Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones.
Escribir el sistema de ecuaciones de una matriz aumentada.
Realizar operaciones de fila en una matriz.
Resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando matrices.

Figura 1 El matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Carl Friedrich Gauss vivió a finales del siglo XVIII y principios del XIX, pero se lo sigue considerando uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Sus aportes a la ciencia de las matemáticas y la física abarcan campos como el álgebra, la teoría de números, el análisis, la geometría diferencial, la astronomía y la óptica, entre otros. Sus descubrimientos sobre la teoría de las matrices cambiaron la forma de trabajar de los matemáticos durante los dos siglos pasados.

La primera vez que estudiamos la eliminación de Gauss-Jordan fue en la sección Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables En esta sección volveremos a examinar esta técnica de resolver sistemas, esta vez mediante matrices.

Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones

Una matriz puede servir como dispositivo para representar y resolver un sistema de ecuaciones. Para expresar un sistema en forma de matriz, extraemos los coeficientes de las variables y las constantes, y estas se convierten en las entradas de la matriz. Utilizamos una línea vertical para separar las entradas de los coeficientes de las constantes, sustituyendo esencialmente los signos de igualdad. Cuando un sistema se escribe de esta forma, lo llamamos matriz aumentada.

Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema de ecuaciones $2 \times 2$ dado.

\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 7 \\ 4 x −2 y = 5 \end{array}

Podemos escribir este sistema como una matriz aumentada:

[\begin{array}{r} 3 & 4 \\ 4 & −2 \end{array} | \begin{array}{r} 7 \\ 5 \end{array}]

También podemos escribir una matriz que contenga solo los coeficientes. Esto se llama la matriz de coeficientes.

[\begin{matrix} 3 & 4 \\ 4 & −2 \end{matrix}]

Un sistema de ecuaciones de tres por tres como

\begin{array}{l} 3 x - y - z = 0 \\ x + y = 5 \\ 2 x −3 c = 2 \end{array}

tiene una matriz de coeficientes

[\begin{array}{r} 3 & −1 & −1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & −3 \end{array}]

y está representada por la matriz aumentada

[\begin{array}{r} 3 & −1 & −1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & −3 \end{array} | \begin{array}{r} 0 \\ 5 \\ 2 \end{array}]

Tome en cuenta que la matriz está escrita de forma que las variables se alinean en sus propias columnas: los términos x van en la primera columna, los términos y en la segunda columna y los términos z en la tercera columna. Es muy importante que cada ecuación se escriba en forma estándar $a x + b y + c z = d$ para que las variables se alineen. Cuando en una ecuación falta un término variable, el coeficiente es 0.

Cómo

Dado un sistema de ecuaciones, escriba una matriz aumentada.

Escriba los coeficientes de los términos x como los números de la primera columna.
Escriba los coeficientes de los términos y como los números de la segunda columna.
Si hay términos z, escriba los coeficientes como los números de la tercera columna.
Dibuje una línea vertical y escriba las constantes a la derecha de la línea.

Ejemplo 1

Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones

Escriba la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones dado.

\begin{array}{l} x + 2 y - z = 3 \\ 2 x - y + 2 z = 6 \\ x - 3 y + 3 z = 4 \end{array}

Solución

La matriz aumentada muestra los coeficientes de las variables y una columna adicional para las constantes.

[\begin{array}{r} 1 & 2 & −1 \\ 2 & −1 & 2 \\ 1 & −3 & 3 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 6 \\ 4 \end{array}]

Inténtelo #1

Escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones dado.

\begin{array}{l} 4 x −3 y = 11 \\ 3 x + 2 y = 4 \end{array}

Escribir un sistema de ecuaciones a partir de una matriz aumentada

Podemos utilizar las matrices aumentadas para ayudarnos a resolver sistemas de ecuaciones porque simplifican las operaciones cuando los sistemas no están condicionados por las variables. Sin embargo, es importante saber cómo pasar de un formato a otro para que la búsqueda de soluciones sea más fácil e intuitiva. Aquí, utilizaremos la información de una matriz aumentada para escribir el sistema de ecuaciones en forma estándar.

Ejemplo 2

Escribir un sistema de ecuaciones a partir de una forma de matriz aumentada

Halle el sistema de ecuaciones de la matriz aumentada.

[\begin{array}{r} 1 & −3 & −5 \\ 2 & −5 & -4 \\ −3 & 5 & 4 \end{array} | \begin{array}{r} −2 \\ 5 \\ 6 \end{array}]

Solución

Cuando las columnas representan las variables $x,$ $y,$ y $z,$

[\begin{array}{r} 1 & −3 & −5 \\ 2 & −5 & -4 \\ −3 & 5 & 4 \end{array} | \begin{array}{r} −2 \\ 5 \\ 6 \end{array}] \to \begin{array}{l} x - 3 y - 5 z = - 2 \\ 2 x - 5 y - 4 z = 5 \\ −3 x + 5 y + 4 z = 6 \end{array}

Inténtelo #2

Escriba el sistema de ecuaciones de la matriz aumentada.

