Jay Abramson

Ejercicios de repaso

Triángulos no rectos: ley de senos

En los siguientes ejercicios, supongamos que $α$ es el lado opuesto $a, β$ es el lado opuesto $b,$ y $γ$ es el lado opuesto $c .$ Resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

1.

$β = 50°, a = 105, b = 45$

2.

$α = 43,1°, a = 184,2, b = 242,8$

3.

Resuelva el triángulo.

Triángulo con marcas estándar. El ángulo A es de 36 grados con el lado opuesto a desconocido. El ángulo B es de 24 grados con el lado opuesto b = 16. El ángulo C y el lado c son desconocidos.

4.

Halle el área del triángulo.

Un triángulo. Un ángulo es de 75 grados con el lado opuesto desconocido. Los lados adyacentes al ángulo de 75 grados son 8 y 11.

5.

Un piloto vuela sobre una carretera recta. Él determina que los ángulos de depresión de dos hitos, separados por 2,1 km, son de 25° y 49°, como se muestra en la Figura 1. Calcule la distancia del avión al punto $A$ y la elevación del avión.

Diagrama de un avión volando sobre una autopista. Está a la izquierda y por encima de los puntos A y B del suelo en ese orden. Hay una línea horizontal que atraviesa al avión paralela al suelo. El ángulo formado por la línea horizontal, el avión y la línea del avión al punto B es de 25 grados. El ángulo formado por la línea horizontal, el avión y el punto A es de 49 grados.

Figura 1

Triángulos no rectos: ley de cosenos

6.

Resuelva el triángulo, redondeando a la décima más cercana, suponiendo que $α$ es el lado opuesto $a, β$ es el lado opuesto $b,$ y $γ$ es el lado opuesto $c : a = 4, b = 6, c = 8.$

7.

Resuelva el triángulo de la Figura 2, redondeando a la décima más cercana.

Un triángulo con marca estándar. El ángulo A es de 54 grados con el lado opuesto a desconocido. El ángulo B es desconocido con el lado opuesto b = 15. El ángulo C es desconocido con el lado opuesto C = 13.

Figura 2

8.

Halle el área de un triángulo con lados de longitud 8,3, 6,6 y 9,1.

9.

Para hallar la distancia entre dos ciudades, un satélite calcula las distancias y el ángulo que se muestran en la Figura 3 (no a escala). Halle la distancia entre las ciudades. Redondee las respuestas a la décima más cercana.

Diagrama de un satélite por encima y a la derecha de dos ciudades. La distancia entre el satélite y la ciudad más cercana es de 210 km. La distancia del satélite a la ciudad más lejana es de 250 km. El ángulo formado por la ciudad más cercana, el satélite y la otra ciudad es de 1,8 grados.

Figura 3

Coordenadas polares

10.

Trace el punto con coordenadas polares $(3, \frac{π}{6}) .$

11.

Trace el punto con coordenadas polares $(5, - \frac{2 π}{3})$

12.

Convierta $(6, - \frac{3 π}{4})$ a coordenadas rectangulares.

13.

Convierta $(- 2, \frac{3 π}{2})$ a coordenadas rectangulares.

14.

Convierta $(7, - 2)$ a coordenadas polares.

15.

Convierta $(- 9, - 4)$ a coordenadas polares.

En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación cartesiana dada en una ecuación polar.

16.

$x = - 2$

17.

$x^{2} + y^{2} = 64$

18.

$x^{2} + y^{2} = - 2 y$

En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar dada en una ecuación cartesiana.

19.

$r = 7 cos θ$

20.

$r = \frac{- 2}{4 \cos θ + sen θ}$

En los siguientes ejercicios, convierta a forma rectangular y grafique.

21.

$θ = \frac{3 π}{4}$

22.

$r = 5 \sec θ$

Coordenadas polares: gráficos

En los siguientes ejercicios, compruebe la simetría de cada ecuación.

23.

$r = 4 + 4 sen θ$

24.

$r = 7$

25.

Dibuje un gráfico de la ecuación polar $r = 1 - 5 sen θ .$ Marcar las intersecciones del eje.

26.

Dibuje un gráfico de la ecuación polar $r = 5 sen (7 θ) .$

27.

Dibuje un gráfico de la ecuación polar $r = 3 - 3 \cos θ$

Forma polar de números complejos

En los siguientes ejercicios, halle el valor absoluto de cada número complejo.

28.

$- 2 + 6 i$

29.

$4 - 3 i$

Escriba el número complejo en forma polar.

30.

$5 + 9 i$

31.

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

En los siguientes ejercicios, convierta el número complejo de forma polar a rectangular.

32.

$z = 5 cis (\frac{5 π}{6})$

33.

$z = 3 cis (40°)$

En los siguientes ejercicios, halle el producto $z_{1} z_{2}$ en forma polar.

34.

$z_{1} = 2 cis (89°)$

$z_{2} = 5 cis (23°)$

35.

