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Precálculo 2ed

9.4 Fracciones parciales

Precálculo 2ed9.4 Fracciones parciales

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Descomponer P(x) Q(x) P(x) Q(x), donde Q(x)Q(x) solo tiene factores lineales no repetidos.
  • Descomponer P(x) Q(x) P(x) Q(x), donde Q(x)Q(x) tiene factores lineales repetidos.
  • Descomponer P(x) Q(x) P(x) Q(x), donde Q(x)Q(x) tiene un factor cuadrático irreducible no repetido.
  • Descomponer P(x) Q(x) P(x) Q(x), donde Q(x)Q(x) tiene un factor cuadrático irreducible repetido.

En este capítulo hemos estudiado sistemas de dos ecuaciones en dos variables, sistemas de tres ecuaciones en tres variables y sistemas no lineales. Aquí introducimos otra forma de utilizar los sistemas de ecuaciones: la descomposición de expresiones racionales.

Las fracciones pueden ser complicadas; sumar una variable en el denominador las hace aún más complicadas. Los métodos estudiados en esta sección ayudarán a simplificar el concepto de expresión racional.

Descomponer P( x ) Q( x ) P( x ) Q( x ) donde Q(x) solo tiene factores lineales no repetidos

Recuerde el álgebra relativa a la suma y la resta de expresiones racionales. Estas operaciones dependen de hallar un denominador común para que podamos escribir la suma o la diferencia como una única expresión racional simplificada. En esta sección, veremos la descomposición parcial de fracciones, que es el deshecho del procedimiento para sumar o restar expresiones racionales. Es decir, se trata de un retorno de la única expresión racional simplificada a las expresiones originales, llamada la fracción parcial.

Por ejemplo, supongamos que sumamos las siguientes fracciones:

2 x−3 + −1 x+2 2 x−3 + −1 x+2

Primero tendríamos que hallar un denominador común, (x+2 )(x−3). (x+2 )(x−3).

A continuación, escribiríamos cada expresión con este denominador común y hallaríamos la suma de los términos.

2 x-3 ( x+2 x+2 )+ 1 x+2 ( x-3 x-3 )=                       2 x+4-x+3 (x+2 )(x-3) = x+7 x 2 -x-6 2 x-3 ( x+2 x+2 )+ 1 x+2 ( x-3 x-3 )=                       2 x+4-x+3 (x+2 )(x-3) = x+7 x 2 -x-6

La descomposición parcial de fracciones es lo inverso de este procedimiento. Empezaríamos con la solución y la reescribiríamos (descompondríamos) como la suma de dos fracciones.

x+7 x 2 -x−6 Sumasimplificada = 2 x−3 + −1 x+2 Descomposiciónparcialde fracciones x+7 x 2 -x−6 Sumasimplificada = 2 x−3 + −1 x+2 Descomposiciónparcialde fracciones

Investigaremos expresiones racionales con factores lineales y factores cuadráticos en el denominador donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Independientemente del tipo de expresión que estemos descomponiendo, lo primero y más importante es factorizar el denominador.

Cuando el denominador de la expresión simplificada contiene distintos factores lineales es probable que cada una de las expresiones racionales originales que se sumaron o restaron tuvieran uno de los factores lineales como denominador. En otras palabras, al utilizar el ejemplo anterior, los factores de x 2 -x−6 x 2 -x−6 son ( x−3 )( x+2 ), ( x−3 )( x+2 ), los denominadores de la expresión racional descompuesta. Así que reescribiremos la forma simplificada como la suma de fracciones individuales y utilizaremos una variable para cada numerador. A continuación, resolveremos cada numerador utilizando uno de varios métodos disponibles para la descomposición parcial de fracciones.