[\begin{matrix} 1 & −1 & 1 \\ 2 & −1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 5 \\ 1 \\ −9 \end{matrix}]

Realizar operaciones de fila en una matriz

Ahora que podemos escribir sistemas de ecuaciones en forma de matriz aumentada, examinaremos las distintas operaciones de fila que se pueden realizar en una matriz, como adición, multiplicación por una constante e intercambio de filas.

Realizar operaciones de fila en una matriz es el método que utilizamos para resolver un sistema de ecuaciones. Para resolver el sistema de ecuaciones, queremos convertir la matriz a la forma escalonada por filas, en la cual hay unos en la diagonal principal desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha y ceros en cada posición por debajo de la diagonal principal como se muestra.

\begin{matrix} Forma escalonada por filas \\ [\begin{matrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & d \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

Utilizamos las operaciones de fila correspondientes a las operaciones de ecuación para obtener una nueva matriz que es una equivalencia de fila en una forma más simple. Estas son las directrices para obtener la forma escalonada por filas.

En cualquier fila distinta de cero, el primer número distinto de cero es un 1. Se denomina 1 líder.
Todas las filas con ceros se colocan en la parte inferior de la matriz.
Cualquier 1 líder está por debajo y a la derecha de un 1 líder anterior.
Cualquier columna que contenga un 1 líder tiene ceros en todas las demás posiciones de la columna.

Para resolver un sistema de ecuaciones podemos realizar las siguientes operaciones de fila para convertir la matriz de coeficientes a la forma escalonada por filas y volver a sustituir para hallar la solución.

Filas de intercambio (notación: $R_{i} \leftrightarrow R_{j}$ ).
Multiplique una fila por una constante (notación: $c R_{i}$ ).
Sume el producto de una fila multiplicado por una constante a otra fila (notación: $R_{i} + c R_{j})$

Cada una de las operaciones de fila corresponde a las operaciones que ya hemos aprendido para resolver sistemas de ecuaciones con tres variables. Con estas operaciones, hay algunos movimientos clave que lograrán rápidamente el objetivo de escribir una matriz en forma escalonada por filas. Para obtener una matriz en forma escalonada por filas para hallar soluciones, utilizamos la eliminación de Gauss-Jordan, un método que utiliza las operaciones de fila para obtener un 1 como primera entrada, de modo que la fila 1 se puede usar para convertir las filas restantes.

Eliminación de Gauss-Jordan

El método de eliminación de Gauss-Jordan se refiere a una estrategia utilizada para obtener la forma escalonada por filas de una matriz. El objetivo es escribir la matriz $A$ con el número 1 como entrada en la diagonal principal y con todos los ceros debajo.

A = [\begin{array}{r} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}] \overset{Después de la eliminación de Gauss-Jordan}{\to} A = [\begin{array}{r} 1 & b_{12} & b_{13} \\ 0 & 1 & b_{23} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

El primer paso de la estrategia de Gauss-Jordan incluye la obtención de un 1 como primera entrada, de modo que la fila 1 se pueda usar para modificar las filas siguientes.

Cómo

Dada una matriz aumentada, realice las operaciones de fila para conseguir la forma escalonada por filas.

La primera ecuación debe tener un coeficiente principal de 1. Intercambie las filas o multiplique por una constante, si es necesario.
Utilice las operaciones de fila para obtener ceros en la primera columna por debajo de la primera entrada de 1.
Utilice las operaciones de fila para obtener un 1 en la fila 2, columna 2.
Utilice las operaciones de fila para obtener ceros en la columna 2, debajo de la entrada de 1.
Utilice las operaciones de fila para obtener un 1 en la fila 3, columna 3.
Continúe este proceso para todas las filas hasta que haya un 1 en cada entrada de la diagonal principal y solo haya ceros debajo.
Si algunas filas contienen todos los ceros, colóquelas al final.

Ejemplo 3

Resolver un sistema $2 \times 2$ por eliminación de Gauss-Jordan

Resuelva el sistema dado por eliminación de Gauss-Jordan.

\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 6 \\ x - y = \frac{1}{2} \end{array}

Solución

Primero, lo escribimos como una matriz aumentada.

[\begin{array}{r} 2 & 3 \\ 1 & −1 \end{array} | \begin{array}{r} 6 \\ \frac{1}{2} \end{array}]

Queremos un 1 en la fila 1, columna 1. Esto se puede lograr intercambiando la fila 1 y la fila 2.

R_{1} \leftrightarrow R_{2} \to [\begin{array}{r} 1 & −1 \\ 2 & 3 \end{array} | \begin{array}{r} \frac{1}{2} \\ 6 \end{array}]

Ahora tenemos un 1 como primera entrada en la fila 1, columna 1. Ahora vamos a obtener un 0 en la fila 2, columna 1. Esto se puede lograr multiplicando la fila 1 por $−2,$ y luego se suma el resultado a la fila 2.

