Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Localizar los vértices y focos de una hipérbola.
Escribir ecuaciones de hipérbolas en forma estándar.
Graficar hipérbolas centradas en el origen.
Graficar hipérbolas no centradas en el origen.
Resolver problemas aplicados que involucren hipérbolas.

¿Qué tienen en común las trayectorias de los cometas, los estampidos supersónicos, los antiguos pilares griegos y las torres de refrigeración de tiro natural? Todos ellos pueden ser modelados por el mismo tipo de cónica. Por ejemplo, cuando algo se mueve más rápido que la velocidad del sonido, se crea una onda expansiva en forma de cono. Cuando la onda se interseca con el suelo, se forma una porción cónica que ocasiona una explosión sónica. Vea la Figura 1.

Figura 1 Una onda expansiva que se interseca con el suelo forma una parte de una sección cónica y ocasiona una explosión sónica.

La mayoría de las personas están familiarizadas con la explosión sónica creada por los aviones supersónicos, pero el ser humano ya rompía la barrera del sonido mucho antes del primer vuelo supersónico. El chasquido de un látigo se produce porque la punta supera la velocidad del sonido. Las balas disparadas por muchas armas de fuego también rompen la barrera del sonido, aunque el estampido del arma suele superar el sonido de la explosión sónica.

Localización de los vértices y focos de una hipérbola

En geometría analítica, una hipérbola es una sección cónica formada por la intersección de un cono circular recto con un plano en un ángulo tal que ambas mitades del cono se intersecan. Esta intersección produce dos curvas separadas no limitadas que son imágenes especulares la una de la otra. Vea la Figura 2.

Figura 2 Una hipérbola

Al igual que la elipse, la hipérbola también se puede definir como un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos $(x, y)$ en un plano tal que la diferencia de las distancias entre $(x, y)$ y los focos es una constante positiva.

Observe que la definición de una hipérbola es muy similar a la de una elipse. La distinción es que la hipérbola se define en términos de la diferencia de dos distancias, mientras que la elipse se define en términos de la suma de dos distancias.

Al igual que la elipse, toda hipérbola tiene dos ejes de simetría. El eje transversal es un segmento de línea que pasa por el centro de la hipérbola y tiene como puntos extremos los vértices. Los focos se encuentran en la línea que contiene el eje transversal. El eje conjugado es perpendicular al eje transversal y tiene como puntos extremos los covértices. El centro de una hipérbola es el punto medio de los ejes transversal y conjugado, donde se intersecan. Toda hipérbola tiene también dos asíntotas que pasan por su centro. A medida que una hipérbola se aleja del centro, sus ramas se acercan a estas asíntotas. El rectángulo central de la hipérbola está centrado en el origen con lados que pasan por cada vértice y covértice; es una herramienta útil para graficar la hipérbola y sus asíntotas. Para dibujar las asíntotas de la hipérbola, basta con dibujar y extender las diagonales del rectángulo central. Vea la Figura 3.

Figura 3 Características principales de la hipérbola

En esta sección limitaremos nuestra discusión a las hipérbolas que están posicionadas verticalmente u horizontalmente en el plano de coordenadas; los ejes estarán sobre o serán paralelos a los ejes x y y. Consideraremos dos casos: los que están centrados en el origen y los que están centrados en un punto distinto del origen.

Derivar la ecuación de una hipérbola centrada en el origen

Supongamos que $(- c, 0)$ y $(c, 0)$ son los focos de una hipérbola centrada en el origen. La hipérbola es el conjunto de todos los puntos $(x, y)$ de manera que la diferencia de las distancias de $(x, y)$ a los focos es constante. Vea la Figura 4.

Una hipérbola horizontal en el sistema de coordenadas x y centrada en (0, 0) con vértices en (a negativo, 0) y (a, 0) y focos en (c negativo 0) y (c, 0), con líneas de longitud d1 y d2 que conectan un punto de la rama derecha de la hipérbola con los focos.

Figura 4

Si los valores de $(a, 0)$ es un vértice de la hipérbola, la distancia de $(- c, 0)$ al $(a, 0)$ es $a - (- c) = a + c .$ La distancia de $(c, 0)$ al $(a, 0)$ es $c - a .$ La diferencia de las distancias de los focos al vértice es

(a + c) - (c - a) = 2 a

Si los valores de $(x, y)$ es un punto de la hipérbola, podemos definir las siguientes variables:

\begin{array}{l} d_{2} = la distancia de (- c, 0) para (x, y) \\ d_{1} = la distancia de (c, 0) para (x, y) \end{array}

Por definición de una hipérbola, $d_{2} - d_{1}$ es constante para cualquier punto $(x, y)$ en la hipérbola. Sabemos que la diferencia de estas distancias es $2 a$ para el vértice $(a, 0) .$ Se deduce que $d_{2} - d_{1} = 2 a$ para cualquier punto de la hipérbola. Al igual que con la derivación de la ecuación de una elipse, comenzaremos aplicando la fórmula de distancia. El resto de la derivación es algebraica. Compare esta derivación con la de la sección anterior para las elipses.