Descomposición parcial de fracciones P( x ) Q( x ) dondeQ(x) P( x ) Q( x ) dondeQ(x) tiene factores lineales no repetidos

La descomposición parcial de fracciones de P( x ) Q( x ) P( x ) Q( x ) cuando Q(x) Q(x) tiene factores lineales no repetidos y el grado de P( x ) P( x ) es menor que el grado de Q( x ) Q( x ) es

P(x) Q( x ) = A 1 ( a 1 x+ b 1 ) + A 2 ( a 2 x+ b 2 ) + A 3 ( a 3 x+ b 3 ) ++ A n ( a n x+ b n ) . P(x) Q( x ) = A 1 ( a 1 x+ b 1 ) + A 2 ( a 2 x+ b 2 ) + A 3 ( a 3 x+ b 3 ) ++ A n ( a n x+ b n ) .

Cómo

Dada una expresión racional con factores lineales distintos en el denominador, descompóngala.

  1. Utilice una variable para los numeradores originales, normalmente A,B,  A,B,  o C, C, dependiendo del número de factores, y coloque cada variable sobre un único factor. A efectos de esta definición, utilizamos A n A n para cada numerador
    P(x) Q(x) = A 1 ( a 1 x+ b 1 ) + A 2 ( a 2 x+ b 2 ) ++ A n ( a n x+ b n ) P(x) Q(x) = A 1 ( a 1 x+ b 1 ) + A 2 ( a 2 x+ b 2 ) ++ A n ( a n x+ b n )
  2. Multiplique ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones.
  3. Expanda el lado derecho de la ecuación y reúna los términos similares.
  4. Establezca los coeficientes de los términos similares del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho a fin de crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores.

Ejemplo 1

Descomposición de una función racional con factores lineales distintos

Descomponer la expresión racional dada con factores lineales distintos.

3x ( x+2 )( x−1 ) 3x ( x+2 )( x−1 )

Inténtelo #1

Halle la descomposición parcial de fracciones de la siguiente expresión.

x ( x−3 )( x−2 ) x ( x−3 )( x−2 )

Descomposición de P( x ) Q( x ) P( x ) Q( x ) donde Q(x) tiene factores lineales repetidos

Algunas fracciones con las que nos podemos encontrar son casos especiales que podemos descomponer en fracciones parciales con factores lineales repetidos. Debemos recordar que contabilizamos los factores repetidos escribiendo cada factor en potencias crecientes.

Descomposición parcial de fracciones de P( x ) Q( x ) dondeQ(x) P( x ) Q( x ) dondeQ(x) tiene factores lineales repetidos

La descomposición parcial de fracciones de P( x ) Q( x ) , P( x ) Q( x ) , cuando Q(x) Q(x) tiene un factor lineal repetido que ocurre n n veces y el grado de P( x ) P( x ) es menor que el grado de Q( x ), Q( x ), es

P(x) Q( x ) = A 1 ( ax+b ) + A 2 ( ax+b ) 2 + A 3 ( ax+b ) 3 ++ A n ( ax+b ) n P(x) Q( x ) = A 1 ( ax+b ) + A 2 ( ax+b ) 2 + A 3 ( ax+b ) 3 ++ A n ( ax+b ) n

Escriba las potencias del denominador en orden creciente.

Cómo

Dada una expresión racional con factores lineales repetidos, descompóngala.

  1. Utilice una variable como A,B, A,B, o C C para los numeradores y considere que los denominadores tienen potencias crecientes.
    P(x) Q(x) = A 1 (ax+b) + A 2 (ax+b) 2 + . +  A n (ax+b) n P(x) Q(x) = A 1 (ax+b) + A 2 (ax+b) 2 + . +  A n (ax+b) n
  2. Multiplique ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones.
  3. Expanda el lado derecho de la ecuación y reúna los términos similares.
  4. Establezca los coeficientes de los términos similares del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho a fin de crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores.

Ejemplo 2

Descomponer con factores lineales repetidos

Descomponga la expresión racional dada con factores lineales repetidos.

x 2 +2 x+4 x 3 -4 x 2 +4x x 2 +2 x+4 x 3 -4 x 2 +4x

Inténtelo #2

Halle la descomposición parcial de fracciones de la expresión con factores lineales repetidos.

