Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Escribir ecuaciones de elipses en forma estándar.
Graficar elipses centradas en el origen.
Graficar elipses no centradas en el origen.
Resolver problemas aplicados con elipses.

Figura 1 El National Statuary Hall en Washington, D.C. [District of Columbia] (créditos: Greg Palmer, Flickr).

¿Se imagina estar de pie en un extremo de una gran sala y seguir oyendo un susurro de una persona situada en el otro extremo? El National Statuary Hall en Washington, D.C., que se muestra en la Figura 1, es una de esas salas.¹ Se trata de una sala semicircular llamada cámara de los susurros porque su forma hace posible que el sonido se desplace por las paredes y la cúpula. En esta sección, investigaremos la forma de esta sala y sus aplicaciones en el mundo real, incluida la distancia a la que pueden situarse dos personas en la Sala de las Estatuas y seguir oyéndose susurrar.

Escribir la ecuación de elipse en la forma estándar

Una sección cónica, o cónica, es una forma resultante de la intersección de un cono circular recto con un plano. El ángulo en los que el plano interseca el cono determina la forma, como se muestra en la Figura 2.

Figura 2

Las secciones cónicas también se pueden describir mediante un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Más adelante en este capítulo, veremos que el gráfico de cualquier ecuación cuadrática en dos variables es una sección cónica. Los signos de las ecuaciones y los coeficientes de los términos variables determinan la forma. Esta sección se centra en las cuatro variaciones de la forma estándar de la ecuación de la elipse. Una elipse es el conjunto de todos los puntos $(x, y)$ en un plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos).

Podemos dibujar una elipse con un trozo de cartón, dos chinchetas, un lápiz y un cordel. Coloque las chinchetas en la cartulina para formar los focos de la elipse. Corte un trozo de cuerda más largo que la distancia entre las dos chinchetas (la longitud de la cuerda representa la constante de la definición). Fije cada extremo de la cuerda a la cartulina y trace una curva con un lápiz tensado contra la cuerda. El resultado es una elipse. Vea la Figura 3.

Esta figura muestra dos chinchetas clavadas en un papel con un trozo de cuerda suelto entre ellas. Un lápiz tira de la cuerda y, al moverse, dibuja una elipse.

Figura 3

Toda elipse tiene dos ejes de simetría. El eje más largo se llama eje mayor y el más corto, eje menor. Cada extremo del eje mayor es el vértice de la elipse (plural: vértices), y cada extremo del eje menor es un covértice de la elipse. El centro de una elipse es el punto medio de los ejes mayor y menor. Los ejes son perpendiculares en el centro. Los focos siempre se encuentran en el eje mayor, y la suma de las distancias de los focos a cualquier punto de la elipse (la suma constante) es mayor que la distancia entre los focos. Vea la Figura 4.

Una elipse horizontal centrada en (0, 0) en el sistema de coordenadas x y, con ejes mayor y menor, vértices y covértices, focos y centro marcados.

Figura 4

En esta sección nos limitamos a las elipses que se sitúan vertical u horizontalmente en el plano de coordenadas. Es decir, los ejes estarán situados o serán paralelos a los ejes x y y. Más adelante, veremos elipses giradas en el plano de coordenadas.

Para trabajar con elipses horizontales y verticales en el plano de coordenadas, consideramos dos casos: las que están centradas en el origen y las que están centradas en un punto distinto del origen. Primero, aprenderemos a derivar las ecuaciones de las elipses y luego, aprenderemos a escribir las ecuaciones de las elipses en forma estándar. Posteriormente utilizaremos lo aprendido para dibujar los gráficos.

Derivación de la ecuación de una elipse centrada en el origen

Para derivar la ecuación de una elipse centrada en el origen, comenzamos con los focos $(- c, 0)$ y $(c, 0) .$ La elipse es el conjunto de todos los puntos $(x, y)$ tal que la suma de las distancias a los focos $(x, y)$ es constante, como se muestra en la Figura 5.

Una elipse horizontal centrada en (0, 0) en el sistema de coordenadas x y, con vértices en (a negativo, 0) y (a, 0) y focos en (c negativo, 0) y (c, 0). Las líneas de longitud d1 y d2 conectan un punto (x, y) de la elipse con los dos focos.

Figura 5

Si los valores de $(a, 0)$ es un vértice de la elipse, la distancia desde $(- c, 0)$ al $(a, 0)$ es $a - (- c) = a + c .$ La distancia de $(c, 0)$ al $(a, 0)$ es $a - c$ . La suma de las distancias de los focos al vértice es

(a + c) + (a - c) = 2 a

Si los valores de $(x, y)$ es un punto de la elipse, entonces podemos definir las siguientes variables:

\begin{array}{l} d_{1} = la distancia de (- c, 0) para (x, y) \\ d_{2} = la distancia de (c, 0) para (x, y) \end{array}

Por la definición de una elipse, $d_{1} + d_{2}$ es constante para cualquier punto $(x, y)$ en la elipse. Sabemos que la suma de estas distancias es $2 a$ para el vértice $(a, 0) .$ Se deduce que $d_{1} + d_{2} = 2 a$ para cualquier punto de la elipse. Comenzaremos la derivación aplicando la fórmula de distancia. El resto de la derivación es algebraica.

