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Precálculo 2ed

9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables

Precálculo 2ed9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Resolver sistemas de tres ecuaciones de tres variables.
  • Identificar sistemas inconsistentes de ecuaciones que contengan tres variables.
  • Expresar la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene tres variables.
Figura 1 (Créditos: "Elembis", Wikimedia Commons).

Jordi recibió una herencia de 12.000 dólares que dividió en tres partes e invirtió de tres maneras: en un fondo del mercado monetario que paga un 3 % de interés anual; en bonos municipales que pagan un 4 % de interés anual; y en fondos de inversión que pagan un 7 % de interés anual. Jordi invirtió 4.000 dólares más en fondos municipales que en bonos municipales. Ganó 670 dólares en intereses el primer año. ¿Cuánto invirtió Jordi en cada tipo de fondo?

Comprender el enfoque correcto para plantear problemas como este hace que hallar una solución sea cuestión de seguir un patrón. En esta sección resolveremos este y otros problemas similares que implican tres ecuaciones y tres variables. Para ello se utilizan técnicas parecidas a las que se emplean para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos variables. Sin embargo, dar con las soluciones a los sistemas de tres ecuaciones exige un poco más de organización y un toque de visualización.

Resolución de sistemas de tres ecuaciones de tres variables

Para resolver sistemas de ecuaciones de tres variables, conocidos como sistemas de tres en tres, la principal herramienta que utilizaremos se llama eliminación de Gauss-Jordan, que recibe su nombre del prolífico matemático alemán Karl Friedrich Gauss. Aunque no existe ningún orden definitivo para realizar las operaciones, sí hay directrices específicas sobre el tipo de movimientos que se pueden realizar. Podemos numerar las ecuaciones para llevar la cuenta de los pasos que aplicamos. La meta es eliminar una variable a la vez para lograr la forma triangular superior, la forma ideal para un sistema de tres por tres porque permite volver a sustituir de forma directa para hallar una solución ( x,y,z ), ( x,y,z ), lo cual llamamos un triple ordenado. Un sistema en forma de triángulo superior tiene el siguiente aspecto:

Ax+By+Cc=D Ey+Fc=G Hc=K Ax+By+Cc=D Ey+Fc=G Hc=K

La tercera ecuación se puede resolver para c, c, y luego volvemos a sustituir para hallar y y y x. x. Para escribir el sistema en forma triangular superior, podemos realizar las siguientes operaciones:

  1. Intercambie el orden de dos ecuaciones cualesquiera.
  2. Multiplique ambos lados de una ecuación por una constante distinta de cero.
  3. Sume un múltiplo distinto de cero de una ecuación a otra ecuación.

El conjunto de soluciones de un sistema de tres por tres es un triple ordenado { ( x,y,z ) }. { ( x,y,z ) }. Gráficamente, el triple ordenado define el punto que es la intersección de tres planos en el espacio. Puede visualizar dicha intersección imaginando cualquier esquina de una habitación rectangular. Una esquina está definida por tres planos: dos paredes contiguas y el piso (o el techo). Cualquier punto de encuentro entre dos paredes y el piso representa la intersección de tres planos.

Número de soluciones posibles

La Figura 2 y la Figura 3 ilustran posibles escenarios de solución para sistemas de tres por tres.

