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Precálculo 2ed

8.8 Vectores

Precálculo 2ed8.8 Vectores

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección podrá:

  • Ver los vectores geométricamente.
  • Hallar la magnitud y la dirección.
  • Realizar suma de vectores y multiplicación escalar.
  • Hallar la forma en componentes de un vector.
  • Hallar el vector unitario en la dirección de vv.
  • Realizar operaciones con vectores en términos de ii y jj.
  • Calcular el producto punto de dos vectores.

Un avión vuela a una velocidad aerodinámica de 200 millas por hora y se dirige a un rumbo SE de 140°. Un viento del norte (de norte a sur) sopla a 16,2 millas por hora, como se muestra en la Figura 1. ¿Cuál es la velocidad con respecto al suelo y el rumbo real del avión?

Imagen de un avión volando al SE a 140 grados y con el viento del norte soplando
Figura 1

La velocidad con respecto al suelo se refiere a la velocidad de un avión que está en tierra. La velocidad aerodinámica se refiere a la velocidad que puede alcanzar un avión en relación con la masa de aire que lo rodea. Estas dos cantidades no son iguales debido al efecto del viento. En una sección anterior, utilizamos triángulos para resolver un problema similar relacionado con el movimiento de los barcos. Más adelante en esta sección hallaremos la velocidad con respecto al suelo y el rumbo del avión, mientras investigamos otro enfoque para problemas de este tipo. Sin embargo, primero vamos a examinar los fundamentos de los vectores.

Visión geométrica de los vectores

Un vector es una cantidad específica dibujada como un segmento de línea con una punta de flecha en un extremo. Tiene un punto inicial, donde comienza, y un punto terminal, donde termina. El vector se define por su magnitud, o la longitud de la línea, y su dirección, indicada por una punta de flecha en el punto terminal. Por lo tanto, el vector es un segmento rectilíneo dirigido. Hay varios símbolos que distinguen los vectores de otras cantidades:

  • Letras minúsculas y en negrita, con o sin flecha en la parte superior, como por ejemplo v,v, u,u, w,w, v , v , u , w . u , w .
  • Dado el punto inicial P P y punto terminal Q, Q, un vector se puede representar como PQ . PQ . La punta de flecha en la parte superior es lo que indica que no es solo una línea, sino un segmento rectilíneo dirigido.
  • Dado un punto inicial de ( 0,0 ) ( 0,0 ) y punto terminal ( a,b ), ( a,b ), un vector se puede representar como a,b . a,b .

Este último símbolo a,b a,b tiene un significado especial. Este se denomina posición estándar. El vector de posición tiene un punto inicial ( 0,0 ) ( 0,0 ) y un punto terminal ( a,b ). ( a,b ). Para cambiar cualquier vector por el vector de posición, pensamos en el cambio de las coordenadas x y el cambio de las coordenadas y. Por lo tanto, si el punto inicial de un vector CD CD es C( x 1 , y 1 ) C( x 1 , y 1 ) y el punto terminal es D( x 2 , y 2 ), D( x 2 , y 2 ), entonces el vector de posición se halla calculando

Ab = x 2 - x 1 , y 2 - y 1 = a,b Ab = x 2 - x 1 , y 2 - y 1 = a,b

En la Figura 2 vemos el vector original CD CD y el vector de posición Ab . Ab .

Gráfico del vector original CD en azul y del vector de posición AB en anaranjado que se prolonga desde el origen.
Figura 2

Propiedades de los vectores

Un vector es un segmento rectilíneo dirigido con un punto inicial y un punto terminal. Los vectores se identifican por la magnitud, o la longitud de la línea, y la dirección, representada por la punta de la flecha que apunta hacia el punto terminal. El vector de posición tiene un punto inicial en ( 0,0 ) ( 0,0 ) y se identifica por su punto terminal ( a,b ). ( a,b ).

Ejemplo 1

Hallar el vector de posición

Consideremos el vector cuyo punto inicial es P( 2 ,3 ) P( 2 ,3 ) y el punto terminal es Q( 6,4 ). Q( 6,4 ). Halle el vector de posición.

Ejemplo 2

Dibujar un vector con el criterio dado y su vector de posición equivalente

Halle el vector de posición dado el vector v v tiene un punto inicial en ( -3,2 ) ( -3,2 ) y un punto terminal en ( 4,5 ), ( 4,5 ), luego, grafique ambos vectores en el mismo plano.

