Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Resolver sistemas de tres ecuaciones de tres variables.
Identificar sistemas inconsistentes de ecuaciones que contengan tres variables.
Expresar la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene tres variables.

Figura 1 (Créditos: "Elembis", Wikimedia Commons).

Jordi recibió una herencia de 12.000 dólares que dividió en tres partes e invirtió de tres maneras: en un fondo del mercado monetario que paga un 3 % de interés anual; en bonos municipales que pagan un 4 % de interés anual; y en fondos de inversión que pagan un 7 % de interés anual. Jordi invirtió 4.000 dólares más en fondos municipales que en bonos municipales. Ganó 670 dólares en intereses el primer año. ¿Cuánto invirtió Jordi en cada tipo de fondo?

Comprender el enfoque correcto para plantear problemas como este hace que hallar una solución sea cuestión de seguir un patrón. En esta sección resolveremos este y otros problemas similares que implican tres ecuaciones y tres variables. Para ello se utilizan técnicas parecidas a las que se emplean para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos variables. Sin embargo, dar con las soluciones a los sistemas de tres ecuaciones exige un poco más de organización y un toque de visualización.

Resolución de sistemas de tres ecuaciones de tres variables

Para resolver sistemas de ecuaciones de tres variables, conocidos como sistemas de tres en tres, la principal herramienta que utilizaremos se llama eliminación de Gauss-Jordan, que recibe su nombre del prolífico matemático alemán Karl Friedrich Gauss. Aunque no existe ningún orden definitivo para realizar las operaciones, sí hay directrices específicas sobre el tipo de movimientos que se pueden realizar. Podemos numerar las ecuaciones para llevar la cuenta de los pasos que aplicamos. La meta es eliminar una variable a la vez para lograr la forma triangular superior, la forma ideal para un sistema de tres por tres porque permite volver a sustituir de forma directa para hallar una solución $(x, y, z),$ lo cual llamamos un triple ordenado. Un sistema en forma de triángulo superior tiene el siguiente aspecto:

\begin{array}{l} A x + B y + C c = D \\ E y + F c = G \\ H c = K \end{array}

La tercera ecuación se puede resolver para $c,$ y luego volvemos a sustituir para hallar $y$ y $x .$ Para escribir el sistema en forma triangular superior, podemos realizar las siguientes operaciones:

Intercambie el orden de dos ecuaciones cualesquiera.
Multiplique ambos lados de una ecuación por una constante distinta de cero.
Sume un múltiplo distinto de cero de una ecuación a otra ecuación.

El conjunto de soluciones de un sistema de tres por tres es un triple ordenado ${(x, y, z)} .$ Gráficamente, el triple ordenado define el punto que es la intersección de tres planos en el espacio. Puede visualizar dicha intersección imaginando cualquier esquina de una habitación rectangular. Una esquina está definida por tres planos: dos paredes contiguas y el piso (o el techo). Cualquier punto de encuentro entre dos paredes y el piso representa la intersección de tres planos.

Número de soluciones posibles

La Figura 2 y la Figura 3 ilustran posibles escenarios de solución para sistemas de tres por tres.

Los sistemas que tienen una única solución son aquellos que, tras la eliminación, dan como resultado un conjunto de soluciones formado por un triple ordenado ${(x, y, z)} .$ Gráficamente, el triple ordenado define un punto que es la intersección de tres planos en el espacio.
Los sistemas que tienen un número infinito de soluciones son aquellos que, tras su eliminación, dan como resultado una expresión que siempre es verdadera, como por ejemplo $0 = 0 .$ Gráficamente, un número infinito de soluciones representa una línea o plano coincidente que sirve de intersección de tres planos en el espacio.
Los sistemas que no tienen solución son aquellos que, tras su eliminación, dan como resultado un enunciado que es una contradicción, como por ejemplo $3 = 0 .$ Gráficamente, un sistema sin solución se representa mediante tres planos sin ningún punto en común.

Figura 2 (a) Tres planos se intersecan en un único punto, y representan un sistema de tres por tres con una única solución. (b) Tres planos se intersecan en una línea, y representan un sistema de tres por tres con infinitas soluciones.

Figura 3 Las tres figuras representan sistemas de tres por tres sin solución. (a) Los tres planos se intersecan entre sí, pero no en un punto común. (b) Dos de los planos son paralelos y se intersecan con el tercer plano, pero no entre sí. (c) Los tres planos son paralelos, por lo que no hay punto de intersección.

