9.4 Fracciones parciales

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Descomponer $\frac{P (x)}{Q (x)}$ , donde $Q (x)$ solo tiene factores lineales no repetidos.
Descomponer $\frac{P (x)}{Q (x)}$ , donde $Q (x)$ tiene factores lineales repetidos.
Descomponer $\frac{P (x)}{Q (x)}$ , donde $Q (x)$ tiene un factor cuadrático irreducible no repetido.
Descomponer $\frac{P (x)}{Q (x)}$ , donde $Q (x)$ tiene un factor cuadrático irreducible repetido.

En este capítulo hemos estudiado sistemas de dos ecuaciones en dos variables, sistemas de tres ecuaciones en tres variables y sistemas no lineales. Aquí introducimos otra forma de utilizar los sistemas de ecuaciones: la descomposición de expresiones racionales.

Las fracciones pueden ser complicadas; sumar una variable en el denominador las hace aún más complicadas. Los métodos estudiados en esta sección ayudarán a simplificar el concepto de expresión racional.

Descomponer $\frac{P (x)}{Q (x)}$ donde Q(x) solo tiene factores lineales no repetidos

Recuerde el álgebra relativa a la suma y la resta de expresiones racionales. Estas operaciones dependen de hallar un denominador común para que podamos escribir la suma o la diferencia como una única expresión racional simplificada. En esta sección, veremos la descomposición parcial de fracciones, que es el deshecho del procedimiento para sumar o restar expresiones racionales. Es decir, se trata de un retorno de la única expresión racional simplificada a las expresiones originales, llamada la fracción parcial.

Por ejemplo, supongamos que sumamos las siguientes fracciones:

\frac{2}{x −3} + \frac{−1}{x + 2}

Primero tendríamos que hallar un denominador común, $(x + 2) (x −3) .$

A continuación, escribiríamos cada expresión con este denominador común y hallaríamos la suma de los términos.

\begin{array}{l} \frac{2}{x - 3} (\frac{x + 2}{x + 2}) + \frac{- 1}{x + 2} (\frac{x - 3}{x - 3}) = \\ \frac{2 x + 4 - x + 3}{(x + 2) (x - 3)} = \frac{x + 7}{x^{2} - x - 6} \end{array}

La descomposición parcial de fracciones es lo inverso de este procedimiento. Empezaríamos con la solución y la reescribiríamos (descompondríamos) como la suma de dos fracciones.

\underset{\begin{array}{l} Suma simplificada \end{array}}{\frac{x + 7}{x^{2} - x −6}} = \underset{\begin{array}{l} Descomposición parcial de fracciones \end{array}}{\frac{2}{x −3} + \frac{−1}{x + 2}}

Investigaremos expresiones racionales con factores lineales y factores cuadráticos en el denominador donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Independientemente del tipo de expresión que estemos descomponiendo, lo primero y más importante es factorizar el denominador.

Cuando el denominador de la expresión simplificada contiene distintos factores lineales es probable que cada una de las expresiones racionales originales que se sumaron o restaron tuvieran uno de los factores lineales como denominador. En otras palabras, al utilizar el ejemplo anterior, los factores de $x^{2} - x −6$ son $(x −3) (x + 2),$ los denominadores de la expresión racional descompuesta. Así que reescribiremos la forma simplificada como la suma de fracciones individuales y utilizaremos una variable para cada numerador. A continuación, resolveremos cada numerador utilizando uno de varios métodos disponibles para la descomposición parcial de fracciones.

Descomposición parcial de fracciones $\frac{P (x)}{Q (x)} donde Q (x)$ tiene factores lineales no repetidos

La descomposición parcial de fracciones de $\frac{P (x)}{Q (x)}$ cuando $Q (x)$ tiene factores lineales no repetidos y el grado de $P (x)$ es menor que el grado de $Q (x)$ es

\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A_{1}}{(a_{1} x + b_{1})} + \frac{A_{2}}{(a_{2} x + b_{2})} + \frac{A_{3}}{(a_{3} x + b_{3})} + \cdot \cdot \cdot + \frac{A_{n}}{(a_{n} x + b_{n})} .

