9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables

Introducción a los sistemas de ecuaciones

Para investigar situaciones como la del fabricante de patinetas, tenemos que reconocer que estamos tratando con más de una variable y probablemente con más de una ecuación. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. Para dar con la solución única de un sistema de ecuaciones lineales, debemos hallar un valor numérico para cada variable del sistema que satisfaga todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo. Algunos sistemas lineales pueden no tener solución y otros pueden tener un número infinito de soluciones. Para que un sistema lineal tenga una solución única, debe haber, al menos, tantas ecuaciones como variables. Aun así, esto no garantiza una solución única.

En esta sección veremos los sistemas de ecuaciones lineales en dos variables, lo cual consiste en dos ecuaciones que contienen dos variables diferentes. Por ejemplo, considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos variables.

La solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es cualquier par ordenado que satisface cada ecuación de forma independiente. En este ejemplo, el par ordenado (4, 7) es la solución del sistema de ecuaciones lineales. Podemos verificar la solución sustituyendo los valores en cada ecuación para ver si el par ordenado satisface ambas ecuaciones. En breve, investigaremos métodos para hallar esa solución, si es que existe.

Además de considerar el número de ecuaciones y variables, clasificamos los sistemas de ecuaciones lineales por el número de soluciones. Un sistema consistente de ecuaciones tiene, al menos, una solución. Se considera que un sistema consistente es un sistema independiente si tiene una única solución, como el ejemplo que acabamos de explorar. Las dos líneas tienen pendientes diferentes y se intersecan en un punto del plano. Se considera que un sistema consistente es un sistema dependiente si las ecuaciones tienen la misma pendiente y las mismas intersecciones en y. En otras palabras, las líneas coinciden, por lo que las ecuaciones representan la misma línea. Cada punto de la línea representa un par de coordenadas que satisface el sistema. Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones.

Otro tipo de sistema de ecuaciones lineales es un sistema inconsistente, que es aquel en el que las ecuaciones representan dos líneas paralelas. Las líneas tienen la misma pendiente y diferentes intersecciones en y. No hay puntos comunes a ambas líneas; por lo tanto, no hay solución al sistema.

Tipos de sistemas lineales

Hay tres tipos de sistemas de ecuaciones lineales en dos variables, y tres tipos de soluciones.

• Un sistema independiente tiene exactamente un par de soluciones $\left(x,y\right).$ El punto de intersección de las dos líneas es la única solución.
• Un sistema inconsistente no tiene solución. Observe que las dos líneas son paralelas y nunca se intersecan.
• Un sistema dependiente tiene infinitas soluciones. Las líneas son coincidentes. Son la misma línea, por lo que cada par de coordenadas de la línea es una solución de ambas ecuaciones.

En la Figura 2 se comparan las representaciones gráficas de cada tipo de sistema.

Figura 2

Ejemplo 1

Cómo determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de ecuaciones

Determine si el par ordenado $\left(5,1\right)$ es una solución del sistema de ecuaciones dado.

$$\begin{array}{l}x+3y=8\hfill \\ 2x-9=y\hfill \end{array}$$

Solución

Sustituya el par ordenado $\left(5,1\right)$ en ambas ecuaciones.

$$\begin{array}{ll}(5)+3(1)=8\hfill & \hfill \\ 8=8\hfill & \text{Verdadero}\hfill \\ 2(5)-9=(1)\hfill & \hfill \\ \text{1 = 1}\hfill & \text{Verdadero}\hfill \end{array}$$

El par ordenado $\left(5,1\right)$ satisface ambas ecuaciones, por lo que es la solución del sistema.

Análisis

Podemos ver claramente la solución al trazar el gráfico de cada ecuación. Como la solución es un par ordenado que satisface ambas ecuaciones, es un punto en ambas líneas y, por tanto, el punto de intersección de las dos líneas. Vea la Figura 3.

Figura 3

Resolver sistemas de ecuaciones mediante un gráfico

Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para un sistema de ecuaciones lineales en dos variables, podemos determinar tanto el tipo de sistema como la solución al graficar el sistema de ecuaciones en el mismo conjunto de ejes.

