Conceptos clave
7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
- Hay varias maneras de representar una expresión trigonométrica. La verificación de las identidades ilustra cómo se pueden reescribir las expresiones para simplificar un problema.
- El gráfico de ambos lados de una identidad la verificará. Vea el Ejemplo 1.
- Simplificar un lado de la ecuación para que sea igual al otro lado es otro método para verificar una identidad. Vea el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3.
- El enfoque para verificar una identidad depende de su naturaleza. A menudo conviene empezar por el lado más complejo de la ecuación. Vea el Ejemplo 4.
- Podemos crear una identidad al simplificar una expresión y luego verificarla. Vea el Ejemplo 5.
- La verificación de una identidad implicaría el álgebra con las identidades fundamentales. Vea el Ejemplo 6 y el Ejemplo 7.
- Se pueden utilizar técnicas algebraicas para simplificar las expresiones trigonométricas. A lo largo de este texto utilizamos técnicas algebraicas, ya que consisten en las reglas fundamentales de las matemáticas. Vea el Ejemplo 8, el Ejemplo 9 y el Ejemplo 10.
7.2 Identidades de suma y resta
- La fórmula de la suma para el coseno establece que el coseno de la suma de dos ángulos es igual al producto del coseno de los ángulos menos el producto del seno de los ángulos. La fórmula de la diferencia para el coseno establece que el coseno de la diferencia de dos ángulos es igual al producto del coseno de los ángulos más el producto del seno de los ángulos.
- Las fórmulas de suma y diferencia pueden utilizarse para determinar los valores exactos del seno, coseno o tangente de un ángulo. Vea el Ejemplo 1 y el Ejemplo 2.
- La fórmula de la suma para el seno establece que el seno de la suma de dos ángulos es igual al producto del seno del primer ángulo y el coseno del segundo ángulo más el producto del coseno del primer ángulo y el seno del segundo ángulo. La fórmula de la diferencia para el seno establece que el seno de la diferencia de dos ángulos es igual al producto del seno del primer ángulo y el coseno del segundo ángulo menos el producto del coseno del primer ángulo y el seno del segundo ángulo. Vea el Ejemplo 3.
- Las fórmulas de suma y diferencia para el seno y el coseno también pueden utilizarse para las funciones trigonométricas inversas. Vea el Ejemplo 4.
- La fórmula de la suma para la tangente establece que la tangente de la suma de dos ángulos es igual a la suma de la tangente de los ángulos dividida entre 1 menos el producto de la tangente de los ángulos. La fórmula de la diferencia para la tangente establece que la tangente de la diferencia de dos ángulos es igual a la diferencia de las tangentes de los ángulos dividida entre 1 más el producto de la tangente de los ángulos. Vea el Ejemplo 5.
- El teorema de Pitágoras, junto con las fórmulas de suma y diferencia, se utiliza para hallar varias sumas y diferencias de ángulos. Vea el Ejemplo 6.
- Las identidades de cofunción se aplican a los ángulos complementarios y a los pares de funciones recíprocas. Vea el Ejemplo 7.
- Las fórmulas de suma y diferencia son útiles para verificar las identidades. Vea el Ejemplo 8 y el Ejemplo 9.
- Los problemas de aplicación suelen ser más fáciles de resolver con las fórmulas de suma y diferencia. Vea el Ejemplo 10 y el Ejemplo 11.
7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
- Las identidades de ángulo doble se derivan de las fórmulas de suma de las funciones trigonométricas fundamentales: seno, coseno y tangente. Vea el Ejemplo 1, el Ejemplo 2, el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
- Las fórmulas de la reducción son especialmente útiles en el cálculo, ya que nos permiten reducir la potencia del término trigonométrico. Vea el Ejemplo 5 y el Ejemplo 6.
- Las fórmulas de ángulo medio nos permiten calcular el valor de las funciones trigonométricas que implican el ángulo medio, tanto si se conoce el ángulo original como si no. Vea el Ejemplo 7, el Ejemplo 8 y el Ejemplo 9.
7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
- A partir de las identidades de suma y diferencia, podemos derivar las fórmulas de producto a suma y de suma a producto para el seno y el coseno.
