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Precálculo 2ed

8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos

Precálculo 2ed8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección podrá:

  • Representar gráficamente curvas planas descritas por ecuaciones paramétricas mediante el trazado de puntos.
  • Graficar ecuaciones paramétricas.

Aunque no todos los aficionados (o directores de equipo) lo aprecian, el béisbol y muchos otros deportes se han vuelto dependientes de la analítica, que implica un complejo registro de datos y una evaluación cuantitativa utilizados para comprender y predecir el comportamiento. La primera influencia de la analítica fue sobre todo estadística; más recientemente, han entrado en juego la física y otras ciencias. El más importante es el enfoque en el ángulo de lanzamiento y la velocidad de salida, que cuando están en ciertos valores pueden casi garantizar un jonrón. Por otro lado, el énfasis en el ángulo de lanzamiento y la concentración en los jonrones en lugar de en el bateo en general da como resultado muchos más outs. Considere la siguiente situación: es la parte baja de la novena entrada, con dos outs y dos jugadores en base. El equipo local pierde por dos carreras. El bateador abanica y golpea la bola de béisbol a 140 pies por segundo y con un ángulo de aproximadamente 45° 45° de la horizontal. ¿Qué distancia recorrerá la pelota? ¿Superará la cerca para conseguir un jonrón ganador del partido? El resultado puede depender en parte de otros factores (por ejemplo, el viento), pero los matemáticos pueden modelar la trayectoria de un proyectil y predecir aproximadamente la distancia que recorrerá mediante ecuaciones paramétricas. En esta sección, discutiremos las ecuaciones paramétricas y algunas aplicaciones comunes, como los problemas de movimiento de proyectiles.

Foto de un bateador de béisbol haciendo un swing.
Figura 1 Las ecuaciones paramétricas pueden modelar la trayectoria de un proyectil (créditos: Paul Kreher, Flickr).

Graficar ecuaciones paramétricas mediante el trazado de puntos

En vez de una calculadora gráfica o un programa de gráficos de computadora, el método estándar es trazar puntos para representar el gráfico de una ecuación. Siempre que seamos cuidadosos al calcular los valores, el trazado de puntos es muy fiable.

Cómo

Dado un par de ecuaciones paramétricas, dibuje un gráfico mediante el trazado de puntos.

  1. Construya una tabla con tres columnas t,x(t),yy(t). t,x(t),yy(t).
  2. Evalúe x x y y y para los valores de t t sobre el intervalo para el que se definen las funciones.
  3. Trace los pares resultantes ( x,y ). ( x,y ).

Ejemplo 1

Elaboración del gráfico de un par de ecuaciones paramétricas mediante el trazado de puntos

Dibuje el gráfico de las ecuaciones paramétricas x(t)= t 2 +1, x(t)= t 2 +1, y(t)=2 +t. y(t)=2 +t.

Análisis

Como los valores del avance de t t en sentido positivo de 0 a 5, los puntos trazados trazan la mitad superior de la parábola. Como los valores de t t se vuelven negativos, trazan la mitad inferior de la parábola. No hay restricciones en el dominio. Las flechas indican la dirección según los valores crecientes de t. t. El gráfico no representa una función, ya que no pasará la prueba de la línea vertical. El gráfico se dibuja en dos partes: los valores positivos de t, t, y los valores negativos de t. t.

Inténtelo #1

Dibuje el gráfico de las ecuaciones paramétricas x= t , x= t , y=2 t+3,y=2 t+3, 0t3. 0t3.

Ejemplo 2

Trazar el gráfico de ecuaciones paramétricas trigonométricas

Construya una tabla de valores para las ecuaciones paramétricas dadas y dibuje el gráfico:

x=2cost y=4sent x=2cost y=4sent

Análisis

Hemos visto que las ecuaciones paramétricas se pueden representar gráficamente mediante trazado de puntos. Sin embargo, una calculadora gráfica ahorrará tiempo y revelará matices en un gráfico que pueden ser demasiado tediosos de descubrir utilizando solo cálculos manuales.