\begin{array}{l} d_{1} + d_{2} = \sqrt{{(x - (- c))}^{2} + {(y - 0)}^{2}} + \sqrt{{(x - c)}^{2} + {(y - 0)}^{2}} = 2 a & Fórmula de distancia \\ \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} = 2 a & Simplifique las expresiones . \\ \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} = 2 a - \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} & Mueva el radical al lado opuesto . \\ {(x + c)}^{2} + y^{2} = {[2 a - \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}}]}^{2} & Eleve ambos lados al cuadrado . \\ x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2} = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} + {(x - c)}^{2} + y^{2} & Expanda los cuadrados . \\ x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2} = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} + x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2} & Expanda los cuadrados restantes . \\ 2 c x = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} - 2 c x & Combine términos similares . \\ 4 c x - 4 a^{2} = - 4 a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} & Aísle el radical . \\ c x - a^{2} = - a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} & Divida entre 4 . \\ {[c x - a^{2}]}^{2} = a^{2} {[\sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}}]}^{2} & Eleve ambos lados al cuadrado . \\ c^{2} x^{2} - 2 a^{2} c x + a^{4} = a^{2} (x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2}) & Expanda los cuadrados . \\ c^{2} x^{2} - 2 a^{2} c x + a^{4} = a^{2} x^{2} - 2 a^{2} c x + a^{2} c^{2} + a^{2} y^{2} & Distribuya a^{2} . \\ a^{2} x^{2} - c^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{4} - a^{2} c^{2} & Reescriba . \\ x^{2} (a^{2} - c^{2}) + a^{2} y^{2} = a^{2} (a^{2} - c^{2}) & Factorice los términos comunes . \\ x^{2} b^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2} & Establezca b^{2} = a^{2} - c^{2} . \\ \frac{x^{2} b^{2}}{a^{2} b^{2}} + \frac{a^{2} y^{2}}{a^{2} b^{2}} = \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} b^{2}} & Divida ambos lados entre a^{2} b^{2} . \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 & Simplifique . \end{array}

Así, la ecuación estándar de una elipse es $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$ Esta ecuación define una elipse centrada en el origen. Si los valores de $a > b,$ la elipse se estira más en la dirección horizontal, y si $b > a,$ la elipse se estira más en la dirección vertical.

Escribir ecuaciones de elipses centradas en el origen en forma estándar

Las formas estándar de las ecuaciones nos hablan de las características clave de los gráficos. Tómese un momento para recordar algunas de las formas estándar de ecuaciones con las que hemos trabajado en el pasado: lineal, cuadrática, cúbica, exponencial, logarítmica, etc. Al aprender a interpretar las formas estándar de las ecuaciones, se tiende un puente entre las representaciones algebraicas y geométricas de los fenómenos matemáticos.

Las características clave de la elipse son su centro, vértices, covértices, focos y longitudes y posiciones de los ejes mayor y menor. Al igual que con otras ecuaciones, identificamos todas estas características con solo mirar la forma estándar de la ecuación. Existen cuatro variaciones de la forma estándar de la elipse. Estas variaciones se clasifican primero por la ubicación del centro (el origen o no el origen), y luego por la posición (horizontal o vertical). Cada una de ellas se presenta junto con una descripción de cómo se relacionan las partes de la ecuación con el gráfico. La interpretación de estas partes nos permite formarnos una imagen mental de la elipse.

Formas estándar de la ecuación de una elipse con centro (0,0)

La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro $(0, 0)$ y el eje mayor en el eje x es

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

donde

$a > b$
la longitud del eje mayor es $2 a$
las coordenadas de los vértices son $(\pm a, 0)$
la longitud del eje menor es $2 b$
las coordenadas de los covértices son $(0, \pm b)$
las coordenadas de los focos son $(\pm c, 0)$ , donde $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ Vea la Figura 6 a

La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro $(0, 0)$ y el eje mayor en el eje y es

\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1

donde

$a > b$
la longitud del eje mayor es $2 a$
las coordenadas de los vértices son $(0, \pm a)$
la longitud del eje menor es $2 b$
las coordenadas de los covértices son $(\pm b, 0)$
las coordenadas de los focos son $(0, \pm c)$ , donde $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ Vea la Figura 6 b

Observe que los vértices, covértices y focos están relacionados por la ecuación $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ Cuando se nos dan las coordenadas de los focos y vértices de una elipse, podemos utilizar esta relación para hallar la ecuación de la elipse en forma estándar.

Figura 6 (a) Elipse horizontal con centro

(0, 0)

(b) Elipse vertical con centro

(0, 0)

Cómo

Dados los vértices y focos de una elipse centrada en el origen, escriba su ecuación en forma estándar.

Determine si el eje mayor se encuentra en el eje x o en el eje y.
1. Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la forma $(\pm a, 0)$ y $(\pm c, 0)$ respectivamente, entonces el eje mayor es el eje x. Utilice la forma estándar $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$
2. Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la forma $(0, \pm a)$ y $(0, \pm c),$ respectivamente, entonces el eje mayor es el eje y. Utilice la forma estándar $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1.$
Utilice la ecuación $c^{2} = a^{2} - b^{2},$ junto con las coordenadas dadas de los vértices y los focos, para resolver $b^{2} .$
Sustituya los valores de $a^{2}$ y $b^{2}$ en la forma estándar de la ecuación determinada en el paso 1.