  • Los sistemas que tienen una única solución son aquellos que, tras la eliminación, dan como resultado un conjunto de soluciones formado por un triple ordenado { ( x,y,z ) }. { ( x,y,z ) }. Gráficamente, el triple ordenado define un punto que es la intersección de tres planos en el espacio.
  • Los sistemas que tienen un número infinito de soluciones son aquellos que, tras su eliminación, dan como resultado una expresión que siempre es verdadera, como por ejemplo 0=0. 0=0. Gráficamente, un número infinito de soluciones representa una línea o plano coincidente que sirve de intersección de tres planos en el espacio.
  • Los sistemas que no tienen solución son aquellos que, tras su eliminación, dan como resultado un enunciado que es una contradicción, como por ejemplo 3=0. 3=0. Gráficamente, un sistema sin solución se representa mediante tres planos sin ningún punto en común.
Figura 2 (a) Tres planos se intersecan en un único punto, y representan un sistema de tres por tres con una única solución. (b) Tres planos se intersecan en una línea, y representan un sistema de tres por tres con infinitas soluciones.
Figura 3 Las tres figuras representan sistemas de tres por tres sin solución. (a) Los tres planos se intersecan entre sí, pero no en un punto común. (b) Dos de los planos son paralelos y se intersecan con el tercer plano, pero no entre sí. (c) Los tres planos son paralelos, por lo que no hay punto de intersección.

Ejemplo 1

Determinar si un triple ordenado es una solución para un sistema

Determinar si el triple ordenado ( 3,–2,1 ) ( 3,–2,1 ) es una solución del sistema.

x+y+z=2 6x-4y+5z=31 5x+2 y+2z=13 x+y+z=2 6x-4y+5z=31 5x+2 y+2z=13

Cómo

Dado un sistema lineal de tres ecuaciones, resuelva las tres incógnitas.

  1. Escoja cualquier par de ecuaciones y resuelva para una variable.
  2. Elija otro par de ecuaciones y resuelva para la misma variable.
  3. Ha creado un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas. Resuelva el sistema resultante de dos en dos.
  4. Vuelva a sustituir las variables conocidas en cualquiera de las ecuaciones originales y resuelva la variable que falta.

Ejemplo 2

Resolver un sistema de tres ecuaciones de tres variables por eliminación

Halle una solución al siguiente sistema:

x−2y+3z=9 (1) x+3y-z=−6 (2) 2x−5y+5z=17 (3) x−2y+3z=9 (1) x+3y-z=−6 (2) 2x−5y+5z=17 (3)

Ejemplo 3

Resolución de un problema del mundo real mediante un sistema de tres ecuaciones en tres variables

En el problema planteado al principio de la sección, Jordi invirtió su herencia de 12.000 dólares en tres fondos diferentes: una parte en un fondo del mercado monetario que paga un 3 % de interés anual; otra parte en bonos municipales que pagan un 4 % anual; y el resto en fondos de inversión que pagan un 7 % anual. Jordi invirtió 4.000 dólares más en fondos de inversión que en bonos municipales. El interés total obtenido en un año fue de 670 dólares. ¿Cuánto invirtió en cada tipo de fondo?

Inténtelo #1

Resuelva el sistema de ecuaciones de tres variables.

2 x+y−2c=−1 3x−3y-z=5 x−2y+3z=6 2 x+y−2c=−1 3x−3y-z=5 x−2y+3z=6

Identificación de sistemas inconsistentes de ecuaciones que contienen tres variables

Al igual que con los sistemas de ecuaciones en dos variables, podemos encontrarnos con un sistema de ecuaciones inconsistente en tres variables, lo que significa que no tiene una solución que satisfaga las tres ecuaciones. Las ecuaciones pueden representar tres planos paralelos, dos planos paralelos y un plano de intersección, o tres planos que se cruzan con los otros dos pero no en el mismo lugar. El proceso de eliminación dará como resultado un enunciado falso, como por ejemplo 3=7 3=7 o alguna otra contradicción.

Ejemplo 4

Resolver un sistema inconsistente de tres ecuaciones de tres variables

Resuelva el siguiente sistema.

x−3y+z=4 (1) -x+2 y−5c=3 (2 ) 5x-13y+13c=8 (3) x−3y+z=4 (1) -x+2 y−5c=3 (2 ) 5x-13y+13c=8 (3)

Análisis

En este sistema, cada plano se interseca con los otros dos, pero no en el mismo lugar. Por lo tanto, el sistema es inconsistente.