6x−11 ( x−1 ) 2 6x−11 ( x−1 ) 2

Descomposición de P( x ) Q( x ) , P( x ) Q( x ) , donde Q(x) tiene un factor cuadrático irreducible no repetido

Hasta ahora, hemos realizado la descomposición parcial de fracciones con expresiones que han tenido factores lineales en el denominador, y hemos aplicado numeradores A,B, A,B, o C C que representan las constantes. Ahora veremos un ejemplo en el que uno de los factores del denominador es una expresión cuadrática que no se factoriza. Esto se denomina factor cuadrático irreducible. En casos como este, utilizamos un numerador lineal como Ax+B,Bx+C, Ax+B,Bx+C, etc.

Descomposición de P( x ) Q( x ) :Q(x) P( x ) Q( x ) :Q(x) tiene un factor cuadrático irreductible no repetido

La descomposición parcial de fracciones de P( x ) Q( x ) P( x ) Q( x ) de manera que Q(x) Q(x) tiene un factor cuadrático irreducible no repetido y el grado de P( x ) P( x ) es menor que el grado de Q( x ) Q( x ) se escribe como

P(x) Q( x ) = A 1 x+ B 1 ( a 1 x 2 + b 1 x+ c 1 ) + A 2 x+ B 2 ( a 2 x 2 + b 2 x+ c 2 ) ++ A n x+ B n ( a n x 2 + b n x+ c n ) P(x) Q( x ) = A 1 x+ B 1 ( a 1 x 2 + b 1 x+ c 1 ) + A 2 x+ B 2 ( a 2 x 2 + b 2 x+ c 2 ) ++ A n x+ B n ( a n x 2 + b n x+ c n )

La descomposición puede contener más expresiones racionales si hay factores lineales. Cada factor lineal tendrá un numerador constante diferente A,B,C, A,B,C, y así sucesivamente.

Cómo

Dada una expresión racional en la que los factores del denominador son factores cuadráticos distintos e irreducibles, descompóngala.

  1. Utilice variables como A,B, A,B, o C C para los numeradores constantes sobre factores lineales, y expresiones lineales como A 1 x+ B 1 , A 2 x+ B 2 , A 1 x+ B 1 , A 2 x+ B 2 , etc., para los numeradores de cada factor cuadrático en el denominador.
    P(x) Q(x) = A ax+b + A 1 x+ B 1 ( a 1 x 2 + b 1 x+ c 1 ) + A 2 x+ B 2 ( a 2 x 2 + b 2 x+ c 2 ) ++ A n x+ B n ( a n x 2 + b n x+ c n ) P(x) Q(x) = A ax+b + A 1 x+ B 1 ( a 1 x 2 + b 1 x+ c 1 ) + A 2 x+ B 2 ( a 2 x 2 + b 2 x+ c 2 ) ++ A n x+ B n ( a n x 2 + b n x+ c n )
  2. Multiplique ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones.
  3. Expanda el lado derecho de la ecuación y reúna los términos similares.
  4. Establezca los coeficientes de los términos similares del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho a fin de crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores.

Ejemplo 3

Descomposición de P( x ) Q( x ) P( x ) Q( x ) cuando Q(x) contiene un factor cuadrático irreducible no repetido

Halle una descomposición parcial de fracciones de la expresión dada.

8 x 2 +12x-20 ( x+3 )( x 2 +x+2 ) 8 x 2 +12x-20 ( x+3 )( x 2 +x+2 )

Preguntas y respuestas

¿Podríamos haber establecido un sistema de ecuaciones para resolver el Ejemplo 3?