Ejemplo 1

Escribir la ecuación de una elipse centrada en el origen en la forma estándar

¿Cuál es la ecuación de la forma estándar de la elipse que tiene vértices $(\pm 8, 0)$ y focos $(\pm 5, 0) ?$

Solución

Los focos están en el eje x, por lo que el eje mayor es el eje x. Así, la ecuación tendrá la forma

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Los vértices son $(\pm 8, 0),$ así que $a = 8$ y $a^{2} = 64.$

Los focos son $(\pm 5, 0),$ por lo que $c = 5$ y $c^{2} = 25.$

Sabemos que los vértices y los focos están relacionados por la ecuación $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ Al resolver $b^{2},$ tenemos:

\begin{array}{l} c^{2} = a^{2} - b^{2} \\ 25 = 64 - b^{2} \begin{matrix}  \end{matrix} & Sustituya por c^{2} y a^{2} . \\ b^{2} = 39 & Resuelva para b^{2} . \end{array}

Ahora solo tenemos que sustituir $a^{2} = 64$ y $b^{2} = 39$ en la forma estándar de la ecuación. La ecuación de la elipse es $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{39} = 1.$

Inténtelo #1

¿Cuál es la ecuación de la forma estándar de la elipse que tiene vértices $(0, \pm 4)$ y focos $(0, \pm \sqrt{15}) ?$

Preguntas y respuestas

¿Podemos escribir la ecuación de una elipse centrada en el origen dadas las coordenadas de un solo foco y vértice?

Sí. Las elipses son simétricas, por lo que las coordenadas de los vértices de una elipse centrada en el origen tendrán siempre la forma $(\pm a, 0)$ o $(0, \pm a) .$ Del mismo modo, las coordenadas de los focos siempre tendrán la forma $(\pm c, 0)$ o $(0, \pm c) .$ Sabiendo esto, podemos utilizar $a$ y $c$ de los puntos dados, junto con la ecuación $c^{2} = a^{2} - b^{2},$ para calcular $b^{2} .$

Escribir ecuaciones de elipses no centradas en el origen

Al igual que los gráficos de otras ecuaciones, el gráfico de una elipse se puede trasladar. Si se traslada una elipse $h$ unidades en horizontal y $k$ unidades verticalmente, el centro de la elipse será $(h, k) .$ Esta traslación da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente, con $x$ sustituido por $(x - h)$ y y se sustituye por $(y - k) .$

Formas estándar de la ecuación de una elipse con centro (h, k)

La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro $(h, k)$ y el eje mayor paralelo al eje x es

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

donde

$a > b$
la longitud del eje mayor es $2 a$
las coordenadas de los vértices son $(h \pm a, k)$
la longitud del eje menor es $2 b$
las coordenadas de los covértices son $(h, k \pm b)$
las coordenadas de los focos son $(h \pm c, k),$ donde $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ Vea la Figura 7a

La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro $(h, k)$ y el eje mayor paralelo al eje y es

\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1

donde

$a > b$
la longitud del eje mayor es $2 a$
las coordenadas de los vértices son $(h, k \pm a)$
la longitud del eje menor es $2 b$
las coordenadas de los covértices son $(h \pm b, k)$
las coordenadas de los focos son $(h, k \pm c),$ donde $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ Vea la Figura 7b

Al igual que con las elipses centradas en el origen, las elipses centradas en un punto $(h, k)$ tienen vértices, covértices y focos que están relacionados por la ecuación $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ Podemos utilizar esta relación junto con las fórmulas de punto medio y de distancia para hallar la ecuación de la elipse en forma estándar cuando se dan los vértices y los focos.

Figura 7 (a) Elipse horizontal con centro

(h, k)

(b) Elipse vertical con centro

(h, k)

Cómo

Dados los vértices y los focos de una elipse no centrada en el origen, escriba su ecuación en forma estándar.

Determine si el eje mayor es paralelo al eje x o al eje y.
1. Si las coordenadas y de los vértices y los focos dados son iguales, entonces el eje mayor es paralelo al eje x. Utilice la forma estándar $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1.$
2. Si las coordenadas x de los vértices y los focos dados son iguales, entonces el eje mayor es paralelo al eje y. Utilice la forma estándar $\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1.$
Identificar el centro de la elipse $(h, k)$ utilizando la fórmula del punto medio y las coordenadas dadas para los vértices.
Calcule $a^{2}$ al resolver la longitud del eje mayor, $2 a,$ que es la distancia entre los vértices dados.
Calcule $c^{2}$ utilizando $h$ y $k,$ hallados en el paso 2, junto con las coordenadas dadas para los focos.
Resuelva para $b^{2}$ utilizando la ecuación $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$
Sustituya los valores de $h, k, a^{2},$ y $b^{2}$ en la forma estándar de la ecuación determinada en el paso 1.

Ejemplo 2

Escribir la ecuación de una elipse centrada en un punto distinto del origen

¿Cuál es la ecuación de la forma estándar de la elipse que tiene vértices $(–2, −8)$ y $(–2, 2)$

y focos $(–2, –7)$ y $(–2, 1) ?$

Solución

Las coordenadas x de los vértices y los focos son las mismas, por lo que el eje mayor es paralelo al eje y. Así, la ecuación de la elipse tendrá la forma

\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1

En primer lugar, identificamos el centro, $(h, k) .$ El centro está a medio camino entre los vértices, $(- 2, - 8)$ y $(- 2, 2) .$ Al aplicar la fórmula del punto medio, tenemos:

\begin{array}{l} (h, k) = (\frac{−2 + (−2)}{2}, \frac{−8 + 2}{2}) \\ = (–2, −3) \end{array}

Luego, hallamos $a^{2} .$ La longitud del eje mayor, $2 a,$ está delimitada por los vértices. Resolvemos para $a$ al hallar la distancia entre las coordenadas y de los vértices.

