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Precálculo 2ed

Ejercicios de repaso

Precálculo 2edEjercicios de repaso

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Ejercicios de repaso

Triángulos no rectos: ley de senos

En los siguientes ejercicios, supongamos que α α es el lado opuesto a,β a,β es el lado opuesto b, b, y γ γ es el lado opuesto c. c. Resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

1.

β=50°,a=105,b=45 β=50°,a=105,b=45

2.

α=43,1°,a=184,2,b=242,8 α=43,1°,a=184,2,b=242,8

3.

Resuelva el triángulo.

Triángulo con marcas estándar. El ángulo A es de 36 grados con el lado opuesto a desconocido. El ángulo B es de 24 grados con el lado opuesto b = 16. El ángulo C y el lado c son desconocidos.
4.

Halle el área del triángulo.

Un triángulo. Un ángulo es de 75 grados con el lado opuesto desconocido. Los lados adyacentes al ángulo de 75 grados son 8 y 11.
5.

Un piloto vuela sobre una carretera recta. Él determina que los ángulos de depresión de dos hitos, separados por 2,1 km, son de 25° y 49°, como se muestra en la Figura 1. Calcule la distancia del avión al punto A A y la elevación del avión.

Diagrama de un avión volando sobre una autopista. Está a la izquierda y por encima de los puntos A y B del suelo en ese orden. Hay una línea horizontal que atraviesa al avión paralela al suelo. El ángulo formado por la línea horizontal, el avión y la línea del avión al punto B es de 25 grados. El ángulo formado por la línea horizontal, el avión y el punto A es de 49 grados.
Figura 1
Triángulos no rectos: ley de cosenos
6.

Resuelva el triángulo, redondeando a la décima más cercana, suponiendo que α α es el lado opuesto a,β a,β es el lado opuesto b, b, y γ γ es el lado opuesto c:a=4,b=6,c=8. c:a=4,b=6,c=8.

7.

Resuelva el triángulo de la Figura 2, redondeando a la décima más cercana.

Un triángulo con marca estándar. El ángulo A es de 54 grados con el lado opuesto a desconocido. El ángulo B es desconocido con el lado opuesto b = 15. El ángulo C es desconocido con el lado opuesto C = 13.
Figura 2
8.

Halle el área de un triángulo con lados de longitud 8,3, 6,6 y 9,1.

9.

Para hallar la distancia entre dos ciudades, un satélite calcula las distancias y el ángulo que se muestran en la Figura 3 (no a escala). Halle la distancia entre las ciudades. Redondee las respuestas a la décima más cercana.

Diagrama de un satélite por encima y a la derecha de dos ciudades. La distancia entre el satélite y la ciudad más cercana es de 210 km. La distancia del satélite a la ciudad más lejana es de 250 km. El ángulo formado por la ciudad más cercana, el satélite y la otra ciudad es de 1,8 grados.
Figura 3
Coordenadas polares
10.

Trace el punto con coordenadas polares ( 3, π 6 ). ( 3, π 6 ).

11.

Trace el punto con coordenadas polares ( 5,- 2π 3 ) ( 5,- 2π 3 )

12.

Convierta ( 6,- 3π 4 ) ( 6,- 3π 4 ) a coordenadas rectangulares.

13.

Convierta ( 2 , 3π 2 ) ( 2 , 3π 2 ) a coordenadas rectangulares.

14.

Convierta ( 7,-2 ) ( 7,-2 ) a coordenadas polares.

15.

Convierta ( 9,-4 ) ( 9,-4 ) a coordenadas polares.

En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación cartesiana dada en una ecuación polar.

16.

x=-2 x=-2

17.

x 2 + y 2 =64 x 2 + y 2 =64

18.

x 2 + y 2 =-2y x 2 + y 2 =-2y

En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar dada en una ecuación cartesiana.

19.

r=7cosθ r=7cosθ

20.

r= -2 4cosθ+senθ r= -2 4cosθ+senθ

En los siguientes ejercicios, convierta a forma rectangular y grafique.

21.

θ= 3π 4 θ= 3π 4

22.

r=5secθ r=5secθ

Coordenadas polares: gráficos

En los siguientes ejercicios, compruebe la simetría de cada ecuación.

23.

r=4+4senθ r=4+4senθ

24.

r=7 r=7

25.

Dibuje un gráfico de la ecuación polar r=1-5senθ. r=1-5senθ. Marcar las intersecciones del eje.

26.

Dibuje un gráfico de la ecuación polar r=5sen( 7θ ). r=5sen( 7θ ).

27.

Dibuje un gráfico de la ecuación polar r=3-3cosθ r=3-3cosθ

Forma polar de números complejos

En los siguientes ejercicios, halle el valor absoluto de cada número complejo.

28.

-2 +6i -2 +6i

29.

4-3i 4-3i

Escriba el número complejo en forma polar.

30.

5+9i 5+9i

31.

1 2 - 3 2 i 1 2 - 3 2 i

En los siguientes ejercicios, convierta el número complejo de forma polar a rectangular.

32.

z=5cis( 5π 6 ) z=5cis( 5π 6 )

33.

z=3cis( 40° ) z=3cis( 40° )

En los siguientes ejercicios, halle el producto z 1 z 2 z 1 z 2 en forma polar.

