2\right)$

$\left(-\frac{85}{107},\frac{312}{107},\frac{191}{107}\right)$

$\left(1,\frac{1}{2},0\right)$

$\left(4,\mathrm{–6},1\right)$

$\left(x,\frac{1}{27}(65\mathrm{-16}x),\frac{x+28}{27}\right)$

$\left(-\frac{45}{13},\frac{17}{13},\mathrm{–2}\right)$

No existen soluciones

$\left(0,0,0\right)$

$\left(\frac{4}{7},-\frac{1}{7},-\frac{3}{7}\right)$

$\left(7,20,16\right)$

$\left(\mathrm{–6},2,1\right)$

$\left(5,12,15\right)$

$\left(\mathrm{-5},\mathrm{-5},\mathrm{-5}\right)$

$\left(10,10,10\right)$

$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{5},\frac{4}{5}\right)$

$\left(\frac{1}{2},\frac{2}{5},\frac{4}{5}\right)$

$\left(2,0,0\right)$

$\left(1,1,1\right)$

$\left(\frac{128}{557},\frac{23}{557},\frac{28}{557}\right)$

$\left(6,\mathrm{–1},0\right)$

24, 36, 48

70 abuelos, 140 padres, 190 niños

Su parte era de 19,95 dólares, la de Shani de 40 dólares y la de su otro compañero de piso de 22,05 dólares.

Hay infinitas soluciones; necesitamos más información

500 de estudiantes, 225 de niños y 450 de adultos

El BMW costaba 49.636 dólares, el jeep 42.636 dólares y el Toyota 47.727 dólares.

400.000 dólares en la cuenta que paga el $3\text{ \%}$ de interés, 500.000 dólares en la cuenta que paga el $3\text{ \%}$ de interés y 100.000 dólares en la cuenta que paga el $3\text{ \%}$ de interés.

Estados Unidos consumió el $\mathrm{26,3}\text{ \%}$, Japón el $\mathrm{7,1}\text{ \%}$ y China el $\mathrm{6,4}\text{ \%}$ del petróleo mundial.

Arabia Saudita importó el $\mathrm{16,8}\text{ \%}$, Canadá el $\mathrm{15,1}\text{ \%}$ y México el $\mathrm{15,0}\text{ \%}$.

Las aves representan el $\mathrm{19,3}\text{ \%}$, los peces el $\mathrm{18,6}\text{ \%}$ y los mamíferos el $\mathrm{17,1}\text{ \%}$ de las especies en peligro.

Un sistema no lineal podría ser representativo de dos círculos que se superponen y se intersecan en dos lugares, por lo tanto, dos soluciones. Un sistema no lineal podría ser representativo de una parábola y un círculo, donde el vértice de la parábola se encuentra con el círculo y las ramas también se intersecan con el círculo, por lo tanto, tres soluciones.

No es necesario que haya una región factible. Consideremos un sistema delimitado por dos líneas paralelas. Una inecuación representa la región por encima de la línea superior; la otra representa la región por debajo de la línea inferior. En este caso, ningún punto del plano está ubicado en ambas regiones; por lo tanto, no hay ninguna región factible.

Elija cualquier número entre cada solución y conéctelo a $C(x)$ y $R(x).$ Si $C(x)<R(x),$ entonces hay ganancias.

$\left(0,\mathrm{-3}\right),\left(3,0\right)$

$\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right),\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$

$\left(\mathrm{-3},0\right),\left(3,0\right)$

$\left(\frac{1}{4},-\frac{\sqrt{62}}{8}\right),\left(\frac{1}{4},\frac{\sqrt{62}}{8}\right)$

$\left(-\frac{\sqrt{398}}{4},\frac{199}{4}\right),\left(\frac{\sqrt{398}}{4},\frac{199}{4}\right)$

$\left(0,2\right),\left(1,3\right)$

$\left(-\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{5}\mathrm{-1}\right)},\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{5}\right)\right),\left(\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{5}\mathrm{-1}\right)},\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{5}\right)\right)$

$\left(5,0\right)$

$\left(0,0\right)$

$\left(3,0\right)$

No existen soluciones

No existen soluciones

$\left(–\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right),\left(–\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right),\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right),\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$(2,0)$

$\left(-\sqrt{7},\mathrm{-3}\right),\left(-\sqrt{7},3\right),\left(\sqrt{7},\mathrm{-3}\right),\left(\sqrt{7},3\right)$

$\left(-\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{73}\mathrm{-5}\right)},\frac{1}{2}\left(7-\sqrt{73}\right)\right),\left(\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{73}\mathrm{-5}\right)},\frac{1}{2}\left(7-\sqrt{73}\right)\right)$

$\left(\mathrm{-2}\sqrt{\frac{70}{383}},\mathrm{-2}\sqrt{\frac{35}{29}}\right),\left(\mathrm{-2}\sqrt{\frac{70}{383}},2\sqrt{\frac{35}{29}}\right),\left(2\sqrt{\frac{70}{383}},\mathrm{-2}\sqrt{\frac{35}{29}}\right),\left(2\sqrt{\frac{70}{383}},2\sqrt{\frac{35}{29}}\right)$

No existe ninguna solución

$x=0,y>0$ y $0<x<1,\sqrt{x}<y<\frac{1}{x}$

12.288

De 2 a 20 computadoras

No, un cociente de polinomios solo se puede descomponer si el denominador se puede factorizar. Por ejemplo, $\frac{1}{x^2+1}$ no se puede descomponer porque el denominador no se puede factorizar.