Inténtelo #2

Resuelva el sistema de tres ecuaciones de tres variables.

x+y+z=2 y−3c=1 2 x+y+5z=0 x+y+z=2 y−3c=1 2 x+y+5z=0

Expresión de la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene tres variables

Sabemos por haber trabajado con sistemas de ecuaciones con dos variables que un sistema de ecuaciones dependiente tiene un número infinito de soluciones. Lo mismo ocurre con los sistemas dependientes de ecuaciones de tres variables. De varias situaciones puede resultar un número infinito de soluciones. Los tres planos pueden ser iguales, de modo que la solución de una ecuación será la solución de las otras dos ecuaciones. Las tres ecuaciones podrían ser diferentes, pero se intersecan en una línea, lo cual tiene infinitas soluciones. O bien, dos de las ecuaciones podrían ser iguales e intersecar a la tercera en una línea.

Ejemplo 5

Hallar la solución de un sistema de ecuaciones dependiente

Halle la solución del sistema de tres ecuaciones de tres variables dado.

2 x+y−3c=0 (1) 4x+2 y−6c=0 (2 ) x-y+z=0 (3) 2 x+y−3c=0 (1) 4x+2 y−6c=0 (2 ) x-y+z=0 (3)

Análisis

Como se muestra en la Figura 5, dos de los planos son iguales y se intersecan con el tercer plano en una línea. El conjunto de soluciones es infinito, ya que todos los puntos a lo largo de la línea de intersección satisfacen las tres ecuaciones.

Figura 5

Preguntas y respuestas

¿La solución genérica de un sistema dependiente se debe escribir siempre en términos de x? x?

No, se puede escribir la solución genérica en términos de cualquiera de las variables, pero es común escribirla en términos de x, y si es necesario x x como y. y.

Inténtelo #3

Resuelva el siguiente sistema.

x+y+z=7 3x-2y-z=4 x+6y+5z=24 x+y+z=7 3x-2y-z=4 x+6y+5z=24

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar sistemas de ecuaciones de tres variables.

9.2 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Un sistema lineal de tres ecuaciones puede tener exactamente dos soluciones? Explique por qué sí o por qué no

2.

Si un triple ordenado resuelve el sistema de ecuaciones, ¿es esa solución única? Si es así, explique por qué. Si no es así, ponga un ejemplo en el que no sea único.

3.

Si un triple ordenado dado no resuelve el sistema de ecuaciones, ¿no hay solución? Si es así, explique por qué. Si no es así, dé un ejemplo.

4.

Al utilizar el método de la adición, ¿hay una sola forma de resolver el sistema?

5.

¿Puede explicar si solo puede haber un método para resolver un sistema lineal de ecuaciones? Si la respuesta es afirmativa, dé un ejemplo de un sistema de ecuaciones de este tipo. Si no, explique por qué no.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si el triple ordenado dado es la solución del sistema de ecuaciones.

6.

2 x−6y+6z=−12 x+4y+5z=−1 -x+2 y+3z=–1 2 x−6y+6z=−12 x+4y+5z=−1 -x+2 y+3z=–1 y (0,1,–1) (0,1,–1)

7.

6x-y+3z=6 3x+5y+2z=0 x+y=0 6x-y+3z=6 3x+5y+2z=0 x+y=0 y (3,−3,−5) (3,−3,−5)

8.

6x−7y+z=2 -x-y+3z=4 2x+y-z=1 6x−7y+z=2 -x-y+3z=4 2x+y-z=1 y (4,2 ,–6) (4,2 ,–6)

9.

x-y=0 xz=5 x-y+z=–1 x-y=0 xz=5 x-y+z=–1 y (4,4,–1) (4,4,–1)

10.

x-y+2z=3 5x+8y−3c=4 x+3y−5c=−5 x-y+2z=3 5x+8y−3c=4 x+3y−5c=−5 y (4,1,–7) (4,1,–7)

En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por eliminación.

11.