Sí, podríamos haberlo resuelto estableciendo un sistema de ecuaciones sin resolver para A A primero. La expansión de la derecha sería:

8 x 2 +12x-20=A x 2 +Ax+2A+B x 2 +3B+Cx+3C 8 x 2 +12x-20=(A+B) x 2 +(A+3B+C)x+(2A+3C) 8 x 2 +12x-20=A x 2 +Ax+2A+B x 2 +3B+Cx+3C 8 x 2 +12x-20=(A+B) x 2 +(A+3B+C)x+(2A+3C)

Así que el sistema de ecuaciones sería:

        A+B=8 A+3B+C=12 2A+3C=-20         A+B=8 A+3B+C=12 2A+3C=-20

Inténtelo #3

Halle la descomposición parcial de fracciones de la expresión con un factor cuadrático irreducible no repetido.

5 x 2 −6x+7 ( x−1 )( x 2 +1 ) 5 x 2 −6x+7 ( x−1 )( x 2 +1 )

Descomposición de P( x ) Q( x ) P( x ) Q( x ) cuando Q(x) tiene un factor cuadrático irreductible repetido

Ahora que podemos descomponer una expresión racional simplificada con un factor cuadrático irreducible, aprenderemos a hacer la descomposición parcial de fracciones cuando la expresión racional simplificada tiene factores cuadráticos irreducibles repetidos. La descomposición consistirá en fracciones parciales con numeradores lineales sobre cada factor cuadrático irreducible representado en potencias crecientes.

Descomposición de P( x ) Q( x ) P( x ) Q( x ) cuando Q(x) tiene un factor cuadrático irreductible repetido

La descomposición parcial de fracciones de P( x ) Q( x ) , P( x ) Q( x ) , cuando Q(x) Q(x) tiene un factor cuadrático irreducible repetido y el grado de P( x ) P( x ) es menor que el grado de Q( x ), Q( x ), es

P(x) ( a x 2 +bx+c ) n = A 1 x+ B 1 ( a x 2 +bx+c ) + A 2 x+ B 2 ( a x 2 +bx+c ) 2 + A 3 x+ B 3 ( a x 2 +bx+c ) 3 ++ A n x+ B n ( a x 2 +bx+c ) n P(x) ( a x 2 +bx+c ) n = A 1 x+ B 1 ( a x 2 +bx+c ) + A 2 x+ B 2 ( a x 2 +bx+c ) 2 + A 3 x+ B 3 ( a x 2 +bx+c ) 3 ++ A n x+ B n ( a x 2 +bx+c ) n

Escriba los denominadores en potencias crecientes.

Cómo

Dada una expresión racional que tiene un factor irreducible repetido, descompóngala.

  1. Utilice variables como A,B, A,B, o C C para los numeradores constantes sobre factores lineales, y expresiones lineales como A 1 x+ B 1 , A 2 x+ B 2 , A 1 x+ B 1 , A 2 x+ B 2 , etc., para los numeradores de cada factor cuadrático en el denominador escrito en potencias crecientes, como
    P(x) Q(x) = A ax+b + A 1 x+ B 1 (a x 2 +bx+c) + A 2 x+ B 2 (a x 2 +bx+c) 2 ++ A n + B n (a x 2 +bx+c) n P(x) Q(x) = A ax+b + A 1 x+ B 1 (a x 2 +bx+c) + A 2 x+ B 2 (a x 2 +bx+c) 2 ++ A n + B n (a x 2 +bx+c) n
  2. Multiplique ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones.
  3. Expanda el lado derecho de la ecuación y reúna los términos similares.
  4. Establezca los coeficientes de los términos similares del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho a fin de crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores.

Ejemplo 4

Descomponer una función racional con un factor cuadrático irreducible repetido en el denominador

Descomponga la expresión dada que tiene un factor irreducible repetido en el denominador.

x 4 + x 3 + x 2 -x+1 x ( x 2 +1 ) 2 x 4 + x 3 + x 2 -x+1 x ( x 2 +1 ) 2

Inténtelo #4

Halle la descomposición parcial de fracciones de la expresión con un factor cuadrático irreducible repetido.

x 3 -4 x 2 +9x−5 ( x 2 −2x+3 ) 2 x 3 -4 x 2 +9x−5 ( x 2 −2x+3 ) 2

9.4 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Se puede descomponer cualquier cociente de polinomios en al menos dos fracciones parciales? Si es así, explique por qué, y si no es así, dé un ejemplo de dicha fracción

2.

