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Precálculo 2ed

9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables

Precálculo 2ed9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Resolver sistemas de ecuaciones mediante gráficos.
  • Resolver sistemas de ecuaciones por sustitución.
  • Resolver sistemas de ecuaciones por adición.
  • Identificar sistemas inconsistentes de ecuaciones que contengan dos variables.
  • Expresar la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene dos variables.
Figura 1 (Créditos: Thomas Sørenes).

Un fabricante de patinetas presenta una nueva línea de sus productos. El fabricante hace seguimiento de sus costos, lo cual es la cantidad que gasta para producir las patinetas, y de sus ingresos, lo cual es la cantidad que gana con su venta. ¿Cómo la compañía puede determinar si obtiene ganancias con su nueva línea? ¿Cuántas patinetas se deben producir y vender para obtener ganancias? En esta sección consideraremos ecuaciones lineales con dos variables para responder estas y otras preguntas similares.

Introducción a los sistemas de ecuaciones

Para investigar situaciones como la del fabricante de patinetas, tenemos que reconocer que estamos tratando con más de una variable y probablemente con más de una ecuación. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. Para dar con la solución única de un sistema de ecuaciones lineales, debemos hallar un valor numérico para cada variable del sistema que satisfaga todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo. Algunos sistemas lineales pueden no tener solución y otros pueden tener un número infinito de soluciones. Para que un sistema lineal tenga una solución única, debe haber, al menos, tantas ecuaciones como variables. Aun así, esto no garantiza una solución única.

En esta sección veremos los sistemas de ecuaciones lineales en dos variables, lo cual consiste en dos ecuaciones que contienen dos variables diferentes. Por ejemplo, considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos variables.

2 x+y=15 3xy=5 2 x+y=15 3xy=5

La solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es cualquier par ordenado que satisface cada ecuación de forma independiente. En este ejemplo, el par ordenado (4, 7) es la solución del sistema de ecuaciones lineales. Podemos verificar la solución sustituyendo los valores en cada ecuación para ver si el par ordenado satisface ambas ecuaciones. En breve, investigaremos métodos para hallar esa solución, si es que existe.

2(4)+(7)=15Verdadero 3(4)-(7)=5Verdadero 2(4)+(7)=15Verdadero 3(4)-(7)=5Verdadero

Además de considerar el número de ecuaciones y variables, clasificamos los sistemas de ecuaciones lineales por el número de soluciones. Un sistema consistente de ecuaciones tiene, al menos, una solución. Se considera que un sistema consistente es un sistema independiente si tiene una única solución, como el ejemplo que acabamos de explorar. Las dos líneas tienen pendientes diferentes y se intersecan en un punto del plano. Se considera que un sistema consistente es un sistema dependiente si las ecuaciones tienen la misma pendiente y las mismas intersecciones en y. En otras palabras, las líneas coinciden, por lo que las ecuaciones representan la misma línea. Cada punto de la línea representa un par de coordenadas que satisface el sistema. Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones.

Otro tipo de sistema de ecuaciones lineales es un sistema inconsistente, que es aquel en el que las ecuaciones representan dos líneas paralelas. Las líneas tienen la misma pendiente y diferentes intersecciones en y. No hay puntos comunes a ambas líneas; por lo tanto, no hay solución al sistema.

Tipos de sistemas lineales

Hay tres tipos de sistemas de ecuaciones lineales en dos variables, y tres tipos de soluciones.

  • Un sistema independiente tiene exactamente un par de soluciones ( x,y ). ( x,y ). El punto de intersección de las dos líneas es la única solución.
  • Un sistema inconsistente no tiene solución. Observe que las dos líneas son paralelas y nunca se intersecan.
  • Un sistema dependiente tiene infinitas soluciones. Las líneas son coincidentes. Son la misma línea, por lo que cada par de coordenadas de la línea es una solución de ambas ecuaciones.

En la Figura 2 se comparan las representaciones gráficas de cada tipo de sistema.

Figura 2

Cómo

Dado un sistema de ecuaciones lineales y un par ordenado, determine si el par ordenado es una solución.

  1. Sustituya el par ordenado en cada ecuación del sistema.
  2. Determine si los enunciados verdaderos resultan de la sustitución en ambas ecuaciones; si es así, el par ordenado es una solución.

