Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Resolver un sistema de ecuaciones no lineales utilizando la sustitución.
Resolver un sistema de ecuaciones no lineales mediante eliminación.
Graficar una inecuación no lineal.
Graficar un sistema de inecuaciones no lineales.

El cometa Halley (Figura 1) orbita el Sol aproximadamente una vez cada 75 años. Su trayectoria puede considerarse una elipse muy alargada. Otros cometas siguen trayectorias similares en el espacio. Estas trayectorias orbitales se pueden estudiar mediante sistemas de ecuaciones. Estos sistemas, sin embargo, son diferentes de los que hemos considerado en la sección anterior porque las ecuaciones no son lineales.

Figura 1 El cometa Halley (créditos: “NASA Blueshift”/Flickr).

En esta sección, consideraremos la intersección de una parábola y una línea, un círculo y una línea y un círculo y una elipse. Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son similares a los de las ecuaciones lineales.

Resolución de un sistema de ecuaciones no lineales mediante sustitución

Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de dos o más ecuaciones en dos o más variables que contiene, al menos, una ecuación que no es lineal. Recordemos que la ecuación lineal puede tomar la forma $A x + B y + C = 0,$ Cualquier ecuación que no se pueda escribir en esta forma es no lineal. El método de sustitución que utilizamos para los sistemas lineales es el mismo que utilizaremos para los sistemas no lineales. Resolvemos una ecuación para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver otra variable, y así sucesivamente. Sin embargo, hay una variación en los posibles resultados.

Intersección de una parábola y una línea

Hay tres posibles tipos de soluciones para un sistema de ecuaciones no lineales que involucran una parábola y una línea.

Posibles tipos de soluciones para los puntos de intersección de una parábola y una línea

La Figura 2 ilustra posibles conjuntos de soluciones para un sistema de ecuaciones que involucra una parábola y una línea.

No hay solución. La línea nunca intersecará la parábola.
Una solución. La línea es tangente a la parábola y la interseca exactamente en un punto.
Dos soluciones. La línea cruza por el interior de la parábola y la interseca en dos puntos.

Figura 2

Cómo

Dado un sistema de ecuaciones que contiene una línea y una parábola, halle la solución.

Resuelva la ecuación lineal para una de las variables.
Sustituya la expresión obtenida en el primer paso en la ecuación de la parábola.
Resuelva para la variable restante.
Compruebe sus soluciones en ambas ecuaciones.

Ejemplo 1

Resolver un sistema de ecuaciones no lineales que representan una parábola y una línea

Resuelva el sistema de ecuaciones.

\begin{array}{l} x - y = −1 \\ y = x^{2} + 1 \end{array}

Solución

Resuelva la primera ecuación para $x$ y luego sustituya la expresión resultante en la segunda ecuación.

\begin{array}{l} x - y = –1 \\ x = y −1 & Resuelva para x . \\ y = x^{2} + 1 \\ y = {(y −1)}^{2} + 1 & Sustituya la expresión por x . \end{array}

Expanda la ecuación e iguálela a cero.

\begin{array}{l} y = {(y −1)}^{2} + 1 \\ = (y^{2} −2 y + 1) + 1 \\ = y^{2} −2 y + 2 \\ 0 = y^{2} −3 y + 2 \\ = (y −2) (y −1) \end{array}

Resuelva para $y$ da como resultado $y = 2$ y $y = 1.$ A continuación, sustituya cada valor por $y$ en la primera ecuación para resolver $x .$ Sustituya siempre el valor en la ecuación lineal para comprobar si hay soluciones extrañas.

\begin{array}{l} x - y = –1 \\ x - (2) = –1 \\ x = 1 \\ x - (1) = –1 \\ x = 0 \end{array}

Las soluciones son $(1, 2)$ y $(0, 1),$ que puede verificarse sustituyendo estos $(x, y)$ en las dos ecuaciones originales. Vea la Figura 3.

Figura 3

Preguntas y respuestas

¿Podríamos haber sustituido los valores de $y$ en la segunda ecuación para resolver $x$ en el Ejemplo 1?

Sí, pero debido a que $x$ se eleva al cuadrado en la segunda ecuación, esto podría darnos soluciones extrañas para $x .$

Para $y = 1$

\begin{array}{l} y = x^{2} + 1 \\ 1 = x^{2} + 1 \\ x^{2} = 0 \\ x = \pm \sqrt{0} = 0 \end{array}

Esto nos da el mismo valor que en la solución.