−2 R_{1} + R_{2} = R_{2} \to [\begin{array}{r} 1 & −1 \\ 0 & 5 \end{array} | \begin{array}{r} \frac{1}{2} \\ 5 \end{array}]

Solo nos queda un paso más, multiplicar la fila 2 por $\frac{1}{5} .$

\frac{1}{5} R_{2} = R_{2} \to [\begin{array}{r} 1 & −1 \\ 0 & 1 \end{array} | \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{matrix}]

Vuelva a sustituir. La segunda fila de la matriz representa $y = 1.$ Vuelva a sustituir $y = 1$ en la primera ecuación.

\begin{array}{l} x - (1) = \frac{1}{2} \\ x = \frac{3}{2} \end{array}

La solución es el punto $(\frac{3}{2}, 1) .$

Inténtelo #3

Resuelva el sistema dado por eliminación de Gauss-Jordan.

\begin{array}{l} 4 x + 3 y = 11 \\ x −3 y = –1 \end{array}

Ejemplo 4

Uso de la eliminación de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones

Use la eliminación de Gauss-Jordan para resolver el sistema de ecuaciones $2 \times 2$ dado.

\begin{array}{l} 2 x + y = 1 \\ 4 x + 2 y = 6 \end{array}

Solución

Escriba el sistema como una matriz aumentada.

[\begin{array}{l} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{array} | \begin{array}{l} 1 \\ 6 \end{array}]

Obtenga un 1 en la fila 1, columna 1. Esto se puede lograr multiplicando la primera fila por $\frac{1}{2} .$

\frac{1}{2} R_{1} = R_{1} \to [\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 4 & 2 \end{matrix} | \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 6 \end{matrix}]

A continuación, queremos un 0 en la fila 2, columna 1. Multiplique la fila 1 por $-4$ y sume la fila 1 a la fila 2.

-4 R_{1} + R_{2} = R_{2} \to [\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{matrix} | \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 4 \end{matrix}]

La segunda fila representa la ecuación $0 = 4.$ Por lo tanto, el sistema es inconsistente y no tiene solución.

Ejemplo 5

Resolver un sistema dependiente

Resuelva el sistema de ecuaciones.

\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 12 \\ 6 x + 8 y = 24 \end{array}

Solución

Realice operaciones de fila en la matriz aumentada para intentar conseguir la forma escalonada por filas.

A = [\begin{array}{l} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{array} | \begin{array}{l} 12 \\ 24 \end{array}]

\begin{array}{l} \begin{array}{l} - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} = R_{1} \to [\begin{array}{l} 0 & 0 \\ 6 & 8 \end{array} | \begin{array}{l} 0 \\ 24 \end{array}] \\ R_{1} \leftrightarrow R_{2} \to [\begin{array}{l} 6 & 8 \\ 0 & 0 \end{array} | \begin{array}{l} 24 \\ 0 \end{array}] \end{array} \end{array}

La matriz termina con todos los ceros en la última fila: $0 y = 0 .$ Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones y el sistema se clasifica como dependiente. Para hallar la solución genérica, vuelva a una de las ecuaciones originales y resuelva para $y .$

\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 12 \\ 4 y = 12 −3 x \\ y = 3 - \frac{3}{4} x \end{array}

Así que la solución a este sistema es $(x, 3 - \frac{3}{4} x) .$

Ejemplo 6

Realizar operaciones de fila en una matriz aumentada 3×3 para obtener la forma escalonada por filas

Realice operaciones de fila en la matriz dada para obtener la forma escalonada por filas.

[\begin{array}{r} 1 & −3 & 4 \\ 2 & −5 & 6 \\ −3 & 3 & 4 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 6 \\ 6 \end{array}]

Solución

La primera fila ya tiene un 1 en la fila 1, columna 1. El siguiente paso es multiplicar la fila 1 por $−2$ y sumarla a la fila 2. A continuación, sustituya la fila 2 por el resultado.

−2 R_{1} + R_{2} = R_{2} \to [\begin{array}{r} 1 & −3 & 4 \\ 0 & 1 & −2 \\ −3 & 3 & 4 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 0 \\ 6 \end{array}]

A continuación, obtenga un cero en la fila 3, columna 1.

3 R_{1} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & −3 & 4 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & −6 & 16 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 0 \\ 15 \end{array}]

A continuación, obtenga un cero en la fila 3, columna 2.

6 R_{2} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & −3 & 4 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 0 \\ 15 \end{array}]

El último paso es obtener un 1 en la fila 3, columna 3.

\frac{1}{4} R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & −3 & 4 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 0 \\ \frac{15}{4} \end{array}]

Inténtelo #4

Escriba el sistema de ecuaciones en forma escalonada por filas.

\begin{array}{l} x - 2 y + 3 z = 9 \\ - x + 3 y = - 4 \\ 2 x - 5 y + 5 z = 17 \end{array}

Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante matrices

Hemos visto cómo escribir un sistema de ecuaciones con una matriz aumentada y, luego cómo utilizar las operaciones de fila y volver a sustituir para obtener la forma escalonada por filas. Ahora, llevaremos la forma escalonada por filas un paso más allá para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3. La idea general es eliminar todas las variables menos una mediante operaciones de fila y luego volver a sustituir para resolver las otras variables.