Inténtelo #1

Dibuje un vector v v que conecta desde el origen hasta el punto (3,5). (3,5).

Hallar la magnitud y la dirección

Para trabajar con un vector, tenemos que ser capaces de hallar su magnitud y su dirección. Hallamos su magnitud mediante el teorema de Pitágoras o la fórmula de distancia, y hallamos su dirección mediante la función tangente inversa.

Magnitud y dirección de un vector

Dado un vector de posición v v = a,b , = a,b , la magnitud se halla por | v |= a 2 + b 2 . | v |= a 2 + b 2 . La dirección es igual al ángulo formado con el eje x, o con el eje y, según la aplicación. Para un vector de posición, la dirección se halla mediante tanθ=( b a )θ= tan -1 ( b a ), tanθ=( b a )θ= tan -1 ( b a ), como se ilustra en la Figura 5.

Gráfico estándar de un vector de posición (a,b) con magnitud |v| que se extiende en Q1 a los grados theta.
Figura 5

Dos vectores v y u se consideran iguales si tienen la misma magnitud y la misma dirección. Además, si ambos vectores tienen el mismo vector de posición, son iguales.

Ejemplo 3

Hallar la magnitud y la dirección de un vector

Halle la magnitud y la dirección del vector con punto inicial P( 8,1 ) P( 8,1 ) y punto terminal Q( 2 ,-5 ). Q( 2 ,-5 ). Dibuje el vector.

Ejemplo 4

Demostrar que dos vectores son iguales

Demuestre que el vector v con punto inicial en ( 5,−3 ) ( 5,−3 ) y punto terminal en ( –1,2 ) ( –1,2 ) es igual al vector u con punto inicial en ( –1,−3 ) ( –1,−3 ) y punto terminal en ( –7,2 ). ( –7,2 ). Dibuje el vector de posición en la misma cuadrícula que v y u. A continuación, calcule la magnitud and dirección de cada vector.

Realizar suma de vectores y multiplicación escalar

Ahora que entendemos las propiedades de los vectores, podemos realizar operaciones con ellos. Aunque es conveniente pensar en el vector uu = x,y = x,y como una flecha o segmento rectilíneo dirigido desde el origen hasta el punto (x,y), (x,y), los vectores se sitúan en cualquier lugar del plano. La suma de dos vectores u y v, o suma de vectores, produce un tercer vector u+ v, el vector resultante.

Para calcular u + v, primero dibujamos el vector u, y desde el punto terminal de u, dibujamos el vector v. Es decir, tenemos que el punto inicial de v se encuentra con el punto terminal de u. Esta posición corresponde a la noción de que nos movemos a lo largo del primer vector y luego, desde su punto terminal, nos movemos a lo largo del segundo vector. La suma u + v es el vector resultante porque resulta de la suma o la resta de dos vectores. El vector resultante va directamente desde el principio de u hasta el final de v en una trayectoria recta, como se muestra en Figura 8.

Diagramas de suma y resta de vectores.
Figura 8

La resta de vectores es similar a la suma de vectores. Para hallar uv, véalo como u + (−v). Para sumar -v se invierte el sentido de vpara sumarlo al extremo de u. El nuevo vector comienza en el inicio de u y se detiene en el punto final de -v. Ver Figura 9 para una visual que compara la suma de vectores y la resta de vectores usando paralelogramos.

Mostrar la suma y la resta de vectores con los paralelogramos. Para la suma, la base es u, el lado es v y la diagonal que conecta el inicio de la base con el final del lado es u + v. Para la resta, la parte superior es u, el lado es –v y la diagonal que conecta el inicio de la parte superior con el final del lado es u – v.
Figura 9

Ejemplo 5

Sumar y restar vectores

Dado u u = 3,-2 = 3,-2 y v v = –1,4 , = –1,4 , hallar dos nuevos vectores u + v y uv.

Multiplicar por un escalar

Mientras que la suma y la resta de vectores nos da un nuevo vector con una magnitud y una dirección diferentes, el proceso de multiplicar un vector por un escalar, una constante, solo cambia la magnitud del vector o la longitud de la línea. La multiplicación escalar no tiene efecto en la dirección a menos que el escalar sea negativo, en cuyo caso la dirección del vector resultante es opuesta a la del vector original.