$z_{1} = 10 cis (\frac{π}{6})$

$z_{2} = 6 cis (\frac{π}{3})$

En los siguientes ejercicios, halle el cociente $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ en forma polar.

36.

$z_{1} = 12 cis (55°)$

$z_{2} = 3 cis (18°)$

37.

$z_{1} = 27 cis (\frac{5 π}{3})$

$z_{2} = 9 cis (\frac{π}{3})$

En los siguientes ejercicios, calcule las potencias de cada número complejo en forma polar.

38.

Calcule $z^{4}$ cuando $z = 2 cis (70°)$

39.

Calcule $z^{2}$ cuando $z = 5 cis (\frac{3 π}{4})$

En los siguientes ejercicios, evalúe cada raíz.

40.

Evalúe la raíz cúbica de $z$ cuando $z = 64 cis (210°) .$

41.

Evalúe la raíz cuadrada de $z$ cuando $z = 25 cis (\frac{3 π}{2}) .$

En los siguientes ejercicios, trace el número complejo en el plano complejo.

42.

$6 - 2 i$

43.

$- 1 + 3 i$

Ecuaciones paramétricas

En los siguientes ejercicios, elimine el parámetro $t$ para reescribir la ecuación paramétrica como una ecuación cartesiana.

44.

${\begin{array}{l} x (t) = 3 t - 1 \\ y (t) = \sqrt{t} \end{array}$

45.

${\begin{cases} x (t) = - \cos t \\ y (t) = 2 {sen}^{2} t \end{cases}$

46.

Parametrizar (escribir una ecuación paramétrica) cada ecuación cartesiana utilizando $x (t) = a \cos t$ y $y (t) = b sen t$ por $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1.$

47.

Parametrice la línea de $(- 2, 3)$ al $(4, 7)$ para que la línea esté en $(- 2, 3)$ en $t = 0$ y $(4, 7)$ en $t = 1.$

Ecuaciones paramétricas: gráficos

En los siguientes ejercicios, haga una tabla de valores para cada conjunto de ecuaciones paramétricas, grafique las ecuaciones e incluya una orientación; luego escriba la ecuación cartesiana.

48.

${\begin{array}{l} x (t) = 3 t^{2} \\ y (t) = 2 t - 1 \end{array}$

49.

${\begin{array}{l} x (t) = e^{t} \\ y (t) = - 2 e^{5 t} \end{array}$

50.

${\begin{array}{l} x (t) = 3 \cos t \\ y (t) = 2 sen t \end{array}$

51.

Se lanza una pelota con una velocidad inicial de 80 pies por segundo con un ángulo de 40° respecto a la horizontal. La pelota se suelta a una altura de 4 pies del suelo.

Ⓐ Halle las ecuaciones paramétricas para modelar la trayectoria de la pelota.
Ⓑ ¿Dónde está el balón después de 3 segundos?

Vectores

En los siguientes ejercicios, determine si los dos vectores, $u$ y $v,$ son iguales, donde $u$ tiene un punto inicial $P_{1}$ y un punto terminal $P_{2},$ y $v$ tiene un punto inicial $P_{3}$ y un punto terminal $P_{4} .$

52.

$P_{1} = (- 1, 4), P_{2} = (3, 1), P_{3} = (5, 5)$ y $P_{4} = (9, 2)$

53.

$P_{1} = (6, 11), P_{2} = (- 2, 8), P_{3} = (0, - 1)$ y $P_{4} = (- 8, 2)$

En los siguientes ejercicios, utilice los vectores $u = 2 i - j, v = 4 i - 3 j,$ y $w = - 2 i + 5 j$ para evaluar la expresión.

54.

u − v

55.

2v − u + w

En los siguientes ejercicios, halle un vector unitario en la misma dirección que el vector dado.

56.

a = 8i − 6j

57.

b = −3i − j

En los siguientes ejercicios, calcule la magnitud y la dirección del vector.

58.

$〈 6, −2 〉$

59.

$〈 −3, −3 〉$

En los siguientes ejercicios, calcule $u \cdot v .$

60.

u = −2i + j y v = 3i + 7j

61.

u = i + 4j y v = 4i + 3j

62.

Dado que v $= 〈 −3, 4 〉$ dibuje v, 2v y $\frac{1}{2}$ v.

63.

Dados los vectores que se
muestran en la Figura 4, dibuje
u + v, u − v y 3v

Diagrama de los vectores v, 2v y 1/2 v. El vector 2v está en la misma dirección que v pero tiene el doble de magnitud. El vector 1/2 v está en la misma dirección que v, pero tiene la mitad de magnitud.

Figura 4

64.

Dado el punto inicial $P_{1} = (3, 2)$ y punto terminal $P_{2} = (- 5, - 1),$ escriba el vector $v$ en términos de $i$ y $j .$ Dibuje los puntos y el vector en el gráfico.