Ejemplo 7

Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante matrices

Resuelva el sistema de ecuaciones lineales mediante matrices.

\begin{matrix} \begin{array}{l} x - y + z = 8 \end{array} \\ 2 x + 3 y - z = −2 \\ 3 x - 2 y - 9 z = 9 \end{matrix}

Solución

Primero, escribimos la matriz aumentada.

[\begin{array}{r} 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 3 & - 1 \\ 3 & - 2 & - 9 \end{array} | \begin{array}{r} 8 \\ - 2 \\ 9 \end{array}]

Luego, realizamos las operaciones de fila para obtener la forma escalonada por filas.

\begin{array}{r} - 2 R_{1} + R_{2} = R_{2} \to [\begin{array}{r} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 & - 3 \\ 3 & - 2 & - 9 \end{array} | \begin{array}{r} 8 \\ - 18 \\ 9 \end{array}] & - 3 R_{1} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 12 \end{array} | \begin{array}{r} 8 \\ - 18 \\ - 15 \end{array}] \end{array}

La forma más fácil de obtener un 1 en la fila 2 de la columna 1 es intercambiar $R_{2}$ y $R_{3} .$

Intercambie la R_{2} y R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & −1 & 1 & 8 \\ 0 & 1 & −12 & −15 \\ 0 & 5 & −3 & -18 \end{array}]

Entonces

\begin{array}{l} \begin{array}{r} −5 R_{2} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & −12 \\ 0 & 0 & 57 \end{array} | \begin{array}{r} 8 \\ −15 \\ 57 \end{array}] & - \frac{1}{57} R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & −12 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 8 \\ −15 \\ 1 \end{array}] \end{array} \end{array}

La última matriz representa el sistema equivalente.

\begin{array}{l} x - y + z = 8 \\ y - 12 c = −15 \\ c = 1 \end{array}

Al volver a sustituir, obtenemos la solución como $(4, −3, 1) .$

Ejemplo 8

Resolver un sistema dependiente de ecuaciones lineales mediante matrices

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante matrices.

\begin{array}{r} - x −2 y + z = −1 \\ 2 x + 3 y = 2 \\ y −2 c = 0 \end{array}

Solución

Escriba la matriz aumentada.

[\begin{array}{r} −1 & −2 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & −2 \end{array} | \begin{array}{r} −1 \\ 2 \\ 0 \end{array}]

Primero, multiplique la fila 1 por $−1$ para obtener un 1 en la fila 1, columna 1. A continuación, realice las operaciones de fila para obtener la forma escalonada por filas.

- R_{1} \to [\begin{array}{r} 1 & 2 & −1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & −2 \end{array} | \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}]

R_{2} \leftrightarrow R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 2 & 3 & 0 \end{array} | \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}]

−2 R_{1} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & 2 & −1 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & −1 & 2 \end{array} | \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]

R_{2} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & 2 & −1 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} | \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}]

La última matriz representa el siguiente sistema.

\begin{array}{l} x + 2 y - z = 1 \\ y - 2 z = 0 \\ 0 = 0 \end{array}

Vemos por la identidad $0 = 0$ que se trata de un sistema dependiente con un número infinito de soluciones. Luego, calculamos la solución genérica. Al resolver la segunda ecuación para $y$ y sustituyéndola en la primera ecuación podemos resolver $c$ en términos de $x .$

\begin{array}{l} x + 2 y - z = 1 \\ y = 2 z \\ x + 2 (2 z) - z = 1 \\ x + 3 z = 1 \\ z = \frac{1 - x}{3} \end{array}

Ahora, sustituimos la expresión de $c$ en la segunda ecuación para resolver $y$ en términos de $x .$

\begin{array}{l} y - 2 z = 0 \\ z = \frac{1 - x}{3} \\ y - 2 (\frac{1 - x}{3}) = 0 \\ y = \frac{2 - 2 x}{3} \end{array}

La solución genérica es $(x, \frac{2 −2 x}{3}, \frac{1 - x}{3}) .$

Inténtelo #5

Resuelva el sistema mediante matrices.

\begin{matrix} x + 4 y - z = 4 \\ 2 x + 5 y + 8 z = 15 \\ x + 3 y −3 c = 1 \end{matrix}

Preguntas y respuestas

¿Se puede resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales por eliminación de Gauss-Jordan?

Sí, un sistema de ecuaciones lineales de cualquier tamaño se puede resolver por eliminación de Gauss-Jordan.

Cómo

Dado un sistema de ecuaciones, resuelva con matrices utilizando una calculadora.

Guardar la matriz aumentada como una variable de la matriz $[A], [B], [C], \dots .$
Utilice la función ref( en la calculadora, llamando a cada variable de la matriz según sea necesario.

