Jay Abramson

Ejercicios de repaso

Triángulos no rectos: ley de senos

En los siguientes ejercicios, supongamos que $α$ es el lado opuesto $a, β$ es el lado opuesto $b,$ y $γ$ es el lado opuesto $c .$ Resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

1.

$β = 50°, a = 105, b = 45$

2.

$α = 43,1°, a = 184,2, b = 242,8$

3.

Resuelva el triángulo.

4.

Halle el área del triángulo.

5.

Un piloto vuela sobre una carretera recta. Él determina que los ángulos de depresión de dos hitos, separados por 2,1 km, son de 25° y 49°, como se muestra en la Figura 1. Calcule la distancia del avión al punto $A$ y la elevación del avión.

Diagrama de un avión volando sobre una autopista. Está a la izquierda y por encima de los puntos A y B del suelo en ese orden. Hay una línea horizontal que atraviesa al avión paralela al suelo. El ángulo formado por la línea horizontal, el avión y la línea del avión al punto B es de 25 grados. El ángulo formado por la línea horizontal, el avión y el punto A es de 49 grados.

Figura 1

Triángulos no rectos: ley de cosenos

6.

Resuelva el triángulo, redondeando a la décima más cercana, suponiendo que $α$ es el lado opuesto $a, β$ es el lado opuesto $b,$ y $γ$ es el lado opuesto $c : a = 4, b = 6, c = 8.$

7.

Resuelva el triángulo de la Figura 2, redondeando a la décima más cercana.

Un triángulo con marca estándar. El ángulo A es de 54 grados con el lado opuesto a desconocido. El ángulo B es desconocido con el lado opuesto b = 15. El ángulo C es desconocido con el lado opuesto C = 13.

Figura 2

8.

Halle el área de un triángulo con lados de longitud 8,3, 6,6 y 9,1.

9.

Para hallar la distancia entre dos ciudades, un satélite calcula las distancias y el ángulo que se muestran en la Figura 3 (no a escala). Halle la distancia entre las ciudades. Redondee las respuestas a la décima más cercana.

Diagrama de un satélite por encima y a la derecha de dos ciudades. La distancia entre el satélite y la ciudad más cercana es de 210 km. La distancia del satélite a la ciudad más lejana es de 250 km. El ángulo formado por la ciudad más cercana, el satélite y la otra ciudad es de 1,8 grados.

Figura 3

Coordenadas polares

10.

Trace el punto con coordenadas polares $(3, \frac{π}{6}) .$

11.

Trace el punto con coordenadas polares $(5, - \frac{2 π}{3})$

12.

Convierta $(6, - \frac{3 π}{4})$ a coordenadas rectangulares.

13.

Convierta $(- 2, \frac{3 π}{2})$ a coordenadas rectangulares.

14.

Convierta $(7, - 2)$ a coordenadas polares.

15.

Convierta $(- 9, - 4)$ a coordenadas polares.

En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación cartesiana dada en una ecuación polar.

16.

$x = - 2$

17.

$x^{2} + y^{2} = 64$

18.

$x^{2} + y^{2} = - 2 y$

En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar dada en una ecuación cartesiana.

19.

$r = 7 cos θ$

20.

$r = \frac{- 2}{4 \cos θ + sen θ}$

En los siguientes ejercicios, convierta a forma rectangular y grafique.

21.

$θ = \frac{3 π}{4}$

22.

$r = 5 \sec θ$

Coordenadas polares: gráficos

En los siguientes ejercicios, compruebe la simetría de cada ecuación.

23.

$r = 4 + 4 sen θ$

24.

$r = 7$

25.

Dibuje un gráfico de la ecuación polar $r = 1 - 5 sen θ .$ Marcar las intersecciones del eje.

26.

Dibuje un gráfico de la ecuación polar $r = 5 sen (7 θ) .$

27.

Dibuje un gráfico de la ecuación polar $r = 3 - 3 \cos θ$

Forma polar de números complejos

En los siguientes ejercicios, halle el valor absoluto de cada número complejo.

28.

$- 2 + 6 i$

29.

$4 - 3 i$

Escriba el número complejo en forma polar.

30.

$5 + 9 i$

31.

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

En los siguientes ejercicios, convierta el número complejo de forma polar a rectangular.

32.

$z = 5 cis (\frac{5 π}{6})$

33.

$z = 3 cis (40°)$

En los siguientes ejercicios, halle el producto $z_{1} z_{2}$ en forma polar.

34.

$z_{1} = 2 cis (89°)$

$z_{2} = 5 cis (23°)$

35.

$z_{1} = 10 cis (\frac{π}{6})$

$z_{2} = 6 cis (\frac{π}{3})$

En los siguientes ejercicios, halle el cociente $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ en forma polar.