\begin{matrix} 2 a = 2 - (−8) \\ 2 a = 10 \\ a = 5 \end{matrix}

Así que $a^{2} = 25.$

Ahora hallamos $c^{2} .$ Los focos vienen dados por $(h, k \pm c) .$ Así que, $(h, k - c) = (–2, –7)$ y $(h, k + c) = (–2, 1) .$ Sustituimos $k = −3$ y usamos cualquiera de estos puntos para resolver $c .$

\begin{matrix} k + c = 1 \\ −3 + c = 1 \\ c = 4 \end{matrix}

Así que $c^{2} = 16.$

A continuación, resolvemos para $b^{2}$ utilizando la ecuación $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$

\begin{matrix} c^{2} = a^{2} - b^{2} \\ 16 = 25 - b^{2} \\ b^{2} = 9 \end{matrix}

Por último, sustituimos los valores hallados para $h, k, a^{2},$ y $b^{2}$ en la ecuación de forma estándar para una elipse:

\frac{{(x + 2)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{25} = 1

Inténtelo #2

¿Cuál es la ecuación de la forma estándar de la elipse que tiene vértices $(−3, 3)$ y $(5, 3)$ y focos $(1 - 2 \sqrt{3}, 3)$ y $(1 + 2 \sqrt{3}, 3) ?$

Graficar elipses centradas en el origen

Al igual que podemos escribir la ecuación de una elipse dado su gráfico, podemos graficar una elipse dada su ecuación. Para graficar elipses centradas en el origen, utilizamos la forma estándar $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, a > b$ para las elipses horizontales y $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1, a > b$ para las elipses verticales.

Cómo

Dada la forma estándar de una ecuación para una elipse centrada en $(0, 0),$ dibuje el gráfico.

Utilice las formas estándar de las ecuaciones de una elipse para determinar el eje mayor, los vértices, los covértices y los focos
1. Si la ecuación es de la forma x 2 a 2 + y 2 b 2 =1, x 2 a 2 + y 2 b 2 =1, donde a>b, a>b, entonces
  - el eje mayor es el eje x
  - las coordenadas de los vértices son $(\pm a, 0)$
  - las coordenadas de los covértices son $(0, \pm b)$
  - las coordenadas de los focos son $(\pm c, 0)$
2. Si la ecuación es de la forma x 2 b 2 + y 2 a 2 =1, x 2 b 2 + y 2 a 2 =1, donde a>b, a>b, entonces
  - el eje mayor es el eje y
  - las coordenadas de los vértices son $(0, \pm a)$
  - las coordenadas de los covértices son $(\pm b, 0)$
  - las coordenadas de los focos son $(0, \pm c)$
Resuelva para $c$ utilizando la ecuación $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$
Trace el centro, los vértices, los covértices y los focos en el plano de coordenadas y dibuje una curva suave para formar la elipse.

Ejemplo 3

Graficar una elipse centrada en el origen

Grafique la elipse dada por la ecuación, $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1.$ Identifique y marque el centro, los vértices, los covértices y los focos.

Solución

En primer lugar, determinamos la posición del eje mayor. Dado que $25 > 9,$ el eje mayor está en el eje y. Por lo tanto, la ecuación es de la forma $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1,$ donde $b^{2} = 9$ y $a^{2} = 25.$ Se deduce que:

el centro de la elipse es $(0, 0)$
las coordenadas de los vértices son $(0, \pm a) = (0, \pm \sqrt{25}) = (0, \pm 5)$
las coordenadas de los covértices son $(\pm b, 0) = (\pm \sqrt{9}, 0) = (\pm 3, 0)$
las coordenadas de los focos son $(0, \pm c),$ donde $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ Al resolver $c,$ tenemos:

\begin{array}{l} c = \pm \sqrt{a^{2} - b^{2}} \\ = \pm \sqrt{25 - 9} \\ = \pm \sqrt{16} \\ = \pm 4 \end{array}

Por lo tanto, las coordenadas de los focos son $(0, \pm 4) .$

A continuación, trazamos y etiquetamos el centro, los vértices, los covértices y los focos y dibujamos una curva suave para formar la elipse. Vea la Figura 8.

Una elipse vertical centrada en (0, 0) en el sistema de coordenadas x y, con vértices en (0,5) y (0, 5 negativo), covértices en (3, 0) y (3 negativo, 0) y focos en (0, 4) y (0, 4 negativo).

Figura 8

Inténtelo #3

Grafique la elipse dada por la ecuación $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4} = 1.$ Identifique y marque el centro, los vértices, los covértices y los focos.

Ejemplo 4

Graficar una elipse centrada en el origen a partir de una ecuación que no está en forma estándar

Grafique la elipse dada por la ecuación $4 x^{2} + 25 y^{2} = 100.$ Reescriba la ecuación en forma estándar. A continuación, identifique y marque el centro, los vértices, los covértices y los focos.

Solución

Primero, use álgebra para reescribir la ecuación en forma estándar.

\begin{array}{l} 4 x^{2} + 25 y^{2} = 100 \\ \frac{4 x^{2}}{100} + \frac{25 y^{2}}{100} = \frac{100}{100} \\ \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{4} = 1 \end{array}

A continuación, determinamos la posición del eje mayor. Dado que $25 > 4,$ el eje mayor está en el eje x. Por lo tanto, la ecuación es de la forma $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,$ donde $a^{2} = 25$ y $b^{2} = 4.$ Se deduce que:

el centro de la elipse es $(0, 0)$
las coordenadas de los vértices son $(\pm a, 0) = (\pm \sqrt{25}, 0) = (\pm 5, 0)$
las coordenadas de los covértices son $(0, \pm b) = (0, \pm \sqrt{4}) = (0, \pm 2)$
las coordenadas de los focos son $(\pm c, 0),$ donde $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ Al resolver $c,$ tenemos:

\begin{array}{l} c = \pm \sqrt{a^{2} - b^{2}} \\ = \pm \sqrt{25 - 4} \\ = \pm \sqrt{21} \end{array}

Por lo tanto, las coordenadas de los focos son $(\pm \sqrt{21}, 0) .$

A continuación, trazamos y etiquetamos el centro, los vértices, los covértices y los focos y dibujamos una curva suave para formar la elipse.