Ejemplo 9

Resolver sistemas de ecuaciones con matrices utilizando una calculadora

Resuelva el sistema de ecuaciones.

\begin{array}{r} 5 x + 3 y + 9 z = −1 \\ −2 x + 3 y - z = −2 \\ - x -4 y + 5 z = 1 \end{array}

Solución

Escriba la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones.

[\begin{array}{r} 5 & 3 & 9 \\ −2 & 3 & −1 \\ −1 & -4 & 5 \end{array} | \begin{array}{r} −1 \\ −2 \\ −1 \end{array}]

En la página de la matriz de la calculadora, introduzca la matriz aumentada anterior como variable de la matriz $[A] .$

[A] = [\begin{array}{r} 5 & 3 & 9 & −1 \\ −2 & 3 & −1 & −2 \\ −1 & -4 & 5 & 1 \end{array}]

Use la función ref( en la calculadora, llamando a la variable matriz $[A] .$

ref ([A])

Evalúe.

\begin{array}{l} [\begin{array}{r} 1 & \frac{3}{5} & \frac{9}{5} & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{13}{21} & - \frac{4}{7} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{24}{187} \end{array}] \to \begin{array}{l} x + \frac{3}{5} y + \frac{9}{5} z = - \frac{1}{5} \\ y + \frac{13}{21} c = - \frac{4}{7} \\ z = - \frac{24}{187} \end{array} \end{array}

Al volver a sustituir, la solución es $(\frac{61}{187}, - \frac{92}{187}, - \frac{24}{187}) .$

Ejemplo 10

Aplicación de matrices 2 × 2 a las finanzas

Carolyn invierte un total de 12.000 dólares en dos bonos municipales, uno de los cuales paga el 10,5 % de interés y el otro el 12 %. El interés anual obtenido por las dos inversiones el año pasado fue de 1.335 dólares. ¿Cuánto se invirtió en cada tasa?

Solución

Tenemos un sistema de dos ecuaciones en dos variables. Supongamos que $x =$ la cantidad invertida a un interés del 10,5 %, y $y =$ la cantidad invertida a un interés del 12 %.

\begin{array}{l} x + y = 12.000 \\ 0,105 x + 0,12 y = 1335 \end{array}

Como matriz, tenemos

[\begin{array}{r} 1 & 1 \\ 0,105 & 0,12 \end{array} | \begin{array}{r} 12.000 \\ 1335 \end{array}]

Multiplique la fila 1 por $-0,105$ y sume el resultado a la fila 2.

[\begin{array}{r} 1 & 1 \\ 0 & 0,015 \end{array} | \begin{array}{r} 12.000 \\ 75 \end{array}]

Entonces,

\begin{array}{l} 0,015 y = 75 \\ y = 5.000 \end{array}

Así que $12.000 -5.000 = 7.000.$

Así, se invirtieron 5.000 dólares al 12 % de interés y 7.000 dólares al 10,5 % de interés.

Ejemplo 11

Aplicación de matrices 3 × 3 a las finanzas

Ava invierte un total de 10.000 dólares en tres cuentas, una que paga el 5 % de interés, otra que paga el 8 % de interés y la tercera que paga el 9 % de interés. Los intereses anuales obtenidos por las tres inversiones el año pasado fueron de 770 dólares. La cantidad invertida al 9 % era el doble de la invertida al 5 %. ¿Cuánto se invirtió en cada tasa?

Solución

Tenemos un sistema de tres ecuaciones en tres variables. Supongamos que $x$ es la cantidad invertida al 5 % de interés, y $y$ es la cantidad invertida al 8 % de interés, y que $c$ es la cantidad invertida al 9 % de interés. Por lo tanto,

\begin{array}{l} x + y + z = 10.000 \\ 0,05 x + 0,08 y + 0,09 c = 770 \\ 2 x - z = 0 \end{array}

Como matriz, tenemos

[\begin{array}{r} 1 & 1 & 1 \\ 0,05 & 0,08 & 0,09 \\ 2 & 0 & −1 \end{array} | \begin{array}{r} 10.000 \\ 770 \\ 0 \end{array}]

Ahora, realizamos la eliminación de Gauss-Jordan para conseguir la forma escalonada por filas.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} -0,05 R_{1} + R_{2} = R_{2} \to [\begin{array}{r} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0,03 & 0,04 \\ 2 & 0 & −1 \end{array} | \begin{array}{r} 10.000 \\ 270 \\ 0 \end{array}] \end{array} \\ −2 R_{1} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0,03 & 0,04 \\ 0 & −2 & −3 \end{array} | \begin{array}{r} 10.000 \\ 270 \\ –20.000 \end{array}] \\ \frac{1}{0,03} R_{2} = R_{2} \to [\begin{array}{r} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} \\ 0 & −2 & −3 \end{array} | \begin{array}{r} 10.000 \\ 9.000 \\ –20.000 \end{array}] \\ 2 R_{2} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array} | \begin{array}{r} 10.000 \\ 9.000 \\ -2.000 \end{array}] \end{array}