Multiplicación escalar

La multiplicación escalar implica el producto de un vector por un escalar. Cada componente del vector se multiplica por el escalar. Así, para multiplicar v v = a,b = a,b entre k k, tenemos

kv= ka,kb kv= ka,kb

Solo cambia la magnitud, a menos que k k sea negativo, y entonces el vector invierte su dirección.

Ejemplo 6

Realizar multiplicación escalar

Vector dado v v = 3,1 , = 3,1 , hallar 3v, 1 2 1 2 v, v, y –v.

Análisis

Observe que el vector 3v es tres veces la longitud de v, 1 2 1 2 v v es la mitad de la longitud de v, y –v es la misma longitud de v, pero en sentido contrario.

Inténtelo #2

Halle el múltiplo escalar 3 u u dado uu = 5,4 . = 5,4 .

Ejemplo 7

Usar la suma de vectores y la multiplicación escalar para hallar un nuevo vector

Dado u u = 3,-2 = 3,-2 y v v = 1,4 , = 1,4 , hallar un nuevo vector w = 3u + 2v.

Hallar la forma en componentes

En algunas aplicaciones en las que intervienen vectores, nos resulta útil poder descomponer un vector en sus componentes. Los vectores están formados por dos componentes: el componente horizontal es la dirección x x y el componente vertical es la dirección y y. Por ejemplo, podemos ver en el gráfico de la Figura 12 que el vector de posición 2,3 2,3 resulta de sumar los vectores v1 y v2. Tenemos v1 con punto inicial ( 0,0 ) ( 0,0 ) y punto terminal ( 2 ,0 ). ( 2 ,0 ).

v 1 = 2-0,0-0 = 2,0 v 1 = 2-0,0-0 = 2,0

También tenemos v2 con punto inicial ( 0,0 ) ( 0,0 ) y punto terminal ( 0,3 ). ( 0,3 ).

v 2 = 0-0,3-0 = 0,3 v 2 = 0-0,3-0 = 0,3

Por lo tanto, el vector de posición es

v= 2+0,3+0 = 2,3 v= 2+0,3+0 = 2,3

Con el teorema de Pitágoras, la magnitud de v1 es 2, y la magnitud de v2 es 3. Para hallar la magnitud de v, utilice la fórmula con el vector de posición.

|v|= | v 1 | 2 +| v 2 | 2 = 2 2 + 3 2 = 13 |v|= | v 1 | 2 +| v 2 | 2 = 2 2 + 3 2 = 13

La magnitud de v es 13 . 13 . Para hallar la dirección, utilizamos la función tangente tanθ= y x . tanθ= y x .

tanθ= v 2 v 1 tanθ= 3 2 θ= tan -1 ( 3 2 )=56,3° tanθ= v 2 v 1 tanθ= 3 2 θ= tan -1 ( 3 2 )=56,3°
Diagrama de un vector en posición de raíz con sus componentes horizontal y vertical.
Figura 12

Así, la magnitud de v v es 13 13 y la dirección es 56,3 56,3 de la horizontal.

Ejemplo 8

Hallar los componentes del vector

Halle los componentes del vector v v con punto inicial ( 3,2 ) ( 3,2 ) y punto terminal ( 7,4 ). ( 7,4 ).

Hallar el vector unitario en la dirección de v

Además de hallar los componentes de un vector, también sirve para resolver problemas hallar un vector en la misma dirección que el vector dado, pero de magnitud 1. Llamamos vector unitario a un vector con una magnitud de 1. Así podemos conservar la dirección del vector original y simplificar los cálculos.

Los vectores unitarios se definen en términos de componentes. El vector unitario horizontal se escribe como ii = 1,0 = 1,0 y se dirige a lo largo del eje horizontal positivo. El vector unitario vertical se escribe como j j = 0,1 = 0,1 y se dirige a lo largo del eje vertical positivo. Vea la Figura 14.

Gráfico que muestra los vectores unitarios i = 91, 0) y j = (0, 1)
Figura 14

Los vectores unitarios

Si v v es un vector distinto de cero, entonces v | v | v | v | es un vector unitario en la dirección de v. v. Cualquier vector dividido entre su magnitud es un vector unitario. Observe que la magnitud es siempre un escalar, y que dividir entre un escalar es lo mismo que multiplicar por el recíproco del escalar.

Ejemplo 9

Hallar el vector unitario en la dirección de v

Halle un vector unitario en la misma dirección que v v = −5,12 〉.= −5,12 〉.