Ejemplo 2

Resolución de un sistema de ecuaciones de dos variables mediante un gráfico

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones mediante un gráfico. Identifique el tipo de sistema.

$$\begin{array}{c}2x+y=\mathrm{-8}\\ x-y=\mathrm{–1}\end{array}$$

Solución

Resuelva la primera ecuación para $y.$

$$\begin{array}{c}2x+y=\mathrm{-8}\\ y=\mathrm{–2}x\mathrm{-8}\end{array}$$

Resuelva la segunda ecuación para $y.$

$$\begin{array}{c}x-y=\mathrm{-1}\\ y=x+1\end{array}$$

Grafique ambas ecuaciones en el mismo conjunto de ejes que en la Figura 4.

Figura 4

Las líneas parecen intersecarse en el punto $\left(\mathrm{-3,}\mathrm{-2}\right).$ Podemos comprobar que esta es la solución del sistema al sustituir el par ordenado en ambas ecuaciones.

$$\begin{array}{ll}2(\mathrm{-3})+(\mathrm{-2})=\mathrm{-8}\hfill & \hfill \\ \mathrm{-8}=\mathrm{-8}\hfill & \text{Verdadero}\hfill \\ (\mathrm{-3})-(\mathrm{-2})=\mathrm{-1}\hfill & \hfill \\ \mathrm{-1}=\mathrm{-1}\hfill & \text{Verdadero}\hfill \end{array}$$

La solución del sistema es el par ordenado $\left(\mathrm{-3,}\mathrm{-2}\right),$ para que el sistema sea independiente.

Resolver sistemas de ecuaciones por sustitución

Resolver un sistema lineal de dos variables mediante un gráfico funciona cuando la solución está formada por valores enteros. Sin embargo, si nuestra solución contiene decimales o fracciones, no es el método más preciso. Consideraremos dos métodos más para resolver un sistema de ecuaciones lineales que son más precisos que el gráfico. Uno de estos métodos es la resolución de un sistema de ecuaciones por el método de método de sustitución, en el que resolvemos una de las ecuaciones para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver la segunda variable. Recordemos que solo podemos resolver para una variable a la vez, que es la razón por la que el método de sustitución es valioso y práctico.

Resolución de sistemas de ecuaciones de dos variables por el método de la suma

Un tercer método para resolver sistemas de ecuaciones lineales es el método de adición. En este método, sumamos dos términos con la misma variable, pero con coeficientes opuestos, para que la suma sea cero. Por supuesto, no todos los sistemas se establecen con los dos términos de una variable con coeficientes opuestos. A menudo, debemos ajustar una o las dos ecuaciones mediante multiplicación para que una de las variables se elimine con adición.

Ejemplo 4

Resolver un sistema por el método de adición

Resuelva el sistema de ecuaciones dado por adición.

$$\begin{array}{l}x+2y=\mathrm{-1}\hfill \\ -x+y=3\hfill \end{array}$$

Solución

Ambas ecuaciones ya están ajustadas a una constante. Observe que el coeficiente de $x$ en la segunda ecuación, –1, es el opuesto al coeficiente de $x$ en la primera ecuación, 1. Podemos sumar las dos ecuaciones para eliminar $x$ sin necesidad de multiplicar por una constante.

$$\frac{\begin{array}{l}\hfill \\ x+2y=-1\hfill \\ -x+y=3\hfill \end{array}}{3y=2}$$

Ahora que hemos eliminado $x,$ podemos resolver la ecuación resultante para $y.$

$$\begin{array}{l}3y=2\hfill \\ y=\frac{2}{3}\hfill \end{array}$$

A continuación, sustituya este valor por $y$ en una de las ecuaciones originales y resuelva para $x.$

$$\begin{array}{l}-x+y=3\hfill \\ -x+\frac{2}{3}=3\hfill \\ -x=3-\frac{2}{3}\hfill \\ -x=\frac{7}{3}\hfill \\ x=-\frac{7}{3}\hfill \end{array}$$

La solución a este sistema es $\left(-\frac{7}{3},\frac{2}{3}\right).$

Compruebe la solución en la primera ecuación.

$$\begin{array}{llll}x+2y=\mathrm{-1}\hfill & \hfill & \hfill & \hfill \\ \left(-\frac{7}{3}\right)+2\left(\frac{2}{3}\right)=\hfill & \hfill & \hfill & \hfill \\ -\frac{7}{3}+\frac{4}{3}=\hfill & \hfill & \hfill & \hfill \\ -\frac{3}{3}=\hfill & \hfill & \hfill & \hfill \\ \mathrm{-1}=\mathrm{-1}\hfill & \hfill & \hfill & \text{Verdadero}\hfill \end{array}$$

Análisis

La representación gráfica de los sistemas de ecuaciones nos ofrece una perspectiva importante. Vea la Figura 5 para calcular que las ecuaciones se intersecan en la solución. No necesitamos preguntarnos si puede haber una segunda solución porque la observación del gráfico confirma que el sistema tiene exactamente una solución.