La tercera fila nos dice $- \frac{1}{3} z = -2.000;$ por lo tanto $c = 6.000.$

La segunda fila nos dice $y + \frac{4}{3} z = 9.000.$ Al sustituir $c = 6.000,$ obtenemos

\begin{array}{r} y + \frac{4}{3} (6.000) = 9.000 \\ y + 8.000 = 9.000 \\ y = 1.000 \end{array}

La primera fila nos dice $x + y + z = 10.000.$ Al sustituir $y = 1.000$ y $z = 6.000,$ obtenemos

\begin{array}{l} x + 1.000 + 6.000 = 10.000 \\ x = 3.000 \end{array}

La respuesta es 3.000 dólares invertidos al 5 % de interés, 1.000 dólares invertidos al 8 % y 6.000 dólares invertidos al 9 % de interés.

Inténtelo #6

Una pequeña compañía de calzado pidió un préstamo de 1.500.000 dólares para ampliar su inventario. Una parte del dinero se prestó al 7 %, otra al 8 % y otra al 10 %. La cantidad prestada al 10 % era cuatro veces superior a la prestada al 7 %, y el interés anual de los tres préstamos era de 130.500 dólares. Utilice las matrices para calcular la cantidad prestada a cada tasa de interés.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante la eliminación de Gauss-Jordan.

9.6 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Se puede escribir cualquier sistema de ecuaciones lineales como una matriz aumentada? Explique por qué sí o por qué no. Explique cómo escribir esa matriz aumentada.

2.

¿Se puede escribir cualquier matriz como un sistema de ecuaciones lineales? Explique por qué sí o por qué no. Explique cómo escribir ese sistema de ecuaciones.

3.

¿Existe un único método correcto para utilizar las operaciones de fila en una matriz? Intente explicar dos operaciones de fila diferentes posibles para resolver la matriz aumentada $[\begin{array}{r} 9 & 3 \\ 1 & - 2 \end{array} | \begin{array}{r} 0 \\ 6 \end{array}] .$

4.

¿Se puede resolver una matriz cuya entrada es 0 en la diagonal? Explique por qué sí o por qué no. ¿Qué haría usted para remediar la situación?

5.

¿Una matriz que tiene 0 entradas para toda una fila puede tener una solución? Explique por qué sí o por qué no.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, escriba la matriz aumentada del sistema lineal.

6.

$\begin{array}{l} 8 x -37 y = 8 \\ 2 x + 12 y = 3 \end{array}$

7.

$\begin{array}{l} 16 y = 4 \\ 9 x - y = 2 \end{array}$

8.

$\begin{array}{l} 3 x + 2 y + 10 z = 3 \\ −6 x + 2 y + 5 z = 13 \\ 4 x + z = 18 \end{array}$

9.

$\begin{array}{l} x + 5 y + 8 z = 19 \\ 12 x + 3 y = 4 \\ 3 x + 4 y + 9 z = −7 \end{array}$

10.

$\begin{array}{l} 6 x + 12 y + 16 c = 4 \\ 19 x −5 y + 3 z = –9 \\ x + 2 y = −8 \end{array}$

En los siguientes ejercicios, escriba el sistema lineal a partir de la matriz aumentada.

11.

$[\begin{array}{r} −2 & 5 \\ 6 & -18 \end{array} | \begin{array}{r} 5 \\ 26 \end{array}]$

12.

$[\begin{array}{r} 3 & 4 \\ 10 & 17 \end{array} | \begin{array}{r} 10 \\ 439 \end{array}]$

13.

$[\begin{array}{r} 3 & 2 & 0 \\ −1 & −9 & 4 \\ 8 & 5 & 7 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ −1 \\ 8 \end{array}]$

14.

$[\begin{array}{r} 8 & 29 & 1 \\ −1 & 7 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} | \begin{array}{r} 43 \\ 38 \\ 10 \end{array}]$

15.

$[\begin{array}{r} 4 & 5 & −2 \\ 0 & 1 & 58 \\ 8 & 7 & −3 \end{array} | \begin{array}{r} 12 \\ 2 \\ −5 \end{array}]$

En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema por eliminación de Gauss-Jordan.

16.

$[\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 0 \end{array}]$

17.

$[\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} | \begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array}]$

18.

$[\begin{array}{r} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 6 \end{array}]$

19.

$[\begin{array}{r} −1 & 2 \\ 4 & −5 \end{array} | \begin{array}{r} −3 \\ 6 \end{array}]$

20.

$[\begin{array}{r} −2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} | \begin{array}{r} 1 \\ −1 \end{array}]$

21.

$\begin{array}{l} 2 x - 3 y = - 9 \\ 5 x + 4 y = 58 \end{array}$

22.

$\begin{array}{l} 6 x + 2 y = -4 \\ 3 x + 4 y = -17 \end{array}$

23.

$\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 12 \\ 4 x + y = 14 \end{array}$

24.

$\begin{array}{l} -4 x −3 y = −2 \\ 3 x −5 y = -13 \end{array}$

25.

