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Precálculo 2ed

9.5 Matrices y operaciones con matrices

Precálculo 2ed9.5 Matrices y operaciones con matrices

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Hallar la suma y la diferencia de dos matrices.
  • Hallar múltiplos escalares de una matriz.
  • Hallar la multiplicación de dos matrices.
Figura 1 (Créditos: "SD Dirk", Flickr).

Dos equipos de fútbol de club, los Wildcats y los Mud Cats, esperan obtener nuevo equipamiento para una próxima temporada. La Tabla 1 muestra las necesidades de ambos equipos.

Wildcats Mud Cats
Porterías 6 10
Pelotas 30 24
Camisetas 14 20
Tabla 1

Una portería cuesta 300 dólares, un balón 10 dólares y una camiseta 30 dólares. ¿Cómo podemos calcular el costo total del equipamiento necesario para cada equipo? En esta sección descubrimos un método en el que los datos de la tabla de equipos de fútbol se pueden mostrar y utilizar para calcular otra información. Entonces, podremos calcular el costo del equipamiento.

Hallar la suma y la diferencia de dos matrices

Para resolver un problema como el descrito de los equipos de fútbol, podemos utilizar una matriz, que es un conjunto rectangular de números. La fila de una matriz es un conjunto de números alineados horizontalmente. La columna de una matriz es un conjunto de números alineados verticalmente. Cada número es una entrada, a veces llamado elemento, de la matriz. Las matrices (en plural) se encierran en [ ] o ( ), y suelen nombrarse con letras mayúsculas. Por ejemplo, tres matrices denominadas A,B, A,B, y C C se muestran a continuación.

A=[ 1 2 3 4 ],B=[ 1 2 7 0 −5 6 7 8 2 ],C=[ −1 0 3 3 2 1 ] A=[ 1 2 3 4 ],B=[ 1 2 7 0 −5 6 7 8 2 ],C=[ −1 0 3 3 2 1 ]

Descripción de matrices

A menudo se hace referencia a una matriz por su tamaño o sus dimensiones: m×n m×n indicando m m filas y n n columnas. Las entradas de la matriz se definen primero por fila y luego por columna. Por ejemplo, para localizar la entrada en la matriz A A identificada como a ij , a ij , buscamos la entrada en la fila i, i, columna j. j. En la matriz A,   A,   que se muestra a continuación, la entrada en la fila 2, columna 3 es a 23 . a 23 .

A=[ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] A=[ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ]

Una matriz cuadrada es una matriz de dimensiones n×n, n×n, lo que significa que tiene el mismo número de filas que de columnas. La matriz 3×3 3×3 La anterior es un ejemplo de matriz cuadrada.

Una matriz de filas es una matriz formada por una fila de dimensiones 1×n. 1×n.

[ a 11 a 12 a 13 ] [ a 11 a 12 a 13 ]

Una matriz de columnas es una matriz formada por una columna de dimensiones m×1. m×1.

[ a 11 a 21 a 31 ] [ a 11 a 21 a 31 ]

Se puede utilizar una matriz para representar un sistema de ecuaciones. En estos casos, los números representan los coeficientes de las variables del sistema. Las matrices facilitan la resolución de sistemas de ecuaciones porque no están cargadas de variables. Investigaremos esta idea más a fondo en la siguiente sección, pero primero veremos las operaciones con matrices básicas.

Matrices

Una matriz es un conjunto rectangular de números que se suele nombrar con una letra mayúscula A,B,C, A,B,C, y así sucesivamente. Cada entrada de una matriz se denomina a ij , a ij , de manera que i i representa la fila y j j representa la columna. Las matrices suelen denominarse por sus dimensiones m×n m×n indicando m m filas y n n columnas.

Ejemplo 1

Hallar las dimensiones de la matriz dada y localizar las entradas

Matriz dada A: A:

  1. ¿Cuáles son las dimensiones de la matriz A? A?
  2. ¿Cuáles son las entradas en a 31 a 31 y a 22 ? a 22 ?
    A=[ 2 1 0 2 4 7 3 1 -2 ] A=[ 2 1 0 2 4 7 3 1 -2 ]

Suma y resta de matrices

Utilizamos las matrices para enumerar datos o representar sistemas. Como las entradas son números, podemos realizar operaciones con matrices. Sumamos o restamos matrices al sumar o restar las entradas correspondientes.