Ejemplo 1

Cómo determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de ecuaciones

Determine si el par ordenado ( 5,1 ) ( 5,1 ) es una solución del sistema de ecuaciones dado.

x+3y=8 2 x-9=y x+3y=8 2 x-9=y

Análisis

Podemos ver claramente la solución al trazar el gráfico de cada ecuación. Como la solución es un par ordenado que satisface ambas ecuaciones, es un punto en ambas líneas y, por tanto, el punto de intersección de las dos líneas. Vea la Figura 3.

Figura 3

Inténtelo #1

Determine si el par ordenado ( 8,5 ) ( 8,5 ) es una solución al siguiente sistema.

5x-4y=20 2x+1=3y 5x-4y=20 2x+1=3y

Resolver sistemas de ecuaciones mediante un gráfico

Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para un sistema de ecuaciones lineales en dos variables, podemos determinar tanto el tipo de sistema como la solución al graficar el sistema de ecuaciones en el mismo conjunto de ejes.

Ejemplo 2

Resolución de un sistema de ecuaciones de dos variables mediante un gráfico

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones mediante un gráfico. Identifique el tipo de sistema.

2 x+y=−8 x-y=–1 2 x+y=−8 x-y=–1

Inténtelo #2

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones mediante un gráfico.

2 x-5y=−25 4x+5y=35 2 x-5y=−25 4x+5y=35

Preguntas y respuestas

¿Se puede utilizar el gráfico si el sistema es inconsistente o dependiente?

Sí, en ambos casos podemos graficar el sistema para determinar el tipo de sistema y la solución. Si las dos líneas son paralelas, el sistema no tiene solución y es inconsistente. Si las dos líneas son idénticas, el sistema tiene infinitas soluciones y es un sistema dependiente.

Resolver sistemas de ecuaciones por sustitución

Resolver un sistema lineal de dos variables mediante un gráfico funciona cuando la solución está formada por valores enteros. Sin embargo, si nuestra solución contiene decimales o fracciones, no es el método más preciso. Consideraremos dos métodos más para resolver un sistema de ecuaciones lineales que son más precisos que el gráfico. Uno de estos métodos es la resolución de un sistema de ecuaciones por el método de método de sustitución, en el que resolvemos una de las ecuaciones para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver la segunda variable. Recordemos que solo podemos resolver para una variable a la vez, que es la razón por la que el método de sustitución es valioso y práctico.

Cómo

Dado un sistema de dos ecuaciones en dos variables, resuelva mediante el método de sustitución.

  1. Resuelva una de las dos ecuaciones para una de las variables en términos de la otra.
  2. Sustituya la expresión de esta variable en la segunda ecuación y luego resuelva para la variable restante.
  3. Sustituya esa solución en cualquiera de las ecuaciones originales para calcular el valor de la primera variable. Si es posible, escriba la solución como un par ordenado.
  4. Compruebe la solución en ambas ecuaciones.

Ejemplo 3

Resolver un sistema de ecuaciones en dos variables por sustitución

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por sustitución.

x+y=−5 2x-5y=1 x+y=−5 2x-5y=1

Inténtelo #3

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por sustitución.

x=y+3 4=3x−2y x=y+3 4=3x−2y

Preguntas y respuestas

¿Se puede usar el método de sustitución para resolver cualquier sistema lineal en dos variables?

Sí, pero el método funciona mejor si una de las ecuaciones contiene un coeficiente de 1 o –1 para no tener que lidiar con fracciones.

Resolución de sistemas de ecuaciones de dos variables por el método de la suma

Un tercer método para resolver sistemas de ecuaciones lineales es el método de adición. En este método, sumamos dos términos con la misma variable, pero con coeficientes opuestos, para que la suma sea cero. Por supuesto, no todos los sistemas se establecen con los dos términos de una variable con coeficientes opuestos. A menudo, debemos ajustar una o las dos ecuaciones mediante multiplicación para que una de las variables se elimine con adición.

Cómo

Dado un sistema de ecuaciones, resuelva utilizando el método de adición.