36.

$z_{1} = 12 cis (55°)$

$z_{2} = 3 cis (18°)$

37.

$z_{1} = 27 cis (\frac{5 π}{3})$

$z_{2} = 9 cis (\frac{π}{3})$

En los siguientes ejercicios, calcule las potencias de cada número complejo en forma polar.

38.

Calcule $z^{4}$ cuando $z = 2 cis (70°)$

39.

Calcule $z^{2}$ cuando $z = 5 cis (\frac{3 π}{4})$

En los siguientes ejercicios, evalúe cada raíz.

40.

Evalúe la raíz cúbica de $z$ cuando $z = 64 cis (210°) .$

41.

Evalúe la raíz cuadrada de $z$ cuando $z = 25 cis (\frac{3 π}{2}) .$

En los siguientes ejercicios, trace el número complejo en el plano complejo.

42.

$6 - 2 i$

43.

$- 1 + 3 i$

Ecuaciones paramétricas

En los siguientes ejercicios, elimine el parámetro $t$ para reescribir la ecuación paramétrica como una ecuación cartesiana.

44.

${\begin{array}{l} x (t) = 3 t - 1 \\ y (t) = \sqrt{t} \end{array}$

45.

${\begin{cases} x (t) = - \cos t \\ y (t) = 2 {sen}^{2} t \end{cases}$

46.

Parametrizar (escribir una ecuación paramétrica) cada ecuación cartesiana utilizando $x (t) = a \cos t$ y $y (t) = b sen t$ por $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1.$

47.

Parametrice la línea de $(- 2, 3)$ al $(4, 7)$ para que la línea esté en $(- 2, 3)$ en $t = 0$ y $(4, 7)$ en $t = 1.$

Ecuaciones paramétricas: gráficos

En los siguientes ejercicios, haga una tabla de valores para cada conjunto de ecuaciones paramétricas, grafique las ecuaciones e incluya una orientación; luego escriba la ecuación cartesiana.

48.

${\begin{array}{l} x (t) = 3 t^{2} \\ y (t) = 2 t - 1 \end{array}$

49.

${\begin{array}{l} x (t) = e^{t} \\ y (t) = - 2 e^{5 t} \end{array}$

50.

${\begin{array}{l} x (t) = 3 \cos t \\ y (t) = 2 sen t \end{array}$

51.

Se lanza una pelota con una velocidad inicial de 80 pies por segundo con un ángulo de 40° respecto a la horizontal. La pelota se suelta a una altura de 4 pies del suelo.

Ⓐ Halle las ecuaciones paramétricas para modelar la trayectoria de la pelota.
Ⓑ ¿Dónde está el balón después de 3 segundos?

Vectores

En los siguientes ejercicios, determine si los dos vectores, $u$ y $v,$ son iguales, donde $u$ tiene un punto inicial $P_{1}$ y un punto terminal $P_{2},$ y $v$ tiene un punto inicial $P_{3}$ y un punto terminal $P_{4} .$

52.

$P_{1} = (- 1, 4), P_{2} = (3, 1), P_{3} = (5, 5)$ y $P_{4} = (9, 2)$

53.

$P_{1} = (6, 11), P_{2} = (- 2, 8), P_{3} = (0, - 1)$ y $P_{4} = (- 8, 2)$

En los siguientes ejercicios, utilice los vectores $u = 2 i - j, v = 4 i - 3 j,$ y $w = - 2 i + 5 j$ para evaluar la expresión.

54.

u − v

55.

2v − u + w

En los siguientes ejercicios, halle un vector unitario en la misma dirección que el vector dado.

56.

a = 8i − 6j

57.

b = −3i − j

En los siguientes ejercicios, calcule la magnitud y la dirección del vector.

58.

$〈 6, −2 〉$

59.

$〈 −3, −3 〉$

En los siguientes ejercicios, calcule $u \cdot v .$

60.

u = −2i + j y v = 3i + 7j

61.

u = i + 4j y v = 4i + 3j

62.

Dado que v $= 〈 −3, 4 〉$ dibuje v, 2v y $\frac{1}{2}$ v.

63.

Dados los vectores que se
muestran en la Figura 4, dibuje
u + v, u − v y 3v

Diagrama de los vectores v, 2v y 1/2 v. El vector 2v está en la misma dirección que v pero tiene el doble de magnitud. El vector 1/2 v está en la misma dirección que v, pero tiene la mitad de magnitud.

Figura 4

64.

Dado el punto inicial $P_{1} = (3, 2)$ y punto terminal $P_{2} = (- 5, - 1),$ escriba el vector $v$ en términos de $i$ y $j .$ Dibuje los puntos y el vector en el gráfico.