Realizar operaciones con vectores en términos de i y j

Hasta ahora hemos investigado los fundamentos de los vectores: magnitud y dirección, suma y resta de vectores, multiplicación escalar, las componentes de los vectores y la representación de los vectores geométricamente. Ahora que estamos familiarizados con las estrategias generales utilizadas en el trabajo con vectores, representaremos los vectores en coordenadas rectangulares en términos de i y j.

Vectores en el plano rectangular

Dado un vector v v con punto inicial P=( x 1 , y 1 ) P=( x 1 , y 1 ) y punto terminal Q=( x 2 , y 2 ), Q=( x 2 , y 2 ), v se escribe como

v=( x 2 - x 1 )i+( y 2 - y 1 )j v=( x 2 - x 1 )i+( y 2 - y 1 )j

El vector de posición de ( 0,0 ) ( 0,0 ) al ( a,b ), ( a,b ), donde ( x 2 - x 1 )=a ( x 2 - x 1 )=a y ( y 2 - y 1 )=b, ( y 2 - y 1 )=b, se escribe como v = ai + bj. Esta suma vectorial se denomina a) combinación lineal de los vectores i y j.

La magnitud de v = ai + bj viene dada como | v |= a 2 + b 2 . | v |= a 2 + b 2 . Vea la Figura 16.

Gráfico que muestra los vectores en coordenadas rectangulares en términos de i y j. El vector de posición v (en anaranjado) se prolonga desde el origen hasta algún punto (a, b) en Q1. Se muestran los componentes horizontales (ai) y vertical (bj).
Figura 16

Ejemplo 10

Escribir un vector en términos de i y j

Dado un vector v v con punto inicial P=( 2 ,–6 ) P=( 2 ,–6 ) y punto terminal Q=( –6,6 ), Q=( –6,6 ), escriba el vector en términos de i i y j. j.

Ejemplo 11

Escribir un vector en términos de i y j utilizando los puntos inicial y final

Dado el punto inicial P 1 =( -1,3 ) P 1 =( -1,3 ) y punto terminal P 2 =( 2 ,7 ), P 2 =( 2 ,7 ), escriba el vector v v en términos de i i y j. j.

Inténtelo #3

Escriba el vector u u con punto inicial P=( -1,6 ) P=( -1,6 ) y punto terminal Q=( 7,-5 ) Q=( 7,-5 ) en términos de i i y j. j.

Realizar operaciones con vectores en términos de i y j

Cuando los vectores se escriben en términos de i i y j, j, podemos realizar sumas, restas y multiplicaciones escalares con operaciones sobre los componentes correspondientes.

Suma y resta de vectores en coordenadas rectangulares

Dado v = ai + bj y u = ci + dj, entonces

v+u=( a+c )i+( b+d )j v-u=( a-c )i+( bd )j v+u=( a+c )i+( b+d )j v-u=( a-c )i+( bd )j

Ejemplo 12

Hallar la suma de los vectores

Calcule la suma de v 1 =2i-3j v 1 =2i-3j y v 2 =4i+5j. v 2 =4i+5j.

Calcular la forma en componentes de un vector: Dirección

Hemos visto cómo dibujar vectores según sus puntos iniciales y terminales y cómo hallar el vector de posición. También hemos examinado la notación para vectores dibujados específicamente en el plano de coordenadas cartesianas utilizando iyj. iyj. Para cualquiera de estos vectores, podemos calcular la magnitud. Ahora queremos combinar los puntos clave y profundizar en las ideas de magnitud y dirección.

El cálculo de la dirección sigue el mismo proceso directo que utilizamos para las coordenadas polares. Hallamos la dirección del vector al hallar el ángulo con la horizontal. Para ello utilizamos las identidades trigonométricas básicas, pero con | v | | v | sustituyendo a r. r.

Componentes vectoriales en términos de magnitud y dirección

Dado un vector de posición v= x,y v= x,y y un ángulo de dirección θ, θ,

cosθ= x |v| y senθ= y |v| x=|v|cosθ y=|v|senθ cosθ= x |v| y senθ= y |v| x=|v|cosθ y=|v|senθ

Por lo tanto, v=xi+yj=| v |cosθi+| v |senθj, v=xi+yj=| v |cosθi+| v |senθj, y la magnitud se expresa como | v |= x 2 + y 2 . | v |= x 2 + y 2 .

Ejemplo 13

Escribir un vector en términos de magnitud y dirección

Escriba un vector de longitud 7 con un ángulo de 135º respecto al eje x positivo en términos de magnitud y dirección.