Asegúrese de cambiar el modo de la calculadora a paramétrico (PAR). Para confirmar, la ventana Y= Y= debería aparecer

X 1T = Y 1T = X 1T = Y 1T =

en vez de Y 1 =. Y 1 =.

Inténtelo #2

Grafique las ecuaciones paramétricas: x=5cost, x=5cost, y=3sent. y=3sent.

Ejemplo 3

Graficar ecuaciones paramétricas y forma rectangular juntas

Represente gráficamente las ecuaciones paramétricas x=5cost x=5cost y y=2sent. y=2sent. En primer lugar, elabore el gráfico utilizando los puntos de datos generados a partir de la forma paramétrica. Luego grafique la forma rectangular de la ecuación. Compare los dos gráficos.

Análisis

En la Figura 5, los datos de las ecuaciones paramétricas y de la ecuación rectangular se trazan juntos. Las ecuaciones paramétricas se trazan en azul; el gráfico de la ecuación rectangular se dibuja encima de la paramétrica en un estilo discontinuo coloreado en rojo. Evidentemente, ambas formas producen el mismo gráfico.

Gráfico superpuesto de las dos versiones de la elipse, que muestra que son iguales tanto si se dan en coordenadas paramétricas como rectangulares.
Figura 5

Ejemplo 4

Graficar ecuaciones paramétricas y ecuaciones rectangulares en el sistema de coordenadas

Represente gráficamente las ecuaciones paramétricas x=t+1 x=t+1 y y= t , y= t , t0, t0, y el equivalente rectangular y= x1 y= x1 en el mismo sistema de coordenadas.

Análisis

Con el dominio en t t restringido, solo trazamos valores positivos de t. t. Los datos paramétricos se grafican en azul y el gráfico de la ecuación rectangular está punteado en rojo. Una vez más, vemos que las dos formas se superponen.

Inténtelo #3

Dibuje el gráfico de las ecuaciones paramétricas x=2cosθyy=4senθ, x=2cosθyy=4senθ, junto con la ecuación rectangular en la misma cuadrícula.

Aplicaciones de las ecuaciones paramétricas

Muchas de las ventajas de las ecuaciones paramétricas se hacen evidentes cuando se aplican a resolver problemas del mundo real. Aunque las ecuaciones rectangulares en x y y ofrecen una imagen global de la trayectoria de un objeto, no revelan la posición de un objeto en un momento determinado. Las ecuaciones paramétricas, sin embargo, ilustran cómo los valores de x y y cambian en función de t, como la ubicación de un objeto en movimiento en un momento determinado.

Una aplicación común de las ecuaciones paramétricas es resolver problemas relacionados con el movimiento de proyectil. En este tipo de movimiento, un objeto se impulsa hacia delante en dirección hacia arriba formando un ángulo de θ θ a la horizontal, con una velocidad inicial de v 0 , v 0 , y a una altura h h sobre la horizontal.

La trayectoria de un objeto impulsado con una inclinación de θ θ a la horizontal, con rapidez inicial v 0 , v 0 , y a una altura h h sobre la horizontal, viene dada por

x=( v 0 cosθ)t   y=- 1 2 g t 2 +( v 0 senθ)t+h x=( v 0 cosθ)t   y=- 1 2 g t 2 +( v 0 senθ)t+h

donde g g tiene en cuenta los efectos de la gravedad y h h es la altura inicial del objeto. De acuerdo con las unidades implicadas en el problema, utilice g=32pies/ s 2 g=32pies/ s 2 o g=9,8m/ s 2 . g=9,8m/ s 2 . La ecuación para x x da la distancia horizontal, y la ecuación para y y da la distancia vertical.

Cómo

Dado un problema de movimiento de proyectil, utilice ecuaciones paramétricas para resolverlo.