Una elipse horizontal centrada en (0, 0) con vértices en (5, 0) y (5 negativo, 0), covértices en (0, 2) y (0, 2 negativo) y focos en (raíz cuadrada de 21, 0) y (raíz cuadrada negativa de 21, 0).

Figura 9

Inténtelo #4

Grafique la elipse dada por la ecuación $49 x^{2} + 16 y^{2} = 784.$ Reescriba la ecuación en forma estándar. A continuación, identifique y marque el centro, los vértices, los covértices y los focos.

Graficar elipses no centradas en el origen

Cuando una elipse no está centrada en el origen, todavía podemos utilizar las formas estándar para hallar las características clave del gráfico. Cuando la elipse está centrada en algún punto, $(h, k),$ utilizamos las formas estándar $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1, a > b$ para las elipses horizontales y $\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1, a > b$ para las elipses verticales. A partir de estas ecuaciones estándar, podemos determinar fácilmente el centro, los vértices, los covértices, los focos y las posiciones de los ejes mayor y menor.

Cómo

Dada la forma estándar de una ecuación para una elipse centrada en $(h, k),$ dibuje el gráfico.

Utilice las formas estándar de las ecuaciones de una elipse para determinar el centro, la posición del eje mayor, los vértices, los covértices y los focos.
1. Si la ecuación es de la forma ( x-h ) 2 a 2 + ( y-k ) 2 b 2 =1, ( x-h ) 2 a 2 + ( y-k ) 2 b 2 =1, donde a>b, a>b, entonces
  - el centro es $(h, k)$
  - el eje mayor es paralelo al eje x
  - las coordenadas de los vértices son $(h \pm a, k)$
  - las coordenadas de los covértices son $(h, k \pm b)$
  - las coordenadas de los focos son $(h \pm c, k)$
2. Si la ecuación es de la forma ( x-h ) 2 b 2 + ( y-k ) 2 a 2 =1, ( x-h ) 2 b 2 + ( y-k ) 2 a 2 =1, donde a>b, a>b, entonces
  - el centro es $(h, k)$
  - el eje mayor es paralelo al eje y
  - las coordenadas de los vértices son $(h, k \pm a)$
  - las coordenadas de los covértices son $(h \pm b, k)$
  - las coordenadas de los focos son $(h, k \pm c)$
Resuelva para $c$ utilizando la ecuación $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$
Trace el centro, los vértices, los covértices y los focos en el plano de coordenadas y dibuje una curva suave para formar la elipse.

Ejemplo 5

Graficar una elipse centrada en (h, k)

Grafique la elipse dada por la ecuación, $\frac{{(x + 2)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 5)}^{2}}{9} = 1.$ Identifique y marque el centro, los vértices, los covértices y los focos.

Solución

En primer lugar, determinamos la posición del eje mayor. Dado que $9 > 4,$ el eje mayor es paralelo al eje y. Por lo tanto, la ecuación es de la forma $\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1,$ donde $b^{2} = 4$ y $a^{2} = 9.$ Se deduce que:

el centro de la elipse es $(h, k) = (–2, 5)$
las coordenadas de los vértices son $(h, k \pm a) = (- 2, 5 \pm \sqrt{9}) = (- 2, 5 \pm 3),$ o $(–2, 2)$ y $(–2, 8)$
las coordenadas de los covértices son $(h \pm b, k) = (- 2 \pm \sqrt{4}, 5) = (- 2 \pm 2, 5),$ o $(-4, 5)$ y $(0, 5)$
las coordenadas de los focos son $(h, k \pm c),$ donde $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ Al resolver $c,$ tenemos:

\begin{array}{l} \begin{array}{l} c = \pm \sqrt{a^{2} - b^{2}} \end{array} \\ = \pm \sqrt{9 - 4} \\ = \pm \sqrt{5} \end{array}

Por lo tanto, las coordenadas de los focos son $(–2, 5 - \sqrt{5})$ y $(–2, Más de 5 \sqrt{5}) .$

A continuación, trazamos y etiquetamos el centro, los vértices, los covértices y los focos y dibujamos una curva suave para formar la elipse.

Una elipse vertical centrada en (2 negativo, 5) con vértices en (2 negativo, 2) y (2 negativo, 8), covértices en (0, 5) y (4 negativo, 5) y focos en (2 negativo, 5 + raíz cuadrada de 5) y (2 negativo, 5 menos raíz cuadrada de 5). Se muestran los ejes mayor y menor que conectan los vértices y covértices respectivamente.

Figura 10

Inténtelo #5

Grafique la elipse dada por la ecuación $\frac{{(x - 4)}^{2}}{36} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{20} = 1.$ Identifique y marque el centro, los vértices, los covértices y los focos.

Cómo

Dada la forma general de una ecuación para una elipse centrada en (h, k), exprese la ecuación en forma estándar.