Para $y = 2$

\begin{array}{l} y = x^{2} + 1 \\ 2 = x^{2} + 1 \\ x^{2} = 1 \\ x = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \end{array}

Tenga en cuenta que $−1$ es una solución extraña.

Inténtelo #1

Resuelva el sistema de ecuaciones dado por sustitución.

\begin{matrix} 3 x y & = & -2 \\ 2 x^{2} y & = & 0 \end{matrix}

Intersección de un círculo y una línea

Al igual que con una parábola y una línea, hay tres resultados posibles al resolver un sistema de ecuaciones que representa un círculo y una línea.

Posibles tipos de soluciones para los puntos de intersección de un círculo y una línea

La Figura 4 ilustra posibles conjuntos de soluciones para un sistema de ecuaciones que involucra un círculo y una línea.

No hay solución. La línea no interseca el círculo.
Una solución. La línea es tangente al círculo y la interseca exactamente en un punto.
Dos soluciones. La línea cruza el círculo y la interseca en dos puntos.

Figura 4

Cómo

Dado un sistema de ecuaciones que contiene una línea y un círculo, halle la solución.

Resuelva la ecuación lineal para una de las variables.
Sustituya la expresión obtenida en el primer paso en la ecuación del círculo.
Resuelva para la variable restante.
Compruebe sus soluciones en ambas ecuaciones.

Ejemplo 2

Hallar la intersección de un círculo y una línea por sustitución

Halle la intersección del círculo y la línea dados por sustitución.

\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 5 \\ y = 3 x −5 \end{array}

Solución

Una de las ecuaciones ya ha sido resuelta para $y .$ Sustituiremos $y = 3 x −5$ en la ecuación del círculo.

\begin{matrix} x^{2} + {(3 x −5)}^{2} = 5 \\ x^{2} + 9 x^{2} −30 x + 25 = 5 \\ 10 x^{2} −30 x + 20 = 0 \end{matrix}

Ahora, factorizamos y resolvemos para $x .$

\begin{array}{l} 10 (x^{2} - 3 x + 2) = 0 \\ 10 (x - 2) (x - 1) = 0 \\ x = 2 \\ x = 1 \end{array}

Sustituya los dos valores de x en la ecuación lineal original para resolver $y .$

\begin{array}{l} y = 3 (2) −5 \\ = 1 \\ y = 3 (1) −5 \\ = –2 \end{array}

La línea interseca el círculo en $(2, 1)$ y $(1, –2),$ que puede verificarse sustituyendo estos $(x, y)$ en las dos ecuaciones originales. Vea la Figura 5.

Figura 5

Inténtelo #2

Resuelva el sistema de ecuaciones no lineales.

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} & = & 10 \\ x 3 y & = & -10 \end{matrix}

Resolver un sistema de ecuaciones no lineales mediante eliminación

Hemos visto que la sustitución suele ser el método preferido cuando un sistema de ecuaciones incluye una ecuación lineal y una ecuación no lineal. Sin embargo, cuando las dos ecuaciones del sistema tienen variables semejantes de segundo grado, resolverlas mediante la eliminación por adición es más fácil que la sustitución. En general, la eliminación es un método mucho más sencillo cuando el sistema implica solo dos ecuaciones en dos variables (un sistema de dos por dos), en lugar de un sistema de tres por tres, ya que hay menos pasos. A modo de ejemplo, investigaremos los posibles tipos de soluciones al resolver un sistema de ecuaciones que representa un círculo y una elipse.

Posibles tipos de soluciones para los puntos de intersección de un círculo y una elipse

La Figura 6 ilustra posibles conjuntos de soluciones para un sistema de ecuaciones que involucra un círculo y una elipse.

No hay solución. El círculo y la elipse no se intersecan. Una forma está dentro de la otra o el círculo y la elipse están a una distancia de la otra.
Una solución. El círculo y la elipse son tangentes entre sí y se intersecan exactamente en un punto.
Dos soluciones. El círculo y la elipse se intersecan en dos puntos.
Tres soluciones. El círculo y la elipse se intersecan en tres puntos.
Cuatro soluciones. El círculo y la elipse se intersecan en cuatro puntos.