3x-4y+2z=−15 2x+4y+z=16 2x+3y+5z=20 3x-4y+2z=−15 2x+4y+z=16 2x+3y+5z=20

12.

5x−2y+3z=20 2x-4y−3c=–9 x+6y−8c=21 5x−2y+3z=20 2x-4y−3c=–9 x+6y−8c=21

13.

5x+2 y+4z=9 −3x+2 y+z=10 4x−3y+5z=−3 5x+2 y+4z=9 −3x+2 y+z=10 4x−3y+5z=−3

14.

4x−3y+5z=31 x+2 y+4z=20 x+5y−2c=−29 4x−3y+5z=31 x+2 y+4z=20 x+5y−2c=−29

15.

5x−2y+3z=4 -4x+6y−7c=−1 3x+2 y-z=4 5x−2y+3z=4 -4x+6y−7c=−1 3x+2 y-z=4

16.

4x+6y+9z=0 −5x+2 y−6c=3 7x-4y+3z=−3 4x+6y+9z=0 −5x+2 y−6c=3 7x-4y+3z=−3

En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por eliminación de Gauss-Jordan.

17.

2 x-y+3z=17 −5x+4y−2c=-46 2y+5z=−7 2 x-y+3z=17 −5x+4y−2c=-46 2y+5z=−7

18.

5x−6y+3z=50 x+4y=10 2xz=10 5x−6y+3z=50 x+4y=10 2xz=10

19.

2 x+3y−6c=1 -4x−6y+12c=–2 x+2 y+5z=10 2 x+3y−6c=1 -4x−6y+12c=–2 x+2 y+5z=10

20.

4x+6y−2c=8 6x+9y−3c=12 −2x−3y+z=–4 4x+6y−2c=8 6x+9y−3c=12 −2x−3y+z=–4

21.

2 x+3y-4c=5 −3x+2 y+z=11 x+5y+3z=4 2 x+3y-4c=5 −3x+2 y+z=11 x+5y+3z=4

22.

10x+2 y−14c=8 −x−2y-4c=−1 −12x−6y+6z=−12 10x+2 y−14c=8 −x−2y-4c=−1 −12x−6y+6z=−12

23.

x+y+z=14 2y+3z=−14 −16y−24c=–112 x+y+z=14 2y+3z=−14 −16y−24c=–112

24.

5x−3y+4z=−1 -4x+2 y−3c=0 −x+5y+7z=−11 5x−3y+4z=−1 -4x+2 y−3c=0 −x+5y+7z=−11

25.

x+y+z=0 2x-y+3z=0 xz=0 x+y+z=0 2x-y+3z=0 xz=0

26.

3x+2 y−5c=6 5x-4y+3z=−12 4x+5y−2c=15 3x+2 y−5c=6 5x-4y+3z=−12 4x+5y−2c=15

27.

x+y+z=0 2x-y+3z=0 xz=1 x+y+z=0 2x-y+3z=0 xz=1

28.

3x 1 2 y-z=- 1 2 4x+z=3 -x+ 3 2 y= 5 2 3x 1 2 y-z=- 1 2 4x+z=3 -x+ 3 2 y= 5 2

29.

6x−5y+6z=38 1 5 x 1 2 y+ 3 5 z=1 -4x- 3 2 y-z=-74 6x−5y+6z=38 1 5 x 1 2 y+ 3 5 z=1 -4x- 3 2 y-z=-74

30.

1 2 x 1 5 y+ 2 5 z=- 13 10 1 4 x- 2 5 y- 1 5 z=- 7 20 1 2 x- 3 4 y- 1 2 z=- 5 4 1 2 x 1 5 y+ 2 5 z=- 13 10 1 4 x- 2 5 y- 1 5 z=- 7 20 1 2 x- 3 4 y- 1 2 z=- 5 4

31.

- 1 3 x 1 2 y- 1 4 z= 3 4 - 1 2 x 1 4 y- 1 2 z=2 1 4 x- 3 4 y- 1 2 z=- 1 2 - 1 3 x 1 2 y- 1 4 z= 3 4 - 1 2 x 1 4 y- 1 2 z=2 1 4 x- 3 4 y- 1 2 z=- 1 2

32.