¿Puede explicar por qué la descomposición parcial de fracciones es única? (Pista: Piense en ello como un sistema de ecuaciones).

3.

¿Puede explicar cómo verificar gráficamente una descomposición parcial de fracciones?

4.

No está seguro de haber descompuesto correctamente la fracción parcial. Explique cómo podría comprobar su respuesta.

5.

Una vez que tiene un sistema de ecuaciones generado por la descomposición parcial de fracciones, ¿puede explicar otro método para resolverlo? Por ejemplo, si tuviera 7x+13 3 x 2 +8x+15 = A x+1 + B 3x+5 7x+13 3 x 2 +8x+15 = A x+1 + B 3x+5 , finalmente simplificamos a 7x+13=A(3x+5)+B(x+1). 7x+13=A(3x+5)+B(x+1). Explique cómo podría elegir inteligentemente un valor x x que elimine A A o B B y resuelva para A A y B. B.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para los factores lineales no repetitivos.

6.

5x+16 x 2 +10x+24 5x+16 x 2 +10x+24

7.

3x−79 x 2 −5x−24 3x−79 x 2 −5x−24

8.

-x−24 x 2 −2x−24 -x−24 x 2 −2x−24

9.

10x+47 x 2 +7x+10 10x+47 x 2 +7x+10

10.

x 6 x 2 +25x+25 x 6 x 2 +25x+25

11.

32x−11 20 x 2 -13x+2 32x−11 20 x 2 -13x+2

12.

x+1 x 2 +7x+10 x+1 x 2 +7x+10

13.

5x x 2 −9 5x x 2 −9

14.

10x x 2 −25 10x x 2 −25

15.

6x x 2 -4 6x x 2 -4

16.

2 x−3 x 2 −6x+5 2 x−3 x 2 −6x+5

17.

4x−1 x 2 -x−6 4x−1 x 2 -x−6

18.

4x+3 x 2 +8x+15 4x+3 x 2 +8x+15

19.

3x−1 x 2 −5x+6 3x−1 x 2 −5x+6

En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para los factores lineales repetidos.

20.

−5x−19 ( x+4 ) 2 −5x−19 ( x+4 ) 2

21.

x ( x−2 ) 2 x ( x−2 ) 2

22.

7x+14 ( x+3 ) 2 7x+14 ( x+3 ) 2

23.

−24x−27 ( 4x+5 ) 2 −24x−27 ( 4x+5 ) 2

24.

−24x−27 ( 6x−7 ) 2 −24x−27 ( 6x−7 ) 2

25.

5-x ( x−7 ) 2 5-x ( x−7 ) 2

26.

5x+14 2 x 2 +12x+18 5x+14 2 x 2 +12x+18

27.

5 x 2 +20x+8 2 x ( x+1 ) 2 5 x 2 +20x+8 2 x ( x+1 ) 2

28.

4 x 2 +55x+25 5x ( 3x+5 ) 2 4 x 2 +55x+25 5x ( 3x+5 ) 2

29.

54 x 3 +127 x 2 +80x+16 2 x 2 ( 3x+2 ) 2 54 x 3 +127 x 2 +80x+16 2 x 2 ( 3x+2 ) 2

30.

x 3 −5 x 2 +12x+144 x 2 ( x 2 +12x+36 ) x 3 −5 x 2 +12x+144 x 2 ( x 2 +12x+36 )

En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para el factor cuadrático irreducible no repetitivo.

31.

4 x 2 +6x+11 ( x+2 )( x 2 +x+3 ) 4 x 2 +6x+11 ( x+2 )( x 2 +x+3 )

32.

4 x 2 +9x+23 ( x−1 )( x 2 +6x+11 ) 4 x 2 +9x+23 ( x−1 )( x 2 +6x+11 )

33.