Figura 6

Ejemplo 3

Resolver un sistema de ecuaciones no lineales que representan un círculo y una elipse

Resuelva el sistema de ecuaciones no lineales.

\begin{array}{r} x^{2} + y^{2} = 26 & (1) \\ 3 x^{2} + 25 y^{2} = 100 & (2) \end{array}

Solución

Comencemos multiplicando la ecuación (1) por $−3,$ y sumamos este resultado a la ecuación (2).

\frac{\begin{array}{l} \begin{array}{l} (- 3) (x^{2} + y^{2}) = (- 3) (26) \\ - 3 x^{2} - 3 y^{2} = - 78 \end{array} \\ 3 x^{2} + 25 y^{2} = 100 \end{array}}{22 y^{2} = 22}

Después de sumar las dos ecuaciones, resolvemos para $y .$

\begin{array}{l} y^{2} = 1 \\ y = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \end{array}

Sustituya $y = \pm 1$ en una de las ecuaciones y resolvemos para $x .$

\begin{array}{l} x^{2} + {(1)}^{2} = 26 \\ x^{2} + 1 = 26 \\ x^{2} = 25 \\ x = \pm \sqrt{25} = \pm 5 \\ x^{2} + {(–1)}^{2} = 26 \\ x^{2} + 1 = 26 \\ x^{2} = 25 = \pm 5 \end{array}

Hay cuatro soluciones: $(5, 1), (−5, 1), (5, –1), y (−5, –1) .$ Vea la Figura 7.

Figura 7

Inténtelo #3

Halle el conjunto de soluciones para el sistema de ecuaciones no lineales dado.

\begin{matrix} 4 x^{2} + y^{2} & = & 13 \\ x^{2} + y^{2} & = & 10 \end{matrix}

Graficar una inecuación no lineal

Todas las ecuaciones de los sistemas que hemos hallado hasta ahora han implicado igualdades, pero también podemos hallar sistemas que impliquen inecuaciones. Ya hemos aprendido a graficar inecuaciones lineales al graficar la ecuación correspondiente y luego sombrear la región representada por el símbolo de inecuación. Ahora, seguiremos pasos similares para graficar una inecuación no lineal para que aprendamos a resolver sistemas de inecuaciones no lineales. Una inecuación no lineal es una inecuación que contiene una expresión no lineal. Graficar una inecuación no lineal es muy parecido a graficar una inecuación lineal.

Recordemos que cuando la inecuación es mayor que, $y > a,$ o menos que, $y < a,$ el gráfico se dibuja con una línea discontinua. Cuando la inecuación es mayor que o igual a, $y \geq a,$ o menor que o igual a, $y \leq a,$ el gráfico se dibuja con una línea sólida. Los gráficos crearán regiones en el plano y probaremos cada región para hallar una solución. Si un punto de la región funciona, toda la región funciona. Esa es la región que sombreamos. Vea la Figura 8.

Figura 8 (a) un ejemplo de

y > a;

(b) un ejemplo de

y \geq a;

(c) un ejemplo de

y < a;

(d) un ejemplo de

y \leq a

Cómo

Dada una inecuación delimitada por una parábola, dibuje un gráfico.

Grafique la parábola como si fuera una ecuación. Este es el límite de la región que es el conjunto de soluciones.
Si el límite está incluido en la región (el operador es $\leq$ o $\geq$ ), la parábola se grafica como una línea sólida.
Si el límite no está incluido en la región (el operador es < o >), la parábola se grafica como una línea discontinua.
Compruebe un punto en una de las regiones para determinar si satisface el enunciado de la inecuación. Si el enunciado es verdadero, el conjunto solución es la región que incluye el punto. Si el enunciado es falso, el conjunto de soluciones es la región al otro lado de la línea límite.
Sombree la región que representa el conjunto de soluciones.

