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Precálculo 2ed

Ejercicios de repaso

Precálculo 2edEjercicios de repaso

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Ejercicios de repaso

Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades

En los siguientes ejercicios, halle exactamente lo que existe en el intervalo [ 0,2π ). [ 0,2π ).

1.

csc 2 t=3 csc 2 t=3

2.

cos 2 x= 1 4 cos 2 x= 1 4

3.

2senθ=-1 2senθ=-1

4.

tanxsenx+sen( -x )=0 tanxsenx+sen( -x )=0

5.

9senω2 =4 sen 2 ω 9senω2 =4 sen 2 ω

6.

1-2tan(ω)= tan 2 (ω) 1-2tan(ω)= tan 2 (ω)

En los siguientes ejercicios, utilice las identidades básicas para simplificar la expresión.

7.

secxcosx+cosx 1 secx secxcosx+cosx 1 secx

8.

sen 3 x+ cos 2 xsenx sen 3 x+ cos 2 xsenx

En los siguientes ejercicios, determine si las identidades dadas son equivalentes.

9.

sen 2 x+ sec 2 x1= ( 1- cos 2 x )( 1+ cos 2 x ) cos 2 x sen 2 x+ sec 2 x1= ( 1- cos 2 x )( 1+ cos 2 x ) cos 2 x

10.

tan 3 x csc 2 x cot 2 xcosxsenx=1 tan 3 x csc 2 x cot 2 xcosxsenx=1

Identidades de suma y resta

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.

11.

tan( 7π 12 ) tan( 7π 12 )

12.

cos( 25π 12 ) cos( 25π 12 )

13.

sen( 70 )cos( 25 )-cos( 70 )sen( 25 ) sen( 70 )cos( 25 )-cos( 70 )sen( 25 )

14.

cos( 83 )cos( 23 )+sen( 83 )sen( 23 ) cos( 83 )cos( 23 )+sen( 83 )sen( 23 )

En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.

15.

cos( 4x )-cos( 3x )cosx= sen 2 x-4 cos 2 x sen 2 x cos( 4x )-cos( 3x )cosx= sen 2 x-4 cos 2 x sen 2 x

16.

cos(3x)- cos 3 x=-cosx sen 2 x-senxsen(2 x) cos(3x)- cos 3 x=-cosx sen 2 x-senxsen(2 x)

En el siguiente ejercicio, simplifique la expresión.

17.

tan( 1 2 x )+tan( 1 8 x ) 1-tan( 1 8 x )tan( 1 2 x ) tan( 1 2 x )+tan( 1 8 x ) 1-tan( 1 8 x )tan( 1 2 x )

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.

18.

cos( sen 1 ( 0 )- cos 1 ( 1 2 ) ) cos( sen 1 ( 0 )- cos 1 ( 1 2 ) )

19.

tan( sen 1 ( 0 )+ sen 1 ( 1 2 ) ) tan( sen 1 ( 0 )+ sen 1 ( 1 2 ) )

Fórmulas del ángulo doble, del ángulo medio y de la reducción

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.

20.

Halle sen( 2θ ), cos( 2θ ), sen( 2θ ), cos( 2θ ), y tan( 2θ ) tan( 2θ ) dado cosθ=- 1 3 cosθ=- 1 3 y θ θ está en el intervalo [ π 2 ,π ]. [ π 2 ,π ].

21.

Halle sen( 2θ ), cos( 2θ ), sen( 2θ ), cos( 2θ ), y tan( 2θ ) tan( 2θ ) dado secθ=- 5 3 secθ=- 5 3 y θ θ está en el intervalo [ π 2 ,π ]. [ π 2 ,π ].

22.

sen( 7π 8 ) sen( 7π 8 )

23.

sec( 3π 8 ) sec( 3π 8 )

En los siguientes ejercicios, utilice la Figura 1 para determinar las cantidades deseadas.

Imagen de un triángulo rectángulo. La base es 24, la altura es una incógnita y la hipotenusa es 25. El ángulo opuesto a la base está marcado como alfa, y el ángulo agudo restante está marcado como beta.
Figura 1
24.

sen(2β),cos(2β),tan(2β),sen(2α),cos(2α), y tan(2α) sen(2β),cos(2β),tan(2β),sen(2α),cos(2α), y tan(2α)

25.

sen( β 2 ),cos( β 2 ),tan( β 2 ),sen( α 2 ),cos( α 2 ), y tan( α 2 ) sen( β 2 ),cos( β 2 ),tan( β 2 ),sen( α 2 ),cos( α 2 ), y tan( α 2 )

En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.

26.

2cos( 2 x ) sen( 2 x ) =cotx-tanx 2cos( 2 x ) sen( 2 x ) =cotx-tanx

27.

cotxcos(2 x)=-sen(2 x)+cotx cotxcos(2 x)=-sen(2 x)+cotx

En los siguientes ejercicios, rescriba la expresión sin potencia.

28.

cos 2 x sen 4 (2 x) cos 2 x sen 4 (2 x)

29.

tan 2 x sen 3 x tan 2 x sen 3 x

Fórmulas de suma a producto y de producto a suma

En los siguientes ejercicios, evalúe el producto para la expresión dada con la suma o resta de dos funciones. Escriba la respuesta exacta.

30.

cos( π 3 )sen( π 4 ) cos( π 3 )sen( π 4 )

31.