Para ello, las entradas deben corresponder. Por lo tanto, la suma y la resta de matrices solo es posible cuando las matrices tienen las mismas dimensiones. Podemos sumar o restar una matriz 3×3 3×3 y otra matriz 3×3 3×3 , pero no podemos sumar o restar una matriz 2×3 2×3 y una matriz 3×3 3×3 porque algunas entradas de una matriz no tendrán una entrada correspondiente en la otra matriz.

Suma y resta de matrices

Dadas las matrices A A y B B de dimensiones similares, la suma y la resta de A A y B B producirá la matriz C C o
la matriz D D de la misma dimensión.

A+B=Ctal que  a ij + b ij = c ij A+B=Ctal que  a ij + b ij = c ij
A-B=Dtal que  a ij b ij = d ij A-B=Dtal que  a ij b ij = d ij

La suma de matrices es conmutativa.

A+B=B+A A+B=B+A

También es asociativa.

( A+B )+C=A+( B+C ) ( A+B )+C=A+( B+C )

Ejemplo 2

Calcular la suma de matrices

Calcule la suma de A A y B, B, dado

A=[ a b c d ]  y  B=[ e f g h ] A=[ a b c d ]  y  B=[ e f g h ]

Ejemplo 3

Sumar la matriz A y la matriz B

Calcule la suma de A A y B. B.

A=[ 4 1 3 2 ] y  B=[ 5 9 0 7 ] A=[ 4 1 3 2 ] y  B=[ 5 9 0 7 ]

Ejemplo 4

Calcular la diferencia de dos matrices

Calcule la diferencia de A A y B. B.

A=[ −2 3 0 1 ] y  B=[ 8 1 5 4 ] A=[ −2 3 0 1 ] y  B=[ 8 1 5 4 ]

Ejemplo 5

Calcular la suma y la diferencia de dos matrices 3 x 3

Dados A A y B: B:

  1. Calcule la suma.
  2. Calcule la diferencia.
A=[ 2 −10 −2 14 12 10 4 −2 2 ]B=[ 6 10 −2 0 −12 -4 −5 2 −2 ] A=[ 2 −10 −2 14 12 10 4 −2 2 ]B=[ 6 10 −2 0 −12 -4 −5 2 −2 ]

Inténtelo #1

Sume la matriz A A y la matriz B. B.

A=[ 2 6 1 0 1 −3 ] y  B=[ 3 −2 1 5 -4 3 ] A=[ 2 6 1 0 1 −3 ] y  B=[ 3 −2 1 5 -4 3 ]

Hallar múltiplos escalares de una matriz

Además de sumar y restar matrices enteras, hay muchas situaciones en las que necesitamos multiplicar una matriz por una constante denominada escalar. Recordemos que un escalar es una cantidad de números reales que tiene magnitud, pero no dirección. Por ejemplo, el tiempo, la temperatura y la distancia son cantidades escalares. La multiplicación escalar consiste en multiplicar cada entrada de una matriz por un escalar. Un múltiplo escalar es cualquier entrada de una matriz que resulta de una multiplicación escalar.

Considere un escenario del mundo real en el que una universidad necesita aumentar su inventario de computadoras, mesas de computadora y sillas en dos de los laboratorios del campus debido al aumento de las inscripciones. Calculan que se necesita un 15 % más de equipamiento en ambos laboratorios. El inventario actual de la escuela se muestra en la Tabla 2.

Laboratorio A Laboratorio B
Computadoras 15 27
Mesas de computadora 16 34
Sillas 16 34
Tabla 2

Al convertir los datos en una matriz, tenemos

C 2013 =[ 15 16 16 27 34 34 ] C 2013 =[ 15 16 16 27 34 34 ]

Para calcular cuánto equipo informático se necesitará, multiplicamos todas las entradas de la matriz C C por 0,15.