Ejemplo 1

Determinar si un triple ordenado es una solución para un sistema

Determinar si el triple ordenado $(3, –2, 1)$ es una solución del sistema.

\begin{array}{l} x + y + z = 2 \\ 6 x - 4 y + 5 z = 31 \\ 5 x + 2 y + 2 z = 13 \end{array}

Solución

Comprobaremos cada ecuación sustituyendo los valores del triple ordenado por $x, y,$ y $z .$

$\begin{matrix} \begin{array}{r} x + y + z = 2 \\ (3) + (−2) + (1) = 2 \\ Verdadero \end{array} & \begin{array}{r} 6 x -4 y + 5 z = 31 \\ 6 (3) -4 (−2) + 5 (1) = 31 \\ 18 + 8 + 5 = 31 \\ Verdadero \end{array} & \begin{array}{r} 5 x + 2 y + 2 z = 13 \\ 5 (3) + 2 (−2) + 2 (1) = 13 \\ 15 -4 + 2 = 13 \\ Verdadero \end{array} \end{matrix}$

El triple ordenado $(3, –2, 1)$ es, en efecto, una solución para el sistema.

Cómo

Dado un sistema lineal de tres ecuaciones, resuelva las tres incógnitas.

Escoja cualquier par de ecuaciones y resuelva para una variable.
Elija otro par de ecuaciones y resuelva para la misma variable.
Ha creado un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas. Resuelva el sistema resultante de dos en dos.
Vuelva a sustituir las variables conocidas en cualquiera de las ecuaciones originales y resuelva la variable que falta.

Ejemplo 2

Resolver un sistema de tres ecuaciones de tres variables por eliminación

Halle una solución al siguiente sistema:

\begin{array}{l} x −2 y + 3 z = 9 & (1) \\ - x + 3 y - z = −6 & (2) \\ 2 x −5 y + 5 z = 17 & (3) \end{array}

Solución

Siempre habrá varias opciones por dónde empezar, pero el primer paso más obvio aquí es eliminar $x$ sumando las ecuaciones (1) y (2).

\frac{\begin{array}{l} x - 2 y + 3 z = 9 & (1) \\ - x + 3 y - z = −6 & (2) \end{array}}{\begin{array}{l} y + 2 z = 3 & (3) \end{array}}

El segundo paso es multiplicar la ecuación (1) por $−2$ y añadir el resultado a la ecuación (3). Estos dos pasos eliminarán la variable $x .$

\begin{array}{l} \underset{____________________________________}{\begin{array}{l} −2 x + 4 y - 6 z = -18 & (1) multiplicado por - 2 \\ 2 x - 5 y + 5 z = 17 & (3) \end{array}} \\ - y - z = −1 (5) \end{array}

En las ecuaciones (4) y (5) hemos creado un nuevo sistema de dos por dos. Podemos resolver para $c$ sumando las dos ecuaciones.

\frac{\begin{array}{l} \begin{array}{l} y + 2 z = 3 (4) \end{array} \\ - y - z = - 1 (5) \end{array}}{z = 2 (6)}

Al elegir una ecuación de cada nuevo sistema, obtenemos la forma triangular superior:

\begin{array}{l} x −2 y + 3 z = 9 & (1) \\ y + 2 z = 3 & (4) \\ z = 2 & (6) \end{array}

A continuación, volvemos a sustituir $c = 2$ en la ecuación (4) y resolver para $y .$

\begin{array}{l} y + 2 (2) = 3 \\ y + 4 = 3 \\ y = –1 \end{array}

Por último, podemos volver a sustituir $c = 2$ y $y = −1$ en la ecuación (1). Esto dará la solución para $x .$

\begin{array}{r} x −2 (–1) + 3 (2) = 9 \\ x + 2 + 6 = 9 \\ x = 1 \end{array}

La solución es el triple ordenado $(1, –1, 2) .$ Vea la Figura 4.

Figura 4

Ejemplo 3

Resolución de un problema del mundo real mediante un sistema de tres ecuaciones en tres variables

En el problema planteado al principio de la sección, Jordi invirtió su herencia de 12.000 dólares en tres fondos diferentes: una parte en un fondo del mercado monetario que paga un 3 % de interés anual; otra parte en bonos municipales que pagan un 4 % anual; y el resto en fondos de inversión que pagan un 7 % anual. Jordi invirtió 4.000 dólares más en fondos de inversión que en bonos municipales. El interés total obtenido en un año fue de 670 dólares. ¿Cuánto invirtió en cada tipo de fondo?

Solución

Para resolver este problema, utilizamos toda la información dada y establecemos tres ecuaciones. Primero, asignamos una variable a cada uno de los tres montos de inversión:

\begin{array}{l} x = cantidad invertida en un fondo del mercado monetario \\ y = cantidad invertida en bonos municipales \\ c = cantidad invertida en fondos de inversión \end{array}

La primera ecuación indica que la suma de los tres montos principales es de 12.000 dólares.

x + y + z = 12.000

Formamos la segunda ecuación según la información de que Jordi invirtió 4.000 dólares más en fondos de inversión que en bonos municipales.

z = y + 4.000

La tercera ecuación muestra que el monto total de los intereses obtenidos de cada fondo es igual a 670 dólares.