Haga un gráfico de ambos lados y asegúrese de que son iguales.

Si elegimos $x=\mathrm{-1},$ entonces el término B desaparece, dejándonos saber inmediatamente que $A=3.$ También podríamos introducir $x=-\frac{5}{3}$, lo que nos da un valor B de $-2.$

$\frac{8}{x+3}-\frac{5}{x\mathrm{-8}}$

$\frac{1}{x+5}+\frac{9}{x+2}$

$\frac{3}{5x\mathrm{-2}}+\frac{4}{4x\mathrm{-1}}$

$\frac{5}{2\left(x+3\right)}+\frac{5}{2\left(x\mathrm{-3}\right)}$

$\frac{3}{x+2}+\frac{3}{x\mathrm{-2}}$

$\frac{9}{5\left(x+2\right)}+\frac{11}{5\left(x\mathrm{-3}\right)}$

$\frac{8}{x\mathrm{-3}}-\frac{5}{x\mathrm{-2}}$

$\frac{1}{x\mathrm{-2}}+\frac{2}{{\left(x\mathrm{-2}\right)}^2}$

$-\frac{6}{4x+5}+\frac{3}{{\left(4x+5\right)}^2}$

$-\frac{1}{x\mathrm{-7}}-\frac{2}{{\left(x\mathrm{-7}\right)}^2}$

$\frac{4}{x}-\frac{3}{2\left(x+1\right)}+\frac{7}{2{\left(x+1\right)}^2}$

$\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}-\frac{3}{3x+2}+\frac{7}{2{\left(3x+2\right)}^2}$

$\frac{x+1}{x^2+x+3}+\frac{3}{x+2}$

$\frac{4\mathrm{-3}x}{x^2+3x+8}+\frac{1}{x\mathrm{-1}}$

$\frac{2x\mathrm{-1}}{x^2+6x+1}+\frac{2}{x+3}$

$\frac{1}{x^2+x+1}+\frac{4}{x\mathrm{-1}}$

$\frac{2}{x^2\mathrm{-3}x+9}+\frac{3}{x+3}$

$-\frac{1}{4x^2+6x+9}+\frac{1}{2x\mathrm{-3}}$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+6}-\frac{4x}{x^2\mathrm{-6}x+36}$

$\frac{x+6}{x^2+1}+\frac{4x+3}{{\left(x^2+1\right)}^2}$

$\frac{x+1}{x+2}+\frac{2x+3}{{\left(x+2\right)}^2}$

$\frac{1}{x^2+3x+25}-\frac{3x}{{\left(x^2+3x+25\right)}^2}$

$\frac{1}{8x}–\frac{x}{8\left(x^2+4\right)}+\frac{10-x}{2{\left(x^2+4\right)}^2}$

$-\frac{16}{x}-\frac{9}{x^2}+\frac{16}{x\mathrm{-1}}-\frac{7}{{\left(x\mathrm{-1}\right)}^2}$

$\frac{1}{x+1}-\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{5}{{\left(x+1\right)}^3}$

$\frac{5}{x\mathrm{-2}}-\frac{3}{10\left(x+2\right)}+\frac{7}{x+8}-\frac{7}{10\left(x\mathrm{-8}\right)}$

$-\frac{5}{4x}-\frac{5}{2\left(x+2\right)}+\frac{11}{2\left(x+4\right)}+\frac{5}{4\left(x+4\right)}$

No, deben tener las mismas dimensiones. Un ejemplo sería el de dos matrices de diferentes dimensiones. No se pueden sumar las dos matrices siguientes porque la primera es una matriz $2\times 2$ y la segunda es una matriz $2\times 3$. $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}6& 5& 4\\ 3& 2& 1\end{array}\right]$ no tiene suma.

Sí, si las dimensiones de $A$ son $m\times n$ y las dimensiones de $B$ son $n\times m,$ ambos productos se definirán.

No necesariamente. Para hallar $AB,$ multiplicamos la primera fila de $A$ por la primera columna de $B$ para obtener la primera entrada de $AB.$ Para calcular $BA,$ multiplicamos la primera fila de $B$ por la primera columna de $A$ para obtener la primera entrada de $BA.$ Por lo tanto, si estos no son iguales, entonces la multiplicación de matrices no es conmutativa.

$\left[\begin{array}{cc}11& 19\\ 15& 94\\ 17& 67\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}-4& 2\\ 8& 1\end{array}\right]$

No identificado; las dimensiones no coinciden

$\left[\begin{array}{cc}9& 27\\ 63& 36\\ 0& 192\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cccc}-64& \mathrm{-12}& \mathrm{-28}& -72\\ \mathrm{-360}& -20& \mathrm{-12}& \mathrm{-116}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}1,800& 1,200& 1,300\\ 800& 1,400& 600\\ 700& 400& 2,100\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}20& 102\\ 28& 28\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}60& 41& 2\\ \mathrm{-16}& 120& \mathrm{-216}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{-68}& 24& 136\\ -54& \mathrm{-12}& 64\\ -57& 30& 128\end{array}\right]$

Es indefinido; las dimensiones no coinciden.

$\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{-8}& 41& \mathrm{-3}\\ 40& \mathrm{-15}& \mathrm{-14}\\ 4& 27& 42\end{array}\right]$