(0,15) C 2013 =[ (0,15)15 (0,15)16 (0,15)16 (0,15)27 (0,15)34 (0,15)34 ]=[ 2,25 2,4 2,4 4,05 5,1 5,1 ] (0,15) C 2013 =[ (0,15)15 (0,15)16 (0,15)16 (0,15)27 (0,15)34 (0,15)34 ]=[ 2,25 2,4 2,4 4,05 5,1 5,1 ]

Debemos redondear al siguiente número entero, por lo que la cantidad de equipos nuevos necesarios es

[ 3 3 3 5 6 6 ] [ 3 3 3 5 6 6 ]

Al sumar las dos matrices como se muestra a continuación, vemos las nuevas cantidades de inventario.

[ 15 16 16 27 34 34 ]+[ 3 3 3 5 6 6 ]=[ 18 19 19 32 40 40 ] [ 15 16 16 27 34 34 ]+[ 3 3 3 5 6 6 ]=[ 18 19 19 32 40 40 ]

Esto significa que

C 2014 =[ 18 19 19 32 40 40 ] C 2014 =[ 18 19 19 32 40 40 ]

Así, el laboratorio A tendrá 18 computadoras, 19 mesas de computadora y 19 sillas; el laboratorio B tendrá 32 computadoras, 40 mesas de computadora y 40 sillas.

Multiplicación escalar

La multiplicación escalar consiste en hallar el producto de una constante por cada entrada de la matriz. Dado

A=[ a 11 a 12 a 21 a 22 ] A=[ a 11 a 12 a 21 a 22 ]

el múltiplo escalar cA cA es

cA=c[ a 11 a 12 a 21 a 22 ]    =[ c a 11 c a 12 c a 21 c a 22 ] cA=c[ a 11 a 12 a 21 a 22 ]    =[ c a 11 c a 12 c a 21 c a 22 ]

La multiplicación escalar es distributiva. Para las matrices A,B, A,B, y C C con escalares a a y b, b,

a(A+B)=aA+aB (a+b)A=aA+bA a(A+B)=aA+aB (a+b)A=aA+bA

Ejemplo 6

Multiplicar la matriz por un escalar

Multiplique la matriz A A por el escalar 3.

A=[ 8 1 5 4 ] A=[ 8 1 5 4 ]

Inténtelo #2

Matriz dada B, B, halle −2B −2B donde

B=[ 4 1 3 2 ] B=[ 4 1 3 2 ]

Ejemplo 7

Calcular la suma de múltiplos escalares

Calcule la suma 3A+2B. 3A+2B.

A=[ 1 −2 0 0 −1 2 4 3 −6 ]B=[ −1 2 1 0 −3 2 0 1 -4 ] A=[ 1 −2 0 0 −1 2 4 3 −6 ]B=[ −1 2 1 0 −3 2 0 1 -4 ]

Calcular la multiplicación de dos matrices

Además de multiplicar una matriz por un escalar, podemos multiplicar dos matrices. Calcular la multiplicación de dos matrices solo es posible cuando las dimensiones internas son iguales, es decir, cuando el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda. Si los valores de A A es una matriz m×r m×r y B B es una matriz r×n r×n , entonces la matriz producto AB AB es una matriz m×n m×n . Por ejemplo, el producto AB AB es posible porque el número de columnas en A A es el mismo que el número de filas en B. B. Si las dimensiones interiores no coinciden, el producto no está definido.

Multiplicamos las entradas de A A con entradas de B B de acuerdo con un patrón específico que se describe a continuación. El proceso de la multiplicación de matrices se hace más claro cuando se trabaja un problema con números reales.

Para obtener las entradas de la fila i i de AB, AB, multiplicamos las entradas de la fila i i de A A por columna j j en B B y sumamos. Por ejemplo, dadas las matrices A A y B, B, donde las dimensiones de A A son 2×3 2×3 y las dimensiones de B B son 3×3, 3×3, el producto de AB AB será una matriz 2×3 2×3 .