0,03 x + 0,04 y + 0,07 c = 670

Entonces, escribimos las tres ecuaciones como un sistema.

\begin{array}{l} x + y + z = 12.000 \\ - y + z = 4.000 \\ 0,03 x + 0,04 y + 0,07 c = 670 \end{array}

Para simplificar los cálculos, podemos multiplicar la tercera ecuación por 100. Por lo tanto,

\begin{array}{l} x + y + z = 12.000 & (1) \\ - y + z = 4.000 & (2) \\ 3 x + 4 y + 7 z = 67.000 & (3) \end{array}

Paso 1. Intercambie la ecuación (2) y la ecuación (3) para que las dos ecuaciones de tres variables se alineen.

\begin{array}{l} x + y + z = 12.000 \\ 3 x + 4 y + 7 z = 67.000 \\ - y + z = 4.000 \end{array}

Paso 2. Multiplique la ecuación (1) por $−3$ y súmela a la ecuación (2). Escriba el resultado como fila 2.

\begin{array}{l} x + y + z = 12.000 \\ y + 4 z = 31.000 \\ - y + z = 4.000 \end{array}

Paso 3. Sume la ecuación (2) a la ecuación (3) y escriba el resultado como ecuación (3).

\begin{array}{l} x + y + z = 12.000 \\ y + 4 z = 31.000 \\ 5 z = 35.000 \end{array}

Paso 4. Resuelva para $c$ en la ecuación (3). Vuelva a sustituir ese valor en la ecuación (2) y resuelva $y .$ A continuación, vuelva a sustituir los valores de $c$ y $y$ en la ecuación (1) y resuelva para $x .$

\begin{array}{l} 5 z = 35.000 \\ c = 7.000 \\ y + 4 (7.000) = 31.000 \\ y = 3.000 \\ x + 3.000 + 7.000 = 12.000 \\ x = 2.000 \end{array}

Jordi invirtió 2.000 dólares en un fondo del mercado monetario, 3.000 en bonos municipales y 7.000 en fondos de inversión.

Inténtelo #1

Resuelva el sistema de ecuaciones de tres variables.

\begin{array}{l} 2 x + y −2 c = −1 \\ 3 x −3 y - z = 5 \\ x −2 y + 3 z = 6 \end{array}

Identificación de sistemas inconsistentes de ecuaciones que contienen tres variables

Al igual que con los sistemas de ecuaciones en dos variables, podemos encontrarnos con un sistema de ecuaciones inconsistente en tres variables, lo que significa que no tiene una solución que satisfaga las tres ecuaciones. Las ecuaciones pueden representar tres planos paralelos, dos planos paralelos y un plano de intersección, o tres planos que se cruzan con los otros dos pero no en el mismo lugar. El proceso de eliminación dará como resultado un enunciado falso, como por ejemplo $3 = 7$ o alguna otra contradicción.

Ejemplo 4

Resolver un sistema inconsistente de tres ecuaciones de tres variables

Resuelva el siguiente sistema.

\begin{array}{l} x −3 y + z = 4 & (1) \\ - x + 2 y −5 c = 3 & (2) \\ 5 x -13 y + 13 c = 8 & (3) \end{array}

Solución

Al observar los coeficientes de $x,$ podemos ver que podemos eliminar la $x$ sumando la ecuación (1) a la ecuación (2).

\frac{\begin{array}{l} x −3 y + z = 4 (1) \\ - x + 2 y −5 c = 3 (2) \end{array}}{- y -4 c = 7 (4)}

A continuación, multiplicamos la ecuación (1) por $−5$ y la sumamos a la ecuación (3).

\begin{array}{l} \underset{______________________________________}{\begin{array}{l} - 5 x + 15 y - 5 z = -20 & (1) multiplicado por −5 \\ 5 x - 13 y + 13 c = 8 & (3) \end{array}} \\ \begin{array}{l} 2 y + 8 z = −12 & (5) \end{array} \end{array}

A continuación, multiplicamos la ecuación (4) por 2 y la sumamos a la ecuación (5).

\begin{array}{l} \underset{_______________________________________}{\begin{array}{l} −2 y - 8 z = 14 (4) multiplicado por 2 \\ 2 y + 8 z = - 12 (5) \end{array}} \\ 0 = 2 \end{array}

La ecuación final $0 = 2$ es una contradicción, por lo que concluimos que el sistema de ecuaciones en inconsistente y, por tanto, no tiene solución.

Análisis

En este sistema, cada plano se interseca con los otros dos, pero no en el mismo lugar. Por lo tanto, el sistema es inconsistente.

Inténtelo #2

Resuelva el sistema de tres ecuaciones de tres variables.

\begin{array}{l} x + y + z = 2 \\ y −3 c = 1 \\ 2 x + y + 5 z = 0 \end{array}

Expresión de la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene tres variables

Sabemos por haber trabajado con sistemas de ecuaciones con dos variables que un sistema de ecuaciones dependiente tiene un número infinito de soluciones. Lo mismo ocurre con los sistemas dependientes de ecuaciones de tres variables. De varias situaciones puede resultar un número infinito de soluciones. Los tres planos pueden ser iguales, de modo que la solución de una ecuación será la solución de las otras dos ecuaciones. Las tres ecuaciones podrían ser diferentes, pero se intersecan en una línea, lo cual tiene infinitas soluciones. O bien, dos de las ecuaciones podrían ser iguales e intersecar a la tercera en una línea.