\begin{array}{l} d_{2} - d_{1} = \sqrt{{(x - (- c))}^{2} + {(y - 0)}^{2}} - \sqrt{{(x - c)}^{2} + {(y - 0)}^{2}} = 2 a & Fórmula de distancia \\ \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} = 2 a & Simplifique las expresiones . \\ \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} = 2 a + \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} & Mueva el radical al lado opuesto . \\ {(x + c)}^{2} + y^{2} = {(2 a + \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}})}^{2} & Eleve ambos lados al cuadrado . \\ x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2} = 4 a^{2} + 4 a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} + {(x - c)}^{2} + y^{2} & Expanda los cuadrados . \\ x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2} = 4 a^{2} + 4 a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} + x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2} & Expanda el cuadrado restante . \\ 2 c x = 4 a^{2} + 4 a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} - 2 c x & Combine términos similares . \\ 4 c x - 4 a^{2} = 4 a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} & Aísle el radical . \\ c x - a^{2} = a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} & Divida entre 4 . \\ {(c x - a^{2})}^{2} = a^{2} {(\sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}})}^{2} & Eleve ambos lados al cuadrado . \\ c^{2} x^{2} - 2 a^{2} c x + a^{4} = a^{2} (x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2}) & Expanda los cuadrados . \\ c^{2} x^{2} - 2 a^{2} c x + a^{4} = a^{2} x^{2} - 2 a^{2} c x + a^{2} c^{2} + a^{2} y^{2} & Distribuya a^{2} . \\ a^{4} + c^{2} x^{2} = a^{2} x^{2} + a^{2} c^{2} + a^{2} y^{2} & Combine términos similares . \\ c^{2} x^{2} - a^{2} x^{2} - a^{2} y^{2} = a^{2} c^{2} - a^{4} & Reordene los términos . \\ x^{2} (c^{2} - a^{2}) - a^{2} y^{2} = a^{2} (c^{2} - a^{2}) & Factorice los términos comunes . \\ x^{2} b^{2} - a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2} & Establezca b^{2} = c^{2} - a^{2} . \\ \frac{x^{2} b^{2}}{a^{2} b^{2}} - \frac{a^{2} y^{2}}{a^{2} b^{2}} = \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} b^{2}} & Divida ambos lados entre a^{2} b^{2} \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \end{array}

Esta ecuación define una hipérbola centrada en el origen con vértices $(\pm a, 0)$ y covértices $(0 \pm b) .$

Formas estándar de la ecuación de una hipérbola con centro (0,0)

La forma estándar de la ecuación de una hipérbola con centro $(0, 0)$ y el eje transversal en el eje x es

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

donde

la longitud del eje transversal es $2 a$
las coordenadas de los vértices son $(\pm a, 0)$
la longitud del eje conjugado es $2 b$
las coordenadas de los covértices son $(0, \pm b)$
la distancia entre los focos es $2 c,$ donde $c^{2} = a^{2} + b^{2}$
las coordenadas de los focos son $(\pm c, 0)$
las ecuaciones de las asíntotas son $y = \pm \frac{b}{a} x$

Vea la Figura 5a.

La forma estándar de la ecuación de una hipérbola con centro $(0, 0)$ y el eje transversal en el eje y es

\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1

donde

la longitud del eje transversal es $2 a$
las coordenadas de los vértices son $(0, \pm a)$
la longitud del eje conjugado es $2 b$
las coordenadas de los covértices son $(\pm b, 0)$
la distancia entre los focos es $2 c,$ donde $c^{2} = a^{2} + b^{2}$
las coordenadas de los focos son $(0, \pm c)$
las ecuaciones de las asíntotas son $y = \pm \frac{a}{b} x$

Vea la Figura 5b.

Observe que los vértices, covértices y focos están relacionados por la ecuación $c^{2} = a^{2} + b^{2} .$ Cuando nos dan la ecuación de una hipérbola, podemos utilizar esta relación para identificar sus vértices y focos.

Figura 5 (a) Hipérbola horizontal con centro

(0, 0)

(b) Hipérbola vertical con centro

(0, 0)

Cómo

Dada la ecuación de una hipérbola en forma estándar, ubique sus vértices y focos.

Determine si el eje transversal se encuentra en el eje x o en el eje y. Observe que a 2 a 2 está siempre debajo de la variable con el coeficiente positivo. Por lo tanto, si se establece la otra variable igual a cero, se pueden hallar fácilmente las intersecciones. En el caso de que la hipérbola esté centrada en el origen, las intersecciones coinciden con los vértices.
1. Si la ecuación tiene la forma $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,$ entonces el eje transversal se encuentra en el eje x. Los vértices se encuentran en $(\pm a, 0),$ y los focos se encuentran en $(\pm c, 0) .$
2. Si la ecuación tiene la forma $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1,$ entonces el eje transversal se encuentra en el eje y. Los vértices se encuentran en $(0, \pm a),$ y los focos se encuentran en $(0, \pm c) .$
Resuelva para $a$ utilizando la ecuación $a = \sqrt{a^{2}} .$
Resuelva para $c$ utilizando la ecuación $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$

Ejemplo 1

Localización de los vértices y focos de una hipérbola

Identifique los vértices y focos de la hipérbola con ecuación $\frac{y^{2}}{49} - \frac{x^{2}}{32} = 1.$

Solución

La ecuación tiene la forma $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1,$ por lo que el eje transversal se encuentra en el eje y. La hipérbola está centrada en el origen, por lo que los vértices sirven como intersecciones en y del gráfico. Para hallar los vértices, establezca $x = 0,$ y resolver para $y .$

\begin{array}{l} 1 = \frac{y^{2}}{49} - \frac{x^{2}}{32} \\ 1 = \frac{y^{2}}{49} - \frac{0^{2}}{32} \\ 1 = \frac{y^{2}}{49} \\ y^{2} = 49 \\ y = \pm \sqrt{49} = \pm 7 \end{array}

Los focos se encuentran en $(0, \pm c) .$ Al resolver $c,$

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{49 + 32} = \sqrt{81} = 9

Por lo tanto, los vértices se encuentran en $(0, \pm 7),$ y los focos se encuentran en $(0, 9) .$

Inténtelo #1

Identificar los vértices y los focos de la hipérbola con la ecuación $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{25} = 1.$

Escribir ecuaciones de hipérbolas en forma estándar

Al igual que con las elipses, escribir la ecuación de una hipérbola en forma estándar nos permite calcular las características clave: centro, vértices, covértices, focos, asíntotas y las longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado. Por otra parte, se puede hallar una ecuación para una hipérbola dadas sus características principales. Empezamos por hallar las ecuaciones estándar para hipérbolas centradas en el origen. Luego, nos centraremos en hallar ecuaciones estándar para hipérbolas centradas en algún punto distinto del origen.