  1. La distancia horizontal viene dada por x=( v 0 cosθ )t. x=( v 0 cosθ )t. Sustituir la velocidad inicial del objeto por v 0 . v 0 .
  2. La expresión cosθ cosθ indica el ángulo con el que se impulsa el objeto. Sustituya ese ángulo en grados por cosθ. cosθ.
  3. La distancia vertical viene dada por la fórmula y=- 1 2 g t 2 +( v 0 senθ )t+h. y=- 1 2 g t 2 +( v 0 senθ )t+h. El término 1 2 g t 2 1 2 g t 2 representa el efecto de la gravedad. De acuerdo con las unidades involucradas, utilice g=32 pies/s 2 g=32 pies/s 2 o g=9,8 m/s 2 . g=9,8 m/s 2 . De nuevo, sustituya la velocidad inicial por v 0 , v 0 , y la altura a la que se impulsó el objeto para h. h.
  4. Proceda con el cálculo de cada término para resolver t. t.

Ejemplo 5

Hallar las ecuaciones paramétricas para describir el movimiento de una pelota de béisbol

Resuelva el problema presentado al principio de esta sección. ¿El bateador batea el jonrón ganador del partido? Supongamos que la pelota se golpea con una velocidad inicial de 140 pies por segundo en un ángulo de 45° 45° a la horizontal, y hace contacto a 3 pies del suelo.

  1. Halle las ecuaciones paramétricas para modelar la trayectoria de la pelota de béisbol.
  2. ¿Dónde está la pelota después de 2 segundos?
  3. ¿Cuánto tiempo está la pelota en el aire?
  4. ¿Es un jonrón?

Media

Acceda al siguiente recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con gráficos de ecuaciones paramétricas.

8.7 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Cuáles son los dos métodos utilizados para representar gráficamente ecuaciones paramétricas?

2.

¿Cuál es una diferencia en el trazado de ecuaciones paramétricas en comparación con las ecuaciones cartesianas?

3.

¿Por qué algunos gráficos se dibujan con flechas?

4.

Nombre algunos tipos comunes de gráficos de ecuaciones paramétricas.

5.

¿Por qué son importantes los gráficos paramétricos para entender el movimiento de proyectil?

Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique cada conjunto de ecuaciones paramétricas y haga una tabla de valores. Incluya la orientación en el gráfico.

6.

{ x( t )=t y( t )= t 2 1 { x( t )=t y( t )= t 2 1

t t -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 3
x x
y y
7.

{ x( t )=t-1 y( t )= t 2 { x( t )=t-1 y( t )= t 2

t t -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2
x x
y y
8.

{ x( t )=2 +t y( t )=3-2 t { x( t )=2 +t y( t )=3-2 t

t t -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 3
x x
y y
9.

{ x( t )=-2 -2 t y( t )=3+t { x( t )=-2 -2 t y( t )=3+t

t t -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1
x x
y y
10.

{ x( t )= t 3 y( t )=t+2 { x( t )= t 3 y( t )=t+2

t t -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2
x x
y y
11.

{ x( t )= t 2 y( t )=t+3 { x( t )= t 2 y( t )=t+3

t t -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2
x x
y y

En los siguientes ejercicios, dibuje la curva e incluya la orientación.

12.

{ x(t)=t y(t)= t { x(t)=t y(t)= t

13.

{ x(t)=- t y(t)=t { x(t)=- t y(t)=t

14.

{ x(t)=5| t | y(t)=t+2 { x(t)=5| t | y(t)=t+2

15.

{ x(t)=-t+2 y(t)=5| t | { x(t)=-t+2 y(t)=5| t |

16.

{ x(t)=4sent y(t)=2cost { x(t)=4sent y(t)=2cost

17.

{ x(t)=2sent y(t)=4cost { x(t)=2sent y(t)=4cost

18.

{ x(t)=3 cos 2 t y(t)=−3sent { x(t)=3 cos 2 t y(t)=−3sent

19.

{ x(t)=3 cos 2 t y(t)=−3 sen 2 t { x(t)=3 cos 2 t y(t)=−3 sen 2 t

20.

{ x(t)=sect y(t)=tant { x(t)=sect y(t)=tant

21.

{ x(t)=sect y(t)= tan 2 t { x(t)=sect y(t)= tan 2 t

22.

{ x(t)= 1 e 2t y(t)= e -t { x(t)= 1 e 2t y(t)= e -t

En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación e incluya la orientación. Luego, escriba la ecuación cartesiana.

23.

{ x( t )=t-1 y( t )=- t 2 { x( t )=t-1 y( t )=- t 2

24.