1 2 x 1 4 y+ 3 4 z=0 1 4 x 1 10 y+ 2 5 z=−2 1 8 x+ 1 5 y- 1 8 z=2 1 2 x 1 4 y+ 3 4 z=0 1 4 x 1 10 y+ 2 5 z=−2 1 8 x+ 1 5 y- 1 8 z=2

33.

4 5 x- 7 8 y+ 1 2 z=1 - 4 5 x- 3 4 y+ 1 3 z=−8 2 5 x- 7 8 y+ 1 2 z=−5 4 5 x- 7 8 y+ 1 2 z=1 - 4 5 x- 3 4 y+ 1 3 z=−8 2 5 x- 7 8 y+ 1 2 z=−5

34.

- 1 3 x 1 8 y+ 1 6 z= 4 3 - 2 3 x- 7 8 y+ 1 3 z= 23 3 - 1 3 x- 5 8 y+ 5 6 z=0 - 1 3 x 1 8 y+ 1 6 z= 4 3 - 2 3 x- 7 8 y+ 1 3 z= 23 3 - 1 3 x- 5 8 y+ 5 6 z=0

35.

- 1 4 x- 5 4 y+ 5 2 z=−5 - 1 2 x- 5 3 y+ 5 4 z= 55 12 1 3 x 1 3 y+ 1 3 z= 5 3 - 1 4 x- 5 4 y+ 5 2 z=−5 - 1 2 x- 5 3 y+ 5 4 z= 55 12 1 3 x 1 3 y+ 1 3 z= 5 3

36.

1 40 x+ 1 60 y+ 1 80 c= 1 100 1 2 x 1 3 y- 1 4 z=- 1 5 3 8 x+ 3 12 y+ 3 16 c= 3 20 1 40 x+ 1 60 y+ 1 80 c= 1 100 1 2 x 1 3 y- 1 4 z=- 1 5 3 8 x+ 3 12 y+ 3 16 c= 3 20

37.

0,1x-0,2y+0,3c=2 0,5x-0,1y+0,4c=8 0,7x-0,2y+0,3c=8 0,1x-0,2y+0,3c=2 0,5x-0,1y+0,4c=8 0,7x-0,2y+0,3c=8

38.

0,2x+0,1y-0,3c=0,2 0,8x+0,4y-1,2c=0,1 1,6x+0,8y−2,4c=0,2 0,2x+0,1y-0,3c=0,2 0,8x+0,4y-1,2c=0,1 1,6x+0,8y−2,4c=0,2

39.

1,1x+0,7y-3,1c=-1,79 2,1x+0,5y-1,6c=-0,13 0,5x+0,4y-0,5c=-0,07 1,1x+0,7y-3,1c=-1,79 2,1x+0,5y-1,6c=-0,13 0,5x+0,4y-0,5c=-0,07

40.

0,5x-0,5y+0,5c=10 0,2x-0,2y+0,2c=4 0,1x-0,1y+0,1c=2 0,5x-0,5y+0,5c=10 0,2x-0,2y+0,2c=4 0,1x-0,1y+0,1c=2

41.

0,1x+0,2y+0,3c=0,37 0,1x-0,2y-0,3c=-0,27 0,5x-0,1y-0,3c=-0,03 0,1x+0,2y+0,3c=0,37 0,1x-0,2y-0,3c=-0,27 0,5x-0,1y-0,3c=-0,03

42.

0,5x-0,5y-0,3c=0,13 0,4x-0,1y-0,3c=0,11 0,2x-0,8y-0,9c=-0,32 0,5x-0,5y-0,3c=0,13 0,4x-0,1y-0,3c=0,11 0,2x-0,8y-0,9c=-0,32

43.