Hipérbolas centradas en el origen

Si repasamos las formas estándar dadas para las hipérbolas centradas en $(0, 0),$ vemos que los vértices, los covértices y los focos están relacionados por la ecuación $c^{2} = a^{2} + b^{2} .$ Observe que esta ecuación también se puede reescribir como $b^{2} = c^{2} - a^{2} .$ Esta relación se utiliza para escribir la ecuación de una hipérbola cuando se dan las coordenadas de sus focos y sus vértices.

Cómo

Dados los vértices y los focos de una hipérbola centrada en $(0, 0),$ escriba su ecuación en forma estándar.

Determine si el eje transversal se encuentra en el eje x o en el eje y.
1. Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la forma $(\pm a, 0)$ y $(\pm c, 0),$ respectivamente, entonces el eje transversal es el eje x. Utilice la forma estándar $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$
2. Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la forma $(0, \pm a)$ y $(0, \pm c),$ respectivamente, entonces el eje transversal es el eje y. Utilice la forma estándar $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1.$
Calcule $b^{2}$ utilizando la ecuación $b^{2} = c^{2} - a^{2} .$
Sustituya los valores de $a^{2}$ y $b^{2}$ en la forma estándar de la ecuación determinada en el paso 1.

Ejemplo 2

Hallar la ecuación de una hipérbola centrada en (0,0) dados sus focos y vértices

¿Cuál es la ecuación de la forma estándar de la hipérbola que tiene vértices $(\pm 6, 0)$ y focos $(\pm 2 \sqrt{10}, 0) ?$

Solución

Los vértices y los focos están en el eje x. Así, la ecuación de la hipérbola tendrá la forma $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$

Los vértices son $(\pm 6, 0),$ así que $a = 6$ y $a^{2} = 36.$

Los focos son $(\pm 2 \sqrt{10}, 0),$ por lo que $c = 2 \sqrt{10}$ y $c^{2} = 40.$

Al resolver para $b^{2},$ tenemos

\begin{array}{l} b^{2} = c^{2} - a^{2} \\ b^{2} = 40 - 36 & \begin{matrix}  \end{matrix} Sustituya por c^{2} y a^{2} . \\ b^{2} = 4 & \begin{matrix}  \end{matrix} Reste . \end{array}

Por último, sustituimos $a^{2} = 36$ y $b^{2} = 4$ en la forma estándar de la ecuación, $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$ La ecuación de la hipérbola es $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{4} = 1,$ como se muestra en la Figura 6.

Una hipérbola horizontal centrada en (0, 0) en el sistema de coordenadas x y con vértices en (6 negativo, 0) y (6, 0).

Figura 6

Inténtelo #2

Cuál es la ecuación de la forma estándar de la hipérbola que tiene vértices $(0, \pm 2)$ y focos $(0, \pm 2 \sqrt{5}) ?$

Hipérbolas no centradas en el origen

Al igual que los gráficos de otras ecuaciones, el gráfico de una hipérbola se puede trasladar. Si se traslada una hipérbola $h$ unidades en horizontal y $k$ unidades en vertical, el centro de la hipérbola será $(h, k) .$ Esta traslación da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente, con $x$ sustituido por $(x - h)$ y de $y$ sustituido por $(y - k) .$

Formas estándar de la ecuación de una hipérbola con centro (h, k)

La forma estándar de la ecuación de una hipérbola con centro $(h, k)$ y el eje transversal paralelo al eje x es

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

donde

la longitud del eje transversal es $2 a$
las coordenadas de los vértices son $(h \pm a, k)$
la longitud del eje conjugado es $2 b$
las coordenadas de los covértices son $(h, k \pm b)$
la distancia entre los focos es $2 c,$ donde $c^{2} = a^{2} + b^{2}$
las coordenadas de los focos son $(h \pm c, k)$

Las asíntotas de la hipérbola coinciden con las diagonales del rectángulo central. La longitud del rectángulo es $2 a$ y su ancho es $2 b .$ Las pendientes de las diagonales son $\pm \frac{b}{a},$ y cada diagonal pasa por el centro $(h, k) .$ Si utilizamos la fórmula punto-pendiente, es sencillo demostrar que las ecuaciones de las asíntotas son $y = \pm \frac{b}{a} (x - h) + k .$ Vea la Figura 7a

La forma estándar de la ecuación de una hipérbola con centro $(h, k)$ y el eje transversal paralelo al eje y es

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

donde

la longitud del eje transversal es $2 a$
las coordenadas de los vértices son $(h, k \pm a)$
la longitud del eje conjugado es $2 b$
las coordenadas de los covértices son $(h \pm b, k)$
la distancia entre los focos es $2 c,$ donde $c^{2} = a^{2} + b^{2}$
las coordenadas de los focos son $(h, k \pm c)$

Si utilizamos el razonamiento anterior, las ecuaciones de las asíntotas son $y = \pm \frac{a}{b} (x - h) + k .$ Vea la Figura 7b.

Se trata de una parábola horizontal que se abre hacia la derecha con vértice (0, 0), foco (6, 0) y directriz x = 6 negativo. Se muestra el latus rectum, una línea vertical que pasa por el foco y termina en la parábola en (6, 12) y (6, 12 negativo).