Ejemplo 5

Hallar la solución de un sistema de ecuaciones dependiente

Halle la solución del sistema de tres ecuaciones de tres variables dado.

\begin{array}{r} 2 x + y −3 c = 0 & (1) \\ 4 x + 2 y −6 c = 0 & (2) \\ x - y + z = 0 & (3) \end{array}

Solución

Primero, podemos multiplicar la ecuación (1) por $−2$ y sumarla a la ecuación (2).

\begin{array}{l} \underset{____________________________________________}{\begin{array}{l} -4 x −2 y + 6 z = 0 ecuación (1) multiplicado por −2 \\ ​ ​ ​ ​ 4 x + 2 y −6 c = 0 (2) \end{array}} \\ 0 = 0 \end{array}

No es necesario seguir adelante. El resultado que obtenemos es una identidad, $0 = 0,$ lo que nos dice que este sistema tiene un número infinito de soluciones. Hay otras formas de empezar a resolver este sistema, como multiplicar la ecuación (3) por $−2,$ y sumarla a la ecuación (1). A continuación, realizamos los mismos pasos que en el caso anterior y hallamos el mismo resultado, $0 = 0 .$

Cuando un sistema es dependiente, podemos hallar expresiones generales para las soluciones. Al sumar las ecuaciones (1) y (3), tenemos

\begin{array}{l} \underset{_____________}{\begin{array}{l} \begin{array}{l} 2 x + y −3 c = 0 \end{array} \\ x - y + z = 0 \end{array}} \\ 3 x −2 c = 0 \end{array}

A continuación, resolvemos la ecuación resultante para $c .$

\begin{array}{l} 3 x −2 c = 0 \\ z = \frac{3}{2} x \end{array}

Volvemos a sustituir la expresión de $c$ en una de las ecuaciones y resolvemos para $y .$

\begin{array}{l} 2 x + y - 3 (\frac{3}{2} x) = 0 \\ 2 x + y - \frac{9}{2} x = 0 \\ y = \frac{9}{2} x - 2 x \\ y = \frac{5}{2} x \end{array}

Así que la solución general es $(x, \frac{5}{2} x, \frac{3}{2} x) .$ En esta solución, $x$ puede ser cualquier número real. Los valores de $y$ y de $c$ dependen del valor seleccionado para $x .$

Análisis

Como se muestra en la Figura 5, dos de los planos son iguales y se intersecan con el tercer plano en una línea. El conjunto de soluciones es infinito, ya que todos los puntos a lo largo de la línea de intersección satisfacen las tres ecuaciones.

Figura 5

Preguntas y respuestas

¿La solución genérica de un sistema dependiente se debe escribir siempre en términos de $x ?$

No, se puede escribir la solución genérica en términos de cualquiera de las variables, pero es común escribirla en términos de x, y si es necesario $x$ como $y .$

Inténtelo #3

Resuelva el siguiente sistema.

\begin{array}{l} x + y + z = 7 \\ 3 x - 2 y - z = 4 \\ x + 6 y + 5 z = 24 \end{array}

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar sistemas de ecuaciones de tres variables.

9.2 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Un sistema lineal de tres ecuaciones puede tener exactamente dos soluciones? Explique por qué sí o por qué no

2.

Si un triple ordenado resuelve el sistema de ecuaciones, ¿es esa solución única? Si es así, explique por qué. Si no es así, ponga un ejemplo en el que no sea único.

3.

Si un triple ordenado dado no resuelve el sistema de ecuaciones, ¿no hay solución? Si es así, explique por qué. Si no es así, dé un ejemplo.

4.

Al utilizar el método de la adición, ¿hay una sola forma de resolver el sistema?

5.

¿Puede explicar si solo puede haber un método para resolver un sistema lineal de ecuaciones? Si la respuesta es afirmativa, dé un ejemplo de un sistema de ecuaciones de este tipo. Si no, explique por qué no.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si el triple ordenado dado es la solución del sistema de ecuaciones.

6.

$\begin{array}{l} 2 x −6 y + 6 z = −12 \\ x + 4 y + 5 z = −1 \\ - x + 2 y + 3 z = –1 \end{array}$ y $(0, 1, –1)$

7.

$\begin{array}{l} 6 x - y + 3 z = 6 \\ 3 x + 5 y + 2 z = 0 \\ x + y = 0 \end{array}$ y $(3, −3, −5)$

8.

$\begin{array}{l} 6 x −7 y + z = 2 \\ - x - y + 3 z = 4 \\ 2 x + y - z = 1 \end{array}$ y $(4, 2, –6)$

9.

$\begin{array}{l} x - y = 0 \\ x - z = 5 \\ x - y + z = –1 \end{array}$ y $(4, 4, –1)$

10.