0,5x+0,2y-0,3c=1 0,4x-0,6y+0,7c=0,8 0,3x-0,1y-0,9c=0,6 0,5x+0,2y-0,3c=1 0,4x-0,6y+0,7c=0,8 0,3x-0,1y-0,9c=0,6

44.

0,3x+0,3y+0,5c=0,6 0,4x+0,4y+0,4c=1,8 0,4x+0,2y+0,1c=1,6 0,3x+0,3y+0,5c=0,6 0,4x+0,4y+0,4c=1,8 0,4x+0,2y+0,1c=1,6

45.

0,8x+0,8y+0,8c=2,4 0,3x-0,5y+0,2c=0 0,1x+0,2y+0,3c=0,6 0,8x+0,8y+0,8c=2,4 0,3x-0,5y+0,2c=0 0,1x+0,2y+0,3c=0,6

Extensiones

En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema para x,y, x,y, y z. z.

46.

x+y+z=3 x−1 2 + y−3 2 + z+1 2 =0 x−2 3 + y+4 3 + c−3 3 = 2 3 x+y+z=3 x−1 2 + y−3 2 + z+1 2 =0 x−2 3 + y+4 3 + c−3 3 = 2 3

47.

5x−3y- z+1 2 = 1 2 6x+ y−9 2 +2z=−3 x+8 2 -4y+z=4 5x−3y- z+1 2 = 1 2 6x+ y−9 2 +2z=−3 x+8 2 -4y+z=4

48.

x+4 7 - y−1 6 + z+2 3 =1 x−2 4 + y+1 8 z+8 12 =0 x+6 3 - y+2 3 + z+4 2 =3 x+4 7 - y−1 6 + z+2 3 =1 x−2 4 + y+1 8 z+8 12 =0 x+6 3 - y+2 3 + z+4 2 =3

49.

x−3 6 + y+2 2 - c−3 3 =2 x+2 4 + y−5 2 + z+4 2 =1 x+6 2 - y−3 2 +z+1=9 x−3 6 + y+2 2 - c−3 3 =2 x+2 4 + y−5 2 + z+4 2 =1 x+6 2 - y−3 2 +z+1=9

50.

x−1 3 + y+3 4 + z+2 6 =1 4x+3y−2c=11 0,02x+0,015y-0,01c=0,065 x−1 3 + y+3 4 + z+2 6 =1 4x+3y−2c=11 0,02x+0,015y-0,01c=0,065

Aplicaciones en el mundo real

51.

Tres números pares suman 108. El menor es la mitad del mayor y el número del medio es 3 4 3 4 del número mayor. ¿Cuáles son los tres números?

52.

Tres números suman 147. El número más pequeño es la mitad del número medio, el cual es la mitad del número más grande. ¿Cuáles son los tres números?

53.

En una reunión familiar, solo asistieron parientes de sangre, compuestos por hijos, padres y abuelos. Había 400 personas en total. Había el doble de padres que de abuelos y 50 niños más que padres. ¿Cuántos niños, padres y abuelos asistieron?

54.

Un refugio de animales tiene un total de 350 animales entre gatos, perros y conejos. Si el número de conejos es 5 menos que la mitad del número de gatos, y hay 20 gatos más que perros, ¿cuántos de cada animal hay en el refugio?

55.

Su compañera de cuarto, Shani, se ofreció a comprar alimentos para usted y su otro compañero de cuarto. La factura total fue de 82 dólares. Se olvidó de guardar los recibos individuales, pero se acordó de que los alimentos de usted eran 0,05 dólares más baratos que la mitad de los de ella, y que los de su otro compañero de vivienda eran 2,10 dólares más que los de usted. ¿A cuánto asciende la parte de la compra de cada uno?

56.