Reconozca que una elipse descrita por una ecuación de la forma $a x^{2} + b y^{2} + c x + d y + e = 0$ está en forma general.
Reordene la ecuación agrupando los términos que contienen la misma variable. Mueva el término constante al lado opuesto de la ecuación.
Factorice los coeficientes de los términos $x^{2}$ y $y^{2}$ en la preparación para completar el cuadrado.
Complete el cuadrado de cada variable para reescribir la ecuación en forma de suma de múltiplos de dos binomios elevados al cuadrado e iguales a una constante, $m_{1} {(x - h)}^{2} + m_{2} {(y - k)}^{2} = m_{3},$ donde $m_{1}, m_{2},$ y $m_{3}$ son constantes.
Divida ambos lados de la ecuación entre el término constante para expresar la ecuación en forma estándar.

Ejemplo 6

Graficar una elipse centrada en (h, k) escribiéndola primero en forma estándar

Grafique la elipse dada por la ecuación $4 x^{2} + 9 y^{2} - 40 x + 36 y + 100 = 0 .$ Identifique y marque el centro, los vértices, los covértices y los focos.

Solución

Debemos empezar por reescribir la ecuación en forma estándar.

4 x^{2} + 9 y^{2} - 40 x + 36 y + 100 = 0

Agrupe los términos que contengan la misma variable y mueva la constante al lado opuesto de la ecuación.

(4 x^{2} - 40 x) + (9 y^{2} + 36 y) = -100

Factorice los coeficientes de los términos al cuadrado.

4 (x^{2} - 10 x) + 9 (y^{2} + 4 y) = -100

Complete el cuadrado dos veces. Recuerde equilibrar la ecuación sumando las mismas constantes a cada lado.

4 (x^{2} - 10 x + 25) + 9 (y^{2} + 4 y + 4) = -100 + 100 + 36

Reescriba como cuadrados perfectos.

4 {(x - 5)}^{2} + 9 {(y + 2)}^{2} = 36

Divida ambos lados entre el término constante para poner la ecuación en forma estándar.

\frac{{(x - 5)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4} = 1

Ahora que la ecuación está en forma estándar, podemos determinar la posición del eje mayor. Dado que $9 > 4,$ el eje mayor es paralelo al eje x. Por lo tanto, la ecuación es de la forma $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1,$ donde $a^{2} = 9$ y $b^{2} = 4.$ Se deduce que:

el centro de la elipse es $(h, k) = (5, –2)$
las coordenadas de los vértices son $(h \pm a, k) = (5 \pm \sqrt{9}, –2) = (5 \pm 3, –2),$ o $(2, –2)$ y $(8, –2)$
las coordenadas de los covértices son $(h, k \pm b) = (5, −2 \pm \sqrt{4}) = (5, −2 \pm 2),$ o $(5, –4)$ y $(5, 0)$
las coordenadas de los focos son $(h \pm c, k),$ donde $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ Al resolver $c,$ tenemos:

\begin{array}{l} c = \pm \sqrt{a^{2} - b^{2}} \\ = \pm \sqrt{9 - 4} \\ = \pm \sqrt{5} \end{array}

Por lo tanto, las coordenadas de los focos son $(5 - \sqrt{5}, –2)$ y $(Más de 5 \sqrt{5}, –2) .$

A continuación, graficamos y marcamos el centro, los vértices, los covértices y los focos, y dibujamos una curva suave para formar la elipse como se muestra en la Figura 11.

Una elipse horizontal centrada en (5, 2 negativo) con vértices en (2, 2 negativo) y (8, 2 negativo), covértices en (5, 0) y (5, 4 negativo) y focos en (5 + raíz cuadrada de 5, 2 negativo) y (5 menos raíz cuadrada de 5, 2 negativo). Se muestran los ejes mayor y menor que conectan los vértices y covértices respectivamente.

Figura 11

Inténtelo #6

Exprese la ecuación de la elipse dada en forma estándar. Identifique el centro, los vértices, los covértices y los focos de la elipse.

4 x^{2} + y^{2} - 24 x + 2 y + 21 = 0

Resolver problemas aplicados con elipses

Muchas situaciones del mundo real se pueden representar mediante elipses, como las órbitas de los planetas, satélites, lunas y cometas y las formas de las quillas de los barcos, los timones y algunas alas de los aviones. Un dispositivo médico llamado litotriptor utiliza reflectores elípticos para romper cálculos renales mediante la generación de ondas sonoras. Algunos edificios, llamados cámaras de susurros, están diseñados con cúpulas elípticas para que una persona que susurra en un foco pueda ser escuchada fácilmente por alguien que esté en el otro foco. Esto ocurre debido a las propiedades acústicas de una elipse. Cuando una onda sonora se origina en un foco de una cámara de susurros, la onda sonora se reflejará en la cúpula elíptica y volverá al otro foco. Vea la Figura 12. En la cámara de susurros del Museo de Ciencia y la Industria de Chicago, dos personas situadas en el foco —a unos 43 pies de distancia— pueden oírse mutuamente. Cuando estas cámaras se colocan en lugares inesperados, como las que hay en el interior del aeropuerto internacional Bush de Houston y en la terminal Grand Central de Nueva York, pueden inducir reacciones de sorpresa entre los viajeros.

Figura 12 Las ondas sonoras se reflejan entre los focos en una sala elíptica, llamada cámara de los susurros.

Ejemplo 7

Localización de los focos de una cámara de susurros

Una gran sala en una galería de arte es una cámara de susurros. Sus dimensiones son de 46 pies de ancho por 96 pies de largo, como se muestra en la Figura 13.

¿Cuál es la forma estándar de la ecuación de la elipse que representa el contorno de la sala? Pista: suponga una elipse horizontal, y deje que el centro del espacio sea el punto $(0, 0) .$
Si dos visitantes situados en los focos de esta sala pueden oírse mutuamente susurrando, ¿a qué distancia están los visitantes? Redondee al pie más cercano.

