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Precálculo 2ed

Capítulo 9

Precálculo 2edCapítulo 9

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Inténtelo

9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables

1.

No es una solución.

2.

La solución del sistema es el par ordenado ( −5,3 ). ( −5,3 ).

3.

( –2,−5 ) ( –2,−5 )

4.

( –6,–2 ) ( –6,–2 )

5.

( 10,–4 ) ( 10,–4 )

6.

No hay solución. Es un sistema inconsistente.

7.

El sistema es dependiente, por lo que existen infinitas soluciones de la forma (x,2 x+5). (x,2 x+5).

8.

700 niños y 950 adultos

9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables

1.

( 1,–1,1 ) ( 1,–1,1 )

2.

No hay solución.

3.

Número infinito de soluciones de la forma ( x,4x−11,−5x+18 ). ( x,4x−11,−5x+18 ).

9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables

1.

( - 1 2 , 1 2 ) ( - 1 2 , 1 2 ) y ( 2 ,8 ) ( 2 ,8 )

2.

( –1,3 ) ( –1,3 )

3.

{ ( 1,3 ),( 1,−3 ),( –1,3 ),( –1,−3 ) } { ( 1,3 ),( 1,−3 ),( –1,3 ),( –1,−3 ) }

4.

9.4 Fracciones parciales

1.

3 x−3 2 x−2 3 x−3 2 x−2

2.

6 x−1 - 5 ( x−1 ) 2 6 x−1 - 5 ( x−1 ) 2

3.

3 x−1 + 2 x-4 x 2 +1 3 x−1 + 2 x-4 x 2 +1

4.

x−2 x 2 −2x+3 + 2 x+1 ( x 2 −2x+3 ) 2 x−2 x 2 −2x+3 + 2 x+1 ( x 2 −2x+3 ) 2

9.5 Matrices y operaciones con matrices

1.

A+B=[ 2 1 1 6 0 −3 ]+[ 3 1 -4 −2 5 3 ] A+B=[ 2 1 1 6 0 −3 ]+[ 3 1 -4 −2 5 3 ]
=[ 2+3 1+1 1+(–4) 6+(−2) 0+5 −3+3 ]=[ 5 2 −3 4 5 0 ] = [ 2+3 1+1 1+(–4) 6+(−2) 0+5 −3+3 ] = [ 5 2 −3 4 5 0 ]

2.

−2B=[ −8 −2 −6 -4 ] −2B=[ −8 −2 −6 -4 ]

9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan

1.

[ 4 −3 3 2 | 11 4 ] [ 4 −3 3 2 | 11 4 ]

2.

x-y+z=5 2x-y+3z=1 y+z=−9 x-y+z=5 2x-y+3z=1 y+z=−9

3.

( 2 ,1 ) ( 2 ,1 )

4.

[ 1 - 5 2 5 2 0 1 5 0 0 1 | 17 2 9 2 ] [ 1 - 5 2 5 2 0 1 5 0 0 1 | 17 2 9 2 ]

5.

( 1,1,1 ) ( 1,1,1 )

6.

150.000 dólares al 7 %, 750.000 dólares al 8 %, 600.000 dólares al 10 %

9.7 Resolver sistemas con inversas

1.
AB=[ 1 4 −1 −3 ] [ −3 -4 1 1 ]=[ 1(−3)+4(1) 1(–4)+4(1) −1(−3)+−3(1) −1(–4)+−3(1) ]=[ 1 0 0 1 ] BA=[ −3 -4 1 1 ] [ 1 4 −1 −3 ]=[ −3(1)+-4(–1) −3(4)+-4(−3) 1(1)+1(–1) 1(4)+1(−3) ]=[ 1 0 0 1 ] AB=[ 1 4 −1 −3 ] [ −3 -4 1 1 ]=[ 1(−3)+4(1) 1(–4)+4(1) −1(−3)+−3(1) −1(–4)+−3(1) ]=[ 1 0 0 1 ] BA=[ −3 -4 1 1 ] [ 1 4 −1 −3 ]=[ −3(1)+-4(–1) −3(4)+-4(−3) 1(1)+1(–1) 1(4)+1(−3) ]=[ 1 0 0 1 ]
2.

A −1 =[ 3 5 1 5 - 2 5 1 5 ] A −1 =[ 3 5 1 5 - 2 5 1 5 ]

3.