$\begin{array}{l} x - y + 2 z = 3 \\ 5 x + 8 y −3 c = 4 \\ - x + 3 y −5 c = −5 \end{array}$ y $(4, 1, –7)$

En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por eliminación.

11.

$\begin{array}{l} 3 x -4 y + 2 z = −15 \\ 2 x + 4 y + z = 16 \\ 2 x + 3 y + 5 z = 20 \end{array}$

12.

$\begin{array}{l} 5 x −2 y + 3 z = 20 \\ 2 x -4 y −3 c = –9 \\ x + 6 y −8 c = 21 \end{array}$

13.

$\begin{array}{l} 5 x + 2 y + 4 z = 9 \\ −3 x + 2 y + z = 10 \\ 4 x −3 y + 5 z = −3 \end{array}$

14.

$\begin{array}{l} 4 x −3 y + 5 z = 31 \\ - x + 2 y + 4 z = 20 \\ x + 5 y −2 c = −29 \end{array}$

15.

$\begin{array}{l} 5 x −2 y + 3 z = 4 \\ -4 x + 6 y −7 c = −1 \\ 3 x + 2 y - z = 4 \end{array}$

16.

$\begin{array}{l} 4 x + 6 y + 9 z = 0 \\ −5 x + 2 y −6 c = 3 \\ 7 x -4 y + 3 z = −3 \end{array}$

En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por eliminación de Gauss-Jordan.

17.

$\begin{array}{l} 2 x - y + 3 z = 17 \\ −5 x + 4 y −2 c = -46 \\ 2 y + 5 z = −7 \end{array}$

18.

$\begin{array}{l} 5 x −6 y + 3 z = 50 \\ - x + 4 y = 10 \\ 2 x - z = 10 \end{array}$

19.

$\begin{array}{l} 2 x + 3 y −6 c = 1 \\ -4 x −6 y + 12 c = –2 \\ x + 2 y + 5 z = 10 \end{array}$

20.

$\begin{array}{l} 4 x + 6 y −2 c = 8 \\ 6 x + 9 y −3 c = 12 \\ −2 x −3 y + z = –4 \end{array}$

21.

$\begin{array}{l} 2 x + 3 y -4 c = 5 \\ −3 x + 2 y + z = 11 \\ - x + 5 y + 3 z = 4 \end{array}$

22.

$\begin{array}{l} 10 x + 2 y −14 c = 8 \\ −x −2 y -4 c = −1 \\ −12 x −6 y + 6 z = −12 \end{array}$

23.

$\begin{array}{l} x + y + z = 14 \\ 2 y + 3 z = −14 \\ −16 y −24 c = –112 \end{array}$

24.

$\begin{array}{l} 5 x −3 y + 4 z = −1 \\ -4 x + 2 y −3 c = 0 \\ −x + 5 y + 7 z = −11 \end{array}$

25.

$\begin{array}{l} x + y + z = 0 \\ 2 x - y + 3 z = 0 \\ x - z = 0 \end{array}$

26.

$\begin{array}{l} 3 x + 2 y −5 c = 6 \\ 5 x -4 y + 3 z = −12 \\ 4 x + 5 y −2 c = 15 \end{array}$

27.

$\begin{array}{l} x + y + z = 0 \\ 2 x - y + 3 z = 0 \\ x - z = 1 \end{array}$

28.

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 3 x - \frac{1}{2} y - z = - \frac{1}{2} \end{array} \\ 4 x + z = 3 \\ - x + \frac{3}{2} y = \frac{5}{2} \end{array}$

29.

$\begin{array}{l} 6 x −5 y + 6 z = 38 \\ \frac{1}{5} x - \frac{1}{2} y + \frac{3}{5} z = 1 \\ -4 x - \frac{3}{2} y - z = -74 \end{array}$

30.

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} x - \frac{1}{5} y + \frac{2}{5} z = - \frac{13}{10} \\ \frac{1}{4} x - \frac{2}{5} y - \frac{1}{5} z = - \frac{7}{20} \\ - \frac{1}{2} x - \frac{3}{4} y - \frac{1}{2} z = - \frac{5}{4} \end{array}$

31.

$\begin{array}{l} - \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} z = \frac{3}{4} \\ - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} y - \frac{1}{2} z = 2 \\ - \frac{1}{4} x - \frac{3}{4} y - \frac{1}{2} z = - \frac{1}{2} \end{array}$

32.

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} y + \frac{3}{4} z = 0 \\ \frac{1}{4} x - \frac{1}{10} y + \frac{2}{5} z = −2 \\ \frac{1}{8} x + \frac{1}{5} y - \frac{1}{8} z = 2 \end{array}$

33.

$\begin{array}{l} \frac{4}{5} x - \frac{7}{8} y + \frac{1}{2} z = 1 \\ - \frac{4}{5} x - \frac{3}{4} y + \frac{1}{3} z = −8 \\ - \frac{2}{5} x - \frac{7}{8} y + \frac{1}{2} z = −5 \end{array}$

34.