Figura 7 (a) Hipérbola horizontal con centro

(h, k)

(b) Hipérbola vertical con centro

(h, k)

Al igual que las hipérbolas centradas en el origen, las hipérbolas centradas en un punto $(h, k)$ tienen vértices, covértices y focos que están relacionados por la ecuación $c^{2} = a^{2} + b^{2} .$ Podemos utilizar esta relación junto con las fórmulas del punto medio y de distancia para hallar la ecuación estándar de una hipérbola cuando se dan los vértices y los focos.

Cómo

Dados los vértices y los focos de una hipérbola centrada en $(h, k),$ escriba su ecuación en forma estándar.

Determine si el eje transversal es paralelo al eje x o al eje y.
1. Si las coordenadas y de los vértices y los focos dados son iguales, entonces el eje transversal es paralelo al eje x. Utilice la forma estándar $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1.$
2. Si las coordenadas x de los vértices y los focos dados son iguales, entonces el eje transversal es paralelo al eje y. Utilice la forma estándar $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1.$
Identifique el centro de la hipérbola, $(h, k),$ utilizando la fórmula del punto medio y las coordenadas dadas para los vértices.
Calcule $a^{2}$ resolviendo la longitud del eje transversal, $2 a$ , que es la distancia entre los vértices dados.
Calcule $c^{2}$ utilizando $h$ y $k$ calculada en el paso 2 junto con las coordenadas dadas para los focos.
Resuelva para $b^{2}$ utilizando la ecuación $b^{2} = c^{2} - a^{2} .$
Sustituya los valores de $h, k, a^{2},$ y $b^{2}$ en la forma estándar de la ecuación determinada en el paso 1.

Ejemplo 3

Hallar la ecuación de una hipérbola centrada en (h, k) dados sus focos y vértices

¿Cuál es la ecuación de la forma estándar de la hipérbola que tiene vértices en $(0, –2)$ y $(6, –2)$ y focos en $(–2, –2)$ y $(8, –2) ?$

Solución

Las coordenadas y de los vértices y los focos son las mismas, por lo que el eje transversal es paralelo al eje x. Así, la ecuación de la hipérbola tendrá la forma

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

En primer lugar, identificamos el centro, $(h, k) .$ El centro está a medio camino entre los vértices $(0, –2)$ y $(6, –2) .$ Al aplicar la fórmula del punto medio, tenemos

(h, k) = (\frac{0 + 6}{2}, \frac{−2 + (−2)}{2}) = (3, –2)

Luego, hallamos $a^{2} .$ La longitud del eje transversal, $2 a,$ está delimitada por los vértices. Así, podemos hallar $a^{2}$ al calcular la distancia entre las coordenadas x de los vértices.

\begin{array}{l} 2 a = | 0 - 6 | \\ 2 a = 6 \\ a = 3 \\ a^{2} = 9 \end{array}

Ahora tenemos que hallar $c^{2} .$ Las coordenadas de los focos son $(h \pm c, k) .$ Así que $(h - c, k) = (- 2, –2)$ y $(h + c, k) = (8, –2) .$ Podemos utilizar la coordenada x de cualquiera de estos puntos para resolver $c .$ Al utilizar el punto $(8, –2),$ y sustituir $h = 3,$

\begin{array}{l} h + c = 8 \\ 3 + c = 8 \\ c = 5 \\ c^{2} = 25 \end{array}

A continuación, resuelva $b^{2}$ utilizando la ecuación $b^{2} = c^{2} - a^{2} :$

\begin{array}{l} b^{2} = c^{2} - a^{2} \\ = 25 - 9 \\ = 16 \end{array}

Por último, sustituya los valores hallados para $h, k, a^{2},$ y $b^{2}$ en la forma estándar de la ecuación.

\frac{{(x - 3)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1

Inténtelo #3

¿Cuál es la ecuación de la forma estándar de la hipérbola que tiene vértices $(1, –2)$ y $(1, 8)$ y focos $(1, –10)$ y $(1, 16) ?$

Graficar hipérbolas centradas en el origen

Cuando tenemos una ecuación en forma estándar para una hipérbola centrada en el origen, podemos interpretar sus partes para identificar las características clave de su gráfico: el centro, los vértices, los covértices, las asíntotas, los focos y las longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado. Para graficar las hipérbolas centradas en el origen, utilizamos la forma estándar $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ para las hipérbolas horizontales y la forma estándar $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ para las hipérbolas verticales.

Cómo

Dada una ecuación de forma estándar para una hipérbola centrada en $(0, 0),$ dibuje el gráfico.

Determine cuál de las formas estándar se aplica a la ecuación dada.
Utilice la forma estándar identificada en el paso 1 para determinar la posición del eje transversal; las coordenadas de los vértices, los covértices y los focos; y las ecuaciones de las asíntotas.
1. Si la ecuación es de la forma x 2 a 2 - y 2 b 2 =1, x 2 a 2 - y 2 b 2 =1, entonces
  - el eje transversal está en el eje x
  - las coordenadas de los vértices son $(\pm a, 0)$
  - las coordenadas de los covértices son $(0, \pm b)$
  - las coordenadas de los focos son $(\pm c, 0)$
  - las ecuaciones de las asíntotas son $y = \pm \frac{b}{a} x$
2. Si la ecuación es de la forma y 2 a 2 - x 2 b 2 =1, y 2 a 2 - x 2 b 2 =1, entonces
  - el eje transversal está en el eje y
  - las coordenadas de los vértices son $(0, \pm a)$
  - las coordenadas de los covértices son $(\pm b, 0)$
  - las coordenadas de los focos son $(0, \pm c)$
  - las ecuaciones de las asíntotas son $y = \pm \frac{a}{b} x$
Resuelva las coordenadas de los focos mediante la ecuación $c = \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$
Trace los vértices, los covértices, los focos y las asíntotas en el plano de coordenadas y dibuje una curva suave para formar la hipérbola.