  1. Escriba ambas ecuaciones con las variables x y y a la izquierda del signo de igual y las constantes a la derecha.
  2. Escriba una ecuación sobre la otra, y alinee las variables correspondientes. Si una de las variables de la ecuación superior tiene el coeficiente opuesto de la misma variable en la ecuación inferior, sume las ecuaciones y elimine una variable. Si no es así, utilice la multiplicación por un número distinto de cero para que una de las variables de la ecuación superior tenga el coeficiente opuesto de la misma variable en la ecuación inferior, y luego sume las ecuaciones para eliminar la variable.
  3. Resuelva la ecuación resultante para la variable restante.
  4. Sustituya ese valor en una de las ecuaciones originales y resuelva para la segunda variable.
  5. Compruebe la solución sustituyendo los valores en la otra ecuación.

Ejemplo 4

Resolver un sistema por el método de adición

Resuelva el sistema de ecuaciones dado por adición.

x+2 y=−1 -x+y=3 x+2 y=−1 -x+y=3

Análisis

La representación gráfica de los sistemas de ecuaciones nos ofrece una perspectiva importante. Vea la Figura 5 para calcular que las ecuaciones se intersecan en la solución. No necesitamos preguntarnos si puede haber una segunda solución porque la observación del gráfico confirma que el sistema tiene exactamente una solución.

Figura 5

Ejemplo 5

Uso del método de adición cuando se requiere la multiplicación de una ecuación

Resuelva el sistema de ecuaciones dado por el método de adición.

3x+5y=−11 x-2y=11 3x+5y=−11 x-2y=11

Inténtelo #4

Resuelva el sistema de ecuaciones por adición.

2 x−7y=2 3x+y=-20 2 x−7y=2 3x+y=-20

Ejemplo 6

Usar el método de adición cuando se requiere la multiplicación de ambas ecuaciones

Resuelva el sistema de ecuaciones en dos variables dado por adición.

2 x+3y=−16 5x−10y=30 2 x+3y=−16 5x−10y=30

Ejemplo 7

Usar el método de adición en sistemas de ecuaciones que contienen fracciones

Resuelva el sistema de ecuaciones en dos variables dado por adición.

x 3 + y 6 =3 x 2 - y 4 =1 x 3 + y 6 =3 x 2 - y 4 =1

Inténtelo #5

Resuelva el sistema de ecuaciones por adición.

2 x+3y=83x+5y=102 x+3y=83x+5y=10

Identificar sistemas inconsistentes de ecuaciones que contienen dos variables

Ahora que tenemos varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones, podemos usar los métodos para identificar sistemas inconsistentes. Recordemos que un sistema inconsistente está formado por líneas paralelas que tienen la misma pendiente, pero diferente intersección y y . Nunca se intersecarán. Al buscar una solución a un sistema inconsistente, llegaremos a un enunciado falso, como 12=0, 12=0,

Ejemplo 8

Resolver un sistema inconsistente de ecuaciones

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones.

x=9−2y x+2 y=13 x=9−2y x+2 y=13

Análisis

Al escribir las ecuaciones en forma de intersección de pendientes se confirma que el sistema es inconsistente porque todas las líneas finalmente se intersecan, a menos que sean paralelas. Las líneas paralelas nunca se intersecan; por lo tanto, las dos líneas no tienen puntos en común. Los gráficos de las ecuaciones de este ejemplo se muestran en la Figura 8.

Figura 8

Inténtelo #6

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones en dos variables.

2y−2x=2 2y−2x=6 2y−2x=2 2y−2x=6

Expresión de la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene dos variables

Recordemos que un sistema dependiente de ecuaciones en dos variables es un sistema en el cual las dos ecuaciones representan la misma línea. Los sistemas dependientes tienen un número infinito de soluciones porque todos los puntos de una recta están también en la otra. Después de utilizar la sustitución o la adición, la ecuación resultante será una identidad, como 0=0, 0=0,

Ejemplo 9

Hallar la solución a un sistema dependiente de ecuaciones lineales

Halle una solución al sistema de ecuaciones mediante el método de adición.

x+3y=2 3x+9y=6 x+3y=2 3x+9y=6

Análisis

Si reescribimos ambas ecuaciones en la forma pendiente-intersección, podríamos saber cómo sería la solución antes de sumar. Veamos lo que ocurre cuando convertimos el sistema a la forma pendiente-intersección.

 x+3y=2        3y=-x+2          y=- 1 3 x+ 2 3 3x+9y=6        9y=−3x+6          y=- 3 9 x+ 6 9          y=- 1 3 x+ 2 3  x+3y=2        3y=-x+2          y=- 1 3 x+ 2 3 3x+9y=6        9y=−3x+6          y=- 3 9 x+ 6 9          y=- 1 3 x+ 2 3

Vea la Figura 9. Observe que los resultados son los mismos. La solución general del sistema es ( x, − 1 3 x+ 2 3 ). ( x, − 1 3 x+ 2 3 ).