$\begin{array}{l} - \frac{1}{3} x - \frac{1}{8} y + \frac{1}{6} z = - \frac{4}{3} \\ - \frac{2}{3} x - \frac{7}{8} y + \frac{1}{3} z = - \frac{23}{3} \\ - \frac{1}{3} x - \frac{5}{8} y + \frac{5}{6} z = 0 \end{array}$

35.

$\begin{array}{l} - \frac{1}{4} x - \frac{5}{4} y + \frac{5}{2} z = −5 \\ - \frac{1}{2} x - \frac{5}{3} y + \frac{5}{4} z = \frac{55}{12} \\ - \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} y + \frac{1}{3} z = \frac{5}{3} \end{array}$

36.

$\begin{array}{l} \frac{1}{40} x + \frac{1}{60} y + \frac{1}{80} c = \frac{1}{100} \\ - \frac{1}{2} x - \frac{1}{3} y - \frac{1}{4} z = - \frac{1}{5} \\ \frac{3}{8} x + \frac{3}{12} y + \frac{3}{16} c = \frac{3}{20} \end{array}$

37.

$\begin{array}{l} 0,1 x -0,2 y + 0,3 c = 2 \\ 0,5 x -0,1 y + 0,4 c = 8 \\ 0,7 x -0,2 y + 0,3 c = 8 \end{array}$

38.

$\begin{array}{l} 0,2 x + 0,1 y -0,3 c = 0,2 \\ 0,8 x + 0,4 y -1,2 c = 0,1 \\ 1,6 x + 0,8 y −2,4 c = 0,2 \end{array}$

39.

$\begin{array}{l} 1,1 x + 0,7 y -3,1 c = -1,79 \\ 2,1 x + 0,5 y -1,6 c = -0,13 \\ 0,5 x + 0,4 y -0,5 c = -0,07 \end{array}$

40.

$\begin{array}{l} 0,5 x -0,5 y + 0,5 c = 10 \\ 0,2 x -0,2 y + 0,2 c = 4 \\ 0,1 x -0,1 y + 0,1 c = 2 \end{array}$

41.

$\begin{array}{l} 0,1 x + 0,2 y + 0,3 c = 0,37 \\ 0,1 x -0,2 y -0,3 c = -0,27 \\ 0,5 x -0,1 y -0,3 c = -0,03 \end{array}$

42.

$\begin{array}{l} 0,5 x -0,5 y -0,3 c = 0,13 \\ 0,4 x -0,1 y -0,3 c = 0,11 \\ 0,2 x -0,8 y -0,9 c = -0,32 \end{array}$

43.

$\begin{array}{l} 0,5 x + 0,2 y -0,3 c = 1 \\ 0,4 x -0,6 y + 0,7 c = 0,8 \\ 0,3 x -0,1 y -0,9 c = 0,6 \end{array}$

44.

$\begin{array}{l} 0,3 x + 0,3 y + 0,5 c = 0,6 \\ 0,4 x + 0,4 y + 0,4 c = 1,8 \\ 0,4 x + 0,2 y + 0,1 c = 1,6 \end{array}$

45.

$\begin{array}{l} 0,8 x + 0,8 y + 0,8 c = 2,4 \\ 0,3 x -0,5 y + 0,2 c = 0 \\ 0,1 x + 0,2 y + 0,3 c = 0,6 \end{array}$

Extensiones

En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema para $x, y,$ y $z .$

46.

$\begin{array}{l} x + y + z = 3 \\ \frac{x −1}{2} + \frac{y −3}{2} + \frac{z + 1}{2} = 0 \\ \frac{x −2}{3} + \frac{y + 4}{3} + \frac{c −3}{3} = \frac{2}{3} \end{array}$

47.

$\begin{array}{l} 5 x −3 y - \frac{z + 1}{2} = \frac{1}{2} \\ 6 x + \frac{y −9}{2} + 2 z = −3 \\ \frac{x + 8}{2} -4 y + z = 4 \end{array}$

48.

$\begin{array}{l} \frac{x + 4}{7} - \frac{y −1}{6} + \frac{z + 2}{3} = 1 \\ \frac{x −2}{4} + \frac{y + 1}{8} - \frac{z + 8}{12} = 0 \\ \frac{x + 6}{3} - \frac{y + 2}{3} + \frac{z + 4}{2} = 3 \end{array}$

49.

$\begin{array}{l} \frac{x −3}{6} + \frac{y + 2}{2} - \frac{c −3}{3} = 2 \\ \frac{x + 2}{4} + \frac{y −5}{2} + \frac{z + 4}{2} = 1 \\ \frac{x + 6}{2} - \frac{y −3}{2} + z + 1 = 9 \end{array}$

50.

$\begin{array}{l} \frac{x −1}{3} + \frac{y + 3}{4} + \frac{z + 2}{6} = 1 \\ 4 x + 3 y −2 c = 11 \\ 0,02 x + 0,015 y -0,01 c = 0,065 \end{array}$

Aplicaciones en el mundo real

51.