Inténtelo #4

Un vector se desplaza desde el origen hasta el punto ( 3,5 ). ( 3,5 ). Escriba el vector en términos de magnitud y dirección.

Calcular el producto punto de dos vectores

Como ya hemos comentado en esta sección, la multiplicación escalar consiste en multiplicar un vector por un escalar, y el resultado es un vector. Como hemos visto, multiplicar un vector por un número se llama multiplicación escalar. Si multiplicamos un vector por otro vector, existen dos posibilidades: el producto punto y el producto cruzado. Aquí solo examinaremos el producto punto; es posible que halle el producto cruzado en cursos de matemáticas más avanzados.

El producto punto de dos vectores consiste en multiplicar dos vectores entre sí, y el resultado es un escalar.

Producto escalar

El producto punto de dos vectores v= a,b v= a,b y u= c,d u= c,d es la suma del producto de los componentes horizontales y el producto de los componentes verticales.

vu=ac+bd vu=ac+bd

Para hallar el ángulo entre los dos vectores, utilice la siguiente fórmula.

cosθ= v | v | u | u | cosθ= v | v | u | u |

Ejemplo 14

Calcular el producto punto de dos vectores

Halle el producto punto de v= 5,12 v= 5,12 y u= −3,4 . u= −3,4 .

Ejemplo 15

Hallar el producto escalar de dos vectores y el ángulo entre ellos

Halle el producto punto de v1 = 5i + 2j y v2 = 3i + 7j. Luego, halle el ángulo entre los dos vectores.

Ejemplo 16

Calcular el ángulo entre dos vectores

Calcule el ángulo entre u= 3,4 u= 3,4 y v= 5,12 . v= 5,12 .

Ejemplo 17

Hallar la velocidad con respecto al suelo y el rumbo utilizando vectores

Ahora tenemos las herramientas para resolver el problema que introdujimos en la apertura de la sección.

Un avión vuela a una velocidad aerodinámica de 200 millas por hora y se dirige a un rumbo SE de 140°. Un viento del norte (de norte a sur) sopla a 16,2 millas por hora. ¿Cuál es la velocidad con respecto al suelo y el rumbo real del avión? Vea la Figura 19.

Imagen de un avión volando hacia el SE a 140 grados y con el viento del norte soplando.
Figura 19

Media

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8.8 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Cuáles son las características de las letras que se suelen utilizar para representar vectores?

2.

¿Por qué un vector es más específico que un segmento de línea?

3.

¿Qué son i i y j, j, y qué representan?

4.

¿Qué es la forma de los componentes?

5.

Cuando un vector unitario se expresa como a,b , a,b , ¿cuál letra es el coeficiente de la i i y cuál es la de la j? j?

Algebraicos

6.

Dado un vector con punto inicial ( 5,2 ) ( 5,2 ) y punto terminal ( -1,-3 ), ( -1,-3 ), halle un vector equivalente cuyo punto inicial es ( 0,0 ). ( 0,0 ). Escriba el vector en forma de componentes a,b . a,b .

7.

Dado un vector con punto inicial ( -4,2 ) ( -4,2 ) y punto terminal ( 3,-3 ), ( 3,-3 ), halle un vector equivalente cuyo punto inicial es ( 0,0 ). ( 0,0 ). Escriba el vector en forma de componentes a,b . a,b .

8.

Dado un vector con punto inicial ( 7,-1 ) ( 7,-1 ) y punto terminal ( -1,-7 ), ( -1,-7 ), halle un vector equivalente cuyo punto inicial es ( 0,0 ). ( 0,0 ). Escriba el vector en forma de componentes a,b . a,b .

En los siguientes ejercicios, determine si los dos vectores u u y v v son iguales, donde u u tiene un punto inicial P 1 P 1 y un punto terminal P 2 P 2 y v v tiene un punto inicial P 3 P 3 y un punto terminal P 4 P 4 .

9.

P 1 =( 5,1 ), P 2 =( 3,-2 ), P 3 =( -1,3 ), P 1 =( 5,1 ), P 2 =( 3,-2 ), P 3 =( -1,3 ), y P 4 =( 9,-4 ) P 4 =( 9,-4 )

10.

P 1 =( 2 ,-3 ), P 2 =( 5,1 ), P 3 =( 6,-1 ), P 1 =( 2 ,-3 ), P 2 =( 5,1 ), P 3 =( 6,-1 ), y P 4 =( 9,3 ) P 4 =( 9,3 )

11.