$\begin{array}{l} −5 x + 8 y = 3 \\ 10 x + 6 y = 5 \end{array}$

26.

$\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 12 \\ −6 x −8 y = −24 \end{array}$

27.

$\begin{array}{l} -60 x + 45 y = 12 \\ 20 x −15 y = –4 \end{array}$

28.

$\begin{array}{l} 11 x + 10 y = 43 \\ 15 x + 20 y = 65 \end{array}$

29.

$\begin{array}{l} 2 x - y = 2 \\ 3 x + 2 y = 17 \end{array}$

30.

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} -1,06 x -2,25 y = 5,51 \end{array} \\ -5,03 x -1,08 y = 5,40 \end{array}$

31.

$\begin{array}{l} \frac{3}{4} x - \frac{3}{5} y = 4 \\ \frac{1}{4} x + \frac{2}{3} y = 1 \end{array}$

32.

$\begin{array}{l} \frac{1}{4} x - \frac{2}{3} y = −1 \\ \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 3 \end{array}$

33.

$[\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 31 \\ 45 \\ 87 \end{array}]$

34.

$[\begin{array}{r} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 50 \\ 20 \\ −90 \end{array}]$

35.

$[\begin{array}{r} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 8 \end{array} | \begin{array}{r} 4 \\ 7 \\ 9 \end{array}]$

36.

$[\begin{array}{r} -0,1 & 0,3 & -0,1 \\ -0,4 & 0,2 & 0,1 \\ 0,6 & 0,1 & 0,7 \end{array} | \begin{array}{r} 0,2 \\ 0,8 \\ -0,8 \end{array}]$

37.

$\begin{array}{l} −2 x + 3 y - 2 z = 3 \\ 4 x + 2 y - z = 9 \\ 4 x - 8 y + 2 z = −6 \end{array}$

38.

$\begin{array}{l} x + y - 4 z = -4 \\ 5 x - 3 y - 2 z = 0 \\ 2 x + 6 y + 7 z = 30 \end{array}$

39.

$\begin{array}{l} 2 x + 3 y + 2 z = 1 \\ -4 x - 6 y - 4 z = −2 \\ 10 x + 15 y + 10 z = 5 \end{array}$

40.

$\begin{array}{l} x + 2 y - z = 1 \\ - x - 2 y + 2 z = −2 \\ 3 x + 6 y - 3 z = 5 \end{array}$

41.

$\begin{array}{l} x + 2 y - z = 1 \\ - x −2 y + 2 z = −2 \\ 3 x + 6 y −3 c = 3 \end{array}$

42.

$\begin{array}{l} x + y = 2 \\ x + z = 1 \\ - y - z = −3 \end{array}$

43.

$\begin{array}{l} x + y + z = 100 \\ x + 2 z = 125 \\ - y + 2 z = 25 \end{array}$

44.

$\begin{array}{l} \frac{1}{4} x - \frac{2}{3} z = - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{5} x + \frac{1}{3} y = \frac{4}{7} \\ \frac{1}{5} y - \frac{1}{3} z = \frac{2}{9} \end{array}$

45.

$\begin{array}{l} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y + \frac{1}{7} z = - \frac{53}{14} \\ \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} y + \frac{1}{4} z = 3 \\ \frac{1}{4} x + \frac{1}{5} y + \frac{1}{3} z = \frac{23}{15} \end{array}$

46.

$\begin{array}{l} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{3} y + \frac{1}{4} z = - \frac{29}{6} \\ \frac{1}{5} x + \frac{1}{6} y - \frac{1}{7} z = \frac{431}{210} \\ - \frac{1}{8} x + \frac{1}{9} y + \frac{1}{10} z = - \frac{49}{45} \end{array}$

Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice la eliminación de Gauss-Jordan para resolver el sistema.

47.

$\begin{array}{l} \frac{x −1}{7} + \frac{y −2}{8} + \frac{c −3}{4} = 0 \\ x + y + z = 6 \\ \frac{x + 2}{3} + 2 y + \frac{c −3}{3} = 5 \end{array}$

48.

$\begin{array}{l} \frac{x −1}{4} - \frac{y + 1}{4} + 3 z = –1 \\ \frac{x + 5}{2} + \frac{y + 7}{4} - z = 4 \\ x + y - \frac{c −2}{2} = 1 \end{array}$

49.

$\begin{array}{l} \frac{x −3}{4} - \frac{y −1}{3} + 2 z = –1 \\ \frac{x + 5}{2} + \frac{y + 5}{2} + \frac{z + 5}{2} = 8 \\ x + y + z = 1 \end{array}$

50.

$\begin{array}{l} \frac{x −3}{10} + \frac{y + 3}{2} −2 c = 3 \\ \frac{x + 5}{4} - \frac{y −1}{8} + z = \frac{3}{2} \\ \frac{x −1}{4} + \frac{y + 4}{2} + 3 z = \frac{3}{2} \end{array}$

51.