Tres números pares suman 108. El menor es la mitad del mayor y el número del medio es $\frac{3}{4}$ del número mayor. ¿Cuáles son los tres números?

52.

Tres números suman 147. El número más pequeño es la mitad del número medio, el cual es la mitad del número más grande. ¿Cuáles son los tres números?

53.

En una reunión familiar, solo asistieron parientes de sangre, compuestos por hijos, padres y abuelos. Había 400 personas en total. Había el doble de padres que de abuelos y 50 niños más que padres. ¿Cuántos niños, padres y abuelos asistieron?

54.

Un refugio de animales tiene un total de 350 animales entre gatos, perros y conejos. Si el número de conejos es 5 menos que la mitad del número de gatos, y hay 20 gatos más que perros, ¿cuántos de cada animal hay en el refugio?

55.

Su compañera de cuarto, Shani, se ofreció a comprar alimentos para usted y su otro compañero de cuarto. La factura total fue de 82 dólares. Se olvidó de guardar los recibos individuales, pero se acordó de que los alimentos de usted eran 0,05 dólares más baratos que la mitad de los de ella, y que los de su otro compañero de vivienda eran 2,10 dólares más que los de usted. ¿A cuánto asciende la parte de la compra de cada uno?

56.

Su compañero de piso, John, se ofreció a comprar material doméstico para usted y su otro compañero. Usted vive cerca de la frontera de tres estados, cada uno de los cuales tiene un impuesto sobre las ventas diferente. La cantidad total de dinero gastada fue de 100,75 dólares. Sus suministros se compraron con el 5 % de impuestos, los de John con el 8 % y los de su tercer compañero con el 9 % de impuestos. La cantidad total de dinero gastada sin impuestos es de 93,50 dólares. Si sus provisiones antes de impuestos fueron de 1 dólar más de la mitad de lo que fueron las provisiones de su tercer compañero antes de impuestos, ¿cuánto gastaron cada uno de ustedes? Responda con y sin impuestos.

57.

Tres compañeros trabajan en la misma compañía. Sus puestos de trabajo son los de administrador de almacén, gerente de oficina y conductor de camión. La suma de los salarios anuales del administrador de almacén y del gerente de oficina es de 82.000 dólares. El gerente de la oficina gana 4.000 dólares más que el conductor del camión al año. Los salarios anuales del administrador de almacén y del conductor del camión ascienden a 78.000 dólares. ¿Cuál es el salario anual de cada uno de los compañeros de trabajo?

58.

En una feria se recaudaron 2.914,25 dólares al final del día. El costo de la entrada de niño era de 20,50 dólares, la de adulto de 29,75 dólares y la de personas mayores de 15,25 dólares. Asistieron el doble de personas mayores que de adultos y 20 niños más que personas mayores. ¿Cuántas entradas para niños, adultos y personas mayores se vendieron?

59.

Una banda local agota las entradas para su concierto. Venden las 1.175 entradas para una bolsa total de 28.112,50 dólares. Las entradas tenían un precio de 20 dólares para estudiantes, 22,50 dólares para niños y 29 dólares para adultos. Si la banda vendió el doble de entradas para adultos que para niños, ¿cuántas se vendieron de cada tipo?

60.

Un niño tiene 325 monedas en una bolsa, con un valor de 19,50 dólares. Había tres tipos de monedas: de un centavo, de cinco centavos y de diez centavos. Si la bolsa contenía el mismo número de monedas de cinco centavos que de diez, ¿cuántas de cada tipo de moneda había en la bolsa?

61.

El año pasado, en el concesionario Haven's Pond Car Dealership, para modelos específicos de BMW, Jeep y Toyota, uno podía comprar los tres automóviles por un total de 140.000 dólares. Este año, debido a la inflación, los mismos vehículos costarían 151.830 dólares. El costo del BMW aumentó el 8 %, el del Jeep el 5 % y el del Toyota el 12 %. Si el precio del Jeep del año pasado era 7.000 dólares menos que el precio del BMW del año pasado, ¿cuál era el precio de cada uno de los tres automóviles el año pasado?

62.

Cuando su hijo menor se mudó, Deandre vendió su casa e hizo tres inversiones con las ganancias de la venta. Invirtió 80.500 dólares en tres cuentas, una que pagaba un 4 % de interés simple, otra que pagaba $3 \frac{1}{8} %$ de interés simple y una que pagaba el $2 \frac{1}{2} %$ de interés simple. Ganó 2.670 dólares de intereses al cabo de un año. Si la cantidad de dinero invertida en la segunda cuenta era cuatro veces superior a la invertida en la tercera, ¿cuánto invirtió en cada cuenta?

63.

Usted hereda un millón de dólares. Lo invierte todo en tres cuentas durante un año. La primera cuenta paga el $3 %$ compuesto anualmente, la segunda cuenta paga el $4 %$ compuesto anualmente y la tercera cuenta paga el $2 %$ compuesto anualmente. Al cabo de un año, gana 34.000 dólares en intereses. Si invierte cuatro veces más dinero en la cuenta que paga el $3 %$ en comparación con el $3 %$ , ¿cuánto ha invertido en cada cuenta?