A −1 =[ 1 1 2 2 4 −3 3 6 −5 ] A −1 =[ 1 1 2 2 4 −3 3 6 −5 ]

4.

X=[ 4 38 58 ] X=[ 4 38 58 ]

9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer

1.

( 3,-7 ) ( 3,-7 )

2.

10 10

3.

( 2 , 3 5 , 12 5 ) ( 2 , 3 5 , 12 5 )

9.1 Ejercicios de sección

1.

No, puede tener cero, uno o infinitos. Examine los gráficos.

3.

Esto significa que no hay un punto de equilibrio realista. En el momento en que la compañía produce una unidad ya está obteniendo ganancias.

5.

Se puede resolver por sustitución (aísle x x o y y ), gráficamente o por adición.

7.

9.

11.

(–1,2 ) (–1,2 )

13.

(−3,1) (−3,1)

15.

( - 3 5 ,0 ) ( - 3 5 ,0 )

17.

No existe una solución.

19.

( 72 5 , 132 5 ) ( 72 5 , 132 5 )

21.

( 6,–6 ) ( 6,–6 )

23.

( - 1 2 , 1 10 ) ( - 1 2 , 1 10 )

25.

No existe una solución.

27.

( - 1 5 , 2 3 ) ( - 1 5 , 2 3 )

29.

( x, x+3 2 ) ( x, x+3 2 )

31.

(-4,4) (-4,4)

33.

( 1 2 , 1 8 ) ( 1 2 , 1 8 )

35.

( 1 6 ,0 ) ( 1 6 ,0 )

37.

( x,2(7x−6) ) ( x,2(7x−6) )

39.

( - 5 6 , 4 3 ) ( - 5 6 , 4 3 )

41.

Consistente con una solución

43.

Consistente con una solución

45.

Dependiente con infinitas soluciones

47.

( -3,08,4,91 ) ( -3,08,4,91 )

49.

( -1,52,2,29 ) ( -1,52,2,29 )

51.

( A+B 2 , A-B 2 ) ( A+B 2 , A-B 2 )

53.

( −1 A-B , A A-B ) ( −1 A-B , A A-B )

55.

( CEBF BDAE , AFCD BDAE ) ( CEBF BDAE , AFCD BDAE )

57.

Nunca obtienen ganancias.

59.

(1,250,100,000) (1,250,100,000)

61.

Los números son 7,5 y 20,5.

63.

24.000

65.

790 estudiantes de segundo año, 805 estudiantes de primer año

67.

56 hombres, 74 mujeres

69.

10 galones de solución al 10 %, 15 galones de solución al 60 %

71.

Swan Peak: 750.000 dólares, Riverside: 350.000 dólares.

73.

12.500 dólares en la primera cuenta, 10.500 dólares en la segunda.

75.

Los zapatos de caña alta: 45, los de corte bajo: 15

77.

Infinitas soluciones. Necesitamos más información.

9.2 Ejercicios de sección

1.

No, solo puede haber una, cero o infinitas soluciones.

3.

No necesariamente. Puede haber cero, una o infinitas soluciones. Por ejemplo, ( 0,0,0 ) ( 0,0,0 ) no es una solución al sistema que está a continuación, pero eso no significa que no tenga solución.

2 x+3y−6c=1 -4x−6y+12c=–2 x+2 y+5z=10 2 x+3y−6c=1 -4x−6y+12c=–2 x+2 y+5z=10

5.

Todo sistema de ecuaciones se puede resolver gráficamente, por sustitución y por adición. Sin embargo, los sistemas de tres ecuaciones se vuelven muy complejos de resolver gráficamente, por lo que se suelen preferir otros métodos.

7.

No

9.

11.

( –1,4,2 ) ( –1,4,2 )

13.

( 85 107 , 312 107 , 191 107 ) ( 85 107 , 312 107 , 191 107 )

15.

( 1, 1 2 ,0 ) ( 1, 1 2 ,0 )

17.

( 4,–6,1 ) ( 4,–6,1 )

19.

( x, 1 27 (65−16x), x+28 27 ) ( x, 1 27 (65−16x), x+28 27 )

21.

( 45 13 , 17 13 ,–2 ) ( 45 13 , 17 13 ,–2 )

23.

No existen soluciones

25.

( 0,0,0 ) ( 0,0,0 )

27.

( 4 7 ,- 1 7 ,- 3 7 ) ( 4 7 ,- 1 7 ,- 3 7 )

29.