Figura 5

Ejemplo 5

Uso del método de adición cuando se requiere la multiplicación de una ecuación

Resuelva el sistema de ecuaciones dado por el método de adición.

$$\begin{array}{l}3x+5y=\mathrm{-11}\hfill \\ \hfill \\ x-2y=11\hfill \end{array}$$

Solución

La adición de estas ecuaciones, tal y como se presentan, no eliminará ninguna variable. Sin embargo, vemos que la primera ecuación tiene $3x$ en ella y la segunda ecuación tiene $x.$ Así que si multiplicamos la segunda ecuación por $\mathrm{-3},$ los términos x se sumarán a cero.

$$\begin{array}{llll}x\mathrm{-2}y=11\hfill & \hfill & \hfill & \hfill \\ \mathrm{-3}(x\mathrm{-2}y)=\mathrm{-3}(11)\hfill & \hfill & \hfill & \text{Multiplique ambos lados por }-3.\hfill \\ \mathrm{-3}x+6y=\mathrm{-33}\hfill & \hfill & \hfill & \text{Utilice la propiedad distributiva}.\hfill \end{array}$$

Ahora, vamos a sumarlos.

$$\begin{array}{l}\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{\begin{array}{l}\hfill \\ \begin{array}{l}3x+5y=\mathrm{-11}\hfill \\ \mathrm{-3}x+6y=\mathrm{-33}\hfill \end{array}\hfill \end{array}}\hfill \\ 11y=-44\hfill \\ y=\mathrm{–4}\hfill \end{array}$$

Para el último paso, sustituya $y=-4$ en una de las ecuaciones originales y resuelva para $x.$

$$\begin{array}{c}3x+5y=-11\\ 3x+5(-4)=-11\\ 3x-20=-11\\ 3x=9\\ x=3\end{array}$$

Nuestra solución es el par ordenado $\left(3,\mathrm{–4}\right).$ Vea la Figura 6. Compruebe la solución en la segunda ecuación original.

$$\begin{array}{llll}x-2y=11\hfill & \hfill & \hfill & \hfill \\ (3)-2(-4)=3+8\hfill & \hfill & \hfill & \hfill \\ 11=11\hfill & \hfill & \hfill & \text{Verdadero}\hfill \end{array}$$

Figura 6

Ejemplo 6

Usar el método de adición cuando se requiere la multiplicación de ambas ecuaciones

Resuelva el sistema de ecuaciones en dos variables dado por adición.

$$\begin{array}{c}2x+3y=\mathrm{-16}\\ 5x\mathrm{-10}y=30\end{array}$$

Solución

Una ecuación tiene $2x$ y el otro tiene $5x.$ El mínimo común múltiplo es $10x$ por lo que tendremos que multiplicar ambas ecuaciones por una constante para eliminar una variable. Eliminemos $x$ multiplicando la primera ecuación por $\mathrm{-5}$ y la segunda ecuación por $2.$

$$\begin{array}{l} -5(2x+3y)=-5(\mathrm{-16})\hfill \\ -10x-15y=80\hfill \\ 2(5x-10y)=2(30)\hfill \\ 10x-20y=60\hfill \end{array}$$

A continuación, sumamos las dos ecuaciones.

$$\begin{array}{l}\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{\begin{array}{l}\hfill \\ \begin{array}{l}\mathrm{-10}x\mathrm{-15}y=80\hfill \\ 10x-20y=60\hfill \end{array}\hfill \end{array}}\hfill \\ \mathrm{-35}y=140\hfill \\ y=\mathrm{–4}\hfill \end{array}$$

Sustituya $y=-4$ en la primera ecuación original.

$$\begin{array}{c}2x+3(\mathrm{–4})=\mathrm{-16}\\ 2x-12=\mathrm{-16}\\ 2x=-4\\ x=\mathrm{–2}\end{array}$$

La solución es $\left(\mathrm{–2},\mathrm{–4}\right).$ Compruébelo en la otra ecuación.

$$\begin{array}{r}\hfill 5x\mathrm{-10}y=30\\ \hfill 5(\mathrm{-2})\mathrm{-10}(\mathrm{–4})=30\\ \hfill \mathrm{-10}+40=30\\ \hfill 30=30\end{array}$$

Vea la Figura 7.