Cómo

Dada una expresión racional con factores lineales distintos en el denominador, descompóngala.

Utilice una variable para los numeradores originales, normalmente $A, B,$ o $C,$ dependiendo del número de factores, y coloque cada variable sobre un único factor. A efectos de esta definición, utilizamos $A_{n}$ para cada numerador
$\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A_{1}}{(a_{1} x + b_{1})} + \frac{A_{2}}{(a_{2} x + b_{2})} + \dots + \frac{A_{n}}{(a_{n} x + b_{n})}$
Multiplique ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones.
Expanda el lado derecho de la ecuación y reúna los términos similares.
Establezca los coeficientes de los términos similares del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho a fin de crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores.

Ejemplo 1

Descomposición de una función racional con factores lineales distintos

Descomponer la expresión racional dada con factores lineales distintos.

\frac{3 x}{(x + 2) (x −1)}

Solución

Separaremos los factores del denominador y daremos a cada numerador una marca simbólica, como $A, B,$ o $C .$

\frac{3 x}{(x + 2) (x −1)} = \frac{A}{(x + 2)} + \frac{B}{(x −1)}

Multiplique ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones:

(x + 2) (x −1) [\frac{3 x}{(x + 2) (x −1)}] = (x + 2) (x −1) [\frac{A}{(x + 2)}] + (x + 2) (x −1) [\frac{B}{(x −1)}]

La ecuación resultante es

3 x = A (x −1) + B (x + 2)

Expanda el lado derecho de la ecuación y reúna los términos similares.

\begin{array}{l} 3 x = A x - A + B x + 2 B \\ 3 x = (A + B) x - A + 2 B \end{array}

Establezca un sistema de ecuaciones asociando los coeficientes correspondientes.

\begin{array}{l} 3 = A + B \\ 0 = - A + 2 B \end{array}

Sume las dos ecuaciones y resuelva para $B .$

\begin{array}{l} \underline{\begin{array}{l} 3 = A + B \\ 0 = - A + 2 B \end{array}} \\ 3 = 0 + 3 B \\ 1 = B \end{array}

Sustituya $B = 1$ en una de las ecuaciones originales del sistema.

\begin{array}{l} 3 = A + 1 \\ 2 = A \end{array}

Así, la descomposición parcial de fracciones es

\frac{3 x}{(x + 2) (x −1)} = \frac{2}{(x + 2)} + \frac{1}{(x −1)}

Otro método que se utiliza para resolver $A$ o $B$ es considerando la ecuación que resulta al eliminar las fracciones y sustituir un valor por $x$ que hará que el término A o el término B sea igual a 0. Supongamos que $x = 1,$ el término
$A$ se convierte en 0 y podemos simplemente resolver para $B .$

\begin{array}{l} 3 x = A (x - 1) + B (x + 2) \\ 3 (1) = A [(1) - 1] + B [(1) + 2] \\ 3 = 0 + 3 B \\ 1 = B \end{array}

A continuación, sustituya $B = 1$ en la ecuación y resolvemos para $A,$ o haga que el término B sea 0 sustituyendo $x = −2$ en la ecuación.

\begin{array}{l} 3 x = A (x - 1) + B (x + 2) \\ 3 (- 2) = A [(- 2) - 1] + B [(- 2) + 2] \\ - 6 = - 3 A + 0 \\ \frac{- 6}{- 3} = A \\ 2 = A \end{array}

Obtenemos los mismos valores para $A$ y $B$ utilizando cualquiera de los dos métodos, por lo tanto, las descomposiciones son las mismas al utilizar cualquiera de los dos métodos.