34.

z 1 =2cis( 89° ) z 1 =2cis( 89° )

z 2 =5cis( 23° ) z 2 =5cis( 23° )

35.

z 1 =10cis( π 6 ) z 1 =10cis( π 6 )

z 2 =6cis( π 3 ) z 2 =6cis( π 3 )

En los siguientes ejercicios, halle el cociente z 1 z 2 z 1 z 2 en forma polar.

36.

z 1 =12cis( 55° ) z 1 =12cis( 55° )

z 2 =3cis( 18° ) z 2 =3cis( 18° )

37.

z 1 =27cis( 5π 3 ) z 1 =27cis( 5π 3 )

z 2 =9cis( π 3 ) z 2 =9cis( π 3 )

En los siguientes ejercicios, calcule las potencias de cada número complejo en forma polar.

38.

Calcule z 4 z 4 cuando z=2cis( 70° ) z=2cis( 70° )

39.

Calcule z 2 z 2 cuando z=5cis( 3π 4 ) z=5cis( 3π 4 )

En los siguientes ejercicios, evalúe cada raíz.

40.

Evalúe la raíz cúbica de z z cuando z=64cis( 210° ). z=64cis( 210° ).

41.

Evalúe la raíz cuadrada de z z cuando z=25cis( 3π 2 ). z=25cis( 3π 2 ).

En los siguientes ejercicios, trace el número complejo en el plano complejo.

42.

6-2 i 6-2 i

43.

-1+3i -1+3i

Ecuaciones paramétricas

En los siguientes ejercicios, elimine el parámetro t t para reescribir la ecuación paramétrica como una ecuación cartesiana.

44.

{ x( t )=3t-1 y( t )= t { x( t )=3t-1 y( t )= t

45.

{ x(t)=-cost y(t)=2 sen 2 t { x(t)=-cost y(t)=2 sen 2 t

46.

Parametrizar (escribir una ecuación paramétrica) cada ecuación cartesiana utilizando x( t )=acost x( t )=acost y y(t)=bsent y(t)=bsent por x 2 25 + y 2 16 =1. x 2 25 + y 2 16 =1.

47.

Parametrice la línea de (2 ,3) (2 ,3) al (4,7) (4,7) para que la línea esté en (2 ,3) (2 ,3) en t=0 t=0 y (4,7) (4,7) en t=1. t=1.

Ecuaciones paramétricas: gráficos

En los siguientes ejercicios, haga una tabla de valores para cada conjunto de ecuaciones paramétricas, grafique las ecuaciones e incluya una orientación; luego escriba la ecuación cartesiana.

48.

{ x( t )=3 t 2 y( t )=2 t-1 { x( t )=3 t 2 y( t )=2 t-1

49.

{ x(t)= e t y(t)=-2 e 5t { x(t)= e t y(t)=-2 e 5t

50.

{ x(t)=3cost y(t)=2sent { x(t)=3cost y(t)=2sent

51.

Se lanza una pelota con una velocidad inicial de 80 pies por segundo con un ángulo de 40° respecto a la horizontal. La pelota se suelta a una altura de 4 pies del suelo.

  1. Halle las ecuaciones paramétricas para modelar la trayectoria de la pelota.
  2. ¿Dónde está el balón después de 3 segundos?
  3. ¿Cuánto tiempo está la pelota en el aire?
Vectores

En los siguientes ejercicios, determine si los dos vectores, u u y v, v, son iguales, donde u u tiene un punto inicial P 1 P 1 y un punto terminal P 2 , P 2 , y v v tiene un punto inicial P 3 P 3 y un punto terminal P 4 . P 4 .

52.

P 1 =( -1,4 ), P 2 =( 3,1 ), P 3 =( 5,5 ) P 1 =( -1,4 ), P 2 =( 3,1 ), P 3 =( 5,5 ) y P 4 =( 9,2 ) P 4 =( 9,2 )

53.

P 1 =( 6,11 ), P 2 =( 2 ,8 ), P 3 =( 0,-1 ) P 1 =( 6,11 ), P 2 =( 2 ,8 ), P 3 =( 0,-1 ) y P 4 =( 8,2 ) P 4 =( 8,2 )

En los siguientes ejercicios, utilice los vectores u=2i-j,v=4i-3j, u=2i-j,v=4i-3j, y w=-2 i+5j w=-2 i+5j para evaluar la expresión.

54.

uv

55.

2vu + w

En los siguientes ejercicios, halle un vector unitario en la misma dirección que el vector dado.

56.

a = 8i − 6j

57.

b = −3ij

En los siguientes ejercicios, calcule la magnitud y la dirección del vector.

58.

6,−2 6,−2

59.

−3,−3 −3,−3

En los siguientes ejercicios, calcule uv. uv.

60.

u = −2i + j y v = 3i + 7j

61.

u = i + 4j y v = 4i + 3j

62.

Dado que v = −3,4 = −3,4 dibuje v, 2v y 1 2 1 2 v.

63.

Dados los vectores que se
muestran en la Figura 4, dibuje
u + v, uv y 3v

Diagrama de los vectores v, 2v y 1/2 v. El vector 2v está en la misma dirección que v pero tiene el doble de magnitud. El vector 1/2 v está en la misma dirección que v, pero tiene la mitad de magnitud.
Figura 4
64.

Dado el punto inicial P 1 =( 3,2 ) P 1 =( 3,2 ) y punto terminal P 2 =( -5,-1 ), P 2 =( -5,-1 ), escriba el vector v v en términos de i i y j. j. Dibuje los puntos y el vector en el gráfico.

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