Ejemplo 4

Gráfico de una hipérbola centrada en (0, 0) dada una ecuación en forma estándar

Grafique la hipérbola dada por la ecuación $\frac{y^{2}}{64} - \frac{x^{2}}{36} = 1.$ Identifique y marque los vértices, los covértices, los focos y las asíntotas.

Solución

La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1.$ Por lo tanto, el eje transversal está en el eje y

Las coordenadas de los vértices son $(0, \pm a) = (0, \pm \sqrt{64}) = (0, \pm 8)$

Las coordenadas de los covértices son $(\pm b, 0) = (\pm \sqrt{36}, 0) = (\pm 6, 0)$

Las coordenadas de los focos son $(0, \pm c),$ donde $c = \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$ Al resolver $c,$ tenemos

c = \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \pm \sqrt{64 + 36} = \pm \sqrt{100} = \pm 10

Por lo tanto, las coordenadas de los focos son $(0, \pm 10)$

Las ecuaciones de las asíntotas son $y = \pm \frac{a}{b} x = \pm \frac{8}{6} x = \pm \frac{4}{3} x$

Trace e identifique los vértices y los covértices, y luego dibuje el rectángulo central. Los lados del rectángulo son paralelos a los ejes y pasan por los vértices y los covértices. Dibuje y extienda las diagonales del rectángulo central para mostrar las asíntotas. El rectángulo central y las asíntotas proporcionan el marco necesario para dibujar un gráfico preciso de la hipérbola. Identifique los focos y las asíntotas, y dibuje una curva suave para formar la hipérbola, como se muestra en la Figura 8.

Una hipérbola vertical centrada en (0, 0) en el sistema de coordenadas x y con vértices en (0, 8) y (0, 8 negativo) y focos en (0, 10 negativo) y (0, 10). También se muestran las asíntotas oblicuas, y = (4/3)x y y = (4/3 negativo)x. Los puntos (6 negativo, 0) (6, 0) y (0, 0) están identificados.

Figura 8

Inténtelo #4

Grafique la hipérbola dada por la ecuación $\frac{x^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{81} = 1.$ Identifique y marque los vértices, los covértices, los focos y las asíntotas.

Graficar hipérbolas no centradas en el origen

Graficar hipérbolas centradas en un punto $(h, k)$ distinto del origen es similar a graficar elipses centradas en un punto distinto del origen. Utilizamos las formas estándar $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ para las hipérbolas horizontales y $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$ para las hipérbolas verticales. A partir de estas ecuaciones de forma estándar podemos calcular y representar fácilmente las características clave del gráfico: las coordenadas de su centro, los vértices, los covértices y los focos; las ecuaciones de sus asíntotas; y las posiciones de los ejes transversales y conjugados.

Cómo

Dada una forma general para una hipérbola centrada en $(h, k),$ dibuje el gráfico.

Convierta la forma general en esa forma estándar. Determine cuál de las formas estándar se aplica a la ecuación dada.
Utilice la forma estándar identificada en el paso 1 para determinar la posición del eje transversal; las coordenadas del centro, los vértices, los covértices y los focos; y las ecuaciones de las asíntotas.
1. Si la ecuación es de la forma ( x-h ) 2 a 2 - ( y-k ) 2 b 2 =1, ( x-h ) 2 a 2 - ( y-k ) 2 b 2 =1, entonces
  - el eje transversal es paralelo al eje x
  - el centro es $(h, k)$
  - las coordenadas de los vértices son $(h \pm a, k)$
  - las coordenadas de los covértices son $(h, k \pm b)$
  - las coordenadas de los focos son $(h \pm c, k)$
  - las ecuaciones de las asíntotas son $y = \pm \frac{b}{a} (x - h) + k$
2. Si la ecuación es de la forma ( y-k ) 2 a 2 - ( x-h ) 2 b 2 =1, ( y-k ) 2 a 2 - ( x-h ) 2 b 2 =1, entonces
  - el eje transversal es paralelo al eje y
  - el centro es $(h, k)$
  - las coordenadas de los vértices son $(h, k \pm a)$
  - las coordenadas de los covértices son $(h \pm b, k)$
  - las coordenadas de los focos son $(h, k \pm c)$
  - las ecuaciones de las asíntotas son $y = \pm \frac{a}{b} (x - h) + k$
Resuelva las coordenadas de los focos mediante la ecuación $c = \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$
Trace el centro, los vértices, los covértices, los focos y las asíntotas en el plano de coordenadas y dibuje una curva suave para formar la hipérbola.

Ejemplo 5

Gráfico de una hipérbola centrada en (h, k) dada una ecuación en forma general

Grafique la hipérbola dada por la ecuación $9 x^{2} - 4 y^{2} - 36 x - 40 y - 388 = 0,$ Identifique y marque el centro, los vértices, los covértices, los focos y las asíntotas.

Solución

Primero, exprese la ecuación en forma estándar. Agrupe los términos que contengan la misma variable y mueva la constante al lado opuesto de la ecuación.

(9 x^{2} - 36 x) - (4 y^{2} + 40 y) = 388

Factorice el coeficiente líder de cada expresión.

9 (x^{2} - 4 x) - 4 (y^{2} + 10 y) = 388

Complete el cuadrado dos veces. Recuerde equilibrar la ecuación sumando las mismas constantes a cada lado.

9 (x^{2} - 4 x + 4) - 4 (y^{2} + 10 y + 25) = 388 + 36 - 100

Reescriba como cuadrados perfectos.