\frac{3 x}{(x + 2) (x −1)} = \frac{2}{(x + 2)} + \frac{1}{(x −1)}

Aunque este método no se ve muy a menudo en los libros de texto, lo presentamos aquí como una alternativa que puede facilitar algunas descomposiciones de fracciones parciales. Se conoce como el método de Heaviside, llamado así por Charles Heaviside, pionero en el estudio de la electrónica.

Inténtelo #1

Halle la descomposición parcial de fracciones de la siguiente expresión.

\frac{x}{(x −3) (x −2)}

Descomposición de $\frac{P (x)}{Q (x)}$ donde Q(x) tiene factores lineales repetidos

Algunas fracciones con las que nos podemos encontrar son casos especiales que podemos descomponer en fracciones parciales con factores lineales repetidos. Debemos recordar que contabilizamos los factores repetidos escribiendo cada factor en potencias crecientes.

Descomposición parcial de fracciones de $\frac{P (x)}{Q (x)} donde Q (x)$ tiene factores lineales repetidos

La descomposición parcial de fracciones de $\frac{P (x)}{Q (x)},$ cuando $Q (x)$ tiene un factor lineal repetido que ocurre $n$ veces y el grado de $P (x)$ es menor que el grado de $Q (x),$ es

\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A_{1}}{(a x + b)} + \frac{A_{2}}{{(a x + b)}^{2}} + \frac{A_{3}}{{(a x + b)}^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{A_{n}}{{(a x + b)}^{n}}

Escriba las potencias del denominador en orden creciente.

Cómo

Dada una expresión racional con factores lineales repetidos, descompóngala.

Utilice una variable como $A, B,$ o $C$ para los numeradores y considere que los denominadores tienen potencias crecientes.
$\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A_{1}}{(a x + b)} + \frac{A_{2}}{{(a x + b)}^{2}} + . . . + \frac{A_{n}}{{(a x + b)}^{n}}$
Multiplique ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones.
Expanda el lado derecho de la ecuación y reúna los términos similares.
Establezca los coeficientes de los términos similares del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho a fin de crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores.

Ejemplo 2

Descomponer con factores lineales repetidos

Descomponga la expresión racional dada con factores lineales repetidos.

\frac{- x^{2} + 2 x + 4}{x^{3} -4 x^{2} + 4 x}

Solución

Los factores del denominador son $x {(x −2)}^{2} .$ Para tener en cuenta el factor repetido de $(x −2),$ la descomposición incluirá tres denominadores $x, (x −2),$ y ${(x −2)}^{2} .$ Así,

\frac{- x^{2} + 2 x + 4}{x^{3} -4 x^{2} + 4 x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{(x −2)} + \frac{C}{{(x −2)}^{2}}

A continuación, multiplicamos ambos lados por el denominador común.

\begin{array}{l} x {(x −2)}^{2} [\frac{- x^{2} + 2 x + 4}{x {(x −2)}^{2}}] = [\frac{A}{x} + \frac{B}{(x −2)} + \frac{C}{{(x −2)}^{2}}] x {(x −2)}^{2} \\ - x^{2} + 2 x + 4 = A {(x −2)}^{2} + B x (x −2) + C x \end{array}

En el lado derecho de la ecuación, ampliamos y reunimos términos similares.

\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x + 4 = A (x^{2} - 4 x + 4) + B (x^{2} - 2 x) + C x \\ = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x \\ = (A + B) x^{2} + (- 4 A - 2 B + C) x + 4 A \end{array}

A continuación, comparamos los coeficientes de ambos lados. Esto dará el sistema de ecuaciones en tres variables:

- x^{2} + 2 x + 4 = (A + B) x^{2} + (-4 A −2 B + C) x + 4 A

\begin{array}{r} A + B = −1 & (1) \\ -4 A −2 B + C = 2 & (2) \\ 4 A = 4 & (3) \end{array}

Al resolver para $A$ , tenemos

\begin{array}{l} 4 A = 4 \\ A = 1 \end{array}

Sustituya $A = 1$ en la ecuación (1).