( 7,20,16 ) ( 7,20,16 )

31.

( –6,2 ,1 ) ( –6,2 ,1 )

33.

( 5,12,15 ) ( 5,12,15 )

35.

( −5,−5,−5 ) ( −5,−5,−5 )

37.

( 10,10,10 ) ( 10,10,10 )

39.

( 1 2 , 1 5 , 4 5 ) ( 1 2 , 1 5 , 4 5 )

41.

( 1 2 , 2 5 , 4 5 ) ( 1 2 , 2 5 , 4 5 )

43.

( 2 ,0,0 ) ( 2 ,0,0 )

45.

( 1,1,1 ) ( 1,1,1 )

47.

( 128 557 , 23 557 , 28 557 ) ( 128 557 , 23 557 , 28 557 )

49.

( 6,–1,0 ) ( 6,–1,0 )

51.

24, 36, 48

53.

70 abuelos, 140 padres, 190 niños

55.

Su parte era de 19,95 dólares, la de Shani de 40 dólares y la de su otro compañero de piso de 22,05 dólares.

57.

Hay infinitas soluciones; necesitamos más información

59.

500 de estudiantes, 225 de niños y 450 de adultos

61.

El BMW costaba 49.636 dólares, el jeep 42.636 dólares y el Toyota 47.727 dólares.

63.

400.000 dólares en la cuenta que paga el 3 %3 % de interés, 500.000 dólares en la cuenta que paga el 3 %3 % de interés y 100.000 dólares en la cuenta que paga el 3 %3 % de interés.

65.

Estados Unidos consumió el 26,3 %26,3 %, Japón el 7,1 %7,1 % y China el 6,4 %6,4 % del petróleo mundial.

67.

Arabia Saudita importó el 16,8 %16,8 %, Canadá el 15,1 %15,1 % y México el 15,0 %15,0 %.

69.

Las aves representan el 19,3 %19,3 %, los peces el 18,6 %18,6 % y los mamíferos el 17,1 %17,1 % de las especies en peligro.

9.3 Ejercicios de sección

1.

Un sistema no lineal podría ser representativo de dos círculos que se superponen y se intersecan en dos lugares, por lo tanto, dos soluciones. Un sistema no lineal podría ser representativo de una parábola y un círculo, donde el vértice de la parábola se encuentra con el círculo y las ramas también se intersecan con el círculo, por lo tanto, tres soluciones.

3.

No es necesario que haya una región factible. Consideremos un sistema delimitado por dos líneas paralelas. Una inecuación representa la región por encima de la línea superior; la otra representa la región por debajo de la línea inferior. En este caso, ningún punto del plano está ubicado en ambas regiones; por lo tanto, no hay ninguna región factible.

5.

Elija cualquier número entre cada solución y conéctelo a C(x) C(x) y R(x). R(x). Si C(x)<R(x), C(x)<R(x), entonces hay ganancias.

7.

( 0,−3 ),( 3,0 ) ( 0,−3 ),( 3,0 )

9.

( - 3 2 2 , 3 2 2 ),( 3 2 2 ,- 3 2 2 ) ( - 3 2 2 , 3 2 2 ),( 3 2 2 ,- 3 2 2 )

11.

( −3,0 ),( 3,0 ) ( −3,0 ),( 3,0 )

13.

( 1 4 , 62 8 ),( 1 4 , 62 8 ) ( 1 4 , 62 8 ),( 1 4 , 62 8 )

15.

( 398 4 , 199 4 ),( 398 4 , 199 4 ) ( 398 4 , 199 4 ),( 398 4 , 199 4 )

17.

( 0,2 ),( 1,3 ) ( 0,2 ),( 1,3 )

19.

( - 1 2 ( 5 −1 ) , 1 2 ( 1- 5 ) ),( 1 2 ( 5 −1 ) , 1 2 ( 1- 5 ) ) ( - 1 2 ( 5 −1 ) , 1 2 ( 1- 5 ) ),( 1 2 ( 5 −1 ) , 1 2 ( 1- 5 ) )

21.

( 5,0 ) ( 5,0 )

23.

( 0,0 ) ( 0,0 )

25.

( 3,0 ) ( 3,0 )

27.

No existen soluciones

29.

No existen soluciones

31.

