Jay Abramson

Conceptos clave

8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos

La ley de senos puede utilizarse para resolver triángulos oblicuos, que son triángulos no rectángulos.
Según la ley de senos, el cociente entre la medida de uno de los ángulos y la longitud de su lado opuesto es igual a los otros dos cocientes entre la medida del ángulo y el lado opuesto.
Hay tres casos posibles: ALA, AAL, LLA. En función de la información facilitada, podemos elegir la ecuación adecuada para dar con la solución solicitada. Vea el Ejemplo 1.
El caso ambiguo surge cuando un triángulo oblicuo puede tener diferentes resultados.
Hay tres casos posibles que surgen de la disposición de LLA: una solución única, dos soluciones posibles y ninguna solución. Vea el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3.
La ley de senos se puede utilizar para resolver triángulos con criterios dados. Vea el Ejemplo 4.
La fórmula general del área de los triángulos se traduce en triángulos oblicuos tras hallar primero el valor de la altura correspondiente. Vea el Ejemplo 5.
Hay muchas aplicaciones trigonométricas. A menudo se pueden resolver al dibujar primero un diagrama de la información dada y utilizar después la ecuación apropiada. Vea el Ejemplo 6.

8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos

La ley de cosenos define la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes de los lados en los triángulos oblicuos.
El teorema generalizado de Pitágoras es la Ley de cosenos para dos casos de triángulos oblicuos: LAL y LLL. Al dejar caer una perpendicular imaginaria se divide el triángulo oblicuo en dos triángulos rectángulos o se forma uno solo, lo que permite relacionar los lados y calcular las medidas. Vea el Ejemplo 1 y el Ejemplo 2.
La ley de cosenos es útil para muchos tipos de problemas aplicados. El primer paso para resolver este tipo de problemas suele ser hacer un esquema del problema planteado. Si la información dada se ajusta a uno de los tres modelos (las tres ecuaciones), entonces se aplica la ley de cosenos para dar con una solución. Vea el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
La fórmula de Herón permite calcular el área en triángulos oblicuos. Hay que conocer los tres lados para aplicar la fórmula de Herón. Vea el Ejemplo 5 y el Ejemplo 6.

8.3 Coordenadas polares

La cuadrícula polar se representa como una serie de círculos concéntricos que irradian desde el polo u origen.
Para trazar un punto en la forma $(r, θ), θ > 0,$ se mueven en dirección contraria al eje polar en un ángulo de $θ,$ y luego se extiende un segmento rectilíneo dirigido desde el polo de la longitud de $r$ en dirección a $θ .$ Si $θ$ es negativo, muévalo en el sentido de las agujas del reloj y extienda un segmento rectilíneo dirigido de la longitud de $r$ en dirección a $θ .$ Vea el Ejemplo 1.
Si los valores de $r$ es negativo, extienda el segmento rectilíneo dirigido en la dirección opuesta a $θ .$ Vea el Ejemplo 2.
Para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares, utilice las fórmulas $x = r \cos θ$ y $y = r sen θ .$ Vea el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
Para convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares, utilice una o varias de las fórmulas $\cos θ = \frac{x}{r}, sen θ = \frac{y}{r}, \tan θ = \frac{y}{x},$ y $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$ Vea el Ejemplo 5.
La transformación de las ecuaciones entre las formas polares y rectangulares implica la realización de las sustituciones adecuadas a partir de las fórmulas disponibles, junto con manipulaciones algebraicas. Vea el Ejemplo 6, el Ejemplo 7 y el Ejemplo 8.
El uso de las sustituciones adecuadas permite reescribir una ecuación polar como una ecuación rectangular y luego graficarla en el plano rectangular. Vea el Ejemplo 9, el Ejemplo 10 y el Ejemplo 11.