{ x( t )= t 3 y( t )=t+3 { x( t )= t 3 y( t )=t+3

25.

{ x(t)=2cost y(t)=-sent { x(t)=2cost y(t)=-sent

26.

{ x(t)=7cost y(t)=7sent { x(t)=7cost y(t)=7sent

27.

{ x(t)= e 2t y(t)=- e t { x(t)= e 2t y(t)=- e t

En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación e incluya la orientación.

28.

x= t 2 ,y=3t,0t5 x= t 2 ,y=3t,0t5

29.

x=2 t,y= t 2 ,-5t5 x=2 t,y= t 2 ,-5t5

30.

x=t, x=t, y= 25 t 2 ,y= 25 t 2 , 0<t5 0<t5

31.

x(t)=-t,y(t)= t , x(t)=-t,y(t)= t , t0 t0

32.

x=-2cost, x=-2cost, y=6sent,y=6sent, 0tπ 0tπ

33.

x=sect, x=sect, y=tant,y=tant, π 2 <t< π 2 π 2 <t< π 2

En los siguientes ejercicios, utilice las ecuaciones paramétricas para los enteros a y b:

x(t)=acos((a+b)t) y(t)=acos((a-b)t) x(t)=acos((a+b)t) y(t)=acos((a-b)t)
34.

Grafique en el dominio [ -π,0 ], [ -π,0 ], donde a=2 a=2 y b=1, b=1, e incluya la orientación.

35.

Grafique en el dominio [ -π,0 ], [ -π,0 ], donde a=3 a=3 y b=2 b=2 e incluya la orientación.

36.

Grafique en el dominio [ -π,0 ], [ -π,0 ], donde a=4 a=4 y b=3 b=3 e incluya la orientación.

37.

Grafique en el dominio [ -π,0 ], [ -π,0 ], donde a=5 a=5 y b=4 b=4 e incluya la orientación.

38.

Si los valores de a a es 1 más que b, b, describa el efecto que los valores de a a y b b tienen en el gráfico de las ecuaciones paramétricas.

39.

Describa el gráfico si a=100 a=100 y b=99. b=99.

40.

¿Qué pasa si b b es 1 más que a? a? Describa el gráfico.

41.

Si las ecuaciones paramétricas x(t)= t 2 x(t)= t 2 y y( t )=6-3t y( t )=6-3t tenemos el gráfico de una parábola horizontal que se abre hacia la derecha, ¿qué cambiaría la dirección de la curva?

En los siguientes ejercicios, describa el gráfico del conjunto de ecuaciones paramétricas.

42.

x(t)=- t 2 x(t)=- t 2 y y( t ) y( t ) es lineal

43.

y(t)= t 2 y(t)= t 2 y x( t ) x( t ) es lineal

44.

y(t)=- t 2 y(t)=- t 2 y x( t ) x( t ) es lineal

45.

Escriba las ecuaciones paramétricas de un círculo con centro ( 0,0 ), ( 0,0 ), radio 5 y una orientación en sentido contrario a las agujas del reloj.

46.

Escriba las ecuaciones paramétricas de una elipse con centro ( 0,0 ), ( 0,0 ), eje mayor de longitud 10, eje menor de longitud 6 y una orientación en sentido contrario a las agujas del reloj.

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar en la ventana [ 3,3 ] [ 3,3 ] entre [ 3,3 ] [ 3,3 ] en el dominio [0,2π) [0,2π) para los siguientes valores de a a y b b e incluya la orientación.

{ x(t)=sen(at) y(t)=sen(bt) { x(t)=sen(at) y(t)=sen(bt)
47.

a=1,b=2 a=1,b=2

48.

a=2 ,b=1 a=2 ,b=1

49.

a=3,b=3 a=3,b=3

50.

a=5,b=5 a=5,b=5

51.

a=2 ,b=5 a=2 ,b=5

52.

a=5,b=2 a=5,b=2

En tecnología

En los siguientes ejercicios, observe los gráficos creados por ecuaciones paramétricas de la forma { x(t)=acos(bt) y(t)=csen(dt) . { x(t)=acos(bt) y(t)=csen(dt) . Utilice el modo paramétrico de la calculadora gráfica para hallar los valores de a,b,c, a,b,c, y d d para lograr cada gráfico.