( 2 2 ,- 2 2 ),( 2 2 , 2 2 ),( 2 2 ,- 2 2 ),( 2 2 , 2 2 ) ( 2 2 ,- 2 2 ),( 2 2 , 2 2 ),( 2 2 ,- 2 2 ),( 2 2 , 2 2 )

33.

(2 ,0) (2 ,0)

35.

( 7 ,−3 ),( 7 ,3 ),( 7 ,−3 ),( 7 ,3 ) ( 7 ,−3 ),( 7 ,3 ),( 7 ,−3 ),( 7 ,3 )

37.

( - 1 2 ( 73 −5 ) , 1 2 ( 7 73 ) ),( 1 2 ( 73 −5 ) , 1 2 ( 7 73 ) ) ( - 1 2 ( 73 −5 ) , 1 2 ( 7 73 ) ),( 1 2 ( 73 −5 ) , 1 2 ( 7 73 ) )

39.
41.
43.
45.
47.
49.

( −2 70 383 ,−2 35 29 ),( −2 70 383 ,2 35 29 ),( 2 70 383 ,−2 35 29 ),( 2 70 383 ,2 35 29 ) ( −2 70 383 ,−2 35 29 ),( −2 70 383 ,2 35 29 ),( 2 70 383 ,−2 35 29 ),( 2 70 383 ,2 35 29 )

51.

No existe ninguna solución

53.

x=0,y>0 x=0,y>0 y 0<x<1, x <y< 1 x 0<x<1, x <y< 1 x

55.

12.288

57.

De 2 a 20 computadoras

9.4 Ejercicios de sección

1.

No, un cociente de polinomios solo se puede descomponer si el denominador se puede factorizar. Por ejemplo, 1 x 2 +1 1 x 2 +1 no se puede descomponer porque el denominador no se puede factorizar.

3.

Haga un gráfico de ambos lados y asegúrese de que son iguales.

5.

Si elegimos x=−1, x=−1, entonces el término B desaparece, dejándonos saber inmediatamente que A=3. A=3. También podríamos introducir x=- 5 3 x=- 5 3 , lo que nos da un valor B de -2. -2.

7.

8 x+3 - 5 x−8 8 x+3 - 5 x−8

9.

1 x+5 + 9 x+2 1 x+5 + 9 x+2

11.

3 5x−2 + 4 4x−1 3 5x−2 + 4 4x−1

13.

5 2( x+3 ) + 5 2( x−3 ) 5 2( x+3 ) + 5 2( x−3 )

15.

3 x+2 + 3 x−2 3 x+2 + 3 x−2

17.

9 5( x+2 ) + 11 5( x−3 ) 9 5( x+2 ) + 11 5( x−3 )

19.

8 x−3 5 x−2 8 x−3 5 x−2

21.

1 x−2 + 2 ( x−2 ) 2 1 x−2 + 2 ( x−2 ) 2

23.

6 4x+5 + 3 ( 4x+5 ) 2 6 4x+5 + 3 ( 4x+5 ) 2

25.

- 1 x−7 2 ( x−7 ) 2 - 1 x−7 2 ( x−7 ) 2

27.

4 x - 3 2 ( x+1 ) + 7 2 ( x+1 ) 2 4 x - 3 2 ( x+1 ) + 7 2 ( x+1 ) 2

29.

4 x + 2 x 2 - 3 3x+2 + 7 2 ( 3x+2 ) 2 4 x + 2 x 2 - 3 3x+2 + 7 2 ( 3x+2 ) 2

31.

x+1 x 2 +x+3 + 3 x+2 x+1 x 2 +x+3 + 3 x+2

33.

4−3x x 2 +3x+8 + 1 x−1 4−3x x 2 +3x+8 + 1 x−1

35.

2 x−1 x 2 +6x+1 + 2 x+3 2 x−1 x 2 +6x+1 + 2 x+3

37.

1 x 2 +x+1 + 4 x−1 1 x 2 +x+1 + 4 x−1

39.

2 x 2 −3x+9 + 3 x+3 2 x 2 −3x+9 + 3 x+3

41.

- 1 4 x 2 +6x+9 + 1 2 x−3 - 1 4 x 2 +6x+9 + 1 2 x−3

43.

1 x + 1 x+6 - 4x x 2 −6x+36 1 x + 1 x+6 - 4x x 2 −6x+36

45.

x+6 x 2 +1 + 4x+3 ( x 2 +1 ) 2 x+6 x 2 +1 + 4x+3 ( x 2 +1 ) 2

47.

x+1 x+2 + 2 x+3 ( x+2 ) 2 x+1 x+2 + 2 x+3 ( x+2 ) 2

49.