\begin{array}{l} A + B = −1 \\ (1) + B = −1 \\ B = –2 \end{array}

Entonces, para resolver $C,$ sustituya los valores de $A$ y $B$ en la ecuación (2).

\begin{array}{r} -4 A −2 B + C = 2 \\ -4 (1) −2 (−2) + C = 2 \\ -4 + 4 + C = 2 \\ C = 2 \end{array}

Por lo tanto,

\frac{- x^{2} + 2 x + 4}{x^{3} -4 x^{2} + 4 x} = \frac{1}{x} - \frac{2}{(x −2)} + \frac{2}{{(x −2)}^{2}}

Inténtelo #2

Halle la descomposición parcial de fracciones de la expresión con factores lineales repetidos.

\frac{6 x −11}{{(x −1)}^{2}}

Descomposición de $\frac{P (x)}{Q (x)},$ donde Q(x) tiene un factor cuadrático irreducible no repetido

Hasta ahora, hemos realizado la descomposición parcial de fracciones con expresiones que han tenido factores lineales en el denominador, y hemos aplicado numeradores $A, B,$ o $C$ que representan las constantes. Ahora veremos un ejemplo en el que uno de los factores del denominador es una expresión cuadrática que no se factoriza. Esto se denomina factor cuadrático irreducible. En casos como este, utilizamos un numerador lineal como $A x + B, B x + C,$ etc.

Descomposición de $\frac{P (x)}{Q (x)} : Q (x)$ tiene un factor cuadrático irreductible no repetido

La descomposición parcial de fracciones de $\frac{P (x)}{Q (x)}$ de manera que $Q (x)$ tiene un factor cuadrático irreducible no repetido y el grado de $P (x)$ es menor que el grado de $Q (x)$ se escribe como

\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A_{1} x + B_{1}}{(a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1})} + \frac{A_{2} x + B_{2}}{(a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2})} + \cdot \cdot \cdot + \frac{A_{n} x + B_{n}}{(a_{n} x^{2} + b_{n} x + c_{n})}

La descomposición puede contener más expresiones racionales si hay factores lineales. Cada factor lineal tendrá un numerador constante diferente $A, B, C,$ y así sucesivamente.

Cómo

Dada una expresión racional en la que los factores del denominador son factores cuadráticos distintos e irreducibles, descompóngala.

Utilice variables como $A, B,$ o $C$ para los numeradores constantes sobre factores lineales, y expresiones lineales como $A_{1} x + B_{1}, A_{2} x + B_{2},$ etc., para los numeradores de cada factor cuadrático en el denominador.
$\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A}{a x + b} + \frac{A_{1} x + B_{1}}{(a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1})} + \frac{A_{2} x + B_{2}}{(a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2})} + \cdot \cdot \cdot + \frac{A_{n} x + B_{n}}{(a_{n} x^{2} + b_{n} x + c_{n})}$
Multiplique ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones.
Expanda el lado derecho de la ecuación y reúna los términos similares.
Establezca los coeficientes de los términos similares del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho a fin de crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores.

Ejemplo 3

Descomposición de $\frac{P (x)}{Q (x)}$ cuando Q(x) contiene un factor cuadrático irreducible no repetido

Halle una descomposición parcial de fracciones de la expresión dada.

\frac{8 x^{2} + 12 x -20}{(x + 3) (x^{2} + x + 2)}

Solución

Tenemos un factor lineal y un factor cuadrático irreducible en el denominador, por lo que un numerador será una constante y el otro numerador será una expresión lineal. Por lo tanto,

\frac{8 x^{2} + 12 x -20}{(x + 3) (x^{2} + x + 2)} = \frac{A}{(x + 3)} + \frac{B x + C}{(x^{2} + x + 2)}

Seguimos los mismos pasos que en los problemas anteriores. Primero, despeje las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador común.