64.

Un empresario vende una parte de su negocio por cien mil dólares y lo invierte todo en tres cuentas durante un año. La primera cuenta paga un $4 %$ calculado anualmente, la segunda cuenta paga un $3 %$ calculado anualmente y la tercera cuenta paga un $2 %$ calculado anualmente. Al cabo de un año, el empresario gana 3.650 dólares en intereses. Si invirtió cinco veces más dinero en la cuenta que paga el $4 %$ en comparación con el $3 %$ , ¿cuánto invirtió en cada cuenta?

65.

Los tres primeros países en consumo de petróleo en un año determinado son los siguientes: Estados Unidos, Japón y China. En millones de barriles diarios, los tres primeros países consumieron el $39,8 %$ del petróleo consumido en el mundo. Estados Unidos consumió el $0,7 %$ más que cuatro veces el consumo de China. Estados Unidos consumió el $5 %$ más que el triple que Japón. ¿Qué porcentaje del consumo mundial de petróleo fue de Estados Unidos, Japón y China?¹

66.

Los tres primeros países en producción de petróleo en el mismo año son Arabia Saudita, Estados Unidos y Rusia. En millones de barriles diarios, los tres primeros países produjeron el 31, $4 %$ del petróleo producido en el mundo. Arabia Saudita y Estados Unidos sumaron el $22,1 %$ de la producción mundial, y Arabia Saudita produjo un $2 %$ más de petróleo que Rusia. ¿Qué porcentaje de la producción mundial de petróleo produjeron Arabia Saudita, Estados Unidos y Rusia?²

67.

Las tres principales fuentes de importación de petróleo para Estados Unidos en el mismo año fueron Arabia Saudita, México y Canadá. Los tres primeros países representan el $47 %$ de las importaciones de petróleo. Estados Unidos importó de Arabia Saudita un $1,8 %$ más de lo que importó de México y un $1,7 %$ más de lo que importó de Canadá. ¿Qué porcentaje de las importaciones de petróleo de Estados Unidos procedían de estos tres países?³

68.

Los tres principales productores de petróleo de Estados Unidos en un año determinado son el golfo de México, Texas y Alaska. Las tres regiones son responsables del $64 %$ de la producción de petróleo de Estados Unidos. El golfo de México y Texas combinan el $47 %$ de la producción de petróleo. Texas produjo el $3 %$ más que Alaska. ¿Qué porcentaje de la producción de petróleo de Estados Unidos procede de estas regiones?⁴

69.

En un momento dado, en Estados Unidos, 398 especies de animales estaban en la lista de especies en peligro. Los grupos más importantes son los mamíferos, las aves y los peces, lo cuales representan el $55 %$ de las especies amenazadas. Las aves representan el $0,7 %$ más que los peces, y estos el $1,5 %$ más que los mamíferos. ¿Qué porcentaje de las especies en peligro de extinción proceden de mamíferos, aves y peces?

70.

El consumo de carne en Estados Unidos se puede dividir en tres categorías: carne roja, aves de corral y pescado. Si el pescado representa el $4 %$ menos de la cuarta parte del consumo de aves de corral y el consumo de carne roja es el $18,2 %$ mayor que el de aves de corral, ¿cuáles son los porcentajes de consumo de carne?⁵

Notas a pie de página

1"Reservas, producción y consumo de petróleo en 2001", consultado el 6 de abril de 2014, http://scaruffi.com/politics/oil.html.
2"Reservas, producción y consumo de petróleo en 2001", consultado el 6 de abril de 2014, http://scaruffi.com/politics/oil.html.
3"Reservas, producción y consumo de petróleo en 2001", consultado el 6 de abril de 2014, http://scaruffi.com/politics/oil.html.
4“USA: The coming global oil crisis” (EE. UU.: la próxima crisis mundial del petróleo), consultado el 6 de abril de 2014, http://www.oilcrisis.com/us/.
5“The United States Meat Industry at a Glance”, consultado el 6 de abril de 2014, http://www.meatami.com/ht/d/sp/i/47465/pid/47465.

9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables

Resolución de sistemas de tres ecuaciones de tres variables

Determinar si un triple ordenado es una solución para un sistema

Solución

Resolver un sistema de tres ecuaciones de tres variables por eliminación

Solución

Resolución de un problema del mundo real mediante un sistema de tres ecuaciones en tres variables

Solución

Identificación de sistemas inconsistentes de ecuaciones que contienen tres variables

Resolver un sistema inconsistente de tres ecuaciones de tres variables

Solución

Análisis

Expresión de la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene tres variables

Hallar la solución de un sistema de ecuaciones dependiente

Solución

Análisis

9.2 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Extensiones

Aplicaciones en el mundo real

Notas a pie de página