$\begin{array}{l} \frac{x −3}{4} - \frac{y −1}{3} + 2 z = –1 \\ \frac{x + 5}{2} + \frac{y + 5}{2} + \frac{z + 5}{2} = 7 \\ x + y + z = 1 \end{array}$

Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, establezca la matriz aumentada que describe la situación y obtenga la solución deseada.

52.

Cada día, la tienda de magdalenas de Angeni vende 5.000 unidades de sabores de chocolate y vainilla. Si el sabor de chocolate es 3 veces más popular que el de vainilla, ¿cuántas magdalenas de cada sabor vende la tienda al día?

53.

En la tienda de la competencia de Bakari se venden diariamente 4.520 dólares. Los de chocolate cuestan 2,25 dólares y los de terciopelo rojo 1,75 dólares. Si el número total de cupcakes vendidos al día es de 2.200, ¿cuántos de cada sabor se venden cada día?

54.

Ha invertido 10.000 dólares en dos cuentas: una con un interés simple del $3 %$ y otra con un interés del $2,5 %$ . Si el pago total de intereses al cabo de un año fue de 283,50 dólares, ¿cuánto había en cada cuenta una vez transcurrido el año?

55.

Ha invertido 2.300 dólares en la cuenta 1 y 2.700 dólares en la cuenta 2. Si el monto total de los intereses al cabo de un año es de 254 dólares y la cuenta 2 tiene 1,5 veces la tasa de interés de la cuenta 1, ¿cuáles son las tasas de interés? Supongamos que las tasas de interés son simples.

56.

Bikes'R'Us fabrica bicicletas que se venden por 250 dólares. Al fabricante le cuesta 180 dólares cada bicicleta, más una tarifa de puesta en marcha de 3.500 dólares. ¿Después de cuántas bicicletas vendidas el fabricante alcanzará el punto de equilibrio?

57.

Una importante tienda de electrodomésticos accedió ordenar aspiradoras de una nueva empresa fundada por estudiantes universitarios de ingeniería. La tienda podría comprar las aspiradoras por 86 dólares cada una, con una tarifa de entrega de 9.200 dólares, independientemente del número de aspiradoras que se vendan. Si la tienda tiene que empezar a ver ganancias después de vender 230 unidades, ¿cuánto debería cobrar por las aspiradoras?

58.

Los tres sabores de helado más populares son chocolate, fresa y vainilla, que representan el $83 %$ de los sabores vendidos en una heladería. Si el de vainilla se vende el $1 %$ más que el doble de la fresa y el de chocolate se vende el $11 %$ más que el de vainilla, ¿qué porcentaje del consumo total de helados corresponde a los sabores vainilla, chocolate y fresa?

59.

En una heladería tres sabores aumentan su demanda. El año pasado, los helados de banana, calabaza y rocky road representaron el $12 %$ de las ventas totales de helados. Este año, los mismos tres helados representaron el $16,9 %$ de las ventas de helados. Las ventas de rocky road se duplicaron, las de banana aumentaron el $50 %$ y las de calabaza el $20 %$ . Si el helado rocky road tuvo menos porcentaje de ventas que el helado de banana, halle el porcentaje de ventas de cada helado el año pasado.

60.

Una bolsa de frutos secos mixtos contiene anacardos, pistachos y almendras. Hay 1.000 frutos secos en total en la bolsa, y hay 100 almendras menos que pistachos. Los anacardos pesan 3 g, los pistachos 4 g y las almendras 5 g. Si la bolsa pesa 3,7 kg, calcule cuántos frutos secos de cada tipo hay en la bolsa.

61.

Una bolsa de frutos secos mixtos contiene anacardos, pistachos y almendras. Originalmente había 900 frutos secos en la bolsa. Se han comido el $30 %$ de las almendras, el $20 %$ de los anacardos y el $10 %$ de los pistachos, y ahora quedan 770 frutos secos en la bolsa. Originalmente, había 100 anacardos más que almendras. Calcule cuántos frutos secos de cada tipo había en la bolsa al principio.

9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan

Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones

Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones

Solución

Escribir un sistema de ecuaciones a partir de una matriz aumentada

Escribir un sistema de ecuaciones a partir de una forma de matriz aumentada

Solución

Realizar operaciones de fila en una matriz

Resolver un sistema 2×2 2×2 por eliminación de Gauss-Jordan

Solución

Uso de la eliminación de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones

Solución

Resolver un sistema dependiente

Solución

Realizar operaciones de fila en una matriz aumentada 3×3 para obtener la forma escalonada por filas

Solución

Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante matrices

Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante matrices

Solución

Resolver un sistema dependiente de ecuaciones lineales mediante matrices

Solución

Resolver sistemas de ecuaciones con matrices utilizando una calculadora

Solución

Aplicación de matrices 2 × 2 a las finanzas

Solución

Aplicación de matrices 3 × 3 a las finanzas

Solución

9.6 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Extensiones

Aplicaciones en el mundo real

Resolver un sistema $2 \times 2$ por eliminación de Gauss-Jordan