\begin{array}{l} (x + 3) (x^{2} + x + 2) [\frac{8 x^{2} + 12 x - 20}{(x + 3) (x^{2} + x + 2)}] = [\frac{A}{(x + 3)} + \frac{B x + C}{(x^{2} + x + 2)}] (x + 3) (x^{2} + x + 2) \\ 8 x^{2} + 12 x - 20 = A (x^{2} + x + 2) + (B x + C) (x + 3) \end{array}

Tome en cuenta que podríamos resolver fácilmente para $A$ al elegir un valor para $x$ que hará que el término $B x + C$ sea igual a 0. Supongamos que $x = −3$ y sustitúyalo en la ecuación.

\begin{array}{l} 8 x^{2} + 12 x - 20 = A (x^{2} + x + 2) + (B x + C) (x + 3) \\ 8 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) - 20 = A ({(- 3)}^{2} + (- 3) + 2) + (B (- 3) + C) ((- 3) + 3) \\ 16 = 8 A \\ A = 2 \end{array}

Ahora que conocemos el valor de $A,$ sustitúyalo de nuevo en la ecuación. A continuación, amplíe el lado derecho y reúna términos similares.

\begin{array}{l} 8 x^{2} + 12 x -20 = 2 (x^{2} + x + 2) + (B x + C) (x + 3) \\ 8 x^{2} + 12 x -20 = 2 x^{2} + 2 x + 4 + B x^{2} + 3 B + C x + 3 C \\ 8 x^{2} + 12 x -20 = (2 + B) x^{2} + (2 + 3 B + C) x + (4 + 3 C) \end{array}

Si los coeficientes de los términos del lado derecho son iguales a los coeficientes de los términos del lado izquierdo, se obtiene el sistema de ecuaciones.

\begin{array}{l} 2 + B = 8 & (1) \\ 2 + 3 B + C = 12 & (2) \\ 4 + 3 C = -20 & (3) \end{array}

Resuelva para $B$ utilizando la ecuación (1) y resuelva para $C$ utilizando la ecuación (3).

\begin{array}{l} 2 + B = 8 & (1) \\ B = 6 \\ 4 + 3 C = -20 & (3) \\ 3 C = −24 \\ C = −8 \end{array}

De esta forma, la descomposición parcial de fracciones de la expresión es

\frac{8 x^{2} + 12 x -20}{(x + 3) (x^{2} + x + 2)} = \frac{2}{(x + 3)} + \frac{6 x −8}{(x^{2} + x + 2)}

Preguntas y respuestas

¿Podríamos haber establecido un sistema de ecuaciones para resolver el Ejemplo 3?

Sí, podríamos haberlo resuelto estableciendo un sistema de ecuaciones sin resolver para $A$ primero. La expansión de la derecha sería:

\begin{array}{l} \begin{array}{l} 8 x^{2} + 12 x -20 = A x^{2} + A x + 2 A + B x^{2} + 3 B + C x + 3 C \end{array} \\ 8 x^{2} + 12 x -20 = (A + B) x^{2} + (A + 3 B + C) x + (2 A + 3 C) \end{array}

Así que el sistema de ecuaciones sería:

\begin{array}{l} A + B = 8 \\ A + 3 B + C = 12 \\ 2 A + 3 C = -20 \end{array}

Inténtelo #3

Halle la descomposición parcial de fracciones de la expresión con un factor cuadrático irreducible no repetido.

\frac{5 x^{2} −6 x + 7}{(x −1) (x^{2} + 1)}

Descomposición de $\frac{P (x)}{Q (x)}$ cuando Q(x) tiene un factor cuadrático irreductible repetido

Ahora que podemos descomponer una expresión racional simplificada con un factor cuadrático irreducible, aprenderemos a hacer la descomposición parcial de fracciones cuando la expresión racional simplificada tiene factores cuadráticos irreducibles repetidos. La descomposición consistirá en fracciones parciales con numeradores lineales sobre cada factor cuadrático irreducible representado en potencias crecientes.