8.4 Coordenadas polares: gráficos

Es más fácil graficar las ecuaciones polares si podemos comprobar la simetría de las ecuaciones con respecto a la línea $θ = \frac{π}{2},$ el eje polar, o el polo.
Hay tres pruebas de simetría que indican si el gráfico de una ecuación polar presentará simetría. Si una ecuación no supera la prueba de simetría, el gráfico puede o no presentar simetría. Vea el Ejemplo 1.
Las ecuaciones polares se pueden graficar haciendo una tabla de valores para $θ$ y $r .$
El valor máximo de una ecuación polar se calcula sustituyendo el valor $θ$ que lleva al valor máximo de la expresión trigonométrica.
Los ceros de una ecuación polar se encuentran al establecer $r = 0$ y resolver $θ .$ Vea el Ejemplo 2.
Algunas fórmulas que producen el gráfico de un círculo en coordenadas polares están dadas por $r = a \cos θ$ y $r = a sen θ .$ Vea el Ejemplo 3.
Las fórmulas que producen los gráficos de una cardioide están dadas por $r = a \pm b \cos θ$ y $r = a \pm b sen θ,$ por $a > 0,$ $b > 0,$ y $\frac{a}{b} = 1.$ Vea el Ejemplo 4.
Las fórmulas que producen los gráficos de un caracol de Pascal de un lazo están dadas por $r = a \pm b \cos θ$ y $r = a \pm b sen θ$ por $1 < \frac{a}{b} < 2.$ Vea el Ejemplo 5.
Las fórmulas que producen los gráficos de un caracol de Pascal de lazo interno están dadas por $r = a \pm b \cos θ$ y $r = a \pm b sen θ$ por $a > 0,$ $b > 0,$ y $a < b .$ Vea el Ejemplo 6.
Las fórmulas que producen los gráficos de una lemniscata están dadas por $r^{2} = a^{2} \cos 2 θ$ y $r^{2} = a^{2} sen 2 θ,$ donde $a \neq 0 .$ Vea el Ejemplo 7.
Las fórmulas que producen los gráficos de las curvas rosa polar están dadas por $r = a \cos n θ$ y $r = a sen n θ,$ donde $a \neq 0;$ si $n$ es par, hay $2 n$ pétalos, y si $n$ es impar, hay $n$ pétalos. Vea el Ejemplo 8 y el Ejemplo 9.
La fórmula que produce el gráfico de una espiral de Arquímedes está dada por $r = θ .$ $θ \geq 0 .$ Vea el Ejemplo 10.

8.5 Forma polar de los números complejos

Números complejos de la forma $a + b i$ se trazan en el plano complejo de forma similar a como se trazan las coordenadas rectangulares en el plano rectangular. Identifique el eje x como eje real y el eje y como eje imaginario. Vea el Ejemplo 1.
El valor absoluto de un número complejo es el mismo que su magnitud. Es la distancia del origen al punto: $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$ Vea el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3.
Para escribir números complejos en forma polar, usamos las fórmulas $x = r \cos θ, y = r sen θ,$ y $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$ Entonces, $z = r (\cos θ + i sen θ) .$ Vea el Ejemplo 4 y el Ejemplo 5.
Para convertir de la forma polar a la forma rectangular, primero hay que evaluar las funciones trigonométricas. A continuación, multiplique por $r .$ Vea el Ejemplo 6 y el Ejemplo 7.
Para calcular el producto de dos números complejos, multiplique los dos módulos y sume los dos ángulos. Evalúe las funciones trigonométricas y multiplique usando la propiedad distributiva. Vea el Ejemplo 8.
Para hallar el cociente de dos números complejos en forma polar, calcule el cociente de los dos módulos y la diferencia de los dos ángulos. Vea el Ejemplo 9.
Para calcular la potencia de un número complejo $c^{n},$ eleve $r$ a la potencia $n,$ y multiplique $θ$ entre $n .$ Vea el Ejemplo 10.
Hallar las raíces de un número complejo es lo mismo que elevar un número complejo a una potencia, pero utilizando un exponente racional. Vea el Ejemplo 11.