Figura 9

Inténtelo #7

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones en dos variables.

   y−2x=5 −3y+6x=−15    y−2x=5 −3y+6x=−15

Usar sistemas de ecuaciones para investigar ganancias

Con base en lo que hemos aprendido sobre los sistemas de ecuaciones, podemos volver al problema de fabricación de patinetas del principio de la sección. La función de ingresos del fabricante de patinetas es la función utilizada para calcular la cantidad de dinero que entra al negocio. Se puede representar mediante la ecuación R=xp, R=xp, donde x= x= cantidad y p= p= precio. La función de ingresos se muestra en naranja en la Figura 10.

La función de costo es la función utilizada para calcular los costos de la actividad comercial. Incluye los costos fijos, como el alquiler y los salarios, y los costos variables, como los servicios públicos. La función de costo se muestra en azul en la Figura 10. El eje x x representa la cantidad en cientos de unidades. El eje y representa los costos o los ingresos en cientos de dólares.

Figura 10

El punto de intersección de las dos líneas se denomina punto de equilibrio. Observamos en el gráfico que, si se producen 700 unidades, el costo es de 3.300 dólares y los ingresos también son de 3.300 dólares. En otras palabras, la compañía alcanza el equilibrio si produce y vende 700 unidades. No ganan ni pierden dinero.

La región sombreada a la derecha del punto de equilibrio representa las cantidades por las cuales la compañía obtiene ganancias. La región sombreada de la izquierda representa las cantidades por las que la empresa sufre pérdidas. La función de ganancias es la función de ingresos menos la función de costo, escrita como P(x)=R(x)-C(x). P(x)=R(x)-C(x). Está claro que conocer la cantidad para la cual el costo es igual a los ingresos es de gran importancia para los negocios.

Ejemplo 10

Hallar el punto de equilibrio y la función de ganancias mediante sustitución

Dada la función de costo C(x)=0,85x+35.000 C(x)=0,85x+35.000 y la función de ingresos R(x)=1,55x, R(x)=1,55x, calcule el punto de equilibrio y la función de ganancias.

Análisis

El costo de producción de 50.000 unidades es de 77.500 dólares y los ingresos por la venta de 50.000 unidades son también de 77.500 dólares. Para obtener ganancias, el negocio debe producir y vender más de 50.000 unidades. Vea la Figura 11.

Figura 11

Vemos en el gráfico de la Figura 12 que la función de ganancias tiene un valor negativo hasta x=50.000, x=50.000, cuando el gráfico cruza el eje x. A continuación, el gráfico emerge en valores y positivos y continúa en esta trayectoria, ya que la función de ganancias es una línea recta. Esto ilustra que el punto de equilibrio de los negocios se produce cuando la función de ganancias es 0. El área a la izquierda del punto de equilibrio representa el funcionamiento con pérdidas.

Figura 12

Ejemplo 11

Escribir y resolver un sistema de ecuaciones en dos variables

El costo de una entrada al circo es 25,00 25,00 dólares para niños y 50,00 50,00 dólares para adultos. En un día determinado, la asistencia al circo es 2.000 2.000 y los ingresos totales de taquilla son 70.000 70.000 dólares. ¿Cuántos niños y cuántos adultos compraron entradas?

Inténtelo #8

Los boletos de comida en el circo cuestan 4,00 4,00 dólares para niños y 12,00 12,00 dólares para adultos. Si se compraron 1.650 1.650 boletos de comida por un total de 14.200 14.200 dólares, ¿cuántos niños y cuántos adultos compraron boletos de comida?

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con sistemas de ecuaciones lineales.

9.1 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Un sistema de ecuaciones lineales puede tener exactamente dos soluciones? Explique por qué sí o por qué no.

2.

Si está realizando un análisis de equilibrio para una actividad comercial y sus ecuaciones de costos e ingresos son dependientes, explique qué significa esto para los márgenes de ganancias de la compañía.

