Cap. 7Ejercicios de repaso - Precálculo 2ed

Ejercicios de repaso

Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades

En los siguientes ejercicios, halle exactamente lo que existe en el intervalo $[0, 2 π) .$

$\csc^{2} t = 3$

$\cos^{2} x = \frac{1}{4}$

$2 sen θ = - 1$

$\tan x sen x + sen (- x) = 0$

$9 sen ω - 2 = 4 {sen}^{2} ω$

$1 - 2 \tan (ω) = \tan^{2} (ω)$

En los siguientes ejercicios, utilice las identidades básicas para simplificar la expresión.

$\sec x \cos x + \cos x - \frac{1}{\sec x}$

${sen}^{3} x + \cos^{2} x sen x$

En los siguientes ejercicios, determine si las identidades dadas son equivalentes.

${sen}^{2} x + \sec^{2} x - 1 = \frac{(1 - \cos^{2} x) (1 + \cos^{2} x)}{\cos^{2} x}$

10.

$\tan^{3} x \csc^{2} x \cot^{2} x \cos x sen x = 1$

Identidades de suma y resta

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.

11.

$\tan (\frac{7 π}{12})$

12.

$\cos (\frac{25 π}{12})$

13.

$sen (70^{\circ}) \cos (25^{\circ}) - \cos (70^{\circ}) sen (25^{\circ})$

14.

$\cos (83^{\circ}) \cos (23^{\circ}) + sen (83^{\circ}) sen (23^{\circ})$

En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.

15.

$\cos (4 x) - \cos (3 x) \cos x = {sen}^{2} x - 4 \cos^{2} x {sen}^{2} x$

16.

$\cos (3 x) - \cos^{3} x = - \cos x {sen}^{2} x - sen x sen (2 x)$

En el siguiente ejercicio, simplifique la expresión.

17.

$\frac{\tan (\frac{1}{2} x) + \tan (\frac{1}{8} x)}{1 - \tan (\frac{1}{8} x) \tan (\frac{1}{2} x)}$

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.

18.

$\cos ({sen}^{- 1} (0) - \cos^{- 1} (\frac{1}{2}))$

19.

$\tan ({sen}^{- 1} (0) + {sen}^{- 1} (\frac{1}{2}))$

Fórmulas del ángulo doble, del ángulo medio y de la reducción

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.

20.

Halle $sen (2 θ), \cos (2 θ),$ y $\tan (2 θ)$ dado $\cos θ = - \frac{1}{3}$ y $θ$ está en el intervalo $[\frac{π}{2}, π] .$

21.

Halle $sen (2 θ), \cos (2 θ),$ y $\tan (2 θ)$ dado $\sec θ = - \frac{5}{3}$ y $θ$ está en el intervalo $[\frac{π}{2}, π] .$

22.

$sen (\frac{7 π}{8})$

23.

$\sec (\frac{3 π}{8})$

En los siguientes ejercicios, utilice la Figura 1 para determinar las cantidades deseadas.

Imagen de un triángulo rectángulo. La base es 24, la altura es una incógnita y la hipotenusa es 25. El ángulo opuesto a la base está marcado como alfa, y el ángulo agudo restante está marcado como beta.

Figura 1

24.

$sen (2 β), \cos (2 β), \tan (2 β), sen (2 α), \cos (2 α), y \tan (2 α)$

25.

$sen (\frac{β}{2}), \cos (\frac{β}{2}), \tan (\frac{β}{2}), sen (\frac{α}{2}), \cos (\frac{α}{2}), y \tan (\frac{α}{2})$

En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.

26.

$\frac{2 \cos (2 x)}{sen (2 x)} = \cot x - \tan x$

27.

$\cot x \cos (2 x) = - sen (2 x) + \cot x$

En los siguientes ejercicios, rescriba la expresión sin potencia.

28.

$\cos^{2} x {sen}^{4} (2 x)$

29.

$\tan^{2} x {sen}^{3} x$

Fórmulas de suma a producto y de producto a suma

En los siguientes ejercicios, evalúe el producto para la expresión dada con la suma o resta de dos funciones. Escriba la respuesta exacta.

30.

$\cos (\frac{π}{3}) sen (\frac{π}{4})$

31.

$2 sen (\frac{2 π}{3}) sen (\frac{5 π}{6})$

32.

$2 \cos (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{3})$

En los siguientes ejercicios, evalúe la suma con una fórmula del producto. Escriba la respuesta exacta.

33.

$sen (\frac{π}{12}) - sen (\frac{7 π}{12})$

34.