8.6 Ecuaciones paramétricas

Parametrizar una curva implica trasladar una ecuación rectangular en dos variables, $x$ y $y,$ en dos ecuaciones en tres variables, x, y y t. A menudo, se obtiene más información de un conjunto de ecuaciones paramétricas. Vea el Ejemplo 1, el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3.
A veces las ecuaciones son más sencillas de graficar cuando se escriben en forma rectangular. Al eliminar $t,$ el resultado es una ecuación en $x$ y $y$ .
Para eliminar $t,$ se resuelve una de las ecuaciones para $t,$ y se sustituye la expresión en la segunda ecuación. Vea el Ejemplo 4, el Ejemplo 5, el Ejemplo 6 y el Ejemplo 7.
Hallar la ecuación rectangular de una curva definida paramétricamente es básicamente lo mismo que eliminar el parámetro. Resuelva para $t$ en una de las ecuaciones, y sustituya la expresión en la segunda ecuación. Vea el Ejemplo 8.
Hay un número infinito de maneras de elegir un conjunto de ecuaciones paramétricas para una curva definida como una ecuación rectangular.
Halle una expresión para $x$ de manera que el dominio del conjunto de ecuaciones paramétricas siga siendo el mismo que la ecuación rectangular original. Vea el Ejemplo 9.

8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos

Se pueden utilizar ecuaciones paramétricas cuando hay una tercera variable, un tercer parámetro sobre el que $x$ y $y$ dependen.
Para graficar ecuaciones paramétricas mediante el trazado de puntos, haga una tabla con tres columnas marcadas $t, x (t),$ y $y (t) .$ Elija los valores para $t$ en orden creciente. Trace las dos últimas columnas para $x$ y $y .$ Vea el Ejemplo 1 y el Ejemplo 2.
Al graficar una curva paramétrica mediante el trazado de puntos, anote los valores t asociados y muestre flechas en el gráfico que indiquen la orientación de la curva. Vea el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
Las ecuaciones paramétricas permiten mostrar la dirección o la orientación de la curva en el gráfico. Las ecuaciones que no son funciones se pueden graficar y usar en muchas aplicaciones que implican movimiento. Vea el Ejemplo 5.
El movimiento de proyectil depende de dos ecuaciones paramétricas $x = (v_{0} \cos θ) t$ y $y = - 16 t^{2} + (v_{0} sen θ) t + h .$ La velocidad inicial se simboliza como $v_{0} . θ$ representa el ángulo inicial del objeto al ser lanzado, y $h$ representa la altura a la que se impulsa el objeto.

8.8 Vectores

El vector de posición tiene su punto inicial en el origen. Vea el Ejemplo 1.
Si el vector de posición es el mismo para dos vectores, son iguales. Vea el Ejemplo 2.
Los vectores se definen por su magnitud y dirección. Vea el Ejemplo 3.
Si dos vectores tienen la misma magnitud y dirección, son iguales. Vea el Ejemplo 4.
La suma y la resta de vectores dan como resultado un nuevo vector que se halla al sumar o restar los elementos correspondientes. Vea el Ejemplo 5.
La multiplicación escalar consiste en multiplicar un vector por una constante. Solo cambia la magnitud; la dirección sigue siendo la misma. Vea el Ejemplo 6 y el Ejemplo 7.
Los vectores están formados por dos componentes: el componente horizontal a lo largo del eje x positivo y el componente vertical a lo largo del eje y positivo. Vea el Ejemplo 8.
El vector unitario en la misma dirección de cualquier vector distinto de cero se halla al dividir el vector entre su magnitud.
La magnitud de un vector en el sistema de coordenadas rectangulares es $| v | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$ Ver el Ejemplo 9.
En el sistema de coordenadas rectangulares, los vectores unitarios pueden representarse en términos de $i$ y $j$ donde $i$ representa el componente horizontal y $j$ representa el componente vertical. Entonces, v = ai + bj es un múltiplo escalar de $v$ por números reales $a y b .$ Vea el Ejemplo 10 y el Ejemplo 11.
Sumar y restar vectores en términos de i y j consiste en sumar o restar los coeficientes correspondientes de i y los coeficientes correspondientes de j. Vea el Ejemplo 12.
Un vector v = ai + bj se escribe en términos de magnitud y dirección como $v = | v | \cos θ i + | v | sen θ j .$ Vea el Ejemplo 13.
El producto punto de dos vectores es el producto de los términos $i$ más el producto de los términos $j$ . Vea el Ejemplo 14.
Podemos utilizar el producto punto para hallar el ángulo entre dos vectores. Ejemplo 15 y Ejemplo 16.
Los productos punto son útiles para muchos tipos de aplicaciones físicas. Vea el Ejemplo 17.