2sen( 2π 3 )sen( 5π 6 ) 2sen( 2π 3 )sen( 5π 6 )

32.

2cos( π 5 )cos( π 3 ) 2cos( π 5 )cos( π 3 )

En los siguientes ejercicios, evalúe la suma con una fórmula del producto. Escriba la respuesta exacta.

33.

sen( π 12 )-sen( 7π 12 ) sen( π 12 )-sen( 7π 12 )

34.

cos( 5π 12 )+cos( 7π 12 ) cos( 5π 12 )+cos( 7π 12 )

En los siguientes ejercicios, cambie las funciones de producto a suma o de suma a producto.

35.

sen(9x)cos(3x) sen(9x)cos(3x)

36.

cos(7x)cos(12x) cos(7x)cos(12x)

37.

sen(11x)+sen(2 x) sen(11x)+sen(2 x)

38.

cos(6x)+cos(5x) cos(6x)+cos(5x)

Resolver ecuaciones trigonométricas

En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas en el intervalo [ 0,2π ). [ 0,2π ).

39.

tanx+1=0 tanx+1=0

40.

2sen(2 x)+ 2 =0 2sen(2 x)+ 2 =0

En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas en el intervalo [ 0,2π ). [ 0,2π ).

41.

2 sen 2 x-senx=0 2 sen 2 x-senx=0

42.

cos 2 x-cosx1=0 cos 2 x-cosx1=0

43.

2 sen 2 x+5senx+3=0 2 sen 2 x+5senx+3=0

44.

cosx-5sen( 2 x )=0 cosx-5sen( 2 x )=0

45.

1 sec 2 x +2+ sen 2 x+4 cos 2 x=0 1 sec 2 x +2+ sen 2 x+4 cos 2 x=0

En los siguientes ejercicios, simplifique la ecuación algebraicamente tanto como sea posible. Luego utilice una calculadora para hallar las soluciones en el intervalo [0,2π). [0,2π). Redondee a cuatro decimales.

46.

3 cot 2 x+cotx=1 3 cot 2 x+cotx=1

47.

csc 2 x-3cscx-4=0 csc 2 x-3cscx-4=0

En los siguientes ejercicios, grafique cada lado de la ecuación para hallar los ceros en el intervalo [0,2π). [0,2π).

48.

20 cos 2 x+21cosx+1=0 20 cos 2 x+21cosx+1=0

49.

sec 2 x-2secx=15 sec 2 x-2secx=15

Modelar con ecuaciones trigonométricas

En los siguientes ejercicios, grafique los puntos y halle una fórmula posible para los valores trigonométricos en la tabla dada.

50.
x x y y
0 0 1 1
1 1 6 6
2 2 11 11
3 3 6 6
4 4 -1 -1
5 5 6 6
51.
x x y y
0 0 -2 -2
1 1 1 1
2 2 -2 -2
3 3 -5 -5
4 4 -2 -2
5 5 1 1
52.
x x y y
-3 -3 3+2 2 3+2 2
-2 -2 3 3
-1 -1 2 2 1 2 2 1
0 0 1 1
1 1 3-2 2 3-2 2
2 2 -1 -1
3 3 −1-2 2 −1-2 2
53.

Un hombre con un nivel a la altura de sus ojos de 6 pies por encima del suelo está parado a 3 pies de la base de una escalera vertical de 15 pies. Si mira hacia el tope de la escalera, ¿en qué ángulo por encima de la horizontal está mirando?

54.

Con la escalera del ejercicio anterior, si un trabajador de la construcción de 6 pies de alto que está parado en el tope de la escalera y mira hacia abajo, hacia los pies del hombre que está parado en la parte inferior, ¿en qué ángulo de la horizontal está mirando?

En los siguientes ejercicios, construya funciones que modelen el comportamiento descrito.

55.

La población de leminos varía con una baja anual de 500 en marzo. Si el promedio anual de la población de leminos es 950, anote una función que modele la población con respecto a t, t, el mes.

56.

Las temperaturas diurnas en el desierto pueden ser muy extremas. Si la temperatura varía desde 90 °F 90 °F con 30 °F 30 °F y la temperatura promedio del día ocurre por primera vez a las 10 a. m., escriba una función que modele este comportamiento.

En los siguientes ejercicios, halle la amplitud, la frecuencia y el periodo de las ecuaciones dadas.

57.

y=3cos(xπ) y=3cos(xπ)

58.

y=–2sen(16xπ) y=–2sen(16xπ)

En los siguientes ejercicios, modele el comportamiento descrito y halle los valores que se piden.

59.

Una especie invasiva de carpa se introduce en el lago Freshwater. Al principio hay 100 carpas en el lago y la población varía en 20 peces estacionalmente. Si para el año 5, hay 625 carpas, halle una función que modele la población de carpas con respecto a t, t, el número de años desde ahora.

60.

La población de peces endémicos en el lago Freshwater es en promedio de 2.500, y varía en 100 peces estacionalmente. Debido a la competencia de la carpa invasiva por los recursos, se prevé un descenso de 5 % en la población de peces endémicos cada año. Halle una función que modele la población de peces endémicos con respecto a t, t, el número de años desde ahora. Asimismo, determine cuántos años tardará para que la carpa sobrepase la población de peces endémicos.

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