Una elipse horizontal con rayos que se originan en cada foco y pasan por el otro foco.

Figura 13

Solución

Suponemos una elipse horizontal con centro ( 0,0 ), ( 0,0 ), por lo que necesitamos hallar una ecuación de la forma x 2 a 2 + y 2 b 2 =1, x 2 a 2 + y 2 b 2 =1, donde a>b. a>b. Sabemos que la longitud del eje mayor, 2a, 2a, es más largo que la longitud del eje menor, 2b. 2b. Así, la longitud de la sala, 96, está representada por el eje mayor, y el ancho de la sala, 46, por el eje menor
- Al resolver para $a,$ tenemos $2 a = 96,$ así que $a = 48,$ y $a^{2} = 2304$
- Al resolver para $b,$ tenemos $2 b = 46,$ por lo que $b = 23,$ y $b^{2} = 529.$
Por lo tanto, la ecuación de la elipse es $\frac{x^{2}}{2304} + \frac{y^{2}}{529} = 1.$
Para hallar la distancia entre los senadores, debemos hallar la distancia entre los focos, $(\pm c, 0),$ donde $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ Al resolver $c,$ tenemos:
$\begin{array}{l} c^{2} = a^{2} - b^{2} \\ c^{2} = 2304 - 529 & \begin{matrix} \end{matrix} Sustituya utilizando los valores hallados en la parte (a) . \\ c = \pm \sqrt{2304 - 529} & \begin{matrix} \end{matrix} Obtenga la raíz cuadrada de ambos lados . \\ c = \pm \sqrt{1775} & \begin{matrix} \end{matrix} Reste . \\ c \approx \pm 42 & \begin{matrix} \end{matrix} Redondee al pie más cercano . \end{array}$
Los puntos $(\pm 42, 0)$ representan los focos. Por lo tanto, la distancia entre los senadores es $2 (42) = 84$ pies.

Inténtelo #7

Supongamos que una cámara de susurros tiene 480 pies de largo y 320 pies de ancho.

Ⓐ ¿Cuál es la forma estándar de la ecuación de la elipse que representa la sala? Pista: suponga una elipse horizontal, y deje que el centro del espacio sea el punto $(0, 0) .$
Ⓑ Si dos personas están de pie en el foco de esta sala y pueden oírse mutuamente susurrando, ¿a qué distancia están las personas? Redondee al pie más cercano.

Media

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10.1 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Defina una elipse en términos de sus focos.

2.

¿Dónde deben estar los focos de una elipse?

3.

¿Qué caso especial de la elipse tenemos cuando los ejes mayor y menor tienen la misma longitud?

4.

Para el caso especial mencionado en la pregunta anterior, ¿qué sería cierto sobre los focos de esa elipse?

5.

¿Qué se puede decir de la simetría del gráfico de una elipse con centro en el origen y focos a lo largo del eje y?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si las ecuaciones dadas representan elipses. Si la respuesta es afirmativa, escríbala en la forma estándar.

6.

$2 x^{2} + y = 4$

7.

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$

8.

$4 x^{2} - y^{2} = 4$

9.

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 1$

10.

$4 x^{2} - 8 x + 9 y^{2} - 72 y + 112 = 0$

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de una elipse en forma estándar, e identifique los puntos finales de los ejes mayor y menor, así como los focos.

11.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{49} = 1$

12.

$\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

13.

$x^{2} + 9 y^{2} = 1$

14.

$4 x^{2} + 16 y^{2} = 1$

15.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{49} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{25} = 1$

16.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{81} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{16} = 1$

17.

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 7)}^{2}}{9} = 1$

18.

$\frac{{(x - 7)}^{2}}{49} + \frac{{(y - 7)}^{2}}{49} = 1$

19.

$4 x^{2} - 8 x + 9 y^{2} - 72 y + 112 = 0$

20.

$9 x^{2} - 54 x + 9 y^{2} - 54 y + 81 = 0$

21.

$4 x^{2} - 24 x + 36 y^{2} - 360 y + 864 = 0$

22.

$4 x^{2} + 24 x + 16 y^{2} - 128 y + 228 = 0$

23.

$4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y + 100 = 0$

24.

$x^{2} + 2 x + 100 y^{2} - 1.000 y + 2401 = 0$

25.

$4 x^{2} + 24 x + 25 y^{2} + 200 y + 336 = 0$

26.

$9 x^{2} + 72 x + 16 y^{2} + 16 y + 4 = 0$

En los siguientes ejercicios, halle los focos de las elipses dadas.

27.

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{36} = 1$

28.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{100} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4} = 1$

29.

$x^{2} + y^{2} = 1$

30.

$x^{2} + 4 y^{2} + 4 x + 8 y = 1$

31.

$10 x^{2} + y^{2} + 200 x = 0$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique las elipses dadas y tome en cuenta el centro, los vértices y los focos.

32.

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

33.

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

34.

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 1$

35.

$81 x^{2} + 49 y^{2} = 1$

36.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = 1$

37.

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{9} = 1$

38.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{5} = 1$

39.

$4 x^{2} - 8 x + 16 y^{2} - 32 y - 44 = 0$

40.

$x^{2} - 8 x + 25 y^{2} - 100 y + 91 = 0$

41.

$x^{2} + 8 x + 4 y^{2} - 40 y + 112 = 0$

42.

$64 x^{2} + 128 x + 9 y^{2} - 72 y - 368 = 0$

43.