Ejemplo 4

Graficar una inecuación para una parábola

Represente gráficamente la inecuación $y > x^{2} + 1.$

Solución

Primero, grafique la ecuación correspondiente $y = x^{2} + 1.$ Dado que $y > x^{2} + 1$ tiene un símbolo mayor que, dibujamos el gráfico con una línea discontinua. A continuación, elegimos puntos para probar tanto dentro como fuera de la parábola. Probemos los puntos $(0, 2)$ y $(2, 0) .$ Un punto está claramente dentro de la parábola y el otro punto está claramente fuera.

\begin{array}{l} y > x^{2} + 1 \\ 2 > {(0)}^{2} + 1 \\ 2 > 1 & Verdadero \\ 0 > {(2)}^{2} + 1 \\ 0 > 5 & Falso \end{array}

El gráfico se muestra en la Figura 9. Podemos ver que el conjunto de soluciones consiste en todos los puntos dentro de la parábola, pero no en el gráfico en sí.

Figura 9

Graficar un sistema de inecuaciones no lineales

Ahora, que hemos aprendido a graficar desigualdades no lineales, podemos aprender a graficar sistemas de desigualdades no lineales. Un sistema de inecuaciones no lineales es un sistema de dos o más inecuaciones en dos o más variables que contiene, al menos, una inecuación que no es lineal. Graficar un sistema de inecuaciones no lineales es similar a graficar un sistema de inecuaciones lineales. La diferencia es que nuestro gráfico puede dar lugar a más regiones sombreadas que representan una solución que hallamos en un sistema de inecuaciones lineales. La solución de un sistema de inecuaciones no lineales es la región del gráfico en la que se superponen las regiones sombreadas del gráfico de cada inecuación, o en la que las regiones se intersecan, llamada región factible.

Cómo

Dado un sistema de inecuaciones no lineales, dibuje un gráfico.

Halle los puntos de intersección y resuelva el correspondiente sistema de ecuaciones no lineales.
Grafique las ecuaciones no lineales.
Halle las regiones sombreadas de cada inecuación.
Identifique la región factible como la intersección de las regiones sombreadas de cada inecuación o el conjunto de puntos comunes a cada inecuación.

Ejemplo 5

Graficar un sistema de inecuaciones

Grafique el sistema de inecuaciones dado.

\begin{array}{r} x^{2} - y \leq 0 \\ 2 x^{2} + y \leq 12 \end{array}

Solución

Estas dos ecuaciones son claramente parábolas. Podemos hallar los puntos de intersección mediante el proceso de eliminación: Sume ambas ecuaciones y la variable $y$ será eliminada. Entonces, resolvemos para $x .$

\begin{array}{l} \underset{____________}{\begin{matrix} \begin{array}{l} x^{2} - y = 0 \end{array} \\ 2 x^{2} + y = 12 \end{matrix}} \\ 3 x^{2} = 12 \\ x^{2} = 4 \\ x = \pm 2 \end{array}

Sustituya los valores de x en una de las ecuaciones y resuelva para $y .$

\begin{array}{r} x^{2} - y = 0 \\ {(2)}^{2} - y = 0 \\ 4 - y = 0 \\ y = 4 \\ {(−2)}^{2} - y = 0 \\ 4 - y = 0 \\ y = 4 \end{array}

Los dos puntos de intersección son $(2, 4)$ y $(–2, 4) .$ Tome en cuenta que las ecuaciones se pueden reescribir de la siguiente forma.

\begin{array}{l} x^{2} - y \leq 0 \\ x^{2} \leq y \\ y \geq x^{2} \\ 2 x^{2} + y \leq 12 \\ y \leq −2 x^{2} + 12 \end{array}

Grafique cada inecuación. Vea la Figura 10. La región factible es la región entre las dos ecuaciones delimitadas por $2 x^{2} + y \leq 12$ en la parte superior y $x^{2} - y \leq 0$ en la parte inferior.

Figura 10

Inténtelo #4

Grafique el sistema de inecuaciones dado.

\begin{matrix} y & \geq & x^{2} - 1 \\ x - y & \geq & - 1 \end{matrix}

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las ecuaciones no lineales.

9.3 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Explique si un sistema de dos ecuaciones no lineales puede tener exactamente dos soluciones. ¿Y exactamente tres? Si no, explique por qué no. En caso afirmativo, ponga un ejemplo de dicho sistema en forma de gráfico y explique por qué su elección da dos o tres respuestas.

2.

Al representar gráficamente una inecuación, explique por qué solo necesitamos comprobar un punto para determinar si toda una región es la solución

3.