−2 x 2 +10x+4 ( x−1 )( x 2 +3x+8 ) −2 x 2 +10x+4 ( x−1 )( x 2 +3x+8 )

34.

x 2 +3x+1 ( x+1 )( x 2 +5x−2 ) x 2 +3x+1 ( x+1 )( x 2 +5x−2 )

35.

4 x 2 +17x−1 ( x+3 )( x 2 +6x+1 ) 4 x 2 +17x−1 ( x+3 )( x 2 +6x+1 )

36.

4 x 2 ( x+5 )( x 2 +7x−5 ) 4 x 2 ( x+5 )( x 2 +7x−5 )

37.

4 x 2 +5x+3 x 3 −1 4 x 2 +5x+3 x 3 −1

38.

−5 x 2 +18x-4 x 3 +8 −5 x 2 +18x-4 x 3 +8

39.

3 x 2 −7x+33 x 3 +27 3 x 2 −7x+33 x 3 +27

40.

x 2 +2 x+40 x 3 -125 x 2 +2 x+40 x 3 -125

41.

4 x 2 +4x+12 8 x 3 −27 4 x 2 +4x+12 8 x 3 −27

42.

-50 x 2 +5x−3 125 x 3 −1 -50 x 2 +5x−3 125 x 3 −1

43.

−2 x 3 −30 x 2 +36x+216 x 4 +216x −2 x 3 −30 x 2 +36x+216 x 4 +216x

En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para el factor cuadrático repetido irreducible.

44.

3 x 3 +2 x 2 +14x+15 ( x 2 +4 ) 2 3 x 3 +2 x 2 +14x+15 ( x 2 +4 ) 2

45.

x 3 +6 x 2 +5x+9 ( x 2 +1 ) 2 x 3 +6 x 2 +5x+9 ( x 2 +1 ) 2

46.

x 3 - x 2 +x−1 ( x 2 −3 ) 2 x 3 - x 2 +x−1 ( x 2 −3 ) 2

47.

x 2 +5x+5 ( x+2 ) 2 x 2 +5x+5 ( x+2 ) 2

48.

x 3 +2 x 2 +4x ( x 2 +2 x+9 ) 2 x 3 +2 x 2 +4x ( x 2 +2 x+9 ) 2

49.

x 2 +25 ( x 2 +3x+25 ) 2 x 2 +25 ( x 2 +3x+25 ) 2

50.

2 x 3 +11x2 +7x+70 ( 2 x 2 +x+14 ) 2 2 x 3 +11x2 +7x+70 ( 2 x 2 +x+14 ) 2

51.

5x+2 x ( x 2 +4 ) 2 5x+2 x ( x 2 +4 ) 2

52.

x 4 + x 3 +8 x 2 +6x+36 x ( x 2 +6 ) 2 x 4 + x 3 +8 x 2 +6x+36 x ( x 2 +6 ) 2

53.

2 x−9 ( x 2 -x ) 2 2 x−9 ( x 2 -x ) 2

54.

5 x 3 −2x+1 ( x 2 +2 x ) 2 5 x 3 −2x+1 ( x 2 +2 x ) 2

Extensiones

En los siguientes ejercicios, halle la expansión de fracción parcial.

55.

x 2 +4 ( x+1 ) 3 x 2 +4 ( x+1 ) 3

56.

x 3 -4 x 2 +5x+4 ( x−2 ) 3 x 3 -4 x 2 +5x+4 ( x−2 ) 3

En los siguientes ejercicios, realice la operación y luego halle la descomposición de la fracción parcial.

57.

7 x+8 + 5 x−2 x−1 x 2 −6x−16 7 x+8 + 5 x−2 x−1 x 2 −6x−16

58.

1 x-4 - 3 x+6 - 2 x+7 x 2 +2 x−24 1 x-4 - 3 x+6 - 2 x+7 x 2 +2 x−24

59.

2 x x 2 −16 1−2x x 2 +6x+8 - x−5 x 2 -4x 2 x x 2 −16 1−2x x 2 +6x+8 - x−5 x 2 -4x

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