9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y + 5)}^{2} = 324

Divida ambos lados entre el término constante para poner la ecuación en forma estándar.

\frac{{(x - 2)}^{2}}{36} - \frac{{(y + 5)}^{2}}{81} = 1

La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1,$ donde $a^{2} = 36$ y $b^{2} = 81,$ o $a = 6$ y $b = 9.$ Así, el eje transversal es paralelo al eje x. De ello se desprende que:

el centro de la elipse es $(h, k) = (2, −5)$
las coordenadas de los vértices son $(h \pm a, k) = (2 \pm 6, −5),$ o $(- 4, −5)$ y $(8, −5)$
las coordenadas de los covértices son $(h, k \pm b) = (2, - 5 \pm 9),$ o $(2, - 14)$ y $(2, 4)$
las coordenadas de los focos son $(h \pm c, k),$ donde $c = \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$ Al resolver $c,$ tenemos

c = \pm \sqrt{36 + 81} = \pm \sqrt{117} = \pm 3 \sqrt{13}

Por lo tanto, las coordenadas de los focos son $(2 - 3 \sqrt{13}, −5)$ y $(2 + 3 \sqrt{13}, −5) .$

Las ecuaciones de las asíntotas son $y = \pm \frac{b}{a} (x - h) + k = \pm \frac{3}{2} (x - 2) - 5.$

A continuación, trazamos y marcamos el centro, los vértices, los covértices, los focos y las asíntotas y dibujamos curvas suaves para formar la hipérbola, como se muestra en la Figura 9.

Una hipérbola horizontal centrada en (2, 5 negativo) con vértices en (4 negativo, 5 negativo) y (8, 5) y focos en (2 menos 3 raíz cuadrada de 13, 5 negativo) y (2 + 3 raíz cuadrada de 13, 5 negativo). También se muestran las asíntotas oblicuas, la y = (3/2) por (x menos 2) menos 5 y y = (3/2 negativo) por (x menos 2) menos 5. Los puntos (2, 14 negativo), (2, 4) y (0, 0) están marcados.

Figura 9

Inténtelo #5

Representar gráficamente la hipérbola dada por la forma estándar de una ecuación $\frac{{(y + 4)}^{2}}{100} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{64} = 1.$ Identifique y marque el centro, los vértices, los covértices, los focos y las asíntotas.

Resolver problemas aplicados con hipérbolas

Como hemos comentado al principio de esta sección, las hipérbolas tienen aplicaciones en el mundo real en muchos campos, como astronomía, física, ingeniería y arquitectura. La eficacia del diseño de torres de refrigeración hiperbólicas es especialmente interesante. Las torres de refrigeración se utilicen para transferir el calor residual a la atmósfera y, a menudo, se promocionan por su capacidad para generar energía de forma eficiente. Debido a su forma hiperbólica, estas estructuras son capaces de resistir vientos extremos y requieren menos material que otras formas de su tamaño y resistencia. Vea la Figura 10. Por ejemplo, una torre de 500 pies puede estar hecha de un armazón de hormigón reforzado ¡de solo 6 u 8 pulgadas de ancho!

Figura 10 Torres de refrigeración de la central eléctrica de Drax en North Yorkshire, Reino Unido (créditos: Les Haines, Flickr).

Las primeras torres hiperbólicas se diseñaron en 1914 y tenían 35 metros de altura. En la actualidad, las torres de refrigeración más altas se encuentran en Francia, con la notable altura de 170 metros. En el Ejemplo 6 utilizaremos el diseño de una torre de refrigeración para hallar una ecuación hiperbólica que modele sus lados.

Ejemplo 6

Resolver problemas aplicados con hipérbolas

El diseño de una torre de refrigeración se muestra en la Figura 11. La torre tiene 179,6 metros de altura. El diámetro de la cima es de 72 metros. En su punto más cercano, los lados de la torre están separados por 60 metros.

Figura 11 Diseño del proyecto de una torre de refrigeración de tiro natural

Halle la ecuación de la hipérbola que representa los lados de la torre de refrigeración. Supongamos que el centro de la hipérbola, indicado por la intersección de las líneas perpendiculares discontinuas en la figura, es el origen del plano de coordenadas. Redondee los valores finales a cuatro decimales.

Solución

Suponemos que el centro de la torre está en el origen, por lo que podemos utilizar la forma estándar de una hipérbola horizontal centrada en el origen: $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,$ donde las ramas de la hipérbola forman los lados de la torre de refrigeración. Debemos hallar los valores de $a^{2}$ y $b^{2}$ para completar el modelo.

Primero hallamos $a^{2} .$ Recordemos que la longitud del eje transversal de una hipérbola es $2 a .$ Esta longitud está representada por la distancia en la que los lados están más próximos, que viene dada por $60$ metros. Así que, $2 a = 60.$ Por lo tanto, $a = 30$ y $a^{2} = 900.$

Para resolver $b^{2},$ tenemos que sustituir por $x$ como $y$ en nuestra ecuación utilizando un punto conocido. Para ello, podemos utilizar las dimensiones de la torre para hallar algún punto $(x, y)$ que se encuentra en la hipérbola. Utilizaremos la esquina superior derecha de la torre para representar ese punto. Dado que el eje y biseca la torre, nuestro valor x se puede representar por el radio de la cima, es decir, 36 metros. El valor y está representado por la distancia desde el origen hasta la cima, que se da como 79,6 metros. Por lo tanto,