Al graficar un sistema de inecuaciones, ¿habrá siempre una región factible? Si es así, explique por qué. Si no es así, ponga un ejemplo de un gráfico de inecuaciones que no tenga una región factible. ¿Por qué no tiene una región factible?

4.

Si grafica una función de ingresos y una función de costo, explique cómo determinar en qué regiones hay ganancias.

5.

Si realiza su análisis de equilibrio y hay más de una solución, explique cómo determinaría qué valores x son ganancias y cuáles no.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones no lineales mediante sustitución.

6.

$\begin{array}{l} x + y = 4 \\ x^{2} + y^{2} = 9 \end{array}$

7.

$\begin{array}{l} y = x −3 \\ x^{2} + y^{2} = 9 \end{array}$

8.

$\begin{array}{l} y = x \\ x^{2} + y^{2} = 9 \end{array}$

9.

$\begin{array}{l} y = - x \\ x^{2} + y^{2} = 9 \end{array}$

10.

$\begin{array}{l} x = 2 \\ x^{2} - y^{2} = 9 \end{array}$

En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones no lineales mediante eliminación.

11.

$\begin{array}{l} 4 x^{2} −9 y^{2} = 36 \\ 4 x^{2} + 9 y^{2} = 36 \end{array}$

12.

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 25 \\ x^{2} - y^{2} = 1 \end{array}$

13.

$\begin{array}{l} 2 x^{2} + 4 y^{2} = 4 \\ 2 x^{2} -4 y^{2} = 25 x −10 \end{array}$

14.

$\begin{array}{l} y^{2} - x^{2} = 9 \\ 3 x^{2} + 2 y^{2} = 8 \end{array}$

15.

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + \frac{1}{16} = 2.500 \\ y = 2 x^{2} \end{array}$

En los siguientes ejercicios, utilice cualquier método para resolver el sistema de ecuaciones no lineales.

16.

$\begin{array}{l} −2 x^{2} + y = −5 \\ 6 x - y = 9 \end{array}$

17.

$\begin{array}{l} - x^{2} + y = 2 \\ - x + y = 2 \end{array}$

18.

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 1 \\ y = 20 x^{2} −1 \end{array}$

19.

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 1 \\ y = - x^{2} \end{array}$

20.

$\begin{array}{l} 2 x^{3} - x^{2} = y \\ y = \frac{1}{2} - x \end{array}$

21.

$\begin{array}{l} 9 x^{2} + 25 y^{2} = 225 \\ {(x −6)}^{2} + y^{2} = 1 \end{array}$

22.

$\begin{array}{l} x^{4} - x^{2} = y \\ x^{2} + y = 0 \end{array}$

23.

$\begin{array}{l} 2 x^{3} - x^{2} = y \\ x^{2} + y = 0 \end{array}$

En los siguientes ejercicios, utilice cualquier método para resolver el sistema no lineal.

24.

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 9 \\ y = 3 - x^{2} \end{array}$

25.

$\begin{array}{l} x^{2} - y^{2} = 9 \\ x = 3 \end{array}$

26.

$\begin{array}{l} x^{2} - y^{2} = 9 \\ y = 3 \end{array}$

27.

$\begin{array}{l} x^{2} - y^{2} = 9 \\ x - y = 0 \end{array}$

28.

$\begin{array}{l} - x^{2} + y = 2 \\ -4 x + y = –1 \end{array}$

29.

$\begin{array}{l} - x^{2} + y = 2 \\ 2 y = - x \end{array}$

30.

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 25 \\ x^{2} - y^{2} = 36 \end{array}$

31.

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 1 \\ y^{2} = x^{2} \end{array}$

32.

$\begin{array}{l} 16 x^{2} −9 y^{2} + 144 = 0 \\ y^{2} + x^{2} = 16 \end{array}$

33.

$\begin{array}{l} 3 x^{2} - y^{2} = 12 \\ {(x −1)}^{2} + y^{2} = 1 \end{array}$

34.

$\begin{array}{l} 3 x^{2} - y^{2} = 12 \\ {(x −1)}^{2} + y^{2} = 4 \end{array}$

35.

$\begin{array}{l} 3 x^{2} - y^{2} = 12 \\ x^{2} + y^{2} = 16 \end{array}$

36.