Descomposición de $\frac{P (x)}{Q (x)}$ cuando Q(x) tiene un factor cuadrático irreductible repetido

La descomposición parcial de fracciones de $\frac{P (x)}{Q (x)},$ cuando $Q (x)$ tiene un factor cuadrático irreducible repetido y el grado de $P (x)$ es menor que el grado de $Q (x),$ es

\frac{P (x)}{{(a x^{2} + b x + c)}^{n}} = \frac{A_{1} x + B_{1}}{(a x^{2} + b x + c)} + \frac{A_{2} x + B_{2}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{2}} + \frac{A_{3} x + B_{3}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{A_{n} x + B_{n}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{n}}

Escriba los denominadores en potencias crecientes.

Cómo

Dada una expresión racional que tiene un factor irreducible repetido, descompóngala.

Utilice variables como $A, B,$ o $C$ para los numeradores constantes sobre factores lineales, y expresiones lineales como $A_{1} x + B_{1}, A_{2} x + B_{2},$ etc., para los numeradores de cada factor cuadrático en el denominador escrito en potencias crecientes, como
$\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A}{a x + b} + \frac{A_{1} x + B_{1}}{(a x^{2} + b x + c)} + \frac{A_{2} x + B_{2}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{2}} + \dots + \frac{A_{n} + B_{n}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{n}}$
Multiplique ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones.
Expanda el lado derecho de la ecuación y reúna los términos similares.
Establezca los coeficientes de los términos similares del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho a fin de crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores.

Ejemplo 4

Descomponer una función racional con un factor cuadrático irreducible repetido en el denominador

Descomponga la expresión dada que tiene un factor irreducible repetido en el denominador.

\frac{x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1}{x {(x^{2} + 1)}^{2}}

Solución

Los factores del denominador son $x, (x^{2} + 1),$ y ${(x^{2} + 1)}^{2} .$ Recordemos que, cuando un factor del denominador es un cuadrático que incluye al menos dos términos, el numerador debe ser de la forma lineal $A x + B .$ Así que vamos a empezar la descomposición.

\frac{x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1}{x {(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{(x^{2} + 1)} + \frac{D x + E}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

Eliminamos los denominadores al multiplicar cada término por $x {(x^{2} + 1)}^{2} .$ Así,

x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A {(x^{2} + 1)}^{2} + (B x + C) (x) (x^{2} + 1) + (D x + E) (x)

Amplíe el lado derecho.

\begin{array}{l} x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + B x^{4} + B x^{2} + C x^{3} + C x + D x^{2} + E x \\ = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{4} + B x^{2} + C x^{3} + C x + D x^{2} + E x \end{array}

Ahora recopilaremos términos similares.

x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = (A + B) x^{4} + (C) x^{3} + (2 A + B + D) x^{2} + (C + E) x + A

Establezca el sistema de ecuaciones haciendo coincidir los coeficientes correspondientes a cada lado del signo de igual.

\begin{array}{l} A + B = 1 \\ C = 1 \\ 2 A + B + D = 1 \\ C + E = −1 \\ A = 1 \end{array}

A partir de este punto podemos utilizar la sustitución. Sustituya $A = 1$ en la primera ecuación.

\begin{array}{l} 1 + B = 1 \\ B = 0 \end{array}

Sustituya $A = 1$ y $B = 0$ en la tercera ecuación.

\begin{array}{l} 2 (1) + 0 + D = 1 \\ D = –1 \end{array}

Sustituya $C = 1$ en la cuarta ecuación.

\begin{array}{r} 1 + E = −1 \\ E = –2 \end{array}

Ahora hemos resuelto todas las incógnitas del lado derecho del signo de igual. Tenemos $A = 1,$ $B = 0,$ $C = 1,$ $D = −1,$ y $E = -2.$ Podemos escribir la descomposición de la siguiente manera:

\frac{x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1}{x {(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{(x^{2} + 1)} - \frac{x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

Inténtelo #4

Halle la descomposición parcial de fracciones de la expresión con un factor cuadrático irreducible repetido.

