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Precálculo 2ed

Introducción

Precálculo 2edIntroducción

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice
Se muestra una máquina Enigma. El dispositivo tiene un teclado sobre un complejo tablero de enchufes en el que los cables conectan diferentes enchufes con letras. Debajo de estos y hacia la parte delantera del aparato hay tres rotores mecánicos con 26 clavijas cada uno.
Máquinas Enigma como esta fueron utilizadas por funcionarios gubernamentales y militares para cifrar y descifrar comunicaciones de alto secreto durante la Segunda Guerra Mundial. Variando las combinaciones del tablero de conexiones y los ajustes de los rotores, los codificadores podían añadir un cifrado complejo a sus mensajes. Nótese que los tres rotores contienen 26 clavijas cada uno, una por cada letra del alfabeto; las versiones posteriores tenían cuatro y cinco rotores. (Créditos: modificación de la "Máquina Enigma" por la Escuela de Matemáticas de la Universidad de Manchester/flickr).

Al comienzo de la Segunda Guerra Mundial, los oficiales militares y de inteligencia británicos reconocieron que para derrotar a la Alemania nazi era necesario que los aliados supieran lo que el enemigo estaba planeando. Esta tarea se complicó por el hecho de que los militares alemanes transmitían todas sus comunicaciones a través de un código presuntamente indescifrable, creado por una máquina llamada Enigma. Los alemanes llevaban codificando sus mensajes con esta máquina desde principios de la década de 1930, y confiaban tanto en su seguridad que la utilizaban tanto para las comunicaciones militares cotidianas como para los mensajes estratégicos de gran importancia. Preocupadas ante la creciente amenaza militar, otras naciones europeas comenzaron a trabajar para descifrar los códigos Enigma. Polonia fue el primer país en realizar avances significativos cuando formó y reclutó a un nuevo grupo de descifradores de códigos: los estudiantes de matemáticas de la Universidad de Poznań. Con la ayuda de la información obtenida por los espías franceses, los matemáticos polacos, dirigidos por Marian Rejewski, lograron descifrar los códigos iniciales y, más tarde, comprender el cableado de las máquinas; finalmente, crearon réplicas. Sin embargo, los militares alemanes acabaron por aumentar la complejidad de las máquinas añadiendo rotores adicionales, lo que requirió un nuevo método de descifrado.

La máquina unía las letras de un teclado a tres, cuatro o cinco rotores (según la versión), cada uno con 26 posiciones iniciales que podían fijarse antes de la codificación; un código de descifrado (llamado clave de cifrado) transmitía esencialmente estas configuraciones al destinatario del mensaje, y permitía interpretar el mensaje utilizando otra máquina Enigma. Incluso con el codificador de tres rotores más sencillo, había 17.576 combinaciones diferentes de posiciones de salida (26 x 26 x 26); además, la máquina tenía otros numerosos métodos para introducir variaciones. Poco después del comienzo de la guerra, los británicos reclutaron un equipo de extraordinarios descifradores de códigos para descifrar el código Enigma. Los descifradores de códigos, dirigidos por Alan Turing, utilizaron lo que sabían sobre la máquina Enigma para construir una computadora mecánica que pudiera descifrar el código. Ese conocimiento de lo que los alemanes estaban planeando resultó ser una parte clave de la victoria final de los Aliados sobre la Alemania nazi en 1945.

La máquina Enigma es quizás el dispositivo criptográfico más famoso que se conoce. Es un ejemplo del papel fundamental que ha desempeñado la criptografía en la sociedad. Ahora, la tecnología ha trasladado el criptoanálisis al mundo digital.

Muchos cifrados se diseñan utilizando matrices invertibles como método de transferencia de mensajes, ya que calcular la inversa de una matriz suele formar parte del proceso de descodificación. Además de conocer la matriz y su inversa, el receptor debe conocer también la clave que, al utilizarla con la matriz inversa, permitirá leer el mensaje.

En este capítulo investigaremos sobre las matrices y sus inversas, y varias formas de utilizar las matrices para resolver sistemas de ecuaciones. Sin embargo, primero estudiaremos los sistemas de ecuaciones en sí mismos: lineales y no lineales, y luego las fracciones parciales. Aquí no vamos a descifrar ningún código secreto, pero sí vamos a sentar las bases para futuros cursos.

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