Su compañero de piso, John, se ofreció a comprar material doméstico para usted y su otro compañero. Usted vive cerca de la frontera de tres estados, cada uno de los cuales tiene un impuesto sobre las ventas diferente. La cantidad total de dinero gastada fue de 100,75 dólares. Sus suministros se compraron con el 5 % de impuestos, los de John con el 8 % y los de su tercer compañero con el 9 % de impuestos. La cantidad total de dinero gastada sin impuestos es de 93,50 dólares. Si sus provisiones antes de impuestos fueron de 1 dólar más de la mitad de lo que fueron las provisiones de su tercer compañero antes de impuestos, ¿cuánto gastaron cada uno de ustedes? Responda con y sin impuestos.

57.

Tres compañeros trabajan en la misma compañía. Sus puestos de trabajo son los de administrador de almacén, gerente de oficina y conductor de camión. La suma de los salarios anuales del administrador de almacén y del gerente de oficina es de 82.000 dólares. El gerente de la oficina gana 4.000 dólares más que el conductor del camión al año. Los salarios anuales del administrador de almacén y del conductor del camión ascienden a 78.000 dólares. ¿Cuál es el salario anual de cada uno de los compañeros de trabajo?

58.

En una feria se recaudaron 2.914,25 dólares al final del día. El costo de la entrada de niño era de 20,50 dólares, la de adulto de 29,75 dólares y la de personas mayores de 15,25 dólares. Asistieron el doble de personas mayores que de adultos y 20 niños más que personas mayores. ¿Cuántas entradas para niños, adultos y personas mayores se vendieron?

59.

Una banda local agota las entradas para su concierto. Venden las 1.175 entradas para una bolsa total de 28.112,50 dólares. Las entradas tenían un precio de 20 dólares para estudiantes, 22,50 dólares para niños y 29 dólares para adultos. Si la banda vendió el doble de entradas para adultos que para niños, ¿cuántas se vendieron de cada tipo?

60.

Un niño tiene 325 monedas en una bolsa, con un valor de 19,50 dólares. Había tres tipos de monedas: de un centavo, de cinco centavos y de diez centavos. Si la bolsa contenía el mismo número de monedas de cinco centavos que de diez, ¿cuántas de cada tipo de moneda había en la bolsa?

61.

El año pasado, en el concesionario Haven's Pond Car Dealership, para modelos específicos de BMW, Jeep y Toyota, uno podía comprar los tres automóviles por un total de 140.000 dólares. Este año, debido a la inflación, los mismos vehículos costarían 151.830 dólares. El costo del BMW aumentó el 8 %, el del Jeep el 5 % y el del Toyota el 12 %. Si el precio del Jeep del año pasado era 7.000 dólares menos que el precio del BMW del año pasado, ¿cuál era el precio de cada uno de los tres automóviles el año pasado?

62.

Cuando su hijo menor se mudó, Deandre vendió su casa e hizo tres inversiones con las ganancias de la venta. Invirtió 80.500 dólares en tres cuentas, una que pagaba un 4 % de interés simple, otra que pagaba 3 1 8 % 3 1 8 % de interés simple y una que pagaba el 2 1 2 % 2 1 2 % de interés simple. Ganó 2.670 dólares de intereses al cabo de un año. Si la cantidad de dinero invertida en la segunda cuenta era cuatro veces superior a la invertida en la tercera, ¿cuánto invirtió en cada cuenta?

63.

Usted hereda un millón de dólares. Lo invierte todo en tres cuentas durante un año. La primera cuenta paga el 3 %3 % compuesto anualmente, la segunda cuenta paga el 4 %4 % compuesto anualmente y la tercera cuenta paga el 2 %2 % compuesto anualmente. Al cabo de un año, gana 34.000 dólares en intereses. Si invierte cuatro veces más dinero en la cuenta que paga el 3 %3 % en comparación con el 3 %3 %, ¿cuánto ha invertido en cada cuenta?

64.