3.

Si está resolviendo un análisis de equilibrio y obtiene un punto de equilibrio negativo, explique qué significa esto para la compañía.

4.

Si está resolviendo un análisis de equilibrio y no hay punto de equilibrio, explique qué significa esto para la compañía. ¿Cómo deben asegurarse de que haya un punto de equilibrio?

5.

Dado un sistema de ecuaciones, explique dos métodos diferentes para resolver ese sistema, como mínimo.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si el par ordenado dado es una solución del sistema de ecuaciones.

6.

5x-y=4 x+6y=2 5x-y=4 x+6y=2 y (4,0) (4,0)

7.

−3x-5y=13 x+4y=10 −3x-5y=13 x+4y=10 y (–6,1) (–6,1)

8.

3x+7y=1 2 x+4y=0 3x+7y=1 2 x+4y=0 y (2 ,3) (2 ,3)

9.

−2x+5y=7 2x+9y=7 −2x+5y=7 2x+9y=7 y (–1,1) (–1,1)

10.

x+8y=43 3x−2y=–1 x+8y=43 3x−2y=–1 y (3,5) (3,5)

En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por sustitución.

11.

x+3y=5 2x+3y=4 x+3y=5 2x+3y=4

12.

3x−2y=18 5x+10y=−10 3x−2y=18 5x+10y=−10

13.

4x+2 y=−10 3x+9y=0 4x+2 y=−10 3x+9y=0

14.

2 x+4y=-3,8 9x−5y=1.3 2 x+4y=-3,8 9x−5y=1.3

15.

-2 x+3y=1,2 3x-6y=1,8 -2 x+3y=1,2 3x-6y=1,8

16.

x-0,2y=1 −10x+2 y=5 x-0,2y=1 −10x+2 y=5

17.

3x+5y=9 30x+50y=−90 3x+5y=9 30x+50y=−90

18.

−3x+y=2 12x-4y=−8 −3x+y=2 12x-4y=−8

19.

1 2 x+ 1 3 y=16 1 6 x+ 1 4 y=9 1 2 x+ 1 3 y=16 1 6 x+ 1 4 y=9

20.

- 1 4 x+ 3 2 y=11 - 1 8 x+ 1 3 y=3 - 1 4 x+ 3 2 y=11 - 1 8 x+ 1 3 y=3

En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por adición.

21.

−2x+5y=-42 7x+2 y=30 −2x+5y=-42 7x+2 y=30

22.

6x−5y=−34 2x+6y=4 6x−5y=−34 2x+6y=4

23.

5x-y=-2,6 -4x−6y=1,4 5x-y=-2,6 -4x−6y=1,4

24.

7x−2y=3 4x+5y=3,25 7x−2y=3 4x+5y=3,25

25.

−x+2 y=−1 5x−10y=6 −x+2 y=−1 5x−10y=6

26.

7x+6y=2 −28x−24y=−8 7x+6y=2 −28x−24y=−8

27.

5 6 x+ 1 4 y=0 1 8 x 1 2 y= 43 120 5 6 x+ 1 4 y=0 1 8 x 1 2 y= 43 120

28.

1 3 x+ 1 9 y= 2 9 - 1 2 x+ 4 5 y=- 1 3 1 3 x+ 1 9 y= 2 9 - 1 2 x+ 4 5 y=- 1 3

29.

-0,2x+0,4y=0,6 x−2y=−3 -0,2x+0,4y=0,6 x−2y=−3

30.

-0,1x+0,2y=0,6 5x−10y=1 -0,1x+0,2y=0,6 5x−10y=1

En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por cualquier método.

31.

5x+9y=16 x+2 y=4 5x+9y=16 x+2 y=4

32.

6x−8y=-0,6 3x+2 y=0,9 6x−8y=-0,6 3x+2 y=0,9

33.

5x−2y=2,25 7x-4y=3 5x−2y=2,25 7x-4y=3

34.

x- 5 12 y= 55 12 −6x+ 5 2 y= 55 2 x- 5 12 y= 55 12 −6x+ 5 2 y= 55 2

35.

7x-4y= 7 6 2 x+4y= 1 3 7x-4y= 7 6 2 x+4y= 1 3

36.

3x+6y=11 2x+4y=9 3x+6y=11 2x+4y=9

37.