$\begin{array}{l} x^{2} - y^{2} - 6 x - 4 y - 11 = 0 \\ - x^{2} + y^{2} = 5 \end{array}$

37.

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} −6 y = 7 \\ x^{2} + y = 1 \end{array}$

38.

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 6 \\ x y = 1 \end{array}$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique la inecuación.

39.

$x^{2} + y < 9$

40.

$x^{2} + y^{2} < 4$

En los siguientes ejercicios, grafique el sistema de inecuaciones. Marcar todos los puntos de intersección.

41.

$\begin{array}{l} x^{2} + y < 1 \\ y > 2 x \end{array}$

42.

$\begin{array}{l} x^{2} + y < −5 \\ y > 5 x + 10 \end{array}$

43.

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} < 25 \\ 3 x^{2} - y^{2} > 12 \end{array}$

44.

$\begin{array}{l} x^{2} - y^{2} > -4 \\ x^{2} + y^{2} < 12 \end{array}$

45.

$\begin{array}{l} x^{2} + 3 y^{2} > 16 \\ 3 x^{2} - y^{2} < 1 \end{array}$

Extensiones

En los siguientes ejercicios, grafique la inecuación.

46.

$\begin{array}{l} y \geq e^{x} \\ y \leq \ln (x) + 5 \end{array}$

47.

$\begin{array}{l} y \leq - \log (x) \\ y \leq e^{x} \end{array}$

En los siguientes ejercicios, halle las soluciones de las ecuaciones no lineales con dos variables.

48.

$\begin{array}{l} \frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = 24 \\ \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{y^{2}} + 4 = 0 \end{array}$

49.

$\begin{matrix} \frac{6}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}} = 8 \\ \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{y^{2}} = \frac{1}{8} \end{matrix}$

50.

$\begin{array}{l} x^{2} - x y + y^{2} −2 = 0 \\ x + 3 y = 4 \end{array}$

51.

$\begin{array}{l} x^{2} - x y −2 y^{2} −6 = 0 \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{array}$

52.

$\begin{array}{l} x^{2} + 4 x y −2 y^{2} −6 = 0 \\ x = y + 2 \end{array}$

En tecnología

En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de inecuaciones. Utilice una calculadora para representar gráficamente el sistema y confirmar la respuesta.

53.

$\begin{array}{l} x y < 1 \\ y > \sqrt{x} \end{array}$

54.

$\begin{array}{l} x^{2} + y < 3 \\ y > 2 x \end{array}$

Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, construya un sistema de ecuaciones no lineales que describa el comportamiento dado, y luego resuelva las soluciones solicitadas.

55.

Dos números suman 300. Un número es el doble del cuadrado del otro. ¿Cuáles son los números?

56.

Los cuadrados de dos números suman 360. El segundo número es la mitad del valor del primer número al cuadrado. ¿Cuáles son los números?

57.

Una compañía de computadoras portátiles ha descubierto sus funciones de costos e ingresos para cada día: $C (x) = 3 x^{2} −10 x + 200$ y $R (x) = –2 x^{2} + 100 x + 50.$ Si quieren obtener ganancias, ¿cuál es el rango de computadoras portátiles por día que deberían producir? Redondee al número más cercano que genere ganancias.

58.

Una compañía de telefonía móvil tiene las siguientes funciones de costos e ingresos: $C (x) = 8 x^{2} –600 x + 21.500$ y $R (x) = −3 x^{2} + 480 x .$ ¿Cuál es el rango de teléfonos móviles que deben producir cada día para que haya ganancias? Redondee al número más cercano que genere ganancias.

9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables

Resolución de un sistema de ecuaciones no lineales mediante sustitución

Intersección de una parábola y una línea

Resolver un sistema de ecuaciones no lineales que representan una parábola y una línea

Solución

Intersección de un círculo y una línea

Hallar la intersección de un círculo y una línea por sustitución

Solución

Resolver un sistema de ecuaciones no lineales mediante eliminación

Resolver un sistema de ecuaciones no lineales que representan un círculo y una elipse

Solución

Graficar una inecuación no lineal

Graficar una inecuación para una parábola

Solución

Graficar un sistema de inecuaciones no lineales

Graficar un sistema de inecuaciones

Solución

9.3 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

Extensiones

En tecnología

Aplicaciones en el mundo real