A=[ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 ]B=[ b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 ] A=[ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 ]B=[ b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 ]

Multiplique y sume de la siguiente forma para obtener la primera entrada de la matriz producto AB. AB.

  1. Para obtener la entrada en la fila 1, columna 1 de AB, AB, multiplique la primera fila de A A por la primera columna de B, B, y sumamos.
    [ a 11 a 12 a 13 ][ b 11 b 21 b 31 ]= a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 [ a 11 a 12 a 13 ][ b 11 b 21 b 31 ]= a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31
  2. Para obtener la entrada en la fila 1, columna 2 de AB, AB, multiplique la primera fila de A A por la segunda columna de B, B, y sumamos.
    [ a 11 a 12 a 13 ][ b 12 b 22 b 32 ]= a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 [ a 11 a 12 a 13 ][ b 12 b 22 b 32 ]= a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32
  3. Para obtener la entrada en la fila 1, columna 3 de AB, AB, multiplique la primera fila de A A por la tercera columna de B, B, y sumamos.
    [ a 11 a 12 a 13 ][ b 13 b 23 b 33 ]= a 11 b 13 + a 12 b 23 + a 13 b 33 [ a 11 a 12 a 13 ][ b 13 b 23 b 33 ]= a 11 b 13 + a 12 b 23 + a 13 b 33

Procedemos de la misma manera para obtener la segunda fila de AB. AB. En otras palabras, la fila 2 de A A por la columna 1 de B; B; fila 2 de A A por la columna 2 de B; B; fila 2 de A A por la columna 3 de B. B. Cuando se haya culminado, la matriz producto será

AB=[ a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 a 11 b 13 + a 12 b 23 + a 13 b 33 a 21 b 13 + a 22 b 23 + a 23 b 33 ] AB=[ a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 a 11 b 13 + a 12 b 23 + a 13 b 33 a 21 b 13 + a 22 b 23 + a 23 b 33 ]

Propiedades de la multiplicación de matrices

Para las matrices A,B, A,B, y C C las siguientes propiedades se mantienen.

  • La multiplicación de matrices es asociativa: ( AB )C=A( BC ). ( AB )C=A( BC ).
  • La multiplicación de matrices es distributiva: C(A+B)=CA+CB, (A+B)C=AC+BC. C(A+B)=CA+CB, (A+B)C=AC+BC.

Tenga en cuenta que la multiplicación de matrices no es conmutativa.

Ejemplo 8

Multiplicación de dos matrices

Multiplique la matriz A A y la matriz B. B.

A=[ 1 2 3 4 ] y  B=[ 5 6 7 8 ] A=[ 1 2 3 4 ] y  B=[ 5 6 7 8 ]

Ejemplo 9

Multiplicación de dos matrices

Dados A A y B: B:

  1. Calcule AB. AB.
  2. Calcule BA. BA.
A=[ −1 2 3 4 0 5 ]y  B=[ 5 -4 2 −1 0 3 ] A=[ −1 2 3 4 0 5 ]y  B=[ 5 -4 2 −1 0 3 ]

Análisis

Tenga en cuenta que los productos AB AB y BA BA no son iguales.

AB=[ −7 10 30 11 ][ −9 10 10 4 −8 −12 10 4 21 ]=BA AB=[ −7 10 30 11 ][ −9 10 10 4 −8 −12 10 4 21 ]=BA

Esto ilustra el hecho de que la multiplicación de matrices no es conmutativa.

Preguntas y respuestas

¿Es posible que se defina AB pero no BA?

Sí, consideremos una matriz A de dimensión 3×4 3×4 y la matriz B con dimensión 4×2. 4×2. Para el producto AB las dimensiones interiores son 4 y el producto está definido, pero para el producto BA las dimensiones interiores son 2 y 3 por lo que el producto no está definido.

Ejemplo 10

Usar matrices en problemas del mundo real

Volvamos al problema presentado al principio de esta sección. Tenemos la Tabla 3, que representa las necesidades de equipamiento de dos equipos de fútbol.