$\cos (\frac{5 π}{12}) + \cos (\frac{7 π}{12})$

En los siguientes ejercicios, cambie las funciones de producto a suma o de suma a producto.

35.

$sen (9 x) \cos (3 x)$

36.

$\cos (7 x) \cos (12 x)$

37.

$sen (11 x) + sen (2 x)$

38.

$\cos (6 x) + \cos (5 x)$

Resolver ecuaciones trigonométricas

En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas en el intervalo $[0, 2 π) .$

39.

$\tan x + 1 = 0$

40.

$2 sen (2 x) + \sqrt{2} = 0$

En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas en el intervalo $[0, 2 π) .$

41.

$2 {sen}^{2} x - sen x = 0$

42.

$\cos^{2} x - \cos x - 1 = 0$

43.

$2 {sen}^{2} x + 5 sen x + 3 = 0$

44.

$\cos x - 5 sen (2 x) = 0$

45.

$\frac{1}{\sec^{2} x} + 2 + {sen}^{2} x + 4 \cos^{2} x = 0$

En los siguientes ejercicios, simplifique la ecuación algebraicamente tanto como sea posible. Luego utilice una calculadora para hallar las soluciones en el intervalo $[0, 2 π) .$ Redondee a cuatro decimales.

46.

$\sqrt{3} \cot^{2} x + \cot x = 1$

47.

$\csc^{2} x - 3 \csc x - 4 = 0$

En los siguientes ejercicios, grafique cada lado de la ecuación para hallar los ceros en el intervalo $[0, 2 π) .$

48.

$20 \cos^{2} x + 21 \cos x + 1 = 0$

49.

$\sec^{2} x - 2 \sec x = 15$

Modelar con ecuaciones trigonométricas

En los siguientes ejercicios, grafique los puntos y halle una fórmula posible para los valores trigonométricos en la tabla dada.

50.

$x$	$y$
$0$	$1$
$1$	$6$
$2$	$11$
$3$	$- 6$
$4$	$- 1$
$5$	$6$

51.

$x$	$y$
$0$	$- 2$
$1$	$1$
$2$	$- 2$
$3$	$- 5$
$4$	$- 2$
$5$	$1$

52.

$x$	$y$
$- 3$	$3 + 2 \sqrt{2}$
$- 2$	$3$
$- 1$	$2 \sqrt{2} - 1$
$0$	$1$
$1$	$3 - 2 \sqrt{2}$
$2$	$- 1$
$3$	$−1 - 2 \sqrt{2}$

53.

Un hombre con un nivel a la altura de sus ojos de 6 pies por encima del suelo está parado a 3 pies de la base de una escalera vertical de 15 pies. Si mira hacia el tope de la escalera, ¿en qué ángulo por encima de la horizontal está mirando?

54.

Con la escalera del ejercicio anterior, si un trabajador de la construcción de 6 pies de alto que está parado en el tope de la escalera y mira hacia abajo, hacia los pies del hombre que está parado en la parte inferior, ¿en qué ángulo de la horizontal está mirando?

En los siguientes ejercicios, construya funciones que modelen el comportamiento descrito.

55.

La población de leminos varía con una baja anual de 500 en marzo. Si el promedio anual de la población de leminos es 950, anote una función que modele la población con respecto a $t,$ el mes.

56.

Las temperaturas diurnas en el desierto pueden ser muy extremas. Si la temperatura varía desde $90 °F$ con $30 °F$ y la temperatura promedio del día ocurre por primera vez a las 10 a. m., escriba una función que modele este comportamiento.

En los siguientes ejercicios, halle la amplitud, la frecuencia y el periodo de las ecuaciones dadas.

57.

$y = 3 \cos (x π)$

58.

$y = –2 sen (16 x π)$

En los siguientes ejercicios, modele el comportamiento descrito y halle los valores que se piden.

59.

Una especie invasiva de carpa se introduce en el lago Freshwater. Al principio hay 100 carpas en el lago y la población varía en 20 peces estacionalmente. Si para el año 5, hay 625 carpas, halle una función que modele la población de carpas con respecto a $t,$ el número de años desde ahora.

60.

La población de peces endémicos en el lago Freshwater es en promedio de 2.500, y varía en 100 peces estacionalmente. Debido a la competencia de la carpa invasiva por los recursos, se prevé un descenso de 5 % en la población de peces endémicos cada año. Halle una función que modele la población de peces endémicos con respecto a $t,$ el número de años desde ahora. Asimismo, determine cuántos años tardará para que la carpa sobrepase la población de peces endémicos.