1 x 2 +3x+25 3x ( x 2 +3x+25 ) 2 1 x 2 +3x+25 3x ( x 2 +3x+25 ) 2

51.

1 8x x 8( x 2 +4 ) + 10-x 2 ( x 2 +4 ) 2 1 8x x 8( x 2 +4 ) + 10-x 2 ( x 2 +4 ) 2

53.

16 x - 9 x 2 + 16 x−1 - 7 ( x−1 ) 2 16 x - 9 x 2 + 16 x−1 - 7 ( x−1 ) 2

55.

1 x+1 - 2 ( x+1 ) 2 + 5 ( x+1 ) 3 1 x+1 - 2 ( x+1 ) 2 + 5 ( x+1 ) 3

57.

5 x−2 3 10( x+2 ) + 7 x+8 - 7 10( x−8 ) 5 x−2 3 10( x+2 ) + 7 x+8 - 7 10( x−8 )

59.

- 5 4x - 5 2( x+2 ) + 11 2( x+4 ) + 5 4( x+4 ) - 5 4x - 5 2( x+2 ) + 11 2( x+4 ) + 5 4( x+4 )

9.5 Ejercicios de sección

1.

No, deben tener las mismas dimensiones. Un ejemplo sería el de dos matrices de diferentes dimensiones. No se pueden sumar las dos matrices siguientes porque la primera es una matriz 2×2 2×2 y la segunda es una matriz 2×3 2×3 . [ 1 2 3 4 ]+[ 6 5 4 3 2 1 ] [ 1 2 3 4 ]+[ 6 5 4 3 2 1 ] no tiene suma.

3.

Sí, si las dimensiones de A A son m×n m×n y las dimensiones de B B son n×m, n×m, ambos productos se definirán.

5.

No necesariamente. Para hallar AB, AB, multiplicamos la primera fila de A A por la primera columna de B B para obtener la primera entrada de AB. AB. Para calcular BA, BA, multiplicamos la primera fila de B B por la primera columna de A A para obtener la primera entrada de BA. BA. Por lo tanto, si estos no son iguales, entonces la multiplicación de matrices no es conmutativa.

7.

[ 11 19 15 94 17 67 ] [ 11 19 15 94 17 67 ]

9.

[ -4 2 8 1 ] [ -4 2 8 1 ]

11.

No identificado; las dimensiones no coinciden

13.

[ 9 27 63 36 0 192 ] [ 9 27 63 36 0 192 ]

15.

[ -64 −12 −28 -72 −360 -20 −12 −116 ] [ -64 −12 −28 -72 −360 -20 −12 −116 ]

17.

[ 1,800 1,200 1,300 800 1,400 600 700 400 2,100 ] [ 1,800 1,200 1,300 800 1,400 600 700 400 2,100 ]

19.

[ 20 102 28 28 ] [ 20 102 28 28 ]

21.

[ 60 41 2 −16 120 −216 ] [ 60 41 2 −16 120 −216 ]

23.

[ −68 24 136 -54 −12 64 -57 30 128 ] [ −68 24 136 -54 −12 64 -57 30 128 ]

25.

Es indefinido; las dimensiones no coinciden.

27.

[ −8 41 −3 40 −15 −14 4 27 42 ] [ −8 41 −3 40 −15 −14 4 27 42 ]

29.

[ −840 650 −530 330 360 250 −10 900 110 ] [ −840 650 −530 330 360 250 −10 900 110 ]

31.

[ −350 1,050 350 350 ] [ −350 1,050 350 350 ]

33.

Es Indefinido; las dimensiones interiores no coinciden.

35.

[ 1,400 700 −1,400 700 ] [ 1,400 700 −1,400 700 ]

37.

[ 332,500 927,500 −227,500 87,500 ] [ 332,500 927,500 −227,500 87,500 ]

39.

[ 490,000 0 0 490,000 ] [ 490,000 0 0 490,000 ]

41.

[ −2 3 4 −7 9 −7 ] [ −2 3 4 −7 9 −7 ]

43.

[ -4 29 21 −27 −3 1 ] [ -4 29 21 −27 −3 1 ]

45.