Wildcats Mud Cats
Porterías 6 10
Pelotas 30 24
Camisetas 14 20
Tabla 3

También se nos facilitan los precios de los equipos, como se indica en la Tabla 4.

Meta 300 dólares
Balón 10 dólares
Camiseta 30 dólares
Tabla 4

Convertiremos los datos en matrices. Así, la matriz de necesidades de equipamiento se escribe como

E=[ 6 30 14 10 24 20 ] E=[ 6 30 14 10 24 20 ]

La matriz de costos se escribe como

C=[ 300 10 30 ] C=[ 300 10 30 ]

Realizamos una multiplicación de matrices para obtener los costos de los equipos

CE=[ 300 10 30 ][ 6 10 30 24 14 20 ] =[ 300(6)+10(30)+30(14) 300(10)+10(24)+30(20) ] =[ 2.520 3.840 ] CE=[ 300 10 30 ][ 6 10 30 24 14 20 ] =[ 300(6)+10(30)+30(14) 300(10)+10(24)+30(20) ] =[ 2.520 3.840 ]

El costo total del equipamiento de los Wildcats es de 2.520 dólares y el de los Mud Cats de 3.840 dólares.

Cómo

Dada una operación de matrices, evalúe utilizando una calculadora.

  1. Guarde cada matriz como una variable de matriz. [ A ],[ B ],[ C ],... [ A ],[ B ],[ C ],...
  2. Introduzca la operación en la calculadora, llamando a cada variable de la matriz según sea necesario.
  3. Si la operación está definida, la calculadora presentará la matriz de solución; si la operación no está definida, mostrará un mensaje de error.

Ejemplo 11

Usar una calculadora para realizar operaciones con matrices

Calcule ABC ABC dado

A=[ −15 25 32 41 −7 −28 10 34 −2 ],B=[ 45 21 -37 −24 52 19 6 −48 −31 ],C=[ -100 -89 −98 25 -56 74 –67 42 -75 ]. A=[ −15 25 32 41 −7 −28 10 34 −2 ],B=[ 45 21 -37 −24 52 19 6 −48 −31 ],C=[ -100 -89 −98 25 -56 74 –67 42 -75 ].

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las matrices y las operaciones con matrices.

9.5 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Podemos sumar dos matrices cualesquiera? Si es así, explique por qué; si no, explique por qué no y dé un ejemplo de dos matrices que no puedan sumarse.

2.

¿Podemos multiplicar cualquier matriz de columnas por cualquier matriz de filas? Explique por qué sí o por qué no.

3.

¿Se pueden definir los productos AB AB y BA BA ? Si es así, explique cómo; si no, explique por qué.

4.

¿Dos matrices del mismo tamaño se pueden multiplicar? Si es así, explique por qué, y si no, explique por qué no y dé un ejemplo de dos matrices del mismo tamaño que no se puedan multiplicar juntas.

5.

¿La multiplicación de matrices es conmutativa? Es decir, ¿es AB=BA? AB=BA? Si es así, demuestre por qué lo es. Si no, explique por qué no lo es.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación y realice la suma o la resta de matrices. Indicar si la operación es indefinida.

A=[ 1 3 0 7 ],B=[ 2 14 22 6 ],C=[ 1 5 8 92 12 6 ],D=[ 10 14 7 2 5 61 ],E=[ 6 12 14 5 ],F=[ 0 9 78 17 15 4 ] A=[ 1 3 0 7 ],B=[ 2 14 22 6 ],C=[ 1 5 8 92 12 6 ],D=[ 10 14 7 2 5 61 ],E=[ 6 12 14 5 ],F=[ 0 9 78 17 15 4 ]
6.

A+B A+B

7.

C+D C+D

8.

A+C A+C

9.

BE BE

10.

C+F C+F

11.

DB DB

En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la multiplicación escalar.