Figura 7

Identificar sistemas inconsistentes de ecuaciones que contienen dos variables

Ahora que tenemos varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones, podemos usar los métodos para identificar sistemas inconsistentes. Recordemos que un sistema inconsistente está formado por líneas paralelas que tienen la misma pendiente, pero diferente intersección $y$. Nunca se intersecarán. Al buscar una solución a un sistema inconsistente, llegaremos a un enunciado falso, como $12=\mathrm{0,}$

Ejemplo 8

Resolver un sistema inconsistente de ecuaciones

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones.

$$\begin{array}{l}x=9\mathrm{-2}y\hfill \\ x+2y=13\hfill \end{array}$$

Solución

Podemos abordar este problema de dos maneras. Debido a que una ecuación ya está resuelta para $x,$ el paso más obvio es utilizar sustitución.

$$\begin{array}{l}x+2y=13\hfill \\ (9-2y)+2y=13\hfill \\ 9+0y=13\hfill \\ 9=13\hfill \end{array}$$

Es evidente que este enunciado es una contradicción porque $9\ne 13.$ Por lo tanto, el sistema no tiene solución.

El segundo enfoque sería manipular primero las ecuaciones para que ambas estén en forma de intersección de pendientes. Manipulamos la primera ecuación de la siguiente manera.

$$\begin{array}{l}x=9\mathrm{-2}y\hfill \\ 2y=-x+9\hfill \\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}\hfill \end{array}$$

A continuación, convertimos la segunda ecuación expresada en forma de intersección de pendiente.

$$\begin{array}{l}x+2y=13\hfill \\ 2y=-x+13\hfill \\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}\hfill \end{array}$$

Al comparar las ecuaciones, vemos que tienen la misma pendiente, pero diferentes intersecciones en y. Por lo tanto, las líneas son paralelas y no se intersecan.

$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}\end{array}\hfill \\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}\hfill \end{array}$$

Análisis

Al escribir las ecuaciones en forma de intersección de pendientes se confirma que el sistema es inconsistente porque todas las líneas finalmente se intersecan, a menos que sean paralelas. Las líneas paralelas nunca se intersecan; por lo tanto, las dos líneas no tienen puntos en común. Los gráficos de las ecuaciones de este ejemplo se muestran en la Figura 8.

Figura 8

Expresión de la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene dos variables

Recordemos que un sistema dependiente de ecuaciones en dos variables es un sistema en el cual las dos ecuaciones representan la misma línea. Los sistemas dependientes tienen un número infinito de soluciones porque todos los puntos de una recta están también en la otra. Después de utilizar la sustitución o la adición, la ecuación resultante será una identidad, como $0=\mathrm{0,}$

Ejemplo 9

Hallar la solución a un sistema dependiente de ecuaciones lineales

Halle una solución al sistema de ecuaciones mediante el método de adición.

$$\begin{array}{c}x+3y=2\\ 3x+9y=6\end{array}$$

Solución

Con el método de adición queremos eliminar una de las variables sumando las ecuaciones. En este caso, vamos a centrarnos en eliminar $x.$ Si multiplicamos ambos lados de la primera ecuación por $\mathrm{-3},$ entonces podremos eliminar la variable $x$.

$$\begin{array}{l}x+3y=2\hfill \\ (\mathrm{-3})(x+3y)=(\mathrm{-3})(2)\hfill \\ \mathrm{-3}x-9y=-6\hfill \end{array}$$

Ahora sume las ecuaciones.

$$\begin{array}{l}\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{\begin{array}{ll}-3x-9y\hfill & =\mathrm{-6}\hfill \\ +3x+9y\hfill & =6\hfill \end{array}}\hfill \\ \begin{array}{ll}0\hfill & =0\hfill \end{array}\hfill \end{array}$$

Podemos ver que habrá un número infinito de soluciones que satisfagan ambas ecuaciones.