53.
Gráfico de las ecuaciones dadas
54.
Gráfico de las ecuaciones dadas
55.
Gráfico de las ecuaciones dadas
56.
Gráfico de las ecuaciones dadas

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar las ecuaciones paramétricas dadas.

  1. { x(t)=cost-1 y(t)=sent+t { x(t)=cost-1 y(t)=sent+t
  2. { x(t)=cost+t y(t)=sent-1 { x(t)=cost+t y(t)=sent-1
  3. { x( t )=t-sent y( t )=cost-1 { x( t )=t-sent y( t )=cost-1
57.

Grafique los tres conjuntos de ecuaciones paramétricas en el dominio [0, [0, 2π]. 2π].

58.

Grafique los tres conjuntos de ecuaciones paramétricas en el dominio [ 0,4π ]. [ 0,4π ].

59.

Grafique los tres conjuntos de ecuaciones paramétricas en el dominio [ 4π,6π ]. [ 4π,6π ].

60.

El gráfico de cada conjunto de ecuaciones paramétricas parece “desplazarse" por uno de los ejes. ¿Qué controla el eje por el que se desplaza el gráfico?

61.

Explique el efecto en el gráfico de la ecuación paramétrica cuando cambiamos sent sent y cost cost .

62.

Explique el efecto de la ecuación paramétrica en el gráfico cuando cambiamos el dominio.

Extensiones

63.

Un objeto se lanza al aire con una velocidad vertical de 20 ft/s y una velocidad horizontal de 15 ft/s. Se puede describir la altura del objeto mediante la ecuación y( t )=-16 t 2 +20t y( t )=-16 t 2 +20t , mientras el objeto se mueve horizontalmente con una velocidad constante de 15 ft/s. Escriba ecuaciones paramétricas para la posición del objeto y luego elimine el tiempo para que escriba la altura en función de la posición horizontal.

64.

Un patinador que circula en patineta por una superficie plana a una velocidad constante de 9 ft/s lanza una pelota al aire, cuya altura se puede describir mediante la ecuación y( t )=-16 t 2 +10t+5. y( t )=-16 t 2 +10t+5. Escriba ecuaciones paramétricas para la posición de la pelota y luego elimine el tiempo para escribir la altura en función de la posición horizontal.

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Se lanza un dardo hacia arriba con una velocidad inicial de 65 ft/s a un ángulo de elevación de 52°. Considere la posición del dardo en cualquier momento t. t. Ignore la resistencia del aire.

65.

Halle ecuaciones paramétricas que modelen la situación del problema.

66.

Halle todos los valores posibles de x x que representan la situación.

67.

¿Cuándo llegará el dardo al suelo?

68.

Halle la altura máxima del dardo.

69.

¿A qué hora alcanzará el dardo su máxima altura?

En los siguientes ejercicios, observe los gráficos de cada una de las cuatro ecuaciones paramétricas. Aunque tienen un aspecto inusual y hermoso, son tan comunes que tienen nombres, como se indica en cada ejercicio. Utilice una herramienta gráfica para graficar cada una de ellas en el dominio indicado.

70.

Una epicicloide: { x(t)=14costcos(14t) y(t)=14sent+sen(14t) { x(t)=14costcos(14t) y(t)=14sent+sen(14t) en el dominio [0,2π] [0,2π] .

71.

Una hipocicloide: { x(t)=6sent+2sen(6t) y(t)=6cost-2cos(6t) { x(t)=6sent+2sen(6t) y(t)=6cost-2cos(6t) en el dominio [0,2π] [0,2π] .

72.

Una hipotrocoide: { x(t)=2sent+5cos(6t) y(t)=5cost-2sen(6t) { x(t)=2sent+5cos(6t) y(t)=5cost-2sen(6t) en el dominio [0,2π] [0,2π] .

73.

Una rosa: { x(t)=5sen(2 t)sent y(t)=5sen(2 t)cost { x(t)=5sen(2 t)sent y(t)=5sen(2 t)cost en el dominio [0,2π] [0,2π] .

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