[ −3 −2 −2 −28 59 46 -4 16 7 ] [ −3 −2 −2 −28 59 46 -4 16 7 ]

47.

[ 1 -18 −9 −198 505 369 -72 126 91 ] [ 1 -18 −9 −198 505 369 -72 126 91 ]

49.

[ 0 1,6 9 −1 ] [ 0 1,6 9 −1 ]

51.

[ 2 24 -4,5 12 32 −9 −8 64 61 ] [ 2 24 -4,5 12 32 −9 −8 64 61 ]

53.

[ 0,5 3 0,5 2 1 2 10 7 10 ] [ 0,5 3 0,5 2 1 2 10 7 10 ]

55.

[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]

57.

[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]

59.

B n ={ [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ],npar, [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ],nimpar. B n ={ [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ],npar, [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ],nimpar.

9.6 Ejercicios de sección

1.

Sí. Para cada fila, se escriben los coeficientes de las variables a lo largo de la fila correspondiente y se coloca una barra vertical; a continuación, se colocan las constantes a la derecha de la barra vertical.

3.

No, existen numerosos métodos correctos para utilizar las operaciones de fila en una matriz. Dos posibles formas son las siguientes: (1) Intercambie las filas 1 y 2. Luego R 2 = R 2 −9 R 1 . R 2 = R 2 −9 R 1 . (2) R 2 = R 1 −9 R 2 . R 2 = R 1 −9 R 2 . Luego, divida la fila 1 entre 9.

5.

No. Una matriz con 0 entradas para toda una fila tendría cero o infinitas soluciones.

7.

[ 0 16 9 −1 | 4 2 ] [ 0 16 9 −1 | 4 2 ]

9.

[ 1 5 8 12 3 0 3 4 9 | 16 4 −7 ] [ 1 5 8 12 3 0 3 4 9 | 16 4 −7 ]

11.

−2x+5y=5 6x-18y=26 −2x+5y=5 6x-18y=26

13.

3x+2 y=3 -x−9y+4z=−1 8x+5y+7z=8 3x+2 y=3 -x−9y+4z=−1 8x+5y+7z=8

15.

4x+5y−2c=12        y+58c=2 8x+7y−3c=−5 4x+5y−2c=12        y+58c=2 8x+7y−3c=−5

17.

No son soluciones.

19.

(–1,–2) (–1,–2)

21.

( 6,7 ) ( 6,7 )

23.

( 3,2 ) ( 3,2 )

25.

( 1 5 , 1 2 ) ( 1 5 , 1 2 )

27.

( x, 4 15 (5x+1) ) ( x, 4 15 (5x+1) )

29.

( 3,4 ) ( 3,4 )

31.

( 196 39 ,- 5 13 ) ( 196 39 ,- 5 13 )

33.

( 31,-42,87 ) ( 31,-42,87 )

35.

( 21 40 , 1 20 , 9 8 ) ( 21 40 , 1 20 , 9 8 )

37.

( 18 13 , 15 13 , 15 13 ) ( 18 13 , 15 13 , 15 13 )

39.

( x,y, 1 2 (1−2x−3y) ) ( x,y, 1 2 (1−2x−3y) )

41.

( x, x 2 ,–1 ) ( x, x 2 ,–1 )

43.

( 125,−25,0 ) ( 125,−25,0 )

45.

( 8,1,–2 ) ( 8,1,–2 )

47.

( 1,2 ,3 ) ( 1,2 ,3 )

49.

( x, 31 28 3x 4 , 1 28 (−7x−3) ) ( x, 31 28 3x 4 , 1 28 (−7x−3) )

51.

No existe una solución.

53.

860 de red velvet y 1.340 de chocolate

55.

El 4 %4 % para la cuenta 1 y el 6 %6 % para la cuenta 2

57.

126 dólares

59.

Banana fue del 3 %3 %, calabaza del 7 %7 % y rocky road del 2 %2 %

61.

100 almendras, 200 anacardos y 600 pistachos

9.7 Ejercicios de sección

1.

Si A −1 A −1 es la inversa de A, A, entonces A A −1 =I, A A −1 =I, la matriz identidad. Dado que A A es también la inversa de A −1 , A −1 A=I. A −1 , A −1 A=I. También puede comprobarlo probando esto para una matriz 2×2 2×2 .

3.

No, porque ad ad y bc bc son ambos 0, por lo que adbc=0, adbc=0, lo que nos obliga a dividir entre 0 en la fórmula.