\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 & \begin{matrix}  \end{matrix} Forma estándar de la hipérbola horizontal . \\ b^{2} = \frac{y^{2}}{\frac{x^{2}}{a^{2}} - 1} & \begin{matrix}  \end{matrix} Aísle b^{2} \\ = \frac{{(79,6)}^{2}}{\frac{{(36)}^{2}}{900} - 1} & \begin{matrix}  \end{matrix} Sustituya por a^{2}, x, y y \\ \approx 14.400,3636 & \begin{matrix}  \end{matrix} Redondear a cuatro decimales \end{array}

Los lados de la torre se pueden modelar mediante la ecuación hiperbólica

\frac{x^{2}}{900} - \frac{y^{2}}{14.400,3636} = 1, o \frac{x^{2}}{30^{2}} - \frac{y^{2}}{{120,0015}^{2}} = 1

Inténtelo #6

El diseño de un proyecto de torre de refrigeración se muestra en la Figura 12. Halle la ecuación de la hipérbola que representa los lados de la torre de refrigeración. Supongamos que el centro de la hipérbola, indicado por la intersección de las líneas perpendiculares discontinuas en la figura, es el origen del plano de coordenadas. Redondee los valores finales a cuatro decimales.

Diseño del proyecto de una torre de refrigeración de tiro natural. La altura total es de 167,082 metros. El diámetro en la parte superior es de 60 metros, y en su parte más cercana, a 79,6 metros de la parte superior, los lados están separados por 60 metros.

Figura 12

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con hipérbolas.

10.2 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Defina una hipérbola en términos de sus focos.

2.

¿Qué podemos concluir sobre una hipérbola si sus asíntotas se intersecan en el origen?

3.

¿Qué debe ser cierto para los focos de una hipérbola?

4.

Si el eje transversal de una hipérbola es vertical, ¿qué sabemos del gráfico?

5.

¿Dónde debe estar el centro de la hipérbola respecto a sus focos?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si las siguientes ecuaciones representan hipérbolas. Si es así, escríbalo en la forma estándar.

6.

$3 y^{2} + 2 x = 6$

7.

$\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

8.

$5 y^{2} + 4 x^{2} = 6 x$

9.

$25 x^{2} - 16 y^{2} = 400$

10.

$- 9 x^{2} + 18 x + y^{2} + 4 y - 14 = 0$

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la hipérbola en forma estándar si no lo está ya, identifique los vértices y los focos y escriba las ecuaciones de las asíntotas.

11.

$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{36} = 1$

12.

$\frac{x^{2}}{100} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

13.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{81} = 1$

14.

$9 y^{2} - 4 x^{2} = 1$

15.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = 1$

16.

$\frac{{(y - 6)}^{2}}{36} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{16} = 1$

17.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{49} - \frac{{(y + 7)}^{2}}{49} = 1$

18.

$4 x^{2} - 8 x - 9 y^{2} - 72 y + 112 = 0$

19.

$- 9 x^{2} - 54 x + 9 y^{2} - 54 y + 81 = 0$

20.

$4 x^{2} - 24 x - 36 y^{2} - 360 y + 864 = 0$

21.

$- 4 x^{2} + 24 x + 16 y^{2} - 128 y + 156 = 0$

22.

$- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y + 100 = 0$

23.

$x^{2} + 2 x - 100 y^{2} - 1.000 y + 2401 = 0$

24.

$- 9 x^{2} + 72 x + 16 y^{2} + 16 y + 4 = 0$

25.

$4 x^{2} + 24 x - 25 y^{2} + 200 y - 464 = 0$

En los siguientes ejercicios, halle las ecuaciones de las asíntotas de cada hipérbola.

26.

$\frac{y^{2}}{3^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$

27.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{5^{2}} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{2^{2}} = 1$

28.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{3^{2}} - \frac{{(x + 5)}^{2}}{6^{2}} = 1$

29.

$9 x^{2} - 18 x - 16 y^{2} + 32 y - 151 = 0$

30.

$16 y^{2} + 96 y - 4 x^{2} + 16 x + 112 = 0$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la hipérbola, donde marque los vértices y los focos.

31.

$\frac{x^{2}}{49} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

32.

$\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

33.

$\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{25} = 1$

34.

$81 x^{2} - 9 y^{2} = 1$

35.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{25} = 1$

36.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{8} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{27} = 1$

37.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{9} = 1$

38.

$- 4 x^{2} - 8 x + 16 y^{2} - 32 y - 52 = 0$

39.

$x^{2} - 8 x - 25 y^{2} - 100 y - 109 = 0$

40.

$- x^{2} + 8 x + 4 y^{2} - 40 y + 88 = 0$

41.

$64 x^{2} + 128 x - 9 y^{2} - 72 y - 656 = 0$

42.

$16 x^{2} + 64 x - 4 y^{2} - 8 y - 4 = 0$

43.

$- 100 x^{2} + 1.000 x + y^{2} - 10 y - 2575 = 0$

44.

$4 x^{2} + 16 x - 4 y^{2} + 16 y + 16 = 0$

En los siguientes ejercicios, dada la información sobre el gráfico de la hipérbola, halle su ecuación.

45.

Vértices en $(3, 0)$ y $(−3, 0)$ y un foco en $(5, 0) .$

46.

Vértices en $(0, 6)$ y $(0, –6)$ y un foco en $(0, −8) .$

47.

Vértices en $(1, 1)$ y $(11, 1)$ y un foco en $(12, 1) .$

48.

Centro: $(0, 0);$ vértice: $(0, -13);$ un foco: $(0, \sqrt{313}) .$

49.

Centro: $(4, 2);$ vértice: $(9, 2);$ un foco: $(4 + \sqrt{26}, 2) .$

50.

Centro: $(3, 5);$ vértice: $(3, 11);$ un foco: $(3, 5 + 2 \sqrt{10}) .$

En los siguientes ejercicios, dado el gráfico de la hipérbola, halle su ecuación.

51.