\frac{x^{3} -4 x^{2} + 9 x −5}{{(x^{2} −2 x + 3)}^{2}}

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar fracciones parciales.

9.4 Ejercicios de sección

Verbales

¿Se puede descomponer cualquier cociente de polinomios en al menos dos fracciones parciales? Si es así, explique por qué, y si no es así, dé un ejemplo de dicha fracción

¿Puede explicar por qué la descomposición parcial de fracciones es única? (Pista: Piense en ello como un sistema de ecuaciones).

¿Puede explicar cómo verificar gráficamente una descomposición parcial de fracciones?

No está seguro de haber descompuesto correctamente la fracción parcial. Explique cómo podría comprobar su respuesta.

Una vez que tiene un sistema de ecuaciones generado por la descomposición parcial de fracciones, ¿puede explicar otro método para resolverlo? Por ejemplo, si tuviera $\frac{7 x + 13}{3 x^{2} + 8 x + 15} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{3 x + 5}$ , finalmente simplificamos a $7 x + 13 = A (3 x + 5) + B (x + 1) .$ Explique cómo podría elegir inteligentemente un valor $x$ que elimine $A$ o $B$ y resuelva para $A$ y $B .$

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para los factores lineales no repetitivos.

$\frac{5 x + 16}{x^{2} + 10 x + 24}$

$\frac{3 x −79}{x^{2} −5 x −24}$

$\frac{- x −24}{x^{2} −2 x −24}$

$\frac{10 x + 47}{x^{2} + 7 x + 10}$

10.

$\frac{x}{6 x^{2} + 25 x + 25}$

11.

$\frac{32 x −11}{20 x^{2} -13 x + 2}$

12.

$\frac{x + 1}{x^{2} + 7 x + 10}$

13.

$\frac{5 x}{x^{2} −9}$

14.

$\frac{10 x}{x^{2} −25}$

15.

$\frac{6 x}{x^{2} -4}$

16.

$\frac{2 x −3}{x^{2} −6 x + 5}$

17.

$\frac{4 x −1}{x^{2} - x −6}$

18.

$\frac{4 x + 3}{x^{2} + 8 x + 15}$

19.

$\frac{3 x −1}{x^{2} −5 x + 6}$

En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para los factores lineales repetidos.

20.

$\frac{−5 x −19}{{(x + 4)}^{2}}$

21.

$\frac{x}{{(x −2)}^{2}}$

22.

$\frac{7 x + 14}{{(x + 3)}^{2}}$

23.

$\frac{−24 x −27}{{(4 x + 5)}^{2}}$

24.

$\frac{−24 x −27}{{(6 x −7)}^{2}}$

25.

$\frac{5 - x}{{(x −7)}^{2}}$

26.

$\frac{5 x + 14}{2 x^{2} + 12 x + 18}$

27.

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 8}{2 x {(x + 1)}^{2}}$

28.

$\frac{4 x^{2} + 55 x + 25}{5 x {(3 x + 5)}^{2}}$

29.

$\frac{54 x^{3} + 127 x^{2} + 80 x + 16}{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{2}}$

30.

$\frac{x^{3} −5 x^{2} + 12 x + 144}{x^{2} (x^{2} + 12 x + 36)}$

En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para el factor cuadrático irreducible no repetitivo.

31.

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 11}{(x + 2) (x^{2} + x + 3)}$

32.

$\frac{4 x^{2} + 9 x + 23}{(x −1) (x^{2} + 6 x + 11)}$

33.

$\frac{−2 x^{2} + 10 x + 4}{(x −1) (x^{2} + 3 x + 8)}$

34.

$\frac{x^{2} + 3 x + 1}{(x + 1) (x^{2} + 5 x −2)}$

35.

$\frac{4 x^{2} + 17 x −1}{(x + 3) (x^{2} + 6 x + 1)}$

36.

$\frac{4 x^{2}}{(x + 5) (x^{2} + 7 x −5)}$

37.

$\frac{4 x^{2} + 5 x + 3}{x^{3} −1}$

38.