7 3 x 1 6 y=2 21 6 x+ 3 12 y=−3 7 3 x 1 6 y=2 21 6 x+ 3 12 y=−3

38.

1 2 x+ 1 3 y= 1 3 3 2 x+ 1 4 y=- 1 8 1 2 x+ 1 3 y= 1 3 3 2 x+ 1 4 y=- 1 8

39.

2,2x+1.3y=-0,1 4,2x+4,2y=2,1 2,2x+1.3y=-0,1 4,2x+4,2y=2,1

40.

0,1x+0,2y=2 0,35x-0,3y=0 0,1x+0,2y=2 0,35x-0,3y=0

Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique el sistema de ecuaciones y diga si el sistema es consistente, inconsistente o dependiente y si tiene una solución, ninguna solución o infinitas soluciones.

41.

3x-y=0,6 x−2y=1.3 3x-y=0,6 x−2y=1.3

42.

-x+2 y=4 2x-4y=1 -x+2 y=4 2x-4y=1

43.

x+2 y=7 2x+6y=12 x+2 y=7 2x+6y=12

44.

3x−5y=7 x−2y=3 3x−5y=7 x−2y=3

45.

3x−2y=5 −9x+6y=−15 3x−2y=5 −9x+6y=−15

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la función de intersección en un dispositivo gráfico para resolver cada sistema. Redondee todas las respuestas a la centésima más cercana.

46.

0,1x+0,2y=0,3 -0,3x+0,5y=1 0,1x+0,2y=0,3 -0,3x+0,5y=1

47.

-0,01x+0,12y=0,62 0,15x+0,20y=0,52 -0,01x+0,12y=0,62 0,15x+0,20y=0,52

48.

0,5x+0,3y=4 0,25x-0,9y=0,46 0,5x+0,3y=4 0,25x-0,9y=0,46

49.

0,15x+0,27y=0,39 -0,34x+0,56y=1,8 0,15x+0,27y=0,39 -0,34x+0,56y=1,8

50.

-0,71x+0,92y=0,13 0,83x+0,05y=2,1 -0,71x+0,92y=0,13 0,83x+0,05y=2,1

Extensiones

En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema en términos de A,B,C,D,E A,B,C,D,E y F F donde AF AF son números distintos de cero. Observe que AB AB y AEBD. AEBD.

51.

x+y=A x-y=B x+y=A x-y=B

52.

x+Ay=1 x+By=1 x+Ay=1 x+By=1

53.

Ax+y=0 Bx+y=1 Ax+y=0 Bx+y=1

54.

Ax+By=C x+y=1 Ax+By=C x+y=1

55.

Ax+By=C Dx+Ey=F Ax+By=C Dx+Ey=F

Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, resuelva la cantidad deseada.

56.

Un negocio de peluches tiene un costo total de producción C=12x+30 C=12x+30 y una función de ingresos R=20x. R=20x. Halle el punto de equilibrio.

57.

Un restaurante etíope tiene un costo de producción C(x)=11x+120 C(x)=11x+120 y una función de ingresos R(x)=5x. R(x)=5x. ¿Cuándo la compañía empieza a dar ganancias?

58.

Una fábrica de teléfonos móviles tiene un costo de producción C(x)=150x+10.000 C(x)=150x+10.000 y una función de ingresos R(x)=200x. R(x)=200x. ¿Cuál es el punto de equilibrio?

59.

Un músico cobra C(x)=64x+20.000 C(x)=64x+20.000 donde x x es el número total de asistentes al concierto. El local cobra 80 dólares por entrada. ¿Después de cuántas entradas vendidas el local alcanza el punto de equilibrio y cuál es el valor del total de entradas vendidas en ese momento?

60.

Una fábrica de guitarras tiene un costo de producción C(x)=75x+50.000. C(x)=75x+50.000. Si la compañía necesita alcanzar el punto de equilibrio después de vender 150 unidades, ¿a qué precio debería vender cada guitarra? Redondee al dólar más cercano y escriba la función de ingresos.

En los siguientes ejercicios, utilice un sistema de ecuaciones lineales con dos variables y dos ecuaciones para resolver.

61.

Halle dos números cuya suma es 28 y la diferencia es 13.

62.

Un número es 9 veces mayor que otro número. El doble de la suma de los dos números es 10. Halle los dos números.