Una hipérbola vertical centrada en (0, 0) con vértices en (0, 4 negativo) y (0, 4). Las asíntotas oblicuas se muestran, pero no se marcan.

52.

Una hipérbola horizontal centrada en (1, 1) con vértices en (1 menos raíz cuadrada de 2, 1) y (1 + raíz cuadrada de 2, 1) y focos en (1 menos raíz cuadrada de 5, 1) y (1 + raíz cuadrada de 5, 1)

53.

Una hipérbola vertical centrada en (1 negativo, 0) con vértices en (1 negativo, 3 negativo) y (1 negativo, 3) y focos en (1 negativo, 3 negativo raíz cuadrada de 2) y (1 negativo, 3 raíz cuadrada de 2).

54.

Una hipérbola vertical centrada en (3, 1) con vértices en (3, 1 menos raíz cuadrada de 2) y (3, 1 + raíz cuadrada de 2) y focos en (3, 1 menos raíz cuadrada de 7) y (3, 1 + raíz cuadrada de 7).

55.

Una hipérbola horizontal centrada en (3 negativo, 3 negativo) con vértices en (8 negativo, 3 negativo) y (2, 3 negativo) y focos en (3 negativo menos 5 raíz cuadrada de 2, 3 negativo) y (3 negativo + 5 raíz cuadrada de 2, 3 negativo).

Extensiones

En los siguientes ejercicios, exprese la ecuación de la hipérbola como dos funciones, con $y$ en función de $x .$ Exprese de la forma más sencilla posible. Use una calculadora gráfica para trazar el gráfico de las dos funciones en los mismos ejes.

56.

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

57.

$\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{1} = 1$

58.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{25} = 1$

59.

$- 4 x^{2} - 16 x + y^{2} - 2 y - 19 = 0$

60.

$4 x^{2} - 24 x - y^{2} - 4 y + 16 = 0$

Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios hay que construir un seto en forma de hipérbola cerca de una fuente en el centro del patio. Halle la ecuación de la hipérbola y dibuje el gráfico.

61.

El seto seguirá las asíntotas $y = x y y = - x,$ y su distancia más cercana a la fuente central es de 5 yardas.

62.

El seto seguirá las asíntotas $y = 2 x y y = –2 x,$ y su distancia más cercana a la fuente central es de 6 yardas.

63.

El seto seguirá las asíntotas $y = \frac{1}{2} x$ como $y = - \frac{1}{2} x,$ y su distancia más cercana a la fuente central es de 10 yardas.

64.

El seto seguirá las asíntotas $y = \frac{2}{3} x$ como $y = - \frac{2}{3} x,$ y su distancia más cercana a la fuente central es de 12 yardas.

65.

El seto seguirá las asíntotas $y = \frac{3}{4} x$ como $y = - \frac{3}{4} x,$ y su distancia más cercana a la fuente central es de 20 yardas.

En los siguientes ejercicios, supongamos que un objeto entra en nuestro sistema solar y queremos graficar su trayectoria en un sistema de coordenadas con el Sol en el origen y el eje x como eje de simetría de la trayectoria del objeto. Dé la ecuación de la trayectoria de vuelo de cada objeto utilizando la información dada.

66.

El objeto entra por una trayectoria aproximada por la línea $y = x - 2$ y pasa a menos de 1 UA (unidad astronómica) del Sol en su máxima aproximación, por lo que el Sol es un foco de la hipérbola. Luego sale del sistema solar por una trayectoria aproximada por la línea $y = - x + 2.$

67.

El objeto entra por una trayectoria aproximada por la línea $y = 2 x - 2$ y pasa a 0,5 UA del Sol en su máxima aproximación, por lo que el Sol es un foco de la hipérbola. Luego sale del sistema solar por una trayectoria aproximada por la línea $y = –2 x + 2.$

68.

El objeto entra por una trayectoria aproximada por la línea $y = 0,5 x + 2$ y pasa a menos de 1 ua del Sol en su máxima aproximación, por lo que el sol es un foco de la hipérbola. Luego sale del sistema solar por una trayectoria aproximada por la línea $y = -0,5 x - 2.$

69.

El objeto entra por una trayectoria aproximada por la línea $y = \frac{1}{3} x - 1$ y pasa a menos de 1 ua del Sol en su máxima aproximación, por lo que el sol es un foco de la hipérbola. Luego sale del sistema solar por una trayectoria aproximada por la línea $y = - \frac{1}{3} x + 1.$

70.

El objeto entra por una trayectoria aproximada por la línea $y = 3 x - 9$ y pasa a menos de 1 ua del Sol en su máxima aproximación, por lo que el sol es un foco de la hipérbola. Luego sale del sistema solar por una trayectoria aproximada por la línea $y = −3 x + 9.$

10.2 La hipérbola

Localización de los vértices y focos de una hipérbola

Derivar la ecuación de una hipérbola centrada en el origen

Localización de los vértices y focos de una hipérbola

Solución

Escribir ecuaciones de hipérbolas en forma estándar

Hipérbolas centradas en el origen

Hallar la ecuación de una hipérbola centrada en (0,0) dados sus focos y vértices

Solución

Hipérbolas no centradas en el origen

Hallar la ecuación de una hipérbola centrada en (h, k) dados sus focos y vértices

Solución

Graficar hipérbolas centradas en el origen

Gráfico de una hipérbola centrada en (0, 0) dada una ecuación en forma estándar

Solución

Graficar hipérbolas no centradas en el origen

Gráfico de una hipérbola centrada en (h, k) dada una ecuación en forma general

Solución

Resolver problemas aplicados con hipérbolas

Resolver problemas aplicados con hipérbolas

Solución

10.2 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

Extensiones

Aplicaciones en el mundo real