5.

Sí. Considere la matriz [ 0 1 1 0 ]. [ 0 1 1 0 ]. La inversa se despeja con el siguiente cálculo: A −1 = 1 0(0)−1(1) [ 0 −1 −1 0 ]=[ 0 1 1 0 ]. A −1 = 1 0(0)−1(1) [ 0 −1 −1 0 ]=[ 0 1 1 0 ].

7.

AB=BA=[ 1 0 0 1 ]=I AB=BA=[ 1 0 0 1 ]=I

9.

AB=BA=[ 1 0 0 1 ]=I AB=BA=[ 1 0 0 1 ]=I

11.

AB=BA=[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]=I AB=BA=[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]=I

13.

1 29 [ 9 2 −1 3 ] 1 29 [ 9 2 −1 3 ]

15.

1 69 [ −2 7 9 3 ] 1 69 [ −2 7 9 3 ]

17.

No tiene inversa

19.

4 7 [ 0,5 1,5 1 -0,5 ] 4 7 [ 0,5 1,5 1 -0,5 ]

21.

1 17 [ −5 5 −3 20 −3 12 1 −1 4 ] 1 17 [ −5 5 −3 20 −3 12 1 −1 4 ]

23.

1 209 [ 47 -57 69 10 19 −12 −24 38 -13 ] 1 209 [ 47 -57 69 10 19 −12 −24 38 -13 ]

25.

[ 18 60 −168 -56 −140 448 40 80 -280 ] [ 18 60 −168 -56 −140 448 40 80 -280 ]

27.

( −5,6 ) ( −5,6 )

29.

( 2 ,0 ) ( 2 ,0 )

31.

( 1 3 ,- 5 2 ) ( 1 3 ,- 5 2 )

33.

( 2 3 , 11 6 ) ( 2 3 , 11 6 )

35.

( 7, 1 2 , 1 5 ) ( 7, 1 2 , 1 5 )

37.

( 5,0,–1 ) ( 5,0,–1 )

39.

1 34 ( −35,-97,−154 ) 1 34 ( −35,-97,−154 )

41.

1 690 ( 65,–1.136,−229 ) 1 690 ( 65,–1.136,−229 )

43.

( 37 30 , 8 15 ) ( 37 30 , 8 15 )

45.

( 10 123 ,–1, 2 5 ) ( 10 123 ,–1, 2 5 )

47.

1 2 [ 2 1 -1 -1 0 1 1 -1 0 -1 1 1 0 1 -1 1 ] 1 2 [ 2 1 -1 -1 0 1 1 -1 0 -1 1 1 0 1 -1 1 ]

49.

1 39 [ 3 2 1 -7 18 53 32 10 24 36 21 9 9 46 16 -5 ] 1 39 [ 3 2 1 -7 18 53 32 10 24 36 21 9 9 46 16 -5 ]

51.

[ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 -1 -1 -1 -1 1 ] [ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 -1 -1 -1 -1 1 ]

53.

Soluciones infinitas.

55.

50 %50 % naranjas, 25 %25 % plátanos, 20 %20 % manzanas

57.

10 sombreros de paja, 50 gorros, 40 sombreros de vaquero

59.

Micah se comió 6, Joe 3 y Albert 3.

61.

124 naranjas, 10 limones, 8 granadas

9.8 Ejercicios de sección

1.

Un determinante es la suma y el producto de las entradas de la matriz, por lo que siempre se puede evaluar ese producto, aunque acabe siendo 0.

3.

La inversa no existe.

5.

-2 -2

7.

7 7

9.

-4 -4

11.

0 0

13.

7,990,7 7,990,7

15.

3 3

17.

-1 -1

19.

224 224

21.

15 15

23.

17,03 17,03

25.

( 1,1 ) ( 1,1 )

27.

( 1 2 , 1 3 ) ( 1 2 , 1 3 )

29.

( 2 ,5 ) ( 2 ,5 )

31.

( -1,- 1 3 ) ( -1,- 1 3 )

33.

( 15,12 ) ( 15,12 )

35.

( 1,3,2 ) ( 1,3,2 )

37.

( -1,0,3 ) ( -1,0,3 )

39.

( 1 2 ,1,2 ) ( 1 2 ,1,2 )

41.

( 2 ,1,4 ) ( 2 ,1,4 )

43.

Soluciones infinitas

45.

24 24

47.

1 1

49.