A=[ 4 6 13 12 ],B=[ 3 9 21 12 0 64 ],C=[ 16 3 7 18 90 5 3 29 ],D=[ 18 12 13 8 14 6 7 4 21 ] A=[ 4 6 13 12 ],B=[ 3 9 21 12 0 64 ],C=[ 16 3 7 18 90 5 3 29 ],D=[ 18 12 13 8 14 6 7 4 21 ]
12.

5A 5A

13.

3B 3B

14.

−2B −2B

15.

-4C -4C

16.

1 2 C 1 2 C

17.

100D 100D

En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la multiplicación.

A=[ −1 5 3 2 ],B=[ 3 6 4 −8 0 12 ],C=[ 4 10 −2 6 5 9 ],D=[ 2 −3 12 9 3 1 0 8 −10 ] A=[ −1 5 3 2 ],B=[ 3 6 4 −8 0 12 ],C=[ 4 10 −2 6 5 9 ],D=[ 2 −3 12 9 3 1 0 8 −10 ]
18.

AB AB

19.

BC BC

20.

CA CA

21.

BD BD

22.

DC DC

23.

CB CB

En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación.

A=[ 2 −5 6 7 ],B=[ −9 6 -4 2 ],C=[ 0 9 7 1 ],D=[ −8 7 −5 4 3 2 0 9 2 ],E=[ 4 5 3 7 −6 −5 1 0 9 ] A=[ 2 −5 6 7 ],B=[ −9 6 -4 2 ],C=[ 0 9 7 1 ],D=[ −8 7 −5 4 3 2 0 9 2 ],E=[ 4 5 3 7 −6 −5 1 0 9 ]
24.

A+BC A+BC

25.

4A+5D 4A+5D

26.

2C+B 2C+B

27.

3D+4E 3D+4E

28.

C-0,5D C-0,5D

29.

100D−10E 100D−10E

En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. (Pista: A 2 =AA A 2 =AA )

A=[ −10 20 5 25 ],B=[ 40 10 -20 30 ],C=[ −1 0 0 −1 1 0 ] A=[ −10 20 5 25 ],B=[ 40 10 -20 30 ],C=[ −1 0 0 −1 1 0 ]
30.

AB AB

31.

BA BA

32.

CA CA

33.

BC BC

34.

A 2 A 2

35.

B 2 B 2

36.

C 2 C 2

37.

B 2 A 2 B 2 A 2

38.

A 2 B 2 A 2 B 2

39.

(AB) 2 (AB) 2

40.

(BA) 2 (BA) 2

En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. (Pista: A 2 =AA A 2 =AA )

A=[ 1 0 2 3 ],B=[ −2 3 4 −1 1 −5 ],C=[ 0,5 0,1 1 0,2 -0,5 0,3 ],D=[ 1 0 −1 −6 7 5 4 2 1 ] A=[ 1 0 2 3 ],B=[ −2 3 4 −1 1 −5 ],C=[ 0,5 0,1 1 0,2 -0,5 0,3 ],D=[ 1 0 −1 −6 7 5 4 2 1 ]
41.

AB AB

42.

BA BA

43.

BD BD

44.

DC DC

45.

D 2 D 2

46.

A 2 A 2

47.

D 3 D 3

48.

(AB)C (AB)C

49.

A(BC) A(BC)

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. Utilice una calculadora para verificar su solución.

A=[ −2 0 9 1 8 −3 0,5 4 5 ],B=[ 0,5 3 0 -4 1 6 8 7 2 ],C=[ 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ] A=[ −2 0 9 1 8 −3 0,5 4 5 ],B=[ 0,5 3 0 -4 1 6 8 7 2 ],C=[ 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ]
50.

AB AB

51.

BA BA

52.

CA CA

53.

BC BC

54.

ABC ABC

Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice la matriz que aparece a continuación para realizar la operación indicada.

B=[ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] B=[ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ]
55.

B 2 B 2

56.

B 3 B 3

57.

B 4 B 4

58.

B 5 B 5

59.

Utilizando las preguntas anteriores, halle una fórmula para B n . B n . Pruebe la fórmula para B 201 B 201 y B 202 , B 202 , utilizando una calculadora.

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