- Podemos utilizar las fórmulas de producto a suma para reescribir productos de senos, cosenos y de seno y coseno como sumas o diferencias de senos y cosenos. Vea el Ejemplo 1, el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3.
- También podemos derivar las identidades de suma a producto a partir de las identidades de producto a suma mediante la sustitución.
- Podemos utilizar las fórmulas de suma a producto para reescribir la suma o diferencia de senos, cosenos o productos seno y coseno como productos de senos y cosenos. Vea el Ejemplo 4.
- Las expresiones trigonométricas suelen ser más sencillas de evaluar con las fórmulas. Vea el Ejemplo 5.
- Las identidades se pueden verificar con otras fórmulas o al convertir las expresiones en seno y coseno. Para verificar una identidad, elegimos el lado más complicado del signo de igualdad y lo reescribimos hasta transformarlo en el otro lado. Vea el Ejemplo 6 y el Ejemplo 7.
7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
- A la hora de resolver ecuaciones trigonométricas lineales, podemos utilizar técnicas algebraicas al igual que lo hacemos para resolver ecuaciones algebraicas. Busque patrones, como la diferencia de cuadrados, la forma cuadrática o una expresión que se preste a la sustitución. Vea el Ejemplo 1, el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3.
- Las ecuaciones que implican una sola función trigonométrica pueden resolverse o verificarse con el círculo unitario. Vea el Ejemplo 4, el Ejemplo 5, el Ejemplo 6 y el Ejemplo 7.
- También podemos resolver ecuaciones trigonométricas con la calculadora gráfica. Vea el Ejemplo 8 y el Ejemplo 9.
- Muchas ecuaciones tienen forma cuadrática. Podemos utilizar la sustitución para que la ecuación parezca más sencilla, y luego utilizar las mismas técnicas que utilizamos para resolver una cuadrática algebraica: la factorización, la fórmula cuadrática, etc. Vea el Ejemplo 10, el Ejemplo 11, el Ejemplo 12 y el Ejemplo 13.
- Igualmente, podemos utilizar las identidades para resolver la ecuación trigonométrica. Vea el Ejemplo 14, el Ejemplo 15 y el Ejemplo 16.
- Podemos utilizar la sustitución para resolver una ecuación trigonométrica de ángulo múltiple, que es la compresión de una función trigonométrica estándar. Tendremos que tener en cuenta la compresión y comprobar que hemos encontrado todas las soluciones en el intervalo dado. Vea el Ejemplo 17.
- Las situaciones en el mundo real se pueden modelar y resolver con el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas. Vea el Ejemplo 18.
7.6 Modelado con funciones trigonométricas
- Las funciones sinusoidales están representadas por los gráficos de seno y coseno. En la forma típica, podemos hallar la amplitud, el período y los desplazamientos horizontal y vertical. Vea el Ejemplo 1 y el Ejemplo 2.
- Utilice los puntos clave para graficar una función sinusoidal. Los cinco puntos clave comprenden los valores mínimo, máximo y de línea media. Vea el Ejemplo 3.
- Las funciones periódicas pueden modelar acontecimientos que ocurren en determinados ciclos, como las fases de la luna, las manecillas del reloj y las estaciones del año. Vea el Ejemplo 4, el Ejemplo 5, el Ejemplo 6 y el Ejemplo 7.
- Las funciones de movimiento armónico se modelan a partir de determinados datos. Semejante a las aplicaciones de movimiento periódico, el movimiento periódico armónico requiere una fuerza restauradora. Algunos ejemplos son la fuerza gravitacional y el movimiento de resorte, activado por el peso. Vea el Ejemplo 8.
- El movimiento armónico amortiguado es una forma de comportamiento periódico que resulta afectado por un factor de amortiguamiento. Los factores que disipan la energía, como la fricción, hacen que el desplazamiento del objeto se contraiga. Vea el Ejemplo 9, el Ejemplo 10, el Ejemplo 11, el Ejemplo 12 y el Ejemplo 13.
- Las curvas delimitadoras delinean el gráfico de movimiento armónico con valores máximos y mínimos variables. Vea el Ejemplo 14.