$16 x^{2} + 64 x + 4 y^{2} - 8 y + 4 = 0$

44.

$100 x^{2} + 1.000 x + y^{2} - 10 y + 2425 = 0$

45.

$4 x^{2} + 16 x + 4 y^{2} + 16 y + 16 = 0$

En los siguientes ejercicios, utilice la información dada sobre el gráfico de cada elipse para determinar su ecuación.

46.

Centro en el origen, simétrico respecto a los ejes x y y foco en $(4, 0),$ y punto en el gráfico $(0, 3) .$

47.

Centro en el origen, simétrico respecto a los ejes x y y foco en $(0, –2),$ y punto en el gráfico $(5, 0) .$

48.

Centro en el origen, simétrico respecto a los ejes x y y foco en $(3, 0),$ y el eje mayor es dos veces más largo que el eje menor.

49.

Centro $(4, 2)$ ; vértice $(9, 2)$ ; un foco: $(4 + 2 \sqrt{6}, 2)$ .

50.

Centro $(3, 5)$ ; vértice $(3, 11)$ ; un foco: $(3, 5 + 4 \sqrt{2})$

51.

Centro $(−3, 4)$ ; vértice $(1, 4)$ ; un foco: $(−3 + 2 \sqrt{3}, 4)$

En los siguientes ejercicios, dado el gráfico de la elipse, determine su ecuación.

52.

Una elipse vertical centrada en (0, 0) en el sistema de coordenadas x y con vértices en (0, 6) y (0, 6 negativo) y covértices en (4, 0) y (4 negativo, 0).

53.

Una elipse horizontal centrada en (0, 0) en el sistema de coordenadas x y con vértices en (9, 0) y (9 negativo, 0) y covértices en (0, 3) y (0, 3 negativo).

54.

Una elipse vertical centrada en (0, 0) en el sistema de coordenadas x y con vértices en (0, 7) y (0, 7 negativo) y covértices en (5, 0) y (5 negativo, 0).

55.

Una elipse vertical tangente al eje y en (0, 2) en el sistema de coordenadas x y que interseca el eje x a medio camino entre (4 negativo, 0) y (3 negativo, 0) y también (1 negativo, 0) y (0, 0).

56.

Una elipse horizontal en el sistema de coordenadas x y que se extiende entre x = 2 negativo y x = 4, intersecando el eje y en (2, 0) y (4, 0).

Extensiones

En los siguientes ejercicios, calcule el área de la elipse. El área de una elipse viene dada por la fórmula $Área = a \cdot b \cdot π .$

57.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{16} = 1$

58.

$\frac{{(x + 6)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 6)}^{2}}{36} = 1$

59.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{5} = 1$

60.

$4 x^{2} - 8 x + 9 y^{2} - 72 y + 112 = 0$

61.

$9 x^{2} - 54 x + 9 y^{2} - 54 y + 81 = 0$

Aplicaciones en el mundo real

62.

Halle la ecuación de la elipse que cabe dentro de una caja de 8 unidades de ancho y 4 de alto.

63.

Halle la ecuación de la elipse que cabe dentro de una caja que es cuatro veces más ancha que alta. Expresar la altura en términos de $h$ .

64.

Un arco tiene la forma de una semielipse (la mitad superior de una elipse). El arco tiene una altura de 8 pies y una amplitud de 20 pies. Halle una ecuación para la elipse y utilícela para calcular la altura, con una precisión de 0,01 pies del arco a una distancia de 4 pies del centro.

65.

Un arco tiene la forma de una semielipse. El arco tiene una altura de 12 pies y una amplitud de 40 pies. Halle una ecuación para la elipse y utilícela para calcular la distancia desde el centro hasta un punto en el que la altura sea de 6 pies. Redondee a la centésima más cercana.

66.

Se va a construir un puente con forma de arco semielíptico y con una amplitud de 120 pies. La altura del arco a una distancia de 40 pies del centro será de 8 pies. Halle la altura del arco en su centro.

67.

Una persona en una galería de susurros situada en un foco de la elipse puede susurrar y ser escuchada por una persona situada en el otro foco porque todas las ondas sonoras que llegan al techo se reflejan en la otra persona. Si una galería de susurros tiene una longitud de 120 pies, y los focos están situados a 30 pies del centro, calcule la altura del techo en el centro.

68.

Una persona está de pie a 8 pies de la pared más cercana en una galería de susurros. Si esa persona está en un foco, y el otro foco está a 80 pies de distancia, ¿cuáles son la longitud y la altura en el centro de la galería?

Notas a pie de página

1Arquitecto del Capitolio. http://www.aoc.gov. Consultado el 15 de abril de 2014.

10.1 La elipse

Escribir la ecuación de elipse en la forma estándar

Derivación de la ecuación de una elipse centrada en el origen

Escribir ecuaciones de elipses centradas en el origen en forma estándar

Escribir la ecuación de una elipse centrada en el origen en la forma estándar

Solución

Escribir ecuaciones de elipses no centradas en el origen

Escribir la ecuación de una elipse centrada en un punto distinto del origen

Solución

Graficar elipses centradas en el origen

Graficar una elipse centrada en el origen

Solución

Graficar una elipse centrada en el origen a partir de una ecuación que no está en forma estándar

Solución

Graficar elipses no centradas en el origen

Graficar una elipse centrada en (h, k)

Solución

Graficar una elipse centrada en (h, k) escribiéndola primero en forma estándar

Solución

Resolver problemas aplicados con elipses

Localización de los focos de una cámara de susurros

Solución

10.1 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

Extensiones

Aplicaciones en el mundo real

Notas a pie de página