Análisis

Si reescribimos ambas ecuaciones en la forma pendiente-intersección, podríamos saber cómo sería la solución antes de sumar. Veamos lo que ocurre cuando convertimos el sistema a la forma pendiente-intersección.

$$\begin{array}{l}x+3y=2\hfill \\ 3y=-x+2\hfill \\ y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\hfill \\ 3x+9y=6\hfill \\ 9y=\mathrm{-3}x+6\hfill \\ y=-\frac{3}{9}x+\frac{6}{9}\hfill \\ y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\hfill \end{array}$$

Vea la Figura 9. Observe que los resultados son los mismos. La solución general del sistema es $\left(x,\; -\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right).$

Figura 9

Usar sistemas de ecuaciones para investigar ganancias

Con base en lo que hemos aprendido sobre los sistemas de ecuaciones, podemos volver al problema de fabricación de patinetas del principio de la sección. La función de ingresos del fabricante de patinetas es la función utilizada para calcular la cantidad de dinero que entra al negocio. Se puede representar mediante la ecuación $R=xp,$ donde $x=$ cantidad y $p=$ precio. La función de ingresos se muestra en naranja en la Figura 10.

La función de costo es la función utilizada para calcular los costos de la actividad comercial. Incluye los costos fijos, como el alquiler y los salarios, y los costos variables, como los servicios públicos. La función de costo se muestra en azul en la Figura 10. El eje $x$ representa la cantidad en cientos de unidades. El eje y representa los costos o los ingresos en cientos de dólares.

Figura 10

El punto de intersección de las dos líneas se denomina punto de equilibrio. Observamos en el gráfico que, si se producen 700 unidades, el costo es de 3.300 dólares y los ingresos también son de 3.300 dólares. En otras palabras, la compañía alcanza el equilibrio si produce y vende 700 unidades. No ganan ni pierden dinero.

La región sombreada a la derecha del punto de equilibrio representa las cantidades por las cuales la compañía obtiene ganancias. La región sombreada de la izquierda representa las cantidades por las que la empresa sufre pérdidas. La función de ganancias es la función de ingresos menos la función de costo, escrita como $P(x)=R(x)-C(x).$ Está claro que conocer la cantidad para la cual el costo es igual a los ingresos es de gran importancia para los negocios.

Ejemplo 10

Hallar el punto de equilibrio y la función de ganancias mediante sustitución

Dada la función de costo $C(x)=\mathrm{0,85}x+35.000$ y la función de ingresos $R(x)=\mathrm{1,55}x,$ calcule el punto de equilibrio y la función de ganancias.

Solución

Escriba el sistema de ecuaciones y use $y$ para sustituir la notación de función.

$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\\ y=\mathrm{0,85}x+35.000\end{array}\hfill \\ y=\mathrm{1,55}x\hfill \end{array}$$

Sustituya la expresión $\mathrm{0,85}x+35.000$ de la primera ecuación en la segunda ecuación y resuelva para $x.$

$$\begin{array}{c}\mathrm{0,85}x+35.000=\mathrm{1,55}x\\ 35.000=\mathrm{0,7}x\\ 50.000=x\end{array}$$

Entonces, sustituimos $x=50.000$ en la función de costo o en la función de ingresos.

$$\mathrm{1,55}\left(50.000\right)=77.500$$

El punto de equilibrio es $\left(50.000,77.500\right).$

La función de ganancias se obtiene mediante la fórmula $P(x)=R(x)-C(x).$

$$\begin{array}{l}P(x)=\mathrm{1,55}x-(\mathrm{0,85}x+35.000)\hfill \\ =\mathrm{0,7}x-35.000\hfill \end{array}$$

La función de ganancias es $P(x)=\mathrm{0,7}x\mathrm{-35.000.}$

Análisis

El costo de producción de 50.000 unidades es de 77.500 dólares y los ingresos por la venta de 50.000 unidades son también de 77.500 dólares. Para obtener ganancias, el negocio debe producir y vender más de 50.000 unidades. Vea la Figura 11.

Figura 11

Vemos en el gráfico de la Figura 12 que la función de ganancias tiene un valor negativo hasta $x=50.000,$ cuando el gráfico cruza el eje x. A continuación, el gráfico emerge en valores y positivos y continúa en esta trayectoria, ya que la función de ganancias es una línea recta. Esto ilustra que el punto de equilibrio de los negocios se produce cuando la función de ganancias es 0. El área a la izquierda del punto de equilibrio representa el funcionamiento con pérdidas.

Figura 12