Sí; 18, 38

51.

Sí; 33, 36, 37

53.

7.000 dólares en la primera cuenta, 3.000 en la segunda.

55.

120 niños, 1.080 adultos

57.

4 galones de amarillo, 6 galones de azul

59.

13 tomates verdes, 17 tomates rojos

61.

Fresas 18 %, naranjas 9 %, kiwi 10 %

63.

100 para la película 1, 230 para la película 2, 312 para la película 3

65.

300 almendras, 400 arándanos, 300 anacardos

Ejercicios de repaso

1.

No

3.

( 2 ,3 ) ( 2 ,3 )

5.

( 4,-1 ) ( 4,-1 )

7.

No existe una solución.

9.

(300,60,000) (300,60,000)

11.

Soluciones infinitas

13.

No existe una solución.

15.

( -1,-2 ,3 ) ( -1,-2 ,3 )

17.

( x, 8x 5 , 14x 5 ) ( x, 8x 5 , 14x 5 )

19.

11, 17 y 33

21.

( 2 ,-3 ),( 3,2 ) ( 2 ,-3 ),( 3,2 )

23.

No hay solución

25.

No hay solución

27.
29.
31.

2 x+2 , -4 x+1 2 x+2 , -4 x+1

33.

7 x+5 , 15 (x+5) 2 7 x+5 , 15 (x+5) 2

35.

3 x-5 , -4x+1 x 2 +5x+25 3 x-5 , -4x+1 x 2 +5x+25

37.

x-4 ( x 2 -2 ) , 5x+3 ( x 2 -2 ) 2 x-4 ( x 2 -2 ) , 5x+3 ( x 2 -2 ) 2

39.

[ 16 8 4 12 ] [ 16 8 4 12 ]

41.

indefinido; las dimensiones no coinciden

43.

indefinido; las dimensiones interiores no coinciden

45.

[ 113 28 10 44 81 41 84 98 42 ] [ 113 28 10 44 81 41 84 98 42 ]

47.

[ 127 74 176 2 11 40 28 77 38 ] [ 127 74 176 2 11 40 28 77 38 ]

49.

indefinido; las dimensiones interiores no coinciden

51.

x-3z=7 y+2z=-5 x-3z=7 y+2z=-5 con infinitas soluciones

53.

[ -2 2 1 2 -8 5 19 10 22 | 7 0 3 ] [ -2 2 1 2 -8 5 19 10 22 | 7 0 3 ]

55.

[ 1 0 3 −1 4 0 0 1 2 | 12 0 −7 ] [ 1 0 3 −1 4 0 0 1 2 | 12 0 −7 ]

57.

No existe una solución.

59.

No existe una solución.

61.

1 8 [ 2 7 6 1 ] 1 8 [ 2 7 6 1 ]

63.

No existe ningún inverso.

65.

( 20,40 ) ( 20,40 )

67.

( -1,0,2,0,3 ) ( -1,0,2,0,3 )

69.

17 % naranjas, 34 % plátanos, 39 % manzanas

71.

0

73.

6

75.

( 6, 1 2 ) ( 6, 1 2 )

77.

(x, 5x + 3)

79.

( 0,0,- 1 2 ) ( 0,0,- 1 2 )

Examen de práctica

1.

3.

No existe una solución.

5.

1 20 ( 10,5,4 ) 1 20 ( 10,5,4 )

7.

( x, 16x 5 13x 5 ) ( x, 16x 5 13x 5 )

9.

(2 2 , 17 ),( 2 2 , 17 ),( 2 2 , 17 ),( 2 2 , 17 ) (2 2 , 17 ),( 2 2 , 17 ),( 2 2 , 17 ),( 2 2 , 17 )

11.
13.

5 3x+1 - 2 x+3 (3x+1) 2 5 3x+1 - 2 x+3 (3x+1) 2

15.

[ 17 51 8 11 ] [ 17 51 8 11 ]

17.

[ 12 20 15 30 ] [ 12 20 15 30 ]

19.

- 1 8 - 1 8

21.

[ 14 2 13 2 3 -6 1 -5 12 | 140 1 11 ] [ 14 2 13 2 3 -6 1 -5 12 | 140 1 11 ]

23.

No existe una solución.

25.

( 100,90 ) ( 100,90 )

27.

( 1 100 ,0 ) ( 1 100 ,0 )

29.

32 o más teléfonos móviles al día

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