63.

El costo de puesta en marcha de un restaurante es de 120.000 dólares y hacer cada comida le cuesta 10 dólares al restaurante. Si cada comida se vende por 15 dólares, ¿después de cuántas comidas el restaurante alcanza el punto de equilibrio?

64.

Una compañía de mudanzas cobra una tarifa plana de 150 dólares y 5 dólares más por cada caja. Si un servicio de taxi cobra 20 dólares por cada caja, ¿cuántas cajas necesitaría para que le saliera más barato utilizar la compañía de mudanzas y cuál sería el costo total?

65.

Un total de 1.595 estudiantes de primer y segundo año de la universidad se reunieron en una concentración motivacional. El número de estudiantes de primer año superó en 15 al de segundo. ¿Cuántos estudiantes de cada curso asistieron?

66.

276 estudiantes matriculados en una clase de introducción a la química. Al final del semestre, el número de estudiantes que aprobaron es 5 veces mayor que el de los que suspendieron. Calcule el número de estudiantes que aprobaron y el número de estudiantes que aplazaron.

67.

Había 130 profesores en una conferencia. Si asistieron 18 mujeres más que hombres, ¿cuántos de cada sexo asistieron a la conferencia?

68.

Un jeep y una camioneta entran en una autopista que va de este a oeste en la misma salida dirigiéndose en direcciones opuestas. El jeep entró en la autopista 30 minutos antes que la camioneta, y viajaba 7 mph más lento que la camioneta. Después de 2 horas desde que la camioneta entró en la autopista, los autos estaban a 306,5 millas de distancia. Calcule la velocidad de cada auto, suponiendo que se condujera con control de crucero y se mantuviera la misma velocidad.

69.

Si un científico mezcla una solución salina al 10 % con una solución salina al 60 % para obtener 25 galones de solución salina al 40 %, ¿cuántos galones de soluciones al 10 % y al 60 % se mezclaron?

70.

Un inversor obtuvo el triple de beneficios que el año pasado. Si ganaron 500.000,48 dólares en total en ambos años, ¿cuánto ganó el inversor en beneficios cada año?

71.

Una inversora invirtió 1,1 millones de dólares en dos inversiones en terrenos. En la primera inversión, Swan Peak, su rendimiento fue un aumento del 110 % del dinero invertido. En la segunda inversión, Riverside Community, ganó el 50 % sobre lo invertido. Si obtuvo 1 millón de dólares de ganancias, ¿cuánto invirtió en cada uno de los negocios de los terrenos?

72.

Si un inversionista invierte un total de 25.000 dólares en dos bonos, uno que paga el 3 % de interés simple y otro que paga el 2 7 8 % 2 7 8 % de interés, y el inversionista gana 737,50 dólares de interés anual, ¿cuánto se invirtió en cada cuenta?

73.

Si un inversionista invierte 23.000 dólares en dos bonos, uno que paga el 4 % de interés simple y otro que paga el 2 % de interés simple, y el inversionista gana 710,00 dólares de interés anual, ¿cuánto ha invertido en cada cuenta?

74.

Los blu-rays cuestan 5,96 dólares más que los DVD normales en All Bets Are Off Electronics. ¿Cuánto costarían 6 blu-rays y 2 DVDs si 5 blu-rays y 2 DVD cuestan 127,73 dólares?

75.

El empleado de una tienda vendió 60 pares de calzados deportivos. Los zapatos de caña alta se vendieron a 98,99 dólares y los de corte bajo a 129,99 dólares. Si los ingresos de los dos tipos de ventas ascendieron a 6.404,40 dólares, ¿cuántos zapatos se vendieron de cada tipo?

76.

Un administrador de conciertos contó 350 recibos de entradas el día después de un concierto. El precio de la entrada de estudiante era de 12,50 dólares y el de la entrada de adulto, de 16 dólares. El registro confirma que ingresaron 5.075 dólares. ¿Cuántas entradas de estudiantes y cuántas de adultos se vendieron?

77.

La entrada al parque de atracciones para 4 niños y 2 adultos cuesta 116,90 dólares. Para 6 niños y 3 adultos, cuesta 175,35 dólares. Suponiendo un precio diferente para niños y adultos, ¿cuál es el precio de la entrada de niño y el de la entrada de adulto?

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