P 1 =( -1,-1 ), P 2 =( -4,5 ), P 3 =( 10,6 ), P 1 =( -1,-1 ), P 2 =( -4,5 ), P 3 =( 10,6 ), y P 4 =( 13,12 ) P 4 =( 13,12 )

12.

P 1 =( 3,7 ), P 2 =( 2 ,1 ), P 3 =( 1,2 ), P 1 =( 3,7 ), P 2 =( 2 ,1 ), P 3 =( 1,2 ), y P 4 =( -1,-4 ) P 4 =( -1,-4 )

13.

P 1 =( 8,3 ), P 2 =( 6,5 ), P 3 =( 11,8 ), P 1 =( 8,3 ), P 2 =( 6,5 ), P 3 =( 11,8 ), y P 4 =( 9,10 ) P 4 =( 9,10 )

14.

Dado el punto inicial P 1 =( -3,1 ) P 1 =( -3,1 ) y punto terminal P 2 =( 5,2 ), P 2 =( 5,2 ), escriba el vector v v en términos de i i y j. j.

15.

Dado el punto inicial P 1 =( 6,0 ) P 1 =( 6,0 ) y punto terminal P 2 =( -1,-3 ), P 2 =( -1,-3 ), escriba el vector v v en términos de i i y j. j.

En los siguientes ejercicios, utilice los vectores u = i + 5j, v = −2i− 3j, y w = 4ij.

16.

Halle u + (vw)

17.

Halle 4v + 2u

En los siguientes ejercicios, utilice los vectores dados para calcular u + v, uv y 2u − 3v.

18.

u= 2,-3 ,v= 1,5 u= 2,-3 ,v= 1,5

19.

u= 3,4 ,v= -2 ,1 u= 3,4 ,v= -2 ,1

20.

Supongamos que v = −4i + 3j. Halle un vector que tenga la mitad de la longitud y apunte en la misma dirección que v. v.

21.

Supongamos que v = 5i + 2j. Halle un vector que tenga el doble de longitud y apunte en la dirección opuesta a v. v.

En los siguientes ejercicios, halle un vector unitario en la misma dirección que el vector dado.

22.

a = 3i + 4j

23.

b = −2i + 5j

24.

c = 10ij

25.

d=- 1 3 i+ 5 2 j d=- 1 3 i+ 5 2 j

26.

u = 100i + 200j

27.

u = −14i + 2j

En los siguientes ejercicios, halle la magnitud y la dirección del vector, 0θ<2π. 0θ<2π.

28.

0,4 0,4

29.

6,5 6,5

30.

2,−5 2,−5

31.

–4,−6 –4,−6

32.

Dado u = 3i − 4j y v = −2i + 3j, calcule uv. uv.

33.

Dado u = −ij y v = i + 5j, calcule uv. uv.

34.

Dados u= -2 ,4 u= -2 ,4 y v= 3,1 , v= 3,1 , calcule uv. uv.

35.

Dado que u = 1,6 = 1,6 y v = 6,-1 , = 6,-1 , calcule uv. uv.

Gráficos

En los siguientes ejercicios, dados v, v, dibuje v, v, 3v y 1 2 v. 1 2 v.

36.

2,−1 2,−1

37.

–1,4 –1,4

38.

−3,−2 −3,−2

En los siguientes ejercicios, utilice los vectores mostrados para hacer un dibujo u + v, uv y 2u.

39.
Trazado de los vectores u y v que se extienden desde el mismo punto de origen. En términos de ese punto, u va a (1, 1) y v va a (–1, 2).
40.
Trazado de los vectores u y v que se extienden desde el mismo punto de origen. En términos de ese punto, u va a (1, 2) y v va a (1, –1).
41.
Trace los vectores u y v situados de cabeza a cola. Tome el punto de partida de u como origen. En términos de eso, u va del origen a (3, –2) y v va de (3, –2) a (2, –3)

En los siguientes ejercicios, utilice los vectores mostrados para dibujar 2u + v.

42.
Trazado de los vectores u y v que se extienden desde el mismo punto. Tomando ese punto base como origen, u va del origen a (3, 1) y v va del origen a (2, –2).
43.
Trazado de los vectores u y v que se extienden desde el mismo punto. Tomando ese punto base como origen, u va del origen a (1, –2) y v va del origen a (–3, –2).