Un empresario vende una parte de su negocio por cien mil dólares y lo invierte todo en tres cuentas durante un año. La primera cuenta paga un 4 %4 % calculado anualmente, la segunda cuenta paga un 3 %3 % calculado anualmente y la tercera cuenta paga un 2 %2 % calculado anualmente. Al cabo de un año, el empresario gana 3.650 dólares en intereses. Si invirtió cinco veces más dinero en la cuenta que paga el 4 %4 % en comparación con el 3 %3 %, ¿cuánto invirtió en cada cuenta?

65.

Los tres primeros países en consumo de petróleo en un año determinado son los siguientes: Estados Unidos, Japón y China. En millones de barriles diarios, los tres primeros países consumieron el 39,8 %39,8 % del petróleo consumido en el mundo. Estados Unidos consumió el 0,7 %0,7 % más que cuatro veces el consumo de China. Estados Unidos consumió el 5 %5 % más que el triple que Japón. ¿Qué porcentaje del consumo mundial de petróleo fue de Estados Unidos, Japón y China?1

66.

Los tres primeros países en producción de petróleo en el mismo año son Arabia Saudita, Estados Unidos y Rusia. En millones de barriles diarios, los tres primeros países produjeron el 31,4 %4 % del petróleo producido en el mundo. Arabia Saudita y Estados Unidos sumaron el 22,1 %22,1 % de la producción mundial, y Arabia Saudita produjo un 2 %2 % más de petróleo que Rusia. ¿Qué porcentaje de la producción mundial de petróleo produjeron Arabia Saudita, Estados Unidos y Rusia?2

67.

Las tres principales fuentes de importación de petróleo para Estados Unidos en el mismo año fueron Arabia Saudita, México y Canadá. Los tres primeros países representan el 47 %47 % de las importaciones de petróleo. Estados Unidos importó de Arabia Saudita un 1,8 %1,8 % más de lo que importó de México y un 1,7 %1,7 % más de lo que importó de Canadá. ¿Qué porcentaje de las importaciones de petróleo de Estados Unidos procedían de estos tres países?3

68.

Los tres principales productores de petróleo de Estados Unidos en un año determinado son el golfo de México, Texas y Alaska. Las tres regiones son responsables del 64 %64 % de la producción de petróleo de Estados Unidos. El golfo de México y Texas combinan el 47 %47 % de la producción de petróleo. Texas produjo el 3 %3 % más que Alaska. ¿Qué porcentaje de la producción de petróleo de Estados Unidos procede de estas regiones?4

69.

En un momento dado, en Estados Unidos, 398 especies de animales estaban en la lista de especies en peligro. Los grupos más importantes son los mamíferos, las aves y los peces, lo cuales representan el 55 %55 % de las especies amenazadas. Las aves representan el 0,7 %0,7 % más que los peces, y estos el 1,5 %1,5 % más que los mamíferos. ¿Qué porcentaje de las especies en peligro de extinción proceden de mamíferos, aves y peces?

70.

El consumo de carne en Estados Unidos se puede dividir en tres categorías: carne roja, aves de corral y pescado. Si el pescado representa el 4 %4 % menos de la cuarta parte del consumo de aves de corral y el consumo de carne roja es el 18,2 %18,2 % mayor que el de aves de corral, ¿cuáles son los porcentajes de consumo de carne?5

Notas a pie de página

  • 1"Reservas, producción y consumo de petróleo en 2001", consultado el 6 de abril de 2014, http://scaruffi.com/politics/oil.html.
  • 2"Reservas, producción y consumo de petróleo en 2001", consultado el 6 de abril de 2014, http://scaruffi.com/politics/oil.html.
  • 3"Reservas, producción y consumo de petróleo en 2001", consultado el 6 de abril de 2014, http://scaruffi.com/politics/oil.html.
  • 4“USA: The coming global oil crisis” (EE. UU.: la próxima crisis mundial del petróleo), consultado el 6 de abril de 2014, http://www.oilcrisis.com/us/.
  • 5“The United States Meat Industry at a Glance”, consultado el 6 de abril de 2014, http://www.meatami.com/ht/d/sp/i/47465/pid/47465.
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