$\frac{−5 x^{2} + 18 x -4}{x^{3} + 8}$

39.

$\frac{3 x^{2} −7 x + 33}{x^{3} + 27}$

40.

$\frac{x^{2} + 2 x + 40}{x^{3} -125}$

41.

$\frac{4 x^{2} + 4 x + 12}{8 x^{3} −27}$

42.

$\frac{-50 x^{2} + 5 x −3}{125 x^{3} −1}$

43.

$\frac{−2 x^{3} −30 x^{2} + 36 x + 216}{x^{4} + 216 x}$

En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para el factor cuadrático repetido irreducible.

44.

$\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 14 x + 15}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

45.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 5 x + 9}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

46.

$\frac{x^{3} - x^{2} + x −1}{{(x^{2} −3)}^{2}}$

47.

$\frac{x^{2} + 5 x + 5}{{(x + 2)}^{2}}$

48.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x + 9)}^{2}}$

49.

$\frac{x^{2} + 25}{{(x^{2} + 3 x + 25)}^{2}}$

50.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 7 x + 70}{{(2 x^{2} + x + 14)}^{2}}$

51.

$\frac{5 x + 2}{x {(x^{2} + 4)}^{2}}$

52.

$\frac{x^{4} + x^{3} + 8 x^{2} + 6 x + 36}{x {(x^{2} + 6)}^{2}}$

53.

$\frac{2 x −9}{{(x^{2} - x)}^{2}}$

54.

$\frac{5 x^{3} −2 x + 1}{{(x^{2} + 2 x)}^{2}}$

Extensiones

En los siguientes ejercicios, halle la expansión de fracción parcial.

55.

$\frac{x^{2} + 4}{{(x + 1)}^{3}}$

56.

$\frac{x^{3} -4 x^{2} + 5 x + 4}{{(x −2)}^{3}}$

En los siguientes ejercicios, realice la operación y luego halle la descomposición de la fracción parcial.

57.

$\frac{7}{x + 8} + \frac{5}{x −2} - \frac{x −1}{x^{2} −6 x −16}$

58.

$\frac{1}{x -4} - \frac{3}{x + 6} - \frac{2 x + 7}{x^{2} + 2 x −24}$

59.

$\frac{2 x}{x^{2} −16} - \frac{1 −2 x}{x^{2} + 6 x + 8} - \frac{x −5}{x^{2} -4 x}$

Descomponer P( x ) Q( x ) P( x ) Q( x ) donde Q(x) solo tiene factores lineales no repetidos

Descomposición de una función racional con factores lineales distintos

Solución

Descomposición de P( x ) Q( x ) P( x ) Q( x ) donde Q(x) tiene factores lineales repetidos

Descomponer con factores lineales repetidos

Solución

Descomposición de P( x ) Q( x ) , P( x ) Q( x ) , donde Q(x) tiene un factor cuadrático irreducible no repetido

Descomposición de P( x ) Q( x ) P( x ) Q( x ) cuando Q(x) contiene un factor cuadrático irreducible no repetido

Solución

Descomposición de P( x ) Q( x ) P( x ) Q( x ) cuando Q(x) tiene un factor cuadrático irreductible repetido

Descomponer una función racional con un factor cuadrático irreducible repetido en el denominador

Solución

9.4 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Extensiones

Descomponer $\frac{P (x)}{Q (x)}$ donde Q(x) solo tiene factores lineales no repetidos

Descomposición de $\frac{P (x)}{Q (x)}$ donde Q(x) tiene factores lineales repetidos

Descomposición de $\frac{P (x)}{Q (x)},$ donde Q(x) tiene un factor cuadrático irreducible no repetido

Descomposición de $\frac{P (x)}{Q (x)}$ cuando Q(x) contiene un factor cuadrático irreducible no repetido

Descomposición de $\frac{P (x)}{Q (x)}$ cuando Q(x) tiene un factor cuadrático irreductible repetido