En los siguientes ejercicios, utilice los vectores mostrados para dibujar u − 3v.

44.
Trazado de los vectores u y v que se extienden desde el mismo punto. Tomando ese punto base como origen, u va del origen a (–4, 0) y v va del origen a (1, –1).
45.
Trazado de los vectores u y v que se extienden desde el mismo punto. Tomando ese punto base como origen, u va del origen a (1, 2) y v va del origen a (–2, 1).

En los siguientes ejercicios, escriba el vector mostrado en forma de componentes.

46.
Vector que va del origen a (–4, 2).
47.
Inserte el texto alternativo de la figura (tabla): Vector que va del origen a (4, 1).
48.

Dado el punto inicial P 1 =( 2 ,1 ) P 1 =( 2 ,1 ) y punto terminal P 2 =( -1,2 ), P 2 =( -1,2 ), escriba el vector v v en términos de i i y j, j, y luego dibuje el vector en el gráfico.

49.

Dado el punto inicial P 1 =( 4,-1 ) P 1 =( 4,-1 ) y punto terminal P 2 =( -3,2 ), P 2 =( -3,2 ), escriba el vector v v en términos de i i y j. j. Dibuje los puntos y el vector en el gráfico.

50.

Dado el punto inicial P 1 =( 3,3 ) P 1 =( 3,3 ) y punto terminal P 2 =( -3,3 ), P 2 =( -3,3 ), escriba el vector v v en términos de i i y j. j. Dibuje los puntos y el vector en el gráfico.

Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice la magnitud y la dirección dadas en posición estándar, escriba el vector en forma de componente.

51.

| v |=6,θ=45° | v |=6,θ=45°

52.

| v |=8,θ=220° | v |=8,θ=220°

53.

| v |=2 ,θ=300° | v |=2 ,θ=300°

54.

| v |=5,θ=135° | v |=5,θ=135°

55.

Una caja de 60 libras está apoyada en una rampa con una inclinación de 12°. Redondeando a la décima más cercana,

  1. Calcule la magnitud de la componente normal (perpendicular) de la fuerza.
  2. Calcule la magnitud de la componente de la fuerza que es paralela a la rampa.
56.

Una caja de 25 libras está apoyada en una rampa con una inclinación de 8°. Redondeando a la décima más cercana,

  1. Calcule la magnitud de la componente normal (perpendicular) de la fuerza.
  2. Calcule la magnitud de la componente de la fuerza que es paralela a la rampa.
57.

Hallar la magnitud de los componentes horizontal y vertical de un vector de magnitud 8 libras que apunta en una dirección de 27° sobre la horizontal. Redondee a la centésima más cercana.

58.

Hallar la magnitud de los componentes horizontal y vertical del vector de magnitud 4 libras que apunta en una dirección de 127° sobre la horizontal. Redondee a la centésima más cercana.

59.

Hallar la magnitud de los componentes horizontal y vertical de un vector de magnitud 5 libras que apunta en una dirección de 55° sobre la horizontal. Redondee a la centésima más cercana.

60.

Hallar la magnitud de los componentes horizontal y vertical del vector de magnitud 1 libra que apunta en una dirección de 8° sobre la horizontal. Redondee a la centésima más cercana.

Aplicaciones en el mundo real

61.

Una mujer sale de su casa y camina 3 millas hacia el oeste y luego 2 millas hacia el suroeste. ¿A qué distancia está de su casa y en qué dirección debe caminar para dirigirse directamente a la casa?

62.

Un barco sale del puerto deportivo y navega 6 millas hacia el norte, luego 2 millas hacia el noreste. ¿A qué distancia del puerto deportivo está el barco y en qué dirección debe navegar para volver directamente al puerto?

63.

Un hombre comienza a caminar desde su casa y recorre 4 millas al este, 2 millas al sureste, 5 millas al sur, 4 millas al suroeste y 2 millas al este. ¿Cuánto ha caminado? Si regresara a casa en línea recta, ¿cuánto tendría que caminar?

64.

Una mujer empieza a caminar desde su casa y recorre 4 millas al este, 7 millas al sureste, 6 millas al sur, 5 millas al suroeste y 3 millas al este. ¿Cuánto ha caminado? Si volviera a casa en línea recta, ¿cuánto tendría que caminar?

65.

Un hombre comienza a caminar desde su casa y recorre 3 millas a 20° al norte del oeste, luego 5 millas a 10° al oeste del sur, luego 4 millas a 15° al norte del este. Si volviera a casa en línea recta, ¿qué distancia tendría que recorrer y en qué dirección?

66.

Una mujer comienza a caminar desde su casa y recorre 6 millas a 40° al norte del este, luego 2 millas a 15° al este del sur y luego 5 millas a 30° al sur del oeste. Si volviera a casa en línea recta, ¿cuánto tendría que caminar y en qué dirección?

67.

Un avión se dirige al norte a una velocidad aerodinámica de 600 km/h, pero hay un viento que sopla del suroeste a 80 km/h. ¿Cuántos grados de desviación del rumbo terminará volando el avión y cuál es la velocidad del avión con respecto al suelo?

68.

Un avión se dirige al norte a una velocidad aerodinámica de 500 km/h, pero hay un viento que sopla del noroeste a 50 km/h. ¿Cuántos grados de desviación del rumbo terminará volando el avión y cuál es la velocidad del avión con respecto al suelo?

69.

Un avión tiene que dirigirse hacia el norte, pero hay un viento que sopla del suroeste a 60 km/h. El avión vuela con una velocidad aerodinámica de 550 km/h. Para acabar volando hacia el norte, ¿cuántos grados al oeste del norte necesitará el piloto para volar el avión?

70.

Un avión necesita dirigirse hacia el norte, pero hay un viento que sopla del noroeste a 80 km/h. El avión vuela con una velocidad aerodinámica de 500 km/h. Para acabar volando hacia el norte, ¿cuántos grados al oeste del norte necesitará el piloto para volar el avión?

71.

Como parte de un videojuego, el punto ( 5,7 ) ( 5,7 ) se gira en sentido contrario a las agujas del reloj en torno al origen con un ángulo de 35°. Halle las nuevas coordenadas de este punto.

72.

Como parte de un videojuego, el punto ( 7,3 ) ( 7,3 ) se gira en sentido contrario a las agujas del reloj en torno al origen con un ángulo de 40°. Halle las nuevas coordenadas de este punto.

73.

Dos niños se lanzan una pelota de un lado a otro del asiento trasero de un auto. La pelota se lanza a 10 mph en relación con el automóvil, y el automóvil está viajando a 25 mph por la carretera. Si uno de los niños no atrapa la pelota y esta sale volando por la ventana, ¿en qué dirección vuela la pelota (sin tener en cuenta la resistencia del viento)?

74.

Dos niños se lanzan una pelota de un lado a otro del asiento trasero de un auto. La pelota se lanza a 8 mph en relación con el automóvil, y el automóvil está viajando a 45 mph por la carretera. Si uno de los niños no atrapa la pelota y esta sale volando por la ventana, ¿en qué dirección vuela la pelota (sin tener en cuenta la resistencia del viento)?

75.

Un objeto de 50 libras descansa en una rampa con una inclinación de 19°. Halle la magnitud de los componentes de la fuerza paralela y perpendicular (normal) a la rampa, con una precisión de una décima de una libra.

76.

Supongamos que un cuerpo tiene una fuerza de 10 libras que actúan sobre él hacia la derecha, 25 libras que actúan sobre él hacia arriba y 5 libras que actúan sobre él a 45º de la horizontal. ¿Qué fuerza única es la resultante que actúa sobre el cuerpo?

77.

Supongamos que un cuerpo tiene una fuerza de 10 libras que actúan sobre él hacia la derecha, 25 libras que actúan sobre él ─135° desde la horizontal y 5 libras que actúan sobre él dirigidas 150° desde la horizontal. ¿Qué fuerza única es la resultante que actúa sobre el cuerpo?

78.

La condición de equilibrio es cuando la suma de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es el vector cero. Supongamos que un cuerpo tiene una fuerza de 2 libras que actúan sobre él hacia la derecha, 5 libras que actúan sobre él hacia arriba y 3 libras que actúan sobre él a 45° de la horizontal. ¿Qué fuerza única se necesita para producir un estado de equilibrio en el cuerpo?

79.

Supongamos que un cuerpo tiene una fuerza de 3 libras que actúan sobre él hacia la izquierda, 4 libras que actúan sobre él hacia arriba y 2 libras que actúan sobre él a 30° de la horizontal. ¿Qué fuerza única se necesita para producir un estado de equilibrio en el cuerpo? Dibuje el vector.

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